Universidade Federal do Rio de Janeiro — Instituto de F´ısica F´ısica III — 2014/2
Cap. 4 - Capacitˆ
ancia e Diel´
etricos
Prof. Elvis Soares
Nesse cap´ıtulo, estudaremos o conceito de capacitˆancia, aplica¸c˜oes de capacitores e diel´etricos.
1
Capacitˆ
ancia
Considere dois condutores carregando cargas de mesmo sinal e sinais opostos, conforme figura. Essa combina¸c˜ao de dois condutores chamaremos de capacitores, sendo ambos condutores al-gumas vezes chamados de placas. E devido `a presen¸ca das cargas, existe uma diferen¸ca de potencial ∆V entre os condutores.
O que determina quanta carga est´a nas placas de um capacitor para uma dada voltagem? Experimentos mostram que a quantidade de carga Q num capacitor ´e linearmente proporcional a diferen¸ca de potencial ∆V entre os condutores. Sendo assim, a capacitˆancia C de um condutor ´
e definida como a raz˜ao entre a intensidade da carga num dos condutores pela intensidade da diferen¸ca de potencial entre eles
C ≡ Q
∆V (1)
Note que por defini¸c˜ao capacitˆancia ´e sempre uma quantidade positiva. Al´em disso, capa-citˆancia ´e uma medida da capacidade de um capacitor em armazenar energia, pois cargas po-sitivas e negativas est˜ao separadas no sistema dos dois condutores de um capacitore, existindo uma energia potencial el´etrica armazenada no sistema.
Prof. Elvis Soares 2 C´alculo de Capacitˆancia
A capacitˆancia no sistema SI tem unidade de Coulomb por Volt, sendo definida como Farad F = C/V , em homenagem a Michael Faraday.
Consideremos um capacitor formado por um par de placas paralelas, conforme figura.
+ –
Com o capacitor inicialmente descarregado, conectamos cada placa a um terminal de uma bateria, que age como uma fonte de diferen¸ca de potencial, estabelecendo um campo el´etrico nos fios condutores quando essa conex˜ao ´
e feita. Na placa conectada ao terminal negativo da bate-ria, o campo el´etrico for¸ca os el´etrons a irem em dire¸c˜ao `a placa, o processo continua at´e a placa, o fio, e o terminal da bateria terem o mesmo potencial, de modo que n˜ao h´a mais diferen¸ca de potencial entre o terminal e a placa, n˜ao h´a mais movimento de el´etrons, e a placa agora est´a carregada negativamente.
Um processo similar ocorre na outra placa do capacitor, com el´etrons saindo da placa para o fio, deixando a placa carregada positivamente. Nessa configura¸c˜ao final, a diferen¸ca de potencial entre as placas do capacitor ´e a mesma daquela entre os terminais da bateria.
2
C´
alculo de Capacitˆ
ancia
Para determinar a capacitˆancia de um certo tipo de capacitor vamos usar o seguinte proce-dimento: assumimos uma carga de magnitude Q numa das placas, em seguida calculamos a diferen¸ca de potencial ∆V entre as placas usando as t´ecnicas do cap´ıtulo anterior, e por ´ultimo usamos a express˜ao C = Q/∆V para determinar a capacitˆancia.
Exemplo: Capacitˆancia de uma Esfera Condutora
Imaginemos um condutor esf´erico carregado. As linhas de campo ao redor desse condutor s˜ao exatamente as mesmas que no caso se existisse uma casca esf´erica condutora de raio infinito, concˆentrica com a esfera e carregando uma carga de mesma intensidade e sinal oposto, de modo que essa casca esf´erica imagin´aria pode ser identificada como um segundo condutor de um capacitor de dois condutores.
Assim, podemos calcular a capacitˆancia para essa situa¸c˜ao usando o fato que o potencial de uma esfera de raio R e carga Q ´e simplesmente kQ/R na sua superf´ıcie, e V = 0 na casca infinitamente grande, ent˜ao
C = Q ∆V = Q kQ/R = R k = 4π0R,
mostrando que a capacitˆancia de uma esfera carregada ´e proporcional ao seu raio e independe da carga na esfera e da diferen¸ca de potencial.
