PEA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ENERGIA E AUTOMAÇÃO ELÉTRICAS PEA3311- LABORATÓRIO DE CONVERSÃO ELETROMECÂNICA CIRCUITOS MAGNÉTICOS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ENERGIA E AUTOMAÇÃO

ELÉTRICAS

PEA3311- LABORATÓRIO DE CONVERSÃO ELETROMECÂNICA

2016

Í

NDICE 1. Resumo...3 2. Introdução...3 3. Circuito Magnético...3 4. Indutância Própria...9

5. Alimentação em Corrente Contínua e em Corrente Alternada...10

6. Fluxo de Dispersão e Fluxo Mútuo...13

7. Indutância Mútua...14

8. Referências Bibliográficas...17

Anexo I...18

1. Resumo

Esta aula constará de uma parte teórica e de uma parte experimental.

Na parte teórica, o objetivo é introduzir a noção de circuitos magnéticos e a sua estreita relação com circuitos elétricos para a modelagem de um dispositivo elétrico.

Para tanto, será apresentado o formalismo matemático para a obtenção das equações básicas, culminando com a obtenção da indutância própria de um indutor e a dependência desta com a geometria, o material e o número de espiras do mesmo. Também serão mostrados os comportamentos deste indutor quando alimentado em corrente contínua e em corrente alternada (senoidal).

Por fim, será apresentado um transformador simples, no qual será possível mostrar as noções de fluxo de dispersão, fluxo mútuo e indutância mútua.

Através dos exemplos ao longo do texto, pretende-se capacitar o aluno com ferramentas que o permita analisar um circuito magnético e, em conjunto com o circuito elétrico associado, obter as grandezas elétricas e magnéticas de interesse.

Na parte experimental, o aluno irá comprovar as relações apresentadas na teoria, quais sejam: - a dependência da indutância própria com a geometria do núcleo ferromagnético, com o material deste núcleo e com o número de espiras;

- a observação do fluxo mútuo e do fluxo de dispersão

2. Introdução

Dispositivos elétricos e eletromecânicos estão presentes em diversas aplicações do nosso dia a dia. Talvez, pela correria cotidiana e pelo hábito de sempre vê-los funcionando, não nos atenhamos para o fato que tais itens se tornaram fundamentais, até mesmo indispensáveis, para a nossa vida moderna.

Os exemplos são os mais variados, indo do simples interruptor de uma lâmpada, até a um hidrogerador em Itaipu. Nessa gama, passamos por todos os motores elétricos de uso industrial, e doméstico; pelos solenoides, eletroímãs, motores e sensores de uso em automação; pelos diversos componentes de um computador: disco rígido, leitores de CD, o próprio teclado, o cooler; pelos telefones portáteis; pelas pequenas bobinas em circuitos impressos às grandes bobinas em aparelhos de ressonância magnética; e por aí em diante.

O que todos esses equipamentos têm em comum é o fato de funcionarem seguindo as leis de um dos fenômenos mais extraordinários, que é o eletromagnetismo.

O objetivo desta disciplina é a de dar os primeiros passos na utilização da teoria eletromagnética, vista em cursos de Física, em aplicações práticas mais próximas do nosso dia a dia. Podemos considerar que se trata de uma disciplina de eletromagnetismo aplicado.

Partiremos de aplicações sem movimento, como indutores e transformadores, e chegaremos às máquinas elétricas, que são o auge da conversão eletromecânica. São elas que permitem transformar energia elétrica em mecânica e vice-versa. Não fossem as máquinas elétricas, não teríamos o grau de conforto que temos hoje. Se alguma dúvida ainda pairar, tente então imaginar a sua casa iluminada por lampiões a gás ou o liquidificador com motor a explosão.

Convencido?

3. Circuito Magnético

O estudo do circuito magnético é uma das etapas mais importantes na concepção de um equipamento elétrico. Em conjunto com circuitos elétricos, forma uma ferramenta poderosa de modelagem. É através desse estudo que, por exemplo, é possível fazer um telefone celular com um

peso reduzido ou instalar motores elétricos em espaços exíguos, como no caso de submarinos e espaçonaves. É por esse tópico, portanto, que iniciaremos nosso curso.

