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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - Introdução à Algebra Linear

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Academic year: 2022

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EXERC´ICIOS RESOLVIDOS - Introdu¸c˜ ao ` a Algebra Linear

1. No exemplo 11.7 (pag. 137) foi visto que o conjunto de vetores {u, v, w} ∈R3 onde

u= (1,2,0), v = (3,0,1), w = (2,−2,1)

´

e linearmente dependente.

Determinar se o conjunto {u, v, w}, onde

u= (1,2,0), v = (3,0,2), w = (2,−2,1)

´

e linearmente independente.

Solu¸c˜ao

O conjunto de vetores {u, v, w} ser´a linearmente independente, se a

´

unica solu¸c˜ao da equa¸c˜ao

a1u+a2v+a3w= (0,0,0) for a solu¸c˜ao nula: a1 =a2 =a3 = 0.

A equa¸c˜ao

a1(1,2,0) +a2(3,0,2) +a3(2,−2,1) = (0,0,0) (1) e equivalente ao sistema,

a1+ 3a2+ 2a3 = 0 2a1−2a3 = 0 2a2+a3 = 0

Escalonando a matriz associada ao sistema obtemos,

1 3 2 2 0 −2 0 2 1

→

1 0 0 0 1 0 0 0 1

(Verifique!) Desta forma,

a1 = 0 a2 = 0 a3 = 0

Sendo a solu¸c˜ao nula, a ´unica solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (1) concluimos que o conjunto {u, v, w} ´e linearmente independente.

(2)

2. Sejam as matrizes A=

2 1

−1 3

; B =

1 −2 2 −1

; C=

7 m 4 n

(a) Determinar os valores de m e n de modo que A, B e C sejam linearmente dependentes.

(b) Estabelecer a rela¸c˜ao de dependˆencia entre A, B e C.

Solu¸c˜ao

(a) Procuramos n´umeros reais a, be c, n˜ao todos nulos, tais que aA+bB+cC = 0

(onde o zero no lado direito da igualdade, representa a matriz nula de ordem 2)

Tem-se que, aA+bB+cC =

2a a

−a 3a

+

b −2b 2b −b

+

7c mc 4c nc

=

0 0 0 0

Equivalentemente,

2a+b+ 7c a−2b+mc

−a+ 2b+ 4c 3a−b+nc

=

0 0 0 0

Ou ainda,

2a+b+ 7c= 0

−a+ 2b+ 4c= 0 a−2b+mc= 0 3a−b+nc= 0

Das duas primeiras equa¸c˜oes obtemos por escalonamento, 2 1 7

−1 2 4

1 0 2 0 1 3

(3)

(verifique!) Desta forma,

a+ 2c= 0 b+ 3c= 0

e assima =−2c, b=−3c para qualquer c∈R.

Substituindo estes valores de a e b na terceira e quarta equa¸coes do sistema,

(−2c)−2(−3c) +mc= 0 ⇒(4 +m)c= 0 (1) 3(−2c)−(−3c) +nc= 0 ⇒(−3 +n)c= 0 (2) Considerando que os n´umeros a, be c n˜ao podem ser todos nulos segue das express˜oes para a,b e das equa¸c˜oes (1) e (2) quec6= 0.

Assim, de (1) e (2), para que o conjunto{A, B, C}seja linearmente dependente devemos ter que

m=−4 e n = 3

(b) Substituindo os valores encontradosm =−4 e n= 3 resulta que, C =

7 −4 4 3

A rela¸c˜ao de dependencia procurada ´e da forma, aA+bB+cC = 0 (3) ou seja, devemos determinar a, be ctais que

2a a

−a 3a

+

b −2b 2b −b

+

7c −4c 4c 3c

=

0 0 0 0

De modo analogo ao utilizado no item (a) obtemos, a= −2c

b= −3c c6= 0

(4)

Substituindo em (3),

(−2c)A+ (−3c)B+c C = 0, c 6= 0 Equivalentemente, dividindo por −c6= 0,

2A+ 3B−C = 0

a qual ´e a rela¸c˜ao de dependˆencia entre as matrizes A, B eC.

Observemos que desta rela¸c˜ao de dependˆencia podemos escrever uma das matrizes como combina¸c˜ao linear das outras duas:

Por exemplo,

A =−3 2B +1

2C 3. Dados os vetores

u= (1,2); v = (3,4)∈R2

(a) Verificar que o conjunto B ={u, v} ´e uma base de R2. (b) Determinar as coordenadas do vetor w = (5,−5) nesta

base, isto ´e, determinar [w]B. Solu¸c˜ao

(a) Para o conjuntoB ser uma base de R2 devemos verificar que

• Dado um vetor z = (α, β) qualquer em R2, devem existir constantesa e b tais que,

z = (α, β) =au+bv (significa que B gera R2)

No exemplo 11 da lista de exerc´ıcios resolvidos (tutoria ante- rior) vimos que

z = (α, β) = 3β

2 −2α

(1,2) +

α−β 2

(3,4) (?) Desta forma o conjuntoB gera R2.

(5)

• O conjuntoB deve ser linearmente independente.

Para tal a ´unica solu¸c˜ao da equa¸c˜ao, au+bv = (0,0) deve sera=b= 0.

Tomandoα=β = 0 em (?) teremos, a= 3β

2 −2α = 0 e b=α− β 2 = 0

Desta forma o conjuntoB ´e linearmente independente.

Sendo satisfeitas as condi¸c˜oes acima vem que o conjuntoB ´e uma base do espa¸co R2.

(b) Para determinar as coordenadas do vetor w = (5,−5) na base B ={(1,2),(3,4)}utilizaremos (?).

Tomandoα = 5 e β=−5 em (?) teremos:

(5,−5) =

3(−5) 2 −2(5)

(1,2)+

5−−5

2

(3,4) = −35

2 (1,2)+15 2 (3,4) Desta forma,

[w]B = −352

15 2

4. Verificar se o conjunto B ={1, t−1,(t−1)2} ´e uma base para o espa¸co vetorial P2(R).

Caso a resposta for afirmativa, determinar as coordenadas de p(t) = 1 +t2 nessa base.

Solu¸c˜ao

(a) O conjunto B ser´a uma base para P2(R) se s˜ao satisfeitas duas condi¸c˜oes: B gera P2(R) e B ´e linearmente independente.

• (B gera P2(R))

Sejaa+bt+ct2 um elemento qualquer deP2(R). ParaB gerar o espa¸coP2(R) devemos determinar constantesα1, α2, α3 tais que

(6)

a+bt+ct21·1 +α2·(t−1) +α3·(t−1)2 (1) Equivalentemente,

a+bt+ct2 = (α1−α23) + (α2−2α3)t+α3t2 Comparando ambos lados desta igualdade resulta o sistema linear,

α1 −α23 = a α2−2α3 = b α3 = c cuja solu¸c˜ao ´e

α1 = a+b+c α2 = b+ 2c α3 = c

Considerando estes valores paraα1, α2, α3 na equa¸c˜ao (1):

a+bt+ct2 = (a+b+c)·1+(b+2c)(t−1)+c(t−1)2 (2) Esta igualdade nos diz que o conjuntoB gera o espa¸coP2(R).

• (B ´e linearmente independente)

Para determinar se o conjuntoB ´e linearmente independente resolvemos para α1, α2, α3 a equa¸c˜ao

0 + 0t+ 0t21·1 +α2·(t−1) +α3·(t−1)2 Pela equa¸c˜ao (2), tomando a=b =c= 0 obtemos

α123 = 0 Desta forma,B ´e linearmente independente.

Concluimos queB ´e uma base para o espa¸co P2(R).

(7)

(b) Considerando o polinˆomio p(t) = 1 +t2 temos que a = 1, b = 0 e c= 1. Segue da equa¸c˜ao (2) que,

p(t) = 1 +t2 = (1 + 0 + 1)1 + (0 + 2·1)(t−1) + 1·(t−1)2 ou seja,

p(t) = 1 +t2 = 2·1 + 2·(t−1) + 1·(t−1)2

Os escalares 2,2 e 1 s˜ao as coordenadas do polinˆomiop(t) na base B, isto ´e,

[p(t)]B =

 2 2 1

5. Para cada subespa¸co H, determine uma base e sua dimens˜ao:

(a)H ={(a, b, c, d); a−3b+c= 0}; (b)H ={(x, y, x);x, y ∈R} Solu¸c˜ao

(a) Da condi¸c˜aoa−3b+c= 0 temos quea = 3b−c. Desta forma, (a, b, c, d) = (3b−c, b, c, d) =b(3,1,0,0)+c(−1,0,1,0)+d(0,0,0,1) Assim,

H = [(3,1,0,0),(−1,0,1,0),(0,0,0,1)]

(H´e gerado pelo conjuntoB ={(3,1,0,0),(−1,0,1,0),(0,0,0,1)}) Vejamos agora se o conjunto B ´e lineamente independente.

Consideremos a equa¸c˜ao:

r(3,1,0,0) +s(−1,0,1,0) +t(0,0,0,1) = (0,0,0,0) Equivalentemente, temos o sistema

3r−s= 0 r= 0 s= 0 t= 0

(8)

Segue dai que r = s = t = 0 e assim B ´e linearmente indepen- dente.

SendoB conjunto gerador de H e linearmente independente con- cluimos que o conjunto

B ={(3,1,0,0),(−1,0,1,0),(0,0,0,1)}

´e uma base para H.

Como o n´umero de vetores desta base ´e trˆes, temos que a dimens˜ao deH ´e trˆes, isto ´e,

dimH = 3 .

(b) Observemos que,

(x, y, x) = x(1,0,1) +y(0,1,0)

Assim o conjunto B ={(1, ,0,1),(0,1,0)}´e um gerador do sube- spa¸co H.

Vejamos seB ´e linearmente independente.

Consideremos a equa¸c˜ao

a(1,0,1) +b(0,1,0) = (0,0,0) Dai a=b= 0 e assim B ´e linearmente independente.

SendoB gerador de H e conjunto linearmente independente con- cluimos que

B ={(1,0,1),(0,1,0)}

´e uma base para o subespa¸co H.

Como o n´umero de vetores desta base ´e dois, temos que a dimens˜ao deH ´e dois, isto ´e,

dimH = 2 .

(9)

6. O conjunto das solu¸c˜oes de um sistema linear homogˆeneo Ax = 0, onde A ´e uma matriz de tamanho m × n, formam um subespa¸co vetorial do espa¸co Rn.

Determinar uma base e a dimens˜ao do subespa¸coSdas solu¸c˜oes do sistema linear homogˆeneo,

x1−x2 = 0 5x1+ 2x3+ 2x4 = 0 3x1−2x2+x3+x4 = 0

Solu¸c˜ao

A matriz associada a este sistema linear homogˆeneo ´e

1 −1 0 0

5 0 2 2

3 −2 1 1

Utilizando opera¸c˜oes elementares obtemos sua forma escalonada re- duzida,

1 −1 0 0

5 0 2 2

3 −2 1 1

→

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1

(verifique!)

Esta ´ultima matriz, representa o sistema linear x1 = 0 x2 = 0 x3+x4 = 0

O conjunto solu¸c˜ao deste sistema linear ´e,

S ={(x1, x2, x3, x4) : x1 =x2 = 0, x3 =−x4} Equivalentemente,

S={(0,0,−x4, x4) : x4 ∈R}

(10)

Ou ainda,

S ={(0,0,−1,1)x4, x4 ∈R}

Assim, B ={(0,0,−1,1)}´e uma base para o subespa¸co S das solu¸c˜oes do sistema linear.

Como h´a um ´unico vetor nesta base segue que dimS= 1

7. Determinar uma base e a dimens˜ao do subespa¸co de R3, W ={(x, y, z)∈R3 :x+ 2y+ 3z = 0}

Solu¸c˜ao

Da equa¸c˜aox+ 2y+ 3z = 0 obtemos que x=−2y−3z.

Assim, se (x, y, z)∈W podemos escrever

(x, y, z) = (−2y−3z, y, z) =y(−2,1,0) +z(−3,0,1) Esta equa¸c˜ao nos diz que o conjunto

B ={(−2,1,0),(−3,0,1)}

´

e um conjunto gerador para o subespa¸co W.

