UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CAMPUS DE FLORESTAL INTRODUÇÃO AO GEOGEBRA

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA

CAMPUS DE FLORESTAL

INTRODUÇÃO AO GEOGEBRA

2013

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SUMÁRIO

INTRODUÇÃO 06

1 ICONES DA BARRA 1 (B1) 07

1.1 Ícone mover 07

1.2 Ícone rotação em torno de um ponto 07

2.1. Novo ponto 08

2.2 Ponto em objeto 08

2.3 Vincular /desvincular ponto 08

2.4 Interseção de dois objetos 09

2.5 Ponto médio de um segmento de reta ou centro de uma cônica 09

2.6 Números complexos 10

3.1 Reta definida por dois pontos 10

3.2 Segmento definido por dois pontos 10

3.3 Segmento com comprimento 11

3.4 Semirreta definida por dois pontos 11

3.5 Caminho poligonal 11

3.6 Vetor definido por dois pontos 12

3.7 Clone de um vetor a partir de um ponto deste vetor 12

4.1 Reta perpendicular 12

4.2 Reta paralela 13

4.3 Mediatriz 13

4.4. Bissetriz 13

4.4.1 Criação de legenda da reta 14

4.4.2 Renomear legenda 14

4.4.3 Eliminação de ponto ou retas etc 14

4.4.4. Colorimento, aumento da espessura de uma reta e obtenção da equação reduzida da reta 14

4.5 Reta Tangente 15

4.6. Reta Polar ou Diametral 15

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4.8 Lugar geométrico 16 5 ICONES DA BARRA 5 (B5) 18 5.1 Polígono 18 5.2. Polígono Regular 18 5.3. Polígono Rígido 19 5.4. Polígono semideformável 19 6 ICONES DA BARRA 6 (B6) 19

6.1. Circunferência dados centro e um de seus pontos 19

6.2 Circunferência dados centro e raio 20

6.3 Circunferência como uma utilização de um compasso 20 6.4 Circunferência definida por três pontos 20 6.5 Semicircunferência definida por dois pontos 21 6.6 Arco de circunferência dados centro e dois pontos 21 6.7 Arco de circunferência definido por três pontos 21 6.8 Setor circular dados centro e dois pontos 21 6.9 Setor circular definido por três pontos 22

7.1. Construção da elipse 22

7.2 Construção da hipérbole 22

7.3 Construção da parábola 23

7.4 Cônica definida por cinco pontos 23

8.1. Ângulo 23

8.2 Ângulo com amplitude fixa 24

8.3 Distância entre dois pontos, comprimento ou perímetro 24

8.4 Área de uma figura plana 25

8.5 Coeficiente angular de uma reta 25

8.6 Criar lista 26

9.1. Reflexão em relação a uma reta 26

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9.3 Reflexão em relação a um círculo 28 9.4 Rotação em torno de um ponto por um ângulo 28

9.5 Translação por um vetor 28

9.6 Homotetia dados centro e razão 28

10.1 Inserir texto 29

10.2 Inserir imagem 29

10.3 Caneta 30

10.4 Função à mão livre 30

10.5 Relação entre dois objetos 30

10.6 Calculadora de probabilidades 31

11.1 Controle deslizante 31

11.2 Caixa para exibir / esconder objetos 32

12.1 Mover janela de visualização 32

12.2 Ampliar 32

12.3 Reduzir 32

12.4 Exibir / esconder objeto 33

12.5 Exibir / esconder rótulo 33

12.6 Copiar estilo visual 33

12.7 Apagar objeto 34

13 ESTUDO DE FUNÇÕES POLINOMIAIS 34

13.1 Alguns comandos e funções 34

13.2 Raízes de um polinômio 35

13.3 Pontos críticos da função (máximos e mínimos) 35

13.4 Ponto de inflexão da curva 35

13.5 Esboço de gráfico de função com várias sentenças 36 13.6 Reta tangente ao gráfico de uma função 37

13.7 Função Modular 38

13.7.1 Gráfico de Função modular 38

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13.7.3 Inequação Modular 39 13.8 Função exponencial 40 13.8.1 Potenciação e Radiciação 40 13.8.2 Função Exponencial 40 13.8.3 Equação exponencial 40 13.9 Função Logarítmica 41 13.10 _{Função Trigonométrica} ₄₁ 13.11 _{Função derivada} ₄₂

13.12 _{Integrando uma Função (Integral Indefinida)} ₄₂

13.13 _{Integral Definida} ₄₂

13.13.1 _{Cálculo de área definida pelo gráfico de uma}

função e o eixo das abscissas num dado intervalo numérico

42

13.13.2 _{Cálculo de área entre curvas} 43

COMPLEMENTO 47

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CAMPUS DE FLORESTAL

INTRODUÇÃO AO GEOGEBRA

O GeoGebra é um software de matemática que reúne geometria, álgebra e

cálculo.

Permite realizar construções tanto com pontos, vetores, segmentos, retas, secções cônicas como com funções que podem ser modificadas dinamicamente.

Vemos abaixo, na figura 1, a tela inicial do GeoGebra com as seus principais elementos.

Figura 1: Tela inicial do GeoGebra com seus principais elementos

A janela de algébra pode ser fechada. Para reativá-la vamos ao item EXIBIR no menu e clicamos em JANELA DE ALGEBRA.

Na tela inicial ainda temos a barra de ferramentas:

B1→Vamos denominar de Barra 1

B2→Vamos denominar de Barra 2 e assim por diante

Cada ícone desta barra tem várias opções, relacionadas com as funções descritas na janela. Estas opções são acessadas clicando na seta do canto inferior direito de cada ícone. Exploraremos algumas delas na sequência, para conhecermos seus nomes e utilidades.

Barra de Ferrramentas Janela de álgebra Área de trabalho: Parte geométrica JANELA DE VISUALIZAÇÃO Ponto de Entrada Menu B1 B2 B10 0 B11 B12 B6 B7 B8 B9 B4 B5 B3

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VAMOS COMEÇAR ESTUDAR OS ÍCONES DA BARRA 1 (B1)

1.1. ÍCONE MOVER

Vamos para a primeira função no ícone MOVER quando passamos o mouse no ícone aparece a função que o mesmo exerce, neste caso vai aparecer a indicação “Arraste ou selecione um ou mais objeto”.

Vamos ver sobre a função MOVER.

Esta função arrasta objetos. Por exemplo: Se queremos arrastar um segmento de reta r no plano, então traçamos a reta r, clicamos com o mouse:

• no ícone mover

• arrastamos o segmento de reta para onde quisermos (o mesmo pode ser feito com qualquer desenho)

1.2. ÍCONE ROTAÇÃO EM TORNO DE UM PONTO

Vamos ver sobre a função ROTAÇÃO EM TORNO DE UM PONTO.

O segredo aqui é selecionar primeiro o centro da rotação e, depois, é só arrastar o objeto.

Vamos a um exemplo:

Traçamos um segmento de reta (figura abaixo)

Clica no ponto A, em seguida clica no ponto B, assim giramos a reta em torno do ponto A.

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VAMOS AGORA PARA OS ÍCONES DA BARRA 2

(B2) 2.1. ÍCONE NOVO PONTO

Para inserir um ponto clique no ícone e depois na área de trabalho ou sobre um objeto. As coordenadas deste ponto aparecem na parte algébrica.

2.2. PONTO EM OBJETO

Esta função serve para inserir um ponto que acompanha a figura. Por exemplo: • Desenhamos um ∆ ABC

• Clicamos no ícone

•Clicamos dentro do ∆ ABC, assim criamos um ponto vinculado internamente ao triângulo, isso significa que utilizando o ícone mover o ponto anda junto com o triângulo.

