Lauda projetada no quadro - Cálculo I

• •

“Aprender matemática é obter independência e autonomia para resolução de futuras questões de matemática”

EMENTA

Revisão dos tópicos do ensino médio que serão utilizados na disciplina. Limites. Continuidade. Derivada. Aplicações das Derivadas

1. Frequência;

2. Lista de atividades; 3. Provas

MATERIAL DISPONÍVEL NO SITE

Cálculo: É o estudo do comportamento das funções.

O sucesso na disciplina de cálculo depende em grande parte do conhecimento da matemática que precede o cálculo: álgebra, geometria analítica, funções e trigonometria.

Revisão matemática básica

Um número natural é denominado primo quando este tem apenas dois divisores positivos.

(2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; …) sequências de números primos.

• 7 é primo;

• 12 não é primo; • 1 não é primo;

Os divisores positivos de um número natural n são todos os números naturais p > 0 tais que n dividido por p resulta num outro número natural m. Diz-se então que p divide n e indica-se p|n.

Exemplo

6|12, pois, 2.6 =12, logo 12 é múltiplo de 6

Decomposição de um número em fatores primos é útil para em diversas situações.

Por exemplo:

é uma fração que pode reduzida?

Veja no quadro como reduzir esta fração usando a decomposição em fatores primos!

A decomposição em fatores primos é útil também para determinação do número de divisores de número inteiro.

Qual é a quantidade de divisores naturais do número 512?

Veja no quadro:

512= 2 , logo, (9+1) = 10 divisores ⁹, logo, (9+1) = 10 divisores

Quantos divisores tem o número 150?

Potenciação e radiciação

Sendo , ,

P1

Se e vamos considerar que é indeterminado.

Se ,

P2

Se ,

P3

P5 Sendo , 1. 2. 3. P6 Sendo Sendo P7 Sendo P8

Calcule o valor de cada expressão abaixo a) b) c) Veja no quadro! Atividade de fixação 1) Simplifique as expressões: a) 2 n+ 1 −2n−2 2n b) 2 2n+ 1 −4n 22 n c) 5m+2÷5m−1 d) (0,25)−1.

(

)

2) Coloque V ou F e justifique cada alternativa.

a) −32=9 b) 00=1 c)

_√

_√

Noção de conjunto

Conjunto é uma coleção de (objetos, coisas, indivíduos) que possui pelo menos uma característica em comum.

Aluno do 1°P/2019 TADS do Ifes de Alegre é um conjunto? Por quê?

Pessoas que estudam no 1°P/2019 TADS e não tem Facebook é um conjunto? Por quê?

Cada componente de um conjunto dizemos que ele é um elemento de um conjunto e que pertence ao conjunto.

Conjuntos: A, B C,...Z Elementos: a, b, c, ...z

Pertinência: Relação entre elemento e conjunto.

H ={a; b; h; p}

• não é elemento de A, logo

• é negação de

• é negação de =

Representação de um conjunto:

Então o conjunto A pode também ser representado por:

ou A = {azul; verde; amarelo; branco}

Diagrama de VENN . amarelo .azul • Roxo A • branco A • ou que

Considere o conjunto H = {x| x é um aluno que estuda no 1° I do Ifes com mais de 100 anos}

.branco .verde

.amarelo .azul

A

Um conjunto vazio é o conjunto que não tem nenhum elemento:

Representação H = { } ou H =

Obs.:. H = { } - Conjunto unitário Escreva os elementos do conjunto:

1) G= { x | x é um mês cuja letra inicial do nome começa p}

2) J = { | , sendo y um número natural}

3) U = { | , sendo y um número inteiro}

4) O que significa conjunto vazio? 5) O que significa conjunto unitário?

Atividades de fixação

1. Escreva os elementos do conjunto F = {x| x é um quadrado perfeito menor que 16}

2. Escreva os elementos do conjunto H = {x| x é um quadrado perfeito menor ou igual que 16}

3. Considere p conjunto J = {y| y é um número primo positivo e par}. Este conjunto é vazio? Por que?

4. Como você representaria em diagrama de Venn os dois conjuntos A = {x| x é nome de um estado sul} e B = {y| y é um estado do nordeste}

5. Como você representaria em diagrama de Venn os dois conjuntos A = {x| x é nome de um estado brasileiro} e B = {y| y é um estado do nordeste}

6. Como você representaria em diagrama de Venn os dois conjuntos A = {x| x é nome de um membro de sua família} e B = {y| y é um brasileiro} 7. Como você representaria em diagrama de Venn os dois conjuntos A = {x| x é número natural entre 1 e 1000 } e B = {y| y é um número par}

8. Considere os conjuntos:

= {a|a são as pessoas que formam a população brasileira atual}

A = {x|x são pessoas brasileiras que tem aids atualmente}

B= {y|y são pessoas brasileiras que atualmente moram no Espírito Santo Atualmente}

a) Represente usando o diagrama de Venn , A e B. b) Escreve qual é o conjunto .

