Efeito das tensões residuais sobre a propagação de trincas em juntas soldadas por FSW

Edson Haruo Miyaura

Efeito das tensões residuais sobre a

propagação de trincas

em juntas soldadas por FSW

Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado da Faculdade de Engenharia Mecânica da Universidade Estadual de Campinas, como requisito para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Mecânica.

Área de Concentração: Mecânica dos Sólidos e Projeto Mecânico

Orientador: Prof. Dr. Renato Pavanello

Campinas 2012

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA

BIBLIOTECA DA ÁREA DE ENGENHARIA E ARQUITETURA - BAE - UNICAMP

Miyaura, Edson Haruo

M699e Efeito das tensões residuais sobre a propagação de trincas em juntas soldadas por FSW / Edson Haruo Miyaura. – Campinas, SP: [s.n.], 2012.

Orientador: Renato Pavanello

Dissertação de Mestrado - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Mecânica.

1. Mecânica da fratura. 2. Fadiga. 3. Tensões residuais. 4. Soldagem por atrito. I. Pavanello, Renato. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Mecânica. III. Título.

Título em Inglês: Residual stress effect on crack propagation in friction stir welded joints

Palavras-chave em Inglês: Fracture mechanics, Fatigue, Residual stress, Friction stir welding

Área de concentração: Mecânica dos Sólidos e Projeto Mecânico Titulação: Mestre em Engenharia Mecânica

Banca examinadora: Paulo Sollero, Carlos Eduardo Chaves Data da defesa: 29-02-2012

Agradecimentos

Agradeço aos meus pais Eli Yasuhiko e Carmem Timico pelo eterno apoio que resultou em todas as vitórias ao longo de minha vida.

Ao Renato Pavanello, pela oportunidade concedida e pela orientação deste trabalho.

À equipe de pesquisa FSW da EMBRAER, particularmente a Andreza Sommerauer Franchim, Fernando Ferreira Fernandez e Marcos Hideki Miyazaki pelo suporte técnico, financeiro e pelo incentivo dados na execução deste trabalho.

Ao Julio Antonio Beltrami da Silva, que me fez perceber a relevância do uso da mecânica da fratura na determinação experimental de tensões residuais.

Ao Renan Rodrigues de Mello Ozelo, que me mostrou aspectos importantes na modelagem computacional de componentes trincados.

Ao Auteliano Antunes dos Santos Junior, pelas críticas e sugestões que culminaram no bom encerramento deste trabalho e pela orientação durante meu período de graduação.

A todo o grupo de pesquisa FSW da UNICAMP, composta por Alberto Luiz Serpa, Amadeu Soares Ferlin, Cedric Marcelo Augusto Ayala Bravo, Janito Vaqueiro Ferreira, Jaqueline Mara de Carvalho, Pedro Henrique Andrade de Almeida e Rolando Melquiades Perez Ñaupa.

Agradeço também a todas as pessoas que estiveram ao meu lado neste período de grande aprendizado.

”Minha vida é minha mensagem.” Mahatma Gandhi

Resumo

Inúmeros trabalhos de pesquisa tem sido feitos em torno de um processo de soldagem por atrito conhecido por FSW, ou Friction Stir Welding. A proposta deste trabalho é determinar o efeito das tensões residuais resultantes de tal processo sobre a propagação de trincas na região próxima à junta soldada. Este efeito é considerado calculando-se fatores de intensidade de tensão residual pelo uso de funções ponderadoras e pelo método de elementos finitos. Técnicas numéricas e equações de taxa de propagação modificadas são empregadas para determinar a vida residual em fadiga de sólidos com trincas que atravessam transversalmente a região da solda. É abordado e aplicado um meio de determinar uma curva de tensão residual longitudinal a partir de uma curva de fatores de intensidade de tensão residual. Finalmente, o ensaio cut compliance é apresentado como uma técnica experimental eficaz na determinação de uma curva de fatores de intensidade de tensão residual. A aplicação de tal método exige o conhecimento prévio ou o cálculo de funções de influência. Demonstra-se que o método de elementos finitos é eficaz na determinação de tais funções.

Abstract

Numerous research papers have been published on a process known as friction stir welding or FSW. The purpose of this work is to determine the effect of residual stresses resulting from such process on the propagation of a crack near the weld. This effect is taken into account by calculating residual stress intensity factors using weight functions and finite elements. Numerical techniques and crack propagation rate equations are employed to determine residual fatigue life of solids with cracks that traverse across the weld region. A way to determine a longitudinal residual stress curve from a residual stress intensity factor curve is discussed and applied in this work. Finally, the cut compliance method is presented as an effective experimental technique to determine residual stress intensity factor curves. The application of such method requires calculation of influence functions. It is shown that the finite element method is effective in determining those functions.

Lista de Figuras

1.1 Exemplar do navio Liberty após falha estrutural . . . 1

1.2 Aeronave da Aloha Airlines após o vôo 243, em 1988 . . . 2

1.3 Soldagem de topo por FSW (Khaled, 2005) . . . 4

1.4 Zonas afetadas pela soldagem FSW (Khaled, 2005) . . . 4

2.1 (a) Corpo de prova sujeito a uma força P (b) Diagrama força-deslocamento do corpo de prova com trinca de comprimento a (c) Efeito do aumento do tamanho da trinca sobre o diagrama força-deslocamento (Gdoutos, 2005; Broek, 1988) . . . 9

2.2 (a) Deslocamento constante, força variável (b) Força constante, deslocamento variável (Broek, 1988) . . . 10

2.3 (a) Contorno aberto Γ envolvendo a ponta da trinca (b) Contorno fechado envolvendo a ponta da trinca (Rice, 1968) . . . 12

2.4 Balanço energético na fratura de um corpo de prova frágil de dimensões infinitas com trinca de comprimento 2a1(Gdoutos, 2005) . . . 15

2.5 Balanço energético na propagação estável de uma trinca de comprimento inicial a1 em um corpo de prova elasto-plástico de dimensões finitas (Gdoutos, 2005) . . . . 16

2.6 Modos de abertura de uma trinca (Hertzberg, 1996) . . . 17

2.7 Coordenadas em relação à ponta da trinca (Hertzberg, 1996; Irwin, 1958) . . . 18

2.8 (a) Trinca de comprimento 2a em corpo de dimensões infinitas, sujeito a carregamento σ (b) Trinca lateral de comprimento a em corpo semi-infinito, sujeito a carregamento σ . . . . 20

2.9 Chapas de altura infinita e largura definida. (a) Com trinca central (b) Com trinca lateral . . . 21

2.10 Elementos finitos isoparamétricos com nós na posição quarter point (Barsoum, 1976) 23 2.11 Exemplo de malha de elementos finitos na ponta de uma trinca lateral . . . 23

2.12 Tamanho da zona plástica em θ = 0 (Anderson, 1995) . . . . 24 2.13 Zona plástica em condições de tensão plana e de deformação plana (Broek, 1984) . 26

2.14 Forma tridimensional da região deformada plasticamente (Gdoutos, 2005) . . . 27 2.15 Material frágil e material tenaz (Hertzberg, 1996) . . . 28 2.16 Variação da tenacidade à fratura em função da espessura do corpo de prova

(Gdoutos, 2005) . . . 28 2.17 Notação que identifica a disposição de uma trinca em relação ao sentido de

laminação (Hertzberg, 1996) . . . 30 2.18 Típico comportamento da taxa de propagação de trincas em metais (Anderson, 1995) 31 2.19 Curvas da/dN x ∆K, segundo a equação de Walker, para trincas com orientação

L-T em liga de alumínio 2024-T3 . . . 33 2.20 Formação do envelope de deformação plástica durante a propagação da trinca

(Elber, 1971) . . . 35 2.21 Campos de deformação plástica devido ao carregamento externo em trinca de fadiga

e em corte produzido por uma serra ideal, de espessura nula (Elber, 1971) . . . 35 2.22 No experimento de Elber: (a) Posicionamento do extensômetro na trinca (b) Curva

tensão-deslocamento resultante . . . 36 2.23 Relação entre ∆Keff, Kope Kmax (Anderson, 1995) . . . 37

2.24 Efeito da razão de tensão sobre curvas obtidas pela equação NASGRO, considerando-se trincas com orientação L-T em liga de alumínio 2024-T3 . . . 41 3.1 Tipos de tensão residual (Macherauch, 1987) . . . 44 3.2 (a) Perfil de tensão residual longitudinal (b) Perfil de tensão residual transversal . . 45 3.3 Perfis de tensão residual longitudinal. Curva 1: equação 3.10a. Curva 2: equação