2.3. VINCULAR /DESVINCULAR PONTO

Nesta função podemos puxar um ponto para a figura. Por exemplo:

Temos um triângulo e um ponto externo a esse triângulo e queremos puxar este ponto para o interior ao triângulo, para isso basta:

• Clicarmos no ícone • Clicarmos no ponto

• Clicamos no interior do triângulo (assim o ponto passa imediamente para o interior do triângulo)

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2.4. INTERSEÇÃO DE DOIS OBJETOS

Selecionamos dois objetos ou clicamos na interseção Por exemplo:

• Criamos duas retas

• Clicamos no ícone da Interseção de dois objetos • Clicamos na 1ª reta

• Clicamos na 2ª reta

• Daí aparece o ponto de interseção das duas retas

2.5. PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO DE RETA OU CENTRO DE UMA CÔNICA

2.5.1. Vamos primeiramente encontrar o ponto médio de um segmento de reta:

Construímos o segmento de reta Clicamos no ícone ponto médio

Clicamos em qualquer ponto do segmento de reta

Automaticamente aparece o ponto médio deste segmento 2.5.2. Vamos agora obter o centro da Elipse ou da hipérbole:

Criamos a cônica desejada Clicamos no ícone ponto médio

Clicamos em qualquer ponto da cônica Automaticamente parece o centro da cônica

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2.6. NÚMEROS COMPLEXOS

Clicamos no ícone

Em seguida clicamos na malha (área de trabalho)

Na Janela de Álgebra vai aparecer o número complexo que foi criado na malha.

Observação: Se desejamos colocar um número complexo qualquer no plano de Argand-Gauss basta digitá-lo na caixa ENTRADA. Por exemplo se queremos escrever Z2 = 3+2i digitamos na caixa ENTRADA: Z_2= 3+2i dê

ENTER (este número complexo aparece automaticamente no plano de Argand-Gauss) O mesmo vai aparecer na forma algébrica na JANELA DE ÁLGEBRA em OBJETOS LIVRES.

VAMOS PARA OS ÍCONES DA BARRA 3

(B3)

3.1. RETA DEFINIDA POR DOIS PONTOS

Clicamos em dois ponto na malha e automaticamente aparece uma reta ↔

AB.

3.2. SEGMENTO DEFINIDO POR DOIS PONTOS

Clicamos em dois pontos na malha e automaticamente aparece um segmento de reta AB.

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3.3. SEGMENTO COM COMPRIMENTO

1º Passo: Clicamos no ícone (segmento com comprimento fixo)

2º Passo: Clicamos num ponto da malha (imediatamente aparece uma entrada para digitar o tamanho do comprimento do segmento) aparece o segmento com o tamanho escolhido.

Observação: Se queremos girar o segmento, basta clicar no ícone mover e clicar também no ponto extremo do segmento de reta, assim arrastamos com o mouse para onde desejamos (se clicamos na origem do segmento arrastamos o segmento de reta para outra posição).

3.4. SEMIRRETA DEFINIDA POR DOIS PONTOS

Clicamos em dois pontos na malha e automaticamente aparece uma semirreta AB.

3.5. CAMINHO POLIGONAL

.

Clicamos primeiramente todos os vértices e depois clicamos novamente no vértice inicial, daí aparece o caminho percorrido por linhas poligonais (Cuidado: não aparece a formação do polígono).

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3.6. VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS

Clicamos em dois pontos na malha e automaticamente aparece um vetor AB.

3.7. CLONE DE UM VETOR A PARTIR DE UM PONTO DESTE VETOR

1º Passo: Fazemos um vetor (como indicado no item 3.6) 2º Passo: Clicamos num ponto (NOVO PONTO item 2.1)

3º Passo: Clicamos no ícone depois clicamos no ponto criado e depois clicamos no vetor que desejamos clonar (daí aparece o tal clone)

Veja o vídeo Como fazer vetor em:

<http://www.youtube.com/watch?v=YPbw3mUUSqg> Acesso em 24 dez. 2012

VAMOS PARA OS ÍCONES DA BARRA 4

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4.1. RETA PERPENDICULAR

1º Passo: Criamos uma reta (ou segmento, etc) seguindo os itens 3.1 etc. 2º Passo: Criamos um ponto seguindo o item 2.1 (novo ponto)

3º Passo: Clicamos no ícone , depois no ponto criado e por último na reta criada. Daí aparece a reta perpendicular à reta criada.

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4.2. RETA PARALELA

1º Passo: Criamos um ponto seguindo o item 2.1.

2º Passo: Criamos uma reta (ou segmento, ou semirreta ou vetor) seguindo o item 3.1 etc.

3º Passo: Clicamos no ponto criado.

4º Passo: Clicamos no ícone , depois na reta criada. Daí aparece a reta paralela à reta criada.

4.3. MEDIATRIZ

1º Passo: Criamos um segmento, seguindo o item 3.1.

2º Passo: Clicamos no ícone , depois na reta criada. Daí aparece a reta mediatriz da semirreta criada.

4.4. BISSETRIZ

1º Passo: Criamos duas retas seguindo os itens 3.1.

2º Passo: Clicamos no ícone , depois na 1ª reta, e na 2ª reta criadas. Daí aparece as retas bissetrizes das retas criadas.

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4.4.1. Criação de legenda da reta

1º Passo: Com o mouse direito clicamos na reta

2º Passo: Clicamos em Exibir Rótulo. Daí aparece a letra representativa da reta

4.4.2. Renomear legenda

1º Passo: Com o mouse direito clicamos na legenda que desejamos renomear. Imediatamente aparece uma janela.

2º Passo: Nesta janela nós podemos renomear a reta do jeito que desejamos.

4.4.3. Eliminação de ponto ou retas etc 1º Passo: Clicamos na reta com mouse direito

2º Passo: Com mouse normal (esquerdo) clicamos no ícone Exibir Objeto. Imediatamente a reta ou o ponto desaparece.

Observação: Esta parte é importante para eliminar a bissetriz indesejada

4.4.4. Colorimento, aumento da espessura de uma reta e obtenção da equação reduzida da reta

Se desejarmos colorir (ou mudar espessura ou obter a equação reduzida) uma reta específica (por exemplo, da reta bissetriz)

1º Passo: Clicamos com o mouse direito na reta.

2º Passo: Clicamos em Propriedade. Aparece a figura abaixo:

Cor: Muda a cor da reta

Estilo: Muda a espessura da reta

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4.5. RETA TANGENTE

1º Passo: Criamos uma circunferência

2º Passo: Criamos um ponto seguindo o item 2.1. 3º Passo: Clicamos no ponto criado.

4º Passo: Clicamos no ícone , depois na circunferência criada. Daí aparece as retas tangentes à circunferência criada.

4.6. RETA POLAR OU DIAMETRAL

1º Passo: Criamos uma circunferência

2º Passo: Criamos uma reta r seguindo o item 3.1.

3º Passo: Clicamos no ícone , depois na reta e circunferência criadas no 1º e 2º passo. Daí aparece uma reta diâmetro perpendicular a reta r criada no 2º passo.

4.7. RETA DE REGRESSÃO LINEAR

Aqui selecionamos uma nuvem de pontos com o mouse (normal esquerdo como selecionamos um texto) e obtemos uma reta e sua equação que mais se aproxima deste conjunto de pontos. Veja os passos a seguir

1º Passo: Criamos uma nuvem de pontos

3º Passo: Clicamos no ícone , depois com o mouse normal (esquerdo) selecionamos esta nuvem de pontos. Imediatamente na área de trabalho aparece a reta e no objeto independente aparece a equação desta reta.