Conjuntos numéricos

Denominamos conjuntos numéricos os conjuntos cujos elementos são números. Os conjuntos numéricos estudados neste nível de ensino são dos números naturais , conjuntos dos números inteiros , conjuntos dos números racionais , conjuntos dos números irracionais e conjunto dos números

e

= Conjunto dos números inteiros não nulos

= Conjunto dos números inteiros estritamente positivos

Observações

; ; ; ;

Complete usado 1. - 5…... 2. 0 ….. 3. 9 ….. 4. 1, 2 …. 5. 7 …. 6. …. Coloque V ou F 1. 2. 3. 4.

O conjunto dos números decimais periódicos ao conjunto 1. 0,888888… =

2.

Observação:

O conjunto dos números decimais não periódicos Conjunto dos números reais é formado por

1,2 1,22222….

Representação em forma de diagrama de VENN os conjuntos

Exercícios de fixação

1. Qual é a representação fracionária de 2,55555….? 2. Defina o que é um número irracional.

3. 2,5555 pertence a qual(is) conjuntos numéricos? 4. Considere os conjuntos A e B

Obtenha os conjuntos:

a) b) c)

5. Com relação ao exercício anterior coloque V ou F. a) b)

c) d)

d) e)

6. Como medir já que ele é irracional? E como marcá-lo na reta

numérica?

7.Qual a diferença nesta duas notações e

8. Dados o conjunto A = {a; e; i; o; u}. Da definição de subconjuntos de um conjunto podemos obter quantos subconjunto de A?

De forma geral é o número de subconjunto de um conjunto com

elementos, e é o número de subconjuntos não vazio conjunto

9. Como marcar geometricamente

10) O resultado da expressão pertence a qual conjunto numérico?

11) Se a > b e a > 1 e b > 1 localize na reta numérica a, b, e . a) Qual afirmação pode ser feita sobre a localização de na reta?

b) Qual afirmação pode ser feita sobre a desigualdade ?

12) O número pertence a qual conjunto numérico?

13) O resultado da expressão + 1,6666…pertence a qual

conjunto numérico?

14) O número 0,9999… pertence a qual(is) conjuntos numéricos?

15) Prove que todo número ímpar elevado ao quadrado é também um número ímpar

Intervalos reais

Supõe que você ao marcar de encontrar com um colega de sua sala na biblioteca para fazer um trabalho escolar ele perguntou?

Qual é o horário ideal para começar o trabalho? Você responde que só pode entre 9 e 11 horas!

Como você representaria a sua disponibilidade para fazer o trabalho?

Dentro do contexto acima o que significa o intervalo P? Escreva de mais duas forma o Intervalo P.

Aplicação

Para fazer um trabalho de matemática Paula disse ao colegas que só estaria disponível no intervalo entre 14 horas e 17 horas. Anderson disse que estaria disponível de 13 horas às 16 horas e Elisa de 15 horas às 18 horas. Obtenha o intervalo onde os três podem se reunir simultaneamente para fazer o trabalho.

1. Obtenha um horário onde pelo menos uma das três pessoas podem comparecer para fazer o trabalho.

2. Obtenha o intervalo onde apena Anderson e Elisa podem comparecer para fazer o trabalho.

3. Obtenha o intervalo onde apena Paula e Elisa podem comparecer para fazer o trabalho.

Atividades complementares sobre intervalos reais

1. Represente, na reta real, os intervalos:

a) U = [ 2; 8] b) I = {x | 2 < x < 5}∈ ℝ| x < -5 ou x > 4} ℝ| x < -5 ou x > 4} c) P = ] – ∞, 2] d) A = {x | -2≤ x ≤ 2}∈ ℝ| x < -5 ou x > 4} ℝ| x < -5 ou x > 4}

