Sistemas de Filippov em variedades tridimensionais

Campinas

Instituto deMatemáti a,Estatísti a e Computação Cientí a

Departamento de Matemáti a

Tese de Doutorado

Sistemas de Filippov em Variedades

Tridimensionais

por

Durval José Tonon

DoutoradoemMatemáti a - Campinas-SP

Orientador: Prof. Dr. Mar o Antonio Teixeira

Campinas-Março de 2010.

Este trabalho ontou om apoio nan eiro daFAPESP, pro esso n

◦

Sistemas de Filippov em Variedades Tridimensiona

i

Banca

examinadora

.

Prof.

Dr. Marco Antonio Teixeira.

Profa. Dra. Kettv Abaroa de Rezende.

Prof.

Dr. Mario .Jorr;e

Carneiro.

Prof. Dr. Paulo Ricardo da Silva.

Prof. Dr. Ronaldo Alves Garcia.

Este

exemplar corTesponde à redação

final da tese devidamente corrigida

e

defendida

por

Dur

v

al

Jo

sé

Tonon

e

aprovada pela comissão julgadora.

Campinas.

22

de Março de

2010.

Prof. Dr.

Tese

apresentada ao Instituto de

:\[aternática.

Estatíst

i

ca e Comp

u

tação

Científica.

UN

I

CAMP como requisito

1

>arctal

para obtenção do títu

l

o de

FICHA CA TALOGRÁFICA ELABORADA PELA

BIBLIOTECA DO IMECC DA

UNICAMP

Bibliotecária: Miriam Cristina Alves-

CRB8

I

5089

Tonon,

Durval Jo

sé

T61 s

Sistemas

de

Filippov

em var

i

e

dades

tridimensionais/Durval José

Tonon-- Campinas,

[S.P.

: s.n

.

],

2010.

Orientador

:

Marco Antonio Teixeira

Tese (doutorado)

-

Universidade

Estadual de

Campinas,

In

s

tituto

de

Matemática,

Esta

tística

e

Computação Científica.

I.

Sistemas

dinâmicos. 2.

Campos vetoriais. 3. Sistemas

de

Filippov

.

4

.

Estabilidade estrutural. 5

.

Estabilidade

.

I.

Teixeira

,

Marco

Antonio

.

11

.

Universidade Estadual

de

Campinas.

Instituto de

Matemática

,

Esta

tística

e

Computação Científica.

III.

T

ítulo.

Título

em

ingl

ês:

Filippov systems

in tridimensional manifolds

Palavras-chave em

inglês

(Keywords):

Dynamical

sys

tem

s.

2. Vector fields. 3

.

F

ilippov

systems

.

4.

Strucutural stability

.

5

.

Stability

.

Área

de

concentração: Sistemas

din

â

micos

Titulação:

Doutor

em Matemática

Banca examinadora: Prof

.

Dr.

Marco Antonio

Teixeira

(IMECC-UNICAMP)

Profa

.

Dra

.

Ketty

Abaroa

de Rezende

(IMECC-UNICAMP)

Prof

.

Dr. Ronaldo

Garcia (IME-UFG)

Prof.

Dr.

Paulo Ricardo

da

Silva (IBII.CE-UNESP)

Prof.

Dr.

Mario

Jorge

Carneiro (UFMG)

Data

da

defesa

:

17

/

03

/

20

I

O

Tese de Doutorado defendida em 17 de março de 2010 e aprovada

Pela Banca Examinadora composta pelos Profs. Drs.

Prof(a). Dr(a).

Prof(a). Dr(a).

TY ABAROA DE

-

. ZENDE

Prof(a). Dr(a). RONALDO ALVES GAR

C

IA

Prof(a). Dr(a). PAULO RICARDO DA SILVA

À minha família, minha

Se

Se és apazdemantertua alma,quando,

todomundoao redorjá aperdeue te ulpa.

De rerem tiquandoestão todosduvidando,

e para essesnoentanto a har umades ulpa.

Se és apazdeesperarsem tedesesperares,

ou,enganado, nãomentirao mentiroso.

Ou, sendoodiado, sempreao ódio te esquivares,

e nãopare er bom demais,nem pretensioso.

Se és apazdepensar- sem quea issosóteatires,

de sonhar- sem fazerdossonhosteus senhores.

Se,en ontrando aDesgraça eo Triunfo, onseguires,

tratar damesma formaa essesdoisimpostores.

Se és apazdesofrer a dor devermudadas,

emarmadilhasasverdadesquedisseste.

Eas oisas, por que destea vidaestraçalhadas,

e refazê-las omobempou o que te reste.

Se és apazdearris ar numaúni aparada,

tudo quanto ganhaste emtoda atua vida.

Eperdere,ao perder, semnun a dizernada,

resignado, tornarao ponto de partida.

Deforçar oração, nervos, mús ulos, tudo,

a darseja oquefor queneles aindaexiste.

Ea persistir assimquando, exausto, ontudo,

resta avontadeemti, queainda te ordena: Persiste!

Se és apazde,entrea plebe,não te orromperes,

e,entreReis,não perder anaturalidade.

Ede amigos, querbons,quer maus,te defenderes,

seatodospodes serde algumautilidade.

Se és apazdedar, segundopor segundo,

ao minuto fatal todo valore brilho.

Tua é aTerra omtudo o queexiste nomundo,

e -o queaindaé muito mais-és umHomem, meulho!

Aprendi durante esse período de doutorado que em alguns momentos de nossa vida a

úni a forçaque nos moveé avontade de perseverar. É porissoqueaquiagradeço aDeus

porme on eber todos os meios para on luir mais essa etapa de minhavida.

Muitas pessoas ontribuíram para que eu estivesse apto a es rever essa tese. Infeliz

mentenão poderei itar todas, ontudo gostariade agrade er algumas delas.

AoMar o pora reditarem minhas apa idades,pelapa iên ia,porme orientarnesse

doutorado, pela ompreensão duranteesses três anos dodoutorado, muito obrigado!

Aos professores e fun ionários do IMECC pelos ensinamentos e por tornarem os

trâmitesburo ráti os maissimples.

Aos professores daUNESP de São José doRioPreto, em espe ial aoClaudioBuzzi e

ao Paulo Ri ardo pelaatenção om que sempre me atendem.

Aosmeus pais,DurvalTonon eApare idaBatistaTonon,peloapoio,amor,porse

sa- ri aremfazendodetudoparamepropor ionarasoportunidadesquenun ativeram. Por

me ensinaremtodasaslições,asvezes omlágrimasnosolhos,para queme transformasse

em um homemde aráter. Com palavras somente posso dizer: muito obrigado!

Àminha irmã Néiae minha tiaWandira muito obrigadopelo arinhoe atenção.

Aos meus avós(inmemorian) José Tonon eZuleikaCorrêa Tonon.

À Izilda, João, Laira e Thalissa por me a olherem no omeço dessa jornada. Muito

obrigado!

Aomeu diretoreamigoprofessor AmaralCrepaldiFilhopelos seus sábios onselhos e

porenxergarem nós qualidadese apa idades quedes onhe íamos.

À minha noiva Nadia por sempre estar ao meu lado e ser uma ompanheira

Ao pessoal do predinho e aos amigos do IMECC por tornarem nosso ambiente de

trabalho mais agradável e um pou o menos áspero, em espe ial ao Lino, Luis Almeida,

Anderson D'uazeite, Ri ardo, Chorão (Welington), Fernando, Ferraiol, Félix Maranhão,

Biste a (Rodrigo Lambert), Gra, Ariane Bahianese, Janete, Luis Miranda, Casagrande,

Bambila, Dirso, Luix,Ivane Jota.

