NÚMEROS COMPLEXOS. Definimos a unidade imaginária j, como sendo um número não real de tal forma que: PROPRIEDADES:

NÚMEROS COMPLEXOS

INTRODUÇÃO: Os números complexos foram desenvolvidos pelo matemático K. Gauss, a partir dos estudos da transformação de Laplace, com o único objetivo de solucionar problemas em circuitos elétricos.

CONSIDERAÇÃO INICIAL:

• DEFI NIÇÃO FUNDAMENTAL: UNIDADE I MAGINÁRIA “j”

Definimos a unidade imaginária “j” , como sendo um número não real de tal forma que: 1 j2 − = PROPRIEDADES: j0 _{= 1 ;} j1 _{= j ;} j2 _{= -1 (por definição) ;} j3 _{= j}2 _{x j = -1 x j = -j ;} j4 _{= j}2 _{x j}2 _{= ( -1) x ( -1) = 1 ;} j5 _{= j}4 _{x j}1 _{= 1 x j = j ;} j6 _{= j}4 _{x j}2 _{= 1 x (-1) = -1 ;} j7 _{= j}4 _{x j}3 _{= 1 x (-j ) = -j}

CONCLUSÃO: (com N inteiro)

j4 N _{= 1 ; j}4 N + 1 _{= j ; j}4 N + 2 _{= -1 ; j}4 N + 3 _{= -j}

1 - CONCEITO BÁSICO:

DEFINIÇÃO FUNDAMENTAL: NÚMERO COMPLEXO “Z ” •

Definimos número complexo ( Indicado por “Z ” ) como sendo qualquer número • que possa ser colocado na seguinte forma:

b j a

Z = +

Onde : a é Denominado de Coeficiente Real e b é denominado de Coeficiente Imaginário.

Note-se então que um número complexo é definido por um par de valores, ao passo que um número real é definido por um único valor ; o que nos faz concluir que se um número real é um ponto numa reta ordenada, um número complexo será um ponto num plano imaginário. Visualizando:

Pelo acima exposto, podemos concluir que :

a) Não existe sentido na comparação de dois Números Complexos, já que os mesmos não podem ser entendidos como pontos numa reta orientada, mas sim como pontos de um plano Imaginário;

b) Números Complexos devem ser entendidos como ferramentas da matemática pura , sendo números não Reais ; razão pela qual não existe sentido em atribuir uma unidade aos mesmos

2 - NOTAÇÕES DE UM NÚMERO COMPLEXO: Como já explicado, um par de valores se faz necessário, para a determinação de um número complexo; poderemos ter este par de valores em coordenadas cartesianas, ou em coordenadas polar es. Em Co orde nad a s cartes iana s, nec e ssitaremo s do par d e valores “a” e “b” , para localizarmos um complexo. Em coordenadas polares necessitaremos de um ângulo αααα ( Med id o p ela co nvenç ão d o c ircu lo trigonométrico) e de um Comprimento llll (Que será a distância do número complexo até a origem do sistema de Coordenadas) Visualizando:

a) Coordenadas Cartesianas b) Coordenadas Polares

-1 -2 0 1 2 Im Re Re ia Ib

Número Real Número Complexo

Im Im

Re Re

ia Ib

Número

Complexo Número Complexo

i

α

il

Pelo fato do comprimento “llll” ser um número real essencialmente positivo, costumamos denominar o mesmo de “módulo do número complexo”, e ainda costumamos denominar o ângulo αααα de “f ase do número c omple xo” . No noss o curso utilizaremos a notação de Kennelly, ou seja:

•

Z = M ' α (Lê-se: “Módulo” , “Fase α” )

Que deve ser assim interpretada para caracterizar um número complexo: O ângulo ααα med ido a partir do eixo rea l com o s entido anti – horár io e o α comprimento l l l l = M ; Visualizando a seguir :

a) Coordenadas Cartesianas b) Coordenadas Polares ou Retangulares (Notação de Kennelly)

Im Im Re Re ia Ib i

α

i

α

Z = a + jb

.

.

M Z =

Nota: Embora os Números Complexos não sejam vetores (mas sim Fasores) eles possuem algumas propriedades vetoriais, razão pela qual é usual apresentarmos o seu módulo como sendo um vetor orientado da origem até o pont o: i

α

.

M Z = Im Re i

α

3 - TRANSFORMAÇÕES DE UM NÚMERO COMPLEXO DE UM SISTEMA DE COORDENADAS PARA OUTRO:

a) Transformação de um Número Complexo dado em Coordenadas Cartesianas para Coordenadas Polares:

Sendo dado um Número Complexo da forma : Z = a + jb •

• Constru ir o s eu es bo ço g ráf ico; Note q ue af ora os eixos pr in cip ais s omente existem quatro possibilidades:

1a _{: 2}a _: Im _Im Re _Re ia ia Ib Ib Iβ Iα Iβ Iα

.

.

