Simulação do Escoamento Transônico em torno de Aerofólios

Simulação do Escoamento Transônico em torno de

Aerofólios

Samuel Araújo Lima – IC

Aluno de graduação do curso de Engenharia Aeronáutica do Instituto Tecnológico de Aeronáutica, Bolsista PIBIC – CNPq; Brasil; e-mail: samuellima06@gmail.com

Nide G C R Fico Jr – PQ

Professor Adjunto do Departamento de Aerodinâmica, Divisão de Aeronáutica, Instituto Tecnológico de Aeronáutica, Brasil; email: nide@ita.br

Resumo: Escoamentos transônicos são escoamentos onde a velocidade não-perturbada está próxima da velocidade do som. Geralmente chama-se escoamento trancônico o escoamento cujo Mach encontra-se entre 0,7 e 1,2. Um corpo inserido nesse escoamento poderia alterar a velocidade em determinadas regiões deste de maneira que a natureza do escoamento de alterasse, ou seja, um escoamento supersônico seria subsônico e um escoamento subsônico seria supersônico em determinadas regiões. Estes fenômenos são geralmente acompanhados de ondas de choque, que geram grandes forças de arrasto.

Em uma aeronave (em cruzeiro) é desejável que se tenha a maior velocidade com o mínimo de arrasto, ou seja, deve-se voar o mais rapidamente sem a presença de fenômenos indesejados como ondas de choque.

A pesquisa realizada trata de simular computacionalmente perfis aerodinâmicos (seções de asas) no regime transônico utilizando a teoria potencial, a fim de determinar a presença de ondas de choque e os coeficientes adimensionais do perfil (Cl, Cd, Cm e distribuição de Cp).

Palavras chave: simulação, numérica, transônico, perfil.

1. Introdução

Aerofólios (ou perfis aerodinâmicos) são perfis de asas, portanto são objetos puramente 2-D, e podem ser tratados como asas de alongamento infinito. Sendo assim, toda a simulação numérica é feita levando em conta somente duas componentes de velocidades.

O trabalho foi dividido basicamente em três fase: a obtenção da malha computacional, a solução numérica e o processamento da solução numérica. Conforme será visto posteriormente, a solução numérica fornece apenas os potenciais de perturbação em cada ponto da malha, sendo necessário obter os outros valores a partir deste potencial.

É importante observar que a solução numérica se baseia em um processo iterativo, podendo convergir ou divergir de acordo com o método adotado. Para o método utilizado, encontrou-se alguns casos onde a solução divergiu.

2. Modelo Matemático

A implementação das equações de Navier-Stokes ou de Euler no plano é altamente custosa do ponto de vista computacional. Assim, é mais complexa, do ponto de vista computacional, uma simulação utilizando essa teoria, pois a convergência do resultado, quando existisse, ocorreria após muitas simulações.

Foi utilizado, portanto, um modelo matemático baseado na teoria potencial, chamado de “Potential Flow Method” ou Método do Escoamento Potencial.

Para a elaboração deste modelo toma-se inicialmente que o escoamento encontra-se em regime permanente e é irrotacional, logo suas velocidades podem ser descritas como a derivada parcial de uma função potencial:

u

x

φ

∂

=

∂

, e

v

y

φ

∂

=

∂

Como se trata de regime permanente, a equação da continuidade toma a seguinte forma [3]:

(

)

(

)

(

)

0

0

0 (1)

u

v

V

x

y

y

x

x

y

ρ

ρ

ρ

φ

φ

_ρ

ρ

∂

∂

∇

= ⇒

+

=

∂

∂

⎛

∂

⎞

∂

⎛

_{⎞ ∂}

∂

_⎜

_⎟

_⎜

_⎟

∂

∂

⎝

⎠

⎝

⎠

⇒

+

=

∂

∂

r

Tem-se então uma equação e duas incógnitas:

φ

e

ρ

. Da equação da energia no regime permanente:

( )

2 viscosas corpo

2

V

e

V

q

pV

F

F

ρ

ρ

⎡

⎛

⎞

⎤

∇

⎢

⎜

+

⎟

⎥

=

− ∇

+

+

⎢

⎝

⎠

⎥

⎣

⎦

r

r

&

g

g

Neste ponto é necessário fazer mais uma hipótese simplificadora: supõe-se que como o corpo está a uma velocidade próxima à velocidade do som, até Mach 1,3 [2] , as ondas de choque são fracas o suficiente para não gerar uma adição de calor. Além disso, despreza-se o efeito das forças viscosas e considera-se o perfil livre de forças externas. Assim tem-se:

( )

(

)

(

)

( )

_{( ) ( )}

_{( )}

2 2 0, da continuidade

1

0

2

2

0

0

h h_o o o o o o

V

V

e

V

pV

p

e

V

h u

h v

u

v

h

h

h

u

x

y

x

y

x

y

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

⎡

⎛

⎞

⎤

⎢

⎜

⎟

⎥

⎡

⎛

⎞

⎤

⎢

⎜

⎟

⎥

∇

_⎢

_⎜

+

_⎟

_⎥

= −∇

⇒ ∇

_⎢

_⎜

+ +

_⎟

_⎥

= ⇒

⎢

⎝

⎠

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎜

⎟

⎢

⎜

⎟

⎥

⎝

⎠

⎣

⎦

⎛

⎞

⎜

⎟

∂

∂

∂

∂

∂

∂

⇒

+

= ⇒

_⎜

+

_⎟

+

+

=

∂

∂

_⎜

∂

∂

_⎟

∂

∂

⎝

⎠

r

r

r

g

g

g

1442 443

E 5 5 5 5 5 5F

14444442 4444443

v

Tira-se então que:

0

0

ox oy o

D

uh

vh

h

Dt

+

= ⇒

=

Ou seja, a entalpia de estagnação é constante para cada linha de corrente. Mas como à jusante o escoamento possui condições idênticas, a entalpia para todas as linhas de corrente é igual, logo, a entalpia de estagnação é constante em todo o escoamento:

2 2

cte (2)

2

o

u

v

h

=

Cp T

⋅ +

⎛

_⎜

+

⎞

_⎟

=

Cp T

⋅

_∞

=

⎝

⎠

onde

1

R

Cp

γ

γ

=

−

Adicionou-se uma equação e uma incógnita (T), necessita-se portanto de mais uma equação. Da teoria isentrópica tem-se a terceira equação:

(

)

( ) 1 1 1/ 1

T

(3)

T

γ γ

ρ

ρ

∞ − − ∞

=

Substituindo a equação 3 na equação 2 obtém-se o modelo matemático:

(

)

( )

( )

(

)

(

)

1 1 2 2 2 2 2 2 2 2

0 (4)

1

1

1

(5)

2

2

0 (6)

x x y _y xx xy yy

u

v

M

V

a

u

uv

a

v

γ

ρφ

ρφ

ρ

γ

ρ

φ

φ

φ

− ∞ ∞ ∞

⎧

₊

₌

⎪⎪

⎨

_⎡

₋

_⎛

₊

_⎞

_⎤

⎪

= +

_⎢

⋅

⋅ −

_⎜

_⎟

_⎥

⎪

_⎣

_⎝

_⎠

_⎦

⎩

⇒

−

−

+

−

=

Cujas hipóteses simplificadoras são: • Regime permanente,

• Forças viscosas insignificantes, • Forças de corpo inexistentes,

• Velocidade até no máximo 1,2 vezes a velocidade do som (Mach 1,2), garantindo ondas de choque fracas,

• Escoamento irrotacional.

É importante observar que o modelo sempre fornecerá resultados, mesmo quando as hipóteses não são respeitadas, mas os resultados somente serão coerentes e próximos da realidade quando se observa as hipóteses.

Deve-se verificar se o modelo satisfaz a conservação de momento. Através de uma simples manipulação algébrica ([1] pág. 2-6) pode-se verificar isto:

Multiplicando a equação 4 por

u

, a aplicando a condição de irrotacionalidade,

y x y x

u

v

y

x

φ

φ

∂

∂

=

_∂

=

_∂

=

tem-se:

( )

2

(

)

(

2

)

0

2

y x x

u

uv

ρ

u

v

2

ρ

₊

ρ

₋

⎡

₊

⎤

⎣

⎦ =

Aplicando a equação 3, e as relações isentrópicas:

( )

(

)

(

)

( )

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

2 2

das relações isentrópicas 2 2

2

2

0

2

0

0

x y x y x x p x y x

u

uv

Cp T

Cp T

u

uv

Cp T

p

u

_uv

p

u

uv

x

x

y

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

∞ ∂ ∂

⎡

⎤

+

−

_⎣

⋅

−

⋅

_⎦

=

+

+

⋅

⋅

=

∂

+

∂

∂

⇒

+

+

= ⇒

+

=

∂

∂

∂

14442 4443

⇒

De onde se chega que o modelo conserva quantidade de movimento em x. Procedendo analogamente, chega-se que o modelo também conserva quantidade de movimento em y.

