Resolução de problemas Utilizando o modelo de Resoluções funções Exponencial: Experiencia realizada com alunos da escola secundária de São Miguel

JOSÉ MÁRIO GOMES SILVA 

 

 

 

 

 

 

 “Experiencia realizada com alunos do 12ºAno da  Escola 

Secundária de São Miguel” 

 

 

 

   

 

 

INSTITUTO SUPERIOR DA EDUCAÇÃO

DEPATAMENTO DE CIÊNCIAS & TECNOLOGIA

2008

JOSÉ MÁRIO GOMES SILVA 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 “Experiencia realizada com alunos da Escola Secundária 

de São Miguel” 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRABALHO CIENTÍFICO APRESENTADO AO ISE PARA OBTENÇÃO DO GRAU DE LICENCIATURA EM ENSINO DE MATEMÁTICA SOB A ORIENTAÇÃO DE DR.:ARLINDO TAVARES SEMEDO

Dedicatória   

A todos aqueles que de uma forma ou outra contribuíram, com o seu apoio, para que este trabalho se efectivasse.

A todos os meus professores e colegas que me apoiaram imenso durante a elaboração deste trabalho

O Júri;

__________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________

Índice 

I-PARTE ... 4  INTRODUÇÃO ... 4  II-PARTE ... 7  2. PROBLEMA MATEMÁTICO ... 7  Fundamentação teórica ... 7 

2.1- Problema e exercícios – diferenças... 8 

2.2- Definição de um problema matemático ... 9 

2.3 - Formas de expressar problemas matemáticos: ... 11 

2.4 - Classificação de problemas textuais ... 12 

2.5 - Níveis no desenvolvimento do resolvedor de problemas ... 12 

2.5.1- As heurísticas de resolução de problemas ... 13 

2.6 - Etapas da resolução de um problema segundo Polya ... 14 

2.7 - Como resolver problemas (segundo Polya). ... 14 

2.7.1- Importância da revisão na resolução de problemas ... 16 

III-PARTE ... 17 

3. FUNÇÃO EXPONENCIAL ... 17 

3.1 - Definição ... 17 

3.2- Função exponencial y=ax (com a>0e a≠1) definidas em (estudo intuitivo) . 18  3.2.1-Função exponencial de base a >1 ... 18 

3.2.2 - Função exponencial de base a∈

] [

0;1 ... 19 

3.2.3 - Função exponencial de base e ... 20 

Limites notáveis ... 21 

3.3 - Translação dos gráficos de funções exponenciais ... 22 

3.4-Equações e inequações exponencial ... 23 

3.4.1-Equações exponenciais ... 23 

3.4.2-Inequações exponenciais ... 24 

3.5-Relação entre função exponencial e função logarítmica ... 25 

Logaritmo – definição. ... 25 

3.6-Derivada da função exponencial ... 26 

3.7-Resolução de problemas ... 29 

3.7.1-Sugestões metodológicos para a resolução de problemas ... 29 

3.7.2- Problemas propostos ... 47 

IV-PARTE ... 49 

4-TRABALHO DE CAMPO ... 49 

4.1-Metodologia ... 49 

4.2-Recolha e tratamento de informações ... 52 

4.2.1- Organização e reflexão sobre as respostas ... 52 

5-COONCLUSÃO E RECOMENDAÇÔES ... 58 

5.1-Conclusão ... 58 

5.2-Recomendações ... 60 

ANEXO ... 65   

I-PARTE

INTRODUÇÃO

Como professor de Matematica durante seis anos, ao longo da carreira tivemos oportunidade de trabalhar com alunos, cuja a idade vai dos 12 até à idade adulta, contribuindo, deste modo, na resolução de problemas relacionados com a disciplina de Matemática, e, como é natural, alguns desses estudantes tinham um talento excepcional para a Matemática, enquanto que outros a viam como uma disciplina particularmente difícil de aprender. No entanto, a maioria dos desses alunos manifestaram uma capacidade média em apreender matemática, Durante o ano lectivo, deu-se uma atenção especial à resolução de problemas, utilizando, essencialmente, o modelo de resolução função exponencial.

A questão fundamental no ensino de Matemática não é a alteração dos conteúdos, mas sim, a mudança nos métodos de ensino e na natureza das actividades a realizar com os alunos. Importa, porém, que o professor faça uma planificação cuidada do processo ensino-aprendizagem, o que implica desafios à actualização científica e pedagógica, à criatividade, mas também ao equilíbrio e bom senso1.

Sendo assim, deve ser dado um tratamento especial à resolução de problemas utilizando modelo de resolução função exponencial devido à sua aplicação na vida quotidiana.

1

Ferreira Neves Maria Augusta Matemática 8 Guia do Professor

Os problemas são situações não rotineiras que constituem desafios para os alunos e em que, frequentemente, podem ser utilizados varias estratégias e métodos de resolução e não exercícios, geralmente de resolução mecânica e repetitiva, em que apenas se aplica um algoritmo que conduz directamente à solução.

Como se tem verificado muito insucesso, mais concretamente na disciplina de Matemática e, dentro da Matemática, a resolução de problemas é um dos factores que contribui para o insucesso e pelo facto de a resolução de problemas já ter sido objecto de estudo de um trabalho realizado com alunos do 2º ciclo e, por outro lado, levando em consideração que, no presente ano lecciono o 12º ano, por esse motivo justifica-se a escolha do tema para o trabalho do fim do curso: “Resolução de Problemas Matemático Utilizando o Modelo de

Resolução Função Exponencial”, tendo por base a experiência realizada com alunos da

Escola Secundária de São Miguel e cujo objectivo é propor algumas estratégias ou soluções para diminuir o insucesso ou para melhorar o ensino-aprendizagem da Matemática.

Com o desenvolvimento do tema, pretendo dar um contributo docente, de forma a proporcionar a organização sistemática dos conhecimentos diacrónicos, e contextualização, de modo a verificar as diversas contribuições para o desenvolvimento

do processo ensino-aprendizagem e também propor aos professores e alunos algumas sugestões metodológicas na abordagem da resolução do problema , tendo em conta que a maioria dos alunos, quando se lhes fala do assunto em destaque começa a “temer”. Com o mesmo, pretendo, atenuar esse preconceito junto dos referidos alunos, começando por resolver problemas simples que os cativam para a nova unidade temática.

A par de tudo que ficou exposto acima, esta monografia, pretende, sobretudo:

¾ Identificar as dificuldades dos alunos na resolução de problemas textuais utilizando o modelo de resolução função exponencial;

¾ Resolver problemas textuais utilizando o modelo de resolução função exponencial; ¾ Aprofundar nos aspectos teóricos e práticos sobre resolução de problemas ;

¾ Identificar as potencialidades na resolução de problemas textuais no desenvolvimento cognitivos dos alunos;

¾ Desenvolver a competência no sentido de valorizar a resolução de problemas na organização de processo ensino-aprendizagem da Matemática.

O trabalho está estruturado de forma a possibilitar uma leitura abrangente. Na primeira parte fez-se a introdução, posteriormente realizou-se um pequeno estudo sobre problemas matemáticos (definição, caracterização, formas de a expressar, classificação, identificação das etapas e níveis do resolvedor …etc) e, depois, fez-se um estudo da função exponencial para, de seguida, apresentar o trabalho realizado no campo, bem como o tratamento dos dados recolhidos. Por último, a conclusão.

II-PARTE

2. PROBLEMA MATEMÁTICO

Fundamentação teórica

Viver a Matemática na escola pode ser uma experiência feliz se proporcionarmos aos alunos experiências matemáticas diversificadas que estejam ao seu alcance e sejam autênticos desafios aceites com prazer.

A resolução de problemas constitui, em Matemática, um contexto universal de aprendizagem e deve, por isso, estar sempre presente associada ao raciocínio, à comunicação e integrada naturalmente nas diversas actividades.

A Matemática é a única ciência onde pouco valor se dá à erudição. O valor de um matemático é avaliado não pelo que ele sabe mas pela sua capacidade de resolver problemas. E não é para menos: a Matemática vive de problemas, infelizmente a retórica da Resolução de Problemas virou um dos modismos do Sistema Escolar nos últimos anos. O resultado é o de se esperar: os oportunistas de plantão e os ingénuos despreparos conseguiram deturpar de tal modo o assunto que hoje podemos encontrar as actividades mais ridículas rotuladas como resolução de problemas matemáticos2.

Um bom problema matemático além de representar um desafio, tanto ao poder dos matemáticos como ao poder da disciplina por eles criada, também "mexe" com a Matemática:

2

faz com que a melhor entendamos, fertiliza-a e permite que possamos resolver outros problemas.

2.1- Problema e exercícios – diferenças

“O que para alguns é um problema para outros é um exercício e para alguns outros uma distracção”. (Ditado popular).

Muitas vezes o professor de Matemática costuma pedir ao aluno para resolver exercícios ou problemas, e até os livros didácticos induzem a utilizar esta palavra - para aprender um determinado tópico da matéria. Ou seja, é preciso diferenciar problema de exercício, palavras estas, muitas vezes utilizadas como equivalentes pelos professores de Matemática.

O exercício é uma actividade de adestramento no uso de alguma habilidade ou conhecimento matemático já conhecido pelo resolvedor, como a aplicação de algum algoritmo ou fórmula já conhecida. Ou seja, o exercício envolve mera aplicação de resultados teóricos enquanto o problema necessariamente envolve invenção e/ou criação significativa, mais concretamente Um problema é uma tarefa na qual o individuo ou grupo se confronta com a necessidade de encontrar uma solução, não possuindo um procedimento directamente acessível que garanta a solução.

Um matemático, ao descrever o seu trabalho, certamente não deixará de pronunciar duas palavras presentes no seu dia a dia: problema e prova.

O problema é o meio pelo qual a Matemática se desenvolve, ou seja, o “alimento” da evolução matemática. Um problema tem seu grau de importância relacionado à quantidade de ideias novas que ele traz à Matemática e o quão ele é capaz de impulsionar os diversos ramos da Matemática – sobretudo aqueles em que ele não está directamente relacionado.

A prova está indissoluvelmente ligada ao problema e é a única maneira de atestar ou não a solução Matemática do mesmo. A prova representa o rigor, a solidez e a consistência da teoria Matemática e nada mais é do que uma sequência de raciocínios dedutivos que parte de fatos de veracidade já conhecida – como teoremas e axiomas – e chega até o resultado em demonstração, resolvendo o problema.

No contexto de educação Matemática, um problema, ainda que simples, pode suscitar o gosto pelo trabalho mental se desafiar à curiosidade e proporcionar ao aluno o gosto pela descoberta da resolução. Neste sentido, os problemas podem estimular a curiosidade do aluno e fazê-lo a se interessar pela Matemática, de modo que ao tentar resolvê-los o aluno adquire criatividade e aprimora o raciocínio além de utilizar e ampliar o seu conhecimento matemático.

2.2- O que é um problema?

Agora que falamos da importância dos problemas na Matemática, podemos dar uma definição intuitiva de problema.

Existem diversas concepções acerca do que é um problema:

Para Newell & Simon (1972), “um problema é uma situação na qual um indivíduo deseja fazer algo, porém desconhece o caminho das acções necessárias para concretizar a sua acção”

Segundo Chi e Glaser (1983) “o problema é uma situação na qual um indivíduo actua com o propósito de alcançar uma meta utilizando para tal alguma estratégia em particular”

Definição- (segundo Polya )

Um problema matemático é toda situação requerendo a descoberta de informações matemáticas desconhecidas para a pessoa que tenta resolve-lo, e/ou a invenção de uma demonstração de um resultado matemático dado. O fundamental é que o resolvedor tenha de inventar estratégias e criar ideias; ou seja: pode até ocorrer que o resolvedor conheça o objectivo a chegar, mas só estará enfrentando um problema se ele ainda não tem os meios para atingir tal.

O quadro teórico sobre a resolução de problemas considerado adequado e por isso adoptado, foi o Modelo de Resolução de Problemas de Polya. Tal modelo, foi apresentado aos alunos numa aula, através de uma transparência, comportando as diversas fases (mais simplificadas), acompanhadas de um exemplo prático e de muito simples de aplicação.

De acordo com a definição dada pelos autores podemos concluir que a palavra “problema” tem conotações diferentes de indivíduo para indivíduo e por isso, torna necessário caracterizar o sentido que lhe damos.

Perfilhamos a ideia que Kantowski (1977) traduz na seguinte afirmação:“Um indivíduo está perante um problema quando se confronta com uma questão a que não pode dar resposta ou com uma situação que não sabe resolver, usando conhecimentos imediatamente disponíveis” Podemos destacar alguns exemplos que ilustram a situação acima referida:

1-No torneio de ténis de mesa, que se vai. Realizar numa escola, estão inscrito 92 participantes. Cada participante necessita de 3 bolas. Quantas bolas serão distribuídas?

2- A função f t( )=1000e1,2t traduz o crescimento de uma certa população de insectos (t representa o tempo em semanas).

Mostra que a variação da função é proporcional à própria função. Qual é o significado desta relação?

A premeria questão para alunos do 4º ano do E.B.I é um problema, não será um problema para um aluno do3ºciclo ensino secundário, pois no seu repertório de conhecimento faz parte o algoritmo da multiplicação. Trata-se de um simples exercício de aplicação. No entanto, para os mesmos alunos, a segunda questão já constitui um problema. Será necessário descobrir um caminho que lhes permita dar a resposta.

2.2- Características de um problema proposto a um resolvedor

A partir das concepções de problemas acima, entendemos que existe um problema quando há um objectivo a ser alcançado e não sabemos como atingir esse objectivo. Em Matemática, existe um problema quando há um resultado – conhecido ou não – a ser alcançado utilizando a teoria Matemática.

Um problema é mais valioso à medida que o resolvedor – ou seja, quem está se propondo a encontrar uma solução ao problema - tenha de inventar estratégias e criar ideias. Quem resolve pode até saber o objectivo a ser atingido, mas ainda estará enfrentando um problema se ele ainda não dispõe dos meios para atingir tal objectivo.

Dai há necessidade de identificar algumas características de um problema proposto ao resolvedor:

Ö Segundo Resnick

Um problema tem várias características

• sem algoritmização - o caminho da resolução é desconhecido, ao menos em

boa parte;

• complexos - precisam de vários pontos de vista;

• exigente -a solução só é atingida após intenso trabalho mental; embora o

caminho possa ser curto, ele tende a ser difícil;

• exigem lucidez e paciência para na aparente desordem vermos as regularidades, os padrões que permitirão a construção do caminho até a solução;

• nebulosos- podem ocorrer que nem todas as informações necessárias estejam

aparentes; por outro lado, pode ocorrer que existam conflitos entre as condições estabelecidas pelo problema;

• não há resposta única além de normalmente ocorrer de existirem várias maneiras de se resolver um dado problema, pode ocorrer de não existir uma melhor solução e até de não existir solução; ao contrário do que a Escola ensina:

2.3 - Formas de expressar problemas Matemáticos:

• Texto e esquema; • Texto e gráfico; • Texto e tabela; • Texto e figura;

• Texto e equação / inequação; • Texto.

2.4 - Classificação de problemas textuais

Tendo em conta que o trabalho a ser realizado é sobre problemas textuais utilizando modelo de resolução função exponencial há necessidade de avaliar os problemas textuais.

Os problemas textuais podem ser classificados segundo os seguintes critérios:

Ö Conteúdo do problema (ex: problemas sobre: movimento, trabalho conjunto, moedas, números, idades, misturas de líquidos, figuras geométricas,...);

Ö Nível de abstracção (ex: problemas práticos e teóricos);

Ö Método de resolução (ex: problemas: algébricos, lógicos, geométricos; problemas que se resolvem utilizando “instrumentos” de análise Matemática).

2.5 - Níveis no desenvolvimento do resolvedor de problemas

Na resolução de problemas existem indivíduos com diferentes características, a ideia defendida pelo matemático Kantowski que os classificou de acordo com as capacidades pessoais de resolver problemas matemáticos em seguintes estágios:

• Inerte:

a pessoa tem nenhum ou quase nenhum entendimento do que seja resolver um problema matemático; em particular, não é capaz de atinar por onde começar. O máximo que se consegue fazer nesse estágio é reproduzir procedimentos de resolução muito simples e que foram exaustivamente explicados e exemplificados. Ou seja: uma pessoa nesse estágio está restrita ao mundo dos exercícios, e é necessário que esses sejam bastante exemplificados;

• Imitador:

com pouca explicação e exemplificação, torna-se capaz de fazer exercícios mas ainda não é capaz de resolver verdadeiros problemas; é capaz de participar produtivamente em grupos que estejam discutindo a resolução de problemas de tipo novo, contudo é incapaz de trabalhar sozinho;

• Capaz:

atingiu a capacidade de resolver problemas, mas esses devem ser variantes relativamente simples de problemas que aprendeu ou já resolveu;

• Avançado:

de resolução, da variedade e da maior complexidade dos problemas que é capaz de enfrentar, a pessoa começa a ser capaz de conceber processos de resolução diferentes dos que tinha aprendido;

• Artista:

a pessoa não só atingiu uma proficiência superior de inventar novos processos de resolução como preocupa-se em explorar caminhos alternativos, buscando resoluções mais elegantes ou poderosas.

2.5.1- As heurísticas de resolução de problemas

Antes de entrarmos na exposição e análise das diversas heurísticas de resolução de problemas é muito importante termos uma ideia clara sobre o significado da palavra heurística. Para tal, recorremos ao dicionário Houaiss que nos “traduz” heurística em vários contextos:

¾ Contexto científico: “a ciência que tem por objectivo a descoberta dos fatos”3

;

¾ Contexto de problematização: “a arte de inventar, de fazer descobertas” ou “método de investigação baseado na aproximação progressiva de um dado problema”;

¾ Contexto pedagógico: “método educacional que consiste em fazer descobrir pelo aluno o que se lhe quer ensinar”.

Percebemos, portanto, que falar em heurística de resolução de problemas é falar sobre “métodos e regras que conduzem à descoberta, inovação, investigação e resolução de problemas.

Podemos também observar que heurística pode referir-se tanto ao contexto científico quanto ao contexto educacional; para nós, ambos os contextos são pertinentes, pois ao mesmo tempo em que queremos avaliar a importância da resolução dos problemas na evolução da Matemática – descoberta de novos resultados, criação de novos, problemas,..., etc. - também queremos ressaltar a importância dos problemas no processo ensino-aprendizagem

3

HOUAISS, António et al. Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa. Rio de Janeiro, Objetiva, 2001, 1ª ed., p. 1524. FERREIRA, Aurélio Buarque de Holanda. Novo Aurélio – O dicionário da língua portuguesa. Rio de Janeiro, Nova Fronteira, 2000, 3ª edição

2.6 - Etapas da resolução de um problema segundo Polya

Muitas vezes a pessoa que está perante um problema matemático começa a resolver um problema sem entender o problema mas não é preciso ter preça, um problema antes de ser resolvido é preciso entender e estabelecer um plano de acção.

Procurando organizar um pouco o processo de resolução de problemas, o grande matemático

George Polya o dividiu em quatro etapas, que resumimos abaixo. Antes de passarmos a elas,

é muito importante enfatizar que Polya nunca pretendeu que sua divisão correspondesse à uma sequência de etapas a serem percorridas uma após outra, sem que nunca seja conveniente ou necessário voltar atrás que funcionasse como uma “poção mágica” para resolver problemas matemáticos.

E dela podemos destacar tais como:

o 1-Entendimento do problema;

o 2-Invenção de estratégias de resolução;

o 3-Resolução/execução;

o 4-Revisão.

2.7 - Como resolver problemas (segundo Polya).

1- Entenda o problema:

• Primeiro, tens de entender o problema:

• Qual é a incógnita? Quais são os dados? Quais são as condições?

• É possível satisfazer as condições? Elas são suficientes para determinar a incógnita? Ou são insuficientes? Ou redundantes? Ou contraditórias?

• Faça uma figura. Outra se necessário. Introduza notação adequada. • Separe as condições em partes.

2- Construa uma estratégia de resolução

Ache conexões entre os dados e a incógnita. Talvez seja conveniente considerar problemas auxiliares ou particulares, se uma conexão não for achada em tempo razoável. Use isso para "bolar" um plano ou estratégia de resolução do problema.

Vale a pena expandirmos um pouco esses conselhos: • Já encontrou este problema ou algum parecido?

• Conhece um problema semelhante? Conhece teoremas ou fórmulas que possam ajudar?

• Olhe para a incógnita! E tente achar um problema familiar e que tenha uma incógnita semelhante.

• Aqui está um problema relacionado com o seu e que você já sabe resolver. Conse--gue aproveitá-lo? Pode usar seu resultado? Ou seu método? Deve-se introduzir algum elemento auxiliar de modo a viabilizar esses objectivos?

• Consegues enunciar o problema de uma outra maneira?

• Se não conseguiu resolver o problema dado, tente resolver um problema parecido. Consegue imaginar um caso particular mais acessível? Um caso mais geral e mais acessível? Consegues resolver alguma parte do problema? Mantenha apenas parte das condições do problema e observe o que ocorre com a incógnita, como ela varia agora? Consegues obter alguma coisa desde os dados? Consegues imaginar outros dados capazes de produzir a incógnita? Consegues alterar a incógnita ou os dados, ou ambos, de modo que a nova incógnita e os novos dados fiquem mais próximos?

• Estás a levar em conta todos os dados? E todas as condições? 3- Execute a estratégia

Frequentemente, esta é a etapa mais fácil do processo de resolução de um problema. Contudo, a maioria dos principiantes tendem a pular para essa etapa prematuramente, e acabam dando-se mal. Outros elaboram estratégias inadequadas e acabam dando-se enredando terrivelmente na execução.

• Execute a estratégia.

• Ao executar a estratégia, verifique cada passo que consegues mostrar claramente que cada um deles está correcto?

4 - Reveja

• Examine a solução obtida.

• Verifique o resultado e o argumento.

• Qual a essência do problema e do método de resolução empregado? Em particular, você consegue usar o resultado, ou o método, em algum outro problema?

2.7.1- Importância da revisão na resolução de problemas

1- A revisão é a última etapa da resolução, (segundo Polya)

Conforme vimos em texto anterior, Polya dividiu o processo de resolução de problemas matemáticos em quatro etapas: entendimento do problema, invenção de estratégia de resolução, execução e revisão.

Poderíamos dizer que Polya pretendia duas coisas nessa última etapa:

• Uma depuração da resolução

• Uma abstracção da resolução

Antes de passarmos a detalhes, observemos que na Escola existem ao menos caricaturas das três primeiras etapas de Polya, mas nada no que toca à etapa da revisão. Os professores ou ignoram essa importante etapa ou alegam que a mesma é inviável de trabalhar face à falta de tempo, dificuldade de testar, frustração dos alunos, etc.

2- Reveja para depurar a resolução

O objectivo é verificar a argumentação usada, procurando simplificá-la. Pode-se chegar ao extremo de buscar outras maneiras de resolver o problema, possivelmente mais simples, mas menos intuitivas e só agora acessíveis ao resolvedor.

3- Reveja para abstrair a resolução

Agora, o objectivo é reflectir no processo de resolução procurando descobrir a essência do problema e do método de resolução empregado. Tendo-se sucesso nessa empreitada, poder-se-á resolver outros problemas mais gerais ou de aparência bastante diferente. Ela representa a possibilidade de aumento do "poder de fogo" do resolvedor. Feito por matemático talentoso, esse trabalho de depuração representa a possibilidade de fertilização da Matemática.

III-PARTE

3. FUNÇÃO EXPONENCIAL 3.1 - Definição

Chama-se função exponencial a uma função que tem expressão analítica do tipo x a

{ }

(a∈ + \ 1 e x∈ .

• Para estudar esta função é preciso recordar a noção de potência, sendo assim enunciamos algumas propriedades:

Seja a b, ∈ e∀x y, ∈

( )

(

)

0 ) 1 1 ) ) ) ) 1 1 1 1 ) ) x x x y x y y x y x x x x x _{x x} a a b a a c a a a d a a e f a a h a b a b − + × = = = × = = ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × = × Potência

Definiu-se potência de expoente natural n dum número real a, por an ,sendo a→base x→expoente 1 1 ; 2, 3, 4,... n n a a a a − a n ⎧ = ⎪ ⎨ = × = ⎪⎩

3.2- Função exponencial y=ax (com a>0 e a≠1) definidas em (estudo intuitivo)

3.2.1-Função exponencial de base a >1

Seja a um número real positivo. A aplicação f : → +,com f x( )=ax

Chama-se função exponencial de base a

Vamos estudar algumas propriedades desta função. (1) O domínio da função é .

(2) Como a>1 então ax > ∀ ∈ logo o contradomínio da função é 0, x +.

(2) 2 1

2 1 1 2

1, x x, ,

Sendo a> x > ⇒x a >a ∀x x ∈ , então f é crescente.

Cresce mais rapidamente quando maior for o valor de a e para cada a o crescimento é mais rápido para os valores maiores de x

(3) Seja 1 2

1 2 , 1, 2

x x

x ≠x ⇒a ≠a ∀x x ∈ logo f é injectiva. (4) A função não tem zeros visto que ax >0,∀ ∈ . x (5) Pontos da intercessão com eixo das ordenadas (0,1)

0

0∈D_f ⇒ f(0)=a =1

(6) lim x lim x lim x lim 1_x 0

x a e x a x a x _a

−

→+∞ = +∞ →−∞ = →+∞ = →−∞ = (ver a tabela pag.25).

(7) Admite a assimptota horizontal de equação y=0 quando x→ −∞ e não tem assimptotas verticais nem oblíquos.

(8) Esboço do gráfico

3.2.2 - Função exponencial de base a∈

] [

0;1

Seja a um número real positivo. A aplicação f : → +,com f x( )=ax

Chama-se função exponencial de base a

Vamos estudar algumas propriedades desta função. (1) O domínio da função é .

(2) Como 0< <a 1 então ax > ∀ ∈ então o contradomínio da função é 0, x +.

(2) 2 1

2 1 1 2

0 1, x x, ,

Sendo < <a x > ⇒x a <a ∀x x ∈ então f é decrescente.

Decresce mais rapidamente quando maior for o valor de a e para cada a o decrescimento é mais rápido para os valores maiores de x

(3) Seja 1 2

1 2 , 1, 2

x x

x ≠x ⇒a ≠a ∀x x ∈ logo f é injectiva. (4) A função não tem zeros visto que ax >0,∀ ∈ . x (5) Pontos da intercessão com eixo das ordenadas (0,1) 0∈

_D

_f⇒ f(0)=a0 = 1 1 (6) 0 1 1; 1 ( ) ( ) x x x a a seja g x a e seja f x a a − < < ⇒ > ⎛ ⎞ = =_{⎜ ⎟} = ⎝ ⎠

Então f(x) identifica-se com g(-x), ou seja, g(x)=f(-x) , portanto os gráficos de f e de g são simétricos em relação ao eixo das ordenadas.

Então o limite lim x lim x 0

x→−∞a = +∞ e x→+∞a =

(7) Admite a assimptota horizontal de equação y=0 quando x→ +∞ e não tem assimptotas verticais nem oblíquos.

(8) Esboço do gráfico

3.2.3 - Função exponencial de base e

Já estudamos várias funções exponenciais de base superior a 1. Tem particular interesse estudar a função cuja base é o número e 2,71828…. que é designado por número de Neper .

Define-se função exponencial de base e a função:

: x f x e + → a

Esta função goza das mesmas propriedades que qualquer outra função exponencial de base superior a 1 e aparece na descrição de vários fenómenos.

Observe o gráfico

Característica da função exponencial de base e:

x e Dominio

Contradominio

Zeros não tem

Sinal Positiva

Monotonia injectividade

Assimptotas horizontal 0

comportamento nos etre- lim 0 lim x x x x y Crescente injectiva y e tremos docontradominio e + →−∞ →+∞ = = = = +∞

Limites notáveis

• O crescimento de x

a , com a> 1, é tão rápido que se tem lim x k x a k x →+∞ = +∞ ∀ ∈

“a exponencial cresce mais depressa do que qualquer potencia do seu expoente “ como consequência, tem-se obviamente lim 0 ,

k x x x k a

→+∞ = ∀ ∈ visto que o inverso dum infinitamente

grande é um infinitésimo. Exemplo 4 2 lim x x→+∞_x =

Já sabemos que lim 2x lim 4

x→+∞ = +∞ e x→+∞x = +∞, logo estamos perante uma indeterminação do tipo ∞

∞.

Podemos determinar alguns valores construindo uma tabela.

X … 1 2 3 … 50 … 100 … 2x … 2 4 8 … 50 2 … 100 2 … 4 x … 1 16 81 … 4 50 … 4 100 … 4 2x x … 2 1 4 8 81 … 8 1,8 10 ≈ × … ≈1, 3 10× 22 …

Facilmente podemos ver 2₄ x

x toma valores tão grandes quanto se queira, maiores que qualquer número dado, quando x aumenta indefinidamente.

• Experimenta dar a x valores cada vez mais próximos de zero, positivos ou negativos, e verifica (com a calculadora) que 1

x e

x −

toma valores cada vez mais próximos de 1. O facto da tangente ao gráfico de e , no ponto (0,1) , permite ter declive 1 e escrever x

0 1 lim x x e x → − = 1

3.3 - Translação dos gráficos de funções exponenciais

Partindo do conhecimento do gráfico da função : a ,x a >0e a≠ 1 Por translação é possível obter o gráfico da função do tipo:

(x d) y= +b a +

Exemplos:

3.4-Equações e inequações exponencial 3.4.1-Equações exponenciais

Equação exponencial tem este nome porque apresenta a incógnita em algum expoente. Numa equação exponencial encontraremos potências em que a base será conhecida e o valor do expoente será desconhecido, ou seja, será uma incógnita.

Ex:52x+3 =3125

Resolução de equações exponenciais:

É conveniente saber que nem todas as equações exponenciais podem ser resolvidas. A existência de poderosos computadores e grandes centros de computação permitem obter aproximações muito precisas, mas as soluções exactas geralmente não são possíveis.

Vamos estudar alguns exemplos resolvidos. O que pretendemos é demonstrar como, a partir de algumas etapas simples, é possível transformar uma equação exponencial numa igualdade de duas potências da mesma base.

Para lembrar:

É importante observar os passos dados até aqui para resolver os exemplos seguintes de equações exponenciais.

Exemplo:

a) 3x =81⇔3x =34 ⇔ = x 4

b) 2x−5 =16⇔2x−5 =24 ⇔ − = ⇔ = x 5 4 x 9

c) 52x+3 =3125⇔52x+3 =55 ⇔2x+ = ⇔3 5 2x= − ⇔ = 5 3 x 1

Analisando os passos ali dados podemos concluir que para resolver essas equações é necessário realizar dois passos importantes:

1º ) Reduzir os dois membros da equação a potencia de mesma base 2º) Aplicar a propriedade:

( 1 0)

x y

3.4.2-Inequações exponenciais

Inequação exponencial -uma desigualdade em que a incógnita figura em expoente.

Ex:

]

[

2 2 0 2 1 2 2 2 0 2 2; x x x x CS + _{> ⇔} + _{> ⇒ + > ⇔ > −} = − +∞

Propriedade que nos permite resolver inequações exponenciais:

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

,

,

:

1

1

2

1

r r r r

S e a

r r

e n tã o

a

r

r

a

a

a

r

r

a

a

+

∈

∈

−

> ∧

>

⇒

>

−

< ∧

>

⇒

<

Exemplos:

1-Resolve as seguintes inequações:

2 ) 2x 8 0 a − − > 1 2 1 ) 3 3 ) 5 4 5 0 x x x x b c x − ⎛ ⎞ _> ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × − × ≥ Resolução

]

[

]

[

(

)

2 2 2 3 1 1 1 1 2 2 2 ) 2 8 0 2 8 2 2 2 3 3 2 5.... 5; 1 1 1 1 1 2 2 ) 3 1 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 .... ; 2 ) 5 4 5 0 5 4 x x x x x x x _x x x x x a x x x CS x x x b x x x x x x CS c x x − − − − − − − − − > ⇔ > ⇔ > ⇒ − > ⇔ > + ⇔ > = +∞ ⎛ ⎞ ₋ ⎛ ⎞ _{> ⇔}⎛ ⎞ _>⎜⎛ ⎞ _{⎟ ⇔}⎛ ⎞ _>⎛ ⎞ _{⇒ − < − ⇔ − < ⇔} ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ _⎜⎜ ⎟ _⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ _⎝⎝ ⎠ _⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⇔ − < − ⇔ − + < − ⇔ < − = −∞ − × − × ≥ ⇔ − ≥

(

)

(

)

[

[

0 5 0 5 4 0 4 0 4 4; x x

como para que x x x

CS

⇔ > − ≥ − ≥ ⇒ ≥

= +∞

Outra forma de resolver

x −∞ 4 +∞ 5x + 5 4 + 4 x− - 0 + 5 (x x−4) - 0 +

[

4;

[

CS = +∞

3.5-Relação entre função exponencial e função logarítmica Logaritmo – definição.

Dados dois números a e b positivos a≠1 chama-se logaritmo na base a de b

(

log_ab

)

o número x tal que ax = ⇔ =b x log_ab

Exemplos: 4 6 3 2 3 3 3 3 ) log 81 4 3 81 ) log 64 6 2 64 ) log1000 3 10 1000 ) ln 3 a porque b porque c porque c e porque e e = = = = = = = =

A partir do gráfico da função exponencial podemos fazer o esboço do gráfico da função logarítmica tendo em conta que a função logarítmica é a inversa da função exponencial

Função logarítmica

Vimos no parágrafo anterior que a função , , 1, ´

.

x

x a com a a e uma

bijecção que aplicava sobre

+ +

→ ∈ ≠

A função inversa desta função exponencial chama-se função logarítmica na base a. Trata-se, então, da função x→log_a x

Assim, podemos obter o gráfico f−1, desenhando o gráfico de , a recta y= , e o simétrico x de cada ponto

( )

x y, do gráfico de f relativamente à recta y = . x

A partir do gráfico da função y=ax esboça o gráfico da função

log_a , 1

y= x com a x∈ +e a≠ compara as características das funções. Comparando as duas funções:

] [

]

[

x log 1 Dominio Contradominio

Zeros não tem 1 (log 1 0) Sinal Positiva negativa em 0,1

1,+ Monotonia injectividade Assimptotas horizontal 0 0 a a y a y x com a x Positiva em Crescente Crescente injectiva injectiva y vertical x + + = = > = = ∞ = = 0

Limites importantes lim 0 lim log lim lim log

x a x x x a x x a x a x + →−∞ → →+∞ →+∞ = = −∞ = +∞ = +∞

3.6-Derivada da função exponencial

Comecemos por calcular a derivada da função exponencial de base e , ( )g x = . ex Por definição:

0 0 0 0 0

( ) ( ) 1 1

`( ) lim lim lim lim lim

1 ( )` x h x x h x h h x x h h h h h x x x x g x h g x e e e e e e e g x e e h h h h h e e vem e e + → → → → → + − − × − − − = = = = × = × = = × = = Regra:

A derivada da função exponencial de base e é dada por: (ex)`=ex

Sendo u= f x( ) função, tem-se (eu)`= ×u e` u

Nota: A função exponencial é a única função cuja expressão da derivada coincide com a própria função.

Exemplo:

3 3 3

( x)` (3 )` x 3 x e = x ×e = e

Derivada da função exponencial de base a> 1

Calculemos agora a derivada de uma função exponencial de base a> 1. Seja ( )g x =ax. Por definição de logaritmo, sabemos que:

( )

ln ln ln

, x

a x a x a

a=e donde a = e =e

Aplicando a definição da derivada da exponencial de base e, vem:

( ) (

` _ln

)

`

(

)

` _{ln ln} ln ln ln x x a x a x a x a = e = x a ×e = a e× = a a× Poranto,

( )

ax ` =lna a× x Sendo ( )f x uma função, vem:

(

_{( )}

)

` _{( )}

( )

`

ln `( ) ln ` ( )

f x f x u u

a = a× f x ×a ou a = a u× ×a com u= f x Regra:

A derivada de uma função exponencial de base a>1 é dada por:

( )

ax ` =lna a× x

Sendo ( )u = f x uma função, tem-se:

( )

au ` =lna u× ×` au Exemplos

( )

( )

( )

( )

(

)

` ` 4 4 4 ` ` 4 4 _{4 4} 4 4 4 2 2 2 4 4 4 2 2 ) `( ) 4 4 3 3 ` ln 3 4 ` 3 3 1 3 ln 3 4 3 3 ) `( ) 3 4 ln 3 1 ln 3 4 3 3 x x x x x _{x x} x x x x x x a f x e x e e x x x x x b g x x x x x x x x x = = × = × − × × × × − × ⎛ ⎞ × × × − =_{⎜ ⎟} = = = = ⎝ ⎠ − × × − = = Exercícios propostos

1-Resolve as seguintes condições:

( )

2 2 2 -x+1 4 3 2 2 2 2 x x x 2 3 1 2 5 a) 3 3 = 3 ) 2 2 ) 4 . 0 1 b) 16 2 2 8 2 8 0 ) 3 2 0 ) 2 3 0 c) 2 = 16 8 ) 0 ) 2 4 320 1 ) 3 0 ) 2 64 x x x x x x x x x x x x x x x x x x d i e x e e e j e e e f e e k g x e xe h + + − + + − × = − = ⎛ ⎞ − × − × + = _{⎜ ⎟}− + = + − = ⎝ ⎠ × − = + = + = =

( )

1 2 2 3 2 1 4 2 2

1

) 2

8 0

)

3

)

5

4 5

0

3

) 3

27 0

) 0.1

10

)

2

0

1

)

10

)

2

0

)

4

0

10

x x x x x x x x x x x x x

l

m

n x

o

p

k x

r

s

xe

e

t e

x e

− − − − +

⎛ ⎞

− >

_{⎜ ⎟}

>

× − × >

⎝ ⎠

− <

<

×

>

⎛ ⎞ >

−

+

<

−

≥

⎜ ⎟

⎝ ⎠

2- Calcule a derivada de cada uma das funções seguintes:

3 4 4 4 2 7

)

( )

2

)

( )

2

)

( )

)

( )

3

)

( )

3

)

( )

x x x x x x x

a h x

d

i x

x e

e

b

f

x

e

e

k x

x

c

j x

f

g x

x

+

=

=

=

=

=

=

3.7-Resolução de problemas

3.7.1-Sugestões metodológicos para a resolução de problemas

O termo “crescimento exponencial “é muitas vezes utilizado para caracterizar um fenómeno de crescimento cada vez mais rápido, embora o modelo matemático dessa realidade nem sempre seja uma progressão geométrica. O desenvolvimento de uma doença, a propagação de um boato, o crescimento de uma população, é exemplos de situações em que aquele termo é usado.

um boato

Supõe que no dia 1 de Abril alguém (nos boatos nunca se sabe quem começa) se lembra de lançar um boato e que, cada dia que passa, quadríplica o número de pessoas apanhadas pelo boato.

Supondo que o boato não é desmentido, quantos dias serão precisos para que o boato se espalhe junto de toda a população de Cabo Verde?

Escreva a função que define essa propagação.

Reflexão

⇒ Ler atentamente o problema?

⇒ De que problema se trata?

⇒ O que é que sabemos acerca do tema em destaque

(população C. Verdiana)? ⇒ O que foi pedido?

⇒ O que foi dado?

⇒ Existe um algoritmo pré estabelecido para resolver o

problema?

Acção

9 Ler.

9 Problema de um boato , que pretende saber o tempo para que a mesma chegue a toda a população Cabo Verdiana

9 Existem aproximadamente 510 000(INE) Obs:(Uma previsão)

9 O tempo para que esse boato chegue a toda a população de C. verde.

9 A relação que existente entre o dia e o numero de pessoas que a informação chegue junto da mesma.

⇒ Será que é necessário utilizar variáveis? ⇒ Como? Para quê?

⇒ Que modelo? ⇒ Escreve as relações. ⇒ Que modelo Matemático

traduz o problema? ⇒ Esse modelo traduz o

significado do problema? ⇒ Pode se comprová-lo no

enunciado do problema? ⇒ De que forma?

⇒ Existe outra forma de representar o problema ? ⇒ Tira conclusões e formula

uma resposta

9 Sim.

9 d, para representar o número de dias e p o número de pessoas ambas desconhecidas.

9 Uma tabela ,uma função ... 9 Ver (1) 9 Função exponencial. 9 Sim. 9 Sim.

9 Fazendo substituição para alguns números. 9 Sim 9 Ver(2) Reflexão/acção (1) Nº de dias Nº de pessoas _______________________________________________________________- 1 P=1 = 0 4 =1 2 P=1×4 = 1 4 =4 3 P=1×4×4 = 2 4 =16 4 P=1×4×4×4 = 3 4 =64 5 P=1×4×4×4×4 = 4 4 =256 ….. ……… …. …..

Designado por d o número de dias e por P o número de pessoas, podemos definir a função que caracteriza essa propagação do boato.P=4d−1

Aparentemente parece que vai demorar um certo tempo, mas …. D (nº de dias) N (nº de pessoas) ….. …… 6 1 024 7 4 096 8 16 384 9 65 536 10 262 144 11 1 048 576 12 4 194 304 13 16 777 216

Propagação de uma praga

Ao combater uma praga de insectos com um novo insecticida, verificou-se que, em cada dia, o número de insectos decresce 50%. Supondo que o número inicial de insectos foi estimado em 1000000, define a função que traduz a variação do número de insectos em função do tempo.

Ao fim quanto tempo deixará de haver insectos?

Reflexão

⇒ Ler atentamente o problema?

⇒ De que problema se trata?

⇒ O que foi pedido?

⇒ O que foi dado?

⇒ Existe um algoritmo pré estabelecido para resolver

o problema? ⇒ Será preciso usar

variáveis?

⇒ Para representar o quê?

⇒ Já resolveu problemas semelhantes?

⇒ Que relação existe entre as variáveis?

Acção

9 Ler.

9 Definir uma função que traduz a variação de insectos em função de tempo.

9 A função que traduz a variação do número de insectos em função do tempo e

determinar o tempo necessário para que essa praga terminasse.

9 Foi dado o número de insectos e a relação entre dia e número de insectos infectados pela insecticida.

9 Sim , Ver(9).

9 Sim.

9 Para representar o tempo (d) e numero de insectos infectado (I).

9 Sim.

9 É que o número de insectos diminui por dia 50%.

⇒ Pode se traduzir relação para a linguagem Matemática?

⇒ Que modelo Matemático pode se utilizar.

⇒ Como é que se processa a organização da

informação ?

⇒ É possível usar algum instrumento? Qual é o instrumento? ⇒ Analisa o procedimento que utilizou e dê a resposta. 9 Sim. 9 Função exponencial.

9 Numa tabela porque já se resolveu um problema parecido.

9 Sim

Calculadora gráfica ou computadores.

9 Ver (3)

Reflexão/acção

Sabemos que, cada dia, o número de insectos é metade do número do dia anterior. Se representarmos por d o número de dias e por l o número de insectos, a função fica definida por: l =1000000 0, 5× d

Podemos construir uma tabela.

Nº de dias Nº de insectos 0 1000 000 1 500 000 2 250 000 3 125 000 4 62 500 5 31 2509 ….. ….. 20 0.95 Verifica que, à medida que os dias passam, o número de insectos decresce rapidamente. Trata-se de uma situação de decrescimento geométrico ou exponencial.

Embora teoricamente o número de insectos nunca chegue o zero, podemos considerar que a praga é erradicada ao fim de 20 dias.

20

1000000 0, 5 0.95

l= × ≈ (3)

Juros

1-Um banco Exponencial Cabo-verdiano, é um banco muito especial. Sobre qualquer depósito a prazo dá 9% de juro ao ano.

Supõe que fazes um depósito a prazo de 1000 contos no BCV. Qual vai ser o teu capital acumulado ao fim de um ano?

E se em vez de dar 9% de 12 em 12 meses, o BCV oferecer mensalmente 9/12%? Qual vai ser, neste caso, o capital acumulado ao fim de um ano?

Terás vantagem em adoptar esta segunda modalidade?

Reflexão

⇒ Ler atentamente o problema? ⇒ De que problema se trata?

⇒ O que foi pedido?

⇒ O que foi dado?

⇒ Existe alguma fórmula que permite resolver o problema?

⇒ Qual é a formula? ⇒ Já resolveu problemas

semelhantes?

⇒ Existe um único modelo para a resolução do problema referido? Acção 9 Ler. 9 Problema de juro.

9 Determinar o capital açulado de acordo com a taxa de juro pré estabelecida, para alem disso comparar as duas propostas.

9 A taxa de juro e saldo contabilístico. 9 Sim.

9 C= × +D

(

1 j

)

m, j-juros e m-meses 9 Sim.

⇒ Identifica alguns modelos.

⇒ Como calcular capital acumulado?

⇒ A solução é lógica.

⇒ Analisa, formula a resposta .

9 Função exponencial, regra de três simples etc.

9 Ver(4)

9 Ver(4)

Reflexão/acção

• Juro capitalizado uma vez por ano

Como o juro é de 9%, o depósito vai ser multiplicado no fim do ano por (1+0,09) ou seja, 1,09. Obtém-se assim:

1, 09 1000 1, 09 1090

C = ×D = × = contos

• Juro capitalizado 12 vezes por ano

Como o juro é de 9/12%, e vai ser capitalizado 12 vezes durante o ano, o depósito vai ser multiplicado mensalmente por (1+0,09/12), ou seja, 1,0075. Obtém-se assim,

ao fim de um ano: (4) 12 12 0, 09 1 1000 10075 1093 12 C = × +D ⎛_⎜ ⎞_⎟ = × = contos ⎝ ⎠

2- Em 2006, o João depositou 100 contos à taxa anual de 15%. Supondo que a taxa anual não se alterou, que capital terá no final do ano 2016?

