Teoria da Informação - 04 - Revisão - Variaveis Aleatórias

(1)

Universidade de Pernambuco

Escola Politécnica de Pernambuco

Teoria da Informação

Revisão Variáveis Aleatórias

Revisão –Variáveis Aleatórias

Prof. Márcio Lima

E

(2)

Revisão

Revisão –

– Variáveis Aleatórias

Variáveis Aleatórias

Revisão

Revisão Variáveis Aleatórias

Variáveis Aleatórias

É a habitual imaginar o resultado de um experimento como um variável que pode vagar pelo conjunto de pontos amostrais e cujo é determinado pelo experimento

experimento.

Definição:

Função cujo o domínio é um ESPAÇO

S RX

Função cujo o domínio é um ESPAÇO AMOSTRAL e cuja a imagem é algumm conjunto de Números reais.

Exemplo 1. Três mordas são lançadas e observa-se o número de CARAS quep ç q ocorrem:

{

}

{

0 1 2 3

}

= R KKK KKC, KCK, KCC, CKK, CKC, CCK, CCC, S 22 Teoria da Informação

Teoria da Informação –– Prof. Márcio LimaProf. Márcio Lima

{

0,1,2,3

}

=

X

(3)

Revisão

Revisão –

– Variáveis Aleatórias

Variáveis Aleatórias

Revisão

Revisão Variáveis Aleatórias

Variáveis Aleatórias

Notação: VA Al ó V á l Z Y X (evento); amostral espaço do elemento s ); evento,... (conjudo, amostral espaço S ) ( : :

( )

s x X s Aleatórias Variáveis pelas assumidos valores z y x ; VA Aleatória Variável : Z Y, X, = ⇒ ∈ S : , , ) (

( )

s x X s ∈ S ⇒ S RX

(4)

Revisão

Revisão –

– Variáveis Aleatórias

Variáveis Aleatórias

Revisão

Revisão Variáveis Aleatórias

Variáveis Aleatórias

Variávies Aleatórias Discretas: Quando os valores assumidos pela V.A. são

finitos ou contavelmente infinito (Infinito numerável). Isto é, a V.A. assume apenas um conjunto de valores discretos

apenas um conjunto de valores discretos.

{

}

(

X

=

x

1

,

)

x

2

,

L

( )

,

x

n

,

L

R

( )

⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ∀ ≥

∑

∞ 1 , 0 i x p i x p

(

X

x

_i

)

p

( )

x

_i

P

=

Distribuição de probabilidade (Função de Probabilidade)

( )

⎪⎩

∑

=1 = 1 i i x p

Variávies Aleatórias Contínuas: Quando o conjunto R_X assume valores não numeráveis. Isto é,a V.A. pode assumir qualquer valor em um intervalo de observação inteira.

Ex: Amplitude de uma tensão de ruído em um instante de tempo em particular.

44

Teoria da Informação

(5)

Revisão

Revisão –

– Variáveis Aleatórias

Variáveis Aleatórias

Revisão

Revisão Variáveis Aleatórias

Variáveis Aleatórias

Descrição Probabilística de Variáveis Aleatórias

Função de Distribuição Cumulativa (CDF): X, V.A. P(X ≤ x)

( )

P

(

X

)

F

( )

x

P

(

X

≤

x

)

F

_X

=

≤

Para qualquer ponto de x, F_X(x) expressa uma probabilidade (P(X ≤ x)).

Propriedades de F_X(x):

( )

₁

( )

₂

,

₁ ₂

.

2

1

0 .

1 x

x

F

x

F

:

e

decrescent

não

Função

x

F

≤

X X X

(6)

Revisão

Revisão –

– Variáveis Aleatórias

Variáveis Aleatórias

Revisão

Revisão Variáveis Aleatórias

Variáveis Aleatórias

Descrição Probabilística de Variáveis Aleatórias

Função de Densidade de Probabilidade (pdf):

Descrição alternativa da probabilidade da V.A. X (contínua) dx d

( )

F

( )

x

dx

d

x

f

_X

=

_X Seja o evento ∫dx 2 1 X x x B ≡ ≤ ≤

( )

B P

(

x X x

)

P

(

X x

)

P

(

X x

)

F

( )

x F

( )

x f

( )

x dx P x

∫

≤ ≤ ≤ ≤ 2 Propriedades de F_X(x):

( )

B P

(

x X x

)

P

(

X x

)

P

(

X x

)

F

( )

x F

( )

x f

( )

x dx P x

∫

= − = ≤ − ≤ = ≤ ≤ = 1 1 2 1 2 2 1 X X X ( )x f_X

( )

(

( )

S

)

_X

P

d

f

x

f

1

2

0 .

1 ⇒

+

≥

∫

∞ + _P_{( )}_B 66 Teoria da Informação

( )

(

( )

S

)

x

;

x

f

_X

x

dx

1 P

.

2

₁

=

−∞

₂

=

+∞

⇒

∫

=

∞ − x

(7)

Revisão

Revisão –

– Variáveis Aleatórias

Variáveis Aleatórias

Revisão

Revisão Variáveis Aleatórias

Variáveis Aleatórias

Estatística de uma

Estatística de uma V.A.

V.A.

Valor Esperado: Suponha uma V.A. tal que com

distri-buição de probabilidade

{

x

1

,

x

2

,

L

,

x

n

}

=

X

R

( ) ( )

( )

{

}

então

( ) ( )

( )

{

p

x

₁

,

p

x

₂

,

L

,

p

x

_n

}

,

( )

n

( )

É denominado Valor Esperado ou média da V.A. X.