Nestetrabalhosistemasdinâmi osdes ontínuosemvariedadestridimensionaissãoestuda

dos. Des revemosuma lassedetaissistemasquesão lo almenteestruturalmenteestáveis

em uma vizinhançade uma singularidadetípi a. Exibimos nessa etapa uma sub-família

de amposdo tipodobra-dobraque éestruturalmenteestável. Introduzimosos on eitos

de A e L-estabilidade, que são pequenas generalizações dos on eitos lássi os de esta

bilidade assintóti a e estabilidade no sentido de Lyapunov, respe tivamente. Através de

formas normais paraas famíliasde amposdes ontínuos de odimensão zero eum, exibi

mos ossub onjuntos de sistemasdes ontínuos que são A eL-estáveis emuma vizinhança

da origem. Desta amos um dos prin ipais objetos de estudo desse trabalho: a

singu-laridade dobra-dobra aso elípti o (T-singularidade). Dis utimos algumas propriedades

de sua dinâmi a omo a A-estabilidade para ampos do tipo dobra-dobra de odimen

são zero, um e dois. Investigamostambém a presença de alguns invariantes topológi os,

omo separatrizes e famílias de órbitas periódi as. Finalmente, analisamos os hamados

In this work non-smooth dynami al systems in

IR

3

are onsidered. We des ribe a lass

of su h systems that are lo allystru turally stable around a typi al singularity. One of

our ontributions is to exhibit within these lass of fold-foldsystems a sub lass whi h is

stru turalstable. Wealsointrodu ethe on eptofAandL-stabilitywhi hgeneralizesthe

lassi al on ept of asymptoti and Lyapunov stability, respe tively. Usingnormalforms

for families of non smooth dynami alsystems of odimension zero and one we exhibited

subsets ofnon smoothdynami alsystems whi hare A andL-stableina neighborhoodof

the origin. We emphasize that the main obje t of study within this work is the fold-fold

singularityintheellipti al ase(T-singularity). Wedis usssomeofitsdynami al

proper-ties su h as A-stability for odimension zero, one and two systems. We also investigate

the presen e of topologi al invariantssu h asseparatri es and familiesof periodi orbits.

Agrade imentos vii

Resumo ix

Abstra t xi

Introdução 1

1 Con eitos Preliminares 7

1.1 Campos Denidosem Variedades om Bordo . . . 7

1.2 Campos Des ontínuos . . . 13

2 EstabilidadeEstrutural para Sistemas Des ontínuos 23 2.1 Estabilidade Estrutural . . . 23

3 A-Estabilidade 33 3.1 Exemplos eDenições . . . 34

3.2 A-Estabilidade de SistemasDes ontínuos em

Ω

0

. . . 38

3.2.1 Caso Regular-regular

Z

∈ Ω

0

(a)

. . . 38

3.2.2 Caso Dobra-regular

Z

∈ Ω

0

(b)

. . . 39

3.2.3 Caso Cúspide-regular

Z

∈ Ω

0

(c)

. . . 40

3.2.4 Caso Dobra-dobra

Z

∈ Ω

0

(d)

. . . 41

3.3 A-Estabilidade de SistemasDes ontínuos em

Ω

1

. . . 46

3.3.2 Caso Be toBe -regular

Z

0

∈ Ω

1

(a.2)

. . . 49

3.3.3 Caso Dove's tail-regular

Z

0

∈ Ω

1

(a.3)

. . . 51

3.3.4 Caso Dobra-dobra 1-degenerada

Z

0

∈ Ω

1

(b)

. . . 52

3.3.5 Caso Dobra- úspide

Z

0

∈ Ω

1

(c)

. . . 55

3.3.6 Caso Ponto ríti o-regular

Z

0

∈ Ω

1

(d)

. . . 58

3.3.7 Caso Dobra-dobra-sela-nó

Z

0

∈ Ω

1

(e)

. . . 63

3.3.8 Caso Dobra-dobra-nilpotente

Z

0

∈ Ω

1

(f )

. . . 70

4 A-Estabilidade em Sistemas Dobra-dobra Degenerados 73 4.1 A-Estabilidadeem Sistemas dotipo Dobra-dobra . . . 74

5 Propriedades da T-Singularidade 79 5.1 T-singularidadeonde

ϕ

Z

édo TipoSela . . . 80

5.2 Existên iade Separatrizespara T-singularidade . . . 80

5.3 ÓrbitaPseudo Periódi a . . . 82

5.4 Reversibilidade ek- i los para CamposdoTipo Dobra-dobra . . . 85

5.4.1 Perturbaçõesdo ampo

Z

0

R-reversível . . . 88

6 Sistemas om Relê 91 6.1 Análise qualitativade dois sistemas om relê a oplados . . . 92

Nestetrabalhoabordamosalgunsaspe tosqualitativosegeométri osdateoriadesistemas

dinâmi os des ontínuos. Esta teoriatem tido nos últimos anos um grandeavançodevido

a diversos fatores: a estreita relação om outros ramos da iên ia omo a engenharia e

a físi a, a beleza matemáti a e o desao de estabele er de forma onsistente denições e

onvenções.

Nos últimos anos, muitos autores ontribuírampara o desenvolvimento e amadure i

mento do estudo de sistemas Filippov, veja por exemplo, [F, K℄ e para mais referên ias

[T2℄.

Opontobase para oestudo de sistemasdes ontínuos em dimensãotrês foi otrabalho

[S-T1℄deJ.SotomayoreM.A.Teixeiraque onsidera amposdevetoresdenidosem

va-riedades ombordo,denotadopor

χ

. Nestetrabalho,seguindooprogramade Thom-Sma-le,estão ara terizadosos onjuntosde amposestruturalmenteestáveis,

Σ

0

, Σ

1

,relativos a

χ, χ

1

, respe tivamente, onde

χ

1

= χ

− Σ

0

. Contudo o estudo da estabilidade para sistemasdes ontínuos exigeque onsideremosalémdosingredientesen ontradosem

varie-dades ombordooutros provenientes dadinâmi ados ampos

X

e

Y

, omoporexemplo apli ação de primeiro retorno asso iada, ampo deslizante, entre outros, tornando esse

estudo uma fonte profí uade fenmenosinteressantes. Veja [J,Ku-R-G℄, por exemplo.

Oiní iodoestudoda A-estabilidadeem sistemasdes ontínuos foi otrabalhode M.A.

Teixeira [T1 ℄ eposteriormente[T6℄. Neste texto generalizamosos resultadosen ontrados

em [T1, T6℄ sobre a estabilidadeassintóti a. A primeira tentativa de ata ar o problema

sobre a ara terização daestabilidadeassintóti afoi utilizarmoso pro esso de regulariza

ção desenvolvido pelo Mar o Teixeira e por Jorge Sotomayor em [S-T2℄. Contudo esse

de ada um dos ingredientes envolvidos no ampo des ontínuo: apli açãode primeiro re

torno, ampo deslizante, dinâmi a dos ampos

X

e

Y

e o tipo de ontato entre

X, Y

e a variedade de des ontinuidade. Desta forma, generalizaremos os resultados obtidos em

[T1 , T6℄ sobre a estabilidadepara as famíliasde amposde odimensão zero e um.

Umdosobjetivosdessateseéestudaraestabilidadeestruturaldos amposdeFilippov.

Este é um dos problemas mais relevantes na teoria qualitativa das equações diferen iais

ordinárias, visto que nos forne e não só informações sobre a dinâmi a de um sistema

on reto omo também a dinâmi ade todos os sistemas próximos dele.

Expli itaremososhomeomorsmosque onjugamoselementosde adafamíliade am

posde Filippovquesão estruturalmenteestáveis. Em[T1℄ foi ara terizadoum onjunto

aberto de ampos des ontínuos do tipo dobra-dobra que não é estruturalmente estável.

Apresentaremos aqui uma subfamília de ampos do tipo dobra-dobra que é estrutural

menteestável.

Importantes noçõesde estabilidadeparasistemasde Filippovsãoa A-estabilidadeea

L-estabilidadelo al. Maisgeralmente, o on eito de estabilidade signi aque trajetórias

omeçando próximas de um onjunto invariantepermane erãopróximas a esta por todo

tempo.

Introduziremos o on eito de A e L-estabilidade para sistemas Filippov, que são pe

quenas variações dos on eitos de estabilidade assintóti a e da estabilidade no sentido

de Lyapunov, respe tivamente. Realizamos uma pré- lassi ação dos sistemas de odi

mensão

k

, onde

k = 0, 1

e através dessa lassi ação determinamos ondições para que um sistema seja A ou L-estável em uma vizinhança de uma singularidade típi a.

Mais pre isamente, nos on entramos em sistemas do tipo Filippov (veja [F℄) modela

dos por equações diferen iais no

IR

3

ujo onjunto de des ontinuidade é uma superfí ie

2-dimensional

M

. É bem onhe ido que muitos modelos de sistemas des ontínuos (veja [J-C,J,C ,T3,M-T, C-B-F-J℄)quesurgemde problemasemsistemasme âni osouelétri

os o orremem dimensão três generi amente auma famíliade parâmetros,istoé, geram

bifur ações de odimensão um.

