Gabarito da questão 74 da apostila de exercícios de macro VI Professor Christiano Arrigoni Coelho
74. Formação de expectativas, taxa de sacrifício e transparência: Suponha que a economia de um país possa ser descrita pelo seguinte modelo:
𝐴𝑆: 𝜋𝑡= 𝜋𝑡𝑒+ 𝑌̃𝑡+ 𝑜̅
𝐴𝐷: 𝑌̃𝑡 = −𝑚̅ (𝜋𝑡− 𝜋̅) 𝜋𝑡𝑒 = 𝜆𝜋𝑡𝑒,𝑅+ (1 − 𝜆)𝜋𝑡𝑒,𝐴
No modelo acima, adotamos as seguintes hipóteses: i) não há choque de demanda (𝑎̅ = 0 sempre); ii) 𝜈̅ = 1; iii) 𝑏̅ = 1 e iv) 𝑥̅ = 0. Na formação de expectativa de inflação, 𝜋𝑡𝑒,𝑅se refere a expectativa de inflação dos agentes racionais supondo que eles não observam o choque de oferta 𝑜̅ e 𝜋𝑡𝑒,𝐴 se refere a expectativa de inflação dos agentes adaptativos. Logo, 0 < 𝜆 < 1 se refere a proporção de agentes que são racionais e 0 < (1 − 𝜆) < 1 se refere a proporção de agentes adaptativos. Faremos as seguintes hipóteses em relação a 𝜋𝑡𝑒,𝑅 e 𝜋𝑡𝑒,𝐴: 𝜋𝑡𝑒,𝑅 = [ 𝑚̅ (1 − 𝜆) + 𝑚̅] 𝜋̅ + [ (1 − 𝜆) (1 − 𝜆) + 𝑚̅] 𝜋𝑡−1 𝜋𝑡𝑒,𝐴= 𝜋𝑡−1
a) Calcule 𝜋𝑡𝑒 e mostre que a expectativa de inflação será uma média ponderada entre
𝜋̅ e 𝜋𝑡−1. Mostre que a sensibilidade de 𝜋𝑡𝑒 em relação à 𝜋𝑡−1 é maior do que
1 − 𝜆. Explique intuitivamente esse resultado. Substituindo 𝜋𝑡𝑒,𝑅 e 𝜋𝑡𝑒,𝐴 na fórmula de 𝜋𝑡𝑒, temos:
𝜋𝑡𝑒 = 𝜆 {[ 𝑚̅
(1 − 𝜆) + 𝑚̅] 𝜋̅ + [
(1 − 𝜆)
(1 − 𝜆) + 𝑚̅] 𝜋𝑡−1} + (1 − 𝜆)𝜋𝑡−1
Reordenando os termos da equação anterior, temos:
𝜋𝑡𝑒 = [ 𝜆𝑚̅
(1 − 𝜆) + 𝑚̅] 𝜋̅ + (1 − 𝜆) [
(1 + 𝑚̅ )
(1 − 𝜆) + 𝑚̅] 𝜋𝑡−1 (1)
Como 0 < (1 − 𝜆) < 1, então (1+𝑚̅ )
(1−𝜆)+𝑚̅ > 1, o que mostra que 𝜕𝜋𝑡𝑒
𝜕𝜋𝑡−1 > 1 − 𝜆. O resultado acima mostrou que a sensibilidade da expectativa de inflação em relação à inflação passada é superior a proporção de agentes adaptativos da economia. A explicação intuitiva é que no momento em que projetam a inflação, os agentes racionais sabem que existem agentes adaptativos na economia e que esses agentes irão supor que a inflação do próximo período será igual a do período atual. Logo, a influência de 𝜋𝑡−1 em 𝜋𝑡𝑒 ocorrerá não só por conta da existência de agentes adaptativos, mas também pela consciência que os agentes racionais têm sobre a influência que as expectativas desses agentes adaptativos têm sobre a inflação futura, fazendo com que 𝜕𝜋𝑡
𝑒
b) Analise o efeito de 𝜆 sobre a sensibilidade de 𝜋𝑡𝑒 em relação à 𝜋̅. Explique intuitivamente esse resultado.
