UMA MODELAGEM NUMÉRICA DO ESCOAMENTO DO CONCRETO FRESCO BASEADO NO MÉTODO MOVING PARTICLE SEMI- IMPLICIT (MPS)

UMA MODELAGEM NUMÉRICA DO ESCOAMENTO DO CONCRETO

FRESCO BASEADO NO MÉTODO MOVING PARTICLE

SEMI-IMPLICIT (MPS)

Paula Savino Simões Melo Fernando Akira Kurokawa Liang-Yee Cheng

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Departamento de Construção Civil, Escola Politécnica, Universidade de São Paulo

Av. Almeida Prado, Trav. 2 No. 83, Ed. Engenharia Civil, 05508-900, São Paulo, SP, Brasil. Abstract: O desenvolvimento de abordagens numéricas para a simulação do comportamento

de fluidos não newtonianos é um tema muito importante em diversos setores da indústria, como por exemplo, na construção civil, para investigar o comportamento do concreto fresco. Focando-se no estudo e otimização do lançamento do concreto, uma etapa crítica na construção civil, este trabalho apresenta os resultados iniciais do desenvolvimento de uma ferramenta numérica para a simulação do escoamento do concreto fresco. Por simplicidade, assumiu-se o concreto como um material homogêneo. A modelagem numérica do problema com geometria complexa e interação sólido-fluido é realizada utilizando uma abordagem baseada no método MPS (Moving Particle Semi-Implicit). MPS é um método de partículas com descrição lagrangiana para a simulação de escoamentos incompressíveis. Ele discretiza o domínio em partículas e resolve as equações governantes de meios contínuos por meio da aproximação dos operadores diferenciais por operadores algébricos derivados com base num modelo de interação entre partículas. Sendo um método sem malha, o MPS é apropriado para os problemas que envolvem grande deformação dos limites da superfície livre, fragmentação e fusão, multifase e multifísica. Para modelar o termo viscoso, adotou-se os modelos constitutivos que são independentes do tempo relacionando a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação. A validação e a verificação da abordagem numérica foram feitas comparando os resultados numéricos com os já publicados na literatura. Os resultados mostraram-se consistentes.

Palavras-chave: método de partículas, fluidos não newtonianos, simulação computacional,

1 INTRODUÇÃO

O concreto é um material de grande importância mundial, sendo amplamente utilizado pelo fato de ser facilmente moldado quando no estado fresco e possuir elevada resistência quando endurecido. Segundo Pedroso (2009), são consumidas em média 1,9 toneladas de concreto por habitante por ano, perdendo apenas para o consumo médio de água.

As características reológicas do concreto fresco são obtidas a partir de instrumentos como o reômetro. A partir desse instrumento, De Larrard et al. (1997) constataram que o concreto comporta-se como um fluido não newtoniano, sendo bem descrito pelo modelo reológico de Herschel-Bulkley. Entretanto, modelo de Bingham também apresenta uma boa aproximação, especialmente em casos com tensão de escoamento mais alta, e por isto é muito frequentemente utilizado. Ferraris et al. (1998) correlacionaram os parâmetros do modelo de Bingham com medidas obtidas em um ensaio de abatimento de tronco de cone modificado. Paiovici (2002) faz uma interpretação física do modelo de Bingham e analisa o concreto como uma mistura granular em suspensão aquosa, buscando uma relação entre tamanho do agregado e a densidade de empacotamento dos materiais com a tensão de escoamento e a viscosidade plástica, presentes na equação de Bingham.

Os fluidos não newtonianos apresentam uma maior dificuldade de estudo devido à sua reologia complexa, na qual há uma relação não linear entre a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação, conduzindo a viscosidade variável no espaço. Ainda que o estudo destes fluidos apresentem alguns desafios, podem-se encontrar trabalhos que abordam o tema em diversas aplicações. Zhang et al. (2005) simula numericamente o fenômeno de transferência de calor por convecção utilizando o modelo de convecção de Rayleigh-Bernard. Ferreira et al. (2008) aplicou o estudo reológico na indústria de alimentos através da análise do efeito da temperatura no comportamento reológico da polpa de cupuaçu integral. Huilgol et al (2005) estudaram o escoamento em regime permanente de fluidos não newtonianos em tubos com seções transversais circulares e quadradas, a fim de identificar a superfície de escoamento. Cremonesi et al. (2010) apresentaram resultados sobre o escoamento de suspensões de cimento frescas em ensaios numéricos de slump, mini-slump e caixa L, comparando os resultados numéricos com os experimentais obtidos para diversas composições de pastas e argamassas devidamente caracterizadas reologicamente.

Na última década, os métodos baseados em partículas vêm sendo utilizados com bastante sucesso na simulação do escoamento de fluidos. Neles, o domínio é discretizado em partículas lagrangeanas, dispensando o uso de malhas como é o caso dos métodos convencionais. O fato de o domínio ser descrito dessa maneira, favorece o estudo de fenômenos envolvendo escoamentos com superfícies livres, além de casos em que ocorre segregação e fragmentação e, até mesmo escoamentos multifásicos e simulação multifísica. Destacam-se alguns trabalhos baseados em partículas, utilizando o Distinct Element Method (DEM), como Mechtcherine et al (2009) que aplicam o método no escoamento de concreto auto-adensável utilizando inicialmente o slump test para calibração do modelo e em seguida os testes Caixa L e J-Ring para a validação do método. Tomiyama et al. (2009) utilizaram o MPS para estudar o comportamento do concreto fresco, adotando o modelo reológico de Bingham.

A fim de investigar o comportamento do concreto fresco, o objetivo deste trabalho é aplicar a abordagem baseada em partículas utilizando o método MPS para simular o escoamento de fluidos não newtonianos. Para a verificação dos resultados numéricos obtidos com o método MPS, realizou-se uma comparação com a solução analítica de um escoamento entre placas planas paralelas. Além disso, foi feita a validação do método comparando os

resultados numéricos obtidos a partir do MPS com resultados numéricos e experimentais apresentados por Leite (2009) no problema dam break utilizando o composto Carbopol 940. Por fim, foi simulado o problema da caixa L, comparando os resultados obtidos aos resultados numéricos de Cremonesi et al. (2010). Os resultados apresentados aqui são uma continuação do trabalho de Cheng et al. (2011).

2 METODOLOGIA

O fluido é modelado como sendo um material homogêneo, tendo propriedades reológicas constantes ao longo de toda sua extensão.

A simulação computacional foi realizada em um código baseado no método Moving Particle Semi-implicit (MPS). A implementação do cálculo do termo viscoso não newtoniano foi feita em um código MPS em desenvolvimento no Tanque de Provas Numérico (TPN), da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo (EPUSP).

2.1

Método computacional: MPS

O MPS é um método computacional proposto por Koshizuka et al. (1996). Foi originalmente desenvolvido para simular o comportamento dinâmico de um fluido incompressível. O método consiste em dividir o domínio do fluido em partículas e a utilização da descrição lagrangeana para formular as equações governantes de meios contínuos, que são: equações da continuidade e de conservação de quantidade de movimento.

Para a solução numérico-computacional destas equações levando-se em conta as condições iniciais e as condições de contorno, o método substitui os operadores diferenciais das equações governantes por operadores derivados de um modelo de interação entre partículas, que consiste basicamente numa função peso :

(1)

na qual é o raio efetivo que delimita a região de influência de uma partícula e r é a distância entre duas partículas:

(2)

em que é o vetor posição da partícula , é o vetor posição da partícula . A partícula é a partícula considerada centro da região de influência, enquanto a partícula é uma partícula posicionada na vizinhança da partícula , conforme ilustrada na Fig. 1.

Figura 1 - Representação esquemática de partículas delimitando uma região de influência (de raio re) de

Adotando a descrição lagrangeana, a equação de conservação de quantidade de movimento é dada por:

(3)

e a equação da continuidade por:

(4)

Nessas equações, é o vetor velocidade; é pressão; é o tensor das tensões; é a resultante de outras acelerações; é a densidade do fluido e é o tempo.

Com base no modelo de interação entre partículas, o operador gradiente de uma função escalar é dado por:

(5)

na qual é o menor valor de das partículas que pertencem à região de influência da partícula . O operador divergente de um campo vetorial é dado por:

(6)

e o operador laplaceano de uma função escalar é dado por

(7)

com

. (8)

Nestas equações, é o número de dimensões e é o valor inicial da densidade do número de partículas - particle number density . O valor do de uma partícula é definido como a soma dos pesos de todas as partículas que estão na vizinhança da partícula , e é dado por:

. (9)

Como o valor do é proporcional ao volume ocupado por uma partícula e suas vizinhas dentro do raio efetivo, é também proporcional à densidade do fluido. Deste modo, a condição de incompressibilidade do fluido é assegurada quando o é mantido a um valor constante e igual ao seu valor inicial, .

O algoritmo do método é dividido em duas partes principais:

 parte I: as forças, acelerações, velocidades e posições das partículas são estimadas explicitamente usando a equação de conservação de quantidade de movimento, desprezando-se o termo do gradiente de pressão;

 parte II: a pressão das partículas é calculada de forma implícita, por meio da solução de um sistema de equações de Poisson de pressão.

Tendo-se estimado explicitamente as forças, velocidades, acelerações e posições, avalia-se a densidade do número de partículas e esta é comparada ao valor . A diferença entre

os dois valores fornece uma correção dessa densidade e a correção do implica numa correção da velocidade (

, (10)

em que é o valor de correção da densidade do número de partículas.

Essa correção, inserida na equação da continuidade, associada à conservação da quantidade de movimento, utilizando o modelo do laplaceano, resulta num sistema linear simétrico e esparso para calcular as pressões:

. (11) Uma vez determinados os valores das pressões, podem-se determinar as correções das velocidades:

. (12)

2.1.1

Detecção de superfície livre

Segundo Lee et al. (2011), para verificar se uma partícula pertence à superfície livre do fluido, duas condições devem ser satisfeitas.

(13) e , (14) na qual e , (15) com (16)

é o número de partículas na vizinhança de uma partícula totalmente submersa, na configuração inicial, e .

Às partículas que satisfaçam a ambas as condições dadas pelas Eqs. (13) e (14), a pressão é imposta como zero (pressão atmosférica), de modo que seja atendida a condição dinâmica de superfície livre. Os coeficientes e foram avaliados, respectivamente, como 0,97 e 0,85 (Lee et al., 2011).

2.2

Método de cálculo do termo viscoso

O termo viscoso, na equação de conservação da quantidade de movimento, é representado pelo divergente do tensor das tensões viscosas, . O tensor das tensões viscosas é dado por

(17)

sendo a viscosidade aparente e o tensor das taxas de deformação. Por sua vez, a viscosidade aparente é dada, conforme o modelo de fluido newtoniano generalizado, por

(18) com representando a tensão e a taxa de deformação, calculada por

(19)

Por fim, o tensor das taxas de deformação é calculado por

(20)

Como se sabe, é necessário aplicar condições de contorno adequadas para o cálculo apropriado dos operadores diferenciais. Por esta razão, o divergente do tensor das tensões foi expandido, após a substituição da Eq. (20) na Eq. (17), resultando em

(21)

Tomando partido da hipótese de escoamento incompressível, o divergente do tensor das tensões fica dado por

(22)

2.2.1

Condição de contorno

Para o cálculo das taxas de deformação, foi imposta a condição no-slip junto às paredes. Esta condição é do tipo simétrica e, portanto espelha a velocidade do fluido nas partículas

dummy correspondentes.

2.3

Modelo reológico

Os fluidos não newtonianos têm como característica a não linearidade da relação entre a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação. Para o estudo do comportamento destes fluidos, diversos modelos reológicos foram concebidos pela comunidade científica. Entre eles destacam-se os modelos Herschel-Bulkely, Bingham e Power Law, utilizados neste trabalho. A viscosidade aparente destes três modelos pode ser descrita, respectivamente, pelas seguintes expressões:

₍₂₃₎

(24)

₍₂₅₎

onde é a tensão de escoamento, é o índice de consistência, é a taxa de deformação e é o índice Power Law.

O modelo constitutivo Herschel-Bulkley, descrito pela Eq. (23), é o mais geral dentre os modelos implementados, no sentido que é possível recuperar os modelos Power Law e de Bingham através do modelo Herschel-Bulkley. No caso específico do modelo de Bingham, o índice de consistência é usualmente representado por , que representa a viscosidade plástica. No presente trabalho, os modelos de Herschel-Bulkley e de Bingham serão utilizados como focos de estudos.

2.3.1

Modelo reológico a baixas taxas de deformação

De modo geral, o modelo de fluido newtoniano generalizado aplicado a fluidos como o concreto fresco conduz a uma viscosidade aparente infinita quando a deformação é nula.

Para lidar com este problema, a taxa de deformação foi limitada por um valor crítico, abaixo do qual o fluido possui viscosidade constante. Sendo este valor crítico nomeado , a função da viscosidade aparente com relação à deformação é dada por

(26)

em que é a viscosidade aparente utilizada no cálculo do divergente das tensões (Eq. 22) e é a viscosidade aparente calculada utilizando alguma dentre os modelos reológicos das Eqs. (23), (24) ou (25). A Figura 2 ilustra esta aproximação para o caso de um fluido Herschel-Bulkley (Eq. 23).

Figura 2 – Diagrama de viscosidade aparente em função da taxa de deformação, com destaque para a aproximação realizada a baixas taxas de deformação.

3 ESTUDO DE CASO

3.1

Escoamento entre placas planas paralelas

O primeiro caso a ser analisado é o escoamento entre placas planas paralelas, que consiste no escoamento sob um campo de aceleração paralelo às placas, apontando para a direita (direção ). A geometria do caso está ilustrada na Fig. 3.

Figura 3 – Dimensões utilizadas no modelo geométrico para o escoamento entre placas planas paralelas (medidas em cm).

20

Este problema é análogo ao escoamento Poiseuille, porém, o gradiente de pressão aplicado foi simulado pelo campo de aceleração na direção . Com isto, a equação de conservação da quantidade de movimento a ser resolvida torna-se:

. (27)

Adotando-se o modelo de Herschel-Bulkley (Eq. 23) e o modelo de fluido newtoniano generalizado (Eq. 18), obtém-se o perfil de velocidades:

(28)

na qual é a velocidade horizontal é a distância a partir da linha de centro entre as placas, e é a semialtura do canal. A distância abaixo da qual o fluido possui é denominada altura crítica, , e vale

(29)

O modelo numérico foi simulado utilizando partículas de 1 mm, o que conduziu a um número de 8955 partículas. Foi utilizado um passo de tempo de 10-5 s, uma taxa de deformação crítica de 1,0 s-1. Além disso, a condição de contorno periódico foi aplicada nas duas extremidades do domínio de cálculo. O fluido segue o modelo de Herschel-Bulkley e possui os parâmetros reológicos relacionados na Tab. 1.

Tabela 1 – Parâmetros reológicos do fluido.

0[Pa] K[Pa. s n

] n

4,0 5,0 0,7

3.2

Dam Break

O segundo caso a ser estudado é o problema Dam Break, caracterizado pelo colapso de uma coluna de fluido, e surgiu com objetivo de investigar o espalhamento do fluido e a taxa de decaimento da coluna de fluido com o tempo.

Inicialmente este problema foi estudado experimentalmente por Martin e Moyce (1952) com objetivo de investigar o colapso de colunas de fluidos newtonianos, no caso, a água. Posteriormente, Leite (2009) estudou este problema para um fluido não newtoniano, o Carbopol 940, que consiste em um polímero poli acrílico e é bastante usado para a fabricação de géis que reconhecidamente possuem um comportamento reológico não newtoniano. Os parâmetros reológicos deste composto obtidos por Leite (2009) para o modelo Herschel-Bulkley estão explicitados na Tab. 2.