Z Z Ia > 0 Ia < 0 Ib > 0 Ib > 0 3a _{: 4}a _: Im Im Re Re ia ia Ib Ib Iβ Iβ Iα _Iα

.

Z Ia < 0 Ia > 0 Ib < 0 Ib < 0

• Determine: M = a2 + b2 para qualquer uma das quatro possibilidades (Teorema de Pitágoras) . Note que os sinais de “a” e de “b” não tem a mínima importância na determinação deste módulo

• Determ ine β (Menor âng ulo f orm ado com o eixo R ea l) : β =arctg a

b _{; Note} que em qualquer uma das possibilidade acima: 0 < β < 900

• Determ ine α (Âng ulo do n0 complexo), por mera inspeção visual do gráfico; por exemplo, na 1a _{possibilidade: α = β ; na 2}a _{: α = 180}0 _{- β ;} na 3a _{: α = 180}0 _{+ β ; na 4}a _{: α = 360}0 _{- β , ou simplesmente:} α = - β

• Escre va e ntão o N0 complexo na forma polar: •

b) Transformação de um Número Complexo dado em Coordenadas Polares Coordenadas para Cartesianas:

Sendo dado um Número Complexo da forma : Z = M ' α , recomenda-se: •

• Constru ir o s eu es bo ço g ráf ico; Note q ue af ora os eixos pr in cip ais s om ente existem quatro possibilidades:

1a _{: 2}a _: Im _Im Re _Re ia ia Ib Ib Iβ Iα Iβ Iα

.

.

Z Z 0 < < 90α 0 ₉₀0 _{< < 180α} 0 3a _{: 4}a _: Im Im Re Re ia Ib Ib Iβ Iβ Iα _Iα

.

Z 1800 _{< < 270α} 0 2700 _{< < 360α} 0

• Determ ine β (Menor âng ulo f orm ado com o eixo Re al) ; O bser ve q ue em qualquer caso: 0 < β < 900 _{. Note que na 1}a _{possibilidade β = α ; na} 2a _{: β = 180}0 _{- α ; na 3}a _{: β = α - 180}0 _{; na 4}a _{: β = 360}0 _{- α,} ou simplesmente: β = - α

• Q ualq uer q ue seja o caso an alis ado, d ete rm ine: a = M . cos β ; b = M . sen β

• Determ ine os s in ais de “a” e de “b” pela sim p les ins pe ção visua l do gráfico. Observe por exemplo que no 10 _{caso temos: a > 0 e b > 0 ; já no} 20 _{caso tem-se: a < 0 e b > 0 ; no 3}0 _{caso tem-se: a < 0 e b < 0, e} finalmente no 40 _{caso tem-se: a > 0 e b < 0.}

Escreva o N0 _{complexo na forma cartesiana: Z = M ' α = a + jb} •

4 - NOTAÇÃO DE EULER: Embora tal notação não seja muito usual, a mesma torna-se imprescindível, na demonstração de propriedades fundamentais dos Números Complexos . Demonstra-se pela teoria das séries que :

ϕ + ϕ = ϕ _{cos jsen} ej

Suponhamos então agora que temos um Número Complexo da forma Z = M ' α • ; vamos proceder à representação do mesmo em coordenadas cartesianas:

Im Re i

α

.

Z Ia = M .cos α M.sen α b =

Nestas condições podemos escrever que: Z = a + jb = M.cosα + j.M.senα •

ou ainda: Z = M . ( cosα + j senα ) ∴ • Z = M ' α = M . e• j α

PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS :

a) Negativo de um Número complexo: Citamos anteriormente que os Números Complexos não são vetores mas que possuem algumas propriedades vetoriais ,

particularmente para soma e subtração . Visualizemos então o diagrama Fasorial de : M ' α e - M ' α ; teremos:

i i

α

α

M M Im Re Iα Iα+ 1 80 0 Iα−18 00

-Pela mera observação do diagrama acima : M ' α = M ' α ± 180°

b) Número Complexo Conjugado:

• Na forma Cartes ian a : Sendo dad o •

Z na forma: Z = a + jb, define-se como • sendo Z•* o Número Complexo Conjugado de Z , como sendo: • Z•* = a - jb

• Na forma Po lar : Se ndo d ado •

Z na forma: Z = M ' α , define-se como sendo • *

Z• o Número Complexo Conjugado de Z , como sendo: • Z•* = M '- α Em Coordenadas Cartesianas: Em Coordenadas polares:

Im Im Re Re ia Ib I-b Iα - α

.

.

.

.

Z = a + jb Z = M α Z = M - α Z = a - jb* *

OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS

1) Adição e subtração:

Recomendamos que tais operações sejam feitas na forma cartesiana; entretanto, também, poderão ser executadas na forma polar, como veremos a seguir.

1.1) Adição

Sendo dados: &

Z1 = a1 + j.b1 ; e Z& 2 = a2 + j.b2 Teremos : & Za = Z& 1 +Z& 2 = (a1 + j.b1) + (a2 + j.b2) = (a1+a2)+j.(b1+b2) sendo: a = a1+a2 e b = b1+b2 ⇒ Z& a = a + j.b

onde notamos que Z& a é um novo complexo cujo “a”(parte real) vale a1+a2; e cujo “b”(parte imaginária) vale b1+b2 .

