Tensores de Codazzi em subvariedades

(1)

Universidade Federal da Bahia

Instituto de Matem´atica

Programa de Pós-Graduação em Matemática Dissertação de Mestrado

Tensores de Codazzi em subvariedades

Eliane da Silva dos Santos

Salvador-Bahia Fevereiro 2009

(2)

Eliane da Silva dos Santos

Disserta¸cão apresentada ao colegiado da P´ os-Gradua¸cão em Matemática da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Enaldo Silva Vergasta.

Salvador-Bahia Fevereiro 2009

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Santos, Eliane da Silva dos.

Tensores de Codazzi em subvariedades / Eliane da Silva dos Santos. – Salvador, 2009.

39 f. : il.

Orientador: Prof. Dr. Enaldo Silva Vergasta.

Disserta¸cão (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matemática, Programa de Pós-gradua¸cão em Matemática, 2009.

Referˆencias bibliogr´aficas.

1. Geometria diferencial. 2. Geometria Riemanniana. 3. Imersões (Matemática). I. Vergasta, Enaldo Silva. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matemática. III. T´ıtulo.

CDD - 516 - 515

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Eliane da Silva dos Santos

Disserta¸cão apresentada ao colegiado da P´ os-Gradua¸cão em Matemática da Universidade Fede-ral da Bahia como requisito parcial para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Enaldo Silva Vergasta (Orientador). UFBA

Profa_{. Dr}a_{. Rosa Maria dos Santos Barreiro Chaves.}

USP

Prof. Dr. Jos´e Nelson Bastos Barbosa. UFBA

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Aos meus pais, às minhas irmãs e à memória do meu querido avô.

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A Deus pelo dom da vida, por iluminar o meu caminho e por me dar for¸ca e coragem para enfrentar todas as dificuldades, pois “Tudo posso naquele que me fortalece”.

Aos meus pais e as minhas irmãs, pelo incentivo, pelo apoio e amor incondicional. Ao professor Enaldo, admirável profissional e ser humano, pela orienta¸cão, pelo incentivo e por todo apoio desde o in´ıcio da minha gradua¸cão.

Ao professor José Nelson por participar da banca examinadora deste trabalho e por estar sempre disposto a ajudar e à professora Rosa por aceitar o convite de participar da banca examinadora deste trabalho e por todo incentivo e apoio para que eu continue a estudar a Matemática, cursando o doutorado.

A todos os professores do Departamento de Matemática da UFBA, em especial, José Fernandes, Joseph, Antônio, Marco Antônio, Bahiano, Evandro, Rita, Lina, Silvinha, Gra¸ca Luzia, Cristiana, Jodália e Glória por todo carinho e aten¸cão.

As minhas eternas amigas super-poderosas Fabiana, Manu e Vanessa e a ´Isis pela amizade, carinho e apoio em todos os momentos.

A minha avó, pelas ora¸cões, à tia Lina pelo carinho e por me apoiar em tudo. Aos funcionários do Instituto de Matemática, em especial, Dona Zezé e Tânia pelo carinho e por sempre estarem dispostas a ajudar e Alan e Jomário pela aten¸cão e amizade.

`

A Fabiana Laranjeiras, Renivaldo, Felipe, Hivanna, Teles, Luide, Mariana e Elias pela generosidade e amizade.

Ao colega Jo˜ao Paulo pela generosidade e paciˆencia em me ensinar a utilizar o Latex. `

A CAPES pelo apoio financeiro.

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“Deus não escolhe os capacitados, capacita os escolhidos. Fazer ou não fazer algo, só depende de nossa vontade e perseveran¸ca.”

(8)

Neste trabalho, estudamos alguns resultados e aplica¸cões relacionados com tensores de Codazzi em subvariedades e as transforma¸cões de Ribaucour e de Combescure, com base em trabalhos de Dajczer-Tojeiro e Hasanis-Vlachos. Sejam M uma variedade Rie-manniana e f uma imersão isométrica de M como hipersuperf´ıcie do espa¸co Euclidiano. Dada outra métrica Riemanniana em M , obtida a partir de um tensor de Codazzi que comuta com a segunda forma fundamental de f , é apresentada uma condi¸cão necessária e suficiente para que M , com a nova métrica, possa ser imersa isometricamente no mesmo espa¸co Euclidiano. Com este objetivo, prova-se que qualquer tensor de Codazzi Q que comuta com a segunda forma fundamental de f dá origem a uma transforma¸cão de Com-bescure F de f . Além disso, Q e F podem ser determinados através de uma fun¸cão diferenciável em M e um campo normal em M satisfazendo determinadas condi¸cões. Também é estabelecida uma correspondência entre tais tensores e transforma¸cões de Ri-baucour da imersão. Na verdade, mostra-se que estes últimos resultados são válidos para codimensão maior que um no espa¸co Euclidiano com métrica pseudo-Riemanniana.

Palavras-chave: Tensores de Codazzi; Transforma¸c˜oes de Combescure; Transforma¸c˜oes de Ribaucour.

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Abstract

In this work, we study some results and applications related with Codazzi ten-sors, Ribaucour and Combescure transforms of submanifolds, based at works by Dajczer-Tojeiro and Hasanis-Vlachos. Let M be a Riemannian manifold and f an isometric immersion of M as a hypersurface in a Euclidean space. Given another Riemannian me-tric on M obtained from a Codazzi tensor that commute with the second fundamental form of f , we present a necessary and sufficient condition for that M , with the new me-tric, admits an isometric immersion into the same Euclidean space. With this aim, it is showed that any Codazzi tensor Q that commutes with the second fundamental form of f gives rise to a Combescure transform F of f . Moreover, Q and F can be determined by a smooth function on M and a normal vector field on M satisfying certain conditions. Also it is obtained a correspondence between such tensor and Ribaucour transforms for submanifolds. In the truth, it is showed that the last results are true for larger codimen-sion that one in a Euclidean space with pseudo-Riemannian metric.

(10)

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 5

1.1 Conceitos b´asicos . . . 5

1.2 Imers˜oes Isom´etricas . . . 7

1.3 Alguns resultados cl´assicos para hipersuperf´ıcies . . . 10

1.4 Tensores em variedades Riemannianas . . . 11

2 Tensores de Codazzi 12

3 Hipersuperf´ıcies e tensores de Codazzi 19

4 Tensores de Codazzi e transforma¸c˜oes de Ribaucour de subvariedades 28

(11)

Introdu¸

c˜

ao

Dada uma variedade Riemanniana (Mn_{, h, i), nem sempre existe uma imers˜}_{ao isom´}

e-trica f : Mn_{→ R}n+1_{. Por exemplo, de acordo com o Teorema de Hilbert, n˜}_{ao ´}_{e poss´ıvel}

imergir Hn _{isometricamente em R}n+1_{. No entanto, de acordo com um resultado devido a}

Nash [N], para k suficientemente grande, mais precisamente k = n₂(n+1)(3n+11), existe um mergulho isom´etrico f : Mn _{→ R}k.

Em [V], Vilms obteve uma condi¸cão necessária e suficiente para a existência de uma imersão isométrica local de (Mn_{, h, i) em R}n+1_{. Condi¸c˜}_{oes necess´}_{arias e suficientes}

para uma variedade Riemanniana ser imersa minimamente como uma hipersuperf´ıcie num espa¸co de curvatura constante foram obtidas por do Carmo e Dajczer em [dCD].

Consideremos o seguinte problema: Sejam (Mn, h, i) uma variedade Riemanniana e f : (Mn_{, h, i) → R}n+1 uma imersão isométrica. Dada outra métrica Riemanniana fh, i em Mn queremos encontrar condi¸cões para que (Mn, fh, i) admita uma imersão isométrica

˜

f : (Mn_{, f}_{h, i) → R}n+1_{. Se tal ˜}_{f existir, como podemos descrevˆ}_{e-la em termos de f ?}

Para métricas obtidas a partir de tensores de Codazzi, uma solu¸cão para esse pro-blema foi dada por Hasanis e Vlachos em [HV]. Para resolver o propro-blema, eles utilizaram alguns resultados de Dajczer e Tojeiro [DT1], relacionados com transforma¸cões de Com-bescure de uma imersão isométrica f : Mn _{→ R}n+p_s no espa¸co Euclidiano munido com uma métrica pseudo-Riemanniana de assinatura s, e com tensores de Codazzi que comu-tam com a segunda forma fundamental dessa imersão. Esses resultados também foram utilizados para estabelecer uma correspondência entre tais tensores e transforma¸cões de Ribaucour de uma imersão isométrica.

Para superf´ıcies em R3 as transforma¸cões de Ribaucour foram extensivamente es-tudadas, entre outros, por Bianchi [B1] e Eisenhart [E]. O caso de hipersuperf´ıcies ho-lonômicas, ou seja, hipersuperf´ıcies que admitem uma parametriza¸cão global por linhas de curvatura, foi também considerado em [B2]. Este caso foi estendido em [DT2] para subvariedades holonômicas de formas espaciais pseudo-Riemannianas com dimensão e co-dimensão arbitrárias.

As transforma¸cões de Ribaucour possuem várias aplica¸cões. Por exemplo, elas po-dem ser utilizadas como um método para obten¸cão de superf´ıcies de Weingarten lineares

(12)

contidas em R3 _{(ver [Te]), podem ser aplicadas no estudo de subvariedades}

Lagrangia-nas com curvatura seccional constante c de formas espaciais complexas com curvatura holomorfa 4c (ver [DT3] e [To]) e tamb´em s˜ao utilizadas no estudo de redutibilidade de subvariedades de Dupin [DFT].

Neste trabalho, apresentamos a correspondência entre as transforma¸cões de Ribau-cour de uma imersão isométrica e tensores de Codazzi que comutam com a segunda forma fundamental da imersão.

Esta disserta¸cão é baseada nos artigos Commuting Codazzi tensors and the Ribau-cour transformation for submanifolds de Dajczer e Tojeiro, [DT1] e Hypersurfaces and Codazzi tensors de Hasanis e Vlachos, [HV]. Ela está dividida em 4 cap´ıtulos e apresenta alguns resultados e aplica¸cões relacionados com tensores de Codazzi em subvariedades e as transforma¸cões de Ribaucour e de Combescure.

No Cap´ıtulo 1, citamos algumas defini¸cões, nota¸cões e resultados básicos que serão utilizados nos cap´ıtulos subsequentes.

No Cap´ıtulo 2, trabalhamos com imers˜oes isom´_{etricas no espa¸co ambiente R}n+p s e

apresentamos alguns resultados relacionados com tensores de Codazzi, entre os quais des-tacamos os dois a seguir. A Proposi¸cão 2.2, enunciada abaixo, mostra que qualquer tensor de Codazzi que comuta com a segunda forma fundamental de uma imersão isométrica f : Mn_{→ R}n+p

s d´a origem a uma transforma¸c˜ao de Combescure de f .

Proposi¸c˜ao 2.2. Se f : Mn _{→ R}n+p

s é uma imersão isométrica e F é uma

transforma¸cão de Combescure de f determinada por um tensor Q, então Q é um tensor de Codazzi que comuta com a segunda forma fundamental de f . Reciprocamente, se Mn é simplesmente conexa, então qualquer tensor Q que comuta com a segunda forma fundamental de f dá origem a uma transforma¸cão de Combescure de f .

Outro resultado de destaque, a Proposi¸cão 2.4, enunciada abaixo, mostra que po-demos determinar o tensor de Codazzi e a correspondente transforma¸cão de Combescure de f através de uma fun¸cão diferenciável ϕ ∈ C∞(M ) e um campo normal β ∈ T_f⊥M satisfazendo determinadas condi¸cões.

Proposi¸cão 2.4. Seja f : Mn _{→ R}n+p_s uma imersão isométrica de uma variedade Riemanniana simplesmente conexa. Então qualquer tensor Q de Codazzi que comuta com a segunda forma fundamental de f e a correspondente transforma¸cão de Combescure F de f podem ser dados como

Q = Qϕ,β = Hess ϕ − Af_β e F = Cϕ,β(f ) = df (grad ϕ) + β, (1)

onde ϕ ∈ C∞(M ) e β ∈ T_f⊥M satisfazem

(13)

3

para qualquer vetor tangente X. Reciprocamente, dados ϕ e β satisfazendo (2), sejam Q e F definidos por (1). Então Q é um tensor de Codazzi que comuta com a segunda forma fundamental de f e F é a transforma¸cão de Combescure de f .

No Cap´ıtulo 3, trabalhamos com hipersuperf´ıcies imersas no espa¸co Euclidiano, com a métrica Riemanniana usual canônica. Esse cap´ıtulo é dedicado ao resultado, enunciado a seguir, devido a Hasanis e Vlachos [HV], que responde o problema, citado anteriormente, restrito a métricas obtidas a partir de tensores de Codazzi.

Teorema. Sejam f : (Mn_{, h, i) → R}n+1 _{uma imers˜}_{ao isom´}_{etrica de uma variedade}

Riemanniana simplesmente conexa (Mn_{, h, i) com operador de Weingarten A e Q um}

tensor de Codazzi invert´ıvel. Seja fh, i uma nova m´etrica em Mn dada por ^hX, Y i = hQ2_{X, Y i, para quaisquer campos tangentes X, Y . Suponha que o posto de A ´}_{e maior ou}

igual a 3. Ent˜ao:

i) Existe uma imers˜ao isom´etrica ˜f : (Mn_{, f}_{h, i) → R}n+1 _{se, e somente se Q comuta}

com A. Além disso, se tal ˜f existir, ˜f é r´ıgida e o seu operador de Weingarten é dado por Ã = ±Q−1◦ A.

ii) Se Q comuta com A, então existem fun¸cões diferenciáveis g, h : Mn _{→ R tais} que A(grad g) = −grad h e QX = ∇Xgrad g − hAX onde X é um campo tangente

arbitrário e ∇ é a conexão Riemanniana de (Mn_{, h, i). Al´}_{em disso, qualquer imers˜}_ao

isom´etrica ˜f : (Mn_{, f}_{h, i) → R}n+1 _´_{e dada por ˜}_{f := τ ◦ F , onde τ ´}_{e um movimento r´ıgido e}

F = df (grad g) + hN .

Ainda no Cap´ıtulo 3, apresentamos dois exemplos de aplica¸cões desse resultado. No Cap´ıtulo 4, apresentamos o teorema, enunciado a seguir, que estabelece uma cor-respondência entre transforma¸cões de Ribaucour de uma imersão isométrica f : Mn_{→ R}n+p_s e tensores de Codazzi que comutam com a segunda forma fundamental dessa imersão.

Teorema. Seja f : Mn _{→ R}n+p

s uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade

Rie-manniana simplesmente conexa e seja ˜f : Mn _{→ R}n+p

s uma transforma¸c˜ao de Ribaucour

de f com isometria P, tensor D e campo diferenciável δ. Então, existem uma fun¸cão ϕ ∈ C∞(M ) e um campo normal β ∈ T_f⊥M satisfazendo (2) tais que

˜

f = f − 2νϕF , (3)

onde F é a transforma¸cão de Combescure de f e ν−1 = hF , F i := ϑ. Além disso,

P = I − 2νF F∗, D = I − 2νϕQϕ,β e δ = −ϕ−1F . (4)

Reciprocamente, dados ϕ ∈ C∞(M ) e β ∈ T_f⊥M satisfazendo (2) tais que ϕϑ 6= 0 em cada ponto q ∈ Mn_{, sejam P, D e δ dados por (4) em um subconjunto aberto U ⊂ M}n

onde D ´e invert´ıvel. Ent˜ao, ˜_{f : U → R}n+p

s dada por (3) ´e a transforma¸c˜ao de Ribaucour

(14)

Aplicando esse resultado, obtemos as transforma¸cões de Ribaucour determinadas pelos tensores de Codazzi que comutam com a segunda forma fundamental de f e são determinados por combina¸cões lineares do tensor identidade e do operador de Weingarten de f na dire¸cão de campos normais paralelos.

(15)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

Neste cap´ıtulo, dividido em quatro se¸cões, apresentamos defini¸cões, nota¸cões e re-sultados que serão utilizados no decorrer deste trabalho. Na Se¸cão 1, introduzimos as defini¸cões de operador gradiente, hessiano, fibrado vetorial e conceitos básicos de Geome-tria Riemanniana. Na Se¸cão 2, apresentamos a defini¸cão da segunda forma fundamental de uma imersão isométrica e as equa¸cões de Gauss, Codazzi e Ricci. Na Se¸cão 3, citamos resultados clássicos relacionados com hipersuperf´ıcies tais como o Teorema de Beez-Killing e o Teorema Fundamental das Hipersuperf´ıcies. Terminamos este cap´ıtulo com a Se¸cão 4, onde introduzimos o conceito de tensores em variedades Riemannianas.

1.1 Conceitos b´

asicos

Sejam Mn_{uma variedade Riemanniana n dimensional, X (M ) o conjunto dos campos}

de vetores de classe C∞ em M e D(M ) o anel das fun¸cões reais de classe C∞definidas em M . Uma conexão Riemanniana ∇ de M é uma aplica¸cão ∇ : X (M ) × X (M ) → X (M ) que se indica por (X, Y ) → ∇XY e satisfaz as seguintes condi¸cões:

i)∇f X+gYZ = f ∇XZ + g∇YZ

ii)∇X(Y + Z) = ∇XY + ∇XZ

iii)∇X(f Y ) = f ∇XY + X(f )Y

iv)XhY, Zi = h∇XY, Zi + hY, ∇XZi (compatibilidade com a m´etrica Riemanniana)

v) ∇XY − ∇YX = [X, Y ] (simetria),

onde X, Y, Z ∈ X (M ) e f, g ∈ D(M ).

O operador curvatura R de M é uma correspondência que associa a cada par X, Y ∈ X (M ) uma aplica¸cão R(X, Y ) : X (M ) → X (M ) dada por

R(X, Y )Z = ∇X∇YZ − ∇Y∇XZ − ∇[X,Y ]Z,

onde Z ∈ X (M ).

(16)

Verifica-se que R ´e bilinear em X (M ) × X (M ), isto ´e,

R(f X1+ gX2, Y1) = f R(X1, Y1) + gR(X2, Y1)

e

R(X1, f Y1+ gY2) = f R(X1, Y1) + gR(X1, Y2),

f, g ∈ D(M ) e X1, X2, Y1, Y2 ∈ X (M ) e para todo par X, Y ∈ X (M ) o operador curvatura

R(X, Y ) : X (M ) → X (M ) ´e linear, isto ´e,

R(X, Y )(f Z + gW ) = f R(X, Y )Z + gR(X, Y )W, f ∈ D(M ), Z, W ∈ X (M ).

Sejam f ∈ D(M ) e p ∈ M ; definimos o gradiente de f como o campo vetorial grad f em M definido por

hgradf (p), vi = dfp(v), ∀v ∈ TpM,

ou ainda,

hgradf, Xi = df (X) = X(f ), ∀X ∈ X (M ). Decorre imediatamente da defini¸c˜ao que

i) grad(f + g) = grad f + grad g, ∀f, g ∈ D(M ) ii) grad(f · g) = f grad g + g grad f, ∀f, g ∈ D(M )

iii) grad(f ◦ g) = g0_{(f ) · grad f, ∀f ∈ D(M ) e g : R → R de classe C}k, k ≥ 1. Sejam f ∈ D(M ) e ∇ a conexão Riemanniana de M . Definimos o hessiano de f como a aplica¸cão bilinear simétrica

Hess f : T M × T M → R dada por

(Hess f )(X, Y ) = h∇Xgrad f, Y i ∀X, Y ∈ T M.

Sejam E e M variedades diferenciáveis, um fibrado vetorial de posto k é uma aplica¸cão diferenciável π : E → M tal que, para cada ponto p ∈ M ,

i) π−1(p) ´e um espa¸co vetorial real de dimens˜ao k

ii) existe uma vizinhan¸ca aberta U de p em M e um difeomorfismo ϕ : π−1_{(U ) → U × R}k tal que sua restri¸c˜ao a π−1(q) ´_{e um isomorfismo em {q} × R}k _{para todo q ∈ U .}

Um exemplo bastante conhecido de fibrado vetorial ´e o fibrado tangente π : T M → M de uma variedade M , onde T M = {(p, v); p ∈ M, v ∈ TpM } e π(p, v) = p.

´

E comum, por abuso de linguagem, utilizarmos a nota¸cão T M , quando estamos nos referindo ao fibrado tangente de uma variedade M , e não à aplica¸cão π : T M → M.

(17)

7

Dado um aberto U ⊂ M , uma se¸cão local de um fibrado vetorial é uma aplica¸cão diferenciável ξ : U → E tal que π ◦ ξ = IdU, ou seja, se U = M , ξ : M → E é uma se¸cão

global ou simplesmente, uma se¸c˜ao do fibrado.

No caso particular em que E = T M , uma se¸cão do fibrado tangente é um campo diferenciável na variedade M . Neste caso, utilizamos também a nota¸cão X ∈ T M para um campo tangente X : M → T M .

Sejam W um espa¸co vetorial de dimens˜_{ao n e h, i : W × W → R um produto interno} não degenerado. A assinatura de h, i é a dimensão máxima de um subespa¸co de W onde h, i é definido negativo. Dessa forma, o espa¸co vetorial Rn+m _{com o produto interno n˜}_ao

degenerado h, i : Rn+m× Rn+m → R definido por h(x1, ..., xn+m), (y1, ..., yn+m)i = − s X i=1 xiyi+ n+m X j=s+1 xjyj

tem assinatura s e o denotaremos por Rn+ms .

Uma métrica pseudo-Riemanniana em uma variedade diferenciável M é a escolha, para cada ponto p ∈ M de uma forma bilinear simétrica não degenerada h, i em TpM (não

necessariamente definida positiva), que varia diferenciavelmente com p.

1.2 Imers˜

oes Isom´

etricas

Seja f : Mn _{→ M}n+m _{uma imers˜}_{ao de uma variedade diferenci´}_{avel M de dimens˜}_ao

n em uma variedade Riemanniana M de dimensão n + m (se m = 1, f (M ) é denominada hipersuperf´ıcie de M ). A métrica Riemanniana de M induz, de maneira natural, uma métrica Riemanniana em M , dada por hv1, v2i = hdfp(v1), dfp(v2)i, com v1, v2 ∈ TpM.

Nesta situa¸cão, f passa a ser uma imersão isométrica de M em M .

Considerando uma imers˜ao isom´etrica f : Mn_{→ M}n+m _{temos que para todo ponto}

p ∈ M existe uma vizinhan¸ca U ⊂ M de p tal que a restri¸cão de f a U é um mergulho em f (U ). Portanto podemos identificar U com f (U ) e assim considerar o espa¸co tangente de M em p como um subespa¸co do espa¸co tangente de M em p. Podemos então decompor Tf (p)M em Tf (p)M = dfp(TpM ) ⊕ (TpM )⊥ onde (TpM )⊥ é o complemento ortogonal de

dfp(TpM ) em Tf (p)M , ou equivalentemente, TpM = TpM ⊕ TpM⊥, onde identificamos

TpM com Tf (p)M e TpM com dfp(TpM ). Desse modo, cada vetor v ∈ TpM pode ser

escrito como

v = v>+ v⊥,

onde v> ∈ TpM e v⊥ ∈ TpM⊥. Em termos de fibrado, podemos tamb´em dizer que o

fibrado induzido pela imers˜ao f ,

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se decomp˜oe na soma de Whitney ortogonal

f∗(T M ) = T M ⊕ T M⊥,

onde T M⊥ = {(p, v); p ∈ M, v ∈ TpM⊥} ´e o fibrado ortogonal da imers˜ao f . Desse

modo, cada se¸c˜ao de f∗(T M ) se decomp˜oe em uma soma de um campo tangente e um campo normal em M .

Assim, se Z é uma se¸cão do fibrado induzido f∗(T M ) podemos escrever Z = df (ZT) + β, onde df (ZT) e β são, respectivamente, as componentes tangente e normal

de Z, ZT ´e um campo tangente em Mn e β ´e um campo normal em Mn.

Se ∇ é a conexão Riemanniana de M , então a conexão Riemanniana ∇ de M é dada por ∇XY = (∇df (X)df (Y ))> = df (∇XY ) onde X e Y são campos locais de

vetores tangentes em M , df (X), df (Y ) extens˜oes locais a M e (∇df (X)df (Y ))> denota

a componente tangente de ∇df (X)df (Y ). Por simplicidade, escreveremos ∇Xdf (Y ) em vez

de ∇df (X)df (Y ).

Dado um ponto p ∈ M , a segunda forma fundamental de f em p é a aplica¸cão bilinear e simétrica

αp : TpM × TpM → (TpM )⊥

dada por

αp(x, y) = α(X, Y )(p) = (∇Xdf (Y ))(p) − (df (∇XY ))(p),

onde X, Y s˜ao campos locais em M e tangentes em M com X(p) = x e Y (p) = y. A igualdade

∇Xdf (Y ) = df (∇XY ) + α(X, Y )

´e chamada f´ormula de Gauss.

Dado η ∈ (TpM )⊥, podemos associar à aplica¸cão bilinear αp a aplica¸cão linear

auto-adjunta Aη : TpM → TpM dada por hAη(x), yi = hα(x, y), ηi, ∀x, y ∈ TpM.

Sejam p ∈ M, x, y ∈ TpM, η ∈ (TpM )⊥, N a extens˜ao local de η e X, Y extens˜oes

locais de x, y, respectivamente, tangentes a M . Ent˜ao hN, Y i = 0 e portanto hAη(x), yi = hαp(x, y), ηi = h∇Xdf (Y ) − df (∇XY ), N i(p)

= h∇Xdf (Y ), N i(p) = −hY, ∇XN i(p)

= −h∇XN, yi,

∀y ∈ TpM.

Assim, Aη(x) = −(∇XN )>, ou seja, df (AX) = −(∇XN )>, onde (∇XN )> ´e a

componente tangente de ∇XN .

Denotamos a componente normal de ∇XN por ∇⊥XN , o que dá origem à conexão

(19)

9

as propriedades usuais de uma conexão. A partir da defini¸cão de ∇⊥, obtemos a fórmula de Weingarten

∇XN = −df (ANX) + ∇⊥XN.

Chamaremos a aplica¸cão linear auto-adjunta A associada à aplica¸cão bilinear αp de

operador de Weingarten.

Observe que, se M = Rn+1 _{e N ´}_{e um campo de vetores normais unit´}_{arios temos que}

∇XN = (∇XN )>. Neste caso, a f´ormula de Weingarten reduz-se a ∇XN = −df (AX).

Al´em disso, temos que α(X, Y ) = hAX, Y iN e portanto podemos escrever a f´ormula de Gauss como

∇Xdf (Y ) = df (∇XY ) + hAX, Y iN.

Quando M = Rn+1 _{podemos dar uma interpreta¸c˜}_{ao geom´}_{etrica interessante de A} η.

Sejam Sn _{= {x ∈ R}n+1_{; kxk = 1} a esfera unit´}_{aria de R}n+1 _{e N : M}n _{→ S}n _{a aplica¸c˜}_ao

normal de Gauss. Dado p ∈ M , como TpM e TN (p)Sns˜ao paralelos, podemos identific´a-los

e vemos que

dNp(x) = (N ◦ c)0(0) =∇XN = (∇XN )>= −Aη(x),

onde c : (−ε, ε) → M ´e uma curva diferenci´avel com c(0) = p e c0(0) = x. Segue-se que Aη = −dN.

Sejam R e R os tensores de curvatura de M e M , respectivamente. Estes tensores de curvatura estão relacionados com a segunda forma fundamental através da equa¸cão de Gauss,

hR(X, Y )Z, W i = hR(X, Y )Z, W i + hα(X, W ), α(Y, Z)i − hα(X, Z), α(Y, W )i. A curvatura R de M também está relacionada com a derivada covariante de α através da equa¸cão de Codazzi,

R(X, Y )Z = (∇Xα)(Y, Z) − (∇Yα)(X, Z).

Observe que se M = Rn+1, ent˜_{ao R(X, Y )Z = 0, para todo X, Y, Z ∈ X (R}n+1). Além disso, considerando o campo N de vetores unitários normais a M temos que α(X, Y ) = hAX, Y iN e portanto as equa¸cões de Gauss e Codazzi são reduzidas, res-pectivamente, a

R(X, Y )Z = hAY, ZiAX − hAX, ZiAY e

(∇YA)X = (∇XA)Y,

para quaisquer campos de vetores tangentes X, Y, Z.

Denotaremos por R⊥ o operador curvatura normal da imers˜ao definido por R⊥(X, Y )ξ = ∇⊥_X∇⊥_Yξ − ∇⊥_Y∇⊥_Xξ − ∇⊥_{[X,Y ]}ξ,

(20)

para todo X, Y ∈ T M e ξ ∈ T M⊥.

Segue das f´ormulas de Gauss e Weingarten que a componente normal de R(X, Y )ξ satisfaz a equa¸c˜ao de Ricci dada por

(R(X, Y )ξ)⊥ = R⊥(X, Y )ξ + α(AξX, Y ) − α(X, AξY ).

Um cálculo simples mostra que também podemos escrever a equa¸cão de Ricci como hR(X, Y )ξ, ηi = hR⊥(X, Y )ξ, ηi − h[Aξ, Aη]X, Y i,

para todo X, Y ∈ T M , ξ, η ∈ T M⊥ e [Aξ, Aη] = Aξ◦ Aη− Aη ◦ Aξ.

1.3 Alguns resultados cl´

assicos para hipersuperf´ıcies

Dizemos que uma imers˜ao isom´etrica f : Mn _{→ R}n+m _´_{e r´ıgida se, dada outra}

imers˜ao isom´etrica g : Mn _{→ R}n+m_{, existe uma isometria τ : R}n+m _{→ R}n+m, tal que g = τ ◦ f.

Um resultado clássico relacionado com rigidez isométrica é o Teorema de Beez-Killing, enunciado abaixo, que será utilizado no cap´ıtulo 3.

Teorema 1.1. (Beez-Killing) Seja f : Mn _{→ R}n+1_{uma imers˜}_{ao isom´}_{etrica com operador}

de Weingarten A. Se o posto de A é maior ou igual a 3 em cada ponto p ∈ M , então f é r´ıgida.

Como vimos na se¸cão anterior, dada uma imersão isométrica f : Mn_{→ R}n+1, temos que seu operador de Weingarten A satisfaz as equa¸cões de Gauss e Codazzi.

Reciprocamente, o Teorema Fundamental das Hipersuperf´ıcies afirma que se existe um tensor auto-adjunto A : TpM → TpM em uma variedade Riemanniana simplesmente

conexa (Mn_{, h, i), p ∈ M , que satisfaz as equa¸c˜}_{oes de Gauss e Codazzi, ent˜}_{ao existe uma}

imers˜ao isom´etrica f : Mn _{→ R}n+1 com operador de Weingarten A.

Portanto, dada uma variedade Riemanniana simplesmente conexa Mn, o Teorema Fundamental das Hipersuperf´ıcies fornece uma maneira de produzir uma imers˜ao isom´etrica local em Rn+1_{, mas, em geral, ´}_{e muito dif´ıcil resolver o problema de encontrar um}

ten-sor auto-adjunto A que satisfa¸ca a equa¸c˜ao de Gauss e o problema diferencial dado pela equa¸c˜ao de Codazzi.

Um resultado de Allendoerfer [A] estabelece que qualquer solu¸cão da equa¸cão de Gauss com o posto maior ou igual a 4 em cada ponto p ∈ M , também será solu¸cão da equa¸cão de Codazzi. Então, pelo Teorema de Beez-Killing, a imersão isométrica obtida desta maneira é r´ıgida.

(21)

11

1.4 Tensores em variedades Riemannianas

A idéia de tensor é uma generaliza¸cão natural da idéia de campos de vetores e, analogamente aos campos de vetores, os tensores podem ser derivados covariantemente.

Observe que X (M ) tem uma estrutura linear quando tomamos como ”escalares”os elementos de D(M ).

Um tensor T de ordem r em uma variedade Riemanniana M ´e uma aplica¸c˜ao mul-tilinear T : X (M ) × ... × X (M )

| {z }

r f atores

→ X (M ).

Isto significa que, dados Y1, ..., Yr ∈ X (M ), T (Y1, ..., Yr) ´e uma aplica¸c˜ao

dife-renciável em M e que T é linear em cada argumento, isto é,

T (Y1, ..., f X + gY, ..., Yr) = f T (Y1, ..., X, ..., Yr) + g T (Y1, ..., Y, ..., Yr),

para todo X, Y ∈ X (M ), f, g ∈ D(M ).

Seja T um tensor de ordem r. A diferencial covariante ∇T de T ´e um tensor de ordem (r + 1) dado por

(∇T )(Y1, ..., Yr, Z) = (∇ZT )(Y1, ..., Yr)

= ∇Z(T (Y1, ..., Yr)) − T (∇ZY, ..., Yr) − ... − T (Y1, ..., Yr−1, ∇ZYr).

Um tensor T ´e um objeto pontual em um sentido que passamos a explicar. Fixe um ponto p ∈ M e seja U uma vizinhan¸ca de p em M onde ´e poss´ıvel definir campos E1, ..., En ∈ X (Mn), de modo que em cada q ∈ U , os vetores {Ei(q)}, i ∈ {1, ..., n}

formam uma base de TqM ; diremos, neste caso, que {Ei} ´e um referencial m´ovel em U .

Sejam Y1 = X i1 yi1Ei1 , ..., Yr = X ir

yirEir com i1, ..., ir ∈ {1, ..., n} as restri¸c˜oes a

U dos campos Y1, ..., Yr, expressas no referencial m´ovel {Ei}.

Por linearidade, temos

T (Y1, ..., Yr) =

X

i1,...,ir

yi1...yir T (Ei1, ..., Eir).

As aplica¸c˜oes T (Ei1, ..., Eir) = Ti1,...,ir em U s˜ao chamadas as componentes de T no

refe-rencial {Ei}.

Da express˜ao acima, decorre que o valor de T (Y1, ..., Yr) em um ponto p ∈ M depende

apenas dos valores em p das componentes de T e dos valores de Y1, ..., Yr em p. ´E neste

(22)

Tensores de Codazzi

Neste cap´ıtulo, apresentamos alguns resultados relacionados com tensores de Co-dazzi, que ser˜ao utilizados nos cap´ıtulos posteriores.

Um tensor de Codazzi Q ´e um tensor auto-adjunto do tipo 1 em uma variedade Riemanniana Mn que satisfaz a equa¸c˜ao diferencial (∇XQ)Y = (∇YQ)X, para todo

X, Y ∈ T M .

Denotaremos por S(M ) e C(M ), respectivamente, os espa¸cos vetoriais formados pelos tensores em uma variedade Riemanniana Mn _{e pelos tensores de Codazzi em M}n_.

Seja f : Mn _{→ R}n+p

s uma imersão isométrica, onde Rn+ps é o espa¸co Euclidiano

de dimens˜ao n + p com uma m´etrica pseudo-Rimanniana de assinatura s. Dizemos que um tensor Q ∈ S(M ) pertence ao subespa¸co S(f ) de tensores que comutam com a se-gunda forma fundamental αf de f , se αf(X, QY ) = αf(QX, Y ), para quaisquer campos

tangentes X e Y .

Chamaremos de C(f ) o subespa¸co vetorial de S(M ) dado por C(f ) = C(M ) ∩ S(f ). Observe que o operador de Weingarten de uma imersão isométrica no espa¸co Eucli-diano na dire¸cão de campos de vetores normais paralelos é um tensor de Codazzi. Em particular, o operador de Weingarten A de uma imersão isométrica f : (Mn_{, h, i) → R}n+1 é um tensor de Codazzi.

Seja (Mn_{, h, i) uma variedade Riemanniana com m´}_{etrica h, i, com conex˜}_ao

Rie-manniana ∇ e tensor curvatura R. Considere uma nova m´etrica fh, i em Mn _{dada por}

^

hX, Y i = hQ2_{X, Y i, onde Q ´}_{e um tensor de Codazzi invert´ıvel. Sejam e}_{R o tensor}

cur-vatura e e∇ a conexão Riemanniana de (Mn, fh, i). A proposi¸cão seguinte estabelece uma rela¸cão entre ∇ e e∇ e uma rela¸cão entre R e eR.

Proposi¸cão 2.1. Com a nota¸cão acima, temos que as conexões ∇ e e∇ estão relacionadas por

e

∇YX = Q−1(∇Y(QX))

(23)

13

e os tensores curvatura R e eR est˜ao relacionados por e

R(X, Y )Z = Q−1(R(X, Y )QZ).

Prova. Sabemos que a métrica fh, i está relacionada com a conexão Riemanniana e

∇ atrav´es da express˜ao

2h e∇^YX, Zi = X ^hY, Zi + Y ^hX, Zi − Z ^hX, Y i −h[X, Z], Y i −^ h[Y, Z], Xi −^ h[X, Y ], Zi.^

Como Q ´e um tensor de Codazzi, temos

0 = (∇XQ)Y − (∇YQ)X = ∇X(QY ) − ∇Y(QX) − Q[X, Y ],

para quaisquer campos tangentes X, Y . Ent˜ao,

2hQ2∇e_YX, Zi = XhQY, QZi + Y hQX, QZi − ZhQX, QY i

−hQ[X, Z], QY i − hQ[Y, Z], QXi − hQ[X, Y ], QZi = h∇X(QY ), QZi + hQY, ∇X(QZ)i + h∇Y(QX), QZi

+hQX, ∇Y(QZ)i − h∇Z(QX), QY i − hQX, ∇Z(QY )i

−hQ[X, Z], QY i − hQ[Y, Z], QXi − hQ[X, Y ], QZi = h∇Y(QZ) − ∇Z(QY ) − Q[Y, Z] | {z } = 0 , QXi +h∇X(QZ) − ∇Z(QX) − Q[X, Z] | {z } = 0 , QY i +h∇X(QY ) + ∇Y(QX) − Q[X, Y ], QZi = h2∇Y(QX), QZi = 2hQ∇Y(QX), Zi,

para qualquer campo tangente Z. Portanto

Q2∇e_YX = Q∇_Y(QX), isto ´e,

e

∇YX = Q−1(∇Y(QX)).

Consequentemente, temos que e R(X, Y )Z = e∇X∇eYZ − e∇Y∇eXZ − e∇[X,Y ]Z = e∇X(Q−1(∇Y(QZ)) − e∇Y(Q−1(∇X(QZ)) − Q−1(∇[X,Y ](QZ)) = Q−1(∇X∇Y(QZ)) − Q−1(∇Y∇X(QZ)) − Q−1(∇[X,Y ](QZ)) = Q−1(∇X∇Y(QZ) − ∇Y∇X(QZ) − ∇[X,Y ](QZ)) = Q−1(R(X, Y )QZ), para quaisquer campos tangentes X, Y, Z.

(24)

2 A seguir, definimos a transforma¸cão de Combescure de uma imersão isométrica e apre-sentamos alguns resultados relacionados com ela.

Dizemos que uma aplica¸c˜ao F : Mn_{→ R}n+p

s ´e uma transforma¸c˜ao de Combescure

determinada por Q ∈ S(M ) de uma imersão isométrica f : Mn _{→ R}n+p_s se dF = df ◦ Q. A proposi¸cão seguinte mostra que, neste caso, Q é um tensor de Codazzi que comuta com a segunda forma fundamental de f .

Proposi¸c˜ao 2.2. Se f : Mn_{→ R}n+p

s é uma imersão isométrica e F é uma transforma¸cão

de Combescure de f determinada por Q ∈ S(M ), ent˜ao Q ∈ C(f ). Reciprocamente, se Mn _´_{e simplesmente conexa, ent˜}_{ao qualquer Q ∈ C(f ) d´}_{a origem a uma transforma¸}_c˜_{ao de}

Combescure de f .

Prova. Considere a 1-forma w = df ◦ Q em Mn _{com valores em R}n+p_s . Seja ∇ a conex˜_{ao pseudo-Riemanniana de R}n+p_s .

Utilizando a f´ormula de Gauss, temos que dw(X, Y ) = X(w(Y )) − Y (w(X)) − w([X, Y ]) = X(df (QY )) − Y (df (QX)) − df (Q[X, Y ]) =∇Xdf (QY ) − ∇Ydf (QX) − df (Q[X, Y ]) = df (∇X(QY )) + αf(X, QY ) − df (∇Y(QX)) − αf(Y, QX) − df (Q[X, Y ]) = df (∇X(QY ) − ∇Y(QX) − Q[X, Y ]) + αf(X, QY ) − αf(Y, QX). Supondo que F : Mn _{→ R}n+p

s ´e uma transforma¸c˜ao de Combescure de f

determi-nada por Q ∈ S(M ), temos que dF = df ◦ Q. Portanto w = dF , isto é, w é exata, logo w é fechada. Assim,

αf(X, QY ) = αf(Y, QX)

e

0 = ∇X(QY ) − ∇Y(QX) − Q[X, Y ] = (∇XQ)Y − (∇YQ)X,

ou seja, Q ∈ C(f ).

Reciprocamente, supondo que Mn é simplesmente conexa e Q ∈ C(f ), temos que dw = 0, isto é, w é fechada. Como Mn é simplesmente conexa, temos que w é exata. Dessa forma, existe uma fun¸cão F : Mn _{→ R}n+p

s tal que dF = w = df ◦ Q, ou seja, existe

uma transforma¸c˜ao de Combescure de f determinada por Q.

2 Classicamente, duas superf´ıcies em R3 _est˜_{ao relacionadas por uma transforma¸}_c˜_ao

(25)

15

tal que os vetores normais nos pontos correspondentes s˜ao paralelos [B1]. Observe que se F : Mn _{→ R}n+p

s é uma transforma¸cão de Combescure de uma imersão isométrica

f : Mn_{→ R}n+p

s determinada por um tensor invert´ıvel Q ∈ S(M ), então F é uma imersão

com a mesma aplica¸cão de Gauss na variedade Grassmaniana dos n-planos tipo-espa¸co n˜_{ao-orientados em R}n+p_s . Além disso, no caso de superf´ıcies, a exigência de que o tensor Q seja invert´ıvel implica que as linhas de curvatura são preservadas, como mostra a proposi¸cão seguinte. Denotaremos por Af_δ : T M → T M o operador de Weingarten de f na dire¸cão δ ∈ T_f⊥M .

Proposi¸c˜ao 2.3. Seja f : Mn _{→ R}n+p

s uma imers˜ao isom´etrica e seja F : Mn→ Rn+ps a

transforma¸cão de Combescure de f determinada pelo tensor invert´ıvel Q ∈ S(M ). Então, as segundas formas fundamentais de f e F estão relacionadas por

αF(X, Y ) = αf(QX, Y ),

ou equivalentemente, AF_ξ = Af_ξ ◦ Q−1 _{para todo ξ ∈ T}⊥

f M . Em particular, existe um

referencial ortonormal de dire¸c˜oes principais para AF_ξ e Af_ξ. Prova. Sejam ∇ a conex˜_{ao usual em R}n+p

s e e∇ a conex˜ao de Levi-Civita da m´etrica

induzida por F , dada por, ^

hX, Y i = hdF (X), dF (Y )i = hdf ◦ Q(X), df ◦ Q(Y )i = hQX, QY i = hQ2_{X, Y i,}

para quaisquer campos tangentes X e Y .

Pela Proposi¸c˜ao 2.2, temos que Q ∈ C(f ), e portanto,

df (∇X(QY )) + αf(QX, Y ) =∇Xdf (QY ) = ∇XdF (Y ) = dF ( e∇XY ) + αF(X, Y ).

Utilizando a Proposi¸c˜ao 2.1, observe que

dF ( e∇XY ) = df (Q e∇XY ) = df (Q ◦ Q−1(∇X(QY )) = df (∇X(QY )).

Logo αF(X, Y ) = αf(QX, Y ) para quaisquer campos tangentes X e Y . Por sua vez,

hQ2_{◦ A}F

ξ(X), Y i = hA^FξX, Y i = hαF(X, Y ), ξi

= hαf(QX, Y ), ξi = hAfξ(QX), Y i

= hQ ◦ Af_ξ(X), Y i, para todo ξ ∈ T_f⊥M . Consequentemente, AF_ξ = Af_ξ ◦ Q−1_.

(26)

De acordo com [F] e [S], qualquer tensor de Codazzi em um subconjunto aberto e simplesmente conexo U ⊂ Rn+p _{pode ser dado como Q = Hess ϕ, para alguma fun¸c˜}_ao

ϕ ∈ D(U ). A proposi¸cão seguinte estende esse resultado, mostrando que qualquer tensor de Codazzi Q ∈ C(f ), onde f : Mn _{→ R}n+p_s é uma imersão isométrica de uma variedade Riemanniana simplesmente conexa pode ser dado como Q = Hess ϕ − Af_β, para alguma fun¸cão ϕ ∈ D(f ) e algum β ∈ T_f⊥M .

Proposi¸c˜ao 2.4. Seja f : Mn _{→ R}n+p

s uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade

Ri-emanniana simplesmente conexa. Ent˜ao qualquer tensor Q ∈ C(f ) e a correspondente transforma¸c˜ao de Combescure F de f podem ser dados como

Q = Qϕ,β = Hess ϕ − Af_β e F = Cϕ,β(f ) = df (grad ϕ) + β, (2.1)

onde ϕ ∈ D(M ) e β ∈ T_f⊥M satisfazem

αf(grad ϕ, X) + ∇⊥Xβ = 0, (2.2)

para qualquer vetor tangente X.

Reciprocamente, dados ϕ e β satisfazendo (2.2), sejam Q e F definidos por (2.1). Então Q ∈ C(f ) e F é a transforma¸cão de Combescure de f .

Prova. Podemos identificar Tf (q)Rn+ps com Rn+ps , para todo q ∈ Mn, e portanto

podemos considerar F como uma se¸c˜ao do fibrado induzido f∗_{T R}n+p

s . Decompondo F

em suas componentes tangente e normal podemos escrever F = df (z) + β, onde z ∈ T M e β ∈ T_f⊥M . Ent˜ao, utilizando as f´ormulas de Gauss e Weingarten, temos

dF (X) =∇XF = ∇X(df (z) + β) = df (∇XZ) + αf(X, Z) + ∇⊥Xβ − A f βX.

Uma vez que dF = df ◦ Q, obtemos

df (QX − ∇XZ) + A f βX = αf(X, Z) + ∇⊥Xβ, o que implica em hQX − ∇XZ, Y i = −hAfβX, Y i, ou seja, h∇XZ, Y i = hQX, Y i + hαf(X, Y ), βi.

Como Q é auto-adjunto e αf é simétrica, temos que h∇XZ, Y i = h∇YZ, Xi. Dessa forma,

existe ϕ ∈ D(M ) tal que z = grad ϕ, e por sua vez,

df (QX) = dF (X) = df (Hess ϕ − Af_β)X + αf(grad ϕ, X) + ∇⊥Xβ.

(27)

17

Reciprocamente, dados ϕ e β satisfazendo (2.2), sejam Q e F definidos por (2.1). Observe que dF (X) = ∇XF = ∇X(df (grad ϕ) + β) = df (∇Xgrad ϕ) + αf(grad ϕ, X) + ∇⊥Xβ | {z } = 0 −Af_βX = df (∇Xgrad ϕ − Af_βX) = df (QX) = (df ◦ Q)(X).

Logo, F é uma transforma¸cão de Combescure de f determinada por Q e, pela Proposi¸cão 2.2, temos que Q ∈ C(f ).

2 Denotaremos por D(f ) o espa¸co vetorial de todos os pares (ϕ, β) satisfazendo (2.2). Então, pela Proposi¸cão 2.4, existe uma aplica¸cão linear

D(f ) → C(f ) (2.3)

(ϕ, β) 7→ Qϕ,β

que associa cada (ϕ, β) ∈ D(f ) ao tensor Qϕ,β = Hess ϕ − Af_β.

A seguir, apresentamos exemplos básicos de tensores de Codazzi obtidos através de uma fun¸cão ϕ ∈ D(M ) e um campo β ∈ T_f⊥M dados.

Exemplo 2.5. a) Dados P0 e v ∈ Rn+ps com hv, vi = = ±1, seja ϕ0 = hf − P0, vi e seja

β0 = v⊥ o campo normal obtido pela proje¸c˜ao de v em Tf⊥M em cada ponto q ∈ Mn.

Observe que hgrad ϕ0, Xi = X ◦ ϕ0 = hdf (X), vi, o que implica em hdf (grad ϕ0) − v, df (X)i = 0, ou seja, hdf (grad ϕ0− v>), df (X)i = 0,

para todo X ∈ T M . Assim, grad ϕ0 = v>. Dessa forma,

αf(grad ϕ0, X) + ∇⊥Xv ⊥

= 0, isto ´e, (ϕ0, β0) ∈ D(f ). Al´em disso,

Cϕ0,β0(f ) = v

>

(28)

b) Dados P0 ∈ Rn+ps e b 6= 0, defina ϕ1 = 1₂(hf − P0, f − P0i − b) e seja β1 = (f − P0)⊥

o campo normal obtido pela proje¸c˜ao do vetor posi¸c˜ao f − P0 em Tf⊥M em cada ponto

q ∈ Mn_{. Ent˜}_ao hgrad ϕ1, Xi = X ◦ ϕ1 = hdf (X), f − P0i, consequentemente, hdf (grad ϕ1) − (f − P0), df (X)i = 0, ou equivalentemente, hdf (grad ϕ1− (f − P0)>), df (X)i = 0,

para todo X ∈ T M . Portanto grad ϕ1 = (f − P0)>. Assim,

αf(grad ϕ1, X) + ∇⊥X(f − P0)⊥= 0,

isto ´e, (ϕ1, β1) ∈ D(f ). Al´em disso,

Cϕ1,β1(f ) = (f − P0)

>

+ (f − P0)⊥= (f − P0) e Qϕ1,β1 = I.

c) Suponha que f possui uma se¸c˜ao normal paralela n˜ao nula ξ. Sejam ϕ2 = c ∈ R

e β2 = −ξ. Ent˜ao (ϕ2, β2) ∈ D(f ), Cϕ2,β2(f ) = −ξ e Qϕ2,β2 = A

f ξ.

O subespa¸co de D(f ) gerado por um dos pares (ϕi, βi) com i ∈ {0, 1, 2} do Exemplo

2.5 ser´a denotado por D0(f ). Assim, a imagem C0(f ) ⊂ C(f ) de D0(f ) pela aplica¸c˜ao

definida em (2.3) ´e gerada pelo endomorfismo identidade e pelo operador de Weingarten na dire¸c˜ao de campos de vetores normais paralelos.

(29)

Cap´ıtulo 3

Hipersuperf´ıcies e tensores de

Codazzi

Neste cap´ıtulo apresentaremos a demonstra¸cão e alguns exemplos de aplica¸cões do teorema enunciado abaixo, que soluciona o problema proposto, restrito a métricas deter-minadas a partir de tensores de Codazzi invert´ıveis, citado na introdu¸cão deste trabalho. Teorema 3.1. Sejam f : (Mn_{, h, i) → R}n+1 _{uma imers˜}_{ao isom´}_{etrica de uma variedade}

Riemanniana simplesmente conexa (Mn_{, h, i) com operador de Weingarten A e Q um}

tensor de Codazzi invert´ıvel. Consideremos em Mn _{uma nova m´}_{etrica f}_{h, i, dada por}

^

hX, Y i = hQ2_{X, Y i, para quaisquer campos tangentes X, Y . Suponha que o posto de A ´}_e

maior ou igual a 3. Ent˜ao:

i) Existe uma imersão isométrica ˜f : (Mn, f_{h, i) → R}n+1 se, e somente se Q comuta com A. Além disso, se tal ˜f existir, ˜f é r´ıgida com operador de Weingarten Ã = ±Q−1◦A. ii) Se Q comuta com A, então existem fun¸cões diferenciáveis g, h : Mn _{→ R tais}

que A(grad g) = −grad h e QX = ∇Xgrad g − hAX onde X ´e um campo tangente

arbitrário e ∇ é a conexão Riemanniana de (Mn_{, h, i). Al´}_{em disso, qualquer imers˜}_ao

isométrica ˜f : (Mn, f_{h, i) → R}n+1 é dada por ˜f = τ ◦ F , onde τ é um movimento r´ıgido e F = df (grad g) + hN .

A prova de cada um dos itens (i) e (ii) deste teorema ´e baseada, respectivamente, nas Proposi¸c˜oes 3.2 e 3.4 a seguir.

Proposi¸c˜ao 3.2. Sejam f : (Mn_{, h, i) → R}n+1 _{uma imers˜}_{ao isom´}_{etrica de uma}

varie-dade Riemanniana simplesmente conexa (Mn_{, h, i) com operador de Weingarten A e Q}

um tensor de Codazzi invert´ıvel. Considere em Mn _{uma nova m´}_{etrica f}_{h, i, definida por}

^

hX, Y i = hQ2_{X, Y i, para quaisquer campos tangentes X, Y . Suponha que o posto de A}

é maior ou igual a 3. Então a variedade Riemanniana (Mn, fh, i) admite uma imersão 19

(30)

isom´_{etrica em R}n+1 _{se, e somente se, Q comuta com A. Se ˜}_{f : (M}n_{, f}_{h, i) → R}n+1 _´_{e uma}

tal imersão então ˜f é r´ıgida, com operador de Weingarten Ã = ±Q−1◦ A.

Prova. Suponha que existe uma imers˜ao isom´etrica ˜f : (Mn_{, f}_{h, i) → R}n+1 _com

operador ˜A.

Pela Proposi¸c˜ao 2.1, temos que ˜R(X, Y )Z = Q−1(R(X, Y )QZ) e portanto a equa¸c˜ao de Gauss

˜

R(X, Y )Z = ^h ÃY, Zi ÃX − ^h ÃX, Zi ÃY = hQ2◦ Ã(Y ), Zi ÃX − hQ2 ◦ Ã(X), Zi ÃY é equivalente a

Q−1(R(X, Y )QZ) = hQ2◦ Ã(Y ), Zi ÃX − hQ2◦ Ã(X), Zi ÃY o que implica em

Q−1(hAY, QZiAX − hAX, QZiAY ) = hQ2◦ Ã(Y ), Zi ÃX − hQ2◦ Ã(X), Zi ÃY. Compondo os membros da igualdade acima com Q, obtemos

hAY, QZiAX − hAX, QZiAY = hQ2◦ Ã(Y ), ZiQ ◦ ÃX − hQ2◦ Ã(X), ZiQ ◦ ÃY. Portanto

hAY, QZiAX − hAX, QZiAY = hQ ◦ Ã(Y ), QZiQ ◦ ÃX − hQ ◦ Ã(X), QZiQ ◦ ÃY, ou equivalentemente,

Q ◦ ˜A(X) ∧ Q ◦ ˜A(Y ) = AX ∧ AY, (3.1)

onde ∧ representa o produto exterior. Afirma¸c˜ao 3.3. ker A = ker eA.

De fato, seja e1, ..., er uma base ortonormal de (ker A)⊥ com respeito a h, i tal que

Aei = kiei, i ∈ {1, ..., r} onde r = dim(ker A)⊥ ≥ 3 e (ker A)⊥´e o complemento

ortogo-nal de ker A. Por (3.1), temos que AX ∧ Aei = 0 para qualquer X ∈ ker ˜A e i ∈ {1, ..., r}.