Tabela 2 - Parâmetros reológicos pelo modelo de Herschel-Bulkley (Leite, 2009).

0[Pa] K[Pa. s n

] n

Para a simulação deste problema foi considerada uma coluna de fluido (Carbopol 940) retangular de comprimento 50 cm e com diferentes alturas (h): 8, 10 e 12 cm, inicialmente em equilíbrio hidrostático confinada entre paredes fixas.

Figura 4 – Geometria do caso Dam Break (medidas em cm).

A Fig. 4 descreve a geometria do problema no caso 2D. No instante t=0 s, a coluna de fluido é instantaneamente posta à ação da gravidade e, consequentemente, sofre o colapso deslizando na direção horizontal. Neste caso foi utilizado o modelo reológico de Herschel-Bulkley. A fim de analisar a convergência do modelo, três distâncias entre partículas diferentes foram testadas, 5 mm (resolução baixa), 2 mm (resolução média) e 1 mm (resolução alta), para as quais a Tabela 3 mostra a quantidade de partículas geradas para cada altura da coluna de fluido (h). O valor do passo temporal utilizado nas simulações foi de 10-5 s.

Tabela 3 - Quantidade de partículas. Distância entre Partículas

(mm) Quantidade de partículas h = 8 cm h = 10 cm h = 12 cm 1 50156 59637 70116 2 15142 17642 20142 5 3660 4056 4452

3.3

Caixa L

O último caso a ser considerado neste trabalho é o problema da Caixa L. Este problema consiste em um método de ensaio em que o compartimento vertical de uma caixa em formato de L é preenchido totalmente de forma uniforme por concreto. Esse compartimento vertical é separado do compartimento horizontal por grades e uma comporta. O ensaio é realizado abrindo-se a comporta de forma rápida, uniforme e sem interrupção, permitindo o escoamento do concreto.

Cremonesi et al. (2010) realizou uma análise computacional do escoamento de fluidos não newtonianos como pasta de cimento e argamassa na Caixa L. O modelo é realizado de maneira simplificada em duas dimensões, por isso não apresenta as grades do ensaio original. Eles utilizaram a pasta de cimento e a argamassa, os quais possuem densidade de 2200 kg/m³, e adotaram o modelo constitutivo de Bingham com os parâmetros reológicos explicitados na Tab. 4.

Tabela 4 - Parâmetros reológicos pelo modelo de Bingham (Cremonesi et al., 2010).

0[Pa] [Pa.s] 15 50 h 20 50 150

Figura 5- Geometria do caso Caixa L (medidas em cm).

A Fig. 5 ilustra a geometria do caso e a Tab.5 mostra a quantidade de partículas de cada modelo. Este problema foi simulado utilizando o modelo reológico de Bingham. O passo de tempo utilizado neste problema foi de 10-5 s e os valores de de 0,2 s-1 e 0,03 s-1.

Tabela 5 – Quantidade de partículas.

Distância entre partículas [mm] Quantidade de partículas

0,5 153406

1,0 42255

2,0 12820

5,0 2864

4 RESULTADOS NUMÉRICOS

4.1

Escoamento entre placas planas paralelas

A Fig. 6 ilustra os resultados obtidos com o método MPS para o escoamento entre placas planas paralelas, estando à esquerda o campo de velocidades e a direta a solução analítica para o perfil de velocidades, dado pela Eq. (28).

Nesta mesma figura, a linha vertical branca das imagens mostradas na coluna da esquerda mostram a posição das partículas das quais foram retirados os valores para traçar os gráficos de perfil de velocidade, taxa de deformação e viscosidade aparente.

Campo de velocidades [m/s] Perfil de velocidades [m/s]

Tempo: 0,50 s

Tempo: 1,00 s

Tempo: 1,50 s

Tempo: 2,00 s

Figura 6 - Campo de velocidades e comparação do perfil de velocidades com o resultado analítico.