Em[B-B-C-K℄éapresentado diversos exemploseapli açõesinteressantes nateoriade

sistemasdes ontínuos.

Os on eitos de A e L-estabilidadedizem que pequenas mudanças na ondição ini ial

não alteram a dinâmi a do sistema. Para ara terizarmos a estabilidade de sistemas de

Filippov

Z = (X, Y )

temos que onsiderar as dinâmi as de

X, Y

, do ampo deslizante

F

Z

asso iado e em alguns asos a dinâmi a da apli açãode primeiro retorno

ϕ

Z

, dando origem auma dinâmi ari a, omplexaque difere em muitos aspe tosdo aso regular.

as de odimensão

k, (k = 0, 1)

de um sistema dinâmi odes ontínuo

Z = (X, Y )

. Desta forma, identi amosas lasses de ampos quesurgem generi amenteem famíliasa

1-pa-râmetro de sistemasdes ontínuos em

IR

3

.

Como já dissemos, em [T1℄ foramdadas ondiçõesne essárias para a estabilidade es

truturalde amposFilippov

Z = (X, Y )

em

IR

3

. Um aso  ousem resposta: onde

X, Y

são dotipo dobra invisívele a apli açãode primeiro retornoé hiperbóli a. A bus a pela

resposta para este aso tem sido objeto de pesquisa atualmente ([J-C, J, C , C-B-F-J℄).

Utilizando as idéias introduzidas em [T1℄ en ontramos di uldades semelhantes para es

tabele er a estabilidade estrutural nos asos dobra-dobra invisível (onde a apli ação de

primeiroretornoédotiposela)edobra-dobrainvisível1-degenerada,asquaissãodenidas

no texto.

Comoo omportamentodeumsistemadeFilippovdotipodobra-dobraaindanãoestá

ompletamente ara terizadoe om intuitode forne er omáximo de informaçãopossível

sobreeste modelo, ara terizamosalgumaspropriedadesde sua dinâmi a omoexistên ia

de separatrizes ( onexão entre os onjuntos de tangên ia) e a A-estabilidade, as quais

poderão ser úteis no estudo da estabilidade estrutural. No trabalho [J-T℄ o on eito de

reversibilidadeparasistemasdes ontínuos édis utido. Usandoesse on eitoexpli itamos

uma famíliade ampos dobra-dobrareversívele investigamosa respeito daexistên ia de

k- i los para essa família, isto é, órbitas de

Z

que inter eptam k vezes a variedade de des ontinuidade

M

antes de fe har.

Muitosfenmenosemme âni a omimpa toesistemaseletrome âni ossãomodelados

porequaçõesqueapresentam des ontinuidadesemum hiperplano. Umadessas lassesde

ampossãoos hamadossistemas om relê,osquaisforamestudadosem [A,B, Z-B℄,por

exemplo. Existem alguns resultados (veja [J-P-T, J-P℄) tratando da análise qualitativa

de sistemas om relê, um dos objetivos desses trabalhos é en ontrar famílias de órbitas

periódi as. Finalizando nosso trabalho, e na tentativa de ontribuirmos nessa análise

qualitativa, onsideramos um modelo om dois sistemas om relê a oplados. A idéia é

respondermos a questão sobre a existên ia de famílias de órbitas periódi as para esse

modelo.

Apresentaremos agora de uma maneira su inta um resumo do onteúdo de ada um

dos apítulos subsequentes.

Introdução Neste apítulo damos uma motivação do problema abordado e

ontex-tualizamos nosso trabalho.

Con eitos PreliminaresIntroduzimosos on eitos primordiais aodesenvolvimento

mensãozero e um, seguindo o programa de Thom-Smale.

Estabilidade Estrutural para Sistemas Des ontínuos Exibimos uma lasse de

ampos de Filippov que é estruturalmenteestável via homeomorsmos

M

−

invariantes e além disso expli itamosasformas normaistopológi aspara ada aso.

A-Estabilidade Neste apítulo, utilizando a pré- lassi ação dos ampos

des ontí-nuosde odimensãozeroeumfeitanoCapítuloCon eitosPreliminares, ara terizamosos

sub onjuntos que são A e L-estáveis (pequenas variaçõesdos on eitos assintoti amente

estável e Lyapunov estável, respe tivamente, para ampos suave). Além disso, quando

possível exibimos para ada aso a apli ação de primeiro retorno asso iada ao ampo

des ontínuo ( omposição dos uxos do ampo

Y

om o uxo do ampo

X

) bem omo a região de retorno.

A-Estabilidade em Sistemas Dobra-dobra Degenerados Atualmente tem tido

um res ente interesseem entendera dinâmi ade uma lasse espe ial de ampos des on

tínuos: ampos

Z = (X, Y )

dotipodobra-dobra. Natentativade ooperarmosde alguma forma nessa linha, onsideramos os ampos dobra-dobrade odimensão zero, um e dois.

Dentro desse onjunto exibiremos os sub onjuntos que são A ou L-estáveis bem omo a

dinâmi adaapli açãode primeiroretorno.

Propriedade da T-Singularidade Considerando a lasse de ampos dobra-dobra

invisíveis, a hamadadobra-dobradistinguida ouT-singularidade,exibimos algumaspro

priedades da sua dinâmi a omo: existên ia de separatrizes, existên ia de órbitas pseu

do-periódi as(veja denição 3.1.2),reversibilidade e existên iade k- i los.

Sistemas omRelêNesse apítulo,trabalhamos omaanálisedeummodelodedois

sistemas om relê a oplados. O objetivo será en ontrar famíliasde órbitas periódi as.

Dentre os resultados obtidos nessa tese, alguns deles mere em um destaque maior,

os quais hamamos de Teoremas A,B,C e o resultado D, que na verdade trata-se de

umasériede proposiçõesqueforne eminformaçõessobreadinâmi aonde

Z

éum ampo des ontínuodotipodobra-dobraelípti o. Apresentemosaseguirdeumamaneirainformal

essesresultados. Aidéiaémostraranossa ontribuiçãoparaodesenvolvimentodateoria.

Teorema A: Exibimos as formas normais topológi as dos sistemas de Filippov que

o orremgeneri amenteemumavariedadetridimensionale ara terizamosossub onjuntos

de amposque são lo almenteestruturalmenteestáveisem

Ω

. Veja página 25.

Teoremas B e C: Considerando os amposde odimensão

k(k = 0, 1)

, des revemos uma lassede amposquesãoAouL-estáveisemumavizinhançadaorigem. OsTeoremas

Resultado D Apresentamos algumaspropriedades do ampo des ontínuo

Z

do tipo dobra-dobra elípti a (T-singularidade) omo: A-estabilidade de

Z

onde a apli ação de primeiro retorno

ϕ

Z

é do tipo sela, proposição 5.1.1, existên ia de separatrizes para

Z

(proposição 5.2.1), não existên ia de pseudo órbitas periódi as e existên ia de famílias

de órbitas periódi as (proposição 5.3.1), reversibilidade (proposição 5.4.1), existên ia so

mentede 1- i los(órbitasperiódi asdeperíodo1)enãoexistên iade

k

- i lospara

k

6= 1

(proposição 5.4.2) e nalmente a não robustez da família de órbitas periódi as 1- i los

(proposição5.4.3).

Finalizando esta tese realizamos um estudo de um modelo para sistemas om relê

a oplados. A idéia desse estudo é exibir famílias de órbitas periódi as, usando pro

CONCEITOS PRELIMINARES

Neste apítulo vamos introduzir alguns on eitos bási os e denições os quais nos serão

úteis no de orrer dotexto.

Comentamos alguns on eitos rela ionados a estabilidade estrutural de ampos de

vetores denidos em variedades om bordo,seguindo a linha dos trabalhos

[

P1

]

e

[

P3

]

de Peixoto em 1959.

Posteriormente introduzimos o on eito de ampos des ontínuos e alguns resultados

preliminares.