Dessa forma, X ∈ ker A e portanto ker ˜A ⊂ ker A.

Por outro lado, seja X ∈ ker A. Então, por (3.1), Q ◦ Ã(X) ∧ Q ◦ Ã(ei) = 0 para

qualquer i ∈ {1, ..., r}. Uma vez que Q ◦ Ã(ei) 6= 0, ∀ei, obtemos Q ◦ Ã(X) = ρiQ ◦ Ã(ei)

para algum ρi, i ∈ {1, ..., r}, ou equivalentemente, ˜A(X − ρiei) = 0. Portanto X − ρiei ∈

(31)

21

Como X ∈ ker A temos que ter ρi = 0 para todo i ∈ {1, ..., r}. Logo, Q ◦ ˜A(X) = 0 e

X ∈ ker ˜A, o que prova a Afirma¸c˜ao 3.3.

Seja X ∈ (ker A)⊥ e suponha que Q ◦ ˜A(X) e AX s˜ao linearmente independentes. Como dim(ker A)⊥ ≥ 3, existe Y ∈ (ker A)⊥ _{tal que Q ◦ ˜}_{A(X), AX e AY s˜}_{ao linearmente}

independentes. Ent˜ao, por (3.1) obtemos

Q ◦ Ã(X) ∧ Q ◦ Ã(X) ∧ Q ◦ Ã(Y ) = Q ◦ Ã(X) ∧ AX ∧ AY 6= 0 o que é uma contradi¸cão já que Q ◦ Ã(X) ∧ Q ◦ Ã(X) = 0.

Logo, Q ◦ Ã(X) e AX são linearmente dependentes para qualquer X ∈ (ker A)⊥ e consequentemente Q ◦ Ã(X) = a(X)AX.

Escolhendo uma base arbitr´aria X1, ..., Xr de (ker A)⊥, temos que Q ◦ ˜A(Xi) =

a(Xi)AXi, para todo i ∈ {1, ..., r}. Como Xi + Xj ∈ (ker A)⊥, ent˜ao Q ◦ ˜A(Xi+ Xj) =

a(Xi+ Xj)A(Xi+ Xj), para todo i e j ∈ {1, ..., r} e consequentemente

0 = Q ◦ Ã(Xi+ Xj) − Q ◦ Ã(Xi) − Q ◦ Ã(Xj)

= a(Xi+ Xj)A(Xi+ Xj) − a(Xi)AXi− a(Xj)AXj

= (a(Xi+ Xj) − a(Xi))AXi+ (a(Xi+ Xj) − a(Xj))AXj.

Assim,

a(Xi+ Xj) = a(Xi) = a(Xj), ∀i, j ∈ {1, ..., r}.

Além disso, para qualquer número real λ, usando a linearidade de Q ◦ Ã, segue-se que Q ◦ Ã(λX) = λQ ◦ Ã(X) = λa(X)AX

e, por outro lado,

Q ◦ ˜A(λX) = a(λX)A(λX) = λa(λX)AX

o que implica em a(λX) = a(X). Portanto, existe uma constante a tal que Q ◦ ˜A(X) = aA(X) para qualquer X. Por (3.1), tem-se a = ±1 e consequentemente ˜A = ±Q−1◦ A.

Como o operador Ã é auto-adjunto com respeito a fh, i, temos que h ÃX, Y i =^ ^

hX, ˜AY i, o que implica em hQ2 _{◦ ˜}_{A(X), Y i = hX, Q}2 _{◦ ˜}_{A(Y )i, ou seja, Q}2 _{◦ ˜}_{A ´}_e

auto-adjunto com respeito `a m´etrica h, i. Portanto, ±Q ◦ A = Q2 _{◦ ˜}_{A ´}_{e auto-adjunto com}

respeito a m´etrica h, i. Logo, Q comuta com A.

Reciprocamente, suponha que Q ◦ A = A ◦ Q. Como Q e A são auto-adjuntos com respeito a h, i, temos que Q ◦ A é auto-adjunto com respeito a h, i. Defina Ã = ±Q−1◦ A. Então Q2_{◦ ˜}_{A = ±Q ◦ A e consequentemente}

^

h ÃX, Y i = hQ2◦ Ã(X), Y i = hX, Q2◦ Ã(Y )i =hX, ˜ÂY i, ou seja, Ã é auto-adjunto com respeito à métrica fh, i.

(32)

Al´em disso, ˜

R(X, Y )Z = Q−1(R(X, Y )QZ)

= Q−1(hAY, QZiAX − hAX, QZiAY )

= hQ ◦ A(Y ), ZiQ−1◦ A(X) − hQ ◦ A(X), ZiQ−1_{◦ A(Y )}

= hQ2◦ Ã(Y ), Zi ÃX − hQ2◦ Ã(X), Zi ÃY = ^h ÃY, Zi ÃX − ^h ÃX, Zi ÃY,

isto é, Ã satisfaz a equa¸cão de Gauss. Como ˜∇XY = Q−1(∇X(QY )), temos,

( ˜∇XA)Y = Q˜ −1(∇X(Q ◦ ˜A))Y = Q−1(∇XA)Y

= Q−1(∇YA)X = Q−1(∇Y(Q ◦ ˜A))X

= ( ˜∇YA)X,˜

ou seja, Ã satisfaz a equa¸cão de Codazzi. Então, pelo Teorema Fundamental das Hipersu-perf´ıcies, existe uma imersão isométrica ˜f : (Mn, f_{h, i) → R}n+1com operador Ã = ±Q−1◦ A. Como postoA ≥ 3 temos que posto Ã ≥ 3 e pelo Teorema de Beez-Killing, ˜f é r´ıgida.

2 O resultado seguinte é uma consequência imediata da Proposi¸cão 2.2 e da Proposi¸cão 2.4.

Proposi¸c˜ao 3.4. Seja f : (Mn_{, h, i) → R}n+1 _{uma imers˜}_{ao isom´}_{etrica de uma variedade}

Riemanniana simplesmente conexa (Mn, h, i) com operador de Weingarten A. Suponha que Q ´e um tensor de Codazzi invert´ıvel que comuta com A. Ent˜ao existem

i) uma imers˜ao F : Mn_{→ R}n+1 _{tal que dF = df ◦ Q}

ii) fun¸c˜oes diferenci´aveis g, h : Mn_{→ R tais que}

A(grad g) = −grad h e QX = ∇Xgrad g − hAX,

onde X é um campo tangente arbitrário e F é dada por F = df (grad g) + hN .

Além disso, F é uma imersão isométrica da variedade Riemanniana (Mn, fh, i) em Rn+1, onde a métrica fh, i em Mn é dada por ^hX, Y i = hQ2X, Y i para quaisquer campos tangentes X, Y .

Prova. i) Como Mn _´_{e simplesmente conexa e Q ´}_{e um tensor de Codazzi que}

comuta com A, pela Proposi¸cão 2.2, temos que Q dá origem a uma transforma¸cão de Combescure de f . Dessa forma, existe uma imersão F : Mn_{→ R}n+1 _{tal que dF = df ◦ Q.}

(33)

23

ii) Pela Proposi¸c˜ao 2.4, existem uma fun¸c˜ao g ∈ D(M ) e um campo β ∈ T_f⊥M satisfazendo αf(grad g, X) + ∇⊥Xβ = 0, tais que Q = Hess g − A

f

β. Como a codimens˜ao da

imersão é 1, podemos escrever β = hN , onde h ∈ D(M ) e N é o campo normal unitário. Então,

0 = hαf(grad g, X) + ∇⊥XhN, N i = hαf(grad g, X) + X(h)N, N i

= hA(grad g), Xi + X(h) = hA(grad g) + grad h, Xi, para todo X ∈ T M , o que implica em A(grad g) = −grad h.

Al´em disso, QX = ∇Xgrad g − hAX, para todo campo tangente X.

A m´etrica fh, i induzida em Mn_´_{e dada por}

^

hX, Y i = hdF (X), dF (Y )i = hdf (QX), df (QY )i = hQ2_{X, Y i,}

para quaisquer campos tangentes X, Y.

2 Uma vez provadas as Proposi¸c˜oes 3.2 e 3.4, podemos agora provar, sem muita difi-culdade, o Teorema 3.1.

Prova do Teorema 3.1. Sejam f : (Mn_{, h, i) → R}n+1 uma imersão isométrica de uma variedade Riemanniana simplesmente conexa (Mn, h, i) com operador de Weingarten A e Q um tensor de Codazzi invert´ıvel. Considere a métrica Riemanniana fh, i em Mn

dada por ^hX, Y i = hQ2_{X, Y i, para quaisquer campos de vetores tangentes X, Y .}

i) De acordo com a Proposi¸c˜ao 3.2, a variedade Riemanniana (Mn_{, f}_{h, i) admite uma}

imers˜ao isom´_{etrica em R}n+1 _{se, e somente se Q comuta com A. Al´}_{em disso, uma tal}

imersão ˜f : (Mn, f_{h, i) → R}n+1 é r´ıgida com operador de Weingarten Ã = ±Q−1◦ A. ii) Se Q comuta com A, então, pela Proposi¸cão 3.4, existem uma imersão isométrica F : (Mn_{, f}_{h, i) → R}n+1_{e fun¸c˜}_{oes diferenci´}_{aveis g, h : M}n _{→ R tais que A(gradg) = −gradh,}

QX = ∇Xgradg − hAX, para qualquer campo tangente X e F = df (gradg) + hN . Como

o posto de A é maior ou igual a 3, pelo Teorema de Beez-Killing qualquer imersão isométrica ˜f : (Mn_{, f}_{h, i) → R}n+1 _´_{e dada por ˜}_{f = τ ◦ F, onde τ ´}_{e um movimento r´ıgido.}

2 Note que, como dF = df ◦ Q temos df (TpM ) = dF (TpM ) para qualquer ponto p em

Mn e portanto as imersões f e F possuem a mesma aplica¸cão de Gauss. Consequente-mente, f e ˜f dadas no Teorema 3.1 possuem aplica¸cões de Gauss congruentes.

