Introdução ao Matlab e Simulink. E. Morgado Setembro A - usando o Matlab

(1)

Introdução ao Matlab e Simulink

-

Ensaios a realizar durante a sessão no Laboratório

–

E. Morgado – Setembro 2008

Objectivo: Familiarização com algumas capacidades do software MATLAB/Simulink, através da ilustração de conceitos básicos de Sinais, Sistemas e Controlo. São sugeridos os ensaios que a seguir se descrevem

A - usando o Matlab

A.1 -

Sistema de 1ª ordem:

b

s

a

s

H

₁

(

)

Exercício:

concretizar para diferentes valores numéricos de ‘a’ e ‘b’

Simular resposta no tempo e na frequência, observar e interpretar.

A.1.1 - resposta no tempo ao escalão unitário: efeitos da variação dos parâmetros a e b

assinale a frase correcta:

b aumenta rapidez aumenta constante de tempo = b b aumenta rapidez diminui constante de tempo = 1/b ganho estático = ...

A.1.2 - resposta na frequência; largura de banda, relação tempo-frequência

Para os mesmos valores de „a‟ e „b‟ anteriormente escolhidos, obtenha os diagramas de Bode da resposta em frequência e estime o correspondente valor da lagura de banda a -3dB, LB(-3dB).

b aumenta LB(-3dB) aumenta LB(-3dB) aumenta rapidez aumenta b aumenta LB(-3dB) diminui LB(-3dB) aumenta rapidez diminui

A.2 -

Sistema de 2ª ordem:

₂

2 2 2 ) ( n ns s a s H

Exercício

: efeitos da variação dos parâmetros e _n; por simplicidade, faça a = ωn 2

Obter, observar e interpretar o efeito da variação do coeficiente de amortecimento e do módulo dos polos _n: - resposta no tempo ao escalão: i) _n=1 , =0; 0.2; 0.5; 0.707; 1; 2, ii) =0.2 _n=1; 2

- resposta na frequência: iii) _n=1 =0.01; 0.1; 0.707; 0.8; 1

Relacionar as caracterìsticas das respostas no tempo e na frequência com a localização dos polos, em particular a Sobreelevação, a rapidez de extinção do regime transitório (tempo de estabelecimento), e a Ressonância na frequência.

H

1

(s)

H

2

(s)

cálculo dos pólos: roots(den) ou pole(sys) Exemplo: a =1 b =2

>> num=[1]; den=[1 2]; >> sys=tf(num,den) >> step(sys)

>> bode(sys)

(2)

um sistema com apenas 2 polos complexos pode apresentar Sobreelevação na resposta ao escalão e não ter pico de Ressonância na resposta em frequência

um sistema com apenas 2 polos complexos pode apresentar pico de Ressonância na resposta em frequência e não apresentar Sobreelevação na resposta ao escalão

Exercício

:

Suspensão de um automóvel / modelo físico simplificado: sistema massa-mola-atrito/ (Problemas, série 1);

i) Determinar a equação diferencial que relaciona, em torno do ponto de equilíbrio, os deslocamentos xi(t) e xo(t).

ii) Obter a função de transferência Xo(s)/Xi(s) (já indicada)

iii) Seja massa m=1000Kg, elasticidade da mola k=105Nm-1, e coeficiente de atrito b=104Nsm-1 . Observar as respostas no tempo ao escalão/ ver as respostas na frequência/ interpretar. O que será melhor para a comodidade dos passageiros: mola dura ou mola mole ?

(ensaie k=104-106Nm-1)

E qual o efeito do coeficiente de atrito b (ensaie b=103-105Nsm-1) ?

