Capítulo 3. O Modelo de Membrana

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Capítulo 3. O Modelo de Membrana

3.1. Introdução

3.1.1. Teorias de corte para elementos de membrana de betão armado

Desde o conceito do modelo de treliça plana avançado por Ritter [70] e Mörsch [60] para o corte em betão armado, têm sido desenvolvidos uma série de modelos teóricos para o corte em elementos de membrana têm sido desenvolvidos com crescente sofisticação. Os Modelos racionais que satisfazem o equilíbrio, compatibilidade e relações constitutivas não lineares incluem o Compression Field Theory (CFT) [20,1] e o Rotating-Angle SoftenendTruss

Model (RA-STM) [66,42]. O mais recente desenvolvimento teórico para tratar elementos de membrana de betão armado em corte é o Softened Membrane Model (SMM) [44]. O SMM tem em consideração o efeito Poisson do betão armado em estado fissurado, que é caracterizado por dois índices Hsu/Zhu [86]. Como resultado, o SMM consegue satisfatoriamente prever toda a resposta monotónica das curvas carga-deformação, bem como as respostas pré-fissuração e pós-fissuração. Em 2005, Mansour e Hsu [53,54] desenvolveram o Cyclic Softened Membrane

Model (CSMM) que constitui uma extensão do SMM para prever os “ciclos histeretics” de elementos de membrana bidimensionais (2D) sujeitos a uma carga cíclica.

3.1.2. O Coeficiente de redução nas teorias de corte

Um elemento de membrana de betão armado sujeito ao corte é um problema 2D, porque a tensão de corte pode ser determinado segundo um tensor das tensões principal e um tensor das tensões de compressão principal na direcção de 45º. Para um elemento de membrana 2D como, Robinson e Demorieux [71] descobriram em 1968 que a redução de tensão principal de compressão foi reduzido, ou (Softened), devido á tensão de tracção na direcção perpendicular.

Vecchio e Collins [78] mostraram em 1981 que o coeficiente de redução da curva de tensão compressão-torção do betão era uma função da torção de tensão principal

ε

1, em vez do stress tensor principal. Isto é lógico porque a tensão normal

ε

1 é uma medida directa da severidade de fendilhação. Em 1995, Zhang e Hsu estudaram o comportamento ao corte de painéis de betão armado executados com betão até 100 MPa. Eles descobriram que o coeficiente de corte era não só uma função extensão perpendicular

ε

1 como também uma função de resistência à compressão do betão, '

c

f [84].

Em 2006, Wang [81] afirmou que o coeficiente de redução na SMM, para ser uma função do ângulo de desvio β (diferença entre a direcção de aplicação de carga e a direcção principal de tensão). Ao tratar o coeficiente de redução em função de todas as três variáveis

(Ɛ1, fc’ e β), o SMM torna-se muito poderoso, aplicável aos elementos de membrana com

(2)

3.1.3 Teorias de torção para o betão armado

Ao estender o modelo de treliça plana (2-D), de Ritter e Morsch para o modelo de treliça espacial (3-D), Rausch [68] em 1929 desenvolveu a primeira teoria de torção de elementos de betão armado. Rausch utilizou a teoria tubo de Bredt [17] para relacionar o momento torsor T com o fluxo de corte q na parede do tubo através de uma simples relação: T = (2 Ao)q, onde A0 é a área limitada pela linha média do fluxo de corte.

A torção é um problema mais complicado do que o corte, porque é um problema 3-D envolvendo não apenas o problema de corte de elementos de membrana 2-D na parede do tubo, mas também o equilíbrio e compatibilidade do elemento 3-D e da deformação das paredes do tubo que provoca flexão nas escoras de betão. A espessura efectiva da parede do tubo foi definido pela zona de fluxo de corte [45] na qual a tensão do betão varia de zero a um máximo na extremidade, criando assim um forte gradiente de tensão.

