Solução numérica da equação diferencial da difusão do calor

Numerical solution of the differential equation of heat

diffusion

Solução numérica da equação diferencial da difusão do calor

Solución numérica de la ecuación diferencial de la difusión del calor

ABSTRACT

Objectives: To determine how the temperature distribution of a bar evolves over time through the finite difference method, seeking to show the applicability of both the method and the phenomenon studied. Method: Practical concepts of conduction of heat, by a metal bar, were used to determine the equations and then applied the resolution method already mentioned. Then, a comparative analysis of the results obtained was made to verify their applicability. Results: Satisfactory results were obtained and expected. Besides obeying the criterion of Von Neumann, it has a precision with absolute errors of up to 10−6_{. It is therefore found that the finite difference method is applicable to the problem}

of heat conduction. Conclusion: It has been proven that the finite difference method has satisfactory results that correspond to both intuition and experience.

RESUMO

Objetivo: Determinar como a distribuição de temperatura de uma barra evolui com o tempo através do método das diferenças finitas, buscando mostrar a aplicabilidade, tanto do método quanto do fenômeno estudado. Método: Foram utilizados conceitos práticos de condução do calor, por uma barra metálica, para a determinação das equações e logo em seguida aplicada o método de resolução já citado. Depois foi feita uma análise comparativa dos resultados obtidos para verificar a sua aplicabilidade. Resultados: Foram obtidos resultados satisfatórios e dentro do esperado. Além obedecerem ao critério de Von Neumann, possui uma precisão com erros absolutos de até 10−6_.

Constata-se, portanto, que o método das diferenças finitas é aplicável ao problema da condução de calor. Conclusão: Comprovou-se que o método das diferenças finitas tem resultados satisfatórios que correspondem tanto à intuição quanto a experiência.

RESUMEN

Objetivos: Determinar cómo la distribución de temperatura de una barra evoluciona con el tiempo a través del método de las diferencias finitas, buscando mostrar la aplicabilidad tanto del método y del fenómeno estudiado. Metodo: Se utilizaron conceptos prácticos de conducción del calor, por una barra metálica, para la determinación de las ecuaciones y luego aplicada el método de resolución ya citado. Después se realizó un análisis comparativo de los resultados obtenidos para verificar su aplicabilidad. Resultados: Se obtuvieron resultados satisfactorios y dentro de lo esperado. Además de obedecer al criterio de Von Neumann, posee una precisión con errores absolutos de hasta 10−6_{.Se constata, por lo}

tanto, que el método de las diferencias finitas es aplicable al problema de la conducción de calor. Conclusión: Se comprobó que el método de las diferencias finitas tiene resultados satisfactorios que corresponden tanto a la intuición como a la experiencia.

Davi Bezerra Bastos¹

Jefferson de Brito Sousa ²

Paulysendra Felipe Silva³

Paulo Ricardo Alves Dos Reis Santos

ISSN: 2447-2301

¹ Graduando em Física-licenciatura. Universidade Estadual do Maranhão – UEMA. Caxias, Maranhão – Brasil. E-mail:

Davi.bezerra.bastos@hotmail.com

²Mestre em Matemática- UFPI. Faculdade de Ciências e Tecnologia do Maranhão – Facema. Caxias, Maranhão – Brasil. E-mail: jeffersonbrito2@gmail.com

³Acadêmica do curso de Engenharia Civil-bacharelado. Faculdade de Ciências e Tecnologia do Maranhão – FACEMA. Caxias, Maranhão – Brasil. E-mail: sendra_102@hotmai.com

4_{Acadêmico do curso de Engenharia Civil- bacharelado. Faculdade de Ciências e Tecnologia do Maranhão – FACEMA.}

Caxias, Maranhão – Brasil. E-mail: paulinho.ars@hotmail.com

Descriptors Finite difference method. heat

equation. Descritores Método das diferenças finitas. equação do calor. Descriptores Método de las diferencias finitas.

ecuación del calor.