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4.8. LUGAR GEOMÉTRICO

1º Passo: Vamos construir uma reta AB seguindo item 3.1 (vamos renomear esta reta como sendo reta r)

2º Passo: Vamos Criar um ponto F fora da reta r. Assim poderemos construir uma parábola1_{de foco F e diretriz r obedecendo o conceito de parábola que é}

o lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de F e r 3º Passo: Par construir uma parábola, vamos precisar de pontos semilivres. Um ponto semilivre é criado sobre um objeto e, devido a este vínculo, ele só pode ser deslocado sobre o objeto.

Para criar um ponto semilivre, basta ativar a ferramenta NOVO PONTO e, então, clicar sobre o objeto (no nosso caso, o objeto é a reta r). Clica ícone NOVO PONTO (item 2.1) e em seguida na reta r à direita do ponto F, assim será criado o ponto C (com mouse direito clique em exibir rótulo para tirar a letra C). O Ponto “C” criado só pode ser deslocado sobre a reta r (isto pode ser verificado clicando no ícone MOVER [veja item 1.1] e no ponto “C” criado na reta r e arrastar com o mouse para onde quiser, mas não podemos esquecer de deixar este ponto “C” à direita do ponto F.

4º Passo: Agora vamos construir um ponto P que pertence à parábola (isto é, que pertence ao lugar geométrico). Para isto vamos clicar no ícone da RETA PERPENDICULAR (veja item 4.1), clicamos na reta r com o mouse (sem forçar) e somente com o cursor podemos levar esta perpendicular até o ponto “C”.

1_{Fixando num plano α uma reta r e um ponto F, chamamos de parábola o}

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5º Passo: Clicamos no ícone SEGMENTO DEFINIDO POR DOIS PONTOS (veja item 3.2) em seguida clicamos no ponto F e no ponto “C” formando assim um segmento de reta FC.

6º Passo: Clicamos no ícone da RETA MEDIATRIZ (item 4.3 – reta em azul escuro na figura 2 abaixo) e em seguida clicamos na reta FC (segmento azul claro da figura 2 abaixo) que foi criada no passo anterior (5º passo)

7º Passo: Clicamos no ícone NOVO PONTO (item 2.1) e em seguida clicamos na interseção da reta mediatriz criada no passo anterior (6º passo) com o eixo das ordenadas. Renomeamos este ponto para P.

8º Passo: Vamos agora usar um recurso do GeoGebra que permite rastrear (a posição de) um ponto. Ao rastrear o ponto P, teremos uma percepção melhor do lugar geométrico. Para isto clicamos no ponto P com mouse direito e clicamos em HABILITAR RASTRO.

9º Passo: Com o ícone MOVER acionado clicamos no ponto “C” firmando com o mouse esquerdo (normal) podemos andar sobre a reta r pra direita ou para esquerda assim vai formando a parábola.

Observação: Caso queira desabilitar rastro pois eles não são permanentes clicamos com o mouse direito em HABILITAR RASTRO. Vai em EDITAR E DESFAZER que o rastro desaparece e tudo volta como no passo 7.

10º Passo: Vamos Usar agora a ferramenta LUGAR GEOMÉTRICO que permite construir o lugar geométrico como uma curva permanente na construção. Para isto clicamos no ícone LUGAR GEOMÉTRICO e em seguida clicamos no ponto P e depois em “C” assim forma-se a parábola.

Observação: Clicando no ícone MOVER (Item 1.1) e no ponto “C” e arrastando com o mouse o ponto P vai andando sobre a parábola construída. Caso queira mudar a posição do Foco é só usar também o ícone MOVER e clicar no foco e arrastar com o mouse para onde desejar.

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Figura 2: Construção da parábola utilizando o ícone LUGAR GEOMÉTRICO.

VAMOS PARA OS ÍCONES DA BARRA 5

(B5)

5.1. POLÍGONO

Para desenhar um polígono qualquer como se fosse a mão livre segue os passos abaixo:

1º Passo: Clicamos no ícone POLÍGONO

2ª Passo: Na área de trabalho clicamos nos vértices que desejamos, ou seja, de acordo com o número de lados do polígono.

3º Passo: Para finalizar clicamos no primeiro vértice e daí surge o polígono desejado.

5.2. POLÍGONO REGULAR

Para desenhar um polígono regular (polígono de lados iguais) devemos seguir os seguintes passos:

1º Passo: Clicamos no ícone POLÍGONO REGULAR 2º Passo: Clicamos em dois pontos na área de trabalho

3º Passo: Na área de trabalho vai aparecer um ponto de entrada:

Neste ponto digitamos o número de vértices que desejamos. Automaticamente aparece desenhado o polígono que almejamos.

Observação: Nos desenhos dos polígonos (5.1) e polígonos regulares (5.2) podemos alterar os tamanhos dos lados. Para isto clicamos no ícone MOVER (1.1) e clicamos em qualquer dos vértices (no caso do polígono regular

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devemos arrastar somente os vértices com rótulo em azul) arrastamos com o mouse e o polígono tem seu lado com comprimento alterado.

5.3. POLÍGONO RÍGIDO

O procedimento é o mesmo do item 5.1. Neste caso não podemos alterar os comprimentos dos lados, pois os mesmos são indeformáveis.

5.4. POLÍGONO SEMIDEFORMÁVEL

O procedimento é o mesmo do item 5.1. Neste caso podemos alterar os comprimentos dos lados com exceção dos lados ligados à origem do polígono.

ÍCONES DA BARRA 6

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6.1. CIRCUNFERÊNCIA DADOS CENTRO E UM DE SEUS PONTOS

Para fazer um círculo podemos preceder da seguinte maneira: 1º Passo: Clicamos no ícone

2º Passo: Clicamos no lugar que desejamos que seja o centro da circunferência (na área de trabalho) soltamos o mouse e arrastamos o mesmo sem fixá-lo.

3º Passo: Clicamos na posição onde queremos que seja um dos pontos desta circunferência. Assim fica determinado o seu raio.

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6.2. CIRCUNFERÊNCIA DADOS CENTRO E RAIO

1º Passo: Clicamos no ícone

2º Passo: Clicamos no lugar que desejamos que seja o centro da circunferência (na área de trabalho) imediatamente aparece a caixa de entrada:

Digitamos nessa caixa o comprimento do raio da circunferência que desejamos. Imediatamente aparece a tal circunferência.

6.3. CIRCUNFERÊNCIA COMO UMA UTILIZAÇÃO DE UM COMPASSO

1º Passo: Criamos um segmento de reta AB (item 3.2) 2º Passo: Clicamos no ícone compasso

3º Passo: Clicamos uma vez no ponto A e duas vezes no ponto B. Assim fica pronto a circunferências cujo raio é o segmento AB.

6.4. CIRCUNFERÊNCIA DEFINIDA POR TRÊS PONTOS

1º Passo: Criamos três pontos não colineares (estes podem ser em formato de pares ordenado na caixa de entrada)

2º Passo: Clicamos no ícone CÍRCULO DEFINIDO POR TRÊS PONTOS

3º Passo: Clicamos uma vez cada ponto criado. Aparece automaticamente a circunferência passando pelos três pontos criados.

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6.5. SEMICIRCUNFERÊNCIA DEFINIDA POR DOIS PONTOS

1º Passo: Criamos dois pontos (estes podem ser em formato de pares ordenado na caixa de entrada)

2º Passo: Clicamos no ícone SEMICÍRCULO DEFINIDO POR DOIS PONTOS

3º Passo: Clicamos uma vez cada ponto criado. Aparece automaticamente a semicircunferência passando pelos dois pontos criados.

6.6. ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA DADOS CENTRO E DOIS PONTOS

1º Passo: Criamos três pontos (estes podem ser em formato de pares ordenado na caixa de entrada)

2º Passo: Clicamos no ícone ARCO CIRCULAR DADOS CENTRO E DOIS PONTOS

3º Passo: Clicamos uma vez em cada ponto criado começando pelo centro do arco. Aparece automaticamente o arco passando pelo referido centro e passando pelos dois pontos criados.