1.1 Campos Denidos em Variedades om Bordo

Consideremos

N

uma variedade ompa ta

C

∞

orientávelde dimensão três om fronteira

∂N

. Denotemos por

χ

r

_(n)

o espaço de todos os germes de ampos de vetores de lasse

C

r

em

(IR

n

_{, 0)}

om a topologia

C

r

, onde

r

é grande o su iente para nossos propósitos

e

n = 2, 3

. Para maiores detalhes om relação a estabilidade estrutural de ampos de

vetores denidos em variedades om bordo remetemos o leitor aos trabalhos

[

T4

,

T7

]

. Por simpli idade vamos onsiderar

N

mergulhada em uma variedade tridimensional

N

e

sem fronteira.

Denição 1.1.1 Dois ampos de vetores

Z

e 

Z são ditos germe equivalentes se eles

oin idem em uma vizinhança não vazia de

N

.

As lasses de equivalên iapara esta relaçãode equivalên ia são hamados de germes

de vetores

X

em

N

é por denição um representante da lasse de ampos de vetores tangentes a

N

, denidos em

N

e

. Seja

φ

X

o uxo do representante

X

dos ampos de vetores denidos em um onjunto

D(X) =

{(x, t) ∈ e

N

× IR : t ∈ I

X

}

, onde

I

X

é o intervalo maximal aberto om extremos

α(x)

e

β(x)

ontendo

0 (φ

X

(0, x) = x)

para o

qual

φ

X

(t, x)

∈ N

, para todo

t

∈ I

X

. Podemos ter

α(x), β(x)

innito e o uxo

φ

X

não

depende daparti ular es olhado representante da lasse de ampos.

A órbita

γ(x)

de

X

passando por

x

∈ N

é por denição a imagem de

I

X

pela urva integral

φ

X

(., x) : t

7→ φ

X

(t, x)

. Órbitas são orientadas pela orientação induzidapor essa apli açãovia orientação positivade

I

X

.

O estudo qualitativo de uma equação diferen ial onsiste na des rição geométri a de

seu espaçode órbitas. É então naturalperguntar-se quandoéque doisespaços de órbitas

têm a mesmades rição, ouseja, orresponde a estabele ermos uma relação de equivalên

ia entre equações diferen iais. Uma relação de equivalên ia que exprime a estrutura

geométri a das órbitasé a equivalên iatopológi a.

Denição 1.1.2 Dois ampos de vetores

X, Y

em

N

são ditos topologi amente equi-valentes se existe um homeomorsmo

h : N

→ N

levando órbitas de

X

em órbitas de

Y

, preservando a orientação,isto é, dados

p

∈ N

e

δ > 0

, existe

ε > 0

tal que

0 < t < δ

então

h(φ

X

(t, p)) = φ

Y

(t

′

_{, h(p))}

para algum

0 < t

′

_{< ε}

.

Dizemos que

h

é uma equivalên ia topológi a entre

X

e

Y

. Desta forma, denimos uma relação de equivalên iaem

χ

r

.

Um relação mais forte é a onjugação entre os uxos dos ampos de vetores. Dois

ampos

X

e

Y

sãotopologi amente onjugados seexistirumaequivalên iatopológi a que preservao parâmetro

t

, istoé,

h(φ

X

(t, p)) = φ

Y

(t, h(p))

para todo

p

∈ N

e

t

∈ IR

. Denição 1.1.3 Dizemos que

X

∈ χ

r

é estruturalmente estável em

χ

r

se existe uma vizinhança

B

⊂ χ

r

de

X

tal que para todo

Y

∈ B

é onjugadoa

X

.

Faremos a seguir um resumo dos resultados sobre estabilidade estrutural para

varie-dades de dimensão dois. Sabemos dos trabalhos [P1, P2, P3℄de Peixoto, queo onjunto

dos ampos estruturalmente estáveis em

IR

2

, o qual denotaremos por

Σ

0

(2)

é aberto e denso em

χ

r

₍₂₎

e oin ide om a oleçãode amposde vetores

X

taisque:

Ω

1

:

X

possui todos os pontos ríti os genéri os (hiperbóli os);

Ω

2

:

X

possui todas as trajetórias periódi as genéri as (hiperbóli as);

Ω

4

:

X

não possui trajetórias re orrentes não triviais;

B

1

:

X

possui todos os pontos ríti os nointerior de

N

;

B

2

:

X

possui todas as trajetórias periódi as nointerior de

N

;

B

3

: qualquer trajetória de

X

possui nomáximo um ponto de tangên ia om

∂N

;

B

4

: qualquer separatriz de sela de

X

étransversal a

∂N

;

B

5

: se uma trajetória de

X

é tangente a

∂N

em

p

, temos que o ontato entre essas duas urvasem

p

é de ordem 2;

B

6

: existe nomáximo um número nito de pontos de tangên ia de

X

e

∂N

.

Notrabalho

[

S

]

deSotomayorprova-sequeas ondições

B

1

, . . . , B

5

impli ama ondição

B

6

.

PSfrag repla ements

N

∂N

Figura1.1: Exemplo de ampo estruturalmente estável.

O onjunto limite de uma órbita

γ(p)

de

X

é o onjunto de pontos

y

∈ N

que são pontoslimites dasequên iadaforma

φ

X

(t

n

, p)

om

t

n

→ ω(p)

. Denotamosesse onjunto por

L

+

_(p)

. O onjuntolimitenegativo

L

−

_(p)

édenidodemaneirasimilarpara

t

n

→ α(p)

.

Se

ω(p) < +

∞

, respe tivamente

α(p) >

−∞

, temos

L

+

_(p)

, respe tivamente

L

−

_(p)

é um

úni o ponto

φ

X

(ω(p), p)(φ

X

(α(p), p))

eperten e a

∂N

. Notrabalho

[

T4

]

de Teixeira está provado oseguinte resultado:

Teorema 1.1.1 Para

r > 3

, existe uma

C

r−1

subvariedade

Σ

1

(2)

de odimensão um imersa em

χ

r

₍₂₎

que satisfaz

(a) Σ

1

(2)

é densa em

χ

r

1

(2) = χ

r

(2)

− Σ

0

(2)

, ambos om a topologia relativa;

(b)

Para todo

X

∈ Σ

1

existe uma vizinhança

B

om a topologia de

Σ

1

(2)

tal que para todo

Y

∈ B

é topologi amente equivalente a

X

.

Notação: Vamos denotar a fronteira da variedade ompa ta

N

por

M

, a qual será uma subvariedade ompa ta de

N

.

A seguir, seguindo a linha do trabalho [V℄ de Vishik (1972) denimos os tipos de

ontato genéri o para uma variedade de dimensão

n

.

Observação 1.1.1 Suponhamos que

M

ontém a origem e é dada impli itamente pela imagem inversa

f

−1

₍₀₎

, onde

f : (IR

n

_{, 0)}

→ (IR, 0)

é o germe de uma apli ação

C

∞

que

possui

0

omo valor regular.

Neste ontexto de ampos denidos em variedades de dimensão

n + 1

, onde

n

≥ 1

, denotemospor

Σ

0

(n + 1)

o onjuntodos elementos em

χ(n + 1)

satisfazendo asseguintes ondições:

(1)

(X.f )(0)

6= 0

(

0

é pontoregular de

X

). Neste aso

X

é transversal a

M

em

0

;

(2)

(X.f )(0) = 0

e

(X

2

_{.f )(0) = X.(}

_{∇X.f) 6= 0}

(

0

é um ponto de dobra de

X

); (3)

(X.f )(0) = 0, (X

2

_{.f )(0) = 0}

e

(X

3

_{.f )(0)}

_{6= 0}

e o onjunto

{df(0), d(X.f)(0),

d(X

2

_{.f )(0)}

_}

é linearmenteindependente(

0

éum pontode úspidede

X

);

. . . (n)

(X.f )(0) = (X

2

_{.f )(0) = . . . = (X}

n

_{.f )(0) = 0}

e

(X

n+1

_{.f )(0)}

_{6= 0}

e o onjunto

{df(0), d(X.f)(0), . . . , d(X

n

_{.f )(0)}

_}

é linearmente independente e

0

é um ponto re-gular daapli ação

X.f

|

M

onde

d(.)

denotao operador diferen ial.

PSfrag repla ements

Regular

Dobra

Cúspide

Figura1.2: A lasse

Σ

0

(3)

de amposem variedades om bordo.