Ou seja, nas regiões sem a presença de ondas de choque a quantidade de movimento é conservada. Mas a presença de ondas de choque gera descontinuidades, isso implica que através de

ondas de choque ou na vizinhança delas, o modelo adotado não conserva Quantidade de Movimento.

Pode-se observar, portanto que o arrasto de onda (diferença entre quantidade de movimento antes e depois da onda de choque) possui neste modelo uma causa diferente do arrasto de onda de Euler.

As equações de Euler prevêem uma perda de pressão total através de ondas de choque, logo, se a pressão a montante é a mesma que a jusante, as velocidades a montante são menores. O que implica que a queda da pressão total é a origem do arrasto de onda.

As equações do método do escoamento potencial não prevêem essa perda de pressão total, pois se baseam na teoria isentrópica, onde através de ondas de choque a entalpia e a entropia se conservam. Mas ao incluir as ondas de choque no Volume de Controle tem-se que a quantidade de movimento (prevista pelo modelo) não se conserva, gerando um arrasto de onda. Portanto o arrasto de onda previsto pelo método do escoamento potencial se deve às aproximações (hipóteses) feitas.

A discretização da equação potencial total (“Full potential Equation” ou FPE) em um grid qualquer é complicada, pois cada ponto pode depender de alguns pontos próximos, pontos que variam caso o escoamento seja supersônico ou subsônico.

Para solucionar o problema, adotou-se um novo sistema de coordenadas, da maneira observada em (7). Sendo assim, tem-se que a FPE no novo sistema de coordenadas pode ser escrita como (8). Esse método foi inicialmente apresentado por Jameson [2] e é conhecido como “Jameson´s Rotated Difference Scheme” (Esquema de Diferenças Rodadas de Jameson).

cos

sin

cos

sin

cos

sin

cos

sin

s

x

y

n

y

x

x

s

n

y

s

n

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

=

+

⎧

⎨ =

−

⎩

=

−

⎧

⎨ =

+

⎩

(7)

(

2 2

)

2

0

ss nn

a

−

q

φ

+

a

φ

=

(8)

A discretização feita no esquema de diferenças rodadas é realizada de maneira que se computa os valores de interesse (velocidade e densidades) em pontos intermediários aos pontos do grid ( (i+1/2,j), (i,j-1/2), etc), para posteriormente se computar os valores nos pontos do grid.

Procedendo desta maneira, a equação discretizada a ser resolvida é (9).

1 1 1 , , , , 2 2 2 2

ˆ

ˆ

0

i j i j i j i j

U

U

U

U

J

J

J

J

ρ

ρ

ρ

ρ

+ − + −

⎛

⎞

₋

⎛

⎞

₊

⎛

⎞

₋

⎛

⎞

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

1

=

(9) Onde:

ˆ

jacobiano da transformação

x y

x

y

J

x y

_{ξ η}

x y

_{η ξ}

ρ ρ µ ρ

ρ ρ µ ρ

= − ∆

= − ∆

=

=

−

Como possui-se somente os valores computados no plano transformado

ξ η

×

. Sendo assim, aplica-se transformação de variáveis, e obtêm-aplica-se um sistema de equações (10).

1 1 1 1 1 , 1, , , 1 , , , , 1 , 1, n n n n n i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j

B

∆

ϕ

₋+

+

C

∆

ϕ

+₋

+

D

∆

ϕ

+

+

E

∆

ϕ

+₊

+

F

∆

ϕ

₊+

=

R

n (10) onde:

( )

( )

( )

(

)

2 2 1 2 2 3 1 , , 2 1 , _, 2 1 , , 2 , , , ,

resto (deve tender a zero para que haja convergência)

x y x y i j i j i j _{i j} i j i j i j i j i j i j

A

J

A

J

B

A

C

A

E

A

D

B

C

E

R

ξ

ξ

η η

ρ

ρ

ρ

− − +

+

=

+

=

=

=

=

= −

+

+

=

Esse sistema de equações foi resolvido iterativamente, para cada valor de i, variando de i=1 a i=imáx

-1. Sendo assim, o termo dependente de Fi,j teve que ser desprezado, o que somente diminuiu um pouco a convergência. O processo iterativo foi feito de maneira que o valor do resíduo foi sempre observado. Como resultado obteve-se o potencial de perturbação, de onde obteve-se os valores de Mach no grid, bem como os coeficientes aerodinâmicos.