2 C´alculo de Capacitˆancia Prof. Elvis Soares
A capacitˆancia de uma par de condutores depende somente da geometria dos condutores. Vamos ilustrar isso com duas geometrias familiares: placas paralelas e cilindros concˆentricos.
Exemplo: Capacitor de Placas Paralelas
Consideremos duas placas met´alicas de ´areas iguais A separadas por uma distˆancia d, conforme figura. Uma placa est´a carregada com carga Q, a a outra carregada com carga −Q.
Se as placas est˜ao muito pr´oximas, de tal forma que a distˆancia d ´e muito menor que as dimens˜oes t´ıpicas das placas, podemos considerar o campo el´etrico uni-forme na regi˜ao entre as placas com valor igual a
E = σ
0
= Q
0A
,
e nulo na regi˜ao fora das placas. Ent˜ao, como o campo entre as placas ´e uniforme, a diferen¸ca de potencial entre as placas ´e
∆V = V+− V− = Ed =
Qd 0A
.
Substituindo esse resultado na defini¸c˜ao de capacitˆancia, temos para o capacitor de placas paralelas C = Q ∆V = Q Qd/0A , portanto C = 0A d
Isto ´e, a capacitˆancia de um capacitor de placas paralelas ´e proporcional `a ´area das suas placas e inversamente proporcional `a separa¸c˜ao entre as placas.
Prof. Elvis Soares 2 C´alculo de Capacitˆancia
Exemplo: Capacitor Cil´ındrico
Consideremos um condutor cil´ındrico s´olido de raio a e carga Q ´e coaxial a uma casca cil´ındrica de raio b > a e espessura desprez´ıvel, com carga −Q.
Se os condutores tiverem um comprimento L muito maior que os raio a e b, podemos desprezar os efeitos de borda sobre as linhas de campo, de tal forma que nesse caso o campo el´etrico ´e perpendicular ao eixo dos cilindros e ´e confinado na regi˜ao entre eles. A partir da Lei de Gauss, a intensidade do campo el´etrico de um cilindro com distribui¸c˜ao de carga uni-forme λ ´e .
E(r) = 2kλ
r =
2Q/L
r ,
e como o campo el´etrico da casca cil´ındrica n˜ao influencia na regi˜ao entre os cilindros, esse deve ser o campo na regi˜ao entre a e b. Ent˜ao, como conhecemos o campo entre os cilindros, a diferen¸ca de potencial entre eles ´e
∆V = V+− V− = − Z a b E(r)dr = −2k(Q/L) Z a b dr r = 2k(Q/L) ln b a .
Substituindo esse resultado na defini¸c˜ao de capacitˆancia, temos para o capacitor cil´ındrico
C = Q ∆V = Q 2k(Q/L) ln (b/a), portanto C = L 2k ln (b/a)
3 Associa¸c˜ao de Capacitores Prof. Elvis Soares
3
Associa¸
c˜
ao de Capacitores
Agora que sabemos determina a capacitˆancia de capacitares devido a sua geometria, podemos associar diferentes capacitares para obter qualquer valor de capacitˆancia que necessitarmos. Existem dois de associa¸c˜oes: paralela e s´erie.
3.1
Capacitores em Paralelo
Numa associa¸c˜ao em paralelo, conforme figura (b), as diferen¸cas de potenciais em cada capacitor individualmente s˜ao as mesmas e iguais `a diferen¸ca de potencial aplicada sobre a associa¸c˜ao inteira.