A Fig.7 mostra a solução analítica para os perfis de taxa de deformação e viscosidade aparente em conjunto com os resultados obtidos a partir da simulação utilizando o método MPS.

Perfil de taxas de deformação [1/s]

Perfil de viscosidades aparentes [Pa.s]

Tempo: 0,50 s

Tempo: 1,00 s

Tempo: 1,50 s

Tempo: 2,00 s

Figura 7 – Perfis de taxas de deformação e perfis de viscosidades aparentes.

Observa-se nas Figs. 6 e 7 que, os resultados obtidos com o método MPS estão coerentes com a solução analítica no regime permanente. Pode-se notar que, na parcela fluida do domínio, o desvio no valor da velocidade é bastante reduzido, enquanto na taxa de deformação e na viscosidade aparente, este desvio é praticamente nulo. Entretanto, percebe-se que especificamente nas paredes, tanto a taxa de deformação quanto a viscosidade aparente possuem valores diferentes dos previstos pela solução analítica. Estas diferenças podem ser devido à modelagem simplificada da condição de contorno no-slip, especificamente no cálculo da velocidade das partículas dummy.

4.2

Dam break

A partir das diferentes resoluções propostas, foi feito um estudo da convergência dos resultados, através da comparação dos dados obtidos com o MPS com os resultados apresentados por Leite (2009) obtidos com o software ANSYS-CFX. Estas comparações estão apresentadas nas Figs. 8, 9 e 10.

Figura 8 – Comparação entre os dados experimentais e numéricos de Leite e a solução numérica obtida pelo MPS no instante t = 0,4 s para h = 8 cm.

Figura 9 – Comparação entre os dados experimentais e numéricos de Leite e a solução numérica obtida pelo MPS no instante t = 0,4 s para h = 10 cm.

Figura 10 – Comparação entre os dados experimentais e numéricos de Leite e a solução numérica obtida pelo MPS no instante t = 0,4 s para h = 12 cm.

Como estudo adicional, foi feita uma análise acerca da taxa de deformação crítica utilizada no cálculo do termo viscoso não newtoniano com o método MPS. Esse estudo concentrou-se no caso com resolução mais alta (1 mm) e na altura média (10 cm). As Figs. 11 e 12 mostram a comparação dos perfis de onda obtidos por Leite (2009) e obtidos com o MPS em diferentes taxas de deformação críticas, no instante t = 0,4s.

Figura 11 – Comparação entre os resultados no instante t = 0,4 s para taxas de deformação crítica de 0,05; 0,1 e 1,0 s-1.

Figura 12 – Comparação entre os resultados no instante t = 0,4 s para taxas de deformação crítica de 0,2; 0,4; 0,6 e 0,8 s-1.

Pela Fig. 11, nota-se que os perfis de onda obtidos com e se aproximam significativamente uma da outra, e conduz a um perfil bastante próximo dos outros dois. A Figura 12 confirma a aproximação das soluções com e , uma vez que não exibe variação significativa no perfil da onda para os valores intermediários , , e . Entretanto, a Figura 13 mostra que a quantidade de partículas com taxa de deformação inferior a aumenta significativamente com o aumento de .

Figura 13 – Percentual de partículas com taxa de deformação abaixo da taxa de deformação crítica em função do tempo.

Em escoamentos de fluidos onde predominam os efeitos de difusão viscosa, a existência de muitas partículas com deformação inferior à deformação crítica pode comprometer a precisão dos resultados. Portanto, espera-se que a taxa de deformação crítica deve ser suficientemente baixa.

Por outro lado, a condição de estabilidade numérica considerando difusão viscosa é dada por

(30)

onde é o passo de tempo, é a distância entre partículas, é uma viscosidade efetiva e é uma constante menor que 1,0. Assumindo que a viscosidade efetiva é igual à viscosidade máxima, ou seja, para , . Se o passo de tempo for fixado em 10-5

s, os valores de correspondentes aos casos apresentados são dados conforme a Tab. 6.