3.10b. Curva 3: equação 3.10c . . . 46 3.4 Campo de tensões residuais longitudinais (σres_yy ) em corpo de prova CT,

utilizando-se a sub-rotina SIGINI do Abaqus. Legenda do mapa de cores em Pascal. . . 47 3.5 Perfis de tensão residual transversal devido à soldagem FSW em chapa original e

em corpos de prova CT (Donne et al., 2000; Ohta et al., 1982) . . . 48 3.6 Distribuição de tensão residual transversal devido à soldagem FSW em chapas com

trinca central (Donne et al., 2000; Ohta et al., 1982) . . . 49 3.7 Força atuante em superfície de trinca em chapa de dimensões infinitas . . . 51

3.8 Corpo trincado e carregamentos considerados por Rice (1972) . . . 52 3.9 Trinca lateral em chapa semi infinita, com carregamento distribuído σyy(x) sobre

as superfícies de fratura . . . 54 3.10 Trinca central em chapas: (a) de comprimento infinito e largura 2W (b) de altura

2H e largura 2W . . . . 57 3.11 (a) Tensão residual em chapa de largura W e altura infinita com trinca lateral (b)

Tensão residual em corpo de prova CT . . . 59 3.12 (a) Contato entre superfícies de fratura (b) Sobreposição de duas regiões fisicamente

inaceitável (Parker, 1982) . . . 61 3.13 Sobreposição de superfícies de fratura fisicamente inaceitável em modelo de

elementos finitos. Legenda do mapa de cores em Pascal. . . 62 4.1 (a) Corpo de prova com perfil desconhecido de tensões residuais (b) Perfil de tensão

do tipo degrau unitário para calcular o elemento B32da matriz B . . . . 66

4.2 Corpo de prova considerado no estabelecimento da relação entre Kres

I e a

deformação ϵMno ponto M (Schindler et al., 1996) . . . 67

4.3 Método cut compliance em corpo de prova circular (Schindler et al., 1996) . . . . . 69 4.4 Método cut compliance em corpo de prova CT para medir K_Ires: (a) devido à tensão

residual longitudinal; (b) devido à tensão residual transversal . . . 71 4.5 Método cut compliance em chapa retangular para medir K_Ires: (a) devido à tensão

residual longitudinal; (b) devido à tensão residual transversal . . . 71 4.6 Relação entre procedimentos de análise de engenharia envolvendo tensões residuais

longitudinais . . . 73 4.7 Procedimento de análise de propagação de trinca central ou lateral sob efeito de

tensão residual transversal (caso das figuras 3.5 e 3.6) . . . 74 4.8 Procedimento alternativo de análise de propagação de trinca central ou lateral sob

efeito de tensão residual transversal (caso das figuras 3.5 e 3.6) . . . 74 5.1 Dimensões do corpo de prova considerado . . . 80 5.2 Curva correspondente à equação 3.10a com c = 0,03 m, xpico = 0,130 m e σmaxyy =

5.3 Fluxograma do script em Python para o Abaqus para obtenção de fatores de

intensidade de tensão e cálculo do número de ciclos até a fratura . . . 81

5.4 Fluxograma do programa feito no Matlab para obtenção de fatores de intensidade de tensão e cálculo do número de ciclos até a fratura . . . 83

5.5 Fator de intensidade de tensão residual em função do comprimento da trinca . . . . 84

5.6 Fator de intensidade de tensão devido ao carregamento externo máximo em função do comprimento da trinca . . . 84

5.7 Procedimento para obter o número de ciclos até a fratura, utilizando análises de elementos finitos e um incremento ∆anovoobtido artificialmente. . . 85

5.8 Fator de intensidade de tensão total máximo (Kmax tot ) em função do comprimento da trinca . . . 86

5.9 Número de ciclos de carregamento em função do comprimento da trinca . . . 86

5.10 Taxa de propagação em função do comprimento da trinca . . . 87

5.11 ∆N em função do comprimento da trinca . . . . 87

5.12 Razão de tensão efetiva em função do comprimento da trinca . . . 88

5.13 Kres em função do comprimento da trinca. Ambas as curvas são resultantes de análises de elementos finitos. . . 91

5.14 (a) Dimensões do corpo de prova soldado por FSW, com trinca central (b) Sistema de coordenadas adotado nas análises do caso da seção 5.4.2 . . . 93

5.15 Comparação de Krescalculado com o Abaqus e com a equação 3.15 . . . 94

5.16 Comparação de K_appmax calculado com o Abaqus e com a equação 2.40 . . . 94

5.17 Kmax tot em função de a . . . . 96

5.18 Taxa de propagação em função de a . . . . 97

5.19 ∆N em função de a . . . . 97

5.20 Número de ciclos em função de a . . . 98

5.21 Reffem função de a . . . . 98

5.22 Fluxograma do script em Python para o Abaqus simulando uma trinca central que atravessa um campo de tensões residuais deslocado em relação ao centro da chapa . 100 5.23 (Kmax app )e, (Kappmax)de Kappmaxem função de a . . . 101

5.25 (Kres)eem função de ae . . . 103

5.26 ∆adem função de ad . . . 103

5.27 (ae− ad) em função do número de ciclos . . . 103

5.28 a, aee adem função do número de ciclos . . . 104

5.29 (K_appmax)eem função do número de ciclos . . . 104

5.30 [(Kmax app )e− (Kappmax)d ] em função de a . . . 106

5.31 Operações preliminares para encontrar a matriz B . . . 107

5.32 Curva original e curva calculada pelo método inverso, no caso de chapa retangular. 109 5.33 Curva original e curva calculada pelo método inverso, no caso de corpo de prova CT.110 5.34 (a) Extensômetro posicionado a uma distância d da lateral oposta ao corte (b) Carregamento externo P aplicado ao corpo de prova CT . . . 111

5.35 ϵref yy(a) em diversas distâncias à lateral . . . 112

5.36 Z(a) para diversas distâncias do extensômetro à lateral . . . 113

5.37 ϵyyem função de a, para diversas distâncias em relação à lateral do corpo de prova. 114 5.38 Kres pelo método cut compliance, considerando-se a equação 4.18 e ϵyy de diferentes distâncias em relação à lateral do corpo de prova . . . 115

5.39 Kresutilizando-se funções de influência para diferentes distâncias do extensômetro à lateral do corpo de prova . . . 115

Lista de Tabelas

2.1 Parâmetros necessários para o cálculo da taxa de propagação de trincas em alumínio

2024-T3, utilizando a equação de Walker (Forman et al., 2005). . . 34

2.2 Parâmetros necessários para o cálculo da taxa de propagação de trincas em alumínio 2024-T3, utilizando a equação NASGRO (Forman et al., 2005). . . 40

3.1 Valores de βi(a/W ) na equação 3.38, para trinca lateral em chapa de largura W (Bao et al., 2010; Wu & Carlsson, 1991). . . 60

3.2 Valores de βi(a/W ) na equação 3.39, para geometria CT (Bao et al., 2010). . . . . 60

5.1 Lista de scripts em Python feitos para o Abaqus. . . . 76

5.2 Lista de programas criados para o Matlab. . . 76

5.3 Instruções em Fortran da sub-rotina SIGINI para inserir um perfil de tensão residual 77 5.4 Instruções em Fortran da sub-rotina SIGINI para inserir dois perfis de tensão residual 78 5.5 Keywords que devem ser inseridos pelo usuário no arquivo de input do Abaqus . . 78

5.6 Para o caso 1, número de ciclos calculado pela integração numérica da equação de Walker, com constantes encontradas em Dowling (1999). . . 82

5.7 Para o caso 1, número de ciclos calculado pela integração numérica da equação de Walker, com constantes encontradas em Forman et al. (2005). . . 88

5.8 Para o caso 1, número de ciclos calculado pela integração numérica da equação NASGRO, com constantes encontradas em Forman et al. (2005). . . 89

5.9 Para o caso 2, número de ciclos até a fratura pela equação de Walker, com constantes encontradas em Dowling (1999). . . 90

5.10 Para o caso 2, número de ciclos até a fratura pela equação de Walker, com constantes encontradas em Forman et al. (2005). . . 90