Ao incorporar as duas equações compatíveis de um elemento, a Compression Field

Theory (CFT) para o corte foi aplicada para prever a não lineariedade do comportamento torsional pós-fendilhação do elemento, até ao momento torsor máximo [22]. Esta teoria de torção não utilizou a curva tensão (σ) – extensão (ε) do betão tendo em conta o softening effect, mas assumiu que o recobrimento do betão se destacava antes de atingir a carga máxima e por isso não é contabilizado no cálculo.

Neste modelo, o pressuposto conservador de desprezar o recobrimento foi adoptado para compensar o facto de não ser utilizado numa relação σ – ε que tem em conta o softening effect

Em 1985, Hsu e Mo [38] desenvolveram o modelo Softened Truss Model (STM) para prever o comportamento pós-fissuração de elementos de betão armado em torção até o ponto mais alto. A curva de σ - ε do betão, em que o coeficiente de redução foi derivado a partir do corte sem um gradiente de tensão, foi incorporada. O Modelo de Hsu e Mo prevê razoavelmente o comportamento de vigas à torção e fornece uma explicação do porquê que modelo de Rausch consistentemente sobrevaloriza a resistência à torção final. Basicamente, a redução de resistência do betão aumenta a espessura da zona do fluxo de corte e diminui a área de A0 o que por sua vez, reduz a resistência à torção da secção transversal [45,34]. No presente trabalho, o modelo para o corte de elementos de membrana, SMM, é aplicado à torção passando a ser designado de Softened Membrane Model for Torsion (SMMT) que é capaz de prever o comportamento global de vigas de torção, incluindo a fase comportamental pré-fendilhação e pós-fendilhação, bem como os ramos pré-pico e pós-pico. No SMMT são necessárias duas modificações às relações constitutivas para ter em conta o gradiente de tensão causado pela flexão das escoras de betão na zona de fluxo de corte.

(3)

3.2. O SMMT

3.2.1. Equações de equilíbrio

Quando um membro prismático de betão armado é submetido a uma torção externa T conforme mostrado na figura. 3.1(a), a torção externa é resistida por uma torção interna resultante de um fluxo de corte circulatório q. Este fluxo de corte q desenvolve-se na casca externa da secção, com uma espessura efectiva td. O elemento A (Fig. 3.1) na zona de fluxo

de corte é sujeito a um estado puro de corte (Fig. 3.1(b)). O equilíbrio em plano deste elemento, de acordo com o SMM [44], satisfaz três equações algébricas que podem ser expressas na forma matricial como se segue:

{

}

[

( )

]

{

}

{

}

T t t l l T c c T lt t l T f f 0 1 21 1 2 2

σ

τ

ρ

α

τ

σ

= + (3.1) Onde: t l

σ

,

tensões normais aplicados na direcção l (longitudinal) e na direcção t (transversal) das barras de aço, respectivamente;

[T(α2)] matriz de transformação, conforme definido pela Eq. (3.2);

c

21

τ

tensão de corte média do betão nas coordenadas 2-1;

lt

τ

tensão de corte aplicado, nas coordenadas l-t das barras de aço;

ρl,ρt taxa de armadura longitudinal e transversal do aço, respectivamente (

ρ

_l

=

A

_l

/

ρ

₀

t

_d e

d t t

=

A /

st

ρ

);

fl, ft tensão média (comum) do aço no sentido longitudinal e transversal, respectivamente

A matriz transformação [T (α

2

)]é dada por:

( )

[

]













−

=

2 2 2 2 2 2

2

2 s

sc

c

s

sc

s

c

T

α

(3.2) Onde

c – cos

s - sen

Na torção pura, o elemento A está sujeito a um estado de corte puro, com as tensões normais σl = σt = 0 e α2 = 45º. Ao empregar o conceito de tubo fino, uma quarta equação [17] é usada para descrever toda a secção transversal.

