4B001 - Movimento Circular

(1)

Movimento Circular

F´ISICA

C´ıcero Al´

ecio Rodrigues de Lima

Professor

February 14, 2018

(2)

Movimento Circular

Sum´

ario

MOVIMENTO CIRCULAR

Introdu¸

c˜

ao

Medidas de ˆ

angulos

Posi¸

c˜

ao e deslocamento angular

Per´ıodo e frequˆ

encia

Velocidade angular m´

edia

Movimento circular uniforme

Acelera¸

c˜

ao centr´ıpeta

(3)

Movimento Circular

Introdu¸cão Medidas de ângulos Posi¸cão e deslocamento angular Per´ıodo e frequência Velocidade angular média Movimento circular uniforme (MCU) Acelera¸cão centr´ıpeta

Transmiss˜ao de movimento circular uniforme

Movimento Circular

Movimento circular ´

e todo movimento cuja trajet´

oria ´

e uma

circunferˆ

encia ou um arco de cincunferˆ

encia.

Figure:

Satélite em movimento circular uniforme em torno da Terra. C´ıcero Alécio Rodrigues de Lima FÍSICA

(4)

Movimento Circular

Antes de continuarmos com movimento circular propriamente

dito, temos que aprendermos ou relembrarmos algumas

medidas.

(5)

Movimento Circular

Medidas de ˆ

angulos

O ˆ

angulo θ ´

e o espa¸

co em forma de arco percorrido S entre os

pontos A e B, dividido pela medida do raio R. Se as medidas

de S e R forem iguais, teremos θ = 1 rad.

Figure:

Arco de circunferˆencia .

(6)

Movimento Circular

Medidas de ˆ

angulos

assim,

θ =

arcoAB

Raio

=

S

R

(1)

S = θ.R

(2)

A convers˜

ao de grau para radiano e vice-versa ´

e feita a partir

da medida de arco relativo a uma circunferˆ

encia completa

(S = 2πR).

θ =

2πR

R

= 2πrad

(3)

Desse modo: 2πrad = 360

o

e πrad = 180

o

. Quantos radianos

tem uma volta?

(7)

Movimento Circular

Medidas de ˆ

angulos

assim,

θ =

arcoAB

Raio

=

S

R

(1)

S = θ.R

(2)

A convers˜

ao de grau para radiano e vice-versa ´

e feita a partir

da medida de arco relativo a uma circunferˆ

encia completa

(S = 2πR).

θ =

2πR

R

= 2πrad

(3)

Desse modo: 2πrad = 360

o

e πrad = 180

o

. Quantos radianos

tem uma volta?

(8)

Movimento Circular

Medidas de ˆ

angulos

assim,

θ =

arcoAB

Raio

=

S

R

(1)

S = θ.R

(2)

A convers˜

ao de grau para radiano e vice-versa ´

e feita a partir

da medida de arco relativo a uma circunferˆ

encia completa

(S = 2πR).

θ =

2πR

R

= 2πrad

(3)

Desse modo: 2πrad = 360

o

e πrad = 180

o

. Quantos radianos

tem uma volta?

(9)

Movimento Circular

Posi¸c˜

ao e deslocamento angular

A posi¸

c˜

ao angular ϕ ´

e o ˆ

angulo formado entre a dire¸

c˜

ao radial

do corpo e outra dire¸c˜

ao tomada como referˆ

encia , e ´

e

marcado o sentido do movimento. De acordo com a defini¸

c˜

ao

de ˆ

angulos em radianos, a posi¸c˜

ao angular em radiano

relaciona-se com o espa¸co linear S .

Figure:

Posi¸cão angular . C´ıcero Alécio Rodrigues de Lima FÍSICA

(10)

Movimento Circular

Posi¸c˜

ao e deslocamento angular

ϕ =

S

R

(4)

O deslocamento angular ocorre quando o corpo sofre uma

varia¸

c˜

ao angular ∆ϕ.

(11)

Movimento Circular

Posi¸c˜

ao e deslocamento angular

ϕ =

S

R

(4)

O deslocamento angular ocorre quando o corpo sofre uma

varia¸c˜

ao angular ∆ϕ.