5.11 Para o caso 2, número de ciclos até a fratura pela equação NASGRO. . . 90

5.12 Para o caso 3, número de ciclos até a fratura pela equação de Walker, com constantes encontradas em Dowling (1999). . . 92

5.13 Para o caso 3, número de ciclos até a fratura pela equação de Walker, com constantes encontradas em Forman et al. (2005). . . 92 5.14 Para o caso 3, número de ciclos até a fratura pela equação NASGRO. . . 92 5.15 Número de ciclos até a fratura pela equação de Walker, com constantes encontradas

em Dowling (1999). . . 95 5.16 Número de ciclos até a fratura pela equação de Walker, com constantes encontradas

em Forman et al. (2005). . . 95 5.17 Número de ciclos até a fratura pela equação NASGRO. . . 96 5.18 Número de ciclos até a fratura pela equação NASGRO, com perfil de tensão residual

deslocado para a direita. . . 101 5.19 ae, ad, (ae− ad) e a, em metro, no momento da fratura. . . 105

5.20 Instruções do Matlab para preencher a matriz B. . . 108 5.21 Instruções do arquivo sigmah.m, para o caso de uma chapa retangular e um perfil

de tensão do tipo degrau unitário. . . 108 5.22 Instruções do arquivo step_sf.m . . . 109

Nomenclatura

Letras Latinas

a Vetor de aceleração

A Área da trinca, igual a 2at no caso de uma trinca central e at no caso de uma trinca lateral

a Comprimento da trinca

a0 Comprimento intrínseco da trinca

A0, A1, A2, A3 Coeficientes adimensionais usados na determinação da função f de abertura de

trinca

ad Distância entre a origem e a ponta direita da trinca

ae Distância entre a origem e a ponta esquerda da trinca

AI Área de uma pequena região da seção de corte de uma peça, envolvendo um

número limitado de grãos cristalinos Ai Área da seção de corte do grão cristalino i

Ak, Bk Parâmetros adimensionais dependentes do material, usados para calcular a

tenacidade a fratura em função da espessura do corpo de prova Ap Área total de uma seção de corte plana de uma peça

AΓ Área do corpo de prova plano, delimitada pelo contorno Γ

B Matriz ponderadora, que relaciona fatores de intensidade de tensão residual com valores discretos de tensão residual

Bij Elemento ij da matriz B

b Na função de Green, distância do ponto de aplicação da força P à origem do eixo x

C Coeficiente de Paris

[

Pa− n_m1 −n₂]

c Distância entre xpico e a posição x em que a curva se torna zero

C0 Coeficiente de Paris para o caso particular em que a razão de tensão R vale zero

[

Pa− nm1 −n2

Cf Coeficiente de Forman [ Pa1 − nm (_3−n 2 )]

CN Coeficiente da equação NASGRO

[

Pa− n_m1 −n₂]

Cijkl Elemento ijkl do tensor constitutivo elástico

Cth Coeficiente adimensional, associado ao threshold

C_th+ Coeficiente adimensional, associado ao threshold, para R positivo C_th− Coeficiente adimensional, associado ao threshold, para R negativo D Diâmetro de corpo de prova em forma de disco

d Distância do extensômetro à lateral do corpo de prova E Soma das energias de deformação elástica e plástica

E Módulo de elasticidade

E′ Módulo de elasticidade efetivo; E′ = E para tensão plana ou E = E/(1− ν2) para deformação plana

ekl Componente kl do tensor de deformações elásticas

f(x, y) Campo vetorial de forças de corpo

f Função de abertura de trinca (Kop/Kmax)

F (a/W ) Função da razão entre o comprimento da trinca e a largura da chapa, usada para calcular fatores de intensidade de tensão devido ao carregamento externo feff Função de abertura de trinca efetiva

G Crack driving force ou taxa de liberação de energia de deformação elástica Gc Taxa crítica de liberação de energia de deformação elástica

g(a, b) Função de Green para a ponta direita de uma trinca de comprimento 2a em chapa de dimensões infinitas

gi(a/W ) Funções de a/W , usadas para calcular funções ponderadoras h(x, a)

h(x, y, a) Vetor de funções ponderadoras

H Altura de chapa com trinca lateral; metade da altura de chapa com trinca central h(x, a) Função ponderadora, usada para determinar fatores de intensidade de tensão

residual

J Taxa de liberação de energia de deformação fornecida pela integral J

Kres Vetor com valores de fatores de intensidade de tensão residual, para diversos comprimentos de trinca de um corpo de prova

K Energia cinética do sólido deformável

Kc Tenacidade à fratura em estado de tensão plana

KI, KII, KIII Fatores de intensidade de tensão em modos I, II e III de abertura de trinca

K_Iapp Fator de intensidade de tensão em modo I de abertura de trinca, devido ao carregamento externo aplicado

Kres

I Fator de intensidade de tensão residual em modo I de abertura de trinca

K_Itot Fator de intensidade de tensão total em modo I de abertura de trinca KIc Tenacidade à fratura em estado de deformação plana

K_Iref Fator de intensidade de tensão em modo I de abertura, devido a um carregamento de referência

K_Icont Fator de intensidade de tensão devido ao contato entre superfícies de fratura Kmin, Kmax Mínimo e máximo fator de intensidade de tensões, considerando a oscilação do

carregamento externo

Kop Mínimo fator de intensidade de tensão para obter a completa separação das

superfícies de fratura e a propagação da trinca

Kres(i) Elemento i do vetor de fatores de intensidade de tensão residual Kres m Parâmetro adimensional conhecido como expoente de Walker m+ _{Expoente de Walker, para R positivo}

m− Expoente de Walker, para R negativo

mi Parâmetro dependente de a/W , usado para calcular funções ponderadoras

h(x, a)

n Parâmetro adimensional conhecido como expoente de Paris

n Vetor normal ao contorno Γ

N Número de ciclos de carregamento Ng Número de grãos cristalinos

P Força atuante em superfícies de fratura

p Expoente adimensional da equação NASGRO, associado ao threshold

q Expoente adimensional da equação NASGRO, associado ao início da propagação instável da trinca

qref, qnovo Respectivamente, carregamento externo de referência e carregamento externo

novo

R Curva de resistência do sólido trincado

R Razão de tensão (σmin/σmax, que equivale a Kmin/Kmax)

r Distância entre um ponto e a ponta da trinca

Reff Razão de tensão efetiva, considerando-se o efeito das tensões residuais

rp Tamanho da zona deformada plasticamente, considerando-se perfil de

deformação elasto-plástico

ry Estimativa do tamanho da zona deformada plasticamente, considerando-se perfil

de deformação linear-elástico

Sres Vetor com valores de tensão residual, para diversas posições x em relação ao local em que a trinca se nucleia

s No método cut compliance, distância da força F ao ponto M Sres(i) Elemento i do vetor de tensões residuais Sres

T(x, y) Vetor de tração normal ao contorno Γ

t Tempo

t Espessura da chapa

t0 Espessura mínima do corpo de prova para que um ensaio de tenacidade à fratura

em deformação plana (KIc) seja válido

u(x, y, a) Campo vetorial de deslocamentos

uref(x, y, a) Campo vetorial de deslocamentos associado a um carregamento de referência Ue Energia de deformação elástica

Up Energia de deformação plástica

U No modelo de Elber, razão entre ∆Keffe ∆K

ux, uy, uz Deslocamentos em x, y e z

v(x, a) Função que define o deslocamento em y de cada superfície de fratura

vref_{(x, a) Função que define o deslocamento em y de cada superfície de fratura, devido a}

um carregamento de referência

W Largura da chapa no caso de trinca lateral de comprimento a; metade da largura da chapa no caso de trinca central de comprimento 2a

w Densidade de energia de deformação

xpico Posição em que o perfil de tensão residual é máximo

Z(a) Função de influência do método cut compliance

Letras Gregas

α Fator de restrição tensão/deformação plana (adimensional)

βi(a/W ) Funções de a/W , usadas para calcular funções ponderadoras h(x, a)

Γ Contorno do corpo de prova plano

γ Energia de superfície do material, por unidade de área superficial ΓS Energia empregada na separação das superfícies de fratura

∆a Incremento sobre o comprimento da trinca ∆ad Incremento sobre ad

∆ae Incremento sobre ae

∆K Variação do fator de intensidade de tensão devido à oscilação do carregamento externo (Kmax− Kmin)

