ALGORITMOSGENÉTICOSCOMINSPIRAÇÃOQUÂNTICA
APLICADOSAPROBLEMASDEOTIMIZAÇÃOCOMBINATÓRIADEORDEM
LUCIANO R. SILVEIRA, RICARDO TANSCHEIT, MARLEY VELLASCO
Departamento de Engenharia Elétrica, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, PUC-Rio, Rua Marquês de São Vicente, 225, CEP 22451-900, Rio de Janeiro,RJ, BRASIL
E-mails: luciano@ele.puc-rio.br,ricardo@ele.puc-rio.br, marley@ele.puc-rio.br Abstract This paper proposes a novel algorithm based on evolutionary and quantum computing. It is designed to solve order-ing combinatorial optimization problems, of which the travelorder-ing salesman problem (TSP) is the most representative example. Classical and quantum inspired genetic algorithms with binary representation have been employed to solve combinatorial opti-mization problems. However, for ordering combinatorial optiopti-mization problems, order based genetic algorithms are more ade-quate than those with binary representation. As for quantum inspired algorithms there is still no specific version to address com-binatorial ordering optimization problems. Results from the application of the proposed algorithm to the TSP showed to be supe-rior to those achieved by the traditional order based genetic algorithm, in all cases considered, both in processing time and quali-ty of the solution.
Keywords ordering combinatorial optimization, genetic algorithm, quantum inspired genetic algorithms, quantum bit
ResumoEste artigo apresenta a proposta de um novo algoritmo baseado em computação evolucionária e computação quânti-ca. Ele se destina a resolver problemas de otimização combinatória de ordem, cuja versão mais conhecida é o problema do cai-xeiro viajante. Algoritmos genéticos clássicos ou com inspiração quântica baseados em representação binária têm sido utilizados na solução de problemas de otimização combinatória. Entretanto, para problemas de otimização combinatória de ordem, os algo-ritmos genéticos de ordem são mais adequados do que aqueles com representação binária. Já para os algoalgo-ritmos genéticos com inspiração quântica não há, ainda, versão específica para solucionar problemas de otimização combinatória de ordem. Os resul-tados provenientes da aplicação do algoritmo proposto ao problema do caixeiro viajante mostraram-se superiores aos obtidos com algoritmos genéticos de ordem, em todos os casos considerados, tanto em tempo de processamento quanto na qualidade da solução obtida.
Palavras-chave otimização combinatória de ordem, algoritmos genéticos, algoritmos genéticos com inspiração quântica, bit quântico
1 Introdução
Problemas de otimização combinatória têm desafiado pesquisadores em função de sua complexidade. Téc-nicas baseadas em programação matemática e na computação evolucionária, notadamente os algorit-mos genéticos, têm sido empregadas na tentativa de solucionar tais problemas.
Uma classe amplamente estudada de problemas de otimização combinatória é denominada otimiza-ção combinatória de ordem. Em termos gerais, um problema de otimização combinatória de ordem com n elementos consiste em se determinar qual ordena-ção destes elementos apresenta o melhor resultado para uma função de critério pré-estabelecida.
A versão mais conhecida para esse tipo de pro-blema é o propro-blema do caixeiro viajante, cujo objeti-vo é determinar a ordem de visita a n cidades que minimiza a distância total percorrida. A restrição a ser respeitada é a de que cada cidade seja visitada exatamente uma única vez, exceto aquela na qual se inicia e termina a jornada do caixeiro.
Existem inúmeras abordagens para se resolver o problema do caixeiro viajante baseadas na programa-ção matemática (Nemhauser, 1988), como, por e-xemplo, o método branch & bound e a relaxação la-grangeana.
No âmbito dos algoritmos genéticos, existem técnicas específicas para abordar tal problema (Gen,
1997), que serão utilizadas nas análises comparativas apresentadas ao final deste artigo.
Para problemas de otimização combinatória bi-nária, uma nova abordagem (Han, 2000; Han, 2002; Platel, 2007) foi proposta, de forma a se obter um algoritmo com convergência mais rápida e com me-nor custo computacional. Esta abordagem combina a técnica de algoritmos genéticos com o conceito de bit quântico e superposição de estados, tendo apresenta-do resultaapresenta-dos promissores, quanapresenta-do aplicada ao pro-blema da mochila, comparativamente àqueles obtidos com algoritmos genéticos com representação binária. Os princípios da computação quântica e da computa-ção evolucionária também foram empregados em problemas de otimização com variáveis reais sem restrições (Cruz, 2006; Vellasco, 2010) apresentando desempenho superior ao dos algoritmos genéticos clássicos. Entretanto, a inspiração quântica não havia sido estendida, até o momento, para problemas de otimização de ordem. Deste modo, este artigo propõe uma nova abordagem de algoritmos genéticos com inspiração quântica para problemas de otimização combinatória de ordem.
do indivíduo quântico) e como estes indivíduos evo-luem ao longo das gerações. A seção 4 apresenta os resultados obtidos pelo algoritmo proposto e sua comparação com a técnica tradicional de algoritmos genéticos de ordem para o problema do caixeiro via-jante, com 27, 48, 52 e 100 cidades. Finalmente, a seção 5 apresenta as conclusões.