Sources of funding: No Conflict of interest: No

Date of first submission: 2018-01-04 Accepted: 2018-06-13

Publishing: 2018-06-15

Corresponding Address Davi Bezerra Bastos

Universidade Estadual do Maranhão – UEMA

Acadêmico do curso de Física-licenciatura

Travessa da Aroeira, 304. Bairro Centro

CEP: 65620-270 – CAXIAS (MA), Brasil Mobile Phone: (99) 98168-9095

INTRODUÇÃO

A determinação da distribuição de temperatura em uma barra metálica é de suma importância, uma vez que a partir dela podem ser calculadas as dilatações sofridas pelo material em cada ponto e determinar, por exemplo, o tempo que leva para trilhos de trem ficar inválidos.

Em outras áreas de aplicação, como na construção de termelétricas, leva-se em conta a temperatura que o combustível irá atingir para a fabricação de um “forno” adequado. Embora se chame “equação do calor”, seu propósito é calcular a temperatura em cada segmento de barra ao longo do tempo.

Para a determinação de tal distribuição, antes é necessário à dedução da equação diferencial que rege esse fenômeno para assim então determinar a temperatura em diversos pontos ao longo da barra a cada intervalo de tempo.

Para encontrar a solução de tal equação, será utilizado o método das diferenças finitas buscando também mostrar a precisão e aplicabilidade do método proposto por meio de análise de estabilidade.

2 DESENVOLVIMENTO

2.1 Equação calor

O calor (Q) é interpretado como sendo a energia que flui naturalmente do corpo de maior temperatura para ou o corpo de menor temperatura. Mas de que forma essa energia é transportada? Joseph Fourier traz a noção de que o calor se comporta como um fluido e com base nisso elabora uma lei; a lei de Fourier. Eq.1:

𝐽 = −𝑘𝜕𝑇

𝜕𝑥 Onde:

𝐽: fluxo de calor por unidade de área (𝑐𝑎𝑙

𝑠∗𝑚2)

𝑘: condutividade térmica (𝑐𝑎𝑙

º𝐶∗𝑚)

𝑇: temperatura (º𝐶)

Onde o sinal negativo indica que o calor está indo do corpo mais quente para o corpo mais frio. Além disso, a grandeza 𝐽 diz também a quantidade de calor

que flui dentro de um pequeno elemento de volume delimitado por duas seções transversais. Observe a figura 1. Eq.2: 𝑑𝑄 𝑑𝑡 = (𝐽𝑒− 𝐽𝑠)𝑆 = −(𝐽𝑠− 𝐽𝑒)𝑆 = − 𝜕𝐽 𝜕𝑥(𝑆𝑑𝑥) Substituindo a Eq. 1 em Eq. 2 temos:

Eq.3:

𝑑𝑄

𝑑𝑡 = 𝑘

𝜕2_𝑇

𝜕𝑥2(𝑆𝑑𝑥)

Onde 𝐽𝑒 é a quantidade de calor que entra, 𝐽𝑠 é

a quantidade de calor que sai e S é a área da seção transversal. De acordo com a calorimetria a quantidade de calor absorvida pela barra é:

𝑄 = 𝑚𝑐𝛥𝑇

Onde m é massa da região delimitada e c o calor específico. Com algumas manipulações a equação fica: Eq.4:

𝑑𝑄

𝑑𝑡 = 𝜌𝑐

𝜕𝑇 𝜕𝑡(𝑆𝑑𝑥) Substituindo a Eq. 3 em Eq. 4 temos:

𝜌𝑐𝜕𝑇 𝜕𝑡(𝑆𝑑𝑥) = 𝑘 𝜕2_𝑇 𝜕𝑥2(𝑆𝑑𝑥) Eq.5: 𝜕𝑇 𝜕𝑡= 𝛼 𝜕2_𝑇 𝜕𝑥2 ∴ 𝛼 = 𝑘 𝜌𝑐

Onde a Eq. 5 é equação do calor e𝛼 é a difusividade térmica medida em (𝑚2

𝑠).

