EXERC´ICIOS RESOLVIDOS - Introdu¸c˜ ao ` a Algebra Linear
1. No exemplo 11.7 (pag. 137) foi visto que o conjunto de vetores {u, v, w} ∈R3 onde
u= (1,2,0), v = (3,0,1), w = (2,−2,1)
´
e linearmente dependente.
Determinar se o conjunto {u, v, w}, onde
u= (1,2,0), v = (3,0,2), w = (2,−2,1)
´
e linearmente independente.
Solu¸c˜ao
O conjunto de vetores {u, v, w} ser´a linearmente independente, se a
´
unica solu¸c˜ao da equa¸c˜ao
a1u+a2v+a3w= (0,0,0) for a solu¸c˜ao nula: a1 =a2 =a3 = 0.
A equa¸c˜ao
a1(1,2,0) +a2(3,0,2) +a3(2,−2,1) = (0,0,0) (1) e equivalente ao sistema,
a1+ 3a2+ 2a3 = 0 2a1−2a3 = 0 2a2+a3 = 0
Escalonando a matriz associada ao sistema obtemos,
1 3 2 2 0 −2 0 2 1
→
1 0 0 0 1 0 0 0 1
(Verifique!) Desta forma,
a1 = 0 a2 = 0 a3 = 0
Sendo a solu¸c˜ao nula, a ´unica solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (1) concluimos que o conjunto {u, v, w} ´e linearmente independente.
2. Sejam as matrizes A=
2 1
−1 3
; B =
1 −2 2 −1
; C=
7 m 4 n
(a) Determinar os valores de m e n de modo que A, B e C sejam linearmente dependentes.
(b) Estabelecer a rela¸c˜ao de dependˆencia entre A, B e C.
Solu¸c˜ao
(a) Procuramos n´umeros reais a, be c, n˜ao todos nulos, tais que aA+bB+cC = 0
(onde o zero no lado direito da igualdade, representa a matriz nula de ordem 2)
Tem-se que, aA+bB+cC =
2a a
−a 3a
+
b −2b 2b −b
+
7c mc 4c nc
=
0 0 0 0
Equivalentemente,
2a+b+ 7c a−2b+mc
−a+ 2b+ 4c 3a−b+nc
=
0 0 0 0
Ou ainda,
2a+b+ 7c= 0
−a+ 2b+ 4c= 0 a−2b+mc= 0 3a−b+nc= 0
Das duas primeiras equa¸c˜oes obtemos por escalonamento, 2 1 7
−1 2 4
→
1 0 2 0 1 3
(verifique!) Desta forma,
a+ 2c= 0 b+ 3c= 0
e assima =−2c, b=−3c para qualquer c∈R.
Substituindo estes valores de a e b na terceira e quarta equa¸coes do sistema,
(−2c)−2(−3c) +mc= 0 ⇒(4 +m)c= 0 (1) 3(−2c)−(−3c) +nc= 0 ⇒(−3 +n)c= 0 (2) Considerando que os n´umeros a, be c n˜ao podem ser todos nulos segue das express˜oes para a,b e das equa¸c˜oes (1) e (2) quec6= 0.
Assim, de (1) e (2), para que o conjunto{A, B, C}seja linearmente dependente devemos ter que
m=−4 e n = 3
(b) Substituindo os valores encontradosm =−4 e n= 3 resulta que, C =
7 −4 4 3
A rela¸c˜ao de dependencia procurada ´e da forma, aA+bB+cC = 0 (3) ou seja, devemos determinar a, be ctais que
2a a
−a 3a
+
b −2b 2b −b
+
7c −4c 4c 3c
=
0 0 0 0
De modo analogo ao utilizado no item (a) obtemos, a= −2c
b= −3c c6= 0
Substituindo em (3),
(−2c)A+ (−3c)B+c C = 0, c 6= 0 Equivalentemente, dividindo por −c6= 0,
2A+ 3B−C = 0
a qual ´e a rela¸c˜ao de dependˆencia entre as matrizes A, B eC.