Em princípio, todos os equipamentos eletromagnéticos devem ser projetados e analisados pela aplicação das leis do eletromagnetismo, as quais são expressas pelas equações de Maxwell (ver Anexo I).

Todavia, duas dificuldades surgem de imediato:

1. por utilizarem grandezas vetoriais, as equações de Maxwell devem ser resolvidas em cada ponto do domínio em estudo;

2. a resolução analítica de equações integrais ou diferenciais não é fácil na maioria dos casos, face à complexidade das geometrias dos dispositivos sob estudo.

Uma estratégia para contornar essas dificuldades é a utilização de grandezas escalares e da simplificação criteriosa da geometria de forma a obter uma solução aproximada. É importante esclarecer que, embora aproximada, essa solução pode se adequar bem aos fins desejados.

É essa estratégia que será empregada a seguir. Antes, entretanto, dois preâmbulos são necessários.

 Preâmbulo 1: Linhas de Campo e Linhas de Fluxo

Ao longo do texto, onde os exemplos adotados são bidimensionais, ou seja, as grandezas Hr e Br estão no plano do papel, utilizaremos o termo “linhas de campo” ou “linhas de fluxo”, dependendo do contexto. Acreditamos que, neste início de curso, é preferível um entendimento do fenômeno ao invés de nos lançarmos em manipulações matemáticas.

Desta forma, “linhas de campo” serão entendidas como a direção que o campo magnético Hr e a indução magnética Br assumem num determinado espaço. É o equivalente à conformação das limalhas de ferro quando expostas a um campo magnético de um ímã, conforme mostrado na figura 1.

Figura 1: Limalhas de ferro em presença de campo magnético

Muito embora o fluxo magnético Φ seja uma grandeza escalar, assumiremos como “linhas de fluxo” a mesma direção da indução magnética Br , uma vez que elas estão relacionadas pela expressão:

Linhas de Campo

sBdS F =

ò

r r

Uma analogia apropriada é o uso que fazemos de “setas” quando queremos representar a corrente elétrica I num circuito elétrico. Nesse caso, também temos uma grandeza escalar I que segue o caminho de numa grandeza vetorial, a densidade de corrente Jr. Lembrando que:

s I=

ò

JdSr r

Numa definição mais rigorosa para exemplos bidimensionais, “linhas de campo” e “linhas de fluxo” recebem o nome de linhas equipotenciais, as quais se referem ao potencial vetor magnético Ar , que é definido por:

Br = Ñ´Ar  Preâmbulo 2: O Material Ferromagnético

Para entendermos o comportamento magnético de um material ferromagnético, vamos iniciar com o que ocorre a nível atômico. Para tanto, vamos utilizar o modelo de Bohr para um átomo simples composto do núcleo e de um elétron, conforme mostrado na figura 2.

Figura 2: Modelo de Bohr

Por esse modelo, o átomo produz um campo magnético gerado pela órbita do elétron em torno do núcleo e pelo spin do elétron, de forma que, pela ação destes dois fenômenos, o átomo possui um momento magnético, ou seja, ele é um dipolo magnético ou um minúsculo ímã.

Nos materiais ferromagnéticos, por conta de uma interação quântica, esses dipolos se agrupam e formam domínios e cada domínio possui um único momento magnético. A figura 3, feita por microscópio eletrônico numa amostra de chapa de Fe, mostra claramente as divisões entre os domínios. As setas indicam os momentos magnéticos dos domínios.

Sem nenhuma excitação externa, os momentos magnéticos dos domínios estão orientados aleatoriamente, o que faz com que, em termo macroscópico, uma chapa de Fe, por exemplo, não tenha um momento preferencial, uma vez que os momentos dos domínios se cancelam entre si.

