Sobre um Método para Encontrar Soluções Periódicas de Equações Diferenciais Funcionais

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(1)Sobre um Método, para Encontrar Soluções Periódicas de Equações Diferenciais Funcionais KATIA ANDREIA GONÇALVES DE AZEVEDO. Orientador: PROF. DR. Luiz A. DA COSTA LADEIRA. Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas de São Carlos - USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de "Mestre em Ciências - Área: Matemática".. USP - São Carlos Fevereiro de 1998.

(2) "O temor do Senhor é o princípio da Sabedoria, e o conhecimento do Santo é prudência..." Provérbios 9:10. A Deus.

(3) AGRADECIMENTOS. Ao orientador Luiz Augusto da Costa Ladeira, pela paciência, compreensão e consideração que teve em todos os momentos de orientação. À minha família, em especial à minha mãe, por existirem. Ao Mauro, por seu amor e carinho. Aos amigos de graduação e pós-graduação, em especial ao Marcio. A todos os professores do ICMSC-USP e do IGCE-UNESP-Rio Claro aos quais eu devo minha formação, em especial a Sueli M. Tanaka e ao Anizio Perissinoto Junior, o qual me incentivou a prosseguir os estudos. À Capes, pelo apoio financeiro..

(4) ABSTRACT. We are concerned in studying a method introduced by Carvalho to find periodic solutions of retarded functional differential equations and difference equations. The method is analyzed both for real valued and complex valued functions. Applications are given in either cases; in the complex case we analyze the existence of periodic solutions of retarded matrix differential equations..

(5) RESUMO. Estamos interessados em estudar um método para encontrar soluções periódicas de equações diferenciais funcionais com retardamento e de equaçõesdiferenças, apresentado por Carvalho. O método é analisado tanto para funções a valores reais como para funções a valores complexos. Aplicações são feitas em ambos os casos, sendo que através do caso complexo analisamos a existência de soluções periódicas de equações diferencias matriciais com retardamento..

(6) Sumário Introdução 1 Preliminares 1.1 Teoria Básica de Equações Diferenciais Funcionais Retardadas 1.2 Alguma Teoria sobre Sistemas Lineares não Homogêneos de Equações Diferenciais Ordinárias 2 Equações-Diferenças Lineares Autônomas. 1 2 2 4 13. 3 Um Método para Encontrar Soluções Periódicas de Equações 21 Diferenciais Funcionais ( caso real ) 4 Aplicações do Teorema de Carvalho ( caso real ) 4.1 Soluções 3-periódicas de i(t) = —ax(t — 1) 4.2 Soluções 4-periódicas de i(t) = —ots(t — 1) 4.3 Soluções 2-periódicas de uma equação logística 4.4 Soluções 3-periódicas da equação de Wright. 26 26 28 30 34. 5 Um Método para Encontrar Soluções Periódicas de Equações 40 Diferenciais Funcionais (caso complexo) 6 Aplicações do Teorema de Carvalho (caso complexo) 6.1 Equação Escalar 6.2 Equação Matricial 6.2.1 Caso Matriz Diagonal 6.9.9 Caso Matriz Triangular 6.2.3 Caso Matriz Complexa Bibliografia. 42 42 51 52 54 57 60.

(7) Introdução. O estudo das equações diferenciais funcionais com retardamento vem ganhando novos adeptos, visto o grande número de fenômenos biológicos, físicos, econômicos, entre outros, que necessitam do uso de tais equações, para uma modelagem mais realista. Como alguns desses fenômenos são periódicos, procurar por soluções periódicas de equações diferenciais com retardamento torna-se, então, importante. Neste contexto, exibiremos no capítulo 3, um método para encontrar soluções periódicas de tais equações, proposto por Carvalho em [1]. O capítulo 2 é necessário para a demonstração deste método, aqui apresentada. Faremos algumas aplicações às equações diferenciais com retardamento e às equações diferença, no capítulo 4. Para isto, desenvolvemos alguma teoria durante o capítulo 1. Aplicando o método de Carvalho para funções a valores complexos, pretendemos exibir uma outra demonstração para os fatos encontrados em [3]. Analisamos a existência de soluções periódicas para equações da forma:. i(t) = Az(t — 1), onde A é uma das três matrizes 2 x 2, colocadas na forma normal de Jordan:. (i) = [a 0. (ii) = [a o l a]. (iii). [cos ken. onde a ,f3 E C, r E R, ntr < < Estes resultados são discutidos nos capítulos 5 e 6. 1. — sen 191 cos.

(8) Capítulo 1 Preliminares 1.1. Teoria Básica de Equações Diferenciais Funcionais Retardadas. Apresentamos alguns conceitos e resultados básicos, que admitiremos conhecidos, sem nos preocuparmos com maiores detalhes. Demonstrações para estes fatos podem ser encontradas em [11]. Sejam h, H, A,com0<h<oo,O<H<oo,O<A <ooeto >O. Definimos CH =. EC =C([—h,O], W. )/11(pil < H}, onde ¡Hl = sUP iça09)1 -h<8<0. Seja ainda x(t) uma transformação contínua em [to — h,to + A) com valores em R". Para cada t E [to, to + A), definimos xt o elemento de C, dado por x(0) -= x(t O), —h < O < O.. Definição 1.1 Seja f(t,c,o) definida em [0,00) x CH com valores em Rn. A relação. (t) = f (t, x t) é uma equação diferencial funcional com retardamento.. 2. (1.1).

(9) Uma solução de tal equação é uma transformação x(t) contínua no intervalo [to — h,t0 + A) com valores em Ir, diferencidvel em (to — h,to + A) tal que (i) xt E CH, to < t < to + A ±(t) = f(t,xt), to < t < to +A. Se à equação (1.1) adicionarmos uma condição inicial xta = 11, E C H, temos um problema de valor inicial (PVI), cuja solução satisfaz, além das condições (i) e (ii):. Definição 1.2 Dizemos que f(t,(p) é lipschtiziana com relação a cp em [0, r] x CHI, 0< r < co e O <JI < H se existir L = L(7,111) tal que. lf(t,W2) - f(t,w1)1 s. -. onde O <t < .7- e ço , 2 E CH,. Dizemos que f(t,(p) é localmente lipschtiziana com relação a cp em [O, oo) x CH se f(t,(p) for lipschitziana com relação a (p em [O, 7] x CHI , para todo com O < < ooe0<lii < H. Teorema 1.1 ( Existência e unicidade de solução ) Seja f(t,(p) contínua e localmente lipschitziana com relação a cp em [O, oo) x C. Então, dados to > O e 11) E CH, existem A > O e x(t) contínua em [to — h, t0 + A) com valores era R", solução da equação (1.1)corn condição inicial xto = 11). Além do mais, esta solução é única. Observação 1.1 Se no teorema acima apenas considerarmos a continuidade de f(t,(p), garantimos somente a existência de soluções para a equação (1.1). Uma solução de uma equação diferencial com retardamento (EDR) é periódica de período T, ou T-periódica, se x(t+T) = x(t), t E R. Se existir xo E R tal que At, xo) = O, então a solução x(t) = xo de (1.1) é chamada uma solução de equilíbrio ou uma solução trivial. Depois das soluções de equilíbrio, as soluções periódicas são as mais procuradas. Através de teoremas de ponto fixo, podemos garantir a existência e, por vezes, a unicidade de tais soluções periódicas, mas não conseguimos explicitar tais soluções. O teorema que veremos no capítulo 3 permite-nos encontrar uma expressão para soluções periódicas de período inteiro de uma EDR, se tais soluções existirem. 3.

(10) 1.2 Alguma Teoria sobre Sistemas Lineares não Homogêneos de Equações Diferenciais Ordinárias Esta teoria faz-se necessária para a aplicação do método que será apresentado no capítulo 3, à equação de Wright. Para maiores detalhes, ver [7]. Consideremos o seguinte sistema homogêneo ±(t) = A(t)x(t). (1.2). com A(t) uma função matricial contínua n x n em (—oo, oo). Uma matriz X(t), t > O, e uma matriz solução n x n de (1.2) se cada coluna de X(t) satisfaz (1.2). Uma matriz solução fundamental de (1.2) e uma matriz solução , X(t), de (1.2), tal que det X(t) O. É claro que uma matriz fundamental e uma matriz solução cujas n colunas são linearmente independentes. A matriz solução principal de (1.2) no instante inicial to e a matriz fundamental tal que X(to) = I. Fato 1.1 Se X(t) é urna matriz solução de (1.2) , então ou det X(t) todo t ou det X(t) = O para todo t.. O para. Prova: Se existir um número real to tal que X(to) é singular, entdo existe um vetor não nulo c tal que X(to)c = O. Sabemos que se x(t) e y(t) são soluções de (1.2) , então ax(t)+by(t) também é solução de (1.2) , com a,b E IR. Consideremos, então, x(t) = X(t)c uma solução de (1.2) . Temos o PVI {±(t) = A(t)x(t) x(to) = X(to)c = O Como a função x O é, obviamente, solução de (1.2) , com x(to) = O, a unicidade de soluções implica que X(t)c = x(t) =. O, para todo t. Assim, det X(t) = O, para todo t.. 4.

(11) Fato 1.2 Se X0 é uma matriz não singular nxn e se X(t) é uma matriz solução de (1.2) com X(0) := X0, então X(t) é uma matriz fundamental de (1.2) . Prova:Imediata. à Este fato mostra-nos que a determinação de uma matriz fundamental consiste somente em selecionar n vetores iniciais linearmente independentes e encontrar as correspondentes n soluções linearmente independentes de (1.2). Fato 1.3 Se X(t) é qualquer matriz fundamental de (1.2) , então a solução geral de (1.2) é X(t)c, onde c é um vetor arbitrário. Prova: A função x(t) = X(t)c é uma solução de (1.2) para qualquer n-vetor c. Em particular, se to e xo são dados, e tomarmos c = X (to)xo, X(t)c é solução de (1.2) que passa pelo ponto (to, xo). à Fato 1.4 Se X(t) é uma matriz fundamental de (1.2) então a matriz X-1(t) é uma matriz fundamental da equação adjunta (t) = —y(t)A(t). (1.3). onde y é um n-vetor linha, isto é, cada linha de X-I(t) satisfaz (1.3) e det X' (t). 0. Prova: Consideremos. = Y (t) =. Então:. =1>(t) = —X-I(t)k(t)X-1(t) =. 5.