1.2) Subtração temos ainda :

&

Zs = Z& 1 - Z& 2 = (a1 + j. b1) - (a2 +j.b2) = (a1 - a2) + j. (b1 - b2). = a + j.b

onde notamos que Z& s é um novo complexo cujo “a” (parte real) vale a1 - a2; e cujo “b” (parte imaginária) vale b1 - b2.

Se, porventura, forem dados dois números complexo na forma polar temos duas opções :

Dados : Z& 1 = | Z& 1| ' θ1 Z& 2 = |Z& 2| ' θ2

10_{) Convertemos cada um dos complexos para a forma cartesiana e} executamos a adição ou a subtração como anteriormente explicado, e transformamos novamente o complexo obtido em coordenadas para polares, se for necessário.

20_{) Considerando-se que os números complexos possuem algumas} propriedades vetoriais (no que se diz a respeito à adição e a subtração basicamente.), podemos obter a soma e a diferença das mesmas pela aplicação das propriedades da análise vetorial.

2) Produto e Quociente : 2.1) Produto:

O produto de dois números complexos poderá ser executado na forma polar, como na forma cartesiana, dependendo da conveniência.

Sendo dados : Z& 1 = a1 + j.b1 e Z& 2 = a2 + j.b2 Temos : & Zp = & Z1 • & Z2 = (a1 + j.b1) (a2 + j.b2) = a1a2 + j a1b2 + j a2b1 - b1b2

Onde notamos que Z& p é um novo complexo cujo “a ”(parte real) vale (a1a2 - b1b2) e cujo “b” (parte imaginária) vale (a1b2 +a2b 1).

ainda temos : &

Zp = a1a2 - b1b2 +j (a1b2 + a2b1) Entretanto, se forem dados : Z& 1 = |

&

Z1| ' θ1 Z& 2 = |Z& 2| ' θ2

Teremos: Z& p = Z& 1 • Z& 2 = |Z& 1| ' θ1 • |Z& 2| ' θ2 = |Z& 1| • |Z& 2| ' θ1 + θ2 sendo: |Z& p| = |Z& 1| • |Z& 2| e

θ

P =

θ

1 +

θ

2 ⇒ Z& p = |Z& p| ' θp Conclusão :

Para multiplicarmos dois números complexos dados em coordenadas polares, o módulo do número complexo resultante, será dado pelo produto dos módulos de cada um dos respectivos complexos, e a fase do número complexo resultante será obtida pela soma das fases de cada número complexo do produto.

2.2) Quociente:

O quociente de dois números complexos pode ser executada tanto na forma cartesiana, como na forma polar, analogamente ao produto, dependendo da conveniência. Sendo dados: & Z1 =  & Z1 ' α1 & Z2 = Z& 2' α2 Temos :

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Q=

=

∠

∠

=

∠

− ∠

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2

α

α

α

α

Conclusão : Para dividirmos dois números complexos dados em coordenadas polares, o módulo do número complexo resultante será obtido pelo quociente dos módulos de cada um dos respectivos complexos, e a fase do número complexo resultante será obtida pela diferença das fases de cada número complexo do quociente.

Entretanto, se forem dados: Z1 = a1+j.b1 Z2 = a2+j.b2 e for pedido : ZQ a j b a j b = + + 1 1 2 2 .

. poderemos proceder de duas maneiras a

saber:

1- Convertemos Z1 e Z2 para coordenadas polares e executemos o quociente como exposto anteriormente.

2- Podemos calcular ZQ a j b a j b = + + 1 1 2 2 .

. a partir do seguinte artifício:

multiplicaremos o numerador eo denominador de ZQ por a2- .j b2;

Como foi anteriormente mencionado, a resolução de um quociente em coordenadas cartesianas, torna-se um tanto artificiosa, não sendo recomendada, salvo em casos excepcionais.

3) Outras operações: potenciação, radiciação e número complexo conjugado

3.1) Potenciação

Sendo Z& = |Z& | '

α

, temos :

(

Z&

)

n =

(

|Z& | '

α

)

n = |Z& |n ' n

.

α

3.2) Radiciação

Sendo Z& = |Z& | '

α

, temos : n

(

Z&

)

= n

(

| Z& | '

α

)

= n

(

|Z& |

)

'

α/

n ou:

(

Z&

)

1/n =

(

|Z& | '

α

)

1/n = |Z& |1/n '

α/

n

3.3) Número complexo conjugado

Dado um número complexo na forma Z& = |Z& | |

α

, definimos como sendo o seu número complexo conjugado Z&

*

, um número complexo que tenha o mesmo módulo e fase simétrica em relação ao eixo real, ou seja:

se Z& = |Z& | '

α

⇒ Z&

*

= |Z& | '

-α

Pelo diagrama, notamos: