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Astronomia & Matemática 2017
Sobrinho J. L. G. (1,2), Teixeira H. (2)
(1) Faculdade de Ciências Exatas e da Engenharia da Universidade de Madeira (2) Grupo de Astronomia da Universidade da Madeira
Resumo
Entre os meses de março e junho de 2017 o Grupo de Astronomia da Universidade da Madeira, em colaboração com o Gabinete de Apoio à Sobredotação da Direção Regional de Educação, realizou um conjunto de atividades para alunos acompanhados por aquele gabinete. Em cada uma das cinco sessões realizadas procurou-se, sempre que possível, apresentar uma componente teórica (expositiva), teórico-prática e prática. Este relatório resume o trabalho desenvolvido no decurso dessas cinco sessões.
1 Introdução
O Gabinete de Apoio à Sobredotação (GAS) da Direção Regional de Educação (DRE) tem, entre outras atribuições, a cooperação no desenvolvimento e implementação de projetos e programas na área da sobredotação e talentos.
Depois de uma visita ao sítio da UMa na internet o GAS manifestou, por intermédio de um email enviado para a Reitoria no dia 02 de novembro de 2016, interesse em estabelecer uma parceria com determinadas unidades de investigação da UMa, por forma a que os alunos seguidos pelo GAS frequentassem atividades (e.g. palestras, experiências, exposições) organizadas por essas mesmas unidades de investigação.
Entre as unidades de investigação eleitas pelo GAS figurava o Grupo de Astronomia da Universidade da Madeira (GAUMa) pelo que, após sermos informados pela Reitoria, contactamos o GAS no sentido de agendarmos uma reunião para discutirmos o tipo de atividades que poderiam ser realizadas. A reunião entre o coordenador do GAUMa e as responsáveis pelo GAS (Professoras Raquel Sousa e Rita Domingos) teve lugar no dia 14 de dezembro
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de 2016 na UMa. Na sequência desta reunião foi elaborado um plano composto por cinco sessões com periodicidade aproximadamente mensal a terem lugar entre os meses de março e junho de 2017. A dinamização destas sessões ficou a cargo de Laurindo Sobrinho e Helena Teixeira. Designamos este projeto por “Astronomia & Matemática 2017” dado ter sido nosso propósito introduzir os temas, sempre que possível, com alguma sustentação matemática. Foi criada uma página própria no sítio do GAUMa na internet [1] por forma a disponibilizar materiais e outras informações aos alunos participantes e outros interessados (e.g. encarregados de educação).
Nas secções 2 a 6 deste relatório descrevemos cada uma das cinco sessões organizadas. Na secção 7 fazemos um balanço final sobre o trabalho desenvolvido e apresentamos algumas conclusões e ideias para trabalho futuro.
2 - Sessão 1: O Sol
A primeira sessão, que decorreu no dia um de março de 2017, teve como tema central o Sol. Foi composta por uma palestra e por uma atividade experimental. Participaram quatro alunos todos eles de diferentes níveis de ensino (4º, 5º, 6º e 10º anos).
Na palestra, intitulada, “O SOL” foram abordados os seguintes tópicos [1,2]:
i. Composição do Sol (falou-se sobre a decomposição da luz e identificação dos elementos químicos a partir do conjunto de riscas do respetivo espectro, constituição do átomo, os átomos de H e He e os seus isótopos. ii. Fonte de energia do Sol (luminosidade do Sol, fusão nuclear, neutrinos,
reações químicas versus fusão nuclear, tempo de vida do Sol).
iii. Observação do Sol (o telescópio espacial SOHO, as manchas solares e a fotosfera do Sol, campo magnético do Sol, ciclo solar, granulação do Sol,
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ejeções de massa coronais, coroa, cromosfera, curva de corpo negro do Sol, diferentes tipos de observatórios solares, filtros solares e o cuidado a ter na observação do Sol).
iv. Origem, evolução e morte do Sol (equilíbrio hidrostático, massa versus tempo de vida, gigante vermelha, nebulosa planetária, anã branca) [3].
Os alunos presentes colocaram diversas questões sobre os tópicos abordados (e outros mais ou menos relacionados com estes), tendo demonstrado um conhecimento relativamente aprofundado sobre vários dos assuntos discutidos.