(34)

Exemplo 3.5. Seja f : (Mn_{, h, i) → R}n+1 _{uma imers˜}_{ao isom´}_{etrica de uma variedade}

Riemanniana simplesmente conexa (Mn_{, h, i) com operador de Weingarten A. Considere}

o tensor Q := Id − tA, onde t ∈ R é escolhido tal que Q é invert´ıvel. Pela maneira que foi definido, Q é um tensor de Codazzi que comuta com A. Pelo Teorema 3.1, existe uma imersão isométrica de (Mn, f_{h, i) em R}n+1 onde a métrica fh, i é dada por ^hX, Y i = hQ2_{X, Y i, para quaisquer campos tangentes X, Y .}

Considerando f como uma se¸c˜ao do fibrado induzido f∗_{(T R}n+1_{) e decompondo-a em}

componentes tangente e normal, temos f = df (xT) + sN, onde xT ´e um campo tangente

e s = hf, N i é a fun¸cão suporte de f . Diferenciando f com respeito a um campo de vetores tangentes X e usando as fórmulas de Gauss e Weingarten, obtemos

df (X) = ∇Xf = ∇X(df (xT) + sN ) = ∇Xdf (xT) + ∇XsN = df (∇XxT) + hAX, xTiN + s∇XN + X(s)N = df (∇XxT) + hAX, xTiN − sdf (AX) + X(s)N = df (∇XxT − sAX) + (hAX, xTi + X(s))N. Consequentemente, df (X − ∇XxT + sAX) = (hAX, xTi + X(s))N, o que implica em X − ∇XxT + sAX = 0 e hAX, xTi = −X(s), isto ´e, X = ∇XxT − sAX e AxT = −grads. Seja g := 1₂ k f k2_. Dado p ∈ Mn_{, sejam X(p) ∈ T}

pM e α : (−ε, ε) → M uma curva diferenci´avel tal

que α(0) = p e α0(0) = X(p). Ent˜ao,

hgradg(p), X(p)i = dgp(X) = (g ◦ α)0(0) = 1 2hf ◦ α(t), f ◦ α(t)i 0 _| t=0 = hdfp(X), f (p)i, ou seja, hgradg, Xi = hdf (X), f i = hdf (X), df (xT) + sN i, = hdf (X), df (xT)i,

(35)

25

para qualquer campo tangente X. Portanto

hgradg, xTi = hdf (xT), df (xT)i = hxT, xTi =k xT k2 .

Por outro lado,

hgradg, xTi = hdf (gradg), df (xT)i = hgradg, gradgi =k gradg k2 .

Logo,

k xT k=k gradg k

e

hgradg, xTi2 =k xT k2k gradg k2,

o que implica em gradg = xT. Consequentemente as fun¸c˜oes g e s satisfazem

A(gradg) = −grads e

QX = X − tAX = ∇Xgradg − sAX − tAX = ∇Xgradg − (s + t)AX.

Assim, as fun¸cões g e h := s+t podem ser usadas para a constru¸cão da imersão isométrica F : (Mn, f_{h, i) → R}n+1. Logo,

F = df (gradg) + hN = f + tN, isto ´e, F ´e uma hipersuperf´ıcie paralela a f .

Exemplo 3.6. Seja f : (Mn_{, h, i) → R}n+1 uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade Riemanniana simplesmente conexa (Mn_{, h, i) com operador de Weingarten A. Considere}

o tensor de Codazzi Q = −A. Seja a um vetor constante em Rn+1_{. Considerando a como}

uma se¸c˜ao do fibrado induzido f∗_{(T R}n+1_{) e decompondo-a em componentes tangente e}

normal temos

a = df (aT) + hN, aiN.

Diferenciando a com respeito a um campo tangente X e usando as f´ormulas de Gauss e Weingarten, obtemos

0 = da(X) = ∇Xa = ∇X(df (aT) + hN, aiN )

= ∇Xdf (aT) + ∇XhN, aiN

= df (∇XaT) + hAX, aTiN + hN, ai∇XN + XhN, aiN

= df (∇XaT) + hAX, aTiN − hN, aidf (AX) + XhN, aiN

(36)

o que implica em

∇XaT = hN, aiAX e hX, AaTi = −XhN, ai

ou seja,

∇XaT = hN, aiAX e AaT = −gradhN, ai.

Seja g := hf, ai. Dado p ∈ Mn_{, sejam X(p) ∈ T}

pM e α : (−ε, ε) → M uma curva

diferenci´avel tal que α(0) = p e α0(0) = X(p). Ent˜ao,

hgradg(p), X(p)i = dgp(X) = (g ◦ α)0(0) = h(f ◦ α)0(0), ai = hdfp(X), ai, ou seja, hgradg, Xi = hdf (X), ai = hdf (X), df (aT) + hN, aiN i, = hdf (X), df (aT)i

para qualquer campo tangente X. Portanto,

hgradg, aTi = hdf (aT), df (aT)i = haT, aTi =k aT k2 .

Por outro lado,

hgradg, aTi = hdf (gradg), df (aT)i = hgradg, gradgi =k gradg k2 .

Assim,

k aT k=k gradg k

e

hgradg, aTi2 =k aT k2k gradg k2,

o que implica em gradg = aT. Consequentemente as fun¸c˜oes g e hN, ai satisfazem

A(grad g) = −gradhN, ai e

QX = −AX = ∇XaT − hN, aiAX − AX = ∇XaT − (hN, ai + 1)AX.

Dessa forma, as fun¸c˜oes g e h := hN, ai + 1 satisfazem

(37)

27

e portanto podem ser usadas para a constru¸cão da imersão isométrica F : (Mn_{, f}_{h, i) → R}n+1_,

onde ^hX, Y i = hA2_{X, Y i para quaisquer campos tangentes X, Y . Logo,}

F = df (gradg) + hN = df (aT) + (hN, ai + 1)N = a + N,

isto é, F é uma transla¸cão da aplica¸cão de Gauss de f .

A observa¸cão seguinte apresenta uma discussão sobre a unicidade das fun¸cões g e h para um dado tensor de Codazzi que comuta com o operador A.

Observa¸c˜ao 3.7. Suponha que existem dois pares de fun¸c˜oes (g, h) e (g1, h1) tais que

A(gradg) = −gradh e A(gradg1) = −gradh1

e

QX = ∇Xgradg − hAX e QX = ∇Xgradg1 − h1AX,

para qualquer campo tangente X. Então, de acordo com a Proposi¸cão 3.4, as imersões F = df (grad g) + hN e F1 = df (gradg1) + h1N

induzem a mesma m´etrica em Mn e satisfazem dF = df ◦ Q = dF1.

Dessa forma, F1 = F + a, para algum vetor constante a. Considerando a como uma

se¸c˜ao do fibrado induzido f∗_{(T R}n+1_{) e escrevendo a = df (a}

T) + hN, aiN , pelo Exemplo

3.6, temos que aT = gradhf, ai.

Ent˜ao, F1 = F + a ´e equivalente a

df (gradg1) + h1N = df (gradg) + hN + df (aT) + hN, aiN

= df (gradg + gradhf, ai) + (hN, ai + h)N = df (grad(g + hf, ai)) + (hN, ai + h)N. Consequentemente

g1 = g + hf, ai + c e h1 = h + hN, ai,

onde c ´e uma constante real.

Portanto as fun¸cões g e h são unicamente determinadas a menos das fun¸cões hN, ai e hf, ai.

(38)

Tensores de Codazzi e

transforma¸

c˜

oes de Ribaucour de

subvariedades

Neste cap´ıtulo apresentaremos a defini¸cão de transforma¸cão de Ribaucour e o teo-rema que mostra a correspondência entre transforma¸cões de Ribaucour de uma imersão isom´_{etrica em R}n+p

s e os tensores de Codazzi que comutam com a segunda forma

funda-mental dessa imers˜ao.

Classicamente, duas superf´ıcies no espa¸co Euclidiano estão relacionadas por uma transforma¸cão de Ribaucour quando existe um difeomorfismo entre elas preservando as linhas de curvatura tal que as retas normais em pontos correspondentes intersectam um ponto que está equidistante a ambos os pontos, conforme a seguinte figura.

Figura 4.1.

A seguinte defini¸cão de transforma¸cão de Ribaucour é dada para subvariedades arbitr´_{arias de R}n+p

s .

(39)

29

Defini¸cão 4.1. Dada uma imersão isométrica f : Mn_{→ R}n+p

s , dizemos que uma imers˜ao

˜

f : Mn _{→ R}n+p

s ´e uma transforma¸c˜ao de Ribaucour de f quando kf − ˜f k 6= 0 em todo

ponto de Mn _{e existem uma isometria entre fibrados vetoriais P : f}∗

T Rn+p s → ˜f

∗

T Rn+p s ,

um tensor D ∈ S(M ) e um campo de vetores diferenci´avel δ ∈ f∗_{T R}n+p_s com kδk 6= 0 em todos os pontos de Mn, tais que

(a) P(Z) − Z = hδ, Zi(f − ˜f ) para todo Z ∈ f∗_{T R}n+p s ,

(b) d ˜f = P ◦ df ◦ D.

Geometricamente, a condi¸c˜ao (a) significa que para qualquer Z ∈ Tf (x)Rn+ps com

hδ, Zi 6= 0 as retas em Rn+p

s passando por f (x) e ˜f (x) tangentes a Z e P(Z)

respectiva-mente, se intersectam em um ponto que est´a a uma distˆancia comum d = kZk/hδ, Zi de f (x) e ˜f (x).

Figura 4.2.

Quando hδ, Zi = 0, as retas s˜ao paralelas.

Figura 4.3.

A condi¸cão (b) implica que a isometria P preserva as dire¸cões tangentes e portanto preserva as dire¸cões normais.

No que se segue, o termo (P, D, δ) representa a isometria P, o tensor D e o campo δ de uma transforma¸c˜ao de Ribaucour.

O resultado seguinte estende a parametriza¸cão clássica de transforma¸cões de Ribau-cour de uma superf´ıcie dada ([B1] ou [E]). Dado um campo vetorial Z ao longo de uma imersão isométrica f : Mn _{→ R}n+p

s , denotaremos por Z ∗ _{a correspondente 1-forma em} f∗_{T R}n+p s , que ´e, Z ∗_(Y q) = hZq, Yqi para Y ∈ f∗T Rn+ps e q ∈ Mn.

Teorema 4.2. Seja f : Mn_{→ R}n+p_s uma imersão isométrica de uma variedade Rieman-niana simplesmente conexa e seja ˜f : Mn _{→ R}n+p_s uma transforma¸cão de Ribaucour de f determinada por (P, D, δ). Então, existe (ϕ, β) ∈ D(f ) tal que

˜

(40)

onde F = Cϕ,β e ν−1 = hF , F i := ϑ. Al´em disso,

P = I − 2νF F∗, D = I − 2νϕQϕ,β e δ = −ϕ−1F . (4.2)

Reciprocamente, dado (ϕ, β) ∈ D(f ) tal que ϕϑ 6= 0 em todo q ∈ Mn_{, sejam P, D e δ dados}

por (4.2) em um subconjunto aberto U ⊂ Mn _{onde D ´}_{e invert´ıvel. Ent˜}_{ao, ˜}_{f : U → R}n+p s

dada por (4.1) ´e a transforma¸c˜ao de Ribaucour de f |U com (P, D, δ).

Prova. Defina µ ∈ C∞(M ) e ζ ∈ f∗_{T R}n+p_s com hζ, ζi = = ±1 por

f − ˜f = µζ. (4.3)

Ent˜ao, P(Z) = Z + µhδ, Ziζ para todo Z ∈ f∗_{T R}n+p

s . Assim,

µ2hδ, Zi2_{= hµhδ, Ziζ, µhδ, Ziζi = hP(Z) − Z, P(Z) − Zi}

= 2hZ, Zi − 2hP(Z), Zi = 2hZ, P(Z) − µhδ, Ziζi − 2hP(Z), Zi = −2µhδ, ZihZ, ζi.