Da expressão (1) vemos que: 𝜕𝜋𝑡𝑒
𝜕𝜋̅ =
𝜆𝑚̅
(1 − 𝜆) + 𝑚̅ (2)
De (2), pode-se facilmente perceber que 𝜕𝜋𝑡 𝑒
𝜕𝜋̅ depende positivamente de 𝜆, ou seja,
quanto maior for a proporção de agentes racionais da economia maior será a sensibilidade da expectativa de inflação em relação à meta de inflação, 𝜋̅.
Intuitivamente, a explicação é que os agentes racionais são aqueles que tem consciência que o banco central atua com uma regra de juros 𝑅𝑡− 𝑟̅ = 𝑚̅ (𝜋𝑡− 𝜋̅), aonde 𝑚̅ > 0, ou seja, que eles sabem que o banco central dessa economia sistematicamente aumentará (diminuirá) a taxa de juros real corrente quando a inflação estiver acima (abaixo) da meta. Os agentes racionais irão embutir essa maneira do banco central se comportar em suas expectativas, fazendo com que as mesmas tendam a se desviar menos em relação à meta. Quanto maior a proporção desses agentes, mais o efeito dessa atuação do banco central no combate à inflação será levada em conta nas expectativas de inflação e assim mais ancoradas as expectativas ficarão em torno da meta.
c) Suponha que 𝑚̅ = 0,5; 𝜆 = 0,5; 𝑜̅ = 0 e que inicialmente 𝜋̅ = 5%. Suponha que em t-1 o banco central anuncia que a partir do período t perseguirá uma nova meta de inflação de 4% (𝜋̅′= 4%). Supondo que a economia se encontrava no steady
state em t-1 (𝑌̃𝑡−1 = 0; 𝜋𝑡−1 = 5%) calcule o hiato e a inflação de equilíbrio no período t. Calcule a taxa de sacrifício (TS) que o banco central teve que enfrentar no período t (𝑇𝑆 = 𝑌̃𝑡
(𝜋𝑡−𝜋𝑡−1)). Explique porque a economia irá demorar vários períodos para atingir o novo steady state (hiato do produto igual à zero e inflação igual à 4%).
Com as hipóteses 𝑚̅ = 0,5; 𝜆 = 0,5; 𝑜̅ = 0, teremos o seguinte modelo (usando a equação (1)): 𝐴𝑆: 𝜋𝑡 = 𝜋𝑡𝑒+ 𝑌̃ 𝑡 (3) 𝐴𝐷: 𝑌̃𝑡= −0,5(𝜋𝑡− 𝜋̅) (4) 𝜋𝑡𝑒 = 0,25𝜋̅ + 0,75𝜋 𝑡−1 (5)
Substituindo (5) em (3), temos um sistema de duas equações e duas variáveis endógenas de interesse (𝜋𝑡 e 𝑌̃𝑡):
𝐴𝑆: 𝜋𝑡 = 0,25𝜋̅ + 0,75𝜋𝑡−1+ 𝑌̃𝑡 (6) 𝐴𝐷: 𝑌̃𝑡= −0,5(𝜋𝑡− 𝜋̅) (7)
Vamos agora analisar o que o exercício pede. Antes do banco central anunciar a nova meta de inflação tínhamos a seguinte situação (lembre que 𝜋𝑡−1= 5%) :
𝐴𝑆: 𝜋𝑡 = 5% + 𝑌̃𝑡 (8)
𝐴𝐷: 𝑌̃𝑡 = −0,5(𝜋𝑡− 5%) (9)
Substituindo (8) em (9), pode-se facilmente mostrar que 𝜋𝑡 = 5%. Substituindo 𝜋𝑡 = 5% em (8) ou (9) pode-se facilmente mostrar que 𝑌̃𝑡 = 0. Logo, esse seria o equilíbrio da economia no período t caso do banco central anunciar não tivesse anunciado nova meta de inflação de 4%. Porém, o banco central anunciou que a