Na componente experimental desta sessão os alunos mediram experimentalmente a Luminosidade do Sol recorrendo a uma lâmpada incandescente, a uma régua, à sua sensação pessoal de calor e à Matemática, seguindo para isso o protocolo apresentado no Anexo A. Os alunos tiveram de relacionar a potência da lâmpada (p) com a distância da Terra ao Sol (D) e com a distância (d) entre a lâmpada e a palma da mão que mediram como sendo aquela a que sentiam uma sensação de calor equivalente ao que recebemos do Sol num dia de verão. Estas três grandezas relacionam-se com a luminosidade do Sol (L) de acordo com a equação seguinte:
2 2 4 4 d p D L π π =
Ao efetuarem os cálculos os alunos foram confrontados com a utilização de potências de base 10, situação muito comum na Astronomia. Embora tenham sido feitas apenas quatro medições os resultados obtidos (ver Tabela 1) são amplamente satisfatórios quando comparados com o valor tabelado ou com outros resultados obtidos por outros alunos noutras sessões. Verifica-se que, embora os erros relativos obtidos sejam elevados, a ordem de grandeza dos valores obtidos para a luminosidade do Sol é a mesma do valor tabelado (ou seja 1026 J/s). Tendo em conta as condições simples em que a experiência foi
realizada, o número reduzido de medições efetuadas e o facto de se ter utilizado apenas lâmpadas de 100w, os resultados podem considerar-se satisfatórios.
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Tabela 1 – Determinação da Luminosidade do Sol utilizando uma lâmpada incandescente de potência p=100w. Na coluna (1) é indicada a distância à lâmpada (d) para qual se sente uma sensação de calor semelhante à de um dia de verão. Na coluna (2) é indicado para cada caso o valor da luminosidade do Sol obtida e na coluna (3) os erros relativos associados a cada um dos valores obtidos.
d (cm) Luminosidade do Sol (J/s) Erro relativo (%)
13.0 1.33 x 1026 66
14.0 1.15 x 1026 71
18.3 6.72 x 1025 83
9.8 2.34 x 1026 40
3 - Sessão 2: Cálculo de Distâncias pelo Método de
Paralaxe
A segunda sessão, dedicada à temática das “Medição pelo método da paralaxe”, teve lugar no dia 29 de março de 2017. Esta sessão foi composta por uma palestra, a resolução de uma série de exercícios e uma atividade experimental. Participaram 6 alunos do 4º, 5º, 6º e 8º ano, sendo que alguns deles tinham estado na primeira sessão ao passo que outros vinham pela primeira vez.
Na palestra intitulada “Cálculo de Distâncias pelo Método de Paralaxe” [1,4,5], depois de apresentado o método propriamente dito foram introduzidos ou revistos (consoante os níveis de escolaridade dos alunos) as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente bem como as suas inversas, passando-se depois à resolução de uma série de exercícios (ver Anexo B) onde os alunos tentaram aplicar os conceitos referidos anteriormente. Para além de terem que utilizar as funções trigonométricas os alunos viram-se confrontados com a necessidade de trabalharem com ângulos relativamente pequenos (da ordem de alguns segundos de arco) e distâncias extremamente grandes (expressas na forma de potências de base 10). Todos os problemas propostos foram
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discutidos e resolvidos no quadro, com os alunos a colocarem diversas questões e a demonstrarem grande interesse.
Como atividade experimental desta sessão os alunos subiram até ao terraço da UMa onde, recorrendo a um medidor de ângulos especialmente concebido para a aplicação do método da paralaxe, mediram a distância entre dois pontos do terraço utilizando como referência um objeto distante, situado já fora das instalações da UMa (Anexo C). Foram efetuadas duas medições (ver Tabela 2). A primeira deu como resultado 12.8 m e a segunda 18.9 m. Depois de efetuadas todas as contas foi medida a distância real entre a base e o objeto tendo-se constatado que esta era de 18.6 m. Tendo em conta que a medição dos ângulos foi realizada com um medidor relativamente simples e que este era segurado na mão (sem qualquer base de apoio) podemos considerar que os dois resultados obtidos são satisfatórios. Um pouco mais de prática na medição dos ângulos e a utilização de outros objetos de fundo como referência levariam seguramente à obtenção de um leque de resultados mais precisos.