Utilizando o procedimento acima citado a resolução se processa da seguinte forma:

Registe, numa tabela, o valor do capital do João desde 2006 Ano Nº de anos de depósito Capital (em contos)

2006 0 100 2007 1 100+0,15 ×100=100 ×1,15=115 2008 2 100 × 2 1,15 =132,25 2009 3 100 × 3 1,15 ≈152, 088 2010 4 100 × 4 1,15 ≈174, 901 …. …. ….. 2016 10 100 × 10 1,15 ≈404, 556

R: Ao fim de 10 anos, o João terá cerca de 405 contos. A expressão que permite saber o capital do João ao fim de t anos é dada por ( )C t =100 1,15× t. Trata-se de uma função exponencial de base superior a 1.

De um modo geral, um capital Q que se deposite num banco a uma taxa de 15% ao ano converte em 1 0,15 1 1 C=Q⎛_⎜ + ⎞_⎟ ⎝ ⎠ ao fim de um ano e em 1,15 t C = ×Q ao fim de t anos.

Idade de um fóssil

Para saber a idade de um fóssil os cientistas determinaram a quantidade do isótopo Carbono 14 nele contido. A função _{( )} 5760

t

C t =Qe− indica a quantidade de carbono 14 que resta no fóssil decorridos t anos desde a morte do animal ou planta até à actualidade. Na fórmula, Q representa a quantidade do isótopo à data da sua morte. Para um fóssil em que Q=1000 g, qual é a quantidade de Carbono 14 que nele pode ser detectada passados 1000, 2000 e 10 000 anos?

Reflexão

⇒ Ler atentamente o problema? ⇒ De que problema se trata? ⇒ O que é pedido?

⇒ O que é dado?

⇒ Os dados são suficientes?

⇒ Como pode organizar a informação?

⇒ É necessário algum material de apoio se sim indica-o?

⇒ Analisa as informações e tira a conclusão.

Acção

9 Ler.

9 Problema de idade de um fóssil.

9 Determinar a quantidade de Carbono 14 que no referido lhe tem detectado num determinado tem .

9 A função que define a quantidade de Carbono 14 no fóssil em estudo num determinado período de tempo.

9 Sim.

9 Numa tabela.

9 Sim , a calcadora gráfica e computadores.

9 Ver (5)

9 Ver (5)

Reflexão/acção

Para esta situação a função fica definida por _{( )} 5760

t C t =Qe− .

Através deste quadro podemos analisar o comportamento da função. T (anos) _{Quantidade de} 14 C (gramas) 0 1000 1000 840,6 2000 706,6 3000 594 4000 499,4 5000 419,8 6000 352,9 7000 296,6 8000 249,4 9000 209,6 10 000 176,2 ………… …………..

R: A função é, pois decrescente e ao fim de 10 000 anos restam apenas cerca de 176g dos 1000g de Carbono 14 inicial, pode também observar-se este graficamente (Utilizando a calculadora grafia)

Temperatura

4-Na pastelaria “Só doce” a temperatura ambiente é constante. Se a temperatura, em graus centígragos, de um café servido nessa pastelaria, t minutos após ter sido colocado na chávena, for dada por f t( )=25+50e−0,05t ,t∈

[

0,+∞

[

(e-número de Neper).

4.1-Determina a temperatura do café no instante em que é colocado na chávena. 4.2-Ao fim de que tempo a temperatura do café é de 50ºC?

4.3-Qual a temperatura ambiente? Justifica.

Reflexão Acção

⇒ Ler atentamente o problema.

⇒ De que problema se trata?

⇒ O que é dado?

⇒ O que é pedido?

⇒ É necessário utilizar as variáveis ou já existe uma expressão que define a situação?

⇒ Identifica o tempo que o café é colocado na chávena.

Acção

9 Ler.

9 Problema de temperatura que é dada a expressão que define a mesma num dado intervalo de tempo.

9 A expressão que define a situação em causa e o intervalo tempo.

9 Determinar a temperatura no instante que é colocado na chávena, o tempo que a

temperatura do café é de 50ºC e a temperatura ambiente.

9 Não, há uma expressão que define a situação que é

[

[

0,05 ( ) 25 50 t , 0, f t = + e− t∈ +∞ 9 t=0.

⇒ Faça a concretização da variável para t=0 e analise a situação.

9 Ver(6)

⇒ Que modelo Matemático

traduz a situação (4.2) ⇒ Resolve a condição. ⇒ É necessário algum instrumento? ⇒ O resultado transcreve a situação?

⇒ Organiza a tua resposta.

⇒ Existe um algoritmo preestabelecido para a situação (4.3).

9 Função exponencial e equação exponencial.

9 Ver(7)

9 Tabela logarítmica ou calculadora gráfica.

9 Ver(7.1)

9 Ver(7.1)

9 Não

⇒ Que relação existe entre a temperatura ambiente e a temperatura do café ?

⇒ Organiza a sua resposta e faça verificação.

9 Quando o tempo aumenta indefinidamente a temperatura tente estabilizar a temperatura ambiente.

Ver (7.2) Reflexão/acção 4.1- Resolução Dados t=0 ; a expressão f t( )=25+50e−0,05t ,t∈

[

0,+∞

[

Calculemos 0,05 0 (0) 25 50 75 f = + e− × = =

4.2- Dados t=0 ; Temperatura ( )f t =50ºC; a expressão f t( )=25+50e−0,05t , t∈

[

0,+∞

[

Resolução 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 50 2,5 50 25 50 50 25 50 25 1 1 2 50 2 ln 2 0, 05 14 (50) 25 50 25 ... t t t t t e e e e e t t mn Verificação f e e − − − − × − = + ⇔ − = ⇔ ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ ⇔ = ⇔ ≈ = + = + = (7)

R: O tempo é aproximadamente 14 minutos . (7.1) 4.3-Calculemos lim ( ) lim 25

(

50 0,05t

)

lim 25 50 _0,051 _t 25

x f t x e x _e − →+∞ →+∞ →+∞ ⎛ ⎞ = + = _⎜ + × _⎟= ⎝ ⎠ R: A temperatura ambiente é de 25ºC (7.2)

Problemas de optimização

1- A função 1,2

( ) 1000 t

f t = e traduz o crescimento de uma certa população de insectos (t representa o tempo em semanas).

Mostra que a variação da função é proporcional à própria função. Qual é o significado desta relação?

REFLEXÃO

⇒ Ler atentamente o enunciado.

⇒ De que problema se trata?

⇒ O que é pedido?

⇒ O que é dado?

⇒ Quais são condições?

⇒ É necessário usar variáveis?

⇒ Existe um algoritmo preestabelecido para a referida situação? ⇒ Qual é o algoritmo? ⇒ Executar e verificar o resultado obtido. ⇒ Dar a resposta. ACÇÃO 9 Ler.

9 Problemas de optimização ou seja crescimento da população de insectos. 9 Para mostrar que `( ) 1, 2f t = × f x( ) .

9 E dado a expressão que traduz o crescimento da população de insectos. 9 A variação da função é proporcional a

mesma. 9 Não. 9 Sim.

9 Primeiro determinar a 1ª derivada , 2º estudar o sinal da 1ª derivada .

( ) kt( 0) f t =Pe K >

9 Ver(8)

Idem

Podemos começar por considerar a função f como a composta de duas funções.

( ) ( ) 1000 u ( ) 1, 2

f t = f u = e em que u t = t

Utilizando a derivada da função composta obtém-se:

(

)

(

)

` ` ` `( ) `( ) 1000 1, 2 1000 1, 2 1000 1, 2 1, 2 ( ) u u u f t f u u e t e t e f t ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = × =_{⎣ ⎦} × = ×_{⎣ ⎦} × = = × = ×

Como `( )f t > para qualquer valor de t0 ∈ +, a função f é crescente em todo o seu domínio.