lt d

t

A

q

A

T

=

2

₀

=

2

₀ (3.3) Onde:

td espessura da zona do fluxo de corte; q fluxo de corte;

lt

τ

tensão de corte aplicada, na coordenada l-t das barras de aço,

A0 área delimitada pela linha central do fluxo de corte: A₀ = A_c −(0,5)p_ct_d +t_d2 , para uma secção rectangular

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Fig. 3.1– Secção betão armado submetidos à torção (a) fluxo de corte da secção transversal, (b) estado

de tensão de elemento A no plano [50]

3.2.2. Equações de compatibilidade

A compatibilidade no plano do elemento de corte A (Fig. 3.1(b)) satisfaz três equações [44], que podem ser expressas em forma matricial como se segue:

{

}

T

[

( )

]

{

}

T lt t l

ε

γ

/2 T

α

2

ε

2

ε

1

γ

21/2

ε

= (3.4) Onde:

Ɛl , Ɛt extensão média biaxial nas direcções l e t das barras de aço, respectivamente; γlt distorção média na coordenada l-t das barras de aço;

[T(α2)] matriz de transformação, conforme definido pela Eq. (3.2);

Ɛ1, Ɛ2 extensão média biaxial na direcção 1 e direcção 2, respectivamente; γ21 tensão de corte média na coordenada 2-1.

As 4ª e 5ª equações de compatibilidade são dadas como se segue [34]:

lt

A

p

γ

θ

0 0

2 =

(3.5) 2 2

α

θ

φ

= sen (3.6) Onde:

θ ângulo de torção por unidade de comprimento;

P0 perímetro da linha média do fluxo de corte; p0 = pc – 4 td para secções rectangulares; A0 área delimitada pela linha média do fluxo de corte:

( )

2 0

A

c

0 ,

5 p

c

t

d

t

d

A

=

−

+

, para uma secção rectangular;

α2 ângulo fixo, ângulo de aplicação de tensão de compressão (eixo 2) em relação às barras de aço longitudinais (eixo 1)

Na Eq. (3.6), em virtude da curvatura ϕ resulta uma distribuição de extensão não uniforme, ou gradiente de extensão, nas escoras de betão . O gradiente de extensão é ilustrado na Fig. 3.2(a) pelos diagramas de extensão triangulares nas direcções 1 e 2. A distribuição da tensão é considerada linear e a profundidade da zona de compressão das escoras de betão é assumido como sendo a espessura da zona do fluxo de corte td. Assim, temos

(5)

φ

ε

s d

t

=

2 (3.7) Onde: s s 2 1 ,

ε

extensão uniaxial na superfície na direcção 1 e direcção 2, respectivamente ϕ curvatura das escoras do betão ao longo da direcção 2

Considera-se que a extensão uniaxial média

ε

2 está relacionada com a extensão máxima uniaxial

ε

2sà superfície por

ε

2 =

ε

2s/2 [34].

Substituindo e manipulando as Eqs. (3.5)-(3.7) e as equações para calcular p0 e A0 para secções rectangulares listadas em nomenclaturas resulta a seguinte expressão para calcular a espessura efectiva td da zona de fluxo de corte [50]:

(

)

(

)



_









+

−











 +

−











 +

×

+

=

_c _c _c d

p

Q

A

Q

p

Q

t

4

2

1

2

1

4

2

1

2 2 (3.8)

Onde

2 2 2 2

2

4

2

2 α

γ

ε

α

γ

ε

sen

Q

lt lt s

₌

=

(3.9) Onde:

Q Variável externa, tal como definido na Eq. (3.9) Pc perímetro da secção transversal do betão

Ac área transversal delimitada pelo perímetro exterior do betão

s s 2 1 ,

ε

extensão uniaxial de superfície na direcção 1 e direcção 2, respectivamente 2

1,

ε

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Fig. 3.2– Flexão nas escoras de betão (a) estado biaxial de tensão com flexão transversal (b) [50]

3.2.3. Relação entre tensões biaxiais e tensões uniaxiais

A relação entre as tensões biaxiais e as tensões uniaxiais são expressas matricialmente através de [44]:

{

}

T

[ ]

{

}

T

V

/

2

2 /

₂ ₁ ₂₁ 21 1 2

ε

γ

ε

γ

ε

=

(3.10)

Onde [V] é a matriz de conversão:

[ ]













−

=

1

0

1

0

1

21 12 21 12 21 21 12 21 21 12

ν

V

(3.11)

E

{

}

_T

[

( )

]

{

}

T lt t l

ε

γ

/

2 T

α

₂

ε

2

ε

1

γ

₂₁

/

2 ε

=

(3.12) Onde: 2 1,

ε

extensão média da tensão uniaxial na direcção 1 e direcção 2, respectivamente; [V] matriz de conversão como definido pela Eq. (3.11);

ν12,ν21 relações Hsu/Zhu usados no SMM

ν

12

=

0 ,

2 +

850 ε

sf_onde

ε

sf

≤

ε

y_ou

ν

21 =1,9_onde

ε

sf

>

ε

y_;

0

21 =

ν

_;

t l

ε

, extensão uniaxial média na direcção l e na direcção t das barras de aço, respectivamente; [T(α2)] matriz de transformação, conforme definido pela Eq. (3.2)

(7)

3.2.4. Relação constitutiva de betão em compressão

É necessário adoptar, uma relação σ-ε para o betão comprimido tendo em conta o softening effect [81]. A relação usada é a ilustrada na Fig. 3.3 (a). O coeficiente de redução ξ na Fig. 3.3 (a), que representa a redução da tensão de compressão do betão, é expressa em função de três variáveis: a extensão

ε

1na principal direcção, a resistência do betão f_c' e o ângulo de desvio β. A tensão de compressão nas escoras de betão é definida por:

c c c

f

k

₁

'

2

ξ

σ

=

(3.13)

O factor k1c é obtido pela integração das equações σ-ε na fig. 3.3(a), como se segue:

( )

1

3

0 2 2 0 2 2 0 2 1

=

−

_ξε

≤

ε

ξε

ε

ξε

ε

s s s c

se

k

(3.14)

(

)

(

4 )

1

3

1

0 2 2 0 0 2 3 0 2 2 0 1

>

−

=

ξε

ε

ξε

ε

ξε

ε

ξε

s s s s c

se

k

Onde: c c 2 1

,

σ

tensões normais médias do betão na direcção 1 e na direcção 2 respectivamente;

K1c relação entre a tensão média de compressão e o pico de tensão de compressão nas escoras de betão; ξ coeficiente de redução do betão em compressão;

fc’ resistência à compressão do betão;

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Fig. 3.3– Relações constitutivas dos materiais: (a) Betão à compressão; (b) Betão à tracção; (c) aço à

tracção [50]

3.2.5 Relação constitutiva de betão à tracção

Na generalidade das teorias para torção para o cálculo de resistência [22,41,40-31], a tensão de tracção do betão é negligenciada. Por isso, nenhum desses modelos pode prever o momento torsor de fendilhação, Tcr, nem a resposta pré-fendilhação ou convenientemente a resposta pré-pico da curva T-θ. Essas limitações são superadas pelo SMMT, que incorpora com sucesso este efeito. O elemento A da Fig. 3.1 é submetido a um estado de tensão biaxial no plano com flexão transversal. As escoras e tirantes de betão em tal elemento são esquematicamente ilustradas na Fig. 3.2(a) com a hipótese assumida de uma distribuição linear da tensão normal. A flexão transversal cria uma superfície parabolóide hiperbólica, como exemplificado na Fig. 3.2(b) [34]. Na direcção 2, a curvatura ϕ da curva OD é a segunda derivada de w em relação ao comprimento na direcção 2, tendo-se verificado estar relacionada com o ângulo de torção θ e o ângulo fixo α2 pela Eq. (3.6). Similarmente, na direcção 1, é possível derivar a curvatura ϕ da curva AC como a derivada de w respeitante ao comprimento na direcção 1.