(12) — X-1(t)A(t)X(t)X-1(t) = —X-1(t)A(t)= —Y(t)A(t) =. —(P2(t)A(t) .. —cion(t)A(t). Definição 1.3 Se A(t) é uma função matricial contínua n x n em (—co, co) e D é uma dada classe de funções que contém a função nula, o sistema homogêneo (1.2) é não critico com respeito a D se a única solução de (1.2) que pertence a D é a solução x O. Caso contrário, o sistema (1.2)e' crítico com respeito a D. Consideremos o espaço vetorial PT = {f : (— co , co) limitada e f é T-periódica}, com a norma. IR", fé contínua,. 11f11= suP If(t)1 —oo<t<oo. PT, com a norma definida acima, é um espaço de Banach.. Uma função matricial n x n definida em (—co,co) pertence a PT se cada coluna pertence a PT. Fato 1.5 O sistema (1.2) com A(t) em PT é não crítico com respeito a PT se, e somente se, I — X(T) é não singular, onde X(t), com X(0) = I, é a matriz fundamental de (1.2) . Prova: A solução geral de (1.2) é X(t)xo, onde xo é um vetor constante arbitrário. Afirmamos que se x = x(t) é uma solução de (1.2) e A(t) E 14, então x(t T) também é uma solução de (1.2) . Afirmamos, também, que x(t) é solução T-periódica de (1.2) se, e somente se, x(0) = x(T). De fato, se x(t) é T-periódica é óbvio que x(0) = x(T).Considere, então, o sistema. {±(t) = A(t)x(t) x(0). x(T) Como y(t)= x(t+T) satisfaz este sistema, pela unicidade de soluções, x(t) = y(t) = x(t T). Assim, se tomarmos, x O, x será T-periódica <4. x(0) = x(T) <4. X(0)xo = X(T)xo <4. Ixo = X(t)xo <4. (I — X(T))xo = O <4. I — X(T) é singular. E. 6.

(13) Observação 1.2 Se X(0) = X0 $ 1, consideramos Y (t) = X(t)X-1 (0). Fato 1.6 O sistema (1.3) com A(t) em PT é não crítico com respeito a PT se, e somente se, X-1(T)— I é não singular, com X-1(0) = I. Prova: Mesmo raciocínio do fato anterior. 1 Temos que: osistema (1.2) tem uma solução x em PT 44. (X(T) — I) xo = O ou (1— X(T)) xo = O. osistema (1.3) tem uma solução y em PT 4* yo (1— X-1(T)) = O ou tio (X-1(T)— I) = O. Como X'(T)— I = X-1(T)(I — X(T)), X-1(T) — I e 1— X(T) são as mesmas exceto pela multiplicação de uma matriz não singular. Segue que as dimensões do conjunto de tio tal que yo[X-1(T)— -= O e o conjunto de xo tal que [X(T)— l]xo = O são as mesmas. Portanto, o sistema (1.2) e o sistema (1.3) têm o mesmo número de soluções T-periOdicas linearmente independentes. Consideremos agora o sistema linear não homogêneo X(t) = A(t)x(t). f (t). (1.4). Fato 1.7 Se X(t) é uma matriz fundamental de (1.2) e para qualquer número real 7- E ( —co, co ), designarmos X(t,r), com X(r,r) = I, a matriz principal de (1.2) em r, então toda solução de (1.4) é dada por. x(t) = X(t,r)x(r) f X(t , s) f (s) ds. (1.5). Prova: Para isso, vamos utilizar o método da variação das constantes. Como uma solução de (1.2) é x(t) = X(t)c, com c um n-vetor constante, procuremos por uma solução de (1.4) variando c, isto é, procuremos por x(t)= A(t)x(t)-1- f (t) = X(t) =. (t)tv(t)-1- X(t)W(t) = AX(t)w(t)-1- X(t)W(t). A(t)x(t)-1- f(t) = A(t)x(t)-1- X(t)W(t) 7.

(14) tb(t) = X-1(t)f(t) Integrando de T a t, temos: X 1(t)x(t) =. (r)x(r) + f X-1(s) f (s) ds. x(t) = X(t)[X-1(r)x(r)+ f X-1(s)f(s)ds] Com a definição de X(t,r) dada, afirmamos que X(t,r) = X(t,$)X(s,r), para todo t, s, r E IR. De fato, se considerarmos os dois membros como função de t, tanto o primeiro membro como o segundo satisfazem (1.2) e em t = s coincidem e, então, pela unicidade de soluções segue a igualdade. Portanto, X (t,r) = X (t, s)X (s,r) = X (t, s)X— 1(r, s) = X (t)X -1 (r) X (t, s) = X (t, r)X (r, s) = X (t ,r) X-1 (s ,r) = X (t)X-1(s) e,. e x(t) = X (t, r)x(r) + f X(t, s)f (s) ds 1. Teorema 1.2 ( Alternativa de Fredholm ) Se A está em PT e f um dado elemento de PT, então a equação (1.4) tem uma soluçã.o em PT se, e somente se, 1) .7' y (t) f (t)dt. O. (1.6). para todas as soluções y da equaçã.o adjunta (1.3) , tal que yt, isto é, y transposto, está em PT. Se (1.6) está satisfeita, então o sistema (1.4) tem uma familia de soluções a r-parâmetros em PT, onde r é o número de soluções linearmente independentes de (1.2) em PT . Prova: Como A e f pertencem a PT, x(t) é uma solução de (1.4) que pertence a PT se, e somente se, x(0) = x(T).Pelo fato 1.7, x(t) = X (t, 0)x(0) + f X (t, s) f (s) ds o 8.

(15) e, em t = T,. tT x(T) r- X (11,0)x(0). X (T, s) f(s) ds o. X(0) — X (T , 0)x(0) =. X (T, s) f (s) ds o X (T , s) f(s) ds. (I — X (T ,0))x(0) = o X (T,0)[X-1 (T, O) — I]x(0) =. X (T,$)f (s) ds. Mas, X (T, s) .= X (T,O)X (O, s) = X (T , 0)X-1 (s , O) . Então: X (11 0)[X-1 (11 , O) — 1]X(0) =- X (11 , 0)1 X-1(s, 0)f(s) ds o Corno det X(T,O) O [X-1(T , O) — nx(0) =. X-1 (s, O) f (s) ds o. Se B = X-t(T,0)-1 , b = foT X-1(.5,0) f (s) ds e x(0) = xo, temos Bx o = b. Da álgebra elementar, segue que esta equação matricial tem solução se, e somente se ab = O, para todo vetor linha a tal que aB = O, que é equivalente a a[X-1(T,O) —1] = O. Mas, temos também a seguinte relação: yo[X-1(T, O) — 1] = O se, e somente se, y(t) é solução T-periódica de (1.3) . Assim, o conjunto dos vetores a tais que aB = O, coincide com o conjunto de valores iniciais daquelas soluções y de (1.3) que são T-periódicas, ou seja, a solução y(t) = O) é unta solução T-periódica de (1.3) se, e somente se, aB = O. Concluindo, existe xo e, portanto, solução T-periódica de (1.4) tal que Bxo = b se, e somente se ab = O, isto é, a. O)f (s) ds = O o T y(t)f(t)dt = O 10. Se faT y(t)f(t)dt = O, então a equação (1.4) tem urna solução T-periódica O(t). Se x(t) é qualquer outra solução T-periódica de (1.4) , então 4)(t)— x(t) é solução T-periódica de (1.2) , digamos y(t). Assim, x(t) = OU) — y(t).. 9.

(16) Teorema 1.3 Suponha que A E PT . Então o sistema (1.4)tem uma solução Kf em PT, para toda f em PT se, e somente se, o sistema (1.2) é não crítico com respeito a PT • Além disso, se o sistema (1.2) é não crítico com respeito a PT, então Kf é a única solução de (1.4) em PT e é linear e contínua em f, isto é, K(a f bg) = aK f bK g para todo a,b E IR e f,g E PT e existe uma constante k tal que fi kIf , para toda f E PT. Prova:Se f E P', então a Alternativa de Fredholm implica que (1.4) tem uma solução periódica em PT se, e somente se, fc,r y(t)f(t)dt = O, isto é, fé ortogonal a todas as soluções T-periódicas de (1.3) . Mas, as equações(1.2) e (1.3) têm o mesmo número de soluções linearmente independentes T-periódicas. Existe x E P-r, não trivial, se e somente se, existe y E PT , não trivial e, então, tomando f = , por exemplo, teremos fT o y(s)V(s)ds > O portanto, (1.4) não têm solução em PT. Reciprocamente, se (1.2) é não crítico com respeito a PT, então a única y E PT é. a trivial e, então, foT y(t)f (t)dt = O. A unicidade segue do fato que se (1.2) é não crítico com respeito a PT, a única solução de (1.2) em PT é X E- O. Daí, se existir outra solução z(t) E PT de (1.4) ,(K f)(t)—z(t) é solução de (1.2) e, portanto, (K f)(t) = z(t), para todo t. A linearidade é assim provada: Kf é solução de X(t) = Ax f e Kg é solução de X(t) = Ax g. Prova-se então, que al(f+bKg é solução de ±(t) = Ax af bg, com af bg E Pr. Mas, por outro lado, K(af+bg) é a solução desta última equação. Portanto, a K f bK g K (a f bg). Se X(t,r), com X(r,r) -= 1, é a matriz principal de (1.2), então a função Kf pode ser escrita como (K f)(t) = f [X (t T ,t) — I]-1 X (t,t s) f o De fato, se colocarmos (K f)(0) = xo, então. 10. s) ds.

