MATEMÁTICA - 3 o ANO MÓDULO 44 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

MATEMÁTICA - 3

_ANO

MÓDULO 44

RELAÇÕES MÉTRICAS

NO TRIÂNGULO

A

C

b

c

a

m

n

h

B

D

A

A

A

b

c

b

h

h

c

Como pode cair no enem

(ENEM) Quatro estações distribuidoras de energia A, B, C e D estão dispostas como vérti-ces de um quadrado de 40 km de lado. Deseja-se construir uma estação central que seja ao mesmo tempo equidistante das estações A e B e da estrada (reta) que liga as estações C e D. A nova estação deve ser localizada:

a) no centro do quadrado.

b) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 15 km dessa estrada.

c) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 25 km dessa

estrada.

––

d) no vértice de um triângulo equilátero de base AB,oposto a essa base. e) no ponto médio da estrada que liga as estações A e B.

Como pode cair no enem

(ENEM) Quatro estações distribuidoras de energia A, B, C e D estão dispostas como vérti-ces de um quadrado de 40 km de lado. Deseja-se construir uma estação central que seja ao mesmo tempo equidistante das estações A e B e da estrada (reta) que liga as estações C e D. A nova estação deve ser localizada:

a) no centro do quadrado.

b) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 15 km dessa estrada.

c) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 25 km dessa

estrada.

––

d) no vértice de um triângulo equilátero de base AB,oposto a essa base. e) no ponto médio da estrada que liga as estações A e B.

Fixação

1) (ENEM) Uma empresa de iluminação necessita esticar um cabo de energia provisório do topo de um edifício, cujo formato é um retângulo, a um determinado ponto do solo distante a 6 met-ros, como ilustra a figura a seguir. O comprimento desse cabo de energia, em metmet-ros, será de:

6m

8m Cabo de energia

a) 28 d) 10

b) 14 e) 8

Fixação 2) (ENEM) 90cm 90cm corrimão 24cm 24cm 24cm 24cm 24cm 30cm 30cm

Na figura anterior, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a:

a) 1,8 m b) 1,9 m c) 2,0 m d) 2,1 m e) 2,2 m

Fixação 2) (ENEM) 90cm 90cm corrimão 24cm 24cm 24cm 24cm 24cm 30cm 30cm

Na figura anterior, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a:

a) 1,8 m b) 1,9 m c) 2,0 m d) 2,1 m e) 2,2 m Fixação

3) (UERJ) Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à Matemática, escreveu um poema do qual extraímos o fragmento abaixo:

Às folhas tantas de um livro de Matemática um quociente apaixonou-se um dia doidamente por uma incógnita.

Olhou-a com seu olhar inumerável e vi-a do ápice à base: uma figura ímpar; olhos romboides, boca trapezoide, corpo regular, seios esferoides. Fez da sua vida paralela à dela, até que se encontraram no infinito.

“Quem és tu?” – indagou ele com ânsia radical. “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa.”

(FERNANDES, Millôr. Trinta anos de mim mesmo.)

A incógnita se enganou ao dizer quem era. Para aten- der ao teorema de Pitágoras, deveria dar a seguinte resposta:

a) “Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa”.

b) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa” c) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa”. d) “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa”.

Fixação

4) (UFF) Duas réguas de madeira, MN e PQ, com 8 cm cada, estão ligadas em suas extremidades por dois fios, formando o retângulo MNQP (fig. 1). Mantendo-se fixa a régua MN e girando-se 180° a régua PQ em torno do seu ponto médio, sem alterar os comprimentos dos fios, obtêm-se dois triângulos congruentes MNO e QPO (fig. 2).

Fig 1 Fig 2 8 cm M N P Q 10 cm M N Q O P 8 cm

A distância, em cm, entre as duas réguas, nesta nova posição é: a) 10 b) 5 √3 c) 5 √2 d) 6 e) 5 Fixação

5) (UFF) Um gavião pousou em um tronco de árvore vertical de 5 m de altura, em cuja base há um buraco no qual se abriga um camaleão. Vendo o camaleão no chão a uma distância de 6 m do tronco, o gavião avançou sobre ele, alcançando-o antes que ele conseguisse se esconder no buraco na base do tronco.

