Le probl`eme des rotations de Mazur: groupes d’isom´etries et transitivit´e dans les espaces de Banach, avec C. Rosendal Partie 3

Le probl` eme des rotations de Mazur: groupes d’isom´ etries et transitivit´ e dans les espaces de

Banach, avec C. Rosendal

Partie 3

Valentin Ferenczi,

Universit´e de S˜ao Paulo - UPMC

Mini-cours du GDR, Mai 2016

Valentin Ferenczi, Universit´e de S˜ao Paulo - UPMC Groupes d’isom´etries

Probl` eme de Mazur, version isom´ etrique

Probl`eme (Rotations de Mazur, version isom´etrique)

Sik.kest une norme ´equivalente sur H, transitive, doit-elle ˆetre hilbertienne?

Bien sˆur, siG =Isom (H,k.k) est un groupe d’unitaires

relativement `a une norme ´equivalente hilbertienne k.k⁰ sur H, alors par transitivit´ek.k⁰ sera un multiple dek.k et donck.ksera hilbertienne.

Donc le probl`eme de Mazur isom´etrique est li´e `a la question de savoir quelles repr´esentations born´ees surH sontunitarisables, i.e.

unitaires pour une certaine norme hilbertienne ´equivalente.

Fixons quelques d´efinitions.

Repr´ esentations born´ ees de groupes

Une repr´esentation de groupes π: Γ→GL(H) est dite born´eesi π(Γ) est born´e. On sait queπ est alors une repr´esentation isom´etriquepour une norme ´equivalente surH, par exemple k|xk|= sup_g∈G kgxk₂ - ici ”isom´etrique” veut dire queπ(γ) est une isom´etrie pour toutγ.

SIX =H Hilbert, cette norme n’est pas a priori hilbertienne, donc on d´efinit aussi:

D´efinition

Une repr´esentation π : Γ→GL(H) est

unitaire, siπ(γ) est une isom´etrie (i.e. un unitaire),∀γ ∈Γ.

unitarisable s’il existe une norm ´equivalentehilbertienne sur H pour laquelleπ est unitaire.

Valentin Ferenczi, Universit´e de S˜ao Paulo - UPMC Groupes d’isom´etries

Day-Dixmier

Th´eor`eme (Day-Dixmier, 1950)

Toute repr´esentation born´eeπ: Γ→GL(H)d’un groupe (d´enombrable) discret moyennable Γ est unitarisable.

D´efinition

Un groupe (d´enombrable) discret G est moyennable s’il admet une mesure de probabilit´e µfiniment additive invariante `a gauche, µ(gA) =µ(A) si g ∈G et A⊂G .

D´emonstration: Soit k.k une norme ´equivalente π(Γ)-invariante (i.e. π(γ)∈Isom(H,k.k) pour toutγ). Soit < ., . >un produit interne tel quekx₀k=√

<x0,x0 >pour x0 fix´e. On d´efinit [x,y] =

Z

γ∈Γ

< π(γ)x, π(γ)y >dµ,

C’est un produit scalaire pour lequelπ(γ) est unitaire pour toutγ, kxk⁰ p

kxk.

Probl` eme de Dixmier

On va voir que Ehrenpreis et Mautner (1955) montrent que cela ne s’´etend pas aux groupes non-moyennables.

Question (Probl`eme d’unitarisabilit´e de Dixmier) Soit G un groupe d´enombrable discret dont toutes les

repr´esentations born´ees sur H sont unitarisables. G doit-il ˆetre moyennable?

On va maintenant ´etudier certaines repr´esentations born´ees

”triangulaires” non-unitarisables (de groupes non moyennables) d´efinies `a partir de ”d´erivations”.

Valentin Ferenczi, Universit´e de S˜ao Paulo - UPMC Groupes d’isom´etries

D´ erivations

D´efinition

SoitΓun groupe etλ: Γ→GL(H) une repr´esentation unitaire.

On appelle d´erivation deλune application born´ee deΓ dansL(H) telle que

d(γγ⁰) =d(γ)λ(γ⁰) +λ(γ)d(γ⁰), ce qui signifie que

λd(γ) :=

λ(γ) d(γ) 0 λ(γ)

d´efinit une repr´esentation λ_d : Γ→GL(H) =GL(H₁⊕H₂).