∆K0 ∆Kthquando a razão de tensão R vale zero

∆K1 ∆Kthquando a razão de tensão R tende a 1

∆Keff Variação do fator de intensidade de tensões que efetivamente abre a trinca

∆Kth ∆K threshold

∆Ktot Variação do fator de intensidade de tensão, considerando-se o efeito das tensões

residuais

∆N Incremento sobre o número de ciclos

δ Deslocamento do ponto de aplicação de uma força P

δe Deslocamento medido pelo extensômetro no experimento de Elber

δf c Deslocamento de abertura de trinca para uma trinca de fadiga

δsc Deslocamento de abertura de trinca para uma corte de serra ideal

ϵ0y(y) Perfil de deformação plástica em uma seção Y-Y, proximo à ponta de uma trinca

(∆Kth)eff ∆K threshold, considerando-se Reff

ϵ Tensor de deformação

ϵ Deformação

ϵf Deformação no momento da fratura

ϵref_M Deformação do ponto M, devido a um carregamento de referência ϵ∗_kl Componente kl do tensor de deformações inelásticas

ϵapp_kl Componente kl do tensor de deformações elásticas devido ao carregamento externo

ϵres_kl Componente kl do tensor de deformações elásticas associado às tensões residuais

η Coordenada isoparamétrica de elemento finito

θ Ângulo que fornece a posição de um ponto em relação à ponta da trinca em coordenadas polares

κ κ = 3− 4ν para deformação plana; κ = (3 − ν)/(1 + ν) para tensão plana

µ Módulo de cisalhamento

ν Coeficiente de Poisson

ξ Coordenada isoparamétrica de elemento finito Π Energia potencial do sistema

ρ Massa específica do material

σ Tensor de tensões

σ Tensão

σ1, σ2, σ3 Componentes principais de tensão

σf r Tensão de ruptura da peça na presença de uma trinca

σij Componente ij do tensor de tensões

σmin, σmax Mínima e máxima tensão aplicada, considerando carregamento externo cíclico

σop Mínima tensão aplicada para obter a completa separação das superfícies de

fratura e a propagação da trinca σI

res, σIIres, σresIII Tensões residuais dos tipos I, II e III

σY S Tensão de escoamento do material

σmax

Abreviações

ASTM American Society for Testing and Materials

CT Compact Tension

FSW Friction Stir Welding HAZ Heat Affected Zone

MFLE Mecânica da Fratura Linear Elástica TMAZ Thermo-Mechanically Affected Zone

SUMÁRIO

2 MECÂNICA DA FRATURA LINEAR ELÁSTICA 7

2.1 Balanço de energia na propagação de uma trinca . . . 7 2.2 Taxa de liberação de energia de deformação elástica linear (G) . . . . 8 2.3 Integral J . . . 11 2.4 CurvasR . . . 14 2.5 Fator de intensidade de tensão . . . 17 2.6 Fator de intensidade de tensão pelo método de elementos finitos . . . 22 2.7 Tamanho da zona plasticamente deformada . . . 24 2.8 Tenacidade à fratura . . . 27 2.9 Anisotropia devido à laminação . . . 29 2.10 Modelagem da taxa de propagação de trincas . . . 30 2.10.1 Lei de Paris . . . 31 2.10.2 Equação de Nicholls . . . 32 2.10.3 Equação de Walker . . . 32 2.10.4 Equação de Forman . . . 34 2.10.5 O efeito de fechamento de trinca . . . 34 2.10.6 Equação NASGRO . . . 38

3 MECÂNICA DA FRATURA COM TENSÕES RESIDUAIS 42

3.1 Eigenstrain e eigenstress . . . . 42 3.2 Tensões residuais . . . 43

3.2.1 Tipos de tensões residuais . . . 43 3.2.2 Equilíbrio de forças . . . 45 3.2.3 Distribuição de tensões residuais em chapas com trincas . . . 47 3.3 Princípio da sobreposição . . . 50 3.4 Função de Green . . . 50 3.5 Funções ponderadoras . . . 52 3.5.1 Método Petroski-Achenbach . . . 54 3.5.2 Funções ponderadoras para diversas geometrias . . . 56 3.6 Contato entre as superfícies de fratura . . . 61 3.7 Influência de tensões residuais sobre a taxa de propagação de trincas . . . 63 4 METODOLOGIA PARA DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DE TENSÕES

RESIDUAIS 64

4.1 Obtenção de σ_yyres(x) a partir de K_Ires(a) (Método Inverso) . . . 64 4.2 Método cut compliance . . . . 67 4.2.1 Determinação de funções de influência . . . 68 4.3 Relação entre procedimentos experimentais e análises teóricas . . . 72

5 ANÁLISES E RESULTADOS 75

5.1 Introdução . . . 75 5.2 Inserção de tensões residuais em modelos de elementos finitos do Abaqus . . . 77 5.3 Propagação de trinca lateral em chapa retangular . . . 79 5.3.1 Caso 1 . . . 79 5.3.2 Caso 2: Influência de c . . . . 89 5.3.3 Caso 3: Influência de xpico . . . 91

5.4 Propagação de trinca central em chapa retangular . . . 93 5.4.1 Caso 1: trinca nucleia-se na parte positiva do campo de tensão residual . . 94 5.4.2 Caso 2: trinca nucleia-se próximo, porém, fora do campo de tensão residual 99 5.5 Implementação de programas para encontrar a matriz B . . . 106 5.5.1 Matriz B em corpo de prova retangular . . . 107 5.5.2 Matriz B em corpo de prova CT . . . 110

5.6 Influência do posicionamento do extensômetro no ensaio cut compliance . . . 111

6 DISCUSSÕES FINAIS E CONCLUSÕES 116

1 INTRODUÇÃO

1.1 Motivação

A pesquisa em mecânica da fratura ganhou força após os incidentes ocorridos com os navios Liberty durante a Segunda Guerra Mundial (Anderson, 1995). Devido ao esforço de guerra, estes navios cargueiros deveriam ser produzidos mais rapidamente e em maior quantidade. Assim, foi decidido produzir os seus cascos utilizando apenas soldagem, ao invés de empregar rebites para juntar as chapas. Isto foi considerado um avanço técnico revolucionário até certo dia em 1943, quando um dos exemplares se dividiu completamente em duas partes, sem razão aparente e sem aviso prévio, enquanto viajava entre a Sibéria e o Alaska. Dos 2700 navios Liberty construídos durante aquela guerra, 400 sofreram fraturas, dos quais 90 foram consideradas graves. Vinte navios foram completamente inutilizados, dos quais dez se partiram em duas partes. A figura 1.1 exibe um Liberty após a falha de sua estrutura.

Figura 1.1: Exemplar do navio Liberty após falha estrutural

Entre outros fatores que contribuíram para a falha destes navios é que o casco, sendo inteiramente soldado, se comporta com uma peça única de metal. As trincas que surgiam podiam se propagar por todo o casco, sem encontrar fronteiras, como acontece com uma estrutura feita de chapas rebitadas. O problema foi amenizado com a adição de reforços estruturais, em localizações

estratégicas.

Algo semelhante aconteceu com a primeira aeronave civil a receber propulsão a jato: o DeHavilland Comet. Em 1952, quando foi colocado em serviço, tudo indicava que seria um grande sucesso, mas este otimismo durou pouco. Em 1954, dois exemplares caíram após apenas 1286 e 903 vôos (Schijve, 2009). Trincas causadas pelos ciclos de pressurização e despressurização da fuselagem começaram a surgir nas janelas, que não tinham um formato muito favorável, em termos de resistência à fadiga. Visto que se tratava do primeiro avião civil impulsionado por turbinas, seu teto operacional e sua altitude de cruzeiro eram muito superiores aos de aeronaves precedentes. Por consequência, a diferença de pressão entre o interior e o exterior da fuselagem também era superior. Antes do Comet ter sido colocado em serviço, sua fuselagem fora submetida a ensaios de fadiga que indicaram que as trincas mencionadas começariam a surgir após 16000 vôos. Antes destes ensaios de fadiga, porém, a mesma fuselagem havia sido submetida a ensaios de carregamento estático, que introduziram pequenas deformações plásticas, responsáveis pelo surgimento de tensões residuais favoráveis à vida em fadiga, distorcendo os resultados. A mesma fuselagem foi utilizada nos ensaios de fadiga visando a redução de custos na construção de protótipos. Apesar de tudo, versões posteriores do Comet, com o projeto modificado, se tornaram verdadeiros sucessos comerciais e estiveram em serviço durante várias décadas.