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Tabela 2 – Medição de distâncias pelo método da paralaxe no Terraço da UMa. Na coluna (1) é indicado comprimento da base à lâmpada (B), nas coluna (2) e (3) os dois ângulos medidos, na coluna (4) o ângulo de paralaxe obtido a partir dos dois anteriores e na coluna (5) a distância ao objeto.
B (m) β (graus) δ (graus) ( ) 2 graus β δ α = − ( ) ) ( m tg B d α = 2.83 135 110 12.5 12.8 2.83 127 110 8.5 18.9
4 - Sessão 3: A escala do Universo
A terceira sessão, dedicada à temática “A escala do Universo”, teve lugar no dia 26 de abril de 2017. Esta sessão foi composta por uma palestra e a resolução de uma série de exercícios. Estava ainda prevista uma sessão de observação do Sol, a partir do terraço da UMa mas tal não foi possível dadas as condições atmosféricas (dia de chuva com alerta laranja). Participaram nas atividades quatro alunos.
Na palestra intitulada “A escala do Universo” [1,6] começamos por referir os objetos astronómicos mais comuns no dia-a-dia: Terra, Sol e Lua. Foram apresentadas as dimensões destes objetos e respetivas distâncias tendo depois sido estabelecida uma escala adequada para representar em simultâneo as duas grandezas.
Saltamos depois para o planeta anão Plutão e para a sonda New Horizons que passou recentemente (julho 2015) por aquele corpo do Sistema Solar, referindo a sua distância e o tempo que uma onda eletromagnética necessita para viajar desde a nave até a Terra, por forma a dar uma ideia da dimensão do Sistema Solar, indicando o seu valor em horas-luz.
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Foi introduzida a distância para a estrela mais próxima do Sol (Proxima Centauri, na constelação de Centauro) e comparado o valor desta com a distância de Plutão ao Sol, para se concluir que a melhor forma de expressar essa distância seria indicar, por exemplo, o seu valor em anos-luz.
Avançamos depois para distâncias cada vez maiores, analisando a vizinhança do Sol num raio de 12, 250, 5000 e 50000 anos-luz respetivamente. No último caso tornou-se visível a estrutura da Nossa Galáxia, a galáxia da Via Láctea.
Assim introduzimos as dimensões da Galáxia e a posição do Sol na mesma e como podemos ter a perceção da estrutura da Galáxia estando mergulhados no seu interior. Foi mencionada a existência de outras galáxias para além da nossa com particular destaque para Andrómeda. Situada a 2.5 milhões de anos-luz trata-se do objeto mais distante visível a olho nu.
Na ponta final da palestra foram apresentados alguns métodos para determinar as distâncias referidas ao longo da mesma:
• Diretamente mediante o envio de sondas – até algumas horas luz, dentro do Sistema Solar;
• Método da paralaxe – até 1500 anos-luz (método já explorado na sessão anterior);
• Estrelas variáveis do tipo Cefeide – 800 luz a 100 milhões de anos-luz;
• Supernovas do tipo Ia – acima de 2.5 milhões de anos-luz.
A sessão terminou com a resolução de uma série de exercícios sobre o cálculo de distâncias (Anexo D). Na resolução destes exercícios os alunos trabalharam com potências de base 10, tiveram de calcular raízes quadradas e discutir, em cada caso, qual a forma mais apropriada para apresentar o resultado: horas-luz, anos-luz ou milhões de anos-luz. Todos os problemas propostos foram
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discutidos e resolvidos no quadro, com os alunos a colocarem diversas questões e a demonstrarem grande interesse.
5 - Sessão 4: Orientação pelas estrelas
A quarta sessão teve lugar no dia 24 de maio de 2017. O tema desta sessão, que contou com a presença de dois alunos, foi a “Orientação pelas estrelas” [1,7].
Durante a palestra falamos sobre o movimento aparente das estrelas ao longo da noite e ao longo do ano. Procurou-se realçar a forma como vemos o céu tendo em conta a nossa localização enquanto observadores (i.e. algures sobre a superfície de um planeta que roda sobre si mesmo à medida que vai rodando em torno do Sol). Todos os tópicos abordados durante a palestra foram simulados recorrendo ao programa de computador Stellarium.