Todavia, na presença de um campo magnético externo, os momentos magnéticos dos domínios de um material ferromagnético tendem a se alinhar com esse campo e quanto maior o campo, maior o número de domínios com os momentos alinhados.

A figura 4 apresenta, esquematicamente, essa dinâmica de alinhamento dos momentos magnéticos num material ferromagnético.

a. sem campo externo b. com campo externo Figura 4: Influência do campo externo nos momentos magnéticos

Essa característica de alinhamento dos momentos magnéticos na presença de um campo externo faz com que as linhas de campo passem preferencialmente pelo material ferromagnético, aumentando o valor do fluxo Φ e da indução Br no seu interior.

Para ilustrar essa propriedade, a figura 5a mostra uma distribuição das linhas de campo de Br no ar (por exemplo, podemos imaginar que se trata do magnetismo da Terra). A presença de um material ferromagnético altera essa distribuição, fazendo com que as linhas de campo passem preferencialmente pelo material ferromagnético, o que é ilustrado na figura 5b.

a. No ar b. Na presença de material ferromagnético Figura 2: Linhas de campo de Br

Os materiais ferromagnéticos mais conhecidos são o Fe e suas ligas, como o FeSi, FeNi etc. Esses materiais são muito utilizados em dispositivos eletromecânicos (máquinas elétricas, atuadores, transformadores, etc) com o intuito de “canalizar” e aumentar o valor da indução Br e do fluxo magnético Φ.

Br Br

externo

Essa propriedade de facilitar a passagem das linhas de campo é quantificada pela grandeza conhecida como permeabilidade magnética a qual é representada pela letra grega μ. Para se ter uma idéia, a permeabilidade magnética do ar, conhecida por m , vale 0

7

0 4 .10 [H / m]

-m = p , enquanto que as dos materiais ferromagnéticos são alguns milhares de vezes superior. Normalmente, a permeabilidade de um material é representada por seu valor relativo em relação a m , ou seja, 0

material r 0 m m = m .

Para este início de curso, os materiais ferromagnéticos serão supostos lineares, isso significa que a permeabilidade magnética μ será considerada constante, de forma que a relação constitutiva Br = mHr seja linear. Na prática, essa relação é não-linear devido a duas características dos materiais ferromagnéticos conhecidas por saturação magnética e histerese. Mas a não linearidade não será tratada neste início de curso.

 O Circuito Magnético – Equação Básica

Para entendermos o desenvolvimento matemático, vamos admitir um indutor composto de um núcleo ferromagnético e uma bobina de N espiras, conforme mostrado na figura 3.

Figura 3: Indutor

A figura 4a mostra a representação bidimensional desse indutor. Fazendo uma corrente I circular pela bobina, no sentido indicado na figura 4a, sabemos, pela “regra da mão direita”, que surge um campo magnético Hr no interior do núcleo ferromagnético no sentido horário.

a. Linhas de campo de Hr b. Caminho médio ℓm Figura 4: Núcleo ferromagnético

Núcleo Ferromagnético Bobina N espiras Seção Transversal ℓ_m

Vamos adotar um caminho médio ℓm, conforme indicado na figura 4b, e aplicar a equação de Maxwell que rege essa situação, qual seja, ∫H.dℓ=NI . Considerando um campo magnético médio Hm sobre o caminho ℓm, a integral toma a forma:

Hm. ℓm=NI (1)

Sabemos, da relação constitutiva, que Br = mHr , assim:

m m 1

B =NI

m l (2)

Multiplicando e dividindo o termo à esquerda pela seção transversal S do núcleo, temos:

m m 1

B S NI

S =

m l (3)

A parcela BmS pode ser admitida como o fluxo magnético Φ no núcleo (lembrar que SBdS

F =

ò

r r_{). O termo} 1 = n

m é conhecido como relutividade magnética. Então:

m _NI

S

nl F = (4)

Note que o termo m S

nl é similar à expressão de resistência elétrica de um fio, cond cond R

S = rl _. Por analogia, podemos chamar m

S

 = nl de Relutância Magnética do núcleo ferromagnético e a expressão final fica na forma:

mm

Á = ÂF (5)

Na qual Ámm NI= é conhecida como Força Magnetomotriz. Repare que a expressão (5) é composta apenas de grandezas escalares.