2. Use o conceito de intervalos reais para obter a solução das inequações simultâneas. a) b) c)

3. Para fazer um trabalho de matemática Paula disse que só estaria disponível no intervalo entre 14 horas até 17 horas. Anderson disse que estaria disponível de 13 horas às 16 horas e Elisa de 15 horas às 18 horas. Obtenha o intervalo aonde os três podem se reunir simultaneamente para fazer o trabalho. 4) Considere os intervalos reais J = [ 2; 8], I = {x | 2 < x < 5} e F = ]-1; 9 [. Obtenha os∈ ℝ| x < -5 ou x > 4} ℝ| x < -5 ou x > 4} intervalos:

a) b) c)

5) Considere o intervalo I = {x | x < -5 ou x > 4} e B = ] -4; 7[. Obtenha o intervalo ∈ ℝ| x < -5 ou x > 4} ℝ| x < -5 ou x > 4} 6) Exercício resolvido.

Fatoração de expressões algébricas

A fatoração de um número na forma de fatores primos é bem simples.

A decomposição do número 50 em fatores primos. (Veja no quadro)

Fatorar expressões algébricas em geral está relacionado ao conceito de fator comum em evidência e de alguns produtos notáveis.

Fatorar significa reescrever a expressão em outra forma equivalente e que seja útil para fins de simplificação em alguns momentos do cálculo I.

Fator comum em evidência:

A expressão pode ser reescrita de outra forma.

(Veja no quadro)

Logo usando o pensamento anterior a expressão pode

ser simplificada

Reescreva a expressão a2+ ba + 2a + 2b na sua forma fatorada

Produtos notáveis

1.

2.

3.

4.

Fatore a expressão x² - 16

Fatore a expressão x² - 4x + 16

Expandir a expressão x.(x - 4)

Fatoração de equações de segundo grau.

Toda função da forma , onde é

denominada função do segundo grau.

Toda expressão de segundo grau pode ser fatorada como segue.

Exemplo

Fatorar função

Veja no quadro!

Reescreva as expressões abaixo na forma fatorada. 1)

2) 3) 4) 5)

Atividades

1. Simplificar ao máximo a expressão

2. Se e . Calcule A – B.

3. Coloque o fator comum em evidencia na expressão algébrica

4. Calcule o valor da expressão algébrica para x = -2

5. Fatore a expressões

6. Simplifique ao máximo a expressão

Desafio

Função

Função é uma lei (matemática ou não) que associa dado valor de

um conjunto A (Domínio) a um único correspondente em um conjunto B (Contradomínio).

Raiz de uma f(x) é todo x tal que f(x) = 0.

Considere que um taxista cobre R$ 15, 00 reais por bandeirada mais R$ 2,00 reais por km rodados. Por quanto ficaria um viajem de 90

km?

E uma viajem de 210 km?

E uma viajem de km?

Construa uma tabela de alguns pares de km e R$ a serem pagos

km R$ 0 1 2 3 4 4,5 5 10

Anote os pares no plano cartesiano e observe o padrão dos pontos.

Alguns tipos de funções e aplicações (Apenas formatos gráficos)

A figura a seguir representa o boleto de cobrança da mensalidade de uma escola, referente ao mês de junho de 2008.

Obtenha a função f(x) do valor, em reais, da mensalidade a ser paga, em que x é o número de dias em atraso.

Atividade experimental.

Tabular a temperatura (°C) em função (min.) do tempo logo após ligar o ar condicionado da sala de aula. Observar qual é o tipo de funções que se aproxima deste fenômeno. (use um relógio e um termômetro para aferir temperatura ambiente)

Domínio de uma função

Uma função f é uma lei que associa, a cada elemento x em um conjunto D, exatamente um elemento, chamado f(x), em um conjunto E.

Em geral, consideramos as funções para as quais D e E são conjuntos de números reais. O conjunto D é chamado domínio da função.

A imagem de f é o conjunto de todos os valores possíveis de f (x) obtidos quando x varia por todo o domínio.

O gráfico de uma função f está na figura abaixo

(a) Encontre os valores de f(1) e f(5).

(b) Quais são o domínio e a imagem de f? Função crescente, decrescente e constante

Uma função é crescente no intervalo real se para

elementos e pertencente ao intervalo I onde

e onde

Uma função é decrescente no intervalo real se

para elementos e pertencente ao intervalo I onde

e onde

Uma função é constante se para elementos de seu domínio Considere as funções abaixo. Escreva os intervalos onde cada função são crescente ou decrescente.

O gráfico de uma função f é dado:

(a) Diga o valor de f(1). (b) Estime o valor de f(-1).

(c) Para quais valores de x é f (x) =1?

(d) Estime os valores de x tais que f(x) = 0. (e) Diga qual é o domínio e a imagem de f. (f) Em qual intervalo f é crescente?

(g) Em qual intervalo f é decrescente? (h) Qual é o ponto máximo de f(x)?

Estudo do sinal de funções

Estudar o sinal de uma função f(x) é dizer para que valores de x torna f(x) positiva, para que valores de x torna f(x) negativa e para que valor de x torna f(x) = 0, ou seja, estabelecer para que valores do domínio f(x) > 0, f(x) < 0 e f(x) =0

Estude o sinal da função definida de R em R que está representada abaixo.

Exemplo

Estudar o sinal da função

a) f(x) = 2x+4 b)

• Pesquise sobre estudo do sinal da função de segundo grau. (Aprofundo um pouco mais que será útil).

• Pesquise um pouco sobre o algorítimo de Briott-Rifini para

obter raízes de funções.

Cálculo: É o estudo do comportamento das funções.

Função é uma lei que associa dada valor de um conjunto A

(Domínio) a um único correspondente em um conjunto B (Contradomínio).

Raiz de uma f(x) é todo x tal que f(x) = 0.

Alguns Softwares úteis

1. https://www.wolframalpha.com

A figura abaixo mostra o consumo de energia por um dia em setembro em São Francisco (P é medido em megawatts; t é medido em horas a partir da meia-noite).

Para t = 17 H, qual é o valor de P(17)?

Quando t se aproxima de 9 h, qual é o valor de P(t)?

Considere a função definida por duas sentenças.

a) Calcule f(x) quando x se aproxima de 1+ b) Calcule f(x) quando x se aproxima de 1 -c) Obtenha os intervalos onde f(x) é crescente d) Obtenha os intervalos onde f(x) é decrescente

Escreva os intervalos onde a função representada no gráfico abaixo é;

1. Decrescente; 2. Decrescente;

No intervalo [-2; 3] quantas raízes têm a função representada no gráfico acima?

Atividades de fixação

1. Construa o gráfico da função f(x) definida de R em R. a) f(x)= -3+6x b) g(x) = x² – 4

3. A Figura abaixo mostra curvas de velocidade para dois carros, A e B, que partem lado a lado e se movem ao longo da mesma estrada.

a) Para o carro B qual é a velocidade quanto t se aproxima de 16 s?

b) Para o carro A qual é a velocidade quanto t se aproxima de 13 s?

5. A função f(x) = -x²-2x definida de R em R. Tem um ponto de máximo ou de mínimo. Quais são as coordenadas deste ponto?

6. Dada a função definida para a) Obtenha f(2); f(1)

b) É possível obter f(0)?

Limites

Conceito:

Calcular um limite é dizer qual é o valor de uma função

quando x tende a um certo valor xo.

Considere a função representada no gráfico abaixo.

Analisar o comportamento de f(x) quando: a) b)

O gráfico de uma função t é apresentado na figura abaixo. Use-o para estabelecer os valores (caso existam) dos seguintes limites:

Considerando os resultados anteriores calcule se existir.

a) b)

Estude o comportamento da função f(x) = quando x tende a zero.

Como descrever o processo representado pela função quando x se próxima de 0?

Como descrever o processo representado pela função quando x se aproxima de 2?

Substituir diretamente x = 2 nos leva a . A fatoração é a técnica que elimina este resultado inexistente.

Determine os limites abaixo:

a) b)

Técnicas básicas para cálculo de um limite

• Substituição direta;

• Fatoração para eliminar indeterminação ou resultados

inexistentes;

• Multiplicação pelo conjugado para eliminar a

indeterminação.

Lista de exercícios de fixação.

1. Estude o sinal da função f(x) = x² – 4x

2. Determine o ponto máximo ou mínimo da função

3. Estude o comportamento da função f(x) = quando x tende a zero.

4. Obtenha o ponto máximo da função f(x) = x² – 4x a qual é

definida de R em R.