D´ erivations internes

On a l’´equivalence classique:

Proposition

Sont ´equivalents, pour d d´erivation de λ: Γ→GL(H):

1 λd est unitarisable

2 d est ”interne”: il existe A∈ L(H) :d(γ) =−Aλ(γ) +λ(γ)A

3 il existe une projection lin´eaire continue p de H₁⊕H₂ sur H₁, qui estλd(Γ)-invariante (p(λd(γ)) =λd(γ)p pour toutγ).

D´emonstration: (1) ⇒(3)

On utilise la projection associ´ee `a H1⊕H<sub>1</sub><sup>⊥</sup> o`u l’orthogonal est pris au sens de la norme hilbertienne pour laquelleλ_d est unitaire. CommeH1 estλ(Γ)-invariant,H₁^⊥est invariant par toutλ(γ)^∗=λ(γ)⁻¹ =λ(γ⁻¹), doncλ(Γ)-invariant.

Valentin Ferenczi, Universit´e de S˜ao Paulo - UPMC Groupes d’isom´etries

D´ erivations internes

On a l’´equivalence classique:

Proposition

Sont ´equivalents, pour d d´erivation de λ: Γ→GL(H):

1 λd est unitarisable

2 d est ”interne”: il existe A∈ L(H) :d(γ) =−Aλ(γ) +λ(γ)A

3 il existe une projection lin´eaire continue p de H₁⊕H₂ sur H₁, qui estλd(Γ)-invariante (p(λd(γ)) =λd(γ)p pour toutγ).

D´emonstration: (1) ⇒(3) On utilise la projection associ´ee `a H1⊕H<sub>1</sub><sup>⊥</sup> o`u l’orthogonal est pris au sens de la norme hilbertienne pour laquelleλ_d est unitaire. CommeH1 estλ(Γ)-invariant,H₁^⊥est invariant par toutλ(γ)^∗ =λ(γ)⁻¹ =λ(γ⁻¹), doncλ(Γ)-invariant.

D´ erivations internes

On a l’´equivalence classique:

Proposition

Sont ´equivalents, pour d d´erivation de λ: Γ→GL(H):

1 λ_d est unitarisable

2 d est ”interne”: il existe A∈ L(H) :d(γ) =−Aλ(γ) +λ(γ)A

3 il existe une projection lin´eaire continue p de H₁⊕H₂ sur H₁, qui estλ_d(Γ)-invariante (p(λ_d(γ)) =λ_d(γ)p pour toutγ).

D´emonstration: (2) ⇒(1)

pour<x,y >⁰=<Ax,Ay >, si λ_d(γ) =

λ(γ) −Aλ(γ) +λ(γ)A

0 λ(γ)

=

Id −A 0 Id

λ(γ) 0 0 λ(γ)

Id A 0 Id

=A⁻¹

λ(γ) 0 0 λ(γ)

A

Valentin Ferenczi, Universit´e de S˜ao Paulo - UPMC Groupes d’isom´etries

D´ erivations internes

On a l’´equivalence classique:

Proposition

Sont ´equivalents, pour d d´erivation de λ: Γ→GL(H):

1 λ_d est unitarisable

2 d est ”interne”: il existe A∈ L(H) :d(γ) =−Aλ(γ) +λ(γ)A

3 il existe une projection lin´eaire continue p de H₁⊕H₂ sur H₁, qui estλ_d(Γ)-invariante (p(λ_d(γ)) =λ_d(γ)p pour toutγ).

D´emonstration: (2) ⇒(1) pour<x,y >⁰=<Ax,Ay >, si λ_d(γ) =

λ(γ) −Aλ(γ) +λ(γ)A

0 λ(γ)

=

Id −A 0 Id

λ(γ) 0 0 λ(γ)

Id A 0 Id

=A⁻¹

λ(γ) 0 0 λ(γ)

A

D´ erivations internes

On a l’´equivalence classique:

Proposition

Sont ´equivalents, pour d d´erivation de λ: Γ→GL(H):

1 λ_d est unitarisable

2 d est ”interne”: il existe A∈ L(H) :d(γ) =−Aλ(γ) +λ(γ)A

3 il existe une projection lin´eaire continue p de H1⊕H2 sur H1, qui estλ_d(Γ)-invariante (p(λ_d(γ)) =λ_d(γ)p pour toutγ).

D´emonstration: (3) ⇒(2)

On ´ecritp =

Id A

0 0

et Id A

0 0

λ(γ) d(γ) 0 λ(γ)

=

λ(γ) d(γ) 0 λ(γ)

Id A

0 0

Valentin Ferenczi, Universit´e de S˜ao Paulo - UPMC Groupes d’isom´etries

D´ erivations internes

On a l’´equivalence classique:

Proposition

Sont ´equivalents, pour d d´erivation de λ: Γ→GL(H):

1 λ_d est unitarisable

2 d est ”interne”: il existe A∈ L(H) :d(γ) =−Aλ(γ) +λ(γ)A

3 il existe une projection lin´eaire continue p de H1⊕H2 sur H1, qui estλ_d(Γ)-invariante (p(λ_d(γ)) =λ_d(γ)p pour toutγ).

D´emonstration: (3) ⇒(2) On ´ecritp =

Id A

0 0

et Id A

0 0

λ(γ) d(γ) 0 λ(γ)

=

λ(γ) d(γ) 0 λ(γ)

Id A

0 0

CAF´E ?

Valentin Ferenczi, Universit´e de S˜ao Paulo - UPMC Groupes d’isom´etries

Exemple: torsion par un op´ erateur lin´ eaire non born´ e

Th´eor`eme (Ehrenpreis-Mautner, 1955)

Le groupe libre F∞ admet une repr´esentation born´ee non-unitarisable sur H.

(Mantero, Pytlik, Szwarc, Zappa,...) Soitλla repr´esentation unitairede F∞ sur H=`2(F∞) d´efinie par

λ(γ)(X

as1s) =X as1γs.

D´efinition

Soit L:`<sub>1</sub>(F∞)→`₁(F∞) le ”Left Shift”, i.e. l’op´erateur d´efini par L(1e) = 0 and L(1s) = 1_ˆs pour s6=e, o`u ˆs est le pr´ed´ecesseur de s dans F∞.

DoncLest un op´erateurnon-born´e`a domaine dense sur H=` (F ).

Exemple: torsion par un op´ erateur lin´ eaire non born´ e

D´efinition On d´efinit

d∞(γ) =−Lλ(γ) +λ(γ)L

sur`<sub>1</sub>(F∞)⊕`₁(F∞). V´erifier que cela d´efinit un op´erateur born´e surH=`2(F∞)⊕`2(F∞).

Notons que siL´etait born´e,d∞ serait interne.

Th´eor`eme

d∞ est une d´erivation born´ee,non interne deλ. Par cons´equent λ_d∞ est une repr´esentation non unitarisable de F∞.

On va maintenant donner une autre repr´esentation de d∞ `a l’aide d’applications born´ees, non-lin´eaires.

Valentin Ferenczi, Universit´e de S˜ao Paulo - UPMC Groupes d’isom´etries

Torsion par une application uniform´ ement continue

Proposition (F. - Rosendal 2015)

Siλ_d: Γ→GL(H) est une repr´esentation d’un groupeΓ sur H=H₁⊕H₂ laissant H₁ invariant, i.e.

λ_d(γ) =

u(γ) d(γ) 0 v(γ)

,

alors il existeψ:H2→H1 homog`ene,uniform´ement continuesur la sph`ere, telle que d(γ) =u(γ)ψ−ψv(γ) pour toutγ ∈Γ, i.e.

λd(γ) :=

Id −ψ 0 Id

u(γ) 0 0 v(γ)

Id ψ 0 Id

Ceci s’applique au cas de d∞.

D´ emonstration

Exercice

Soit une famille de normes uniform´ement convexes k.k_α, qui sont uniform´ement ´equivalentes entre elles,

telles que δ_k.kα()≥C^p,∀α.

Alorsk|xk|= sup_αkxk_α d´efinit une norme uniform´ement convexe de type p.

Exemple

Si G est un sous-groupe born´e de GL(H) alors

k|xk|= sup_g∈G kgxk₂ est uniform´ement convexe de type2.

- Donc la normek|xk|= sup_γ∈Γkλ_d(γ)xk₂ est une norme

´equivalenteλ_d(Γ)-invariante sur H₁⊕H₂ qui est uniform´ement convexe (de type 2).

Valentin Ferenczi, Universit´e de S˜ao Paulo - UPMC Groupes d’isom´etries

- Par r´esultats classiques, cela implique que l’application p de

”nearest point inH”,p :H1⊕H2 →H1, est uniform´ement continue sur la boule.

- Cette projectionnon-lin´eaireest invariante par translation de vecteur deH1 donc admet la formep=

Id ψ

0 0

, et invariante par isom´etries,p(λd(x)) =λd(p(x)); on peut conclure comme dans le cas lin´eaire qued(γ) =u(γ)ψ−ψv(γ)

Observation: notons que cette preuve vaut aussi avec

k|xk|= sup_g∈G kgxk₂, si G est un sous-groupe born´e qui contient λ_d(Γ).

On va maintenant passer de ”unif. continue” `a ”Lipschitz”.

Sous-groupes transitifs de GL(X )

D´efinition

Un sous-groupe born´e G de GL(X)est transitif s’il existe une norme ´equivalente k.ksur X telle que

1 k.k est G -invariante.

2 G agit transitivement sur S_X,k.k

Une d´efinition similaire vaut pour quasi-transitif.

On a vu dans le Cours 1 que SiG est quasi-transitif alors toutes les normesG-invariantes sont proportionnelles.

Valentin Ferenczi, Universit´e de S˜ao Paulo - UPMC Groupes d’isom´etries

Sous-groupes transitifs de GL(X )

Exemple (Deville-Godefroy-Zizler)

Soit X un espace superr´eflexif qui admet une norme k.k₀ de type p₀ et une normek.k₁ telle quek.k^∗₁ ait type p₁. Alors tout renormage quasi-transitifk.k de X a type p₀ etk.k^∗ a type p₁. D´emonstration: Soit G =Isom(X,k.k), qui est quasi-transitif.

Soitk|xk|₀= sup_g∈Gkgxk₀, alors comme sup de normes de type p0, elle est uniform´ement convexe de typep0.

De mˆemek|φk|₁ = sup_g∈G kg^∗φk₁ est uniform´ement convexe de typep₁. Commek|.k|₀,k.ket la norme pr´eduale de k|.k|₁ sont G-invariantes, elles sont proportionnelles.

Torsion par une fonction Lipschitz

Proposition (F. - Rosendal 2015)

Soitλ_d : Γ→GL(H1⊕H2) une repr´esentation d’un groupeΓsur H₁⊕H₂ laissant H₁ invariant, et telle queλ_d(Γ)s’´etende `a un groupequasi transitifG sur H1⊕H2. Alors∃ψ:H2 →H1

Lipschitzet homog`ene telle que pour toutγ ∈Γ, d(γ) =u(γ)ψ−ψv(γ), i.e.

λd(γ) :=

Id −ψ 0 Id

u(γ) 0 0 v(γ)

Id ψ 0 Id

D´emonstration: par DGZ, comme H=H₁⊕H₂ etH^∗ ont type de convexit´e =2, toute normeG-invariantek.kest telle que k.k et k.k^∗ aient types p=q= 2.

Par r´esultats classiques, lek.k-nearest point map a module de continuit´e uniforme ω() de l’ordre de ^p(1−1/q)=, ce qui signifie quep associ´ee et par cons´equentψ est Lipschitz.

Valentin Ferenczi, Universit´e de S˜ao Paulo - UPMC Groupes d’isom´etries

Conclusion

Corollaire

Soitλ_d :F∞→GL(H⊕H) la repr´esentation non-unitarisable de F∞ sur H⊕H d´efinie ant´erieurement. Siλd(F∞) s’´etend `a un sous-groupequasi transitif G deGL(H⊕H), il existe ψ:H→H Lipschitz, non-lin´eaire, telle que pour tout γ ∈F∞,

d∞(γ) =λ(γ)ψ−ψλ(γ), i.e.

λ_d(γ) :=

Id ψ 0 Id

λ(γ) 0 0 λ(γ)

Id −ψ 0 Id

Question

Montrer qu’un telψ ne peut exister.

Ou, montrer que λ_d(F∞) s’´etend `a un groupe quasi transitif, et identifier la norme quasi transitive non hilbertienne associ´ee.

Conclusion

Question

Trouver un sous-groupe non-unitarisable, quasi transitif, deGL(H).

Question

Trouver un sous-groupe non-unitarisable, maximal born´e, de GL(H).

Valentin Ferenczi, Universit´e de S˜ao Paulo - UPMC Groupes d’isom´etries

R. Deville, G. Godefroy and V. Zizler,Smoothness and renormings in Banach spaces, Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, 64. 1993.

V. Ferenczi and C. Rosendal,Non-unitarisable representations and maximal symmetry, Journal de l’Institut de

Math´ematiques de Jussieu, `a paraˆıtre.

N. Ozawa,An Invitation to the Similarity Problems (after Pisier), Surikaisekikenkyusho Kokyuroku, 1486 (2006), 27-40.

G. Pisier,Are unitarizable groups amenable?, Infinite groups:

geometric, combinatorial and dynamical aspects, 323362, Progr. Math., 248, Birkhauser, Basel, 2005.