Seja

S

X

=

{x ∈ N; f(x) = (X.f)(x) = 0}

o onjunto das

M

−

singularidades de

X

∈ χ(n + 1)

. Generi amentetemos quetodas asdobras onstituem um onjuntoaberto

edensode

S

X

. Notequese

X(0) = 0

então

X /

∈ Σ

0

(n+1)

. O onjuntodas

M

−

bifur ações é ara terizadopor

χ

1

(n + 1) = χ(n + 1)

− Σ

0

(n + 1)

. Vishik em seu trabalho

[

V

]

exibiu as formas normaisdas

M

−

singularidadesde odimensão zero:

Fluxo tubular:

X = (1, 0, . . . , 0)

e

f (x) = x

k+1

PSfrag repla ements

Fluxo tubular

Fronteira plana

M

M

Figura 1.3: Formasnormais de Vishik.

Fronteiraplana:

X = (x

2

, x

3

, . . . , x

k+1

, 1, 0, . . . , 0)

e

f (x) = x

1

,onde

k = 0, 1, . . . , n

−

1

.

Fo alizemosnossaatenção agora nos asos onde adimensão davariedade

N

é2 ou3.

Para

n = 3

, notrabalho

[

S-T1

]

SotomayoreTeixeira estudaramo onjuntode bifur ação

que o orre em

M

. Neste trabalhoesta ara terizadoo onjunto de amposem

χ(3)

que é estruturalmenteestável, denotado por

Σ

0

(3)

.

Teorema 1.1.2 Um ampo

X

∈ χ(3)

é estruturalmente estável se e somente se

(1) X(p)

6= 0,

para todo

p

∈ S

;

(2)

Para toda denição lo al

f

de

S

em

p

, uma das seguintes ondições é satisfeita:

(b.1)

Caso regular:

(X.f )(p)

6= 0

;

(b.2)

Caso dobra:

(X.f )(p) = 0

e

(X

2

_{.f )(p)}

_{6= 0}

;

(b.3)

Caso úspide:

(X.f )(p) = 0 = (X

2

_{.f )(p), (X}

3

_{.f )(p)}

_{6= 0}

eo onjuntodevetores

{df(p), d(X.f)(p), d(X

2

_{.F )(p)}

_}

é linearmenteindependente;

Alémdisso,xando

f (u, v, w) = w

, asformasnormaisdos amposdevetoresem

Σ

0

(3)

são dadas por:

(1)

Caso regular:

X(u, v, w) = (0, 0, 1);

(2)

Caso dobra:

X(u, v, w) = (1, 0, u);

(3)

Caso úspide:

X(u, v, w) = (1, 0, u

2

_{+ v)}

e

Σ

0

(3)

é denso em

χ(3)

.

Observeque

0

éuma

M

-singularidadede odimensãozerose

X

∈ Σ

0

(3)

. Consideremos os onjuntos

χ

1

(3) = χ(3)

− Σ

0

(3)

e

Σ

1

(3)

o onjunto dos ampos de vetores estrutural mente estáveis relativamente a

χ

1

(3)

. Dado

X = (f

1

_{, f}

2

_{, g)}

(i) (f

1

_{(0), f}

2

₍₀₎₎

_{6= (0, 0)}

;

(ii) (f

1

_{(0), f}

2

_{(0)) = (0, 0)}

.

Parao aso

(i)

,todasasformasnormaisestáveisdesingularidadesgenéri aspodemser obtidasdoLema das formasnormais deVishikoqualestá provadoem

[

V

]

. Observemos que o aso

(ii)

não o orre em odimensão

0

. Considere asseguintes denições:

Denição 1.1.4 Dizemosque

X

está em

Σ

1

(a)

⊂ χ

1

(3)

se as seguintes ondições valem:

(1) 0

é um ponto ríti o hiperbóli o (ousingularidade) de

X

;

(2)

os autovalores de

DX(0)

são dois a dois distintos e os autovalores orrespondentes são transversais à

M

em

0

;

(3)

adapar deautovalores omplexosnão onjugadosde

DX(0)

têmpartereal distinta. Denição 1.1.5 Dizemos que

X

está em

Σ

1

(b)

se

X(0)

6= 0, (X.f)(0) = 0 = (X

2

_{.f )(0)}

e vale uma das seguintes ondições:

(b.1) (X

3

_{.f )(0)}

_{6= 0}

, posto

{df(0), d(X.f)(0), d(X

2

_{.f )(0)}

_{} = 2}

e a função

X.f

|

M

têm em

0

um ponto ríti o não degenerado (Morse);

(b.2) (X

3

.f )(0) = 0, (X

4

.f )(0)

6= 0

e

0

é um ponto regular de

X.f

|

M

.

O resultado a seguirestá provado em

[

S-T1

]

e nos forne e as ondiçõesintrínse as de uma ampode odimensão um denido em uma variedade de dimensão três om bordo.

Teorema 1.1.3 As seguintes armações valem

(1) Σ

1

(3) = Σ

1

(a)

S

Σ

1

(b)

;

(2) Σ

1

(3)

é uma subvariedade de odimensão

1

de

χ

1

(3)

;

(3) Σ

1

(3)

é aberto e denso em

χ

1

(3)

na topologia induzida de

χ(3)

.

(4)

Para um onjunto residual de urvas suaves

γ : IR

→ χ(3), γ

inter epta

Σ

1

(3)

transversalmente e

γ

−1

_(χ

2

(3)) =

∅

onde

χ

2

(3) = χ

1

(3)

− Σ

1

(3)

.

Observação 1.1.2 Ressaltamos aqui que todos os resultados e denições não dependem

Denotemospor

H(f )

aHessiana de uma função

f

.

Denição 1.1.6

(1)

Os elementos de

Σ

1

(a)

são lassi ados por:

(a.1.1)

Nó:

X(0) = 0

, os autovalores de

DX(0), λ

j

, j = 1, 2, 3

são reais distintos,

λ

1

λ

j

> 0, j = 2, 3

e os autoespaços são transversais à

M

em

0

;

(a.1.2)

Sela:

X(0) = 0

, os autovalores de

DX(0), λ

j

, j = 1, 2, 3

são reais distintos,

λ

1

λ

j

< 0, j = 2, 3

e os autoespaços são transversais à

M

em

0

;

(a.1.3)

Fo o:

X(0) = 0

,

0

é ponto ríti o hiperbóli o de

X

, os autovalores de

DX(0)

são

λ

12

= a

±bi, λ

3

= c

om

a, b, c

nãonulos,

a

6= c

eosautoespaçostransversais

à

M

em

0

;

(2)

Os elementos de

Σ

1

(b)

são lassi ados por:

(b.1.1)

Lips denido em 1.1.5

(b1)

om

det(H(X.f

|

M

(0))) > 0

, veja gura 1.4;

(b.1.2)

Be to Be denido em 1.1.5

(b1)

om

det(H(X.f

|

M

(0))) < 0

;

(b.1.3)

Dove's tail denido em 1.1.5

(b2)

.

PSfrag repla ements

λ < 0

λ < 0

λ < 0

λ = 0

λ = 0

λ = 0

λ > 0

λ > 0

λ > 0

Be tobe Lips Dove's tail

S

X

S

X

S

X

S

X

S

X

S

X

S

X

S

X

M

M

M

M

M

M

M

M

M

Figura1.4: Oselementos de

Σ

1

(b).

1.2 Campos Des ontínuos

Nestaseçãointroduziremosalgumasdeniçõeseresultadospreliminaresa er adesistemas

des ontínuos, quenosserãoúteis. Seja

f : (IR

3

_{, 0)}

→ IR

umaapli açãode lasse

C

que possui aorigem omo valorregular. Consideremos

Ω(3)

o espaçode todos os germes de amposde vetores

Z

em

(IR

3

_{, 0)}

taisque

Z(q) =











X(q), f (q) > 0

Y (q), f (q) < 0,

onde

f : (IR

3

, 0)

→ IR

é a representação implí ita de

M

,

M

+

_{= f}

−1

_(0,

_∞)

e

M

−

₌

f

−1

₍

_{−∞, 0)}

. Quando es revemos

Z = (X, Y )

estamos assumindo que o ampo

X

está denidoeésuaveem

M

+

e

Y

está denidoeésuaveem

M

−

. Denotamospor

Z(X, Y )

ou simplesmente

Z

quando não tivermos problema de ambiguidade. Consideremos

Ω(3) =

χ(3)

× χ(3)

, om a topologia produto. Órbitas soluções de

Z

sobre os pontos de

M

serão onsideradas através da onvenção de Filippov estabele idas em [F℄, as quaisserão

dis utidas a seguir. A uni idade das soluçõesnão é requerida.