diferentemente do modelo dado em sala, o anuncio da nova meta de inflação afeta não só a posição da curva AD como também a posição da curva AS, pois nesse modelo parte dos agentes são racionais e irão levar em conta em suas expectativas de inflação que o banco central irá perseguir uma meta de inflação menor a partir do próximo período. Vamos então analisar como as equações do modelo para o período t se alteram depois do anúncio do banco central. Substituindo 𝜋̅ = 4% nas equações (6) e (7) pode-se mostrar que ao invés do sistema (8) e (9), teremos o seguinte sistema de equações para a economia:
𝐴𝑆: 𝜋𝑡 = 4,75% + 𝑌̃𝑡 (10) 𝐴𝐷: 𝑌̃𝑡 = −0,5(𝜋𝑡− 4%) (11)
Compare o primeiro termo à direita das equações (8) e (10). Esse termo se refere a expectativa de inflação da economia como um todo (agentes racionais e adaptativos). Ela agora é 4,75% ao invés de 5%. Como se chega nesse valor? A expectativa de inflação da economia como um todo é uma média entre as expectativas dos agentes adaptativos e racionais. Como no exercício em questão 𝜆 = 1 − 𝜆 = 50%, agentes adaptativos e racionais terão o mesmo peso na projeção agregada da inflação. Os agentes adaptativos continuam projetando a inflação do período t igual à 𝜋𝑡−1= 5% mesmo depois do anúncio do banco central, ou seja, 𝜋𝑡𝑒,𝐴= 5%. Já os agentes racionais projetam uma inflação para o período t igual à 𝜋𝑡𝑒,𝑅= 0,5 ∗ 4% + 0,5 ∗ 5% = 4,5%. Note que no termos 0,5*5% fica claro que os agentes racionais embutem o comportamento dos adaptativos em suas expectativas e isso faz com que eles projetem uma inflação para o período t em 4,5%, acima da nova meta de 4%. Ao mesmo tempo, os agentes racionais projetam uma inflação para o período t menor do que a meta antiga de 5%, sabendo que o banco central será mais agressivo no combate a mesma, pois a partir do período t ele irá mirar em um alvo menor de inflação (4% ao invés de 5%). Quando fazemos a média das projeções de racionais e adaptativos (=0,5*4,5%+0,5*5%) chegamos no 4,75% da equação (10).
Substituindo a equação (11) na (10), temos:
𝜋𝑡 = 4,75% − 0,5(𝜋𝑡− 4%) Isolando 𝜋𝑡 na expressão acima, temos:
𝜋𝑡= 4,5% Substituindo 𝜋𝑡 = 4,5% em (11), temos:
𝑌̃𝑡= −0,25% Calculando a taxa de sacrifício, temos:
𝑇𝑆 = 𝑌̃𝑡 (𝜋𝑡− 𝜋𝑡−1) = −0,25% −0,5% = 1 2
Logo, para cada ponto percentual de queda da inflação do período t em relação a inflação do período t-1 foi necessário um sacrifício de 0,5 ponto percentual de produto em relação ao potencial.
d) Agora suponha as mesmas hipóteses da letra c), exceto que 𝜆 = 0.6. Supondo que a economia se encontrava no steady state em t-1 (𝑌̃𝑡−1= 0; 𝜋𝑡−1= 5%) calcule o hiato e a inflação de equilíbrio no período t. Calcule a taxa de sacrifício (TS) do período t e explique porque a TS desse item é menor do que a do anterior.
Comparando com a letra c), a economia demora mais ou menos tempo para retornar ao steady state? Explique.