Para verificar a independˆencia linear, consideramos a equa¸c˜ao, a(−2,1,0) +b(−3,0,1) = (0,0,0)

ou, equivalentemente,

−2a−3b= 0 a= 0 b= 0

ou seja a=b = 0 e assimB ´e linearmente independente.

SendoBconjunto gerador deW e linearmente independente concluimos que B ´e uma base de W.

Como o n´umero de elementos de B = {(−2,1,0),(−3,0,1)} ´e dois temos que

dimW = 2

(11)

8. Uma matriz triangular superior de ordem dois ´e uma matriz quadrada da forma

M =

a b 0 c

(a) ´E o conjunto W das matrizes triangulares de ordem dois um subespa¸co vetorial de M2×2(R)?

(b) No caso afirmativo, determine uma base e a dimens˜ao desse subespa¸co.

Solu¸c˜ao

(a) Consideramos

W = a b

0 c

: a, b, c∈R

Tem-se que,

• W 6=φ j´a que a matriz nula

0 0 0 0

pertence a W.

• Consideremos emW as matrizes A=

a b 0 c

eB =

d e 0 f

Resulta que,

A+B =

a+d b+e 0 c+f

∈W

• SejaA=

a b 0 c

∈W eα ∈R. Tem-se que

αA=

αa αb 0 αc

∈W

Satisfeitas as trˆes condi¸c˜oes acima, concluimos queW ´e um sube- spa¸co vetorial de M2×2(R).

(12)

(b) Observemos que a b

0 c

=a

1 0 0 0

+b

0 1 0 0

+c

0 0 0 1

Isto nos diz que o conjunto de matrizes,

B = 1 0

0 0

,

0 1 0 0

,

0 0 0 1

´e um conjunto gerador do subespa¸coW.

Este conjuntoB tamb´em ´e linearmente independente pois se con- siderarmos a equa¸c˜ao,

a

1 0 0 0

+b

0 1 0 0

+c

0 0 0 1

=

0 0 0 0

resultaa =b =c= 0.

Sendo B gerador de W e linearmente independente, concluimos que ´e uma base para o subespa¸co W.

Como o n´umero de vetores da base B ´e trˆes vem que dimW = 3

9. Seja A=

2 0 0 3

. Determinar uma base e a dimens˜ao para o subespa¸co

W ={X ∈M2×2(R) : AX =XA}

Solu¸c˜ao

Determinemos inicialmente a forma geral de uma matrizXpertencente a W.

Seja

X=

a b c d

Devemos ter que

AX =XA isto ´e,

2 0 0 3

a b c d

=

a b c d

2 0 0 3

(13)

Desenvolvendo os produtos de matrizes, devemos ter que, 2a 2b

3c 3d

=

2a 3b 2c 3d

Pela igualdade de matrizes,

2b= 3b 3c= 2c

segue dai que b=c= 0. Desta forma,X ∈W se X=

a 0 0 d

Ou equivalentemente,

W = a 0

0 d

: a, d∈R

Sendo

a 0 0 d

=a

1 0 0 0

+d

0 0 0 1

temos que o conjunto

B = 1 0

0 0

,

0 0 0 1

´

e um conjunto gerador do subespa¸co W.

B ´e linearmente independente j´a que a equa¸c˜ao α

1 0 0 0

0 0 0 1

=

0 0 0 0

admite apenas a solu¸c˜ao nula α=β = 0.

SendoBgerador deW e conjunto linearmente independente concluimos que B ´e uma base para W.

Como tal base B de W possui dois elementos, concluimos que dimW = 2

(14)

10. Sejam V = P2(R) e q ∈ V. Foi visto na quest˜ao 4 desta lista que

B ={1, t−1,(t−1)2}

´

e uma base para V. Sabendo que [q(t)]B =

 3 5 7

 determinar q(t).

Solu¸c˜ao

Sabendo que a representa¸c˜ao de q(t) na base B deP2(R) ´e dada pela matriz

 3 5 7

temos que,

q(t) = 3·1 + 5·(t−1) + 7·(t−1)2 ou seja,

q(t) = 3 + 5t−5 + 7t2 −14t+ 7 ou ainda,

q(t) = 5−9t+ 7t2

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