5. Calcule os limites.

a) b)

c) d)

6. Calcule os limites.

Exercícios

Calcule os limites indicados abaixo.

a) b) c)

Calcule os limites. a) b) c) d) e) f) g) h)

Considere a função f(x) e g(x) representada no gráfico abaixo.

Continuidade de uma função real com uma variável definida em um intervalo real [a; b]

Uma função real f(x) é contínua em xo quando:

Ou seja, uma função é contínua em xo se

Uma função se diz contínua num intervalo I se, e somente se, ela for contínua em cada ponto de I.

Dada a função real representada no gráfico abaixo.

Obs:. Dizemos que é um valor crítico da função acima.

Analisar se f(x) é contínua em x = -1

Dada a função representada no gráfico abaixo.

Dada a função representada no gráfico abaixo. Analisar se f(x) é contínua em x=1

Analisar se f(x) é contínua em x=5

Exercício

Para a função f(x) abaixo resolva as questões.

a) Calcule f(2) b)

c) Analise em que intervalos f(x) é crescente. d) Analise em que intervalos f(x) é decrescente.

Um empresa de tratamento de água cobra em função do consumo de água em m³. Para o consumo residencial de zero até 10m³ de consumo de água é cobrado uma taxa de R$15,00. Entre 10 m³ até 20 m³ é cobrado R$2,00 por m³ excedente e acima de 20 m³ é cobrado R$3,00 por m³ excedente.

a) Escreva a função definida acima; b) Analise o limite ;

c) Explique se a função é contínua em ; d) Explique se a função é contínua em .

Exercícios

1) Uma função f(x) é definida pelo gráfico abaixo. Com base no gráfico e em seu conhecimento extraordinário sobre limites, avalie os limites a seguir. Se não existir nenhum, explique o porquê.

Aqui estão mais alguns limites para você se testar com base no gráfico f(x) da questão anterior.

Calcule os limites indicados.

3) Mostre que a função

Determine se a função g(x), definida abaixo, é contínua em x = 1.

Lista de atividades sobre continuidades e limites 1. Dada a função definida por f(x)=

{

8−x se , x >3

calcule lim

x→3 f(x)

2. Dada a função definida por f(x)=

{

3−x , se x >2 2, se x=2 x 2, se x <2 calcule lim x→2 f(x)

3. Determine o valor de m para que a função f(x)=

{

m, se x=−2 seja contínua em .

4. Avalie e justifique se a função f(x) é contínua em x=2 ; f(x)=

{

3, se x=2

5. Calcule o limite de lim

x→−1

√x+5−2

x+1

6. Os gráficos representam as funções f(x) e g(x) que são definidas por mais de uma sentença. Calcule

os limites se existirem: a) lim x→−2g (x) b) limx→2 g (x) c) limx→0 g (x) d) lim x→−2f (x ) e) limx→2 f (x ) f) lim x→0 f (x )

Os limites podem ser calculados apenas por observação do desenho das funções, no entanto é importante justificar cada resposta usando limites laterais.

i. Verifique se f(x) é contínua em x=2, justifique. ii. Verifique se g(x) é contínua em x=2, justifique. iii. Verifique se f(x) é contínua em x=-2, justifique. iv. Verifique se g(x) é contínua em x=-2, justifique. v. Verifique se f(x) é contínua em x=0, justifique. vi. Verifique se g(x) é contínua em x=0, justifique.

8) Calcule

10. Verifique se cada função abaixo é contínua no ponto .

11 Dada a função . Obtenha

o valor de k para f(x) seja contínua em .

Limites quando x tende ∞ e -∞

Considere a função f(x) representada no gráfico

abaixo.

Pela análise gráfica observa que:

Esses são chamados de limites no infinito, já que

você não está aproximando um número fixo,

como faz com limites típicos. No entanto, ainda

existe limite porque a função tende claramente a

uma altura limite indicada pela assíntota

horizontal, ainda que nunca seja alcançada.

Avaliar limites no infinito é um pouco diferente

de avaliar limites comuns; a substituição, a

fatoração e a conjugação não vão funcionar,

então você precisa de um método alternativo.

Embora o método de L’Hôpital é o ideal para

muitos casos, mas este método precisa de

conhecer derivadas.