(17) (K f)(t) = X (t, 0)xo f X (t, s) f (s)ds o Como (K f)(t) = (K f)(t T), t+T X (t,O)X0 + f X (t,s)f (s) = X (t T,O)xo. o. f o. X (t T, s) f (s)ds. X (t, 0)xo f X (t, s) f (s) ds = X (t T,t)X(t,0)xo o. t+T + f X (t + T , s) f (s) ds f X(t T , s) As) ds. o. [1— X (t T,t)]X(t,0)xo = f [X (t T,t)X(t,$) — X (t, s)] f (s)ds o t+T +. T,t)X(t,$)f (s)ds. X ei. t+T. [I— X (t-FT,t)1X(t,0)xo. 1 t, — X (t+T , t)].1 X (t, s) f (s) ds+ X (t+T , t). J. X ( s)j. t+T X (t 0)X0 = — f X (t,s) f (s) o. X (t, s) f (s) ds. — X(t-FT,t)[-' X (t+T , t) ii. Então t+T. 1 X (t, s) f (s) ds [1— X (t T,t)[-1 X (t T, t). ,. (K f)(t) = —. X (t s) f (s) ds. o. fo. X (t, s) As) ds. t+T. (K f)(t) = [1— X (t T, t)]-1 X (t T, t) j Fazendo a mudança de variável s = t 11. T. X (t, s) (s)ds.

(18) T,t)]-1X(t +T,t). (Kf)(t) = [1— X(t. Jo. X(t,t + 7)f(t. r) dr. Assim,. (Kf)(t). X (t, t + r)f(t r) dr. — X (t + T, t))] 1. T,. = [X-I(t. o. (K f)(t) = [X-1 (t + T, t) — I]' .1 X (t,t + 7)f (t + T) dr O [X-1(t + T, t) — Ir X (t,t + 7)f (t + T) dr. (K f)(t) =. Agora, usando a norma em PT jd definida, sup ¡Kf(t)i = sup 1Kf(t)1 IIKfM = -00<1<00 o<tc fT. [X-1(t T , t) — 1]-1 X (t, t + 7)f (t +. 11K f 11 = sup 0<t<T. dTi. JQ. sup I[X-1(t T, t) — 1]-1 X (t,t + 7) f (t + 7)1 dr o<tc o 5_ sup I[X-1(t T , t) — I]' X (t,t + 7)f (t + 7)1T 0<t,r<T. = sup if(t. 7)1 sup I[X-1(t. 0<t ,r. T,t)— 1-1 X(t,t +7)1T. 0<tir. = IlfIlk onde = sup 1[X-1(t. T,t)—. X(t,t + r)IT. 0<t,r. Portanto, K : PT —} PT. é. uma aplicação linear e continua, e é dada por. (K f)(t) =(t + T,t) — /1-I X(t, t + s)f (t + s)ds o. 12.

(19) Capítulo 2 Equações-Diferenças Lineares Autônomas Uma equação-diferença linear autônoma é uma equação da forma:. X(t) = AX(t — a). (2.1). com a E R, a > O, X(t) E R' (ou Ck ), k um inteiro positivo, A uma matriz real (ou complexa) k x k. Sem perda de generalidade, para os nossos propósitos, tomaremos a = 1 ou seja,. X(t) = AX(t —1). (2.2). A equação 2.2 é chamada linear porque suas soluções obedecem a regra da superposição. Proposição 2.1 (Regra da Superposição) Se X1(t) e X2(t) são soluções de (2.2) , então X(t) = ai (t)X1(t)-1- ce 2(t)X2(t) R (ou C) transformações 1-periódicas.. é solução de (2.2) , com ai (t), ce2(t) : R Prova: Imediata.. Observamos que nas equações-diferenças lineares as transformações escalares 1-periódicas ocupam o papel desempenhado pelas constantes em equações diferenciais lineares. Baseados neste fato, introduzimos a seguinte definição.. 13.

(20) Definição 2.1 Sejam Xi(t), X2(t), , Xn(t), n E Z, n ?_ 1, transformações. Dizemos que Xl(t), X2 (t),.. , Xn(t) são linearmente dependentes sobre funções 1-periódicas num intervalo I, ou simplesmente 1.d., se existirem um conjunto J C I de medida não nula e transformações escalares ai(t),a2(t),.. .,a„(t), 1periódicas tais que. E ic,;(t)12 > O em J. e. E a(i)X(t) = O q.t.p. em / J=1. J=1. Se as únicas transformações al(t),a2(t), • • • ,an(t) que satisfazem E; =/ cr(t)X5(t) = O forem as nulas q.t.p. em /, então dizemos que Xl(t), X2(t),. • , X(t) são linearmente independentes em I sobre funções 1-periódicas, ou simplesmente Li. Lema 2.1 Sejam X1(t), X2(t), • • • , Xtc-fa(t) soluções de (2.2) ,definidas para t > to. Então Xl(t), X2(t), • • • , Xk+1(t) são linearmente dependentes em [t0, co). Prova: Para cada t E [to, to -E 1), existem al(i), a2(t), • • • , ak+1(t), escalares tais que. h+,. h+,. J=1. J=1. EIcei(t)12 > 0 e Ea(t)X5(t) = O. Definimos ai(,t -E 1) := ai(t), para t E [to, to. 1) e. E: 1.11 cej(t 1)X3(t +1) =E];11.11 (t)AX5(t) = A Ei,t; a1(t)X1(t) = O Portanto, Ettil ai(t)Xi(t) = O para t E [to, to -E 2). Repetindo o processo, temos que X1(t),X2(t),... , Xk +1(t) são linearmente dependentes em [to, co). 1 Lema 2.2 Sejam X1(t),X2(t),... , X(t) soluções linearmente independentes de (2.2) , definidas para t > to. Então, qualquer outra solução se escreve unicamente. 14.

(21) da forma X (t) = Eai(t).X. j(t) para t > to, onde c rj(t) : R —> R (ou C) s ão transformações 1-periódicas. Prova:Temos que q.t.p. em [to, t0+1), existem escalares únicos al (t), a2(t), • • • , ak(t) tais que X(t) =. ce • (t). X (t). Definimos cri(t +1) := ai(t), para t. [4h t0 4- 1).. Dessa forma, ai(t) está definida para t E [to, to+2) e, pela proposição (2.1) , Y (t) = E ai(t)Xj(t) i=1 para t E [to, to 4- 2) é solução de (2.2) . Como Y (t) e X(t) coincidem em [t0,20 + 1), pela unicidade de solução de uma equação diferença, tomando como função inicial X (t), em [to, to +1) , temos que Y (t) = X (t) em [to, to + 2). Assim, X (t) = Ecei(t)Xi(t) para t E [to,to 4- 2). Repetindo o processo e observando que a solução X (t), para nossos objetivos, é considerada contínua, concluímos a demonstração do lema. e. Lema 2.3 Seja b um número real e v = Rev iIrnv autovetor associado ao autovalor ebi de A. Então .X1(t) = Re v cos b(t 1) — I rn v senb(t 4- 1) X2 (t) = Re v sen b(t + 1) + I rn v cos b(t + 1) 15.

(22) são soluções reais de (2.2) . Além disso, X1(t) e X2(t) são 1.i., quando b kff No caso em que b = kff, (t) e X2(t) são 1.d. (1.i.), se Re v e Irrtv forem I.d. (H.). Prova: Provemos, primeiramente, que X1(t) e X2(t) são soluções de (2.2) . AX1(t — 1) = A(Re v cos bt — Im v sen bt) = ARe v cos bt — A Im v sen bt Agora, Av = ebitl que, desenvolvendo, nos dá as igualdades: ARe v = cosi Re v — sen b /rn v Alui v = cos b I n-t v. sen b Re v. Daí, AXi(t — 1) = (cos b Re v — sen b /m v) cos bt — (cos b /rn v sen b Re v) sen bt = (cos b cos bt — sen b sen bt)Re v — (sen b cos bt + cos b sen bt)/m v = cos b(t + 1)Re v — sen b(t + 1)/m v = (t) Análogo para X2(t). Consideremos, então, o caso em que b = kff . Temos que cos bt e sen bt são 1.d., pois sen kfft = tan kfft cos kfft = a(t) cos kff (t), com a(t) -= tan kfft 1-periódica. Podemos escrever XI (t) e X2(t) como: X (t) = Re v cos kff (t -I- 1) — /m vsen kff(t + 1) v senkrt cos kff = Re v cos kfft cos kff — = Re v cos kfft cos kff — /m v a(t) cos krt cos kff cos kfft cos kff(Re v — /n2 v a(t)). 16.

(23) 3C2(t) = = = =. Re v sen kir(i 1) /m v cos kir(t 1) Re v sen kirt cos kir /m v cos kirt cos kir Re v a(i) cos kirt cos kir /m v cos kirt cos kir cos kirt cos kir(Re v a(t) /m v). Se Rev e Imv são 1.d., então: ou Rev = c1mv, c E IR e /m v O, ou Imv=dRev, d E 111 e Rev O. No primeiro caso, temos. X1(i) = cos kirt cos kir(c — a(t))1mv X2(t) = cos kirt cos kir(c a(t) 1)Imv Portanto, X2(t) —. (ca(t) 1). Xi(t). e, assim, X1(i) e X2(t) são 1.d.. Análogo para o segundo caso. Agora, se Re v e /m v são H., então provemos que Xi(t) e 3(2(1) são 1.i.. Suponhamos que 51(t)X1(t)-1- 82(t)X2(t) = O. (t)[cos kirt cos kir(Re v — a(t) /m v)I (52(t)[cos kirt cos kir(Rev a(t)+ 1m v)] = O cos kirt cos kirkbi. + 52 (t)a(t)) Re v (62(t) — 61(0 ce(i)) I m = O, dai,. [81(i) + 82(1) oe(t)] Re v + [52(1) — (51(t) a(t)]/m v = O Como estamos supondo Re v e Imv Li., (t). 62 (t) a(t) = O. 82(t) - (t)a(i) = O e, portanto, 81(t) = (5-2(2). O, q.t.p. 17.

(24) Suponhamos que b k7r. Afirmamos que cosbt e sen bt são 1.i. De fato. se (5. i(i) cos bt. 2(t) sen bt = O, então :. 61(i + 1) cos b(t + 1) + 2(t + 1) sen b(t + 1) = O 82(t)(sen bi cos b cos bt sen b) + i(t)(cos bt cos b — sen bt seri b) = O [51(t) cos b + 82(0 sen b] cos bt + [62(1) cos b — 81(t) sen sen bt = O Temos, então, o seguinte sistema: 81(t) 1 cos btl 62(1) [51(t) cos b (52(t) sen b 62(t) cos b — (t) sen [sen btj = u. Portanto, 6162 cos b — senb — 51452 cos b — 4sen b = O, o que implica, 51(0 = 82(1) = O. Mostremos que X1(t) e X2(t) são Li.. Se i(t). X i(t) + 52(t)X2(t) = O. t(t)[Re v cosb(t+1)— I m v senb(t+1)]+82(t)[Re v sen b(t+1)+ I rn v cos b(t+1)] = O [81(t) Re v + (52(t) I m I)] cos b(t + 1) + [82(t) Re v — 8i(t) I m v] senb(t + 1) = O. Como cos bt e sen bt são Li., 81(t)Rev 82(t)/mv = O 82(t)Rev — 81(t)/m v = O. Das igualdades acima, se Re v e Im v forem 1.i.. é imediato. Se Rei' e I rn v forem I.d., consideramos ou Re v = c Imv, cE R e /mv O, ou Im v = d Re v. d E e Re v O, e segue o resultado.. 18.

(25) Lema 2.4 Se b = 2/k` então as funções linearmente independentes.. 1, e bit, e2bit,. e(k—i)bit. são k funções. Prova:Mostremos que tais funções são li. Suponhamos que E j.k.: ai(t)e t = 0, qtp em t. Então, E3.k :01 aj(t)eibi(t+s) = 0, para s =1,... ,k —1. Podemos escrever. B=. 1. e bit. 1. ebi(t+i). 1. e e2 2bi(t+i). e(k—i)bit e(k-1)bi(t-1-1). ebi(t+(k—i)) e2bi(t+(k-1)). e C = [ao(t) ai(t). ak_i(t)]. e, então, BC = 0. 0. De fato, temos que detB = ebit.e 2bit. Mostremos que detB. e(k—obit.det m. onde 1. 1. 1. ebi. e2bi. e(k—i)bi. ,(k—i)bi. e2(k—i)bi. e(k-1)(k—i)bi. 1. M. 1. é conhecida como Matriz de Vandermonde e tem determinante não nulo. Assim, detB O e ao(t) = O ,ai(t) = O ,ak _i(t) = O, q.t.p. em t. Portanto, 1, et, e2bit,. e(k-1)bit. são funções linearmente independentes. E. e(k-1)bi(t+i)vic_i Lema 2.5 Se b = 727,1, então as funções 1v0, ebi(t+i)vi, e2bi(t+1)v2, são k soluções linearmente independentes de (2.2) , onde cada vi é um autovetor de A associado ao autovalor ei2fi, j = 0,1,... ,k —1.. Prova: Ae3bi(t4-1-1)v• = Av.. jbit. e vjejbit — vjeibi(t+i). 19.

(26) Mostremos, então, que tais soluções são li. Suponhamos que Ekj=0 -1 a•(t)eibi(t+I)v i = O, q.t.p. em t. 2 Isto é, ao(t)vo. cr1(t)ebi(t+ 1)v i. • + ak-i(t)e(k-I)bi(t+i)•vk-i = O. Como os autovetores vo,v i,... ,vk _i são associados a autovalores diferentes, esses são linearmente independentes. Assim, ao(t) = O ,ai(t) = O , ,ak _i (t) = O, q.t.p. em t. Portanto, são soluções linearmente independentes.. 20.

(27) Capitulo 3 Um Método para Encontrar Soluções Periódicas de Equações Diferenciais Funcionais ( caso real ) O teorema que apresentaremos foi proposto por Carvalho em [11. Uma das finalidades deste teorema é o estudo de soluções periódicas de equaçõeá diferenciais retardadas. Teorema 3.1 ( Teorema de Carvalho) Seja k um inteiro positivo e x(t) : R —> R uma transformação k-periódica. Então: se k é par, k =- 2n, 72 > -1 x(t)= ao(t)+ a(t) cos 7rt. aj(t) cos ± 27 t b1(t) sen ± 27 t k k j=1. se k é ímpar, k = 2m + 1, k > 77. x(t) = ao(t)+. 27r ai(t) cos k -F b(t)sen k. j=1. onde ai(t),ki(t) :R —>ILI são transformações 1-periódicas. Prova: A equação que define k-periodicidade é x(t — k) = x(t) 21.

(28) Definimos. X(t). com x(t) = x 1 (t), x2(t) = xtet — 1), x3(t) = x2(t —1),...,xk(t) =x k _i(t —1) e. 0 0 0 ... 01 1 0 0 ... 00 A = 0 1 0 ... 00 0 0 0 ... 1 0. Então x(t — k) = x(t) <=> X(t)= AX(t —1). De fato,. 0 0 0 ... 01 1 0 0 ... 00 ... 00 0 1. xk(t — (t —. _0 O O ... 1 O. xk-1 (t . —. donde x1(t) = xk(t —1) ,x2(t) = (t-1) , x3(t) = x 2(t —1) , e, portanto, x(t) = x i(t) = x k(t —1) = x k _i(t — 2) = • • • =. (t —1) ,xk(t) = k) = x(t — k). —. Assim, é suficiente estudarmos a equação (2.2) , com X(t) e A dadas na forma acima. Para isso, precisamos conhecer os autovalores de A, e aplicarmos os lemas do capitulo anterior.. Lema 3.1 Todos os autovalores de A são simples: eles são as raizes k-esimas da unidade. Prova: Temos det(A — IA) -= O <=5. (-1)k(-1 Àk) = O, ou seja, Ak = 1. 22.

(29) Se k é par, k = 2n, podemos escrever os autovalores de A da seguinte forma: = —1, Ai = cos. Ao = 1,. Se k é ímpar, com m = guinte maneira: Ao = 1, Ai = cos. 27rj. 27rj. i sen —k—, e 4, 3 = 1,. ,n — 1.. y, podemos escrever os autovalores de A da se27rj. 27rj. .. i sen —, e À • 3 = 1, . . . ,m. k. Suponhamos que k seja par. Sejam vo, v1, , v„_ i, ?3j,.., ún-1, os autovetores associados aos autovalores Ao, AI, • • • 5 4-15 An,3k1, • • • 5 Ãn-1 • ,v n_i,v n. Pelo lema 2.3,. Vamos considerar somente os autovetores existem soluções X; (t) = Re v2 cos. 27rj. (t. 1) —. v-sen. (t) = Re v sen 27rj + 1) /m vi cos j = O, 1,. 27rj. k. (t + 1),. 27rj. + 1),. , n.. Para j= O e j = n, temos b = k7r, com k=0 ek= 1; como Re v0 e Im vo são 1.d., ,v(,) e n são 1.d.; análogo para Xr e X. Mas, para j = 1,... ,n — 1, X; e X são 1.i.. Mostremos que XV,Xr , X; e 4i são 1.i., para j = 1,... ,n —1. Para isso, basta mostrarmos que {1, cos rt , cos -lit,sen 21k 2Pt}, j = 1, , n1 é 1.i., pois sen 7rt = fon 7rt cos7rt. Agrupamos em termos de senos e cossenos o somatório das funções X° , X; e 4i multiplicadas por funções 1-periódicas e concluímos que tais funções são nulas quase sempre. Façamos. :7=1. 27rj 27rj [a3(t) cos —t () Mi)sen k. ao(t) a(t) cos 7rt = O. com ao(t), an(t), aj(t), f3j(t) transformações 1-periódicas. Assim,. 23.

(30) n-1. [a(t) cos bjt + ,3i(t)sen bit]. E. n-1. ao(t) 4- a(t) cos7rt = O. eibjt — e—ibjt +f33(t) 2i. eibjt [a(t) 2. E j=1. r[ n-1. ai(t). ai(t)— i(t)et 2 j=1. 2. ao(t) crn(t) cos 7rt = O. i(t)e_ ibst]. ao(t). a(t) cos irt = O. que é equivalente a: 2n-1. E c,(t)eib3` = j=0. onde se 3 = O,. {ao(t) cX3(t)-2)35(t). c3(t) =. se 1 < 3 < n —1,. 2 cr,z(t). +i tan7rt (.2k--3(t)+i0k-i(t) 2. se 3 = n, se n +1 <3 < 2n — 1. pois, e —ibit 1 < j < n — 1 é equivalente a eib(k-At , com n + 1 < k — j < 2n — 1 Pelo lema 2.4, c3(t) = O, q.t.p. em t, para todo j. Então, concluímos que c o(t), an(t), ai(t), f3i(t) são nulas q.t.p. em t. Então, pelo lema 2.2, qualquer outra solução de (2.2)e escrita unicamente como combinação dessas soluções 1.i., isto é, existem co(t),cn(t),c1(t),c(t), _1(t), en2 _ 1(t), 1-periódicas tais que X (t) = co(t) Revo cn(t)[Rev n cos (t + 1) — I mv„ seri 7r(t -I- 1)] n-1. + E cil (t)[Rev. 21 (t + 1)] cos --(t+ 1) — /invi sen 27. 1=1 ri - I. j —(t + 1) + frnv cos 271"j(t — + 1)] (:,(t)[Rev sen 21r k k. .1= 1. 24.

(31) Reagrupando os termos em seno e cosseno e, novamente, observando que sen 7rt = tan Irt cos ri, temos n-1. X(i) = Ao(t). + A n(t) cos 7r(t + 1)+E. Ai(t)cos. j. (t + 1) + B (t) sen. 27rj (t + 1). 3=1. são transformações vetoriais 1-periódicas. onde A'3-s e ffs 3 Por outro lado, como X(t) satisfaz a equação (2.2), n-1. X(t) = AA0(t). AAn(t) cos 7rt + E j=1. 27rj. AA,(t)cos k—t. 27rj + AB3(t)sen — t k. E pela disposição dos elementos de A e X(t), temos que n-1. x(t) = ao(t). a(t) cos 7rt. 27rj. Ea i(t) cos . 1T; t. 27rj + b(t) sen --k—t. onde as e Wis são as últimas coordenadas dos vetores AA'is e A ffis, respectivamente. Para k ímpar, o raciocínio é análogo.. 25.

(32) Capítulo 4 Aplicações do Teorema de Carvalho ( caso real ) 4.1. Soluções 3-periódicas de ±(t) = —ax(t —1) Consideremos a seguinte equação: (t) = —ax(t — 1), a. (4.1). O. Vamos procurar por soluções 3-periódicas dessa equação. Pelo teorema 3.1, se tal solução existir, ela é escrita da seguinte forma: x(t) = ao(t) -I- a i (t) cos ---t + b1(t) sen27r— t 3 3 onde ao, a h b1 são funções 1-periódicas. Derivando esta expressão temos:. X(t) = ào(t)+ [ai(t). Lir,b1(01cos 3 3. [61(1 .. ). rt 21r ai(t)lsen3. 3. Por outro lado, substituindo a expressão para x(t) em (4.1) obtemos: —1 27r 1 — X(t)= —ckao(t)+cr[—ai(t)+ —bat)lcos —t — a[-bi(t)+ — 9 ai(tAsen27rt :3 2 3. 26.