6.7. ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA DEFINIDO POR TRÊS PONTOS

Selecionando o ícone ARCO CIRCULAR DEFINIDO POR TRÊS PONTOS

Usa-se os mesmos passos do item 6.4 (circunferência definida por três pontos). Agora vai aparecer um arco de circunferência.

6.8. SETOR CIRCULAR DADOS CENTRO E DOIS PONTOS

Selecionando o ícone SETOR CIRCULAR DADOS CENTRO E DOIS PONTOS usa-se os mesmos passos do item 6.6 (arco de circunferência dados centro e dois pontos). Agora vai aparecer um setor circular.

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6.9. SETOR CIRCULAR DEFINIDO POR TRÊS PONTOS

Selecionando o ícone SETOR CIRCULAR DEFINIDO POR TRÊS PONTOS

usa-se os mesmos passos do item 6.4 (circunferência definida por três pontos). Agora vai aparecer um setor circular.

ÍCONES DA BARRA 7

(B7)

7.1. CONSTRUÇÃO DA ELIPSE

1º Passo: Clicar no ícone ELIPSE

2º Passo: Clicar em dois pontos na área de trabalho que serão os focos da elipse

3º Passo: Clique em um dos pontos quaisquer do plano pertencentes à Elipse. Assim aparece automaticamente a Elipse desejada.

Observação: Os pontos ou a equação da elipse podem ser digitados na caixa de entrada (cuidado ao escrever números decimais, pois usa-se ponto em vez de vírgula).

7.2. CONSTRUÇÃO DA HIPÉRBOLE

Os procedimentos são idênticos ao da elipse

Observação: Para fazer uma elipse ou hipérbole: Clique no ícone elipse ou hipérbole / clique num ponto / clique em outro ponto / sem clicar no mouse vai levantando o mouse que vai formando a cônica desejada. No final dê um clique e a cônica está formada.

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7.3. CONSTRUÇÃO DA PARÁBOLA2

1º Passo: Criamos o ponto que desejamos que seja o foco da parábola 2º Passo: Criar reta diretriz.

3º Passo: Depois clica no ícone da parábola e depois no foco e depois na diretriz que automaticamente aparece a parábola.

7.4. CÔNICA DEFINIDA POR CINCO PONTOS

Marcando-se cinco pontos constrói-se a cônica que passa por eles (a cônica só será definida se quaisquer quatro dos cinco pontos não forem colineares).

1º Passo: Clicamos no ícone Cônica definida por cinco pontos. 2º Passo: Clicamos em quatro pontos não colineares onde queremos desenhar a referida cônica.

3º Passo: Ao clicar num 5º ponto surge imediatamente uma elipse ou uma hipérbole.

ÍCONES DA BARRA 8

(B8)

8.1. ÂNGULO

1º Passo: Construímos duas retas seguindo o item 3.1 (primeiro construímos a reta vermelha e depois a reta azul veja as figuras 3 e 4)

2º Passo: Clica no ícone ÂNGULO

3º Passo: Clicando primeiramente na reta vermelha depois na azul aparece o ângulo agudo entre eles.

4º Passo: Clicando primeiramente na reta azul depois na vermelha aparece o ângulo replementar do ângulo agudo (obtido no segundo passo acima).

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Observação: Podemos também marcar três pontos onde queremos ver o ângulo (seguindo item 2.1) depois clicamos no ícone ÂNGULO e clicamos nestes três pontos assim aparece o ângulo.

Quando clicamos nos ponto no sentido anti-horário aparece o ângulo agudo entre as retas e quando clicamos no sentido horário aparece o ângulo replementar3_desse ângulo agudo.

8.2. ÂNGULO COM AMPLITUDE FIXA

1º Passo: Marcamos dois pontos na área de trabalho (seguindo item 2.1) 2º Passo: Clicamos no ícone ÂNGULO COM AMPLITUDE FIXA

3º Passo: Clicamos no primeiro ponto criado no 1º passo citado acima. Depois clicamos no segundo ponto que será o vértice do ângulo. Imediatamente aparece uma caixa de entrada. Nesta caixa digitamos o ângulo que desejamos. 4º Passo: Podemos agora formar os ângulos com retas ou segmentos de retas (seguindo os item 3.1 ou 3.2. respectivamente)

8.3. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS, COMPRIMENTO OU PERÍMETRO

8.3.1. Vamos primeiramente calcular a distância entre dois pontos: 1º Passo: Clicamos em dois pontos

2º Passo: Clicamos no ícone DISTÂNCIA

3º Passo: Clicamos no primeiro ponto, depois no segundo ponto, ambos criados no 1º passo. Imediatamente aparece a distância entre os dois pontos.

3_{O ângulo replementar de qualquer ângulo é o ângulo que, somado com o primeiro, dá}

360º.

Fig 3 - Clicando primeiro na

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8.3.2. Comprimento de segmento de reta:

Os mesmos procedimentos anteriores(8.3.1) devem ser feito para obter o resultado do comprimento de um segmento de reta, ou seja, basta clicar na origem e na extremidade do segmento que aparece esse resultado.

8.3.3. Perímetro de um polígono:

Depois do polígono pronto, clicamos no ícone e em seguida no interior do polígono. Daí aparece o perímetro desse polígono.

8.3.4. Comprimento de uma circunferência

Depois da circunferência pronta, clicamos no ícone e num ponto qualquer da circunferência. Aparece assim o comprimento da mesma.

8.4. ÁREA DE UMA FIGURA PLANA

O procedimento é o mesmo feito para calcular o perímetro de polígono como item 8.3 acima. Aqui evidentemente usamos o ícone

No caso da área do círculo (ou da elipse), clicamos na circunferência (ou elipse se for o caso) que aparece o resultado da área da figura desejada. 8.5. COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA

Depois da reta pronta (item 3.1) clicamos no ícone e num ponto da reta que aparece seu coeficiente angular ou inclinação da reta.

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8.6. CRIAR LISTA

Esta função pode criar uma lista de pares ordenados do plano cartesiano. Estes pares ordenados vão aparecer na janela de Álgebra na parte dos objetos dependentes. Veja por exemplo os passos de como fazer um conjunto de pares ordenados selecionados num plano cartesiano.

1º Passo: Marques os pontos no plano cartesiano (item 2.1) 2º Passo: Clique no ícone

ÍCONES DA BARRA 9

(B9)

9.1. REFLEXÃO EM RELAÇÃO A UMA RETA

Neste caso podemos desenhar um objeto refletido em relação a uma reta, para isto clique no objeto a ser refletido, com o mouse e, a seguir, clique na reta através da qual ocorrerá a reflexão.

Vamos utilizar este recurso para obter uma reta r simétrica de s em relação a reta u.

1º Passo: Construímos a reta u (eixo de simetria) → reta azul, figura 5 (veja 3.1).

2º Passo: Construímos uma outra reta s → reta verde figura 5 (a reta que vai ser refletida).

3º Passo: Clicamos no ícone e em seguida clicamos na reta s e depois na reta u. Imediatamente aparece a reta r simétrica de sem relação à reta u.

(27)

Observações:

(i) Já que a reta azul é o eixo de simetria significa que a distância de qualquer ponto desta reta azul à reta r é igual a distância desse ponto à reta s.

(ii) Duas retas são simétricas em relação à reta y = ax+b quando uma é a reflexão da outra em relação a essa reta.

Veja mais sobre simetria em:

http://www.edumatec.mat.ufrgs.br/cursos/trab2/rmovi3.htm Acesso em 09 fev. 2013

9.2. REFLEXÃO EM RELAÇÃO A UM PONTO

Aqui podemos desenhar um objeto refletido em relação a um ponto, para isto clique no objeto a ser refletido, e a seguir, clique no ponto através da qual ocorrerá a reflexão.