3. Resultados

Utilizou-se um O-grid como o visto nas figuras 1 e 2, devido a sua larga utilização e ao fato de ser um grid bem conhecido.

X

Y

-5

0

5

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

X

Y

0

0.5

1

-0.5

0

0.5

Figura 2 – Vista dos pontos do grid próximos ao perfil NACA-0012

Simulou-se inicialmente um perfil NACA 0012 para Mach = 0,70 e com ângulo de ataque de 2° para conferir a rotina adotada, comparando o resultado com o resultado apresentado por Mason [3], obtidos com a rotina FLO36. Obtiveram-se os resultados expostos nas figura 3 e 4. A partir destes resultados, pôde-se observar que o método utilizado apresentou resultados coerentes, mas ondas de choque mais fracas que as esperadas (em x/c próximo de 0,3). Os valores obtidos para os coeficientes aerodinâmicos foram: Cl= 0.3678, Cd= 0.0026 Cmc/4= -0.00276, e resto de 2,477×10-7 para 1500 iterações.

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 X/C Cp Resultados Obtidos

Resultados obtidos usando o FLO36

Figura 4 – Mach do escoamento em torno do primeiro caso simulado

A fim de continuar a validação do modelo adotado, realizou-se outra simulação, utilizando o perfil NACA 0012 anteriormente utilizado, para Mach = 0,75 e ângulo de ataque de 2º. Os resultados foram plotados e estão exibidos nas figuras 5 e 6, e foram novamente comparados com o resultado apresentado por Mason [3]. Obteve-se que o resultado obtido foi muito próximo do visto na referência, inclusive a posição da onda de choque, que ficou em torno de 0,55. Sendo assim, o modelo utilizado foi validado, e apresenta resultados coerentes.

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 X/C Cp Resultado Obtido

Resultado obtido Usando FLO36

Figura 6– Mach do escoamento em torno do segundo caso simulado

Os valores obtidos para os coeficientes aerodinâmicos foram: Cl=0,4950. Cd=0,1332, Cmc/4=0,00942 , com resto de 6,28×10-8 para 2500 iterações.

É possível observar pela figura 5, que a distribuição de Cp apresenta uma certa suavidade, o que provavelmente se deve à suavização feita pelo software que se utilizou para plotar a distribuição.

4. Conclusão

Para os casos analisados, obteve-se condições próximas às previstas, o que validou o modelo adotado.

É importante observar que erros devido à falta de refinamento do grid ocorreram, e o refinamento do grid é algo extremamente necessário para um bom resultado.

Por fim, deve-se apenas aperfeiçoar o método de resolução das equações, a fim de que se tenha uma maior compatibilidade sem que ocorra divergência do processo. Esse aperfeiçoamento pode ser por meio de métodos diferentes de resolução da matriz ou através da utilização de dados iniciais mais calibrados, como por exemplo de potenciais de perturbação calculados para um Mach levemente inferior ao Mach crítico.

Agradeço principalmente a Deus por ter tido oportunidade de realizar esse trabalho. Agradeço também à minha família, à minha namorada e aos meus amigos por todo o suporte.

Agradeço também ao CNPq pela oportunidade de ter tido suporte financeiro durante o período de elaboração do trabalho.

Colaborou com esse trabalho, além do professor-orientador, prof. Nide, a bolsista Luciana Mesquita Monteiro.

6. Referências Bibliográficas

[1] L.N. Sankar and M. J. Smith, Advanced Compressible Flow II, Georgia Institute of Technology, 1995

[2] Jameson, Antony; Iterative Solution of Transonic Flows Over Airfoils and Wings, Including Flows at Mach 1; Comm. Pure Appl. Math.; Vol. XXVII, 1974, pp. 283-309. www.wiley.co.uk/ecm/pdfs/Volume_3_Chapter_11_extract.pdf , acessado em 29/01/2006

[3] W.H. Mason, Transonic Aerodynamics of Airfoils and Wings, http://www.aoe.vt.edu/~mason/Mason_f/ConfigAeroTransonics.pdf, acessado em 29/07/2006

[4] Anderson, J.D. , Fundamentals of Aerodynamics, Third Edition, McGrawHill. [5] Jameson, Antony; Encyclopedia of Computational Mechanics, Chapter 11, Aerodynamics, www.wiley.co.uk/ecm/pdfs/Volume_3_Chapter_11_extract.pdf , acessado em 29/01/2006.