(9)

φ

α

θ

ϕ

=

₂

=

−

2

=

−

2

2 sen

dt

w

d

(3.15) Onde:

ϕ curvatura dos tirantes do betão ao longo da direcção 1;

w deslocamento “na direcção normal ao plano médio do elemento de membrana; θ ângulo de torção por unidade de comprimento

α2 ângulo fixo, ângulo de tensão principal de compressão aplicado (eixo 2) em relação a barras de aço longitudinais (eixo 1);

ϕ curvatura das escoras do betão ao longo da direcção 2

Supondo que a curvatura ϕ esta associada a uma distribuição de tensão linear naespessura efectiva td, e assumindo a mesma profundidade td para a zona de tracção tal como para a

zona de compressão, a tensão máxima

ε

1s pode ser calculada como

d s

ϕ

t

ε

1

=

(3.16)

Onde:

ϕ curvatura dos tirantes do betão ao longo da direcção 1

A tensão uniaxial

ε

1sestá relacionada com a tensão máxima uniaxial à superfície ε1s

através de

ε

1

=

ε

1s

/

2

A relação constitutiva para o betão em tracção pode agora ser estabelecida. Similarmente à relação para o betão à compressão, um factor de tensão é derivado para traduzir a relação constitutiva do betão á tracção. Para distinguir a relação à compressão da relação constitutiva à tracção, um subscrito ‘c’ é acrescentado ao factor k1 nas Eqs. (3.13) e (3.14) para o betão em compressão e um subscrito ‘t’ é acrescentado ao factor k1 para betão em tracção tal como se segue:

cr t c

f

k

₁ 1

=

σ

(3.17) Onde:

fcr, tensão de fissuração do betão

O factor k1t é obtido por integração de relação constitutiva do betão à tracção (Fig. 3.3 (b)): Neste estudo, a relação constitutiva do betão à tracção usada é a proposta por Belarbi e Hsu [12] (curva tracejada na Fig. 3.3 (b)) que foi obtida a partir do ensaio de placas ao corte e corrigida pelos autores para ser usada no âmbito de vigas à tracção.

Da integração da relação constitutiva da Fig. 3.3(b) resultam as seguintes expressões para o factor k1t:

1

2

1 1 1

=

≤

cr s cr s t

se

k

ε

(3.19)

( )

0 ,

6

[

( )

]

1

2

1 6 , 0 6 , 0 1 4 , 0 1

=

+

−

>

s cr s cr cr t

se

k

ε

(10)

3.2.6. Relação constitutiva média de barras de aço embutidas em betão

Uma vez que a tensão de tracção do betão é incorporada no SMMT, a relação σ-ε uniaxial das barras de aço deve ser substituída pela relação σ-ε de barras de aço embutidas em betão [66,43], conforme ilustrado na Fig. 3.3 (c).

3.2.7 Relação constitutiva de betão ao corte

Jeng e Hsu [50] incorporaram no SMMT, um módulo de distorção racional [85] para relacionar a tensão de corte do betão, com a distorção, como se segue:

(

)

21 2 1 2 1 21

2 ε

ε

γ

σ

τ

−

=

c c c _(3.20)

3.2.8. Algoritmo solução

O algoritmo solução do SMMT proposto por Jeng e Hsu [50] encontra-se ilustrado na Fig. 3.4.

(11)

A necessidade de recorrer a um procedimento corte iterativo prende-se com a existência de três variáveis interdependentes, ε2, ε1 e γ21.

3.3. Considerações finais

O SMMT, é capaz de prever toda a resposta T – θ de uma viga de betão armado em todas as suas fases comportamentais sujeitas à torção.

Os autores apenas validam o SMMT tendo por base vigas de secção cheia e apenas comparam os T e o θ correspondentes ao ponto de fissuração e do momento resistente, o que é pouco se se quiser afirmar que o SMMT é um bom modelo.