Vamos utilizar este recurso para obter um ponto simétrico de P em relação a outro ponto Q.

1º Passo: Marcamos o ponto P → ponto azul (veja 2.1)

2º Passo: Marcamos um ponto Q → ponto vermelho (o ponto de simetria)

3º Passo: Clicamos no ícone e em seguida clicamos no ponto P e depois no ponto Q. Imediatamente aparece o ponto S simétrico de P em relação ao ponto Q. Veja como ficou na figura 6 abaixo:

(28)

9.3. REFLEXÃO EM RELAÇÃO A UM CÍRCULO

Inversão - essa ferramenta desenha um ponto refletido em relação a uma circunferência.

9.4. ROTAÇÃO EM TORNO DE UM PONTO POR UM ÂNGULO

Essa ferramenta desenha um objeto rotacionado em relação a um ponto. Clicamos no objeto a ser rotacionado, e, a seguir, clicamos no ponto que funcionará como centro da rotação. Aparecerá uma janela na qual especificaremos a medida do ângulo de rotação, em graus.

9.5. TRANSLAÇÃO POR UM VETOR

Essa ferramenta desenha um objeto transladado. Clicamos no objeto a ser transladado e, a seguir, clicamos no vetor de translação.

9.6. HOMOTETIA DADOS CENTRO E RAZÃO

Essa ferramenta desenha o objeto ampliado ou reduzido a partir de um ponto por um determinado fator. Clicamos no objeto a ser transportado e, a seguir, clicamos no ponto que funcionará como centro da homotetia4. Abrirá uma janela na qual especificaremos o fator da homotetia.

Observações:

i. Os textos dos itens 9.3 ao 9.6 foram extraídos da Barcelos (2009 p. 7)

4_{Homotetia pelo dicionário Priberan:}

(grego homós, -é, -ón, semelhante + grego thetós, -é, -ón, posto, colocado + -ia) [Geometria] Posição de duas figuras semelhantes, ou de duas séries de pontos que satisfazem a certas condições geométricas

(29)

ÍCONES DA BARRA 10

(B10) 10.1. INSERIR TEXTO

Clicamos no ícone e em seguida clicamos na área de trabalho. Na janela que será aberta digitamos o texto que desejamos.

Observação: Podemos digitar tudo que desejamos, inclusive inserir frações, raízes etc clicando na fórmula de LaTex. Aqui tudo funciona como Microsoft Equation 3.0.

10.2. INSERIR IMAGEM

1ª Parte: Para inserir a imagem:

Clicamos no ícone e em seguida na área de trabalho. Selecionamos a foto

2ª Parte: Para reduzir ou aumentar o tamanho da imagem:

Marcamos um ponto A e um ponto B nos vértices esquerdo da imagem (item 2.1). Em seguida com o mouse direito clicamos em PROPRIEDADES. Depois em POSIÇÃO. No canto 1 clicamos em A no canto 2 clicamos em B. Clicamos ENTER. Com a função mover (item 1.1) clicando nos pontos A e B e ajustamos a imagem, ou seja, diminuímos, aumentamos ou mudamos ela de lugar. Para mover a imagem com esse mesmo ícone (item 1.1) clicando no meio da imagem podemos colocar a imagem onde desejamos. Para eliminar os pontos clicamos com o mouse direito em cada ponto e clicamos em EXIBIR OBJETO, assim os pontos desaparecem.

3ª Parte: Se desejamos que a imagem fique como fundo da malha, clicamos com mouse direito em PROPRIEDADE em seguida clicamos BÁSICO e colocamos em IMAGEM DE FUNDO, em seguida ENTER.

(30)

Observação: Devemos deixar a imagem de fundo como última etapa deste processo, pois, depois que fica como imagem de fundo ela não mais sai do lugar.

10.3. CANETA

Tudo funciona como uma caneta normal. 10.4. FUNÇÃO À MÃO LIVRE

Aqui fazemos uma função à mão livre. Bom para explicar a construção de um gráfico de uma função (utilizando o software camtasia)

Cuidado: Este ícone não serve para escrever texto. Se desejamos escrever algum texto vamos utilizar a função CANETA (item 10.3) anterior ou INSERIR TEXTO (item 10.1).

10.5. RELAÇÃO ENTRE DOIS OBJETOS

1º Passo: Precisamos de dois objetos como dois pontos, duas retas, etc.

2º Passo: Clicamos no ícone e em seguida clicamos nos dois objetos. Assim numa caixa de mensagem é informada a relação entre estes dois objetos. Por exemplo, informa se uma reta é perpendicular a outra.

(31)

10.6. CALCULADORA DE PROBABILIDADES

As práticas da CALCULADORA DE PROBABILIDADES acima podem ser vistas no vídeo disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=Zf3cY46Vszc Acesso em: 11 fev. 2013

ÍCONES DA BARRA 11

(B11)

11.1. CONTROLE DESLIZANTE

Para utilizar o controle deslizante devemos seguir o que diz WENDT (2012, p. 16):

Para criar um controle deslizante, basta ativar a respectiva ferramenta e clicar sobre o local desejado na janela geométrica. Feito isto, aparecerá uma janela onde você poderá nomear, especificar o intervalo e 17 incremento e alterar as propriedades do controle deslizante. O uso de um controle deslizante possibilita causar variações em objetos (manualmente ou automaticamente), podendo também assumir a função de uma variável. Esta variável pode estar associada a um objeto matemático, o que permite a transição contínua entre estados intermediários do objeto estudado, destacando os aspectos invariantes. Além disso, a possibilidade de variar objetos garante o dinamismo nas representações e a manipulação de conceitos antes abstratos.

Veja o vídeo Inserir texto dinâmico no geogebra para ver mais sobre controle deslizante. Disponível em:

<http://www.youtube.com/watch?v=iQ79eTJs-TU> Acesso em: 11 fev. 2013

(32)

11.2. CAIXA PARA EXIBIR / ESCONDER OBJETOS

Com esta ferramenta, podemos criar uma caixa e anexar a esta objetos já construídos. Desta forma, ao marcar a caixa, os objetos anexados ficarão visíveis, e ao desmarcá-la, os objetos serão ocultados.

Nota: O vídeo (youtube) que ensina técnicas de mostrar/esconder objetos no Geogebra e também criação de aplicações dinâmicas e ensina preparar soluções de atividades para enviar via web:

http://www.youtube.com/watch?v=Wkzte8ZxYpg Acesso em: 11 fev. 2013

ÍCONES DA BARRA 12

(B12)

12.1. MOVER JANELA DE VISUALIZAÇÃO

Clicando neste ícone arrastamos com o mouse na janela de visualização para ver melhor os objetos que ficam na área de trabalho.

12.2. AMPLIAR

Clicando neste ícone e no desenho (que está na área de trabalho) o mesmo é ampliado.

12.3. REDUZIR

Clicando neste ícone e no desenho (que está na área de trabalho) o mesmo é ampliado.

(33)

12.4. EXIBIR / ESCONDER OBJETO

Ao Clicarmos no ícone e clicarmos sobre um objeto ou mais, selecionamo-los para ser(em) escondido(s). Porém, isso só ocorrerá, de fato, quando selecionamos outra ferramenta qualquer (por exemplo, no ícone MOVER, item 1.1). Poderemos voltar a exibir os objetos ocultos, selecionando novamente a ferramenta , mas ao mudar de ferramenta os objetos voltarão a ficar ocultos. Caso desejarmos exibir, de fato, um objeto, clicamos com o botão direito do mouse, na janela algébrica, sobre este objeto e selecionamos a opção exibir objeto.