(33) Igualando as duas expressões obtidas para ±(t), temos: 27r la 27r i 2abd cos 3—t — bi (t) — ar(t) —— 4W+ aao(t) + [iti (t) + 3 1 lã 27r 27r 2 aai] sen 3— t = O +[b1(t) — 3— ai(t) — cyi(t) + — Observando que {1, cos irt,sen tt} são transformações 1.i., temos. ito(t) = —aao(t) (t) +(c:x — )14(0 ¡ai (t) = — -2±r)cti (t) + labi(t) { (t) = —( Da primeira equação, temos que ao = O, pois deve ser 1-peri6dica e a O. Resta-nos o sistema linear: a. 27r (a ----)l 2. 2. ar) \ 2. 3 /. 2. a1-1. 1 Li — tr) e. Os autovalores da matriz de coeficientes são À =- +. Qualquer solução [ai] deste sistema e escrita como combinação linear de bi (ver, por exemplo, em [5 ) NA. 27r la 27r x(t) = ettt[vi cos(-Ta — --3—)t — v2 sen(Ta — T)t] e lã.. 2t. y(t) = 62. [v2. cos(-Ta —. 27r. lã.. vi seneTa —. 27r. onde v1 e v2 são parte real e imaginária do autovetor associado ao autovalor À. Para que (ti e b1 sejam periódicas, devemos ter = O, o que nos dá a = O, contrariando a hipótese sobre a. Portanto, não existem soluções 3-periódicas de (4.1), não triviais.. 27.

(34) 4.2 Soluções 4-periódicas de ±(t) = —cex(t — 1) Considerando a mesma equação do exemplo anterior, equação (4.1), vamos procurar por soluções 4-periódicas. Pelo teorema 3.1 , se existir tal solução, ela terá a forma: x (t) = ao(t). 12-rt + bi(t) sen a2(t) cos 7rt + al (t) cos -. (4.2). Derivando esta expressão, temos. ±(t) = áo(t) + [à2(t) — a2(t)7r tan 7rt] cos 7rt +. [ai(t) bi(t);1 cos. + [b1(t) —. sen. Por outro lado, x(t) satisfaz a equação (4.1), isto é, X(t) = —a[ao(t) — a2(t) cos 7rt + (t) sen -12-r t — bi(t)cos Igualando as expressões para. ho(t) + aao(t) + [4i2(t) — a2(t)7r tan 7rt — aa2(t)] cos 7rt + [ái(t) +. — abi(t)1 cos r-;t [b1(t) — (t)1r + aai(t)lsen. = O. Observando que {1, cos Irt, cos t, sen frrt} e 1.i., temos o seguinte sistema: (i)= —aao(t). ál (t) = (a — )b1 (t) à2(t) = (a + 77" t a n 7rt)a2(t) bi(t) = —(a — pai(t) r O, pelo Analisando o sistema, da primeira equação concluímos que ao mesmo raciocínio do exemplo anterior. Da terceira equação concluímos que a2(t) = O, q.t.p. em t. De fato, tan rt. a2(t) =. 28. dt.

(35) com c E R. Como queremos a2(t) 1-periódica, devemos ter c = O ou a = O. Resta-nos:. { iti(t) = (a — 'f)51(t) = —(a Uadt) O sistema torna-se linear, cuja matriz de coeficientes é. A =. 1—(a —. (a --O. Se a = -;-, então ai(t) e bi(t) são constantes, digamos a e b. Logo, as soluções da equação (4.1) para a = 5. são dadas por: x(t) = a cos —t b sen — t 2 2 Supondo que a frr, temos que os autovalores da matriz A dada acima são À = +i(a — U. Associado ao autovalor À = i(a — frr) temos o autovetor v. 1] [o i [0. que nos fornece as soluções: i)t ai(t) = a cos(a — lr. b sen(a — kr)t. b1(t) = b cos(a — kr)t — a sen(a — com a,b E R. Novamente, como queremos ai(i) e b1(t) 1-periódicas, devemos ter a— ?ir .=21).r. 2/rn, ri E Z, isto é, a = (4n+ Substituindo as expressões obtidas em (4.2) temos: x(t) = a cos aí b sen at para a =. (471-1-1)1r. 2. n E Z.. 29.

(36) 4.3. Soluções 2-periódicas de uma equação logística. Como a transformação x(t) do teorema 3.1 não e, necessariamente, uma solução de uma EDR, e apenas uma transformação periódica, podemos aplicá-lo a outras situações, como veremos neste exemplo. Consideremos a seguinte equação, originada de uma equação logística,. x(t) = x(t — 1)6 41-r(t-1)3 ,. (4.3). É fácil ver que as únicas funções constantes que são soluções dessa equação são xo(t) O e xi(t) a 1. Procuremos por soluções 2-peri6dicas desta equação. Pelo teorema 3.1:. b(t) cos Irt. x(t) = a(t). (4.4). com a(t) e b(t) transformações 1-peri6dicas. Substituindo (4.4) em (4.3), obtemos: a(t). b(t) cos 7r t = [a(t) — b(t) cos wil et41-a(t)+t(ncosTil. Trocando t por t. 1, vem:. a(t) — b(t) cos 7rt = [a(t). b(t) cos rtle[1-a(t)-b(`)08il. Multiplicando estas duas igualdades membro a membro, temos: [a2(t) — b2(t) cos2 7rt1[1 — e2t41-“(t))1 = que nos fornece ou a(t) = b(t) = O, q.t.p. em t ( e portanto x = O ), pois {1, cos -ift} são 1.i., ou a(t) -a 1. Assim, qualquer solução não trivial terá a forma x(t) = 1 H- b(t)cos 7rt Voltando à equação (4.3): [1. b(t) cos 7rtl = [1 — b(t) cos 7r tlemb(t) cont. Se fizermos b(t) cos7rt = y essa equação pode ser escrita como: 30.

(37) 1 + y = (1 — ou seja: (1 + y) —. 1, / 1 y = — Pensando em y e g como variáveis relacionadas, g(y) = g : (-1,1) —> IR por. g(y) -. definamos. lnelS) se y 0, 2 se y = 0. Usando as séries de Maclaurin de ln(1+ y) e ln(1— y), podemos representar g pela série de potências g(y) = 2(1+. 4- • • • ) = 2. E. 1. <. y < 1.. n=0. Esta relação mostra que g é uma função analítica, par, é estritamente decrescente em (-1,0) e estritamente crescente em (0,1); portanto, g tem um mínimo em y = 0. Assim, se g < 2 (= g(0)) não existe y tal que g(y) = g, o que significa que (4.3) não tem soluções 2-periódicas não triviais. Para cada g > 2 existem dois valores ±y„ tais que g(±y/h) = g. Portanto, cada g > 2 dá origem a infinitas soluções periódicas de (4.3).. 31.

(38) Gráfico de y por p,. g(y). —1. 0.5. —0.5. 1. Uma classe de tais soluções é obtida do seguinte modo: sejam A, B c [0,1) disjuntos com Au B = [0,1); a função. x(t)=. 1 + y, se t E A + 2n 1 - yi, se t E B + 2n 1 — yi, se t E A + 2n + 1 setEB+2n+1. é uma solução 2-peri6dica de 4.3).. 32.

(39) Gráfico de uma solução 2-periódica da equação (4.3). 1+y. 1-y. Outras soluções podem ser obtidas alterando-se x(t) em alguns pontos. Por exemplo, a função se t z(t) = {x(t) se t O. 1 2 + + n. é uma outra solução de (4.3). Estas observações mostram que p = 2 é um ponto de bifurcação de soluções 2-periódicas de (4.3) 33.

(40) 4.4 Soluções 3-periódicas da equação de Wright Vamos apresentar uma aplicação do teorema 3.1 à equação de Wright ±(t) =—ax(t — 1)[1 + x(t)], a $0. (4.5). Procuremos por soluções 3-peri6dicas, não triviais, desta equação. Se existir, pelo teorema 3.1, se escreve na forma: 27r 27r x(t) = ao(t) + ai (t) cos it + (t) sen. (4.6). Por um lado, derivando esta expressão temos. X(t) = ào(t) +. (t) + 2.r bi(t)] cos .2 krt + [bi(t) —. ai (t)] sen 7.r t. (4.7). Por outro lado, substituindo (4.6) em (4.5) e fazendo algumas manipulações algébricas e trigonométricas, temos. 7 11(a + e)] +. 1 + -cí{a1(1 — ao) + Vãbi (1 + ao) + —[(ai + Vãbi )2 — 41)] cos 27rt + 2 2 27r Vã Vã 4 + — kb1 + —a1)2 — —41 sen 27rt}} cos —t + 3 2 3 3 , 2 4 2 , Vã„, L [bi (1 — ao) — Vaai (1 + ao) — TI(01 + — air — +aj] cos 27rt + 3 3 2 127r ri + Vãb1)2 — 4bfi sen 27rt}} sen +. Igualando as duas últimas expressões e observando que {1, cos tt, sen são IA., temos o seguinte sistema:. 34.