Discutimos o movimento da Lua em torno da Terra e vimos como seria o céu se estivéssemos na Lua. Verificamos, em particular, que a estrela Polar não se encontra na mesma direção do eixo de rotação da Lua, dado este ter uma inclinação diferente da do eixo de rotação da Terra. Vimos o nascer e o por do Sol na Lua e acompanhamos durante algum tempo o movimento da Terra e presenciamos um eclipse do Sol a partir da Lua. Terminamos abordando a questão dos eclipses e, com a ajuda do Stellarium, saltamos para o dia 21 de agosto de 2017 e fomos até Kansas City (nos Estados Unidos) por forma a observarmos em primeira mão o eclipse total do Sol que teve lugar naquela data.
A sessão de observação do Sol prevista para o terraço, adiada da sessão anterior, teve de ser novamente cancelada, desta feita devido ao manto de nuvens que cobria completamente o céu no fim da tarde.
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6 - Sessão 5: Dia do Asteroide
O Grupo de Astronomia da Universidade da Madeira (GAUMa), em colaboração com a Associação de Astrónomos Amadores da Madeira (AAAM), aderiu no dia 30 de junho de 2017 ao evento mundial "Dia do Asteroide" mediante a realização de uma palestra e de uma sessão de observação. Embora se tratando de eventos abertos ao público em geral os mesmo foram incluídos no programa de colaboração com o GAS. Contudo o facto de os alunos já estarem de férias, para além das professoras Raquel e Rita apenas esteve presente um dos alunos.
Durante a palestra "Asteroides" procurou-se dar resposta a questões como [8]:
1. Porquê o Dia do Asteroide?
2. Quantos asteroides já conhecemos?
3. Qual é a diferença entre asteroides, meteoroides, meteoros e meteoritos? 4. O que são Atiras, Atenas, Apollos e Amors?
5. Porquê estudar os asteroides?
6. Os asteroides são mesmo uma ameaça?
7. O que é um asteroide potencialmente perigoso (PHA)? 8. É preferível não saber?
9. O que é que pode ser feito? 10. O que é que eu posso fazer?
No final os presentes (cerca de 25 pessoas) tiveram a oportunidade de colocar algumas questões dando assim lugar a um interessante período de discussão. Cerca das 21h00 teve início a sessão de observação noturna no terraço da UMa. Foi possível observar a Lua, Júpiter e Saturno e identificar algumas estrelas e constelações à medida que a noite foi chegando. Contudo, atendendo a que o céu estava parcialmente coberto de nuvens e muito turbulento não foi possível ver muito mais do que isso. Aproveitamos para responder a diversas questões colocadas pelos participantes [8].
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7 – Conclusões
Atendendo a que os alunos participantes demonstraram grande interesse em cada uma das sessões e uma grande abertura para interiorizar novos conceitos, independentemente do seu grau de escolaridade, podemos concluir que a realização deste conjunto de sessões foi francamente positivo. Um dos objetivos centrais deste projeto consistia em abordar a Astronomia como uma ciência com uma forte ligação à Matemática, introduzindo sempre que possível novos conceitos matemáticos e mostrando através de exemplos e problemas como estes nos permitem aprofundar o conhecimento que temos sobre o nosso Universo. Em cada uma das cinco sessões realizadas procurou-se, sempre que possível, apresentar uma componente teórica (expositiva), teórico-prática e prática. No caso das sessões três e quatro a componente prática passava pela observação do Sol o que não foi possível dadas as condições atmosféricas adversas. Tendo em conta o número reduzido de alunos participantes em cada uma das sessões (média de 3.4 alunos por sessão), sendo que alguns dos alunos participaram em apenas uma ou duas sessões, atendendo ainda à enorme diversidade de graus letivos frequentados por esses mesmos alunos (4ºano ao 10ºano) não nos é possível retirar conclusões mais aprofundadas sobre o desempenho e evolução dos mesmos nas atividades propostas.