Figure:

Deslocamento angular . C´ıcero Al´ecio Rodrigues de Lima F´ISICA

(12)

Movimento Circular

Posi¸c˜

ao e deslocamento angular

∆ϕ = ϕ − ϕ

0 (5)

Assim temos

∆ϕ =

∆S

(13)

Movimento Circular

Per´ıodo e frequˆ

encia

Per´ıodo (T) ´

e o intervalo de tempo necess´

ario para que um

fenˆ

omeno que se repete regularmente complete um ciclo. No

SI, o per´ıodo ´

e medido em segundos:[T]=s.

Frequˆ

encia (f) ´

e o n´

umero de ciclos (n) de um fenˆ

omeno

peri´

odico completados em certo intervalo de tempo ∆t. No

SI, a frequˆ

encia ´

e medida em

1 _s

ou s

−1

, unidade conhecida

como hertz (Hz) ou rps (rota¸

c˜

oes por segundos).

f =

n

∆t

(7)

(14)

Movimento Circular

Per´ıodo e frequˆ

encia

Das defini¸c˜

oes de per´ıodo e frequˆ

encia, percebe-sa que s˜

ao

grandezas inversamente proporcionais:

f =

1 T

(8)

ou

T =

1

(15)

Movimento Circular

Velocidade angular m´

edia

A Velocidade angular m´

edia ω

m

´

e o quociente entre o

deslocamento angular ∆ϕ em radiano e o intervalo de temppo

∆t que ele ocorre nesse intervlo de tempo.

Figure:

Velocidade angular . C´ıcero Al´ecio Rodrigues de Lima F´ISICA

(16)

Movimento Circular

Posi¸c˜

ao e deslocamento angular

ω

m

=

∆ϕ

∆t

=

ϕ − ϕ

0 t − t

0 (10)

No SI, a velocidade angular m´

edia ´

e dada em radiano por

segundo: [ω

m

=

rad

_s

] Para obter a velocidade angular

instantˆ

anea (ω) a partir da velocidade angular m´

adia,

devemos considerar intervalos de temppo muito pequenos:

ω =

∆ϕ

(17)

Movimento Circular

Sabemos que:

v

m

=

∆S

∆t

(12)

velocidade escalar m´

edia, onde ∆S = ∆ϕ.R. Ent˜

ao,

v

m

=

∆ϕ.R

∆t

(13)

Como ∆ϕ \ ∆t ´

e a velocidade angular m´

edia, podemos

escrever

v

m

= ω

m

.R

(14)

Para ∆t muito pequeno, obtemos

v

m

= ω.R

(15)

(18)

Movimento Circular

Movimento circular uniforme ´

e todo movimento cuja trajet´

oria

´

e uma circunferˆ

encia ou um arco de circunferˆ

encia e que tem

as seguintes caracter´ısticas: velocidade escalar(*), velocidade

angular, frequˆ

encia e per´ıodo constantes e diferentes de zero.

Ao realizar uma volta completa, o deslocamento angular

corresponde a 360

o

ou ∆ϕ = 2πrad , e o intervalo de tempo, a

∆t = T . Como f =

_T

1 , a velocidade angular pode ser obtida

pela rela¸

c˜

ao:

ω =

2.π

T

= 2πf

(16)

Analogamente a distˆ

ancia percorrida cosrresponde ao

comprimento da circunferˆ

encia S= 2πR, e o intervalo de

tempo, ao per´ıodo T.

v =

2.π.R

(19)

Movimento Circular

Movimento circular uniforme ´

e todo movimento cuja trajet´

oria

´

e uma circunferˆ

encia ou um arco de circunferˆ

encia e que tem

as seguintes caracter´ısticas: velocidade escalar(*), velocidade

angular, frequˆ

encia e per´ıodo constantes e diferentes de zero.

Ao realizar uma volta completa, o deslocamento angular

corresponde a 360

o

ou ∆ϕ = 2πrad , e o intervalo de tempo, a

∆t = T . Como f =

_T

1 , a velocidade angular pode ser obtida

pela rela¸c˜

ao:

ω =

2.π

T

= 2πf

(16)

Analogamente a distˆ

ancia percorrida cosrresponde ao

comprimento da circunferˆ

encia S= 2πR, e o intervalo de

tempo, ao per´ıodo T.

v =

2.π.R

T

(17)

(20)

Movimento Circular

Movimento circular uniforme ´

e todo movimento cuja trajet´

oria

´

e uma circunferˆ

encia ou um arco de circunferˆ

encia e que tem

as seguintes caracter´ısticas: velocidade escalar(*), velocidade

angular, frequˆ

encia e per´ıodo constantes e diferentes de zero.