Por outro lado, como `( )f t =1, 2× f t( ) , quanto maior for a população maior vai ser a taxa de variação. Por exemplo:

1,2 1,2 1 (1) 1000 3320 `(1) 1, 2 1000 3984 t semana f e f e = = ≈ = × ≈

Ao fim de uma semana existem cerca de 3320 insectos a taxa de variação é de 3984.Com a população a aumentar continuamente e a taxa de variação proporcional a ela, tem-se, passada outra semana: 2,4 2,4 2 (2) 1000 11023 `(2) 1, 2 1000 13228 t semana f e f e = = ≈ = × ≈

Ao fim de duas semanas a população já aumentou para 11023 e a taxa de variação aumentou para 13228.

Assim podemos concluir que à medida que a população aumenta, a taxa de variação também aumenta, de tal modo que esta é directamente proporcional ao aumento da população.

1,2

`( ) 1, 2 1000 t

f t = × e

Existe muitos fenómenos naturais, como por exemplo o crescimento de populações que podem ser descritos por funções do tipo ( )f t =Pekt(K > em que t designa o tempo e P a 0)

população inicial. A variação de qualquer função deste tipo é proporcional à própria função, ou seja, `( )f t = ×K f t( ) (9)

Utiliza o mesmo procedimento acima referido para resolver o mesmo problema

2-O número de peixes de um lago foi estimado em 500, sendo o seu crescimento populacional dado pela função logística

5 10000 ( ) 1 19 t p t e− = +

, em que t representa o tempo (em meses).

2.1-Qual é a taxa de variação ao fim de um mês? E ao fim de 10 meses? 2.2-Em que momento a taxa de variação é mais rápida?

2.3-A longo prazo, qual vai ser a evolução da população?

Sugestão de resolução

Esta função tem como domínio +, não tem zeros e é contínua em todo o seu domínio. Vamos calcular a derivada da função a fim de responder às duas primeiras questões.

Utilizando a regra do quociente:

(

)

` ` 5 5 5 2 2 5 5 5 2 5 10000 1 19 10000 1 19 10000 3,8 `( ) 1 19 1 19 38000 1 19 t t t t t t t e e e p t e e e e − − − − − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + − + − − × ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ × = ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

Como `( )p t > ∀ ∈0 t +, a função p é crescente em todo o seu domínio. • Ao fim de um mês: `(1) 114p ≈

Neste momento, os peixes reproduzem-se à razão de 114 (por mês). • Ao fim de dez meses: `(10) 403p ≈ Neste momento, a taxa de reprodução é de 403 peixes (por mês).

Aparentemente a função cresce cada vez mais rapidamente, ou seja, a taxa de variação dos peixes é cada vez maior. Com uma calculadora gráfica podemos verificar que esta suposição não é correcta.

Pode observar-se que o gráfico apresenta um ponto de inflexão, aproximadamente para t=14. Isto significa que vai existir um momento em que a taxa de variação, embora sempre positiva, deixa de aumentar e começa a diminuir. Para sabermos quando atinge o seu valor máximo podemos procurá-lo com a calculadora gráfica a partir da representação da função p ou sua derivada:

Para t ≈14, 72 a função derivada é máxima e aproximadamente igual a 500, ou seja, a taxa de variação nesse momento é de 500 peixes (por mês).

Podíamos também ter obtido este valor calculando a segunda derivada.

` 5 5 5 5 2 4 5 5 1 19 0, 2 3,8 ``( ) 38000 38000 1 19 1 19 t t t t t t e e e e p t e e − − − − − − ⎡ ⎤ _{⎛ ⎞ ⎡ ⎤} ⎢ ⎥ _⎜ + _{⎟ ⎢}− + _⎥ ⎢ ⎥ _{⎝ ⎠ ⎣ ⎦} = ×_{⎢ ⎥} = × ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ₊ ⎥ ₊ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

Calculando os zeros da segunda derivada ficamos a saber o valor máximo da primeira. ``( )p t = quando 0 _{0, 2 3,8} 5 ₀

t e−

− + =

5 5 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2 3,8 0 log 5 log 1472 3,8 5 3,8 3,8 t t t e− e− ⎛ ⎞ t ⎛ ⎞ t − + = ⇔ = ⇔ − = _{⎜ ⎟}⇔ = − × _{⎜ ⎟}⇔ ≈ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Da observação do gráfico da primeira derivada podemos ainda constatar que, a longo prazo, a taxa de variação vai aproximar-se do valor 0. Tal significa que a população de peixes do lago poderá estabilizar. Podemos ter confirmação determinando o limite da função quando

x→ +∞ . 5 10000 10000 lim 10000 1 19 0 1 19 t x e →+∞ − = + × = +

O número de peixes vai aproximar-se de 10000. O gráfico da função tem uma assimptota horizontal de equação y =10000. Aliás, qualquer população animal tende a ter o seu crescimento condicionado por vários factores (espaço, falta de alimento, concorrência de outras espécies, etc.).

3.7.2- Problemas propostos

1-Sabendo que uma colónia, constituída inicialmente por 100 000 bactérias, cresce a uma taxa de 6,8% por minuto, qual o número de bactérias ao fim de 1 hora?

2-O Pedro aos 15 anos, resolveu aplicar todas as suas economias -1250euros – numa conta a prazo. O banco garantiu-lhe até aos 21 anos um juro anual de 7%

2.1- Descreve a evolução financeira do Pedro naquele período de tempo. 2.2-Traduz graficamente esta situação.

3-No lanchonete do Carlos, que se mantêm à temperatura ambiente constante de 18ºC, um galão quente a 70ºC.

4-Sabendo que a temperatura em ºC, é dada, em instante, em função do tempo decorrido após a saída do galão, por ( )T t = + •A B e−ct (A e B ,c constantes positivos , t em minutos).

.4.1-Determina A e B e c (c com 4 casas decimais) sabendo que ao fim de 10m a temperatura do galão é 45ºC.

4.2-Qem pediu um galão quente mas deseja bebê-lo a 35ºC quanto tempo terá que esperar?

5-Numa população do litoral desde 1980 que se estuda, ano a ano, o número de habitantes existentes e verificam que este se ajuste à lei: N =400 1, 2× t (t – número de anos com inicio em 1980).

5.1-Qual a população em 1980?

5.2- Qual a população em 1985? E em 1995? 5.3-Quantos habitantes terão em 2009?

6-Numa população do interior foi feito um estudo análogo e verificou-se que a lei é 1200 0,85t

N = × .

6.1-Qual a população em 1980, em 1985 e em 1995? 6.2-Qual é a população prevista para o ano 2008?

7-Uma população tem uma taxa de crescimento de 2% ao ano desde 1900.

7.1-Que função exponencial traduz o número de habitantes que em 1900 era de 350. 7.2-Quantos habitantes tinha em 1950? E quantos terá em 2010 se continuar a mesma lei?

7.3-Quantos anos demora nestas condições a duplicar o número de habitantes?

7.4- Mostra que o número de habitantes pode ser dado por uma expressão do tipo y= ×a ebx 8- Um ser vivo tem por grama de Carbono 10−6 gramas de Carbono 14 (C ). O Carbono 14 ₁₄ inicia a desintegração após a morte e a massa reduz-se a metade em 5500 anos (período de semidesintegração do Carbono14).

8.1-Qual a expressão que dá a quantidade de Carbono 14 por grama de Carbono ao fim de t anos?

8.2-Ao fim de quantos anos a quantidade de Carbono 14 se reduz a ¼?

8.3-Num fóssil de 3000 anos que quantidade de Carbono 14 existirá em cada grama de Carbono?

8.4-Analisou-se um bocado de osso encontrado numas escavações e havia 5 10× −6 gramas de Carbono em 100g de Carbono. Que idade terá o osso?