Referências:
[1] Página oficial do projeto “Astronomia & Matemática – 2017” - Colaboração entre o Grupo de Astronomia da Universidade da Madeira (GAUMa) e o Gabinete de Apoio à Sobredotação (GAS) da Direção Regional de Educação:
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[2] Sobrinho, J. L. G., 2012, O Sol e o seu interior, Formação Contínua de docentes: Introdução à Astronomia (texto de apoio ao módulo 1), 18 pp, Universidade da Madeira (2012)
http://www3.uma.pt/Investigacao/Astro/Grupo/Publicacoes/Abstracts/pu b2012sol.htm
[3] Sobrinho, J. L. G., 2013, Estrelas: origem, evolução e morte, Formação Contínua de docentes: Introdução à Astronomia (texto de apoio ao módulo 3), 17pp, Universidade da Madeira (2013)
http://www3.uma.pt/Investigacao/Astro/Grupo/Publicacoes/Abstracts/pu b2013estrelas2.htm
[4] Teixeira H., Sobrinho J. L. G. & Drumond, C., Aplicações da Trigonometria na Astronomia: Medição de Distâncias pelo Método de Paralaxe, 1.ª Conferência de Professores EspAciais - ESERO PT, 14 e 15 de novembro 2014, Pavilhão do Conhecimento - Ciência Viva, Lisboa.
[5] Teixeira, H. I. A., 2013, Aplicações da trigonometria do 3º Ciclo na Astronomia, Tese de Mestrado, Universidade da Madeira, pp. 96.
http://www3.uma.pt/Investigacao/Astro/Grupo/Publicacoes/Abstracts/pu b2014p1.htm
[6] Sobrinho, J. L. G. 2012, A Via Láctea e o Universo Local, Curso de Iniciação à Astronomia e Observações Astronómicas (módulo 8), Universidade da Madeira (2012).
http://www3.uma.pt/Investigacao/Astro/Grupo/Publicacoes/Abstracts/pu b2012m8.htm
[7] Sobrinho, J. L. G. 2017, Orientação pelas Estrelas!, Palestra incluída no Atividade Formativa: Entre a Terra e o Mar (promovida pela DRE), Escola Horácio Bento de Gouveia, 24 de março de 2017.
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http://www3.uma.pt/Investigacao/Astro/Grupo/Divulgacao/Cursos/Orien tacao2017/index.htm
[8] Relatório de atividades do “Dia do Asteroide – 30 de junho de 2017”
http://www3.uma.pt/Investigacao/Astro/Grupo/Divulgacao/Palestras/aste roide2017.htm
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Anexo A
Atividade experimental
Determinação experimental
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Grupo de Astronomia da Universidade da Madeira Laboratório de Astronomia e Instrumentação
http://www3.uma.pt/Investigacao/Astro/Grupo/index.htm
Estimativa da potência (luminosidade) do Sol
A luminosidade do Sol mede a energia que o Sol emite por unidade de tempo, ou seja, mede a potência do Sol. A radiação solar propaga-se no espaço. Num ponto situado à distância D do Sol a radiação terse-á dispersado por uma área igual a 4πD2.
O mesmo acontece com a radiação emitida por uma lâmpada. Num ponto situado à distância d da lâmpada a radiação terse-á dispersado por uma área igual a 4πd2.
Haverá uma distância d para a qual a energia recebida da lâmpada é equivalente à recebida do Sol sendo, nesse caso, válida a relação:
2 2 4 4 d p D L π π =
onde L é a luminosidade (potência) do Sol e p é a potência da lâmpada. Sabendo os valores de p, L e D podemos determinar a luminosidade do Sol:
2 2 d D p L= Material:
> lâmpadas incandescentes com potências diferentes > extensão elétrica com suporte para lâmpada > régua ou fita métrica
> máquina de calcular
Execução:
> tomar nota do valor da potência p da lâmpada
> acender a lâmpada e ver a que distância d da mão se sente um calor equivalente ao que recebemos do Sol num dia de Verão
> medir essa distância com a fita métrica
> repetir o procedimento para as outras lâmpadas
Tratamento de dados:
> Calcular a potência do Sol em cada um dos casos considerados > Determinar a média de todos os valores obtidos
> Comparar com o valor tabelado para a luminosidade do Sol.