Denição 1.2.1 Dois ampos de vetores

Z

e

Z

e

são

C

0

_M

₋

equivalentes se existe um

homeomorsmo

M

−

invariante

h : IR

3

→ IR

3

que leva órbitas de

Z

em órbitas de 

Z,

preservando a orientação.

Denição 1.2.2 Dizemos que

Z

∈ Ω(3)

é M-estruturalmente estável, ou simplesmente estruturalmente estável, se existe uma vizinhança

U

de

Z

em

Ω(3)

tal que todo

Z

e

∈ U

é

C

0

equivalente a

Z

.

Observação 1.2.1 Sobre a variedade de des ontinuidade podemos deniras soluções de

˙

Z = Z(q)

segundo algumas onvenções,visto que as soluções sobre

M

podem ser

multiva-luadas. Adotaremosaqui a onvenção estabele ida por Gantmaher e Filippov.

Denição 1.2.3 Distinguiremosas seguintes regiões abertas em

M

:

Região de Costura

(SwR)

- Cara terizada por

(X.f )(Y.f ) > 0

, onde

(X.f )(p) =

X(p).

_∇f(p)

. Quando onveniente, denotamos

SwR

↑= {p ∈ M; (X.f)(p) > 0,

(Y.f )(p) > 0

_}

e

SwR

↓= {p ∈ M; (X.f)(p) < 0, (Y.f)(p) < 0}

.

Região de Es ape

(EscR)

- Cara terizada por

(X.f ) > 0

e

(Y.f ) < 0

.

Região de Deslize

(SlR)

- Cara terizada por

(X.f ) < 0

e

(Y.f ) > 0

.

Consideremos

O = SlR ∪ EscR ∪ SwR

, temosque generi amente

O

éaberto edenso em

M

. Observemos que dado

p

∈ O

temos que

X(p)

6= 0

e

Y (p)

6= 0

.

Denição 1.2.4 Na região de deslize deniremoso ampo deslizante

F (X, Y )

asso i

ado a

Z = (X, Y )

da seguintemaneira: se

p

∈ SlR

então

F (X, Y )

denotao one gerado

por

X(p)

e

Y (p)

tangente a

M

, isto é,

F (X, Y ) = m

− p

, onde

m

é o ponto onde o

segmento ligando

p + X(p)

e

p + Y (p)

é tangentea

M

. PSfrag repla ements

M

X

Y

F

Figura1.5: O ampodeslizante

F

Z

.

Observação 1.2.2 Se

p

∈ EscR

então

p

∈ SlR

para

−Z

e assim denimos um ampo de vetores na

EscR

por

F

E

(X, Y ) =

−F (−Z)

. Para ambos os asos, denotemos apenas

por

F (X, Y ) = F (Z)

.

O ampodeslizante

F

Z

é denido omoo ampoobtidoda ombinaçãolinearentre

X

e

Y

,tangentea variedade de des ontinuidade

M

, aqualé dada impli itamentepelaapli ação

f

. Es revermos

F

Z

= (1

− λ)X + λY

juntamente om a ondição

F

Z

.

∇f = 0

, obte mos

λ =

X.

∇f

(X

_{− Y ).∇f}

. Notequenaregiãodedeslizeédenida omoo onjuntodepontos

(x, y, z)

∈ M

tais que

X.

∇f(x, y, z) < 0

e

Y.

∇f(x, y, z) > 0

. Assim,

1

(Y

_{− X)∇f}

> 0

.

Podemos es rever o ampo deslizantedaseguinteforma

F

Z

=

1

(Y

− X)∇f

(Y.

∇f.X − X.∇f.Y ).

Desta forma, o ampo deslizante têm a expressão

F

Z

(x, y) =

1

g(x,y)

G(x, y)

, assim a órbita futura de

p

0

∈ SlR

pelo ampo des ontínuo

Z = (X, Y )

oin ide om a órbita futura do ampo

G = (Y.

∇f.X − X.∇f.Y )

.

Observação 1.2.3 Sexarmos umsistemade oordenadas lo al

(x, y, z)

em

IR

3

em uma

vizinhança de

p

∈ SlR

tal quea apli ação

f : (IR

3

_{, p)}

→ (IR, 0)

é dada por

f (x, y, z) = z

.

Neste sistema de oordenadas temos que a expressão do ampo deslizante é dada por:

(Y

3

_{− X}

3

₎

−1

_(X

1

_Y

3

_{− Y}

1

_X

3

_{, X}

2

_Y

3

_{− Y}

2

_X

3

₎

, onde

X = (X

1

_{, X}

2

_{, X}

3

₎

e

Y = (Y

1

_{, Y}

2

_{, Y}

3

₎

.

O ampodeslizanteétopologi amenteequivalenteao ampo

(X

1

_Y

3

_−Y

1

_X

3

_{, X}

2

_Y

3

_−Y

2

_X

3

₎

,

restrito a região de deslize dada por

Y

3

_{(x, y, z) > 0}

e

X

3

_{(x, y, z) < 0}

F

Z

= F (X, Y ) = (X

1

Y

3

− Y

1

X

3

, X

2

Y

3

− Y

2

X

3

),

(1.1) que pode ser

C

r

estendida a umavizinhança da origem em

M

.

Denição 1.2.5 1- Um ponto

p

é

M

-regular de

Z

se pelo umas das ondições se veri a:

(a) (X.f )(p)(Y.f )(p) > 0(p

_{∈ RC)}

;

(b) (X.f )(p)(Y.f )(p) < 0

mas

det[X, Y ](p)

6= 0

. Neste aso

p

∈ RD

ou

p

∈ RE

masnão é ponto ríti o para

F (Z)

.

PSfrag repla ements

Exemplode ponto regular

Sela (repsulsor)

Figura 1.6: Exemplo de ponto

M

-regular

2- Dizemos que

p

∈ M

é um ponto

M

-singular elementar de

Z = (X, Y )

se uma das ondições é satisfeita:

(a) p

épontodedobrade

Z

. Istosigni aque

p

é pontodedobrade

X

(

(X.f )(p) =

0

e

(X

2

_{.f )(p)}

_{6= 0}

) e regular de

Y

ou vi e-versa,veja gura 1.7;

(b) p

épontode úspidede

Z

. Istosigni aque

p

épontode úspidede

X((X.f )(p)

= 0 = (X

2

_{.f )(p), (X}

3

_{.f )(p)}

_{6= 0}

e

{df(p), d(X.f)(p), d(X

2

_{.f )(p)}

_}

élinearmente

independente) e regular de

Y

ou vi e-versa;

(c) (X.f )(p).(Y.f )(p) < 0, det[X, Y ](p) = 0

mas

d

dt

(det[X, Y ](p))

6= 0

. Esta

ondição é equivalente a

p

ser um ponto ríti o hiperbóli o de

F

Z

. PSfrag repla ements

(a)

(b)

_(c)

Figura 1.7: Alguns exemplos de ampos des ontínuos que são

M

-singulares elementares em uma singularidade típi a.

Na gura 1.7 temos: em

(a)

representa a dinâmi ade um ampo des ontínuoonde a origem é ponto ríti o hiperbóli o para o ampo deslizante

F

Z

, em

(b)

temos um ampo des ontínuodo tipo dobrae em

(c)

representaum ampo des ontínuodo tipo úspide.

Se

p

∈ SlR ∪ EscR

e

X(p), Y (p)

são linearmentedependentes então

p

éponto ríti o de

F

Z

. Neste aso

p

é hamadade pseudo singularidadede

Z

.

Conven ionamosqueaórbita futura de

Z

porum ponto

p

∈ SlR

édada pelaórbita do ampodeslizante

F

Z

por

p

. Seguiremos essa onvenção am de evitarmos fenmenos patológi os desinteressantes para nosso ontexto.