Nesse meio-tempo, vamos avaliar esses limites

simplesmente comparando os expoentes maiores

ou trabalhando com fator comum em evidência

em seus numeradores e denominadores.

o comportamento da função quando x

tende a

∞ e quando x tende a ∞

Fica fácil observar que se x tende a

∞ f(x) tende para 0

(zero). Logo:

Considere função real

para

estudar o comportamento da função quando x

tende a

∞ e quando x tende a -∞

Calcular os limites.

a)

b)

c) d)

Derivadas

Seja y = f(x) uma função com domínio D. A função derivada de f é a taxa instantânea de variação de f em x, para cada ponto x D em que é possível calcular essa∈ D em que é possível calcular essa taxa.

Ver gif sobre derivada!

Vamos formalizar essa definição de função derivada, para torná-la operacional. Com essa intenção, observe a Figura abaixo.

Nela, marcamos um valor x arbitrário no eixo Ox e consideramos um pequeno acréscimo h , adicionado a x . Vamos expressar o cálculo da derivada de f em um ponto x arbitrário como este. Para isso, escrevemos a expressão da taxa média de variação de y em [x; x + h]

Nomenclatura:

• Notação de Newton: ;

• Notação de Leibniz:

Obs: A derivada da função f(x) pode ser denotada por

Para calcular a derivada de , escrevemos primeiro a taxa média de variação de f em um ponto x. E em seguida calcular o limite quando h tende a zero.

Para calcular a derivada de escrevemos primeiro a taxa média de variação de f em um ponto x. E em seguida calcular o limite E em seguida calcular o limite quando h tende a zero.

Para calcular a derivada de escrevemos primeiro a taxa média de variação de f em um ponto x. E em seguida calcular o limite E em seguida calcular o limite quando h tende a zero.

Regras de derivação básicas

• , derivada é • , derivada é

• , derivada é

• , derivada é .

Regra da cadeia

Suponha que você precise derivar a função

As fórmulas de derivação que você aprendeu nas

seções precedentes deste capítulo não lhe permitem

calcular

. A alternativa é uma transformação de

variável.

Veja quadro

Aplique a regra da cadeia para calcular a derivada

da função

.

Exercícios de fixação

1. Usando o conceito de limite calcule as derivadas

das funções.

2. Seja a função

, calcule

e dê a

interpretação de

.

3. Seja a função

, calcule

. Qual

interpretação de

?

Outras regras básicas de derivadas

Encontre a derivada da função

Derive a função

Derive a função

e de

Encontre a derivada da função

Derive a função

Se f e g são funções deriváveis, então valem as

seguintes propriedades:

Alternativamente pode-se adotar esta nomenclatura.

Se f e g são funções deriváveis, então valem as

seguintes propriedades:

Exercícios

Obtenha a derivada de cada função abaixo.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9) Obtenha

da função

10) Obtenha

sendo a função

11) Obtenha a equação da reta tangente à curva no

ponto dado.

a)

b)

12) Dada a função

. Obtenha

,

e

Aplicação de derivadas (Valores Máximo e Mínimo)

Um número crítico de uma função f é um número c no

domínio de f tal que ou f’(c) = 0 ou f’(c) não existe.

Obtenha os pontos críticos da função

Teorema de Fermat:

Se f (x) tiver um máximo ou mínimo local em c e se f’

(c) existir, então f’(c) = 0.

Encontre os valores máximo e mínimo absolutos da

função

Como as Derivadas Afetam a Forma de um Gráfico

O que f’ diz sobre f ?

Teste Crescente/Decrescente

(a) Se f’(x) > 0 em um intervalo I , então f é crescente

em I.

(b) Se f’(x) < 0 em um intervalo I, então f é decrescente

em I.

Teste da Concavidade

(a) Se f”(x) > 0 para todo x em I, então o gráfico de f é

côncavo para cima em I.

(b) Se f”(x) < 0 para todo x em I, então o gráfico de f é

côncavo para baixo em I.

Ponto crítico

Definição: Um número crítico de uma função f é um

número c no domínio de f(x) tal que ou f’(c) = 0 ou

f’(c) não existe.

Ponto de inflexão

Um ponto P na curva f (x) é chamado ponto de inflexão

se f (x) é contínua no ponto e a curva mudar de côncava

para cima para côncava para baixo ou vice-versa em P.

A figura abaixo mostra um gráfico da população de

abelhas cipriotas criadas em um apiário. Como cresce a

taxa populacional? Quando essa taxa é mais alta? Sobre

quais intervalos P é côncavo para cima ou côncavo para

baixo?