Figura 1.2: Aeronave da Aloha Airlines após o vôo 243, em 1988

Outro caso comumente citado em textos de mecânica da fratura é o do Boeing 737 da Aloha Airlines que em 1988 perdeu parte de sua fuselagem a 7300 m de altitude e pôde continuar voando até a aterrissagem em um aeroporto (Schijve, 2009). A falha exibida na figura 1.2 ocorreu devido

a um grande número de trincas que surgiram em furos de rebites em certa junta sobreposta. A aeronave era antiga: tinha 89680 ciclos de decolagem e aterrissagem, 35496 horas de vôo e 19 anos. Havia um problema de corrosão no local e o problema era conhecido previamente pelo fabricante da aeronave, que fornecia instruções de inspeção que não foram devidamente executadas. Inúmeros casos semelhantes no setor aeronáutico são relatados em Schijve (2009).

Segundo Anderson (1995), a maioria das falhas estruturais se enquadram em uma (ou duas) das seguintes categorias:

• Negligência durante o projeto, construção ou operação da estrutura.

• Aplicação de alguma inovação no projeto ou o emprego de um novo material, ocasionando algum efeito inesperado e indesejável.

As falhas sofridas pelos navios Liberty e as quedas das aeronaves Comet poderiam ter sido evitadas se o projeto tivesse sido executado com maior cuidado, visto que em ambos os casos alguma inovação estava sendo empregada: a soldagem no caso do Liberty e a propulsão a jato no caso do Comet.

Este trabalho é parte do esforço empregado na verificação dos efeitos que um novo processo de soldagem, conhecido como FSW (Friction Stir Welding), causará em estruturas aeronáuticas. Particularmente, deseja-se determinar se a vida em fadiga de chapas unidas por FSW é prejudicada ou não.

1.2 Soldagem FSW

Friction Stir Welding (FSW) é uma técnica de soldagem que emprega o calor gerado pelo atrito de uma ferramenta em contato com o local onde deve ser feita a solda, como mostra a figura 1.3. Esta ferramenta é normalmente feita de aço e rotaciona ao mesmo tempo que exerce uma força contra as chapas e avança ao longo da junção. Além do calor gerado pelo atrito, são induzidas deformações plásticas no local da solda. A temperatura atingida neste processo é suficiente para deixar o material em estado semi-sólido, não ocorrendo a fusão do mesmo.

Segundo Khaled (2005), as principais vantagens da soldagem FSW são: baixa distorção, ausência de defeitos associados à fusão do material, alta resistência da junta (mesmo no caso de ligas consideradas não soldáveis por técnicas convencionais, como ligas de alumínio das séries

Figura 1.3: Soldagem de topo por FSW (Khaled, 2005)

2xxx e 7xxx) e ausência de defeitos associados ao metal de adição, já que não se adiciona metal algum. A substituição do emprego de rebites pela soldagem FSW pode levar a uma redução de peso do produto, redução de custos de produção (já que a soldagem pode ser realizada em menor tempo), e eliminação da concentração de tensões nos furos que seriam abertos para a instalação de rebites.

Figura 1.4: Zonas afetadas pela soldagem FSW (Khaled, 2005)

A figura 1.4 exibe zonas produzidas pela soldagem FSW. Devido ao intenso calor gerado no processo, ocorre a formação de uma região com microestrutura modificada, chamada de zona termicamente afetada (HAZ – Heat Affected Zone) e outra em seu interior denominada zona termo-mecanicamente afetada (TMAZ - Thermo-Mechanically Affected Zone). No interior desta última, encontra-se uma região denominada núcleo ou nugget.

Além das modificações microestruturais, são introduzidas tensões residuais na região da solda.

1.3 Objetivos

O objetivo do trabalho de pesquisa desta dissertação é desenvolver métodos para determinar a vida residual em fadiga de peças com trincas que atravessam a região da solda FSW, considerando-se o efeito do campo de tensões residuais.

Como um trabalho adicional, são abordadas técnicas que permitem predizer o perfil de tensão residual, utilizando conceitos de mecânica da fratura. Entre a coleta de dados experimentais e a obtenção do perfil de tensão residual há etapas de tratamento de dados que exigem a criação e uso de programas. Tais programas são implementados e testados de modo que possam ser utilizados posteriormente por outros integrantes do grupo de pesquisa do Departamento de Mecânica Computacional da UNICAMP, do qual o autor deste trabalho fez parte.

1.4 Organização do trabalho

A seguir é feita uma breve descrição dos seis capítulos que compõem esta dissertação: Capítulo 1: Introdução. Aqui são dados o contexto e a motivação deste trabalho de pesquisa bem como uma sucinta descrição do processo de soldagem FSW.

Capítulo 2: Mecânica da fratura linear elástica. Este capítulo fornece todas as informações importantes na compreensão e no desenvolvimento deste trabalho, não relacionadas à presença de tensões residuais. Portanto, foi necessário incluir conceitos que envolvem balanço de energia, visto que o Abaqus utiliza a integral J no cálculo de fatores de intensidade de tensão e expressões importantes do método cut compliance são obtidas a partir daqueles conceitos. Critérios de falha são utilizados nas análises descritas no Capítulo 5, implicando na necessidade de abordar conceitos de tenacidade à fratura. Visto que a equação NASGRO é empregada neste trabalho e que tal equação leva em consideração o efeito de fechamento de trinca, este efeito é abordado no Capítulo 2. Capítulo 3: Mecânica da fratura com tensões residuais. Este capítulo começa apresentando as tensões residuais como uma consequência da introdução de deformações inelásticas na peça. É abordada a condição de equilíbrio de forças no interior de um sólido com um campo de tensões residuais bem como a redistribuição de tal campo devido à propagação de trincas. O conceito de função ponderadora é dado neste capítulo e demonstra-se como utilizá-lo no cálculo de fatores

de intensidade de tensão residual. Finalmente, aborda-se a modificação de equações de taxa de propagação a fim de considerar os fatores de intensidade de tensão residual.

Capítulo 4: Metodologia para determinação experimental de tensões residuais. Este capítulo demonstra como obter uma curva de tensão residual longitudinal a partir de uma curva de fatores de intensidade de tensão residual pela montagem de um sistema de equações lineares. Os fundamentos teóricos do método cut compliance são abordados. A última seção descreve a relação entre procedimentos experimentais e teóricos de análise de mecânica da fratura envolvendo tensões residuais.

Capítulo 5: Análises e resultados. Este capítulo demonstra que fatores de intensidade de tensão residual podem ser determinados utilizando-se a sub-rotina SIGINI do Abaqus para inserir campos de tensões residuais em modelos de elementos finitos de peças trincadas. São apresentados gráficos que comprovam a boa concordância dos resultados obtidos por elementos finitos com expressões analíticas apresentadas nos capítulos precedentes. É abordada uma técnica numérica de integração de equações de taxa de propagação que se demonstrou adequada na determinação da vida residual em fadiga de sólidos com trincas que se propagam atravessando o campo de tensões residuais. Uma versão modificada da referida técnica se demonstrou capaz de lidar com assimetrias do componente devido às tensões residuais. A técnica descrita no Capítulo 4, para obter uma curva de tensão residual longitudinal a partir de uma curva de fatores de intensidade de tensão residual é aplicada, produzindo bons resultados para incrementos de 1 mm sobre o comprimento da trinca. Prova-se neste capítulo que o campo de deformações elásticas na região próxima à lateral de um corpo de prova se modifica com o aumento do comprimento do corte e que esta modificação pode ser utilizada na aplicação do ensaio cut compliance no caso de chapas muito finas.

Capítulo 6: Discussões finais e conclusões. Este capítulo enfatiza as conclusões mais importantes deste trabalho, além de apontar aspectos importantes que deverão ser investigados em trabalhos posteriores.