Note que agora 60% dos agentes são racionais enquanto que no item anterior apenas 50% dos agentes eram racionais. Com isso, a projeção dos agentes racionais para a inflação do período t após o anúncio do banco central da nova meta de 4% será:
𝜋𝑡𝑒,𝑅 = (5
9) ∗ 4% + ( 4
9) ∗ 5% = 4,44% < 4,5%
Já a projeção dos agentes adaptativos não muda em relação ao item anterior, continua sendo 𝜋𝑡𝑒,𝐴= 𝜋𝑡−1 = 5% . Assim sendo, a projeção da inflação para a economia como um todo nesse caso será:
𝜋𝑡𝑒 = 𝜆𝜋𝑡𝑒,𝑅+ (1 − 𝜆)𝜋𝑡𝑒,𝐴= 0,6 ∗ 4,44% + 0,4 ∗ 5% = 4,66% É interessante aplicar a mesma fórmula para o caso do item c):
𝜋𝑡𝑒(𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐) = 0,5 ∗ 4,5% + 0,5 ∗ 5% = 4,75%
Note que o aumento de 𝜆 tem dois efeitos distintos sobre 𝜋𝑡𝑒 , um efeito direto e
outro indireto. O primeiro efeito (direto) é o de aumentar o peso da projeção dos agentes racionais na projeção da economia como um todo (de 50% para 60%). Como no exercício os agentes racionais sempre projetam uma inflação menor do que a dos adaptativos, isso tenderá a diminuir a expectativa agregada de inflação. Além disso, a própria projeção de inflação dos agentes racionais cai de 4,5% para 4,44%. Esse é o efeito indireto do aumento de 𝜆 sobre a expectativa agregada de inflação. Os agentes racionais sabem agora que com a menor proporção de agentes adaptativos o efeito de 𝜋𝑡−1 sobre 𝜋𝑡𝑒 será menor do que antes.
Vamos agora calcular a inflação e o hiato do produto no período t. Teremos as seguintes equações:
𝐴𝑆: 𝜋𝑡 = 4,66% + 𝑌̃𝑡 (12) 𝐴𝐷: 𝑌̃𝑡 = −0,5(𝜋𝑡− 4%) (11)
Note que a AD é a mesma do item anterior. Substituindo (11) em (12) e isolando 𝜋𝑡, temos:
𝜋𝑡 = 4,44%
Substituindo 𝜋𝑡 = 4,44% de volta em (11) encontramos o hiato de equilíbrio:
𝑌̃𝑡= −0,22% Calculando a taxa de sacrifício, temos:
𝑇𝑆 = 𝑌̃𝑡 (𝜋𝑡− 𝜋𝑡−1) = −0,22% −0,66%= 1 3
Logo, para cada ponto percentual de queda da inflação do período t em relação a inflação do período t-1 foi necessário um sacrifício de 0,33 ponto percentual de produto em relação ao potencial. Logo, a taxa de sacrifício é menor nesse item do que no anterior. Como a expectativa de inflação e a inflação observada caem mais nesse item do que no anterior, a economia demora menos tempo para convergir para o novo steady state. A explicação intuitiva para ambos os resultados é a mesma: com o aumento da proporção de agentes racionais, a expectativa de inflação cai mais após o anúncio da nova meta pelo banco central. Como explicado acima essa queda maior da expectativa inflação é explicada tanto pelo efeito direto
do aumento da proporção dos agentes racionais quanto pelo efeito indireto relacionado a diminuição da expectativa de inflação dos agentes racionais. Para o mesmo grau de agressividade de política monetária (𝑚̅ = 0,5), essa maior queda da inflação esperada irá gerar uma queda maior da inflação observada (𝜋𝑡) e ao
mesmo tempo uma menor queda do hiato do produto, o que implica em uma menor taxa de sacrifício. Como explicado antes, a maior queda de 𝜋𝑡 implica em uma maior velocidade de convergência para o novo estado estacionário. e) Utilize o que foi aprendido comparando os itens c) e d) para explicar porque nos
últimos 25 anos os bancos centrais aumentaram consideravelmente o grau de transparência e comunicação com o público.
O que aprendemos comparando os itens c) e d)? Quanto maior a influência do banco central sobre as expectativas dos agentes menos custoso será o controle da inflação em termos de sacrifício de produto. No modelo da questão a chave está nos agentes serem racionais: utilizarem as informações disponíveis sobre o comportamento do banco central para projetarem a inflação futura. Obviamente, quanto mais transparente e comunicativo o banco central for em relação a sua atuação no combate a inflação, menor será o custo para os agentes projetarem a inflação de forma racional e maior tenderá a ser a proporção de agentes racionais na economia. Como a comparação dos itens c) e d) mostra, essa maior proporção de agentes racionais significa menor taxa de sacrifício. Esquematicamente, temos: Maior comunicação e
transparência do BC
Menor custo para os agentes projetarem a inflação futura Maior proporção de agentes racionais Menor taxa de sacrifício para controlar a inflação