 O Circuito Magnético – Analogia com o Circuito Elétrico

Observando a equação (5), é imediata a sua associação com a Lei de Ohm. De fato, se fizermos uma analogia entre ambas, podemos construir a Tabela I apresentada a seguir.

Tabela I: Analogia entre Circuito Magnético e Circuito Elétrico Circuito Magnético Circuito Elétrico

mm

Á = ÂF Áem RI=

mm NI

Á = : Força magnetomotriz [A esp] Áem: Força eletromotriz [V] Â : Relutância magnética [Aesp/Wb] ou [H-1_{] R: Resistência elétrica [Ω]}

F : Fluxo magnético [Wb] I: Corrente [A]

μ: Permeabilidade magnética [H/m] σ: Condutividade elétrica [S/m] 1 n = m: Relutividade magnética [H-1m] 1 r = s: Resistividade elétrica [Ωm] 4. Indutância Própria

Para o indutor da figura 3, com uma bobina de N espiras, podemos determinar a sua indutância própria a partir da definição de indutância própria, qual seja:

N L

I F

= (6)

Da expressão (5), obtemos que F = Ámm  ou, NI F =  e a expressão (6) resulta: 2 N L=  (7)

Portanto, da expressão (7), observamos que a indutância própria do indutor: - é diretamente proporcional ao quadrado do número de espiras N;

- é inversamente proporcional à relutância, ou seja, quanto maior a permeabilidade magnética do núcleo, menor será a relutância e maior será a indutância própria. Portanto, indutores com núcleo ferromagnético têm indutâncias próprias bem superiores àqueles com núcleo de ar.

 Exemplos Numéricos

Para consolidar o que já foi visto, vamos realizar dois exemplos numéricos e observar a importância do circuito magnético na indutância própria do indutor.

Exemplo 1 – Núcleo fechado:

Vamos considerar o indutor ao lado. Sabe-se que:

- Número de espiras: 100

- Resistência ôhmica da bobina: 2,5 Ω

- Permeabilidade relativa do material do núcleo: μr = 1000 Pede-se:

- A indutância própria do indutor

- O modelo por circuito elétrico deste indutor

Resolução:

Pelas dimensões do núcleo ferromagnético, obtemos: - Seção transversal: S = (20x20).10-6 _m2

- ℓm = (4x60).10-3 + (2.π.10).10-3 =0,303m (reparar na Fig.3a que as linhas de campo H são curvilíneas nos cantos do núcleo. Por isso o comprimento médio foi aproximado por um quarto de circunferência em cada canto).

A relutância magnética do núcleo, m S Â = nl , fica: 5 1 4 0 1 0,303 6,03.10 H 1000 4.10 -- é ù Â = × = _{ë û} m E a indutância resulta:

[ ]

2 2 5 N 100 L 16,58 mH 6,03.10 = = @ Â

O modelo do indutor em termos de circuito elétrico fica: 2,5 Ω 16,58 mH Ω 100 mm 60 mm 20 mm

Exemplo 2 – Núcleo com entreferro:

Vamos considerar que o mesmo indutor do exemplo 1 possui, agora, um entreferro de 1mm, conforme mostrado na figura ao lado.

Pede-se a indutância própria deste indutor.

Resolução:

Da mesma forma que o exemplo1, vamos iniciar pela determinação do circuito magnético.