(41) ito(t) = a{—ao — 4 + },(a? + 14)} ál (t) = — Tbi + --{ ai (1 —ao) + /b1 (1 -E- ao) -E1 4 Va Va + —Uai + Nah )2 — 414] cos 27rt + —[(bi + — al)2 — —4 sen 2irt} 2 3 3 • L a bi (t) = Tal + .-{b1(1 — ao) — Vaa1(1 -E- ao) -E1 4 VN 4 — Rbi + — ai)2 — -4cos 27rt + —R ai + Vãbi)2 — 414] sen 27rt} 2 2 3 3 Este sistema pode ser escrito da seguinte forma: ràol =. Oa 2 O —(Ax 2 — 2') 3. 61. O 1 ra01 (ce — tr) a. F(t, o,ai, bi). a 2. onde 1 —24 + 12-(c4 + 14) O O 1 r sen 27rt cos 27rt F(t, ao, a1, b1) = — —ai ao -E- /b1 ao 23[(b1 Pal)2 — lafi 2 —bi ao — Vacila° — cos 27rt sen 2'7rt Wat + N/51)1)2 —4b] a. ou ainda, O O í-2a+(a+bfl 21 F(t,ao, ai, bi) = a 1 —ai ao + Valha° sen 27rt cos 2irtrr \) 2 3 2 +ai )2 L2 —biao — Vacil a() — cos 27rt sen 27rtVáS, k 2 ) 1'1 Se supormos ao constante, o sistema se reduz a: (a(1 + ao) — 2± Tr ) Fall ao) Lbi J (Ax(1 + ao) — 3 1(1 — ao) rbil = [— j a sen 27rt c,os 27rt1 W[(b1 — 1 cos 27rt sen 27rti [(ai 41)1)2 — 4w.] 2 2 1(1 —. 35.

(42) satisfazendo a condição:. 2 ao -I- ao2 = 1—(a, 4. \ b2i.) .. (4.8). Suponhamos, então, que ai e 61 são constantes. Então:. ?i(1 — ao)ai 2. [Ta(1 + ao) —. 27r. a. sen 27rt TRbi + 7(4)2 — ri] + c—r cos 27rt 1[(a1 -s,/b1)2 — 4e] = O 2 2. — [—a(1 -I- ao) — 3 ]ai + -ai (1 — ao)bi — cos 27d L[(bi \15.a.1)2 — 4 —c4] 2 3 3 2 2 2 1 c—r sen 27rt —[(ai + N/N)2 —4b] = O 2 2 Como estas igualdades valem para todo t e {1, sen 27d, cos 27rt} são funções linearmente independentes ( no sentido da Álgebra Linear ), segue que: — ao)ai. —3- =. [2 a(1 + ao) — 271-161. r•IN , , 27r, —j—aG + ao) — —jai 2 3. cx„ 2. — ao)bi = O. 1 4= O (61 + 7 ±a1)2 — ± (ai +3 -sãb1)2 —34e = O Estas equações fornecem ai = bi = O. Voltando em (4.8), concluímos que ao = —1 ou ao = O. Portanto, se ao, ai e bi forem constantes, as soluções periódicas são as triviais, ou seja, x E —1 ou x O. fé constante }. A dimensão Denominaremos C* ={f : (—oo,00) de C* é finita e, como Pi é um espaço vetorial normado, portanto localmente convexo, C* é complementável em P1, isto é, existe PÇ fechado tal que 36.

(43) ec.. = (veja, por exemplo, [12D.. Como PÇ é fechado, é um espaço de Banach com a norma induzida por P1. Voltando ao sistema inicial, se chamarmos. x(t) = [641 aol. podemos escrever o sistema da seguinte forma:. i(t) = Ax(t)+ F(t,x(t)). (4.9). onde —a A = [0. O. O. a. (3j a k 2 a. —( 3&CE. 2. — Lr') 3. 3). ti. e F é dada como anteriormente. Observemos que F é trigonométrica em t e polinomial em x. Portanto, F é Cc°. Logo, F é localmente lipschitziana em (t,x), em particular em x. E mais, como queremos ao,ai., b1 1-peri6dicas, segue que F(t, x(t))é também 1-periódica, isto é, F(t + 1,x(t + 1)) = F(t, x(t)). Pelo exemplo 4.1, a única solução 1-periódica de ± = Ax é a trivial, logo, o sistema e crítico com respeito a P1, em particular, com respeito a Pr. Nós procuramos por uma solução x = (ao, ai, bi) que satisfaça (4.9), com ao, al, b1 1-periódicas Para isso, vamos olhar para o problema da seguinte forma, mais geral:. X(t) = Ax(t) 37. F(t, (t)). (4.10).

(44) onde q5: R R' é tomada no conjunto PÇ. Fazendo adaptações ao teorema 1.3, temos que o sistema (4.10), ou ainda,. (t) = Ax(t). h(t). (4.11). onde h(t) = F(t,q5(t)) tem uma única solução 1-peri6dica. (CA —. (K h)(t) =. e- As h(t s) ds. (4.12). o Assim, para cada q5 E PÇ, existe uma única solução de (4.10), 1-periódica, dada por. _ ly-te- Av (i 8,tp6(t s)) ds. (T)@) = K (F (t, 4)(0) =o. Vamos mostrar que T : P1 tem no máximo um ponto fixo em uma bola B de raio finito centrada na origem. Para qualquer a> 0, existe H = H(a) tal que i(e- A _ jr).-16.-A5 1. H,. para .s E [0,1], pois. Ke-A —. — lyilicAsi 5_ HI(a)le-As < Hi(a)eH2(a) = H (a). Seja L a constante de Lipschitz nesta bola B. Escolha M > O e introduza uma nova e equivalente norma em Pr , dada por 11(1511= sup{em(' 1)lq5(s)1,s E [0,1]} chamada norma de Bielecki. Então RTA(t) — Ritme! < HL J 195(t + s) — IP@ s)Ids e-m(`+'-I) ds o Multiplicando ambos os membros por em('1), temos: 38.

(45) 1. — (TI )M' H Llick — f e—ms ia (C M —1). = Inick — (1 — e— m) = Mick. 011[. H Llick —. m 1. tbilk. Portanto, H L IITch —. II. —. lI. Tomando M grande, T é uma contração em B. Pelo teorema do ponto fixo de Banach ( versão fraca), T tem no máximo um ponto fixo nesta bola de centro na origem, isto é, Tçb = (75, para(75 E B. Assim, para cada(kW E PÇ, a única solução de (4.10) é (7' (k)(t) , isto é, (2y6)(t) = A(Ty6)(t)-1- F(t, y6(t)) e, seu ponto fixo satisfaz, y.5(t) = A(t). F(t,y6(t)). se este existir. Como T(0, 0, 0)(t) = (0,0,0), a única solução de (4.9) é x(t) = (0,0,0), que e solução trivial de (4.5). Portanto, a equação de Wright não tem solução 3-periódica não trivial.. 39.

(46) Capítulo 5 Um Método para Encontrar Soluções Periódicas de Equações Diferenciais Funcionais (caso complexo) Adaptaremos o teorema 3.1 para funções complexas. Teorema 5.1 Seja k um inteiro positivo e x(t) :ift.-+Cuma transformação k-periódica. Então: k-1 ai(t)eilt. X(t) =. i=o onde a(t): R -4. C, j = 0,1,...,k — 1, é uma transformação 1-periódica. Prova: Novamente, a equação que define k-periodicidade é x(t — k) = x(t) e usando o mesmo argumento da demonstração do teorema 3.1, vemos que é suficiente estudarmos a equação (2.2). Para isso, precisamos conhecer os autovalores de A que, novamente são as raízes da unidade. Portanto, os autovalores de A podem ser escritos como 1, eati, e nji, 632fi, e(k-02-ti. E pelo lema 2.5, as funções 1v0, ebi(t+nvi e2bi(t+1)v2, e(k-Otri(t+i)Vk-1 são k soluções linearmente independentes de (2.2),onde cada ui é um autovetor. 40.

(47) de A associado ao autovalor eb, , com b = f2 e j = 0,1,... , k —1. Pelo lema 2.2, qualquer solução de (2.2)é escrita de forma 'Unica como combinação destas soluções. Assirn,existern co(t),ci(t),...,ck _i(t), 1-periódicas tais que k -1 X(t) =. Eci(t)eibi" I)vi. i=o Usando esta expressão em (2.2), temos X. = EAci(t)eibitvi. =. Eci(t)Avieibit. i.o Pela disposição de A e observando que x(t) é a primeira coordenada de X(t), vemos que k-1 x(t) = Eci(t)vteibit i=o onde 2 é a última coordenada do vetor vi, isto é, k-1 r j` x(t) = Eaj(t)ei*. com a•(t):. C urna transformação I-periódica. 1. 41.

(48) Capítulo 6 Aplicações do Teorema de Carvalho (caso complexo) 6.1 Equação Escalar Consideremos a equação *(t). cez(t —1). (6.1). com a E C. Procuremos por soluções k-periódicas da equação (6.1). Pelo teorema 5.1, se tal solução existir, ela terá a forma:. z(t) -= E ai(t)eibit. (6.2). i=0. onde b =‘7-r e ai(t) : —“C é 1-periódica. Substituindo em (6.1), e observando que as funções 1, ebit , e2bit são transformações linearmente independentes, temos que. e(k—nbit. ai(i) = Façamos a = rei°, com r > O e O < 8 <27r. ai(t) = ai(o)erecos(O-bi)[cos[r sen(0 — bj) — b 42. i sen[r sen(61 — b j) — b At] (6.3).

(49) Como queremos ai(t) 1-periódica, devemos ter: r cos(0 — bj) = O r = O ou cos(0— bj) = O e r sen(61 — bj) — bj = 2m7r, m E Z ou seja, — bj = 7r— + nir, ri E Z 2 Estamos supondo O <9 < 27r, isto é, —bj < 9—bj < 27r — bj. Como O < j < k — 1, —27r(k — 1). 7r. 2+. k. 2. nir < 27r. 1. —5 2. 3. Portanto, ri pode assumir os valores -2, -1, O ou 1, dependendo do valor de k. Analisemos esta situação para os possíveis valores de ri.. r = bj 4- 2m7r, com m > O Se ri = —2, então a =(bj 4- 2m7r)ei(bi-t r),m > O cti(t) = a5(0)[cos(r — bj)t + i sen(r — ()At] z(t) = a5(0)[cos(lcxit) + i sen(lalq 9— bj = 722: — ir -÷ 61 -= bj —. 51. -4- j = 2I rI. + ti. r = —(bj + 2m70, com m < O Se ri = —1, então a = —(bj -I- 2m7r)ei(bi-f),m < O ai(t) = a3(0)[cos(—r — bj)t + i sen(—r — bj)t] z(t) = a3(0)[cos(icx10 — isen(lcx10] 43.