( )

,

1

∑

=

i i i

p

x

X

E

p

OBS: O valor esperado não representa o resultado mais provável de ocorrer e

sim a média dos resultados.

Realize um experimento várias vezes, registre os diversos valores que a V.A. assumir e calcule a média desses valores. Esse será o valor médio.

(8)

Revisão

Revisão –

– Variáveis Aleatórias

Variáveis Aleatórias

Revisão

Revisão Variáveis Aleatórias

Variáveis Aleatórias

Estatística de uma

Estatística de uma V.A.

V.A.

Exemplo: Um dado equilibrado é lançado. X representa o resultado obtido

{

1 ,

2 ,

3 ,

4 ,

5 ,

6 }

.

=

X

R

Qual será o valor esperado de X?

{

,

}

X

( )

X

_∑

( )

E

n

( )

₁ ₂

( )

₂ ₆

( )

₆ 1 1

+

=

∑

=

x

p

x

p

x

L

x

p

x

p

x

X

E

i i i

( )

(

1

2

6 )

6

1

6

1

6

1

2

6

1

1 ⋅

+

⋅

+

⋅

=

+

=

L

2

7

6 21 =

=

Não é nem um resultado possível, quanto mais ser o resultado provável!!!!! +∞

88

Teoria da Informação

No caso contínuo:

( )

∫

( )

+ ∞ −

⋅

=

x

f

x

dx

X

E

_X

(9)

Revisão

Revisão –

– Variáveis Aleatórias

Variáveis Aleatórias

Revisão

Revisão Variáveis Aleatórias

Variáveis Aleatórias

Estatística de uma

Estatística de uma V.A.

V.A.

Propriedades:

)

(constante

C

X

=

.

1 ( )

(

C

)

C

E

( )

E

C

E

)

(

X

⋅

=

⋅

=

.

2 (

)

( )

(

)

( )

(

)

E

( ) ( )

E

,

se

e

são

independen

tes.

E

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

⋅

=

⋅

+

=

+

.

4 .

3

(10)

Revisão

Revisão –

– Variáveis Aleatórias

Variáveis Aleatórias

Revisão

Revisão Variáveis Aleatórias

Variáveis Aleatórias

Estatística de uma

Estatística de uma V.A.

V.A.

Variância:

( )

[

(

( )

)

2

]

X

E

X

E

X

V

X

Var

=

σ

_X2

=

−

Momento central de 2ª. Ordem.

Expressa o quanto os valores da distribuição se afastam da média.

( )

X

V

( )

X

E

[

(

X

E

( )

X

)

]

Var

σ

_X

Expressão mais simples e direta:

( )

2

( )

2

X

E

X

E

X

Var

=

−

OBS: Desvio Padrão: Propriedades: X

σ

Propriedades:

(

)

( )

(

C

X

)

C

Var

( )

X

Var

constante

C

se

X

Var

C

X

Var

+

=

2

2 .

,

.

1

10 10 Teoria da Informação

(

C

X

)

C

Var

( )

X

Var

⋅

=

⋅

.

2

(11)

Revisão

Revisão –

– Variáveis Aleatórias

Variáveis Aleatórias

Revisão

Revisão Variáveis Aleatórias

Variáveis Aleatórias

Estatística de uma

Estatística de uma V.A.

V.A.

Exemplo: A meteorologia atribui graus de nebulosidade ao céu em uma escala

com 11 níveis, variando de 0 (céu claro) à 10 (céu completamente nublado).

X assume os valores

Seja a distribuição de probabilidade da V.A. X:

{

0 ,

1 ,

2 ,

_L

,

10 }

=

X

R

15

0 =

= p

p

06

0

15 ,

0

15 ,

0

9 8 2 1 10 0

=

p

Calcule a variância e o desvio padrão.

06 ,

0

7 6 5 4 3

=

p

=

p

=

p

=

p

=

p

( )

(

)

(

)

(

)

( )

X

=

0 ,

05 (

0 +

10 )

+

0 ,

15 (

1 +

2 +

8 +

9 )

+

0 ,

06 (

3 +

4 +

5 +

6 +

7 )

=

5 E

(12)

Revisão

Revisão –

– Variáveis Aleatórias

Variáveis Aleatórias

Revisão

Revisão Variáveis Aleatórias

Variáveis Aleatórias

Estatística de uma

Estatística de uma V.A.

V.A.

Exemplo:

15 ,

0

15 ,

0

9 8 2 1 10 0

=

p

06 ,

0

7 6 5 4 3

=

p

=

p

=

p

=

p

=

p

( )

2

∑

10 2

( )

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

9

16

25

36

49 )

35 ,

6 .

06 ,

0

81

64

4

1

15 ,

0

100

0

05 ,

0

0 2 2

=

+

=

∑

= i i i

p

x

X

E

Logo:

(

)

,

( )

2

( )

2

3

6

2

10

6

2

( )

25 ,

3

6 ,

10

25

6 ,

35

2 2

=

⇒

=

⇒

−

=

−

=

X 2 X 2 X

σ

E

X

E

X

12 12 Teoria da Informação

(13)

Revisão

Revisão –

– Variáveis Aleatórias

Variáveis Aleatórias

Revisão

Revisão Variáveis Aleatórias

Variáveis Aleatórias

Estatística de uma

Estatística de uma V.A.

V.A.

Exemplo: Seja X, uma V.A. uniforme no intervalo [a, b]. Calcule o valor

esperado e a variância de X (V.A. contínua).

( )

₍

₎

⎪

⎨

⎧

_≤

−

=

,

1 b

x

a

b

x

f

_X

⎪⎩

0 ,

c

.

c

.

( )

2 b a X E = +

(

)

2 2 12 1 a b − = X σ