Observemos que desta rela¸c˜ao de dependˆencia podemos escrever uma das matrizes como combina¸c˜ao linear das outras duas:
Por exemplo,
A =−3 2B +1
2C 3. Dados os vetores
u= (1,2); v = (3,4)∈R2
(a) Verificar que o conjunto B ={u, v} ´e uma base de R2. (b) Determinar as coordenadas do vetor w = (5,−5) nesta
base, isto ´e, determinar [w]B. Solu¸c˜ao
(a) Para o conjuntoB ser uma base de R2 devemos verificar que
• Dado um vetor z = (α, β) qualquer em R2, devem existir constantesa e b tais que,
z = (α, β) =au+bv (significa que B gera R2)
No exemplo 11 da lista de exerc´ıcios resolvidos (tutoria ante- rior) vimos que
z = (α, β) = 3β
2 −2α
(1,2) +
α−β 2
(3,4) (?) Desta forma o conjuntoB gera R2.
• O conjuntoB deve ser linearmente independente.
Para tal a ´unica solu¸c˜ao da equa¸c˜ao, au+bv = (0,0) deve sera=b= 0.
Tomandoα=β = 0 em (?) teremos, a= 3β
2 −2α = 0 e b=α− β 2 = 0
Desta forma o conjuntoB ´e linearmente independente.
Sendo satisfeitas as condi¸c˜oes acima vem que o conjuntoB ´e uma base do espa¸co R2.
(b) Para determinar as coordenadas do vetor w = (5,−5) na base B ={(1,2),(3,4)}utilizaremos (?).
Tomandoα = 5 e β=−5 em (?) teremos:
(5,−5) =
3(−5) 2 −2(5)
(1,2)+
5−−5
2
(3,4) = −35
2 (1,2)+15 2 (3,4) Desta forma,
[w]B = −352
15 2
4. Verificar se o conjunto B ={1, t−1,(t−1)2} ´e uma base para o espa¸co vetorial P2(R).
Caso a resposta for afirmativa, determinar as coordenadas de p(t) = 1 +t2 nessa base.
Solu¸c˜ao
(a) O conjunto B ser´a uma base para P2(R) se s˜ao satisfeitas duas condi¸c˜oes: B gera P2(R) e B ´e linearmente independente.
• (B gera P2(R))
Sejaa+bt+ct2 um elemento qualquer deP2(R). ParaB gerar o espa¸coP2(R) devemos determinar constantesα1, α2, α3 tais que
a+bt+ct2 =α1·1 +α2·(t−1) +α3·(t−1)2 (1) Equivalentemente,
a+bt+ct2 = (α1−α2+α3) + (α2−2α3)t+α3t2 Comparando ambos lados desta igualdade resulta o sistema linear,
α1 −α2+α3 = a α2−2α3 = b α3 = c cuja solu¸c˜ao ´e
α1 = a+b+c α2 = b+ 2c α3 = c
Considerando estes valores paraα1, α2, α3 na equa¸c˜ao (1):
a+bt+ct2 = (a+b+c)·1+(b+2c)(t−1)+c(t−1)2 (2) Esta igualdade nos diz que o conjuntoB gera o espa¸coP2(R).
• (B ´e linearmente independente)
Para determinar se o conjuntoB ´e linearmente independente resolvemos para α1, α2, α3 a equa¸c˜ao
0 + 0t+ 0t2 =α1·1 +α2·(t−1) +α3·(t−1)2 Pela equa¸c˜ao (2), tomando a=b =c= 0 obtemos
α1 =α2 =α3 = 0 Desta forma,B ´e linearmente independente.
Concluimos queB ´e uma base para o espa¸co P2(R).