2.2 Método das diferenças finitas

O método das diferenças finitas consiste em discretizar o domínio e a imagem da função de tal forma a transformar a equação diferencial em um sistema linear. Para fazer isso é necessário rever o conceito de derivada. Formalmente a derivada é definida como:

𝑑𝜑 𝑑𝑥(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚∆𝑥→+∞ 𝜑(𝑥+∆𝑥)−𝜑(𝑥) ∆𝑥 ∴ ∆𝑥 = 𝑥𝑛−𝑥0 𝑛

No entanto esse é um procedimento analítico, para realizar a discretização é necessária à utilização de procedimentos numéricos. Para isso basta considerar ∆𝑥 com um elemento finito, temos então que:

𝑑𝜑

𝑑𝑥(𝑥) ≈

𝜑(𝑥 + ∆𝑥) − 𝜑(𝑥) ∆𝑥

Que é comumente chamada de derivada avançada. Mas, existem outras configurações possíveis como:

𝑑𝜑

𝑑𝑥(𝑥) ≈

𝜑(𝑥) − 𝜑(𝑥 − ∆𝑥) ∆𝑥

Que é chamada de derivada atrasada. E também temos: 𝑑𝜑

𝑑𝑥(𝑥) ≈

𝜑(𝑥 + ∆𝑥) − 𝜑(𝑥 − ∆𝑥) 2∆𝑥

Que é chamada de derivada centrada. No entanto, a equação da difusão do calor é fruto de uma derivada de segunda ordem. Para encontrar uma aproximação disso, utiliza-se a série de Taylor da seguinte maneira:

{𝜑(𝑥 + ∆𝑥) ≈ 𝜑(𝑥) + ∆𝑥𝑑𝜑 𝑑𝑥+ ∆𝑥2 2 𝑑2_𝜑 𝑑𝑥2 𝜑(𝑥 − ∆𝑥) ≈ 𝜑(𝑥) − ∆𝑥𝑑𝜑 𝑑𝑥+ ∆𝑥2 2 𝑑2_𝜑 𝑑𝑥2

Onde foi considerado aproximações somente até derivadas de segunda ordem. Somando as duas expressões acima se têm que:

𝑑2_𝜑

𝑑𝑥2≈

𝜑(𝑥 − ∆𝑥) − 2𝜑(𝑥) + 𝜑(𝑥 + ∆𝑥) ∆𝑥2

Adotando agora a seguinte notação: 𝜑(𝑥) = 𝜑𝑖

𝜑(𝑥 + ∆𝑥) = 𝜑𝑖+1

𝜑(𝑥 − ∆𝑥) = 𝜑𝑖−1

E a discretização do domínio fica 𝑥 = 𝑥𝑖= 𝑥0+ 𝑖∆𝑥

Onde i={1,2,...,n-1}. E a partir de um dado PVC pode-se fazer as devidas substituições e organizar os indicies de tal a forma, a montar um o sistema linear. Depois basta resolvê-lo.

3 MATERIAIS E MÉTODOS

1. Inicialmente, foi determinado o modelo de barra condutora de calor a ser tomado como base para demonstrações.

2. De posse de condições previamente definidas, determina-se a equação diferencial correspondente ao modelo escolhido.

3. Foi realizada uma análise matemática para assegurar a convergência dos valores fornecidos pelo método das diferenças finitas.

4. O método foi aplicado a problemas tratando da condução de calor pelo através de uma barra de alumínio.

RESULTADOS E DISCUSSÕES

Foram estudadas duas situações de difusão de calor por barras condutoras, sendo uma delas de alumínio. Esta estará submetida a condições de contorno. Vale ressaltar, que nos cálculos realizados utilizaram-se aproximações de até seis casas decimais.

4.1 Barra de Alumínio Problema

Dado que a difusividade térmica do alumino é igual a 𝛼 = 1𝑐𝑚2

𝑠 calcule a distribuição de

temperatura de uma barra de 30 cm de comprimento com as seguintes condições:

{𝑇0𝑙= 𝑇𝑛𝑙= 0 º𝐶 𝑇𝑖0= 50º𝐶 𝑠𝑒 0 < 𝑥𝑖< 30 𝑛 = 6

Ilustração da barra e das condições de contorno dadas no problema.