2 MECÂNICA DA FRATURA LINEAR ELÁSTICA

2.1 Balanço de energia na propagação de uma trinca

O balanço de energia que deve haver durante a propagação de uma trinca foi proposto por Griffith (1920) em sua obra. Considere uma trinca central ou lateral que se propaga em um sólido deformável sujeito a um carregamento externo arbitrário. Na notação adotada por Gdoutos (2005), se W é o trabalho realizado pelo carregamento aplicado, E e K são, respectivamente, as energias de deformação e cinética do sólido e ΓS é a energia efetivamente empregada na separação das

superfícies de fratura, a lei da conservação de energia exige que: dW dt = dE dt + dK dt + dΓS dt (2.1)

onde t (não itálico) representa o tempo. A energia de deformação E é a soma das energias de deformação elástica (Ue) e plástica (Up):

E = Ue+ Up (2.2)

As áreasA de uma trinca central de comprimento 2a e de uma trinca lateral de comprimento a em uma chapa de espessura t (em itálico) são dadas por:

A = 2at (trinca central) (2.3a)

A = at (trinca lateral) (2.3b)

A equação 2.1 também é válida se o tempo t é substituído pela áreaA da trinca. A prova disso vem da consideração de que o comprimento da trinca e (por consequência) a áreaA sejam expressos em função do tempo e que cada um dos parâmetros da equação 2.1 seja expresso em função da área A. Neste caso, a regra da cadeia fornece:

dW (A (t)) dt = dE (A (t)) dt + dK (A (t)) dt + dΓS(A (t)) dt (2.4a)

dW dA dA dt = dE dA dA dt + dK dA dA dt + dΓS dA dA dt (2.4b) dW dA = dE dA + dK dA + dΓS dA (2.4c)

Ao abordar o balanço de energia na propagação da trinca, a maioria dos textos de mecânica da fratura inicia pela equação 2.4c, ao invés da equação 2.1, que pode ser mais intuitiva devido à semelhança com as equações encontradas em textos de termodinâmica.

Se o carregamento externo não varia em função do tempo e a trinca cresce lentamente, a energia cinética K é desprezível. Assim, a equação 2.4c pode ser reescrita como:

dW dA = ( dUe dA + dUp dA ) +dΓS dA (2.5)

A energia potencial Π do sistema é definida por:

Π = Ue− W (2.6)

Neste caso, o balanço de energia também pode ser expresso como: −dΠ dA = dUp dA + dΓS dA (2.7)

2.2 Taxa de liberação de energia de deformação elástica linear (

G

)

A taxa de variação da energia potencial do sistema com relação à área da trinca é definida por (Anderson, 1995; Irwin, 1956): G = −dΠ dA = dW dA − dUe dA (2.8)

G é conhecido como crack driving force ou crack extension force ou ainda como taxa de liberação de energia de deformação elástica linear.

Considerando-se um deslocamento δ correspondente ao ponto de aplicação de uma força P no corpo de prova mostrado na figura 2.1a, há dois casos particulares em queG pode ser calculado conhecendo-se apenas a taxa dUe/dA. Estes casos são:

1. Deslocamento constante e força variável 2. Deslocamento variável e força constante

Na ausência de deformação plástica, o diagrama força-deslocamento do corpo de prova é linear, como mostra a figura 2.1b. Com o aumento do tamanho da trinca, a rigidez do corpo de prova diminui e a inclinação do diagrama força-deslocamento se torna menor, como mostra a figura 2.1c.

Figura 2.1: (a) Corpo de prova sujeito a uma força P (b) Diagrama força-deslocamento do corpo de prova com trinca de comprimento a (c) Efeito do aumento do tamanho da trinca sobre o diagrama força-deslocamento (Gdoutos, 2005; Broek, 1988)

A figura 2.2a corresponde ao caso 1, deslocamento constante e força variável. Ela mostra que se o comprimento da trinca aumenta de a1 para a2 e o ponto de aplicação da força não se desloca,

então P deve ser reduzido de P1 para P2. Entre os estados A e B, a força P não realiza trabalho,

(dW/dA = 0) e ocorre uma redução da energia de deformação elástica (dUe/dA < 0). Assim, G é dado por:

G = −dUe

dA (Deslocamento constante, força variável, dU

e_{/dA < 0) (2.9)}

A figura 2.2b mostra novamente o comprimento da trinca aumentando de a1 para a2, mas,

desta vez, a força P permanece constante e o ponto de aplicação desta força se desloca de δ1 para

δ2. Assim, P realiza um trabalho expresso por P (δ2 − δ1), a energia de deformação aumenta de

1/2P δ1para 1/2P δ2 eG pode ser expresso por (Broek, 1988):

G = dW dA − dUe dA = P (δ2− δ1) ∆A − 1 2P (δ2− δ1) ∆A = 1 2P (δ2− δ1) ∆A (2.10)

Figura 2.2: (a) Deslocamento constante, força variável (b) Força constante, deslocamento variável (Broek, 1988)

taxa de variação da energia de deformação elástica com relação à áreaA: G = dU

e

dA (Força constante, deslocamento variável, dU

e_{/dA > 0) (2.11)}

As equações 2.9 e 2.11 não devem ser vistas como formas alternativas da definição deG. São apenas os resultados para dois casos particulares. G é frequentemente chamado como taxa de liberação de energia de deformação elástica. Entretanto, a rigor, este termo seria adequado somente ao primeiro caso apresentado (deslocamento constante, força variável), onde a energia utilizada na propagação da trinca é de fato proveniente da energia de deformação elástica (Gdoutos, 2005). No segundo caso, porém, a energia utilizada na propagação da trinca provém do trabalho realizado pela força P e não há liberação de energia de deformação elástica; pelo contrário, ocorre uma absorção de energia nesta forma.

A mudança na energia de deformação elástica devido à presença de uma trinca de comprimento 2a em uma chapa de dimensões infinitas e espessura t sujeita a um carregamento σ que atua perpendicularmente ao plano da trinca é dada por (Gdoutos, 2005; Griffith, 1920):

Ue = πa

2_σ2_t

8µ (κ + 1) (2.12)

Poisson ν e do estado de tensão/deformação: κ =      3− ν 1 + ν (Tensão Plana) 3− 4ν (Deformação Plana) (2.13)

Se o material é isotrópico, tem-se a seguinte relação entre módulo de elasticidade, módulo de cisalhamento e coeficiente de Poisson:

µ = E

2(1 + ν) (2.14)

Derivando a equação 2.12 com relação à áreaA dada por 2.3a, e igualando o resultado com a equação 2.11, obtém-se: G = dUe dA = dUe da dA da = πaσ 2_{(κ + 1)} 8µ (2.15)

A equação 2.15 é válida no caso de uma trinca de comprimento 2a em um meio infinito, sob carregamento constante. Nota-se que ela é linear com relação ao comprimento da trinca, visto que todos os demais parâmetros são independentes de a, cujo expoente é 1. Nos casos em que o corpo de prova apresenta dimensões finitas, esse comportamento linear com relação ao comprimento da trinca desaparece.

2.3 Integral J

A figura 2.3a exibe uma trinca em um sólido plano feito de material elástico linear ou não linear. Γ é um contorno qualquer que circunda a ponta da trinca e termina ao encontrar as superfícies de fratura, isto é, trata-se de uma curva aberta. O campo de deslocamentos é denotado por u e o vetor de tração normal a Γ é expresso por:

T = σ· n (2.16)

onde σ é o tensor de tensões e n é um vetor unitário normal a Γ.

Segundo Rice (1968), se o contorno Γ é percorrido no sentido anti-horário, a taxa de liberação de energia de deformação elástica não linear pode ser calculada pela integral J, que é expressa por:

Figura 2.3: (a) Contorno aberto Γ envolvendo a ponta da trinca (b) Contorno fechado envolvendo a ponta da trinca (Rice, 1968)

J =−∂Π ∂A = ∫ Γ w dy− T · ∂u ∂x ds (2.17)

Se o material se deforma apenas em regime linear elástico, tem-se J = G. A densidade de energia de deformação w é um campo escalar que depende do estado de deformação infinitesimal em cada ponto de coordenada (x, y) da peça. Ela quantifica a energia de deformação por unidade de volume no ponto de interesse e é expressa por:

w = w(ϵij(x, y)) =

∫ ϵij

0

σij dϵij (2.18)

Em notação indicial, x = x1 e y = x2. Se a deformação é elástica linear, a densidade de

energia de deformação é dada por:

w = w(ϵij(x, y)) =

1

2σijϵij (2.19)

Deseja-se demonstrar que para uma dada peça sob um dado carregamento, o valor da integral J independe de qual contorno Γ é escolhido. Tal demonstração pode ser encontrada no trabalho de Rice (1968) e exige o conhecimento da relação entre o tensor de pequenas deformações e o gradiente do vetor de deslocamentos: ϵ = 1 2 [ (∇u)T+∇u ] (2.20)

ϵij = 1 2 ( ∂ui ∂xj +∂uj ∂xi ) (2.21)

Além disso, é preciso conhecer a equação de movimento de Cauchy, que é, segundo Lai et al. (1993):

∇ · σ + ρ f = ρ a (2.22)

ou seja, o divergente do tensor de tensões mais o vetor de forças de corpo multiplicado pela massa específica do material é igual ao vetor de aceleração multiplicado pela massa específica. Tal equação, em notação indicial é expressa da seguinte forma:

∂σij

∂xj

+ ρ fi = ρ ai (2.23)

Se não há aceleração, a equação de movimento de Cauchy se torna uma equação de equilíbrio. Se além disso, não há forças de corpo, tem-se∇ · σ = 0.