(b) Considerando o polinˆomio p(t) = 1 +t2 temos que a = 1, b = 0 e c= 1. Segue da equa¸c˜ao (2) que,
p(t) = 1 +t2 = (1 + 0 + 1)1 + (0 + 2·1)(t−1) + 1·(t−1)2 ou seja,
p(t) = 1 +t2 = 2·1 + 2·(t−1) + 1·(t−1)2
Os escalares 2,2 e 1 s˜ao as coordenadas do polinˆomiop(t) na base B, isto ´e,
[p(t)]B =
2 2 1
5. Para cada subespa¸co H, determine uma base e sua dimens˜ao:
(a)H ={(a, b, c, d); a−3b+c= 0}; (b)H ={(x, y, x);x, y ∈R} Solu¸c˜ao
(a) Da condi¸c˜aoa−3b+c= 0 temos quea = 3b−c. Desta forma, (a, b, c, d) = (3b−c, b, c, d) =b(3,1,0,0)+c(−1,0,1,0)+d(0,0,0,1) Assim,
H = [(3,1,0,0),(−1,0,1,0),(0,0,0,1)]
(H´e gerado pelo conjuntoB ={(3,1,0,0),(−1,0,1,0),(0,0,0,1)}) Vejamos agora se o conjunto B ´e lineamente independente.
Consideremos a equa¸c˜ao:
r(3,1,0,0) +s(−1,0,1,0) +t(0,0,0,1) = (0,0,0,0) Equivalentemente, temos o sistema
3r−s= 0 r= 0 s= 0 t= 0
Segue dai que r = s = t = 0 e assim B ´e linearmente indepen- dente.
SendoB conjunto gerador de H e linearmente independente con- cluimos que o conjunto
B ={(3,1,0,0),(−1,0,1,0),(0,0,0,1)}
´e uma base para H.
Como o n´umero de vetores desta base ´e trˆes, temos que a dimens˜ao deH ´e trˆes, isto ´e,
dimH = 3 .
(b) Observemos que,
(x, y, x) = x(1,0,1) +y(0,1,0)
Assim o conjunto B ={(1, ,0,1),(0,1,0)}´e um gerador do sube- spa¸co H.
Vejamos seB ´e linearmente independente.
Consideremos a equa¸c˜ao
a(1,0,1) +b(0,1,0) = (0,0,0) Dai a=b= 0 e assim B ´e linearmente independente.
SendoB gerador de H e conjunto linearmente independente con- cluimos que
B ={(1,0,1),(0,1,0)}
´e uma base para o subespa¸co H.
Como o n´umero de vetores desta base ´e dois, temos que a dimens˜ao deH ´e dois, isto ´e,
dimH = 2 .
6. O conjunto das solu¸c˜oes de um sistema linear homogˆeneo Ax = 0, onde A ´e uma matriz de tamanho m × n, formam um subespa¸co vetorial do espa¸co Rn.
Determinar uma base e a dimens˜ao do subespa¸coSdas solu¸c˜oes do sistema linear homogˆeneo,
x1−x2 = 0 5x1+ 2x3+ 2x4 = 0 3x1−2x2+x3+x4 = 0
Solu¸c˜ao
A matriz associada a este sistema linear homogˆeneo ´e
1 −1 0 0
5 0 2 2
3 −2 1 1
Utilizando opera¸c˜oes elementares obtemos sua forma escalonada re- duzida,
1 −1 0 0
5 0 2 2
3 −2 1 1
→
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1
(verifique!)
Esta ´ultima matriz, representa o sistema linear x1 = 0 x2 = 0 x3+x4 = 0
O conjunto solu¸c˜ao deste sistema linear ´e,
S ={(x1, x2, x3, x4) : x1 =x2 = 0, x3 =−x4} Equivalentemente,
S={(0,0,−x4, x4) : x4 ∈R}
Ou ainda,
S ={(0,0,−1,1)x4, x4 ∈R}
Assim, B ={(0,0,−1,1)}´e uma base para o subespa¸co S das solu¸c˜oes do sistema linear.
Como h´a um ´unico vetor nesta base segue que dimS= 1
7. Determinar uma base e a dimens˜ao do subespa¸co de R3, W ={(x, y, z)∈R3 :x+ 2y+ 3z = 0}
Solu¸c˜ao
Da equa¸c˜aox+ 2y+ 3z = 0 obtemos que x=−2y−3z.
Assim, se (x, y, z)∈W podemos escrever
(x, y, z) = (−2y−3z, y, z) =y(−2,1,0) +z(−3,0,1) Esta equa¸c˜ao nos diz que o conjunto
B ={(−2,1,0),(−3,0,1)}
´
e um conjunto gerador para o subespa¸co W.