+ –
+ –
+ –
+ – + –
Quando os capacitores s˜ao conectados ao circuito conforme a figura (a), el´etrons s˜ao transferidos entre os fios e as placas, permitindo as placas da direita se carregarem negativamente e as placas da esquerda se carregarem positivamente. O fluxo de carga cessa quando a voltarem sobre os capacitares ´e igual `aquela dos terminais da bateria, e os capacitares ficam carregados com cargas Q1 e Q2. A carga total Q armazenada nos capacitores ´e
Q = Q1+ Q2
Isso ´e, a carga total nos capacitares conectados em paralelo ´e a soma das cargas de cada capacitor individual. E como a voltarem sobre cada capacitor ´e a mesma, as cargas que eles carregam s˜ao
Q1 = C1∆V e Q2 = C2∆V
Suponha que n´os desejamos trocar esses capacitores por um capacitor equivalente tendo uma capacitˆancia Ceq, conforme figura (c). O efeito desse capacitor no circuito deve ser o mesmo
Prof. Elvis Soares 3 Associa¸c˜ao de Capacitores
do conjunto de capacitores anteriores, isto ´e, esse capacitor equivalente deve armazenar carga Q quando conectado a d.d.p de ∆V . Assim, para o capacitor equivalente,
Q = Ceq∆V
Substituindo essas trˆes rela¸c˜oes para as carga na equa¸c˜ao da carga total do circuito, temos Ceq∆V = C1∆V + C2∆V
Ceq = C1+ C2
Assim, a capacitˆancia equivalente de uma associa¸c˜ao de capacitores em paralelo ´e a soma alg´ebrica das capacitˆancias individuais e ´e maior que qualquer uma das capacitˆancia individuais.
Ceq = C1 + C2+ C3+ . . . (em paralelo) (2)
3.2
Capacitores em S´
erie
Numa associa¸c˜ao em s´erie, conforme figura (b), as cargas em cada capacitor individualmente s˜ao as mesmas e iguais `a carga total armazenada na associa¸c˜ao inteira.
–
+ + –
+ –
Quando os capacitores s˜ao conectados ao circuito conforme a figura (a), el´etrons s˜ao transferidos para fora da placa da esquerda de C1 e v˜ao para a placa da direita de C2. Como essa carga
negativa se acumula na placa direita de C2, uma quantidade equivalente de carga negativa ´e
for¸cada para fora da placa esquerda de C2, e essa placa esquerda adquire ent˜ao um excesso de
carga positiva. A carga negativa deixando a placa esquerda de C2 causa um acumulo de carga
negativa na placa direita de C1. Como resultado, todas as placas da direita ficam com carga
negativa −Q, e todas placas da esquerda com carga +Q. Assim, as cargas nos capacitares conectados em s´erie s˜ao as mesmas.
Da figura (a), vemos que a voltagem ∆V entre os terminais da bateria ´e dividida entre os capacitores
3 Associa¸c˜ao de Capacitores Prof. Elvis Soares
Em geral, a diferen¸ca de potencial entre qualquer n´umero de capacitores conectados em s´erie ´e a soma da diferen¸ca de potencial sobre cada capacitor individualmente. E como as cargas nos capacitores s˜ao as mesmas, as voltagens sobre eles s˜ao
∆V1 = Q C1 ∆V e ∆V2 = Q C2
Suponha que n´os desejamos trocar esses capacitores por um capacitor equivalente tendo uma capacitˆancia Ceq, conforme figura (c). O efeito desse capacitor no circuito deve ser o mesmo
do conjunto de capacitores anteriores, isto ´e, esse capacitor equivalente deve armazenar carga −Q na placa da direita e carga +Q na placa da esquerda quando conectado a d.d.p de ∆V dos terminais da bateria. Assim, para o capacitor equivalente,
∆V = Q
Ceq
Substituindo essas trˆes rela¸c˜oes para as voltagens na equa¸c˜ao da voltarem total do circuito, temos Q Ceq = Q C1 + Q C2 1 Ceq = 1 C1 + 1 C2
Assim, o inverso da capacitˆancia equivalente de uma associa¸c˜ao de capacitores em s´erie ´e a soma alg´ebrica dos inversos das capacitˆancias individuais e ´e menor que qualquer uma das capacitˆancia individuais.
1 Ceq = 1 C1 + 1 C2 + 1 C3 + . . . (em s´erie) (3)
Exemplo: Capacitˆancia Equivalente
Consideremos um circuito misto de capacitores, conforme figura (a). A capacitˆancia equivalente entre a e b pode ser encontrada reduzindo as associa¸c˜oes de capacitores como indicadas nas partes (b), (c), e (d), usando as regras de associa¸c˜oes em s´erie e paralelo.
b a ( b) b a ( c) b a ( d) b a ( a)
Prof. Elvis Soares 4 Energia Armazenada num Capacitor
4
Energia Armazenada num Capacitor
Quanta energia deve estar armazenada num capacitor depois que o carregamos?