12.5. EXIBIR / ESCONDER RÓTULO

Clicamos no rótulo do objeto para escondê-lo e no objeto para voltar a exibi-lo.

12.6. COPIAR ESTILO VISUAL

Essa ferramenta permite copiar as propriedades visuais como cor, dimensão, estilo de reta, etc., a partir de um objeto, para vários outros objetos. Escolhemos o objeto cujas propriedades queremos copiar. A seguir clicamos em todos os outros objetos que devem adotar essas propriedades.

(34)

12.7. APAGAR OBJETO

Clicamos no ícone e no objeto e este objeto é apagado imediatamente. Caso desejamos utilizar o ícone como uma borracha para sair apagando tudo que vem na frente basta clicar neste ícone e firmar o mouse na área de trabalho e ir passando pelos objetos que queremos apagar.

13. ESTUDO DE FUNÇÕES

(35)

13.2. RAÍZES DE UM POLINÔMIO

Para explicar como encontrar as raízes (ou zeros) de um polinômio vamos tomar como exemplo o gráfico da função f(x) = x³ – 3x² + 1

1º Passo: Digitamos f(x) na caixa de entrada no canto inferior esquerdo da área de trabalho:

2º Passo: ENTER.

3º Passo: Digitamos N = Raiz[f]. 4º passo: ENTER.

Surgirão no gráfico todas as raízes da função. Para aparecer no gráfico os valores reais dessas raízes:

5º Passo: Clicamos com o botão direito em cada uma das raízes 6º Passo: Clicamos em propriedades

7º Passo: Na janela “básico” escolhemos a opção rótulo “nome & valor”. Imediatamente aparece no gráfico as raízes da função.

Observação: f(x) = x³ – 3x² + 1 pode ser digitado assim: f(x) = x^3 – 3x^2 + 1

13.3. PONTOS CRÍTICOS DA FUNÇÃO (MÁXIMOS E MÍNIMOS)

Para obtermos os máximos e mínimos locais vamos utilizar o mesmo gráfico do exemplo anterior seguindo os seguintes passos:

1º Passo: Digitamos E = Extremo[f] 2º Passo: ENTER

Aparecerão os pontos de máximo ou mínimo locais. Vale o mesmo procedimento anterior (item 13.2) das propriedades para que as coordenadas desses pontos apareçam no gráfico.

13.4. PONTO DE INFLEXÃO DA CURVA

PONTO DE INFLEXÃO é o ponto da curva onde a curvatura passa de concavidade para cima para concavidade para baixo ou vice e versa.

Para obtermos o ponto de inflexão vamos utilizar f(x) do item 13.2 acima

Passo: Digitamos na caixa de entrada: W = PontodeInflexão[f] e, se for o caso, aparecerão os pontos de inflexão da curva.

(36)

Vejamos como ficaram os resultados dos itens 13.2 a 13.4 no gráfico

N1, N2 e N3 são as raízes de f(x)= x³ – 3x² + 1

E1, e E2 são os pontos críticos de f(x)

W sé o ponto de inflexão de f(x)

13.5. ESBOÇO DE GRÁFICO DE FUNÇÃO COM VÁRIAS SENTENÇAS Para plotar (desenhar) o gráfico de função com várias sentenças pelo geogebra vamos utilizar os seguintes exemplos:,sqrt(x)

a)    ≥ < = 4 , x 4 x se sen(x), ) ( x se x f

No campo de entrada inserimos o seguinte comando:

Se[ݔ<4,sin(x), Se[x≥4,sqrt(x)]]. ENTER. O gráfico aparece em seguida. b)      ≤ < ≥ = -1 x se x, + 2 1 < x 1 -se 1, 1 x se 3, + 2x -) (x f

No campo de entrada inserimos o seguinte comando: Se[x≥1,-2x+3, se[x>-1∧x<1,1, se[x≤-1,2+x]]]. ENTER. O gráfico aparece em seguida. ∧ = e ∨ = ou c)      ≥ + + < ≤ + < = 3 , 3 ) 1 ( 3 1 ), 2 log( 1 , 2 ) ( x se x sen x se x x se x f x

No campo de entrada inserimos o seguinte comando:

Se[x < 1, 2^(x), Se[x≥1 ∧ x < 3, lg(x + 2), Se[x ≥ 3, abs(sin(x + 1) + 3)]]]. ENTER. O gráfico aparece em seguida.

(37)

Observações

(i) Clicando 2X na função com várias sentenças na janela de álgebra aparece a função escrita de forma seqüencial numa janela como abaixo. Esta sequência serve para podermos copiar e colar para onde desejarmos:

(ii) Para copiarmos o gráfico (da área de trabalho) como uma imagem para colocar num texto em Word segue os passos:

1º Passo: Clique em EDITAR no menu

2º Passo: Clique em COPIAR PARA ÁREA DE TRANSFERÊNCIA (Ctrl+Shit+C)

13.6. RETA TANGENTE AO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO

Para traçarmos a reta tangente ao gráfico de uma função ݂(ݔ) em um determinado ponto, cuja abscissa mede x = a, devemos inserir no campo de entrada os seguintes comandos:

݂(ݔ) = Função que se pretende utilizar

Número a = É o valor da abscissa no ponto (a, f(a)) P=(a,f(a)) = É o ponto de Tangencia da Reta

t=Tangente[<Valor de x>,<Função>] ou t=Tangente[<Ponto>,<Função>]

Exemplo:

1. Vamos traçar a reta tangente à função f(x)= x³ – 3x² + 1 no ponto cuja abscissa vale 2,5.

Para encontrar a solução, devemos seguir os seguintes passos, todos no campo de entrada:

1º Passo: Digitamos f(x)= x³ – 3x² + 1 e acionamos o ENTER

2º Passo: Digitamos ܽ=2,5 - ENTER (cuidado use ponto em vez de vírgula) 3º Passo: Digitamos ܲ=(ܽ,݂(ܽ)) - ENTER

(38)

A equação da reta tangente aparece na Janela de Álgebra como y = 3,75x-11,5.

Vemos assim que o coeficiente angular da reta tangente é igual a 3,75.

Vemos ao lado o gráfico de f(x) (azul) com a reta tangente ao gráfico (vermelha) no ponto x=2,5.

13.7. FUNÇÃO MODULAR

13.7.1. Gráfico de Função modular

Para explicar sobre gráfico de uma função modular utilizando o geogebra vamos esboçar o gráfico de _f(_x)= 3_x+1− _x−5. Para isto basta digitarmos na caixa de entrada: f(x)=abs(3x+1)-abs(x-5) e ENTER. Vejamos abaixo como fica o gráfico de f(x).

13.7.2. Equação Modular

Vamos resolver a seguinte equação modular 3_x+1= _x−5

1º Passo: Reescrevemos 3_x+1 = _x−5de forma que a equação fique igual a zero, ou seja 3_x+1−_x−5 =0. Vamos denominar o primeiro membro desta equação de f(x). Estamos querendo na verdade os valores que zeram f(x), ou seja os pontos de interseção do gráfico de f(x) com o eixo das abscissas (eixo dos x).

2º Passo: Na caixa de entrada digitamos f(x)=abs(3x+1)-abs(x-5) e ENTER. O gráfico que vai surgir é o mesmo do item 13.7.1.

3º Passo: O que precisamos são os valores de x que zeram a função, clicamos então no ícone interseção entre dois objetos (veja item 2.4) em seguida clicamos na parte decrescente do gráfico e no eixo das abscissas, daí já aparece o ponto A(-3,0). Para obtermos o outro ponto realizamos o mesmo procedimento para a parte crescente, daí aparece o ponto B(1,0). Concluímos que a solução da equação é S={-3 , 1}

(39)

13.7.3. Inequação Modular

Para resolver, por exemplo a inequação modular 3_x+1≤ _x−5 os procedimentos são praticamente os mesmos do item 13.7.2.