(50) O — bj = O = bj + lk. —± j = — 4—k r =(bj + 2m7r), com m > O Se ri = O, então {a = (bj + 2m7r)ei(63+f), m > O ai(t) = ai(0)[cos(r — bj)t + isen(r — bj)t] z(t) = a1(0)[cos(lalt) + isen(lait)] {9—bj= 21.-Er—t9=bj-EV--tj= 4. 21 — + 3c r = —(bj + 2m7r), com m < O Se ri = 1, então a = —(bj 4- 2m7r)ei(bi+),m < O ai(t) = a1(0)[cos(—r — bj)t 4- isen(—r — bj)t] z(t) = ai(0)[cos(lalt) — isen(lalt)] A seguir, procuramos caracterizar os conjuntos aos quais o a pode pertencer. Lembramos que O < j < k —1. Quando j = 4 21 + , = t, i (20 + 37r), usando o fato que j < k —1, 7r 20 + 37r < 47r —* O < 19 < — 2 2 + = 4(20 + 7r), também usando o fato que j < k — 1, E, quando j = 4 37r 20 +w < 47r —* O < 9< — 2 Se j = — 2r — ±(20 4 — — 7r), usando o fato que j. O,. 20-7r>0—* 71 <0<27r 2 Por fim, se j =. ,*(20 — 37r), também usando o fato que j > O,. —. 37r 20 — 37r > O —* — < <2w 2 — Desta forma: { a =(bj + 2rnrr)ei() , m. E Z, m > O. O = bj — tr , O < O < frr 1 3= S I r+ ;. z(t) = a2(0)[cos(lait) + isen(lait)] 44.

(51) a .= -(bj+ 2m4r)ei(bi-f), m E Z, m < O O = bj - o < O <. .i = e + ti z(t) = ai(0)[cos(I alt) - i sen( 1 ali)]. 1. a =(hl +2m/r)ei(bi+f), na E Z, ra > O O = bj + .7., 2z —< O < 2/1-. = 121 z(t) = a3(0)[cos(lalt) + i sen(jait)]. 1. a = -(bj + 2rrair)ei(biW), rn E Z, in < O t9 = bj+ ,•'. ` 5_ O < 2/11z(t) = aj(0)[cosaajt) - i sen(Ialt)] Para "uniformizar" os conjuntos, façamos a = -(bj+ 2Trair)ei(r445-? .), in E Z, in > O ,3 = bj ir < ,3 < i = EL 32,7: _1 + 34k k2,07r + 4k Z(i) = ai(0)[cos(ialt) + i sen(lait)]. 1. a = -(bj + 2Tror)ei(bi-fi, m. E Z, m. < O fi = bj - fr` , O < fi < 1z(t)= ai(0)[cos(lait) - isen(lait)] a = -(bj + 2m/r)ei(-74bi+1), m E Z, in > O fi = bj — </3 <ir 3 = k 132+ r" k4 — l k : 4- 4 k z(t) = ai(0)[cos( ¡ali) + i sen(lait)]. 1. a = -(bj+2m/r)ei(-27,4-6§+In, m E Z, m < O fi = bj - , 4 .=fiite< +O t j = k Pii-27,1 3k. 1 Z(i) = a5(0)[cos(Ialt) - isen(alt)]. 45.

(52) Seja F1 : = { —(bj + 2m7r) eia , ri E Z, m > O, + E {O, 1, ,k — 1} E E seja F2 : =. =. + -%4- E {0,1,. —(bj + 2rn7r) eia , rn E Z , rn < O , , k —1} }.. Com os cálculos feitos acima, temos o seguinte: Teorema 6.1 A equação (6.1)tern solução k-periódica se, e somente se, a E F = U F2. Neste caso,. se a E F1, então z(t) = e[cos(Ialt). sen(Ialt)]. se a E F2, então z(t) = 5[cos(Ictit) — i sen(alt)] com ee5EC. E Observação 6.1 Notemos que a representação usada para os elementos de F1 não é a forma polar, uma vez que —(bj + rn7r) < O se ri > O e j > 1. Portanto, dado um número complexo a, devemos (quando possível) escolher, dentre as representações na forma reja, aquela que permita identificar a como um elemento de F1 ou F2. O exemplo (ii) abaixo ilustra esta necessidade de escolha. Como exemplos, podemos citar: (i) Suponhamos que k = 3, então ia -47f n -8/r -10/r A = fn -27r 3 i§2-t 6 , -"tire 3 e 6 5 3 e 6 —are 1 2 3 e 6 , —e. 2. -141r in —e 6 3. -16/r L 3. e 2ff , nreit, F2 = {2/fe-if,, -t r• elt, teie,4/1"ei=-. Observemos que se a é real não nulo, então a ,0 F1 U F2, portanto, não existe solução não trivial 3-periódica para a equação. Z(t) = —az(t — 1) ,a E 111 como visto no exemplo 4.1.. 46.

(53) (ii) Suponhamos que k = 5 e a = r-st`e( * r. Escrito desta forma, a E De fato, —ir. 77r 37r < — 2 5- 10 — 2. . 57/i 5. E {0,1,2,3,4}. 27r3 —67r —(- 2ruir) = 5 5 Assim, a solução da equação. 774. = O. —67r Z(t) = —et z(t — 1) 5 é dada por 67r 67r ti sen — t) e E C 5 5 Suponhamos que tivéssemos usado a outra representação de a, isto é, suponhamos que tivéssemos considerado a = %Lre93t r, então, a deveria pertencer a F2, mas z(t) = e(cos —t. —ir< —37r<37r 2 — 10 2 . 5; + 7` 5 1 3 — 27r 4 = 2 Ø{0,1,2,3,4} Portanto, dependendo da representação que tomarmos do número, não obteremos solução, a menos que este seja real, como veremos a seguir. Caso a real (1) a > Suponhamos que a E F2 então, pela caracterização dos elementos de F2, tem a forma a= —(bj. 2m/r)ei° , m < —1. que é equivalente a. 47.

(54) a = (loj 2rnr)eir , m. —1 Se j = O, então a = —2rnrrei°, rn < —1, ou ainda, a = —2rn1rreir, m1 > 1. Se 1 < j < k — 1, então, a = —(bji 2rnirr)eir,, m1 > O com m1 = —m — 1 e j1 = k — j. Com essas novas representações, nas duas situações anteriores, vem que a E Se escolhermos a primeira representação de a, teremos: z(t) = aik (0)[cos(lal)t — sena«IA = (0)[cos at — i sen at] Mas, se escolhermos a terceira representação de a, teremos: z(t) = a,(0)[cosaapt = a3+ , (0)[cos at. i sena«IA. i sen at]. Desta forma, se a E { —(bi+2rnr). rn Z , rn < —1,j = t e {0,1,. , k — 1} }.. z(t) = ct A (0)[cos at — i sen at] se a E {—(bi+ 2rnr) eiTr, rn E Z, m 0,j = a: e {0,1,...,k— 1} }. z(t) =. (0)[cos at. sen at]. (ii) a < O Analogamente, suponhamos que a e F1, então, pela caracterização dos elementos de Ft, a tem a forma cx = —(bj. 2rnr)ei° , m > O. que é equivalente a cx =(bj. 2rnr)eir , m 48. O.

(55) Se j = O, então a = —2mrrei°, m > O, ou ainda, a = —2mirei', m1 < O, e como a < O, mi < —1. Se 1 < < k — 1, então, = —(bji 2miir)eir , m1 < —1 com m1 = —m — 1 e ji = k — j. Novamente, com novas representações, nas duas situações anteriores, a E F2. Se escolhermos a primeira representação de a, teremos: (0)[cosaant i sena ant]. z(t) =. = a (0) [cos at — i sen at] Mas, se escolhermos a terceira representação de a, teremos: z(t) = a 3s (0)[cosa Mit — i senaapt] 4. = a3k (0)[cos at i sen at] 4. Desta forma, se a E { —(bj. 2mir) ei°,mEZ, m>0,j=. E {O, 1,... ,k — 1} }.. z(t) = a k(0)[cos at — i senat] se ce E { —(bj. 3 E {0,1, 2m7r) ehr, mEZ, m< —1,j = 1 z(t) = ask (0)[cos at. Observamos que se fl -= O. , k — 1} }.. sen at] bj = `. Considera-. bj = , e, se )3 = 7r. mos: Gi. =. -(4m2+1).. rn z} = 4N±È rn z. =. -(4m2.1-3)/r( 1) rn e z. e G2. }=. 11-3 rn e z 47,. }. Se a é real, a equação (6.1) tem solução k-periódica se, e somente se, a E G = {O} U G1 U G2. COMO G1 = G2, então, as soluções periódicas são dadas por: 49.

(56) z,(t)= e,[cos. at — sen at]. e z2(t) = e2[cos at. i sen at]. com el e e2 E C. Geometricamente, podemos dizer que se a = rei° satisfaz as condições de F1, para uma de suas representações, a = rei° ou a = —rei(e+n), então, sua outra representação, que por sua forma deveria pertencer a F2 é o conjugado de um elemento de F2 e, portanto, não pertence a este conjunto. Mas, se a for real seu conjugado coincidirá com um elemento de F2 que será o próprio a. Agora, se considerarmos el. = a + bi e e2 = c (t) = (a cos at. di ,. sen at) i(b cos at — a sen at). e z2(t) = (c cos at — d sen at) i(d cos at + c sen at) Se estas funções forem reais, b cos at — a sen at = O e d cos cxt + c sen cxt =0 Assim, (t) = a cos at. seri at ,a,b E R. e z2(t) = c cos at — d sen at ,c,d ER com bc + da = 0. Observamos, ainda, que se el = 6,esta última relação está satisfeita. Desta forma, se tivermos tratando z(t) como uma função a valores reais, podemos considerar que a equação (6.1), com a E R tem solução k-periódica se, e somente se, a e G = G1 U {O} e z(t) = cos at + S2 sen at , 81,S2 ER 50.

(57) Mais ainda, neste caso, k deve ser múltiplo de 4. Estes resultados confirmam os resultados obtidos no exemplo 4.2, onde k = 4 e trocamos a por —a.. 6.2 Equação Matricial Vamos, agora, estudar a equação diferencial com retardamento. Az(t — r),. (6.4). onde A é uma matriz complexa 2x2er>0é um número real. Consideremos ru = t, y(u) = z(t) e B = r A. Então, podemos reescrever (6.4) como. Ku) = By(u — 1). (6.5). Também, pela transformação y(u) = Px(u) com uma matriz apropriada P, temos: i(u) -= P-1 B P x(u — 1). (6.6). Assim, sem perda de generalidade, nós consideraremos a equação. Z(t) =.• AZO — 1). (6.7). onde A é uma das três matrizes na forma normal de Jordan:. (z) [ a 0 )3]. (i )=. onde a ,fl E C, r E R,. (iii) = r. [ai o a]. O 5_ t".. 51. [cos O — sen sen O cos O.