Antes de resolver o problema, é necessário discretizar a Equação do calor, mas esta por sua vez, é uma equação de duas variáveis. Para incorporá-la ao método das diferenças finitas basta adicionar mais um índice, que nesse caso será o l e entender que haverá que uma distribuição de temperatura para cada intervalo de tempo. Sendo assim temos:

𝑇(𝑥, 𝑡) => 𝑇(𝑥𝑖, 𝑡𝑙) = 𝑇𝑖𝑙

𝑥𝑖= 𝑥0+ 𝑖∆𝑥

𝑡𝑙= 𝑙∆𝑡

Usando a aproximação para derivada segunda, temos: Eq.6: 𝜕2_𝑇 𝜕𝑥2≈ 𝑇_𝑖−1𝑙 _−2𝑇 𝑖𝑙+ 𝑇𝑖+1𝑙 ∆𝑥2

E utilizando a derivada avançada no tempo, segue que: Eq.7:

𝜕𝑇

𝜕𝑡≈

𝑇𝑖𝑙+1− 𝑇𝑖𝑙

∆𝑡

Agora substituindo a Eq. 6 e a Eq.7 na Eq.5 : 𝑇𝑖𝑙+1− 𝑇𝑖𝑙 ∆𝑡 = 𝛼 𝑇𝑖−1𝑙 −2𝑇𝑖𝑙+ 𝑇𝑖+1𝑙 ∆𝑥2 𝑇_𝑖𝑙+1_{= 𝑇} 𝑖𝑙+ 𝜆(𝑇𝑖−1𝑙 −2𝑇𝑖𝑙+ 𝑇𝑖+1𝑙 ) ∴ 𝜆 = 𝛼 ∆𝑡 ∆𝑥2

Onde 𝜆 é o número de Fourier.

Esta é a forma explicita da discretização da equação do calor, no entanto ela impõe limitações sobre os segmentos ∆𝑥 e ∆𝑡. Devido isso, será utilizada a forma implícita da equação, que consiste em avançar no tempo as derivadas espaciais, deixando a equação assim:

𝑇𝑖𝑙+1= 𝑇𝑖𝑙+ 𝜆(𝑇𝑖−1𝑙+1−2𝑇𝑖𝑙+1+ 𝑇𝑖+1𝑙+1)

−0,2𝑇_𝑖−1𝑙+1_+1,4𝑇

𝑖𝑙+1− 0,2𝑇𝑖+1𝑙+1= 𝑇𝑖𝑙

Desse modo, os segmentos ∆𝑥 e ∆𝑡 são completamente arbitrários.

Agora é necessário fazer uma análise de estabilidade para saber se a equação vai fornecer resultados fisicamente aceitáveis.

Para isso utilizam-se o critério de estabilidade de Von Neumann. Esse critério, diz que os erros (𝜖) associados ao procedimento número também obedece à mesma equação. Então se tem que:

𝜖_𝑖𝑙+1_{= 𝜖}

𝑖𝑙+ 𝜆(𝜖𝑖−1𝑙+1−2𝜖𝑖𝑙+1+ 𝜖𝑖+1𝑙+1)

Logo em seguida, expandindo 𝜖 em uma série de Fourier: 𝜖(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑛−1 𝑖=1 𝑒𝑎𝑡_𝑒𝑗𝑘𝑖𝑥 𝜖_𝑖𝑙_{= 𝑒}𝑎𝑡_𝑒𝑗𝑘𝑖𝑥 𝜖_𝑖+1𝑙+1_{= 𝑒}𝑎(𝑡+∆𝑡)_𝑒𝑗𝑘𝑖(𝑥+∆𝑥)

Definindo amplitude do erro como sendo 𝐺 =𝜖𝑖𝑙+1

𝜖_𝑖𝑙 e para que seja convergente, é necessário que

|𝐺| ≤ 1, isso impede que os erros evoluam com o passar do tempo.

Depois de substituir na equação e fazer algumas manipulações matemáticas, verificasse que:

𝐺 = 𝑒𝑎∆𝑡₌ 1

1 + 𝑠𝑒𝑛2 ₍𝑘𝑖∆𝑥

2 ) ≤ 1

O que garante a estabilidade do método adotado para solução do problema proposto.