Repare que, com a introdução do entreferro, o circuito magnético passa a apresentar duas relutâncias em série, ou seja, uma referente ao núcleo (Âferro) e outra referente ao entreferro (Â ). ar

Esquematicamente: Sendo: ferro 4 5 -1 0 1 0,302 6,01.10 [H ] 1000 4.10 -Â = × = m ar 4 5 -1 0 1 0,001 19,89.10 [H ] 4.10 -Â = × = m

Então, a relutância total do circuito fica: total

(

6,01 19,89 .10

)

5 25,90.10 [H ]5 -1 -Â = + = E a indutância: 2 5 100 L 3,86 [mH] 25,90.10 = =

Note que a inclusão de um entreferro de 1mm apenas, ocasionou uma drástica redução na indutância própria do indutor.

5. Alimentação em Corrente Contínua e em Corrente Alternada (senoidal)

O intuito deste item é mostrar o procedimento de análise do indutor quando alimentado por uma fonte de tensão contínua ou alternada (senoidal). Para este último caso será desenvolvida a expressão da força contra-eletromotriz que aparece devido à variação temporal do fluxo magnético.

 Alimentação em corrente contínua

Vamos admitir que o indutor do exemplo 1 anterior seja alimentado por uma fonte de tensão contínua de 10 V e deseja-se saber a corrente I que percorre a bobina e o fluxo magnético Φ que passa pelo núcleo ferromagnético.

O melhor método para abordar o problema é utilizando o modelo por circuito elétrico, o que nos dá a seguinte configuração:

A determinação da corrente I é feita pela análise desse circuito elétrico, o que fornece a expressão:

( )

( )

dI t

( )

V t RI t L dt = +

Por estarmos com uma alimentação em corrente contínua e admitindo a situação em regime (não em transitório), o termo LdI 0

dt = e ficamos com o resultado 10 I 4A

2,5

= = _{, ou seja, a corrente é} apenas limitada pela resistência ôhmica da bobina.

O fluxo magnético é obtido pela expressão (5):

5 5 NI 100.4 mm 66,33.10 Wb 6,03.10 -Á = ÂF Þ F = = = Â

 Alimentação em corrente alternada - tensão senoidal

Vamos admitir, agora, que o indutor do exemplo 1 é alimentado por uma fonte de tensão senoidal de valor eficaz 10 V e frequência de 60 Hz. Nesse caso, o circuito elétrico correspondente fica:

E a equação V t

( )

RI t

( )

LdI t

( )

dt

= + , para alimentação senoidal, pode ser colocada na representação por números complexos, ou seja:

V RI j LI& = &+ w &

Sendo: j= - ; 1 w = p2 f e V& e I& grandezas complexas. O termo w =L XLé chamado de Reatância Indutiva e sua unidade é [Ω].

Admitindo que a fonte de tensão tenha fase zero, ou seja, _{V 10 0 V& =} o _{, o circuito pode ser} resumido a:

A impedância Z& é da forma Z& =

(

R jX+ L

)

ou, numericamente, Z& =

(

2,5 j6, 25+

)

W. Na forma polar: Z 6,73 68, 20& = oW _{e a corrente:} o o

o 10 0 I 1, 49 68, 20 A 6,73 68, 20 = = -&

Para a determinação do fluxo magnético Φ, temos duas possibilidades: 1. utilizando a expressão (5), o que dá: 5 5

100.1, 49

24,71.10 Wb 6,03.10

-F = = (valor eficaz) 2. utilizando a expressão da força contra-eletromotriz E& sobre o indutor.

Lembrando que E t

( )

Nd

( )

t dt F

= - e considerando que o fluxo é senoidal no tempo, ou seja:

( )

t maxsen t F = F w Temos:

( )

(

max

)

max d sen t E t N N cos t dt F w = - = - F w w (8) Ou seja, E(t) e Φ(t) possuem a mesma forma de onda, mas estão defasadas entre si de 90˚.

O valor eficaz da expressão (8) é: eficaz max max

E 1

E N

2 2

= = F w

Lembrando que w = p , temos que: 2 f

eficaz max

E& =E =4, 44fNF ₍₉₎ Guarde e entenda a expressão (9) muito bem, pois ela será muito utilizada ao longo do curso!