1º Passo: Reescrevemos 3_x+1≤ _x−5 de forma que a inequação fique 0

5 1

3_x+ − _x− < . Vamos denominar o primeiro membro desta inequação de f(x).

2º Passo: Na caixa de entrada digitamos f(x)=abs(3x+1)-abs(x-5) e ENTER. O gráfico que vai surgir é o mesmo do item 13.7.1.

3º Passo: O que precisamos encontrar são os valores de x que deixam a função negativa. Esse resultado pode ser obtido através do gráfico de f(x) (veja figura abaixo), ou seja, se desejamos o resultado dos valores de x que torna a função negativa devemos observar onde a função (y) é negativa. Neste caso a função fica negativa no intervalo -3<x<1 que será a solução da inequação. Então a solução da inequação 3_x+1≤ _x−5 é S={x∈IR/ -3<x<1}

(40)

13.8. FUNÇÃO EXPONENCIAL 13.8.1. Potenciação e Radiciação

Se queremos desenvolver potenciação no geogebra basta usar o sinal de circunflexo e para resolver raiz quadrada usamos sqrt. Vejamos exemplos na tabela a seguir: Se queremos resolver Digitamos na caixa de Entrada Resultado na Janela de Álgebra 2-3 2^(-3) e ENTER 0,13 3 2 2 + 2/(sqrt(2)+sqrt(3)) e ENTER 0,64

Observação: O Resultado na Janela de Álgebra aparece com o devido arredondamento.

13.8.2. Função Exponencial

Para fazermos o gráfico de uma função exponencial basta digitar a função na janela de entrada e ENTER. O gráfico vai ser apresentado na janela de visualização.

13.8.3. Equação Exponencial

Para desenvolver uma equação exponencial usaremos os mesmos procedimentos para resolver a equação modular (item 13.7.2.)

Vamos resolver a seguinte equação exponencial 4x+1 -4.2x=224

1º Passo: Reescrevemos 4x+1 -4.2x=224 de forma que a equação fique igual a zero, ou seja 4x+1 -4.2x -224=0. Vamos denominar o primeiro membro desta equação de f(x). Estamos querendo na verdade os valores que zeram f(x), ou seja, os pontos de interseção do gráfico de f(x) com o eixo das abscissas (eixo dos x).

2º Passo: Na caixa de entrada digitamos f(x)= 4^(x+1) -4*2^(x)-224 e ENTER. O gráfico vai ser apresentado na janela de visualização.

3º Passo: O que precisamos são os valores de x que zeram a função, clicamos então no ícone interseção entre dois objetos (veja item 2.4) em seguida

(41)

clicamos no gráfico e no eixo das abscissas, daí já aparece o ponto A(3,0) no gráfico e na janela de álgebra. Concluímos que a solução da equação é S={3}

Agora, como exercício, vamos resolver a equação 2x₌₈

13.9. FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Os mesmos procedimentos que foram realizados na função exponencial serão desenvolvidos na função logarítmica, lembrando que abreviamos o logaritmo decimal (logaritmo na base 10) por lg(x) e o logaritmo neperiano (base e5) abreviamos por ln(x). Nunca esqueça do parêntese.

13.10. FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA

Os mesmos procedimentos que foram realizados na função exponencial serão desenvolvidos na função trigonométrica, lembrando que abreviamos o seno por sin, o cosseno por cos e tangente por tan.

Vejamos como exemplo o gráfico da função f(x) = sen(x). No eixo das abscissas o valor que é apresentado está em radiano. Por exemplo

rad rad rad 1,57 2 14 , 3 2 = = π

Observação: Para resolver inequações exponenciais, logarítmicas e trigonométricas pode se utilizar os mesmos procedimentos desenvolvidos para resolver inequação modular (vistos no item 13.7.3).

5

e ≅ 2,718

(42)

13.11. FUNÇÃO DERIVADA

Para obtermos a derivada de uma função e seu gráfico, vamos utilizar como exemplo f(x)= x³ – 3x² . Vamos então seguir os seguintes

passos:

1º Passo: Digitamos a função f(x)= x³ – 3x² na caixa de entrada 2º Passo: Em seguida, também na caixa de entrada digitamos: Derivada[f]. Imediatamente aparece na área de trabalho o gráfico da derivada de f (ou seja, a f’) e na janela de álgebra aparece a função derivada de f. Veja ao lado como ficou o gráfico da função f’ (curva em vermelho). f'(x) = 3x² – 6x

13.12. INTEGRANDO UMA FUNÇÃO (INTEGRAL INDEFINIDA)

Para obter a integral de uma função e seu gráfico, vamos utilizar como exemplo a função f(x) =3x² -6x. Vamos então seguir os seguintes passos:

1º Passo: Digitamos na caixa de entrada a função f(x)= 3x² -6x e ENTER.

2º Passo: Também na caixa de entrada digitamos: Integral[f] e ENTER. Imediatamente aparece na área de trabalho o gráfico da integral de f (g) e na janela de álgebra equação da integral de f. Veja ao lado como ficou a função g (curva azul).

∫

₃_x_²−₆_x= x³-3x²+c

13.13. INTEGRAL DEFINIDA

13.13.1. Cálculo de área definida pelo gráfico de uma função e o eixo das abscissas num dado intervalo numérico

Vamos ver como exemplo, o cálculo da área definida pelo gráfico da função f(x) =3x² 6x e o eixo x. Com abscissas variando de x=

-1 a x=2.

1º Passo: Digitamos na caixa de entrada a função f(x)= 3x² -6x e ENTER.

2º Passo: Também na caixa de entrada digitamos: Integral[f, -1, 0] e ENTER e depois digitamos Integral[f, 0, 2] e

(43)

ENTER. Os resultados das áreas vão aparecer na janela de álgebra e no gráfico.

Encontrando as duas áreas basta somá-las (veja figura ao lado). Neste caso então temos: A=

_∫

− +

_∫

−

− 2 0 0 13x² 6x 3x² 6x = 8 u.a. 6

13.13.2. Cálculo de área entre curvas

Vamos ver como exemplo, o cálculo da área da região compreendida entre as curvas f(x) = - x² + 4x e g(x) = x²:

1º Passo: Digitamos na caixa de entrada a função f(x) = - x² + 4x e ENTER e em seguida digitamos g(x)= x² e ENTER.

2º Passo: Em seguida, também na caixa de entrada digitamos: Integral[f, g, 0, 2] e ENTER. O resultado da área entre as curvas vai aparecer

na janela de álgebra e no gráfico (veja figura ao lado).

Neste caso então temos a área entre as curvas f e g=

∫

− + −

∫

2 0 2

0 x² 4x x²= 2,67u.a.

Observação:

Quando desejar apagar tudo que fez na área de trabalho:

1º - Clique na área de trabalho onde desenhou (cuidado com este passo) 2º - Vai no menu EDITAR e clica em:

Selecionar tudo 3º - Depois DELETE.

6

(44)

ATIVIDADES

1) Construir uma circunferência circunscrita a um triângulo qualquer. Solução:

1º Passo: Construímos um triângulo qualquer (veja item 5.1)

2º Passo: Construímos as mediatrizes de dois lados desse triângulo (veja item 4.3)

3º Passo: Clicamos no ícone interseção entre dois objetos (veja item 2.4). Observações:

(i) Podemos renomear (para “O”) o ponto de interseção das mediatrizes (circuncentro) clicando sobre ele com o botão direito do mouse, escolhendo a opção renomear (veja item 4.4.2).

(ii) Podemos eliminar as mediatrizes e deixar somente o baricentro (veja item 4.4.3). Este baricentro será o centro da circunferência.