Para calcular a energia armazenada num capacitor durante o processo de carregamento, imaginemos que a carga ´e transferida mecanicamente para o ca-pacitor, de modo que o trabalho necess´ario para adi-cionar uma carga dq ao capacitor ´e
dW = ∆V dq
e sabendo que a diferen¸ca de potencial entre as placas do capacitor depende da carga q nele, podemos escrever
dW = q
Cdq,
ilustrado na figura. O trabalho total para carregar o capacitor desde uma carga q = 0 at´e a carga final q = Q ´e W = Z Q 0 q Cdq = 1 C Z Q 0 q dq = Q 2 2C
O trabalho feito para carregar o capacitor aparece como energia potencial el´etrica U armazenada no capacitor. Usando a capacitˆancia, podemos expressar a energia potencial armazenada num capacitor carregado nas seguintes formas
U = Q 2 2C = 1 2Q∆V = 1 2C(∆V ) 2 (4)
Podemos considerar a energia armazenada num capacitor como sendo armazenada no campo el´etrico criado entre as placas quando o capacitor est´a carregado, pois o campo el´etrico ´e proporcional a carga no capacitor. Para um capacitor de placas paralelas, a diferen¸ca de potencial est´a relacionada com o campo el´etrico atrav´es da rela¸c˜ao ∆V = Ed, e sua capacitˆancia ´
e C = 0A/d. Substituindo essas express˜oes na energia, obtemos
U = 1 2 0A d (Ed) 2 = 1 2(0Ad)E 2.
Como o volume ocupado pelo campo el´etrico ´e Ad, a energia por unidade de volume uE =
U/(Ad), conhecida como densidade de energia, ´e
uE =
1 20E
2
(5) Assim, a densidade de energia em qualquer campo el´etrico ´e proporcional ao quadrado da intensidade do campo el´etrico num dado ponto.
5 Materiais Diel´etricos Prof. Elvis Soares
Para uma dada capacitˆancia, a energia armazenada aumenta com o aumento da carga e com o aumento da diferen¸ca de potencial. Na pr´atica, entretanto, h´a um limite de energia m´axima (ou carga) que pode ser armazenada pois, em valores muito altos de voltarem, ocorre descarga el´etrica entre as placas.
5
Materiais Diel´
etricos
O que acontece quando colocamos um material isolante na presen¸ca de um campo el´etrico externo?
Consideremos um diel´etrico feito de mol´eculas polares localizadas num campo el´etrico entre as placas de um capacitor. Os dipolos (isso ´e, as mol´eculas polares que formam o diel´etrico) est˜ao orientados aleatoriamente na ausˆencia de um campo el´etrico, conforme figura (a). Quando um campo el´etrico externo ~E0 devido ao capacitor ´e aplicado, conforme figura (b), um torque ´e
exercido sobre os dipolos, fazendo com que eles se alinhem parcialmente com o campo. O grau de alinhamento das mol´eculas com o campo el´etrico depende da temperatura e da intensidade do campo, em geral, aumentando com o aumento da temperatura e do campo. Se as mol´eculas do diel´etrico s˜ao apolares, ent˜ao o campo el´etrico externo produz alguma separa¸c˜ao de cargas e num momento de dipolo induzido.
E0 – + – + – + – + – + – + – + – + +– +– + – – + – + – + – + – + – + – + – + – + – + – + – + – + – + E0 Eind –σind σind – – – – – – + + + + + + – – – – – – + + + + + +
Em ambos materiais feitos de mol´eculas polares ou apolares, os campos el´etricos induzidos pelos momentos de dipolos el´etricos alinhados tendem a cancelar parcialmente o campo externo original, figura (c). Assim, o campo el´etrico resultante ~ET dentro do diel´etrico ´e o campo
original ~E0 mais o campo induzido ~Eind
~
ET = ~E0+ ~Eind,
ou
ET = E0− Eind.