Voltando ao nosso problema, sabemos que a tensão E& pode ser obtida por: 2

2 R E& = 10 - DV&

Sendo que, a queda de tensão D & é determinada por VR DV&R = × =R I& 2,5 1, 49 3,725V× = E a tensão E& resulta: _{E& = 10}2_{-3, 725}2 _{@9, 28V}

Substituindo em (9), temos: max 5 9, 28 34,83.10 Wb 4, 44.100.60 -F = @ _.

Cujo valor eficaz é:

5 5 max eficaz 34,83.10 24,63.10 Wb 2 2 -F

F = = = , que, a menos de arredondamento, é o mesmo valor obtido pelo método 1.

Pelos exemplos anteriores, fica evidente a operação distinta do indutor para cada caso de alimentação e a forma como o fluxo, que é uma grandeza difícil de ser medida diretamente, pode ser obtida.

Note que, no exemplo 2, o fluxo pode ser obtido de forma indireta, mesmo não se conhecendo o valor da indutância do indutor, apenas pelos valores da tensão de alimentação, da corrente e da resistência ôhmica da bobina, que são grandezas de fácil obtenção por ensaio.

6. Fluxo de Dispersão e Fluxo Mútuo

Usando a configuração idealizada da figura 3a, vamos introduzir uma segunda bobina no circuito magnético, conforme mostrado na figura 4. Essa segunda bobina está “em aberto”, ou seja, seus terminais não estão conectados a nenhuma fonte ou carga e, portanto, a corrente que passa por ela é I2 = .0

Figura 4: Núcleo ferromagnético com duas bobinas

Note que, nessa configuração, todo o fluxo produzido pela bobina 1 (da esquerda) passa pelo núcleo ferromagnético e atravessa a bobina 2. A esse fluxo comum entre as bobinas 1 e 2 dá-se o nome de fluxo mútuo.

Outra definição muito utilizada é a de fluxo concatenado. Fluxo concatenado é o produto do fluxo que atravessa a bobina pelo número de espiras dessa bobina. Assim, para as bobinas 1 e 2 da figura 4, temos os respectivos fluxos concatenados, λ1=N1Φ e λ2=N2Φ.

Todavia, é importante esclarecer que o modelo adotado até aqui, no qual o fluxo magnético passa exclusivamente pelo núcleo ferromagnético, é uma simplificação da realidade. Por maior que

Bobina 1

N₁ espiras NBobina 2₂ espiras

seja a permeabilidade magnética de um material ferromagnético, isso não ocorre na prática. Sempre haverá uma parcela do fluxo que passará pelo ar, conforme mostrado na figura 5 a seguir.

Pela própria figura 5 fica clara a necessidade dessa simplificação inicial, pois a existência de diversos caminhos pelo ar torna complexo o cálculo da integral ∫H.dℓ. O fato de considerarmos o fluxo passando apenas no núcleo permite que usemos o argumento dos valores médios, Hm e ℓm, conforme a equação (1).

Com essa nova configuração, mostrada na figura 5, o fluxo que atravessa a bobina 1 é maior que o fluxo mútuo, em outras palavras, o fluxo que atravessa a bobina 1 é a soma do fluxo mútuo mais o fluxo que passa no ar.

A esse fluxo que passa pelo ar e não se concatena com a bobina 2 é dado o nome de fluxo de

dispersão (F ).d

Expressando matematicamente os fluxos concatenados, temos: λ1=N1(Φm+Φd)

λ2=N2Φm

Figura 5: Fluxo Mútuo e Fluxo de Dispersão

É importante ressaltar que, pelo fato de passar pelo ar, que tem uma permeabilidade baixa, o fluxo de dispersão tem um valor significativamente inferior ao fluxo que passa no núcleo.