Examine a curva

em relação à

concavidade, aos pontos de inflexão e mínimos e

máximos locais. Use essa informação para esboçar a

curva.

Teste da Primeira Derivada

Suponha que c seja um número crítico de uma função

contínua f(x)

(a) Se o sinal de f’(x) mudar de positivo para negativo

em c, então f tem um máximo local em c.

(b) Se o sinal de f’(x) mudar de negativo para positivo

em c, então f tem um mínimo local em c.

(c) Se f’(x) não mudar de sinal em c (isto é, se em

ambos os lados de c o sinal de f’(x) for positivo ou

negativo), então ƒ(x) não tem máximo ou mínimo locais

em c.

Teste da Segunda Derivada:

Suponha que f (x) seja contínua na proximidade de c.

(a) Se f’(c) = 0 e f”(c) > 0, então f(x) tem um mínimo

local em c.

(b) Se f’(c) = 0 e f”(c) < 0, então f tem um máximo

local em c.

Utilizar

e

para esboçar o gráfico da função

Atividade de fixação

1. Encontre o intervalo onde a função f(x) = x² + 4x

crescente e em qual intervalo f(x) é decrescente.

Obtenha possíveis ponto de máximos e de mínimos se

existirem.

2. Encontre o intervalo onde a função

crescente e em qual

intervalo f(x) é decrescente. Obtenha possíveis ponto de

máximos e de mínimos se existirem e faça o esboço do

gráfico.

3. Tenho disponível 250 metros linear de tela para

construir um viveiro na forma retangular para alocar 15

animais jovens. Pensando em ter uma maior densidade

de animais por m² deseja-se cercar a maior área

possível. Qual a área máxima que pode ser cercada com

este material?

4. Utilizar

e

para esboçar o gráfico da

a) Obter onde f(x) é crescente e onde f(x) é decrescente,

b) Obter os pontos de máximos e de mínimo se

existirem.

c) Determine os intervalos onde f(x) é concavo para

cima e onde f(x) é concavo para cima,

d) Obtenha o ponto de inflexão de f(x) caso exista.

Resposta:

1. Dada a função

.

a) Estude onde f(x) é crescente e onde f(x) é

decrescente;

b) Estude onde f(x) é concavo para baixo e onde f(x) é

concavo para cima;

c) Obtenha eventuais pontos máximos e pontos

mínimos de f(x);

d) Obtenha, caso exista, pontos de inflexão;

e) Faça esboço do gráfico de f(x).

2. Utilizar

e

para esboçar o gráfico da

função

e:

a) Obter onde f(x) é crescente e onde f(x) é decrescente,

b) Obter os pontos de máximos e de mínimo se

existirem.

c) Determine os intervalos onde f(x) é concavo para

cima e onde f(x) é concavo para cima,

3. Uma área retangular está limitada por uma cerca de

arame em três de seus lados e por um rio reto no quarto

lado. Ache as dimensões do terreno de área máxima que

pode ser cercado com 1000 m de arame.

4. Certa fábrica produz embalagens retangulares de

papelão. Um de seus compradores exige que as caixas

tenham 1 m de comprimento e volume de 2 m³. Quais

as dimensões de cada caixa para que o fabricante use a

menor quantidade de papelão?

5. Considere a função

.

a) Encontre os pontos crítico;

b) Encontre os extremos e os intervalos de crescimento

e de decrescimento;

c) Encontre os intervalos onde a função é concava para

cima e para baixo e os pontos de inflexão;

d) Esboce o gráfico de f(x), indicando os pontos de

corte nos eixos coordenados, as coordenadas dos pontos

de máximo ou mínimo, as coordenadas dos pontos de

inflexão.

6. Encontre onde a função

Tópicos complementares

•

Derivadas de funções trigonométricas

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] KELLEY. W. Michael. O Guia Completo para Quem Não É C. D. F. Cálculo. Alta Books, Rio de Janeiro, RJ, 2013, 356p

[2] KELLEY. W. Michael. O Guia Completo para Quem Não É C. D. F. Pré - Cálculo. Alta Books, Rio de Janeiro, RJ, 2014, 352p.

[3] LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. Vol. 1. 3ª edição, São Paulo: Harbra, 1994. [4] STEWART, James. Cálculo, Vol. I, 5ª edição. São Paulo: Pioneira Thompson Learning, 2006.