Para verificar a independˆencia linear, consideramos a equa¸c˜ao, a(−2,1,0) +b(−3,0,1) = (0,0,0)
ou, equivalentemente,
−2a−3b= 0 a= 0 b= 0
ou seja a=b = 0 e assimB ´e linearmente independente.
SendoBconjunto gerador deW e linearmente independente concluimos que B ´e uma base de W.
Como o n´umero de elementos de B = {(−2,1,0),(−3,0,1)} ´e dois temos que
dimW = 2
8. Uma matriz triangular superior de ordem dois ´e uma matriz quadrada da forma
M =
a b 0 c
(a) ´E o conjunto W das matrizes triangulares de ordem dois um subespa¸co vetorial de M2×2(R)?
(b) No caso afirmativo, determine uma base e a dimens˜ao desse subespa¸co.
Solu¸c˜ao
(a) Consideramos
W = a b
0 c
: a, b, c∈R
Tem-se que,
• W 6=φ j´a que a matriz nula
0 0 0 0
pertence a W.
• Consideremos emW as matrizes A=
a b 0 c
eB =
d e 0 f
Resulta que,
A+B =
a+d b+e 0 c+f
∈W
• SejaA=
a b 0 c
∈W eα ∈R. Tem-se que
αA=
αa αb 0 αc
∈W
Satisfeitas as trˆes condi¸c˜oes acima, concluimos queW ´e um sube- spa¸co vetorial de M2×2(R).
(b) Observemos que a b
0 c
=a
1 0 0 0
+b
0 1 0 0
+c
0 0 0 1
Isto nos diz que o conjunto de matrizes,
B = 1 0
0 0
,
0 1 0 0
,
0 0 0 1
´e um conjunto gerador do subespa¸coW.
Este conjuntoB tamb´em ´e linearmente independente pois se con- siderarmos a equa¸c˜ao,
a
1 0 0 0
+b
0 1 0 0
+c
0 0 0 1
=
0 0 0 0
resultaa =b =c= 0.
Sendo B gerador de W e linearmente independente, concluimos que ´e uma base para o subespa¸co W.
Como o n´umero de vetores da base B ´e trˆes vem que dimW = 3
9. Seja A=
2 0 0 3
. Determinar uma base e a dimens˜ao para o subespa¸co
W ={X ∈M2×2(R) : AX =XA}
Solu¸c˜ao
Determinemos inicialmente a forma geral de uma matrizXpertencente a W.
Seja
X=
a b c d
Devemos ter que
AX =XA isto ´e,
2 0 0 3
a b c d
=
a b c d
2 0 0 3
Desenvolvendo os produtos de matrizes, devemos ter que, 2a 2b
3c 3d
=
2a 3b 2c 3d
Pela igualdade de matrizes,
2b= 3b 3c= 2c
segue dai que b=c= 0. Desta forma,X ∈W se X=
a 0 0 d
Ou equivalentemente,
W = a 0
0 d
: a, d∈R
Sendo
a 0 0 d
=a
1 0 0 0
+d
0 0 0 1
temos que o conjunto
B = 1 0
0 0
,
0 0 0 1
´
e um conjunto gerador do subespa¸co W.
B ´e linearmente independente j´a que a equa¸c˜ao α
1 0 0 0
+β
0 0 0 1
=
0 0 0 0
admite apenas a solu¸c˜ao nula α=β = 0.
SendoBgerador deW e conjunto linearmente independente concluimos que B ´e uma base para W.
Como tal base B de W possui dois elementos, concluimos que dimW = 2
10. Sejam V = P2(R) e q ∈ V. Foi visto na quest˜ao 4 desta lista que
B ={1, t−1,(t−1)2}
´
e uma base para V. Sabendo que [q(t)]B =
3 5 7
determinar q(t).
Solu¸c˜ao
Sabendo que a representa¸c˜ao de q(t) na base B deP2(R) ´e dada pela matriz
3 5 7
temos que,
q(t) = 3·1 + 5·(t−1) + 7·(t−1)2 ou seja,
q(t) = 3 + 5t−5 + 7t2 −14t+ 7 ou ainda,
q(t) = 5−9t+ 7t2