Linhas do Fluxo de Dispersão Φ_d

Fluxo Mútuo Φ_m

7. Indutância Mútua

A colocação de mais uma bobina no núcleo impôs a necessidade de definirmos o fluxo mútuo entre as bobinas. Por consequência, podemos também definir uma indutância mútua associada a esse fluxo, que é expressa por:

2 m 12 2 1 I 0 M N I ₌ F = ₍₁₀₎

Note que a indutância mútua M12 foi definida alimentando-se a bobina 1 e deixando a bobina 2 em aberto (I2=0). Podemos, entretanto, também definir uma indutância mútua (M21) alimentando-se a bobina 2 e deixando a bobina 1 em aberto.

No exemplo em questão, devido à simetria e à regularidade do caminho magnético para o fluxo mútuo entre as bobinas 1 e 2, podemos assumir que M12=M21=M.

 Determinação dos fluxos mútuo e de dispersão em casos de alimentação senoidal Vamos supor que a estrutura da figura 5 tem a bobina 1 alimentada por uma fonte de tensão senoidal de valor eficaz 10 V e frequência 60 Hz. Na bobina 2, em aberto, é conectado um voltímetro. Nessa situação, uma corrente senoidal I=2 A (valor eficaz) percorre a bobina 1. A figura 6 mostra essa configuração. Dados adicionais: Resistência da Bobina 1: R1=1Ω Resistência da Bobina 2: R2=1Ω Leitura do voltímetro: V2=15 V Número de espiras N1=100 Número de espiras N2=200 Pede-se:

O valor da Indutância própria L1 O valor da Indutância Mútua

Os fluxos total, mútuo e de dispersão

Figura 6: Núcleo com alimentação senoidal

Resolução:

O circuito elétrico para o exemplo em questão, considerando a indutância mútua, é apresentado na figura 7.

Figura 7: Circuito elétrico com mútua Determinação da Indutância da Bobina 1 (L1):

A equação associada com a bobina 1, obtida pela análise do circuito da figura 7 é:

˙V

₁

(t )=R

₁

˙I

₁

(t)+L

₁d ˙I1(t) dt

⏟

˙ E1(t)

±

M

d ˙I2(t) dt (11)

Lembrando que I2=0 e a alimentação é senoidal, a equação (11) pode ser colocada na forma:

1 1 1 1 1

V& =R I& +jX I& ou

˙V

1

=(R

⏟

1

+

jX

1

)

˙ Z1

˙I

₁ Assim: 1 1 1 V ₁₀ Z 5 2 I = & = = W &

& e a reatância X1 é obtida por:

2 ₂ 1 1 1 X = Z& -R = 25 1 4,90- @ W E a indutância L1 fica: 1 1 X 4,90 L 13mH 2 f 2 60 = = @ p p Determinação da Indutância Mútua (M):

A indutância mútua M é determinada utilizando-se a equação de circuito elétrico referente à bobina 2, qual seja:

˙V

₂

(

t)=R

₂

˙I

₂

(t )+L

₂d ˙I2(t) dt

⏟

˙ E2(t )

±M

d ˙I1(t ) dt (12)

Pelo fato de I2=0 e estarmos considerando grandezas senoidais, a expressão (12) toma a forma:

2 M 1

V& =X I& E a indutância mútua M é obtida por: 2

1 V 1 1 15 M 19,89mH 2 60 I 2 60 2 = × = × @ p p & & Determinação do Fluxo Mútuo (Φm):

2 m 12 2 1 _{I 0} M N I ₌ F = Isolando Φm, temos: 3 4 1 m 2 MI 19,89.10 .2 1,99.10 Wb N 200 -F = = @ (valor eficaz).