É preciso demonstrar que a integral J é nula se Γ é um contorno fechado, que será expresso nas equações subsequentes como ΓF. A área circundada por ΓF será expressa por AF. O teorema

de Green, que relaciona a integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a área delimitada por aquela curva, permite escrever:

J = ∫ ΓF w dy− Ti ∂ui ∂x ds = ∫ AF [ ∂w ∂x − ∂ ∂xj ( σij ∂ui ∂x )] dx dy (2.24)

Derivando-se a equação w em relação a x, tem-se: ∂w ∂x = ∂w ∂ϵij · ∂ϵij ∂x = σij ∂ϵij ∂x (2.25a) = 1 2 σij [ ∂ ∂x ( ∂ui ∂xj ) + ∂ ∂x ( ∂uj ∂xi )] (2.25b) = σij ∂ ∂xj ( ∂ui ∂x ) (2.25c) = ∂ ∂xj ( σij ∂ui ∂x ) (2.25d)

resultante da equação 2.21, que expressa as componentes do tensor de deformações infinitesimais em termos de derivadas das componentes de deslocamentos. A penúltima igualdade (equação 2.25c) é válida pois σij = σji, isto é, o tensor de tensões é simétrico. A última igualdade (equação 2.25d)

é escrita considerando-se∇ · σ = 0.

A substituição da equação 2.25d na equação 2.24 permite concluir que a integral J é nula se o contorno Γ é fechado.

A figura 2.3b exibe um contorno fechado ΓFdado pela união dos seguintes contornos:

• Γ1, que é percorrido no sentido anti-horário;

• Γ+, que coincide com a superfície de fratura superior e é percorrido de Γ1para Γ2;

• Γ2, que é percorrido no sentido horário;

• Γ−, que coincide com a superfície de fratura inferior e é percorrido de Γ2para Γ1.

Neste caso, a integral J sobre o contorno fechado ΓFé expressa por:

0≡ JF= J1+ J2+ J−+ J+ (2.26)

Nas superfícies de fratura, T = 0 e dy = 0. Consequentemente, J− e J+ são nulos e J1 =

−J2. Se Γ2é percorrido no sentido anti-horário, tem-se J1 = J2.

Na presença de deformações plásticas ou de dilatação térmica não uniforme, a integral J deixa de ser independente do contorno Γ escolhido (Carka & Landis, 2011; Bao et al., 2010).

2.4 Curvas

R

Independentemente do tamanho e forma do corpo de prova e do tipo de material utilizado, a seguinte condição é requerida para que haja propagação da trinca:

G = R (2.27)

R é chamado como curva R ou curva de resistência (Anderson, 1995). No caso de materiais idealmente frágeis, ou seja, que apresentam apenas comportamento linear elástico,R é constante:

R = dΓS

onde γ é a energia de superfície do material, que quantifica a energia requerida para formar uma nova superfície, por unidade de área superficial. Visto que na propagação de uma trinca ocorre a ampliação de duas superfícies de fratura, γ é multiplicado por dois na equação 2.28.

Figura 2.4: Balanço energético na fratura de um corpo de prova frágil de dimensões infinitas com trinca de comprimento 2a1 (Gdoutos, 2005)

A figura 2.4 representa graficamente o balanço de energia na fratura de uma chapa de dimensões infinitas com trinca de comprimento 2a1. G é dado pela equação 2.15 e R é uma reta

horizontal pois um material frágil está sendo considerado. No início, o carregamento aplicado σ é menor do que σf r e não ocorre qualquer alteração no comprimento da trinca. O carregamento é

aumentado e no instante em que σ se iguala a σf r, a condição da equação 2.27 é satisfeita e a trinca

começa a se propagar de maneira instável, visto queG continua crescendo devido ao aumento do comprimento da trinca enquanto a resistência do materialR permanece constante.

A tensão de ruptura σf r correspondente ao caso da figura 2.4 é calculado igualando-se a

equação 2.15 à equação 2.28. Os resultados são (Gdoutos, 2005; Griffith, 1920):

σf r =

√

2E γ

πa(1− ν2₎ (Deformação Plana) (2.29a)

σf r =

√ 2E γ

πa (Tensão Plana) (2.29b)

Se o material é elasto-plástico, entãoR é definido por (Gdoutos, 2005): R = dΓS

dA + dUp

A figura 2.5 mostra o comportamento de uma curvaR no caso de um material elasto-plástico. As demais curvas representam G para diversos valores de σ, o carregamento externo aplicado perpendicularmente ao plano da trinca. Desta vez, G não corresponde a uma reta pois um corpo de prova de dimensões limitadas está sendo considerado. O comprimento inicial da trinca é a1,

e σ é aumentado a partir de zero até atingir o valor σ2, que é menor do que σf r. Neste caso,

a trinca se propaga estavelmente até o comprimento a2. Se logo em seguida, o carregamento

externo é removido e um novo carregamento é aplicado, o diagrama deve ser construído novamente, considerando-se desta vez um comprimento de trinca inicial igual a a2.

Figura 2.5: Balanço energético na propagação estável de uma trinca de comprimento inicial a1 em

um corpo de prova elasto-plástico de dimensões finitas (Gdoutos, 2005)

Visto que a concavidade deG é para cima e a concavidade de R é para baixo, conclui-se que as condições para que haja propagação estável da trinca são as fornecidas pelas equações 2.31a e 2.31b (Anderson, 1995): G = R (2.31a) dG da < dR da (2.31b)

Ainda considerando-se a figura 2.5, se o carregamento externo atingir o valor σf r, a

Portanto, a condição para que haja a propagação instável da trinca é: dG

da ≥ dR

da (2.32)

O valorGc, correspondente ao ponto em que as curvasG e R se tangenciam, é uma medida

da tenacidade à fratura do sólido. O ponto de tangência muda em função do comprimento inicial da trinca (a1), visto que a localização da curvaR no diagrama depende do valor de a1. Porém, devido

à curvatura de G e R, o valor de Gcé aproximadamente independente de a1. Esta dependência é

mais forte no caso em queR apresenta uma curvatura e G é uma reta, isto é, quando se trata de uma trinca de comprimento 2a em uma chapa de dimensões infinitas feita de material elasto-plástico.

Segundo Anderson (1995), a geometria e as dimensões do corpo de prova produzem algum efeito sobre as curvasR. Chapas mais finas correspondem a curvas R mais inclinadas, isto é, com derivadas maiores, produzindo maiores valores deGc.

2.5 Fator de intensidade de tensão

A figura 2.6 ilustra cada um dos três possíveis modos de abertura de uma trinca, que são denominados como:

• Modo I: abertura • Modo II: cisalhamento • Modo III: rasgamento

Figura 2.6: Modos de abertura de uma trinca (Hertzberg, 1996)

Segundo a Mecânica da Fratura Linear Elástica (MFLE), as componentes de tensão e de deslocamentos de qualquer ponto localizado nas proximidades da ponta de uma trinca situada

em uma peça submetida a carregamentos externos podem ser expressos em termos dos fatores de intensidade de tensão KI, KII e KIII. Os índices dos fatores se referem ao modo de abertura de

trinca.