Nossoobjetodetrabalhoseráo onjunto

Ω(3)

de amposdeFilippovdenidosemuma variedadededimensão três,oqualdenotemossomentepor

Ω

. Nadenição seguinte, para simpli armos anotação, falamos que os ampos

X, Y

são regulares, dobras ou úspides em

0

∈ M

. Denimosos seguintes onjuntos:

Denição 1.2.6 Consideremos os onjuntos

Ω

0

(a) =

{Z = (X, Y ); X, Y

são regulares

} (

aso regular-regular

)

;

Ω

0

(b) =

{Z = (X, Y ); X

é dobra e

Y

é regular

(

ou vi e-versa

)

} (

aso dobra-regular

)

;

Ω

0

(c) =

{Z = (X, Y ); X

é úspide e

Y

é regular

(

ou vi e-versa

)

} (

aso úspide-r

e-gular

)

;

Ω

0

(d) =

{Z = (X, Y ); X, Y

são dobras,

S

X

é transversal a

S

Y

, os autovetores de

DF

Z

(0)

são transversais a

S

X

, S

Y

e

0

é ponto ríti o hiperbóli o para

F

Z

} (

aso dobra-dobra

)

. Nesse aso distinguimos os sub onjuntos:

 Caso elípti o:

Ω

0

(d.1) =

{Z ∈ Ω

0

(d); X

2

_{.f (p) < 0}

e

Y

2

_{.f (p) > 0}

_}

. Temos

duastangen ias invisíveis (dobra-dobra invisível);

 Caso parabóli o:

Ω

0

(d.2) =

{Z ∈ Ω

0

(d); X

2

_{.f (p) > 0, Y}

2

_{.f (p) > 0}

ou

X

2

_{.f (p) < 0, Y}

2

_{.f (p) < 0}

_}

(dobra visível-dobra invisível);

 Caso hiperbóli o:

Ω

0

(d.3) =

{Z ∈ Ω

0

(d); X

2

_{.f (p) > 0, Y}

2

_{.f (p) < 0}

_}

(dobra-

dobra visível).

Seja

Ω

0

= Ω

0

(a)

∪ Ω

0

(b)

∪ Ω

0

(c)

∪ Ω

0

(d)

. Segue do teorema 1.1.2 e das ondições de transversalidade que

Ω

0

⊂ Ω

é sub onjunto aberto e denso de

Ω

, relativo a topologia de

Ω

.

Denição 1.2.7 Seja

Z

∈ Ω

0

(d.1)

, dizemos neste aso que

p

é T-singularidade de

Z

. 1

1

Esta nomen latura é em homenagem aM.A. Teixeira que no trabalho [T1℄ de 1990 estudou pela

primeiravez,peloquesabemos,estasingularidadeexibindoalgumaspropriedades omoaL-estabilidade

PSfrag repla ements

X

_X

X

X

Y

Y

Y

Y

M

M

M

M

Caso

d.1

Caso

d.2

Caso

d.2

Caso

d.3

Figura1.8: Tipos de tangen ia.

Re entemente muitos trabalhos visam um entendimento total da dinâmi adesta sin

gularidade [J-C, J, C , C-B-F-J℄. Futuramente dedi aremos um apítulo ao estudo da

T-singularidade. A estabilidade estrutural para a T-singularidadeainda não é onhe ida

ompletamente. No apítulo estabilidade estrutural para sistemas des ontínuos provare

mos que

Ω

0

(i)

para

i = a, b, c

é estruturalmente estável e exibiremos um sub onjunto

de

Ω

0

(d)

que também goza desta propriedade. Apresentemos agora alguns exemplos de sistemasdes ontínuos.

Exemplo 1.2.1 Apresentemos um modelo que pode ser en ontrado na teoria lássi ado

eletromagnetismo,veja por exemplo [A-V-K℄:

¨

x

−

...

x + αsign(x) = 0,

om

α > 0

. Asso iado a estaequaçãotemos os ampos:

X(x, y, z) = (y, z, z + α)

se

x > 0

e

Y (x, y, z) = (y, z, z

− α)

se

x < 0

.

Tomemos

f (x, y, z) = x

. As regiões na variedade de des ontinuidade são dadas por:

SwR

_{↑= {(0, y, z); y > 0}, SwR ↓= {(0, y, z); y < 0}, SlR = ∅ = EscR}

.

Exemplo 1.2.2 Outro exemplo de sistemas des ontínuo são Sistemas om Relê, os

quais são da seguinte forma:

X(x) = A.x + sgn(x)k

, onde

x = (x

1

, . . . , x

n

), A

∈ M

n

e

k = (k

1

, . . . , k

n

)

.

Exemplo 1.2.3 Consideremos o ampo

Z

λ,µ

= (X

λ,µ

, Y

λ,µ

)

onde

X

λ,µ

forne e uma bifur açãodeHopfem

IR

3

e

Y

λ,µ

éregular,sendooparâmetro

λ

responsávelpelodesdobramento da bifur ação de Hopf e

µ

forne e o deslo amento da singularidade:

X

λ,µ

(x + µ, y, z) =

(

_{−y + (x + µ)(λ − ((x + µ)}

2

_{+ y}

2

_{)), x + µ + y(λ}

_{− ((x + µ)}

2

_{+ y}

2

_{)), x + y + z + µ)}

e

PSfrag repla ements

Hopf-Regular

M

N

Figura1.9: Campodes ontínuo Hopf-regular.

Analisando o ampo des ontínuo, obtemos a urva de dobras

c =

{(λ, µ); µy

2

_{+ y +}

µ

3

_{− µλ = 0}}

do ampo

X

λ,µ

. Na gura 1.10 apresentamos o espaço de parâmetros

(λ, µ)

onde damos uma idéia qualitativa de omo a dinâmi ade

Z

λ,µ

varia.

PSfrag repla ements

c

λ

µ

M

M

M

M

M

Espaço de parâmetro

Figura1.10: Espaço de parâmetro para Hopf-regular.

Exemplo 1.2.4 Consideremos as auto-os ilações de um gerador elétri o valvulado om

rederessonanteno ir uitoemgradeouno ir uitoânodo,dadonagura1.11. Modelando

o problema matemati amente, obtemos

X(x, y) = (y,

−x − 2h

1

y)

se

x <

−1

e

Y (x, y) =

(y,

_{−x + 2h}

2

y)

se

x >

−1

. Obtemos o retrato de faseexpli itado na gura 1.12.

Consideremos agora

Ω

e

1

= Ω

− Ω

0

. Denimos o onjunto

Ω

1

de ampos des ontínuos

L

PSfrag repla ements

E

_d

+

i

a

+

−

u

C

M

R

Figura 1.11: Gerador elétri ovalvulado.

PSfrag repla ements

x

x

y

y

−1

−1

0 < h

2

< 1

h

2

> 1

Figura 1.12: Retrato de fase.

Ω

1

(a.1)

−

Lips-regular, istoé, a origem é uma singularidade do tipoLips para o ampo

X

0

e regularpara

Y

0

(vejagura 1.13);

Ω

1

(a.2)

−

Be to Be -regular;

Ω

1

(a.3)

−

Dove's tail-regular;

Ω

1

(b)

−

Dobra-dobra 1-degenerada onde ontato entre os onjuntos de tangên ia

S

X

e

S

Y

é de ordem

2

. Para algumarepresentação

f

de

M

temosque

X

2

0

f (0)

6= Y

0

2

f (0)

. Podemos he arqueessas ondiçõesimpli amqueaorigemépontode sela-nópara

F

Z

e a variedade entral é tangente ( om ontato de ordem dois) a

S

X

e

S

Y

na origem. Para maioresdetalhes veja

[

T3

]

, página 449;

Ω

1

(c)

−

Dobra- úspideonde

S

X

e

S

Y

sãotransversaiseexigimosque

Y

0

X

0

f (0)+X

0

Y

0

f (0)

6=

0

(paraevitarmos pseudosingularidades);

Ω

1

(d)

−

Ponto ríti o-regularaorigemépontoregularde

Y

0

eumponto ríti ohiperbóli o de

X

0

, os autovalores asso iados ao ampo deslizante na origem são dois a dois distintos, osautoespaçossão transversais a

S

X

;

Ω

1

(e)

−

Dobra-dobra-sela-nóaorigemépontode dobrade

X

0

e

Y

0

,

S

X

e

S

Y

sãotransver sais, a origem é um ponto de sela-nó do ampo deslizante

F

Z

, os autoespaços de

DF

Z

(0)

sãotransversaisa

S

X

e

S

Y

,avariedade entralinter eptaaregiãodedeslize;

Ω

1

(f )

−

Dobra-dobra-nilpotente a origem é ponto de dobra de

X

0

e

Y

0

,

S

X

e

S

Y

são transversais, a origem é um ponto ríti o hiperbóli o de

F

Z

, os autovalores de

DF

Z

(0)

são iguais,

DF

Z

(0)

não é diagonalizável e os autoespaços inter eptam a região de deslize.