Ao realizar uma volta completa, o deslocamento angular

corresponde a 360

o

ou ∆ϕ = 2πrad , e o intervalo de tempo, a

∆t = T . Como f =

_T

1 , a velocidade angular pode ser obtida

pela rela¸c˜

ao:

ω =

2.π

T

= 2πf

(16)

Analogamente a distˆ

ancia percorrida cosrresponde ao

comprimento da circunferˆ

encia S= 2πR, e o intervalo de

tempo, ao per´ıodo T.

v =

2.π.R

(21)

Movimento Circular

A fun¸c˜

ao hor´

aria angular do MCU pode ser obtida a partir da

fun¸

c˜

ao hor´

aria do MRU, dividindo-se todos os termos pelo

raio R da circunferˆ

encia.

S

=

S

0 + vt

S

R

=

S

0 R

+

vt

R

ϕ

=

ϕ

0 + ωt

(18)

(22)

Movimento Circular

No movimento circular uniforme, a acelera¸c˜

ao denomina-se

acelera¸

c˜

ao centr´ıpeta

−

→

a

cp

, e altera a dire¸

c˜

ao e o sentido do

vertor velocidade do m´

ovel, mas n˜

ao o seu m´

odulo.

A acelera¸c˜

ao centr´ıpeta ´

e sempre dirigida para o centro da

circunferˆ

encia descrita pelo ponto material, e seu m´

odulo em

fun¸

c˜

ao do m´

odulo da velocidade ´

e dado por:

a

cp

=

v

2 R

(19)

ou

(23)

Movimento Circular

No movimento circular uniforme, a acelera¸c˜

ao denomina-se

acelera¸

c˜

ao centr´ıpeta

−

→

a

cp

, e altera a dire¸

c˜

ao e o sentido do

vertor velocidade do m´

ovel, mas n˜

ao o seu m´

odulo.

A acelera¸c˜

ao centr´ıpeta ´

e sempre dirigida para o centro da

circunferˆ

encia descrita pelo ponto material, e seu m´

odulo em

fun¸

c˜

ao do m´

odulo da velocidade ´

e dado por:

a

cp

=

v

2 R

(19)

ou

a

cp

= ω

2 R

(20)

(24)

Movimento Circular

Um movimento circular pode ser transmitido de uma roda ou

polia para outra, basicamente, por meio de dois

procedimentos: estabelecendo-se um contato entre elas ou

ligando-as por uma correia.

(25)

Movimento Circular

Figure:

Engrenagens.

Em ambos os casos, admitindo-se que n˜

ao haja

escorregamento, os pontos perif´

ericos de cada polia tˆ

em a

mesma velocidade escalar, que ´

e igual `

a velocidade escalar da

correia, isto ´

e:

v

A

= v

B

(21)

(26)

Movimento Circular

Figure:

Engrenagens.

Em ambos os casos, admitindo-se que n˜

ao haja

escorregamento, os pontos perif´

ericos de cada polia tˆ

em a

mesma velocidade escalar, que ´

e igual `

a velocidade escalar da

correia, isto ´

e:

(27)

Movimento Circular

Utilizando a rela¸

c˜

ao entre as velocidades linear e angular

(v = ωR) e a rela¸c˜

ao entre a velocidade angular e a

frequˆ

encia (ω = 2πf )

f

A

R

A

= f

B

R

B

(22)

No caso de polias coaxiais - as que giram fixadas no mesmo

eixo -, estas tˆ

em a mesma velocidade angular .

ω

A

= ω

B

(23)

Figure:

Polias coaxiais.

(28)

Movimento Circular

Utilizando a rela¸

c˜

ao entre as velocidades linear e angular

(v = ωR) e a rela¸c˜

ao entre a velocidade angular e a

frequˆ

encia (ω = 2πf )

f

A

R

A

= f

B

R

B

(22)

No caso de polias coaxiais - as que giram fixadas no mesmo

eixo -, estas tˆ

em a mesma velocidade angular .

ω

A

= ω

B

(23)

(29)

Movimento Circular

Figure:

bicicleta.

(30)

Movimento Circular