Figura 2.7: Coordenadas em relação à ponta da trinca (Hertzberg, 1996; Irwin, 1958)

Considerando-se o sistema de coordenadas polares definido pela distância r em relação à ponta da trinca e pelo ângulo θ mostrado na figura 2.7, os campos de tensões e de deslocamentos nas proximidades da ponta de uma trinca aberta apenas em modo I são definidos pelas equações 2.33 (Hertzberg, 1996; Irwin, 1958): σxx(r, θ) = KI √ 2πrcos ( θ 2 ) [ 1− sen ( θ 2 ) sen ( 3θ 2 )] (2.33a) σyy(r, θ) = KI √ 2πrcos ( θ 2 ) [ 1 + sen ( θ 2 ) sen ( 3θ 2 )] (2.33b) τxy(r, θ) = KI √ 2πrcos ( θ 2 ) sen ( θ 2 ) cos ( 3θ 2 ) (2.33c) ux(r, θ) = KI 2µ √ r 2πcos ( θ 2 ) [ κ− 1 + 2 sen2 ( θ 2 )] (2.33d) uy(r, θ) = KI 2µ √ r 2πsen ( θ 2 ) [ κ + 1− 2 cos2 ( θ 2 )] (2.33e)

Os campos de tensões e de deslocamentos nas proximidades da ponta de uma trinca aberta apenas em modo II são definidos pelas equações 2.34:

σxx(r, θ) = − KII √ 2πrsen ( θ 2 ) [ 2 + cos ( θ 2 ) cos ( 3θ 2 )] (2.34a)

σyy(r, θ) = KII √ 2πr sen ( θ 2 ) cos ( θ 2 ) cos ( 3θ 2 ) (2.34b) τxy(r, θ) = KII √ 2πr cos ( θ 2 ) [ 1− sen ( θ 2 ) sen ( 3θ 2 )] (2.34c) ux(r, θ) = KII 2µ √ r 2π sen ( θ 2 ) [ κ + 1 + 2 cos2 ( θ 2 )] (2.34d) uy(r, θ) = − KII 2µ √ r 2πcos ( θ 2 ) [ κ− 1 − 2 sen2 ( θ 2 )] (2.34e)

A componente σzz(r, θ) é dada por:

σzz(r, θ) =      0 (Tensão Plana) ν [σxx(r, θ) + σyy(r, θ)] (Deformação Plana) (2.35)

Quando a trinca é aberta apenas em modo III, as componentes de tensão e deslocamentos não-nulas nas proximidades da ponta da trinca são definidas pelas equações 2.36:

τxz =− KIII √ 2πrsen ( θ 2 ) (2.36a) τyz = KIII √ 2πr cos ( θ 2 ) (2.36b) uz = KIII µ √ r 2πsen ( θ 2 ) (2.36c)

A região dentro da qual as equações 2.33, 2.34, 2.35 e 2.36 são válidas é chamada de região K-dominante. Porém, o tamanho desta região não é claramente definido, pois as curvas de desvio dos valores fornecidos por aquelas equações em relação aos valores corretos crescem de maneira suave com o aumento da distância r, como mostram Becker Jr et al. (1997) por meio de análises de elementos finitos. Tais curvas de desvio crescem a taxas diferentes quando corpos de prova de diferentes geometrias e dimensões são considerados (Knott, 1973).

A figura 2.8a mostra uma trinca de comprimento 2a em um corpo de dimensões infinitas, sujeito a um carregamento distante σ, que abre a trinca em modo I somente. Neste caso, o fator de intensidade de tensões KI possui solução exata expressa por:

KI = σ

√

πa (2.37)

Figura 2.8: (a) Trinca de comprimento 2a em corpo de dimensões infinitas, sujeito a carregamento σ (b) Trinca lateral de comprimento a em corpo semi-infinito, sujeito a carregamento σ

A figura 2.8b exibe um corpo semi-infinito, com uma trinca lateral de comprimento a. Um carregamento distante σ abre a trinca em modo I. Neste caso, segundo Petroski & Achenbach (1978), KI é expresso por:

KI = 1, 1215 σ

√

πa (2.38)

Os fatores de intensidade de tensão para trincas em corpos de prova de largura limitada e altura infinita sujeitos a um carregamento distante σ, dependem da razão entre o comprimento da trinca e a largura da chapa. Assim, modifica-se a equação 2.37 multiplicando-a pela função F (a/W ), onde W vale a largura da chapa no caso de trinca lateral ou a metade da largura no caso de trincas centrais:

KI = F (a/W ) σ

√

πa (2.39)

Tada et al. (1985) sugerem a equação 2.40 para expressar a função F (a/W ) correspondente a uma trinca central de comprimento 2a em chapa de largura 2W e altura infinita (figura 2.9a):

F (a/W ) = [ 1− 0, 025 ( _a W )2 + 0, 06 ( _a W )4] √ sec ( _πa 2W ) (2.40)

Figura 2.9: Chapas de altura infinita e largura definida. (a) Com trinca central (b) Com trinca lateral

No caso de trincas laterais de comprimento a em chapa de largura W e altura infinita (figura 2.9b), os mesmos autores sugerem a equação 2.41:

F (a/W ) = √ 2W πa tan (_πa 2W ) 0, 752 + 2, 02( a W ) + 0, 37 [ 1− sen ( _πa 2W )]3 cos (_πa 2W ) (2.41)

Ainda segundo Tada et al. (1985), o fator de intensidade de tensão devido a um carregamento externo P , que é dado em unidade de força por unidade de espessura do corpo de prova CT (compact tension) pode ser calculado por:

KI =

P W

√

a F1 (2.42)

Diferentemente de outras equações, não é preciso multiplicar o comprimento a da trinca por π na equação 2.42. F1 é uma função de a/W e é dada por:

F1 = 2 ( 2 + a W ) ( 1− a W )3/2 1 √ a W F2 (2.43)

F2 = 0, 443 + 2, 32 ( _a W ) − 6, 66( a W )2 + 7, 36 ( _a W )3 − 2, 8( a W )4 (2.44)

Segundo Anderson (1995), os fatores de intensidade de tensão KI, KIIe KIII se relacionam

com a taxa de liberação de energia de deformação elásticaG da seguinte forma: G = KI2 E′ + K2 II E′ + K2 III 2µ (2.45)

E′é o módulo de elasticidade efetivo, parâmetro que depende se o material está em estado de tensão plana ou de deformação plana:

E′ =        E (Tensão Plana) E (1− ν2₎ (Deformação Plana) (2.46)

2.6 Fator de intensidade de tensão pelo método de elementos finitos

Observando-se as equações apresentadas na seção anterior, que expressam as componentes de tensão σxx, σyy e τxy em termos dos fatores de intensidade de tensão e de funções de coordenadas,

nota-se que há uma singularidade no campo de deformações nas proximidades da ponta de uma trinca e que esta singularidade é do tipo 1/√r, onde r é a distância em relação à ponta da trinca.

Henshell & Shaw (1975) mostraram em seu trabalho que é possível obter uma singularidade no campo de deformações de um elemento finito isoparamétrico se os nós do meio das arestas são suficientemente deslocados de suas posições originais.

A figura 2.10a mostra um elemento finito isoparamétrico quadrilateral de oito nós. Os nós 5 e 8 estão em posições denominadas quarter point. Se xié a coordenada x do nó i, e considerando-se

que x1 = 0, x2 = L1e x5 = L1/4, Barsoum (1976) mostrou que:

ϵxx =− 1 2 [ 3 √ xL1 − 4 L1 ] u1+ 1 2 [ −√1 xL1 + 4 L1 ] u2+ [ 2 √ xL1 − 4 L1 ] u5 (2.47)

onde uié o deslocamento do nó i na direção x. Nesta equação, nota-se que há uma singularidade do

tipo 1/√x, sugerindo que ϵxxé bem modelado na aresta formada pelos nós 1, 2 e 5 no caso em que

Figura 2.10: Elementos finitos isoparamétricos com nós na posição quarter point (Barsoum, 1976)

Ao longo de retas que passam pelo nó 1 e pelo interior do elemento finito da figura 2.10a, a deformação ϵ não apresenta uma singularidade do tipo 1/√r. Levando-se isto em consideração, Barsoum (1976) propôs o elemento finito da figura 2.10b, com nós 5 e 7 na posição quarter point e 1, 4 e 8 colapsados. Neste caso, o campo de deformação dentro do elemento apresenta o comportamento desejado.

Figura 2.11: Exemplo de malha de elementos finitos na ponta de uma trinca lateral

É possível obter bons resultados de fatores de intensidade de tensão com elementos finitos convencionais se a malha é extremamente refinada na ponta da trinca. O uso de elementos finitos com nós em posições quarter point permite obter bons resultados mesmo se a malha é pouco refinada na ponta da trinca.

A figura 2.11 exibe um exemplo de malha que emprega o elemento finito da figura 2.10b na ponta de uma trinca lateral em um sólido plano.