4º Passo: Escolhemos ícone “círculo definido pelo centro e por um de seus pontos” (veja item 6.1). Nesse caso, devemos primeiro clicar no centro e depois em algum dos vértices do triângulo.

Observação:

Podemos escolher o modo “mover” (veja item 1.1) e, usar o mouse, para modificar a posição de qualquer um dos vértices do triângulo e constatar as modificações geradas na construção feita. No caso específico do círculo circunscrito, poderemos investigar o que ocorrerá com o triângulo quando o circuncentro estiver “fora”, “dentro” ou sobre um dos lados do triângulo.

Relembrando:

SEGMENTO SIGNIFICADO SÍMBOLO

Circuncentro Interseção das mediatrizes O

Ortocentro Interseção das alturas H

Incentro Interseção das bissetrizes S

(45)

Nota: Usando o campo de entrada de texto

Podemos fazer qualquer construção partindo do campo de entrada de texto e digitando coordenadas e comandos que definem as construções que desejamos. Vejamos como poderíamos construir o círculo circunscrito a um triângulo, usando essa opção.

Lembrando que depois de utilizar cada comando devemos clicar na tecla “ENTER”.

Vamos como exemplo desenhar uma circunferência circunscrita num triângulo ABC digitando na caixa de entrada o que se pede abaixo.

A = (2,2) B = (4,5) C = (-2,4) Polígono [A,B,C] ma = Mediatriz [a] mb = Mediatriz [b] M = interseção [ma,mb] Círculo [M,A]

2) Obtenha as retas tangentes à circunferência de equação (x – 4)² + (y – 3)² = 2 e que passam pelo ponto (8 , 5)

Solução:

1º Passo: Digitamos na caixa de entrada (x – 4)² + (y – 3)² = 2 e ENTER 2º Passo: C=(8,5) ENTER

3º Passo: Obtenha a reta tangente seguindo o item 4.5

3) Verifique a veracidade do Teorema de Napoleão, cujo enunciado é:

“Se construirmos um triângulo qualquer e, sobre cada um de seus lados e externamente ao triângulo inicial, construirmos três triângulos equiláteros, o triângulo formado pelos baricentros desses triângulos equiláteros será também equilátero, independentemente da natureza do triângulo inicial.”

Obs: Este teorema, é atribuído a Napoleão Bonaparte pois o mesmo teria enunciado e demonstrado em 1787.

(46)

1º Passo: Construímos um triângulo qualquer (veja item 5.1)

2º Passo: Construímos o triângulo equilátero com lado AB. Para isto devemos clicar no ícone Polígono regular (veja item 5.2) e clicar em B e A, assim construímos o ∆ABD.

3º Passo: Seguimos o mesmo passo anterior para construir o ∆CBE. Clicamos em C e B.

4º Passo: Seguimos o mesmo passo anterior para construir o ∆CAF. Clicamos em A e C

5º Passo: Construímos duas medianas de cada um dos triângulos ∆ABD, ∆CBE e ∆CAF. Cada mediana é obtida através do vértice ao ponto médio dos lados (veja item 2.5). Obtemos a interseção das medianas (baricentro)

Agora podemos “mexer” a vontade com o triângulo inicial e constatar que o triângulo formado pelos baricentros (triângulo azul na figura acima) permanecerá sempre com os três lados de mesmo comprimento.

4) Seja f(x)= 2_{− x}−1 a) Esboçar o gráfico b) Obter o domínio de f(x) Resposta: -1≤x≤3 c) Obter a imagem de f(x) Resposta: y≤sqrt(2)

(47)

COMPLEMENTO

A. OBTENÇÃO DE PONTOS NO GRÁFICO

Vamos supor que desejamos obter f(4) no gráfico de f(x)= lnx. Na caixa de entrada digitamos (4,f(4)) ENTER. O resultado aparece no gráfico como ponto A.

B. MUDANÇA DE UNIDADE MEDIDA DO EIXO DAS ABSCISSAS NA FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA

Vamos mostrar como exemplo a mudança de unidade de medida no eixo das abscissas no gráfico de f(x)=sin(x)

1º Passo: Clicamos com o mause direito em propriedades:

2º Passo: Clicamos no ícone preferências – janela de visualização

3º Passo: Clicamos no eixo x

4º Passo: Clicamos na unidade que desejamos

Podemos escolher a unidade π, cm ou outra.

5º Passo: Podemos inserir os pontos médios dos arcos notáveis clicando em DISTÂNCIA e em π/2

(48)

C. COMO LIMITAR GRAFICAMENTE O DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO Se desejarmos, por exemplo, esboçar o gráfico de f(x)= x²-5x+6 no domínio {x∈IR/2≤x≤7}, digitamos na caixa de entrada: Função[x^2-5x+6, 2,7] ENTER. O gráfico vai aparecer como na figura abaixo:

Se pretendermos mudar o intervalo do domínio antes estipulado, basta clicar com o mouse direito na f(x) já janela de álgebra e clicar em PROPRIEDADES

Em propriedades-função f clicamos em DEFINIÇÃO e mudamos o intervalo de acordo com aquele que desejarmos para o novo gráfico.

D. COMO COLOCAR INTERVALO ABERTO E FECHADO NO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO

Para explicar como colocar intervalo aberto e fechado no gráfico de uma função vamos utilizar f(x) com duas sentenças:

   > + − ≤ + = 2 , 1 5 ² 2 , 1 2 ) ( x se x x x se x x f

Na caixa de entrada digitamos: Se[x≤2, 2x+1, Se[x>2, x²-5x+1]]

Na primeira função criamos o ponto A(2,5) que deve aparecer na cor azul, daí é só mudar para cor preta. Na segunda função o ponto inicial, no caso o ponto B=(2,-5) não vai aparecer no gráfico é preciso digitá-lo na caixa de entrada. Clicamos com o mouse direito em propriedade e mudamos o ponto B para cor branca para que o intervalo fique aberto nesse ponto.

(49)

E. OBTENÇÃO DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DADOS VÁRIOS PONTOS NUM GRÁFICO

Para obtermos uma função polinomial dados vários pontos num gráfico vamos tomar como exemplo a formação de um polinômio passando pelos pontos A, B, C, D, E, F, G, H (criados aleatoriamente). Para isso basta digitar na caixa de entrada: Polinômio[A,B,C,D,F,G,H] ENTER. Daí na janela de visualização aparece o gráfico unindo os pontos e na janela de álgebra a função polinomial que gera tais pontos.

Se desejarmos ocultar a função antes do ponto A e depois do ponto H. Digitamos na caixa de entrada: Função[f(x), x(A), x(H)] ENTER. Aparece então na janela de álgebra a função g(x) de A até H. Com o mouse direito clicamos na função f (na janela de álgebra) e clicamos exibir objeto (para ocultar o gráfico que extrapola os pontos antes de A e depois de H. Veja abaixo como fica o gráfico de f(x) limitado inferiormente e superiormente.

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REFERÊNCIAS

BARCELOS, Gilmara Teixeira; BATISTA, Silvia Cristina Freitas. Geometria Dinâmica utilizando o Software Geogebra, Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia – Campus Campos, RJ, 2009. Disponível em:

<http://www.es.iff.edu.br/softmat/projetotic/download/atividades1/apostilageoge bra.pdf>

Acesso em: 09 fev. 2013

SÁ, Ilydio Pereira de. Primeiros Passos com o Software Livre – GeoGebra. Universidade Severino Sombra. Vassouras, 2010.

WENDT, Angela Mallmann et al. Noções Básicas de Cálculo e Geometria Plana com o GeoGebra. UFSM – RS, 2012.

Disponível em:

<http://coralx2.ufsm.br/petmatematica/arquivos/Ap_GEOGEBRA.pdf> Acesso em: 11 fev. 2013