Uma outra forma de resolver é utilizando a expressão (9), uma vez que I2=0. Assim: 2 2 mutuo _ max mutuo _ max 4

15

V 4, 44fN 2,82.10 Wb

4, 44.60.200

-= F Þ F = @

& _{(valor de pico)}

Em valor eficaz: m mutuo _ max 1,99.10 Wb4 2

-F

F = @ , que é o mesmo valor obtido anteriormente. Determinação do Fluxo Total (Φt):

Pela figura 5, observamos que o fluxo total Φt, que é a soma do fluxo mútuo Φm com o fluxo de dispersão Φd, é criado pela bobina 1, portanto é esse fluxo que induz a tensão E& . Assim, temos1 duas formas de determinar Φt:

1. utilizando a definição da indutância própria L1, ou seja,

1 1 1 1 N L I F = _{, no qual Φ1= Φt} Numericamente: 3 4 t 13.10 .2 2,60.10 Wb 100 -F = = (valor eficaz) 2. utilizando a expressão (9) de forma que: E&1 =4, 44fN1Ft _ max, mas

2 2

1 1 1

E& = V& - DV& Numericamente: 2 2 1 E& = 10 -2 @9,8V _e 4 t _ max 9,8 3,68.10 Wb 4, 44.100.60 -F = @

E o valor eficaz é: t _ max 4 t 2, 60.10 Wb

2

-F

F = = Determinação do Fluxo de Dispersão (Φd):

O fluxo de dispersão Φd é obtido pela subtração: F = F - F , ou seja:d t m

(

)

4 4

d 2,60 1,99 .10 0,61.10 Wb

-

-F = - = (valor eficaz)

É importante esclarecer que, para o exemplo dado, esta é a única maneira de se determinar Φd, uma vez que no circuito elétrico adotado na figura 7 não há nenhuma tensão associada a esse fluxo.

Apenas a título de esclarecimento, os fluxos descritos neste exemplo, por serem também senoidalmente variáveis no tempo, devem ser tratados como grandezas complexas. Entretanto, como apenas os módulos são utilizados, foi abolida a notação complexa (ex: F& ).d

Dito isso, a subtração F = F - F é uma operação com grandezas complexas, mas como osd t m três fluxos têm a mesma fase, pois são todos produzidos pela mesma corrente, a utilização apenas dos módulos é aceitável.

Considerações finais sobre o exemplo:

O exemplo apresentado, no qual duas bobinas são instaladas num núcleo ferromagnético, é uma antecipação de um dos dispositivos mais importantes na engenharia elétrica que é o transformador. O transformador, que se baseia no fenômeno da tensão induzida gerada por um fluxo mútuo variável no tempo (Lei de Faraday), é fundamentalmente utilizado para a variação de grandezas elétricas de uma bobina para outra.

Repare que no exemplo em questão, a tensão aplicada na bobina 1 é de 10V e na bobina 2 surge uma tensão induzida de 15V.

Embora a modelagem utilizada no exemplo tenha se valido da indutância mútua, essa não é a modelagem mais utilizada, na prática, para transformadores.

Mas esse desenvolvimento deixaremos para as próximas aulas!

8. Referências Bibliográficas:

1. Fitzgerald, A. E., Kingsley Jr., C., Umans, S. D., Máquinas Elétricas, Bookman, 2006. 2. Chapman, S. J., Fundamentos de Máquinas Elétricas, McGraw Hill, 2013.

ANEXO I

Tabela I: Equações de Maxwell

Forma Integral Forma Diferencial

dD H J dt Ñ´ = + r r r B 0 Ñ × =r dB E dt Ñ´ = -r r D Ñ × = rr

Tabela II: Equações complementares

Relações Constitutivas Equações Auxiliares

Dr = eEr Ñ × =J 0r Br = mHr Er = -ÑV J= sE r r sBdS F =

ò

r r s I=

ò

JdSr r

Tabela III: Grandezas Eletromagnéticas

Símbol o

Denominação Unidade

Hr Intensidade Campo Magnético A/m Br Densidade de Fluxo Magnético ou Vetor Indução Magnética T

Er Campo Elétrico V/m

Dr Densidade de Fluxo Elétrico ou Vetor Deslocamento Elétrico C/m2 J

r

Densidade de Corrente Elétrica A/m2 V Diferença de Potencial ou Tensão Elétrica V

ρ Densidade Volumétrica de Carga C/m3

σ Condutividade Elétrica S/m

μ Permeabilidade Magnética H/m

Φ Fluxo Magnético Wb