Tomando 𝑛 = 6; 𝛥𝑥 = 5𝑐𝑚 𝑒 𝛥𝑡 = 5 𝑠 => 𝜆 = 0,2 −0,2𝑇_𝑖−1𝑙+1_+1,4𝑇 𝑖𝑙+1− 0,2𝑇𝑖+1𝑙+1= 𝑇𝑖𝑙 [1,4 − 0,2 0 0 0 − 0,2 1,4 − 0,2 0 0 0 0 0 − 0,2 0 0 1,4 − 0,2 0 − 0,2 1,4 − 0,2 0 − 0,2 1,4 ]*[𝑇₁𝑙+1 _𝑇 2𝑙+1 𝑇3𝑙+1 𝑇4𝑙+1 𝑇5𝑙+1 ] = [𝑇1𝑙 𝑇2𝑙 𝑇3𝑙 𝑇4𝑙 𝑇5𝑙 ]

Basta agora, resolver o sistema linear para cada valor de l que compreende o tempo desejado, que nesse caso foi de 1 minuto e o método utilizado para a resolução do sistema linear foi o método de Gauss-Jacobi. Os valores estarão contidos no quadro abaixo.

Temperatura em cada segmento da barra (ºC)

tempo (s) 0 cm 5 cm 10 cm 15 cm 20 cm 25 cm 30 cm t = 0 0 50 50 50 50 50 0 t = 5 0 42,701863 48,913043 49,68944 48,913043 42,701863 0 t = 10 0 37,252612 47,258977 48,99502 47,258977 37,252612 0 t = 15 0 33,085104 45,332661 47,948633 45,332661 33,085104 0 t = 20 0 29,817968 43,300257 46,620525 43,300257 29,817968 0 t = 25 0 27,19203 41,254377 45,087339 41,254377 27,19203 0 t = 30 0 25,029401 39,245654 43,418287 39,245654 25,029401 0 t = 35 0 23,206828 37,30079 41,670431 37,30079 23,206828 0 t = 40 0 21,63815 35,432912 39,888283 35,432912 21,63815 0 t = 45 0 20,262605 33,64748 38,105196 33,64748 20,262605 0 t= 50 0 19,036956 31,94567 36,345332 31,94567 19,036956 0 t = 55 0 17,930155 30,326302 34,625609 30,326302 17,930155 0 t = 60 0 16,919674 28,786943 32,957419 28,786943 16,919674 0

Veja o gráfico da (Temperatura) X (comprimento) associado a alguns intervalos de tempo:

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Dessa forma, através de procedimentos

completamente numéricos, foi possível a obtenção de resultados bastante satisfatórios, onde o erro absoluto entre a solução numérica e a solução analítica, não foram obtidos através de uma comparação direta, mas sim pelo critério de estabilidade Von Neumann evidenciando a eficácia do método das diferenças finitas em sua forma implícita.

Esse método pode ser aplicado em outras equações diferenciais. No entanto é interessante utilizá-lo somente em equações diferencias de até segunda ordem, pois, além disso o erro absoluto diverge. Embora a problemática trabalhada nesse artigo envolva somente uma dimensão espacial, ela pode ser expandida para mais dimensões, porque somente pode-se trabalhar em projetos de fornos de termelétricas dentre outras aplicações.

t = 0

t = 10

t = 20

t = 30

t = 40

t = 50

t = 60

REFERÊNCIAS

1.CARUSO, Francisco; OUGI, Vitor. Física Moderna: origens clássicas e fundamentos quânticos. 2ª edição. Rio de Janeiro. Elsevier. 2006.

2.RUGGIERO, Marcia; LOPES, Vera. CÁLCULO NUMÉRICO: Aspectos teóricos e computacionais. 2ª edição. São Paulo. MAKRON. 1996.

3.GOMES, José. CONCEITO DE CALOR: Contexto Histórico e Proposta para Sala de Aula. CAMPINAS GRANDE – PB. 2013.

4.NESTOR, Pablo. Análise de estabilidade de métodos numéricos para modelos lineares de ondas internas. Paraná. 2011.