Dados:
Distância Terra-Sol: D = 1UA º 150 milhões km. Luminosidade solar: L= 3.9 × 1026 J/s = 3.9 × 1026 W
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Anexo B
Ficha de problemas
Cálculo de Distâncias pelo Método de Paralaxe:
19 Um olhar sobre a História…
A trigonometria surgiu para resolver problemas de Astronomia. O seu principal fundador foi Hiparco, astrónomo grego, que viveu no século II a. C. Desde esse tempo, a trigonometria ajudou a prever eclipses, estimar equinócios, estabelecer calendários, além de fornecer dados à navegação.
Hoje em dia, a trigonometria tem aplicações em quase todos os ramos da ciência. A título de curiosidade vamos referir uma história que está na base do estudo da trigonometria.
Tales de Mileto (646-546 a. C.) foi um filósofo grego que um dia visitou o Egito. Conta-se que, para avaliarem a sua sabedoria, os sacerdotes lhe pediram que calculasConta-se a altura da pirâmide de Quéops (a base da pirâmide é um quadrado). A forma como Tales resolveu o problema baseia-se na semelhança de triângulos, mas quanto à estratégia seguida há várias versões, sendo a seguinte a mais referida na História da Matemática.
Conta-se que Tales verificou que, num certo dia e a uma determinada hora, a sombra tinha exatamente a sua altura.
Então, transferindo para a pirâmide, Tales concluiu que:
Altura da pirâmide = sombra da pirâmide + metade do comprimento do lado da base da pirâmide.
Cálculo de Distâncias pelo Método de Paralaxe: Trigonometria do triângulo retângulo
20 Triângulo retângulo
Na figura seguinte está representado um triângulo [ABC] retângulo em B.
Sendo a amplitude de um dos seus ângulos agudos, tem-se que:
• O lado [AB] é o cateto oposto ao ângulo de amplitude .
• O lado [BC] é o cateto adjacente ao ângulo de amplitude .
• O lado [AC] é a hipotenusa.
Razões trigonométricas de um ângulo
Sendo um ângulo agudo de um triângulo retângulo, tem-se que:
(Lê-se: seno de alfa)
(Lê-se: cosseno de alfa)
(Lê-se: tangente de alfa)
A
B
C
Lado oposto ao ângulo de amplitude
Hipotenusa
Lado adjacente ao ângulo de amplitude
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Sempre que seja necessário descobrir o valor do ângulo dependendo das variáveis que temos, basta colocar na calculadora:
Ou
Ou
Vamos praticar…
1. Determina o raio linear do Sol, sabendo que o seu raio angular (para um observador terrestre) é de, aproximadamente, 0,264º e que a distância da Terra ao Sol é de km.
2. Um detetive do CSI-Interestelar andava a investigar uma falha ocorrida na Central de Telecomunicações Marcianas (CTM), em Marte. O presidente da CTM apontava um dos técnicos como o principal suspeito pela falha das telecomunicações no planeta inteiro!
O técnico afirmava que era inocente e que a falha ocorrida durante o seu turno tinha sido causada por um eclipse total entre a lua de Marte, Fobos, e o Sol, e não por erro marciano.
O que já sabes:
• a distância entre Marte e o Sol é de km;
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• o raio do Sol pela alínea anterior.
Calcula o diâmetro angular do Sol e de Fobos vistos de Marte. Assim que os determinares, compara-os e ajuda o detetive do CSI-Interestelar a descobrir se houve ou não um eclipse total em Marte, desvendando assim se o técnico é culpado. (O raio de Fobos é de, aproximadamente, 11,1 km).
1. A estrela Proxima Centauri é a segunda estrela mais próxima da Terra e a mais próxima do Sol. O seu ângulo de paralaxe é, aproximadamente, 0,000107º. Determina, aplicando a fórmula , a que distância (d) a estrela se encontra da Terra, apresentando a tua distância em unidades astronómicas. (B – raio médio da órbitra da Terra).
2. Observa a galáxia elíptica mostrada na figura seguinte. Recorrendo ao esquema apresentado, determina o diâmetro físico da galáxia, admitindo que esta se encontra a uma distância de anos-luz da Terra e cujo diâmetro angular é de 0,0032º. Apresenta o teu resultado em metros. (1 ano-luz = metros).
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Anexo C
Atividade experimental
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