A.3 -

Sistemas com retroacção (como obter a função de transferência da malha fechada no Matlab)

>> sys = feedback(sys1,sys2) for negative feedback

>> sys = feedback(sys1,sys2,+1) for positive feedback

Exemplo

:

>> num=[1];den=[1 1]; >> sys1=tf(num,den); >> num=[1];den=[1 2]; >> sys2=tf(num,den); >> Gcf=feedback(10*sys1,sys2) Transfer function: 10 s + 20 --- s^2 + 3 s + 12 1 Out1 1 s+2 sys2 1 s+1 sys1 10 Gain 1 In1

(3)

B – usando o Simulink

>> simulink

na janela do Simulink Library Browser clicar no botão ‘create a new model’ e fazer drag-and-drop dos blocos necessários

para visualizar as respostas no scope: colocar o bloco ´Scope‟ na saída do sistema (para resposta ao escalão colocar o bloco „Step‟ à entrada)

para visualizar as respostas no workspace: colocar o bloco „Out1‟ na saída do sistema

;

simulation/start , >> plot(tout,yout)

para sobrepôr vários gráficos no workspace

: >>

hold on , ... , >> hold off para obter os valores dos pólos, ou a f.t., da malha fechada, a partir do diagrama Simulink assinalar a entrada e a saída com os blocos „In1‟ e „Out1‟ (não deixar blocos não-conectados !); guardar o diagrama-simulink 'diagr' ;

>> [a,b,c,d]=linmod('diagr');

>> sys=ss(a,b,c,d); (dá as matrizes do modelo de estado)

>> s=tf(sys) (dá a função de transferência)

>> pole(s) >> zero(s)

>> step(s) (para obter a resposta ao escalão)

em alguns casos são gerados pólos que se cancelam com zeros e convém simplificar a função de transferência com o comando "minreal":

>> s=minreal(tf(sys))

B.1 - Exercício

:

efeitos de polo e zero adicionais

(visualizar as respostas no workspace)

1 Out1 1 s+1 Transfer Fcn Step 5 s +2s+52 H(s) 1 In1

(4)

B.2 – Exercício : Sistema em malha fechada - controlo de posição

B.2.1 - Na figura está representado um sistema de controlo de posição angular de uma antena

(Norman S. Nise, Control Systems Engineering, ed. John Wiley & Sons)

Implemente o correspondente diagrama Simulink da figura:

1 Out1 Kp potenciómetro sensor Kp potenciómetro de referência K amplificadores Step 5 s+2 Motor 1 s Integrador 1 In1

No motor eléctrico d.c., a relação entre a tensão de entrada „e‟ e a velocidade angular do eixo „ω „ é em

boa aproximação representada por uma função de transferência de 1ª ordem. Como se pretende

controlar a posição angular ´θ´, existe também no diagrama um bloco integrador.

Por simplicidade, faça Kp = 1.

Obtenha, em simulação, a resposta do sistema ao escalão unitário para diferentes valores

do ganho K. Relacione as respostas observadas com o valor dos polos da malha fechada.

K= 0.2 / 0.3 / 1 / 2 / 5

Nota: para calcular os pólos a partir do diagrama Simulink deverá colocar na entrada do sistema o bloco

„In1‟ e utilizar o comando [a,b,c,d]=linmod('diagr') e seguintes, tal como foi indicado no início da secção B, e obter a resposta no tempo com step( ). Para obter apenas uma simulação mais rápida terá de colocar o bloco „Step‟ na entrada do sistema e fazer simulation/start ... como indicado em B. Para ter acessíveis as duas funcionalidades pode usar o bloco „Sum‟ como indicado no diagrama.

(5)

B.2.2 -

Considere agora que o amplificador é descrito por uma função de transferência de 1ª ordem.

Faça as necessárias modificações no diagrama Simulink

1 Out1 Step 5 s+2 Motor 1 s Integrador 10 s+10 . K amplificadores 1 In1

Verifique, em simulação, que o sistema fica instável para valores de K > Kcrítico 5 Para o valor de K= Kcrítico determine os polos da malha fechada: s1=..., s2=..., s3=...

<

A retroacção pode desestabilizar um sistema >

B.2.3 – Considere agora que se dispunha de um sensor de velocidade angular (taquimetro). Para

tentar estabilizar o sistema vai fazer-se retroacção negativa da velocidade com ganho Kv.

Faça as necessárias modificações no diagrama Simulink

1 Out1 Kv sensor de velocidade Step 5 s+2 Motor 1 s Integrador 10 s+10 . K amplificadores 1 In1

Introdução ao Matlab e Simulink. E. Morgado Setembro A - usando o Matlab