Notamos que o campo resultante dentro do diel´etrico aponta na dire¸c˜ao do campo externo original. O campo induzido depende do campo externo original na forma Eind= αE0, sendo α
a polarizabilidade do meio material. Com isso, podemos escrever ET = (1 − α)E0,
e denominando κ = 1/(1 − α) a constante diel´etrica do meio material, vemos que o campo resultante no interior do meio diel´etrico ´e reduzido de um fator κ
Prof. Elvis Soares 6 Capacitores com Diel´etricos ~ ET = ~ E0 κ (6)
Al´em disso, o campo el´etrico externo E0 est´a relacionado com a densidade de carga σ nas placas
atrav´es da rela¸c˜ao E0 = σ/0, e o campo el´etrico induzido Eind no diel´etrico est´a relacionado
com a densidade de carga induzida σind, conforme figura (b), atrav´es da rela¸c˜ao Eind= σind/0.
Como ET = E0/κ = σ/(κ0), temos σ κ0 = σ 0 − σind 0 e σind = κ − 1 κ σ (7)
Como κ > 1, essas express˜oes mostram que o campo el´etrico no interior do diel´etrico ET ´e
reduzido, e a densidade de carga induzida σind no diel´etrico ´e menor que a densidade de cargas
nas placas.
Existe, por´em, um valor cr´ıtico para o campo externo, consequentemente para a diferen¸ca de potencial, acima do qual o material deixa de ser isolante, e ocorre ou uma descarga el´etrica ou uma ruptura do isolamento. Esse campo el´etrico cr´ıtico fornece a rigidez diel´etrica do material, que ´e medida pelo m´odulo do campo el´etrico m´ınimo acima do qual se produz a ruptura do diel´etrico.
6
Capacitores com Diel´
etricos
Quando inserimos um diel´etrico no interior de um capacitor o que acontece com a capacitˆancia? Aumenta, diminui, ou n˜ao se modifica? Podemos analisar o seguinte experimento para ilustrar o efeito de um diel´etrico num capacitor.
+ – + –
Consideremos um capacitor de placas paralelas isolado que sem o diel´etrico, conforme figura (a), tem uma carga Q0 e uma capacitˆancia C0, de modo que a diferen¸ca de potencial entre as
6 Capacitores com Diel´etricos Prof. Elvis Soares
placas ´e ∆V0. Se um diel´etrico ´e agora inserido entre as placas, conforme figura (b), a diferen¸ca
de potencial ∆V entre as placas deve ser reduzida de um fator κ pois o campo no interior do capacitor foi reduzido do mesmo fator, desta forma
∆V = ∆V0 κ .
Como a carga Q0 no capacitor n˜ao mudou, conclu´ımos que a capacitˆancia deve mudar para o
valor C = Q0 ∆V = Q0 ∆V0κ = κ Q0 ∆V0 ent˜ao C = κC0 (8)
Isso ´e, a capacitˆancia aumenta de um fato κ quando um diel´etrico preenche completamente a regi˜ao entre as placas.
Prof. Elvis Soares 6 Capacitores com Diel´etricos
Exemplo: Capacitor parcialmente preenchido
Consideremos um capacitor de placas paralelas com separa¸c˜ao entre as placas d, que tem capa-citˆancia C0 na ausˆencia de um diel´etrico, preenchido com diel´etrico de constante κ e espessura
d/3 conforme figura (a).
Podemos imaginar o conjunto da figura (a) como sendo dois capacitores C1 e C2 associados em s´erie,
conforme figura (b). Usando o resultado da capa-citˆancia de um capacitor de placas paralelas, temos
C1 =
κ0A
d/3 e C2 =
0A
2d/3.
Como associamos em s´erie, a capacitˆancia equiva-lente ´e dada por
1 C = 1 C1 + 1 C2 = d/3 κ0A +2d/3 0A ent˜ao C = 3κ 2κ + 1 0A d
e como a capacitˆancia sem o diel´etrico ´e C0 = 0A/d,
podemos escrever C = 3κ 2κ + 1 C0