Sabendo que os dois se deslocam em linha reta, com a mesma velocidade, determine, em centímetros, a que distância da base o gavião capturou a sua presa. Desconsidere a parte fracionária do resultado, caso exista.

Fixação

4) (UFF) Duas réguas de madeira, MN e PQ, com 8 cm cada, estão ligadas em suas extremidades por dois fios, formando o retângulo MNQP (fig. 1). Mantendo-se fixa a régua MN e girando-se 180° a régua PQ em torno do seu ponto médio, sem alterar os comprimentos dos fios, obtêm-se dois triângulos congruentes MNO e QPO (fig. 2).

Fig 1 Fig 2 8 cm M N P Q 10 cm M N Q O P 8 cm

A distância, em cm, entre as duas réguas, nesta nova posição é: a) 10 b) 5 √3 c) 5 √2 d) 6 e) 5 Fixação

5) (UFF) Um gavião pousou em um tronco de árvore vertical de 5 m de altura, em cuja base há um buraco no qual se abriga um camaleão. Vendo o camaleão no chão a uma distância de 6 m do tronco, o gavião avançou sobre ele, alcançando-o antes que ele conseguisse se esconder no buraco na base do tronco.

Sabendo que os dois se deslocam em linha reta, com a mesma velocidade, determine, em centímetros, a que distância da base o gavião capturou a sua presa. Desconsidere a parte fracionária do resultado, caso exista.

Fixação

6) (UFRRJ) Um navio dista 9 milhas de uma costa marítima retilínea. Um povoado costeiro localiza-se a 15 milhas do navio. Nessa costa, deve ser construída uma estação de rádio que seja equidistante do povoado e do navio. Calcule a distância do povoado à estação de rádio e multiplique o resultado por 8.

Proposto

1) (PUC) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo. A me- _––

dida do segmento EF é: 3 4 F E D C A B a) 0,8 b) 1,4 c) 2,6 d) 3,2 e) 3,8 Fixação

6) (UFRRJ) Um navio dista 9 milhas de uma costa marítima retilínea. Um povoado costeiro localiza-se a 15 milhas do navio. Nessa costa, deve ser construída uma estação de rádio que seja equidistante do povoado e do navio. Calcule a distância do povoado à estação de rádio e multiplique o resultado por 8.

Proposto

2) (UFF) Uma folha de papel em forma de retângulo ––

ABCD é dobrada no segmento EF, de modo que o vértice B coincida com o vertice D, como na figura.

Sabendo-se que as dimensões do retângulo são

––– ––– –––

AB = 8 e BC = 4, determine a medida do segmento EF.

4 cm 8 cm A A D D = B F F E E B C C

Proposto

2) (UFF) Uma folha de papel em forma de retângulo ––

ABCD é dobrada no segmento EF, de modo que o vértice B coincida com o vertice D, como na figura.

Sabendo-se que as dimensões do retângulo são

––– ––– –––

AB = 8 e BC = 4, determine a medida do segmento EF.

4 cm 8 cm A A D D = B F F E E B C C Proposto

3) (UERJ) Dois atletas partem simultaneamente do ponto A, com movimento uniforme, e

che-gam ao mesmo tempo ao ponto C. Um deles segue a trajetória AC, comvelocidade v₁ km/h, e

o outro segue a trajetória ABC, com velocidade v₂ km/h, conforme ilustra a figura abaixo.

A

B C

Sendo a e c, respectivamente, as medidas, em quilômetros, dos catetos BC e BA, podemos afirmar que corresponde a:

a) b) c) d)

Proposto

4) (UFF) As manifestações da Geometria na natureza vêm intrigando muitas pessoas ao longo do tempo.