(58) 6.2.1 Caso Matriz Diagonal Consideramos A = [ a O}. 0 fi onde a,/3 E C. Temos, para a equação (6.7), o seguinte sistema de equações diferenciais retardadas, i(t) = erx(t —1) 1Y(t) = fiy(t — 1). (6.8). considerando x(t)} z(t) = [y(t) Pelo teorema 6.1, temos o seguinte resultado: Teorema 6.2 O sistema (6.8)tem soluções /c-periódicas se e somente se a E F ou fi E F. Se a, fi E F1, estas soluções periódicas são. x(i) = e,[cos(Iait) i sen(lait)] Y(t) = e2[cos(101t) i sen(Ifilt)}, com e, e e2 E C, Se a, fi E F2 estas soluções periódicas são. . (t) = el[cos(l alt)— isen(ialt)] y(t) = e2[cos(Ifilt) — i sen(filt)], com fi e e2 E C, Se a E F1 e fi E F2, estas soluções periódicas são 52.

(59) x(i)= ei[cos(lalt) + i sen(Ialt)] Y(t) = e2[cos(101t) — i sen(101i)], com el e E2 E C, Resultado análogo para f3 E F1 e a E F2. Se a E F1 e 13 0 F, estas soluções são x(t) = e[cos(Ialt) + i senaO)] y(t) = O, com e E C, Resultado andlogo para a E F2 e 13 0 F, bem como para a 0 F e ,SE F.. Agora, se z(t) 4 real e a, 13 E R, o sistema (6.8) tem soluções k-pericklicas se e somente se a E G ou /3 E G. Se a E Ge /3 0 G, estas soluções são x(t) = a cos at y(t) = O com a, b, R. Resultado análogo para a 0 G e /3 E G. Se a, 13 E G, estas soluções periódicas são x(t) = a cos cxt + bsen cxt y(t) = c cos St d sen Si com a,b,c,d E R. 53. bsen crt.

(60) 6.2.2 Caso Matriz Triangular Consideramos, agora,. Para a equação (6.7), temos o sistema: {X(t) = ax(t — 1) y(t —1) y(t) = ay(t —1) Dividimos esta análise em dois casos: (i) a = O Neste caso, y O e x(t) = c, onde c E C. Portanto,. z(t). [yx( (: ) )1 _. ícl. (ii) a O Se y O, então, X(t) = cex(t — 1) e, assim, temos a seguinte soluçã,o• Se a E F1, zit. í x(t)-1. re[cos(ajt). i sen(ajt)]] O. Se a E F2, z(t). [yx( ( tt) )] [e [ cos( ¡ale — i sen(Ialt1 O 54. (6.9).

(61) Suponhamos, então que y 0. Então, se a E F1, y(t) = eeilaii, com e E C. Daí, ±(t)= cxx(t — 1) + eeiiar(t-i). (6.10). Como queremos x(t) k-periódica, pelo teorema 5.1, x(t) é dada por:. k-1 x(t) = E ameibii i=0 k-1 =E[iti(t)-F ibjaj(t)jezkit 5=0 e,. k-1 x(t — 1) = E ai(t)e-ibieibit j=0. Voltando em (6.10), k-1. k-1 ibjt Ek(t) + ibjaj(t)leibit = alE ai (t)e-ibjeikit] eeila10-1) e &bit .J=0 ,i=o Assim, (t). ibjai(t)= crai(t)e-. eeilaRt—ne —ajt. Portanto, à3(t) = (cre-ibi — ibj)ai(t). eeil“I(' )Cibit. Agora, b = -t` 2, , a = —(2rror bj)ei(bj- ) e icri = 2rror à(t) = i(2rror à(t). bj, nos fornece:. bj — bj)ai(t)+ eei(21"+bi)(' 1)-ibib. i2rrorai(t) eei2nirte-i(2m,r+bi). A solução desta equação é dada pela solução da equação homogênea associada, mais uma solução particular. É fácil verificarmos que a solução homogênea é dada por cei2" 17rt, onde c E C —i(2m7r-Ebj) t e uma solução particular é ee eizmn. Assim, a solução geral fica: 55.

(62) ai(t) = ceizmia. eci(2m7r-f-bj)t ei2mirt. que não e 1-periódica, devido ao termo em t. Se a E F2, o raciocínio é análogo, apenas observando que, neste caso, lai = —(2m7r bj) Assim, não existem soluções k-perlódicas não nulas se a O e y O. Desse modo, fica demonstrado o seguinte resultado: Teorema 6.3 O sistema (6.9)tem soluções k-periódicas se e somente se a E F. E ainda, Se a E F1,. z(t). [x(t)1 Ly(t)]. [ficos(lajt). sen(Ialt)]] O. Se a E F2, x(t)1 z(t) _ í ly(t).1. [e[cos(lait) — isenflait)]] [. 1 Concluindo, se z(t) é uma função a valores reais e a é um número real, então, o sistema (6.9) tem solução k-periódica não nula se, e somente se, a E G. Se a = O, então x(t) = c y(t) = O Se a E G1, então x(t) = a casai bsenat y(t) = O com a, b E 56.

(63) 6.2.3 Caso Matriz Complexa Consideramos [ cos t9 — sen 01 A=r sen t9 cos onde r E IR e f<9 < Para a equação (6.7) vale o sistema de equações diferenciais retardadas, { i(t) = r cos t9 x(t —1) — r sen t9 y(t —1) y(t) = r sen t9 x(t —1) r cos t9 y(t —1) considerando z(t) =. x(t)1 [y(t)i. Por outro lado, se considerarmos w(t) = x(t) iy(t) e tii(t) = reiew(t — 1), temos que. ±(t) iy(t) = reie[x(t — 1) H- iy(t — 1)] i(t) iy(t) = (r cos t9 + ir sen t9)[x(t —1) + iy(t — 1)1 i(t) +iy(t) = r cos t9 x(t — 1)— r sen t9 y(t — 1) i [r sen t9 x(t — 1) r cos t9 y(t — 1)]. Logo, i(t) = r cos x(t — 1) — r sen t9 y(t —1) y(t) = r sen t9 x(t —1) r cos t9 y(t —1) Portanto, acharmos soluções da equação (6.7) é equivalente a acharmos soluções da equação th(t) = rei() to(t —1). (6.11). Mas, pelo teorema 5.1, a equação (6.11) tem soluções k-periódicas se, e somente se a .= rei° E E' e,. 57.

(64) se a E F1 w(i) = e[cos(Iait) + i senaalq, e E C,. se a E F2 w(t) = e[cosaait) — i senaait)], e E C.. Agora, w(i) = x(t)+ iy(t) e e = a + ib, a, b E R, então: Se a E F1, x(t) + iy(t) = (a + ib)[cos(lait) + isen(lain] x(t) + iy(t) = a cosa(*) — b sen(l(*) + i[a sen(Icelt) + bcosaceit)]. portanto, x(t) = a cos(Ialt) — bsen(lait). y(t) = a senaalt) + b cos(talt) Se a E F2 x(t) + iy(t) = (a + ib)[cos(Iceit) — i sen(ceit)] x(t) + iy(t) = a cos(lalt) + bsen(!alt) + i[b cosaalt) — a senaalt)]. portanto,. x(t) = a cosa(*) + bsen(Ialt). y(t) = —a sen(Ialt) + bcosaceit) Observando que se a E F1, r < O, e, se a E F2 r > O, estas duas Ultimas expressões para x(t) e y(t) têm a mesma forma e, podemos escrever: x(t) = a cos rt + b senrt. y(t) = —a sen rt + b cos rt Teorema 6.4 A equação (6.7), onde A=rí cos — sen01 [senO cos 58.

(65) tem solução k-periódica se, e somente se, a = rei° E F, isto é, r = —(bj e /3 E [n . 2N é tal que 2ir 4 k E {0,1, ,k — 1}. E, neste caso, 2 rx(t) [y(t). a [— senrtrt. com a , b E R.. 59. b e[s n ri] cos rt j. 2mir).

(66) Referências Bibliográficas Carvalho, L.A.V., On a Method to Investigate Bifurcation of Periodic So[1] lution in Retarded Differential Equations,(preprint)-ICMSC-USP (1993), to appear in Journal of Difference Equations and Applications. Carvalho, L.A.V., Cooke, K.L. and Ladeira, L.A.C., On Periodic Solutions [2] for a class of Linear Scaled Differential Equations - Part I, (preprint) Pomona College, Mathematics Department , Clarernont, CA (1996) Carvalho, L.A.V., Cooke, K.L. and Ladeira, L.A.C., On Periodic Soluti[3] ons for a Class of Linear Scaled Differential equations - Part II, (preprint) Pomona-College, Mathematics Departament, Claremont, CA (1996). [4] Carvalho, L.A.V. and Ladeira, L.A.C. On Periodic Orbits of Autonomous Differential-Difference Equations,in: Differential Equations and Applications to Biology and to Industry-Proceedings of the June 1-4, 1994 Claremount International Conference dedicated to the memory of Stravos Busenberg, Edited by M. Martelli, K. Cooke, E. Cumberbatch, B. Tang and H. Thieme, World Scientific, pp. 57-64 (1996). Cassago, H. Jr. and Ladeira, L.A.C., Equações Diferenciais Ordinárias, Notas [5] de Aula, ICMSC-USP, 1995. Cooke, K.L. and Ladeira, L.A.C., Applying Carvalho's Method to Find Pe[6] riodic Solutions of Difference Equations, Journal of Difference equations and Applications, vol. 2, pp. 105-115 (1996). Hale,J.K. Ordinary Differential Equations, Second Edition, Robert E. Krie[7] ger Publishing Co., Florida, 1980. Ladeira, L.A.C. and Tanaka, S.M., On a Method to Calculate Periodic Soluti[8] ons for Functional Differential Equations, Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol.209, 1-19 (1997). Lima, E.L., Espaços Métricos,3a. Edição, IMPA, 1977. [9] 60.

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