Observe que, se hδ, Zi = 0 para algum Z ∈ f∗_{T R}n+p

s , temos que P(Z) = Z, e portanto

hζ, Zi = hδ + ζ, Zi = hP(δ) − µhδ, δiζ + ζ, Zi = hP(δ), P(Z)i − µhδ, δihζ, Zi + hζ, Zi = hδ, Zi − µhδ, δihζ, Zi + hζ, Zi = −µhδ, δihζ, Zi + hζ, Zi,

o que implica em µhδ, δihζ, Zi = 0 e, consequentemente, hζ, Zi = 0. Logo

µhδ, Zi = −2hζ, Zi e P(Z) = Z − 2hζ, Ziζ, (4.4) Defina Z0 ∈ T M por df (Z0) = µ−1(df (grad µ) − 2ζ>). Ent˜ao,

h∇XZ0, Y i = Xhdf (z0), df (Y )i − hdf (z0), df (∇XY )i = Xhµ−1(df (grad µ) − 2ζ>), df (Y )i − hµ−1(df (grad µ) − 2ζ>),∇Xdf (Y )i +hµ−1(df (grad µ) − 2ζ>), αf(X, Y )i = Xhdf (µ−1grad µ), df (Y )i − hdf (µ−1grad µ), ∇Xdf (Y )i − 2Xhµ−1ζ, df (Y )i +2hµ−1ζ, ∇Xdf (Y )i − 2µ−1hαf(X, Y ), ζi = h∇Xdf (µ−1grad µ), df (Y )i − 2h∇Xµ−1ζ, df (Y )i − 2µ−1hαf(X, Y ), ζi = hdf (∇X(µ−1grad µ)), df (Y )i − 2µ−1hαf(X, Y ), ζi − 2µ−1h∇Xζ, df (Y )i −2X(µ−1)hζ, df (Y )i

= hdf (∇X(grad log µ)), df (Y )i − 2µ−1hαf(X, Y ), ζi + 2µ−2(X(µ)hζ, df (Y )i

(41)

31

ou seja,

h∇XZ0, Y i = Hess log µ(X, Y ) − 2µ−1hαf(X, Y ), ζi

+2µ−2(X(µ)hζ, df (Y )i − µh∇Xζ, df (Y )i). (4.5)

Por um lado,

hdf (X) − ∇Xµζ, P(df (Y ))i = hd ˜f (X), P(df (Y ))i = hP(df (DX)), P(df (Y ))i = hDX, Y i.

(4.6) Por outro lado, usando (4.4) temos

hdf (X) − ∇Xµζ, P(df (Y ))i = hdf (X), df (Y ) − 2hζ, df (Y )iζi

−h∇Xµζ, df (Y ) − 2hζ, df (Y )iζi

= hX, Y i − 2hζ, df (Y )ihdf (X), ζi − µh∇Xζ, df (Y )i

−X(µ)hζ, df (Y )i + 2X(µ)hζ, df (Y )i, isto ´e,

hdf (X) − ∇Xµζ, P(df (Y ))i = hX, Y i − 2hζ, df (Y )ihdf (X), ζi

+X(µ)hζ, df (Y )i − µh∇Xζ, df (Y )i. (4.7)

Segue de (4.6) e (4.7) que

X(µ)hζ, df (Y )i − µh∇Xζ, df (Y )i = hDX, Y i − hX, Y i + 2hζ, df (Y )ihdf (X), ζi.

Portanto, de (4.5) e D ∈ S(M ), temos

h∇XZ0, Y i = Hess log µ(X, Y ) − 2µ−1hαf(X, Y ), ζi

+2µ−2(X(µ)hζ, df (Y )i − µh∇Xζ, df (Y )i)

= Hess log µ(Y, X) − 2µ−1hαf(Y, X), ζi

+2µ−2(hDX, Y i − hX, Y i + 2hζ, df (Y )ihdf (X), ζi) = Hess log µ(Y, X) − 2µ−1hαf(Y, X), ζi

+2µ−2(hDY, Xi − hY, Xi + 2hζ, df (Y )ihdf (X), ζi) = Hess log µ(Y, X) − 2µ−1hαf(Y, X), ζi

+2µ−2(Y (µ)hζ, df (X)i − µh∇Yζ, df (X)i)

= h∇YZ0, Xi.

Ent˜ao, existe ρ ∈ C∞(M ) tal que Z0 = grad (log ρ). Observe que

(42)

Por sua vez, usando (4.4), obtemos

0 = hdf (X) − ∇Xµζ, ξ − 2hζ, ξiζi

= −2hζ, ξihdf (X), ζi − µh∇Xζ, ξi + X(µ)hζ, ξi.

Consequentemente,

µh∇Xζ, ξi = hζ, ξi(X(µ) − 2hdf (X), ζi).

Al´em disso,

µhZ0, Xi = µhdf (Z0), df (X)i = hdf (grad µ) − 2ζ>, df (X)i

= hgrad µ, Xi − 2hζ, df (X)i, ou seja,

µhZ0, Xi = X(µ) − 2hζ, df (X)i, (4.8)

o que implica em

hZ0, Xihζ, ξi = h∇Xζ, ξi.

Seja F = ρ−1ζ, ent˜ao

hdF (X), ξi = h∇Xρ−1ζ, ξi

= ρ−1hZ0, Xihζ, ξi + X(ρ−1)hζ, ξi

= hζ, ξi(ρ−1hgrad (log ρ), Xi + hgrad ρ−1, Xi) = hζ, ξihρ−1ρ−1grad ρ + grad ρ−1, Xi

= hζ, ξih−ρ−1ρ grad ρ−1+ grad ρ−1, Xi = 0.

Seja ϕ = ₂µρ−1. Assim, utilizando (4.8), segue que hF , df (X)i = ρ−1hζ, df (X)i = ρ−1 1

2(X(µ) − µhZ0, Xi) = ρ−1 1

2(hgrad µ − µ grad (log ρ), Xi) = ρ−1 1 2(hgrad µ − µρ −1 grad ρ, Xi) = 1 2(hρ

−1_{grad µ + µ grad ρ}−1_{, Xi)}

= 1 2hgrad (ρ −1_{µ), Xi} = 1 2X( 2 ϕ) = X(ϕ).

Portanto, podemos escrever F = df (grad ϕ) + β com β ∈ T_f⊥M, e dessa forma, F ´e uma transforma¸c˜ao de Combescure de f .

(43)

33

Seja ν−1 = hF , F i := ϑ, ou equivalentemente, ν = ρ2_{. Por sua vez,}

˜

f − f = −µζ = −2ϕρζ = −2ϕνρ−1ζ. Assim,

˜

f = f − 2ϕνF . Al´em disso, utilizando (4.4), temos

P(Z) = Z − 2hζ, Ziζ = Z − 2ρ2_ρ−2_{hζ, Ziζ = Z − 2νhρ}−1

ζ, Ziρ−1ζ = Z − 2νhF , ZiF , isto ´e,

P = I − 2νF F∗.

Por outro lado, segue-se ent˜ao de (4.4) e da defini¸c˜ao de ϕ que hδ, Zi = −2µ−1ρρ−1hζ, Zi = −ϕ−1hF , Zi, para todo Z ∈ f∗_{T R}n+p_s , o que implica em δ = −ϕ−1F .

Observe que X(ν) = hgrad ρ2, Xi = 2hρ grad ρ, Xi = 2hρ2ρ−1grad ρ, Xi = −2hρ2ρ grad ρ−1, Xi = −2ρ3X(ρ−1) = −2(ρ2hζ, ∇Xζi | {z } = 0 +ρ4hρ−1ζ, X(ρ−1)ζi) = −2(ρ4hρ−1ζ, ρ−1∇Xζ + X(ρ−1)ζi) = −2ν2hF , ∇Xρ−1ζi = −2ν2hF , dF (X)i. Ent˜ao, diferenciando (4.1) temos

d ˜f (X) = df (X) − 2∇XνϕF = df (X) − 2νϕdF (X) − 2X(νϕ)F

= df (X − 2νϕQϕ,β(X)) − 2νX(ϕ)F − 2ϕX(ν)F

= df (X − 2νϕQϕ,β(X)) − 2νF hF , df (X)i + 4F ϕν2hF , dF (X)i

= df (X − 2νϕQϕ,β(X)) − 2νF hF , df (X − 2νϕQϕ,β(X))i.

Por outro lado,

d ˜f (X) = P(df (DX)) = df (DX) − 2νF hF , df (DX)i. Portanto, D(X) = X − 2νϕQϕ,β(X), ou seja,

(44)

Reciprocamente, dado (ϕ, β) ∈ D(f ) tal que ϕϑ 6= 0 em todo q ∈ Mn_{, sejam}

P, D e δ dados por (4.2) em um subconjunto aberto U ⊂ Mn _{onde D ´}_{e invert´ıvel. Seja}

˜

f : U → Rn+p

s dada por ˜f = f − 2νϕF , onde ν

−1 _{= hF , F i := ϑ e F = C} ϕ,β(f ).

Observe que k ˜f − f k2 = 4kνϕF k2 = 4kνk2kϕkkϕϑk 6= 0, em todo q ∈ Mn_{. Al´}_em

disso,

hδ, Zi(f − ˜f ) = h−ϕ−1F , Zi2νϕF = −hF , Zi2νF = −2νF F∗(Z) = P(Z) − Z. De (4.2) segue que F = −ϕδ e portanto ν = ϕ−2hδ, δi−1_{. Ent˜}_ao,

ϕX(ν)F + 2ν2ϕhF , dF (X)iF = −ϕ2X(ϕ−2hδ, δi−1)δ

−2ϕ−2hδ, δi−2h−ϕδ, −ϕ∇Xδ − X(ϕ)δiδ

= −X(hδ, δi−1)δ − ϕ2hδ, δi−1X(ϕ−2)δ −2hδ, δi−2hδ, ∇Xδiδ − 2ϕ−1hδ, δi−1X(ϕ)δ

= −X(hδ, δi−1)δ − hδ, δi−2X(hδ, δi)δ

−2hδ, δi−1ϕ−1X(ϕ)δ − 2hδ, δi−1ϕX(ϕ−1)δ = −X(hδ, δi−1)δ + hδ, δi−1hδ, δiX(hδ, δi−1)δ

| {z } = 0 −2hδ, δi−1(ϕ−1X(ϕ) + ϕX(ϕ−1) | {z } = 0 )δ = 0, para todo X ∈ T M.

Dado X ∈ T M , seja Y = D−1X. Temos que d ˜f (D−1X) = d ˜f (Y ) = df (Y ) − 2∇YνϕF

= df (Y − 2νϕQϕ,β(Y )) − 2νY (ϕ)F − 2ϕY (ν)F

= df (DY ) − 2νhgrad ϕ, D(Y ) + 2νϕQϕ,β(Y )iF − 2ϕY (ν)F

= df (X) − 2νX(ϕ)F − 4ν2ϕhdf (grad ϕ), df (Qϕ,β(Y ))iF − 2ϕY (ν)F

= df (X) − 2νhF , df (X)iF − 2(2ν2ϕhF , dF (Y )iF + ϕY (ν)F

| {z }

= 0

) = P(df (X)),

ou equivalentemente, d ˜f = P ◦ df ◦ D. Portanto, ˜_{f : U → R}n+p_s ´e uma transforma¸c˜ao de Ribaucour de f |U.

2 Pelo Teorema 4.2, qualquer transforma¸cão de Ribaucour de f é determinada por um par (ϕ, β) ∈ D(f ) tal que ϕϑ 6= 0. Além disso, dois pares (ϕ, β) e (ϕ0, β0) dão origem à