Nas proporções do corpo humano e na forma da concha do Nautilus, por exemplo, observa-se a chamada “razão áurea”, que pode observa-ser obtida por meio da observa-seguinte construção geométrica:

Q R U

Q M R U

No quadrado PQRS, representado na figura acima, considere M o ponto médio do segmento PS. Construa um círculo com centro em M e raio MR, obtendo o ponto T no prolongamento de

PS. O retângulo de lados PT e QP é áureo e a razão entre esses lados é a razão áurea.

O valor desta razão é: a) √5 + 1 √5 + 1 b) --–––– 2 √5 - 1 c) -–––– 2 d) √5 + 2 e) √5 + 3

Proposto

4) (UFF) As manifestações da Geometria na natureza vêm intrigando muitas pessoas ao longo do tempo.

Nas proporções do corpo humano e na forma da concha do Nautilus, por exemplo, observa-se a chamada “razão áurea”, que pode observa-ser obtida por meio da observa-seguinte construção geométrica:

Q R U

Q M R U

No quadrado PQRS, representado na figura acima, considere M o ponto médio do segmento PS. Construa um círculo com centro em M e raio MR, obtendo o ponto T no prolongamento de

PS. O retângulo de lados PT e QP é áureo e a razão entre esses lados é a razão áurea.

O valor desta razão é: a) √5 + 1 √5 + 1 b) --–––– 2 √5 - 1 c) -–––– 2 Proposto

5) (UFRJ) Um observador (O), do ponto mais alto de um farol, vê a linha do horizonte (L) a uma distância d. Considere h e R a altura do farol e o raio da Terra, respectivamente.

R R L O d h

a) Como R é muito maior que h, pode-se admitir que 2R + h = 2R. Assim, prove, usando a aproximação indicada, que d = √2Rh

b) O raio da Terra tem, aproximadamente, 6300 km. Usan-do a fórmula do item a, calcule a distância (d) do horizonte, quando o observador está a uma altura h = 35m.

Proposto

6) (PUC) Seja ABCD um retângulo e P um ponto no –– ––

interior desse retângulo, tal que AP = 3 cm, BP = 4 cm e ––

Proposto

6) (PUC) Seja ABCD um retângulo e P um ponto no –– ––

interior desse retângulo, tal que AP = 3 cm, BP = 4 cm e –– CP = 5 cm. Calcule DP. Proposto 7) (UERJ) X A O P Q B

No esquema acima estão representadas as trajetórias de dois atletas que, partindo do ponto X, passam simultaneamente pelo ponto A e rumam para o ponto B por caminhos diferentes, com velocidades iguais e constantes. Um deles segue a trajetória de uma semicircunferência de centro o e raio 2R. O outro percorre duas semicircunferências cujos centros são P e Q.

Considerando √2 = 1,4, quando um dos atletas tiver percorrido 3/4 do seu trajeto de A para B, a distância entre eles será igual a:

a) 0,4 R b) 0,6 R c) 0,8 R d) 1,0 R

Proposto

8) (UFF) Considere a figura a seguir:

R S P N U I Q M

Os triângulos NST e QRU são triângulos isósceles e ––

congruentes. Se a medida do segmento NT é igual a 2 cm ––

e se a medida do segmento RS é igual a 1 cm, determine a área do retângulo MNPQ.

Proposto

8) (UFF) Considere a figura a seguir:

R S P N U I Q M

Os triângulos NST e QRU são triângulos isósceles e ––

congruentes. Se a medida do segmento NT é igual a 2 cm ––

e se a medida do segmento RS é igual a 1 cm, determine a área do retângulo MNPQ.

Proposto

9) (UFRJ) Uma prateleira de um metro de comprimento e 4,4 cm de espessura deve ser en-caixada entre duas paredes planas e paralelas. Por razões operacionais, a prateleira deve ser colocada enviesada (inclinada), para depois ser girada até a posição final, como indica a figura:

Se a distância entre as paredes é de um metro e um milímetro, é possível encaixar a prateleira?