Tabela 6 – Análise de estabilidade [s-1] [Pa.s] 0,05 99,39600 0,99396 0,1 50,75681 0,50757 0,2 26,15334 0,26153 0,4 13,64384 0,13644 0,6 9,39385 0,09394 0,8 7,23702 0,07237 1,0 5,92640 0,05926

A redução no valor de leva menos partículas a terem taxas de deformação inferiores a este valor, mas conduz a um valor de mais alto, caso o passo temporal seja mantido e isto pode implicar no problema de estabilidade do cálculo, sem contar no incremento de tempo necessário para simular o caso.

4.3

Caixa L

Para este caso, a comparação com os resultados de Cremonesi et al. (2010) foi de caráter qualitativo. Para tal, foram comparados na Fig.14 os avanços das frentes de onda aproximados a partir das figuras presentes em Cremonesi et al. (2010) com os avanços obtidos com o método MPS.

Os valores dos avanços obtidos com o método MPS estão elencados na Tab. 7. (As células assinaladas com N/D indicam dados não disponíveis).

Tabela 7 – Desvios no valor do avanço da frente de onda para cada uma das resoluções utilizadas, sendo as taxas de deformação críticas 0,2 e 0,03.

Resolução 0,5 mm 1,0 mm 2,0 mm 5,0 mm

Tempo 1,0 2,0 3,5 1,0 2,0 3,5 1,0 2,0 3,5 1,0 2,0 3,5

-11% -15% N/D -8% -17% -24% -8% -13% -20% -12% -20% -26%

Nota-se que, em geral, o avanço obtido com o MPS está atrasado em relação ao obtido por Cremonesi et al. (2010). A causa da discrepância talvez seja maior amortecimento numérico do método baseado em partículas. No entanto, ao longo do tempo, as regiões onde ocorrem elevadas taxas de deformação, marcadas em cor preta nos resultados do Cremonesi et al. (2010), e a evolução destas regiões foram reproduzidas com nos resultados do MPS.

Figura 14 – Comparação entre os resultados de Cremonesi et al. (2010) e os resultados obtidos com o MPS para a resolução de 2 mm.

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Os resultados obtidos pelo método MPS apresentou uma ótima concordância com a solução analítica para o escoamento entre placas planas paralelas. A condição de contorno de velocidade nas partículas dummy precisa ser revista, o que está evidenciado pelo desvio no cálculo da taxa de deformação na parede, e consequentemente na viscosidade aparente na mesma partícula.

Com relação ao caso do problema dam break com Carbopol 940, os resultados do MPS aproximaram-se satisfatoriamente dos resultados obtidos por Leite (2009). Observou-se que a superfície livre ficou mais bem definida no caso com resolução mais alta. A partir do caso com resolução mais alta, foram utilizados diversos valores de taxa de deformação crítica, com os quais se observou que o aumento da taxa de deformação crítica leva ao aumento do número de partículas com taxa de deformação abaixo do valor crítico e, portanto, de comportamento newtoniano. Tendo em vista que o fenômeno apresenta fase na qual os efeitos de difusão viscosa sejam predominantes, é possível que um excesso de partículas com comportamento newtoniano possa comprometer a precisão dos resultados. Por outro lado, considerando a estabilidade numérica, a redução na taxa de deformação crítica pode conduzir a passos de tempo necessários muito baixos.

Para o caso da caixa L, a comparação com os resultados do Cremonesi et al. (2010) mostrou um relativo atraso nas simulações do MPS, Essa discrepância pode ser devido ao maior amortecimento numérico dos métodos baseados em partículas. No entanto, os principais aspectos do escoamento, como por exemplo, a evolução das regiões de elevada taxa de deformação, foram reproduzidos com sucesso.

AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem à Pró-Reitoria de Pesquisa da Universidade de São Paulo pelo suporte, com a bolsa de iniciação a um dos autores que desenvolveu este trabalho.

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