Ilustramosos elementos de

Ω

1

(i)

nagura 1.13. Notrabalho

[

T3

]

mostra-se que

(i) Ω

1

é uma subvariedade de odimensão um de

Ω

. Além disso, ada sub onjunto

Ω

1

(i)

⊂ Ω

é uma subvariedade de odimensão um, para

i = a, b, c, d, e, f

;

(ii) Ω

1

éabertoe denso em

Ω

e

1

om atopologia induzidade

Ω

.

Com essa notação, vamos ara terizar os sub onjuntos

Ω

0

, Ω

1

de

Ω

. Considere

C

o espaço das apli ações

f : I

→ Ω

de lasse

C

1

om a topologia

C

1

. Introduzimos o

on eito de valorde bifur açãoevalorordinário.

Denição 1.2.8 Seja

I = [

−ε, ε]

um intervalo fe hado. Dizemos que

λ

0

∈ I

é um valor ordinário de

f

se existe uma vizinhança

V

de

λ

0

tal que

f (λ)

é

C

0

equivalente a

f (λ

0

)

para todo

λ

∈ V

. Se

λ

0

não é um valor ordinário então dizemos que é um valor de bifur ação de

f

.

Coma notaçãodadenição anterior, temoso on eito de

C

0

₋

equivalên iaentre apli

ações:

Denição 1.2.9 Dizemos que

f

1

e

f

2

em

C

são

C

0

-equivalentes se existe um home

omorsmo

h : I

→ I

e uma apli ação

H : I

→ Homeo(M)

tal que

H(λ)

é uma

C

0

equivalên iaentre

f

1

(λ)

e

f

2

(h(λ))

.

Observação 1.2.4 Considerando

Z

0

∈ Ω

1

, para ada aso, denotemos seus desdobra mentos por

Ω

e

1

(.) = Ω

1

(.)

× (−ε, ε) ⊂ Ω

, om

ε > 0

. Seja

f (λ) = Z

λ

, o desdobramento universal do ampo des ontínuo

Z

0

. Denotemos por

A

r

a oleção dos elementos

f

∈ C

tais que:

(i) f (I)

_{⊂ Ω}

0

∪ Ω

1

;

(ii) f

é transversal a

Ω

1

em

λ = 0

;

PSfrag repla ements

SlR

SlR

SlR

SlR

SlR

SlR

SlR

SlR

SlR

EscR

EscR

EscR

SwR

SwR

SwR

SwR

SwR

SwR

SwR

SwR

SwR

SwR

_SwR

SwR

X

X

X

_X

X

X

X

X

F

Z

F

Z

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Z

0

∈ Ω

1

(a.1)

Z

0

∈ Ω

1

(a.2)

Z

₀

∈ Ω

₁

(a.3)

Z

0

∈ Ω

1

(b)

_Z

0

∈ Ω

1

(c)

Z

0

∈ Ω

1

(d)

Z

0

∈ Ω

1

(e)

Z

₀

∈ Ω

₁

(f )

Figura1.13: Elementos de

Ω

1

.

No apítuloseguinteabordaremosumdostemasmaisre orrentesnateoriaqualitativa

das EDO's: a estabilidade estrutural para sistemas de Filippov. Exibiremos uma lasse

ESTABILIDADE ESTRUTURAL

PARA SISTEMAS DESCONTÍNUOS

No Capítulo 1 Con eitos Preliminares realizamos uma pré- lassi ação dos sistemas de

ampos des ontínuos exibindo a lista dos ampos de odimensão zero e um. Tendo em

menteessa pré- lassi ação ara terizaremos nesse apítulouma lasse de amposde

Fi-lippovem uma variedade de dimensão três que é estruturalmenteestável e em ada aso

exibiremos a respe tiva forma normal. Quando falamos de forma normal, a subenten

dido que estamos onsiderando

C

0

₋

formas normais, isto é, formas normais obtidas via

onjugação porhomeomorsmos

M

−

invariantes.

2.1 Estabilidade Estrutural

Da denição 1.2.6, doteorema 1.1.2 e das ondiçõesde transversalidade obtemosa lista

dos amposde odimensão zero:

Ω

0

(a) =

{Z = (X, Y ); X, Y

são regulares

} (

aso regular-regular

)

;

Ω

0

(b) =

{Z = (X, Y ); X

édobrae

Y

éregular

(

ouvi e-versa

)

} (

asodobra-regular

)

;

Ω

0

(c) =

{Z = (X, Y ); X

é úspidee

Y

éregular

(

ouvi e-versa

)

} (

aso úspide-regular

)

;

Ω

0

(d) =

{Z = (X, Y ); X, Y

são dobras,

S

X

é transversal a

S

Y

, os autovalores de

DF

Z

(0)

são transversais a

S

X

, S

Y

e

0

é ponto ríti o hiperbóli o para

F

Z

} (

aso dobra-dobra

)

.

Nosso objetivo nessa seção é estudaro omportamento lo alde sistemasde Filippov,

lassi ando os onjuntos de ampos que são estruturalmente estáveis. Em ada aso

vamos exibir as

C

0

₋

formas normais e onstruiremos o homeomorsmo que forne e a

equivalên iatopológi a. Essaequivalên iatopológi adivideo onjuntodos amposde

Fi-lippov

Ω(3)

em lassesdeequivalên iaequando onsideramosaformasnormaistomamos o representante mais simplespossíveldessas lasses de equivalên ia.

Consideremos ini ialmenteo aso

Z

∈ Ω

0

(a)

regular-regular. Em uma vizinhança de pontos regulares que não perten em a variedade de des ontinuidade

M

podemos apli ar diretamente o Teorema do Fluxo Tubular. Salvo menção ao ontrário, assumimos que

M = f

−1

₍₀₎

om

f (x, y, z) = z

.

Proposição 2.1.1 Considere o sistema de Filippov

Z = (X, Y )

∈ Ω

0

(a)

regular-regular

e

(0, 0, 0)

∈ M

, temos:

1 -Se

(0, 0, 0)

∈ SwR

então em uma vizinhança da origem

0

∈ U

o ampo

Z

é

topologi amente equivalente a

Z = ( e

e

X, e

Y )

, om

X(x, y, z) = (0, 0, ε), e

e

Y (x, y, z) =

(0, 0, ε)

e

ε = sgn(X.f (0))

.

2 -Se

(0, 0, 0)

∈ SlR

e

X(0) ∦ Y (0)

então em uma vizinhança da origem

0

∈ U

o

ampo

Z

é topologi amente equivalente a

Z = ( e

e

X, e

Y )

, om

X(x, y, z) = (0, 1,

e

−1),

e

Y (x, y, z) = (0, 1, 1)

.

3 -Se

(0, 0, 0)

∈ EscR

e

X(0) ∦ Y (0)

então em uma vizinhança da origem

0

∈ U

o

ampo

Z

é topologi amente equivalente a

Z = ( e

e

X, e

Y )

, om

X(x, y, z) = (0, 1, 1),

e

e

Y (x, y, z) = (0, 1,

−1)

.

4 - Se

(0, 0, 0)

∈ SlR ∪ EscR

é ponto ríti o hiperbóli o para o ampo deslizante

F

Z

(

isto é,

X(0)

k Y (0))

então em uma vizinhança da origem

0

∈ U

o ampo

Z

é

topologi amente equivalente a

Z = ( e

e

X, e

Y )

, om

(i) e

X(x, y, z) = (ax, by, c)

e

Y (x, y, z) = (0, 0,

e

−c)

se

a = λ

1

e

b = λ

2

são os

autovalores reaisnão nulos distintos de

DF

Z

(0)

,

(ii) e

X(x, y, z) = (ax, ay, c)

e

Y (x, y, z) = (0, x,

e

−c)

se

a = λ

1

é autovalor real não

nuloduplo de

DF

Z

(0)

,

(iii) e

X(x, y, z) = (ax, bx, c)

e

Y (x, y, z) = (

e

−by, ay, −c)

se

a + ib = λ

1

, a

− ib = λ

2

são os autovalores omplexos onjugados não nulos de

DF

Z

(0), a

6= 0

,