2 Representação do Indivíduo Quântico Os algoritmos genéticos com inspiração quântica utilizam o conceito de bit quântico (Han, 2000). Um bit quântico (Qbit) é a menor quantidade de informa-ção armazenada em um computador quântico, sendo representado por um vetor binário (α, β), onde α e β são números complexos tais que |α2| e |β2| fornecem a probabilidade do bit quântico ser observado no esta-do 0 ou no estaesta-do 1, respectivamente. Naturalmente, deve-se ter:
1
2
2
(1)
Nos algoritmos genéticos com representação bi-nária, cada gene de um indivíduo (denominado indi-víduo clássico) é representado por um bit; já no caso dos algoritmos genéticos com inspiração quântica para problemas de otimização combinatória, cada gene de um indivíduo quântico é representado por um bit quântico. A ideia dos algoritmos genéticos com inspiração quântica é gerar indivíduos clássicos a partir do indivíduo quântico. Nestes casos, para se obter um gene clássico a partir de um gene quântico, basta observar o bit quântico, isto é, sortear, a partir do valores de α e β daquele Qbit, entre os valores 0 e 1 (Han, 2000). Repetindo este processo, para todos os genes quânticos, consegue-se gerar indivíduos clássicos a partir de um indivíduo quântico.
Em um problema de otimização combinatória de ordem, de dimensão n, o indivíduo (denominado indivíduo clássico) é representado por um vetor cujas n componentes assumem valores entre 1 e n, sem repetição. Na versão quântica de um algoritmo gené-tico de ordem, o indivíduo quângené-tico adotado deve ser capaz de produzir indivíduos clássicos. Exemplifi-cando para o problema do caixeiro viajante, o indiví-duo clássico representa uma sequência de visita a todas as cidades. Se cada bit quântico controlar a probabilidade do par cidade-parada ser escolhido, um possível indivíduo quântico para o problema de or-dem é uma matriz n x n de bits quânticos, onde o j-ésimo bit quântico da i-ésima linha da matriz deter-mina a probabilidade da j-ésima cidade ser selecio-nada na i-ésima parada da viagem. A representação do indivíduo quântico é, portanto:
2 2 1 2 22 21 1 12 11 , onde , ..., , , ... ..., , , ..., , , ij ij nn n n n n q q q q q q q q q q Q (2)
Esclarecendo a notação: q35 = probabilidade da
cida-de 5 ser a terceira cidacida-de a ser visitada.
Os bits quânticos que compõem o indivíduo quântico estão relacionados entre si, já que a probabi-lidade de alguma cidade ser escolhida em qualquer parada deve ser 1 (para respeitar as restrições do problema). Esta relação é expressa por:
n j ij i n q 1 , 1 , 1 (3)Uma vez estabelecida a estrutura do indivíduo quântico de ordem, é necessário definir como ele será iniciado, observado (para gerar soluções para o pro-blema) e atualizado ao longo das iterações do algo-ritmo. Estes pontos estão descritos em detalhe na próxima seção.
3 Algoritmo Genético Quântico de Ordem A estrutura de um algoritmo genético com inspiração quântica é bastante simples, e está exibida a seguir:
Inicia População Quântica
Enquanto Não (Número Máximo de Gerações) Observa População Quântica Atualiza população Quântica Incrementa Número de Gerações Fim Enquanto
Detalham-se a seguir as etapas do algoritmo.
3.1 Inicialização da População Quântica
A inicialização da população quântica é comumente realizada de forma aleatória. Entretanto, uma forma mais adequada é iniciar o indivíduo quântico de mo-do a garantir igual probabilidade na geração de solu-ções para o problema de otimização combinatória de ordem. Uma solução para tal problema é um vetor de dimensão n com os elementos tomando valores entre 1 e n, sem repetição, e será denominada de indivíduo clássico, pela analogia com o indivíduo utilizado num algoritmo genético de ordem tradicional.
De acordo com a formulação adotada para o problema do caixeiro viajante, a viagem começa e termina na cidade 1 e se deseja iniciar o indivíduo quântico de modo a garantir igual probabilidade na geração de indivíduos clássicos. Logo, o indivíduo quântico inicial (ou na geração 0), é representado por: 1 1 ..., , 1 1 , 0 ... 1 1 ..., , 1 1 , 0 0 ..., , 0 , 1 ) 0 ( n n n n Q (4)
sempre 1 (por definição), e consequentemente a pro-babilidade de qualquer outra cidade ser selecionada para a primeira parada é 0. As demais linhas do indi-víduo quântico indicam que a probabilidade de uma cidade ser escolhida, numa parada qualquer, é sempre
igual a 1 1
n , já que a probabilidade da cidade 1 ser escolhida será sempre 0 em qualquer linha diferente da primeira. Este indivíduo quântico inicial satisfaz as condições (2) e (3).
3.2 Observação da População Quântica
Dado um indivíduo quântico, a próxima ação a ser tomada é gerar indivíduos clássicos. Este processo de geração de indivíduos clássicos é denominado obser-vação do indivíduo quântico.
Considere-se, por exemplo, a segunda linha da matriz representativa de um indivíduo quântico qual-quer (0, q22, ..., q2n). Como a condição (3) deve sem-pre ser satisfeita, ao se sortear um número aleatório, uniformemente distribuído no intervalo semiaberto (0,1], denominado r2, sempre existirá um índice k, tal que: 2 1 1 2 r q k j j
e 2 1 2 r q k j j
(5)Deste modo, a cidade k será a segunda a ser visitada. Para se determinar a terceira parada da viagem, deve-se considerar a terceira linha do indivíduo quântico (0, q32, ..., q3k, ..., q3n). O processo realizado para a determinação da cidade na segunda parada não pode ser aplicado diretamente sobre a terceira linha origi-nal do indivíduo quântico, no caso de q3k ser não nu-lo, uma vez que a cidade k não mais poderá ser esco-lhida para ser a terceira parada (se q3k for nulo, a ter-ceira linha já está pronta para ser processada). É ne-cessário, portanto, atualizar as probabilidades com as quais as cidades podem ser escolhidas nesta terceira parada. Sabendo-se que a cidade k deve ter probabi-lidade nula de ser escolhida e que a condição (3) de-ve ser sempre satisfeita, a terceira linha do indivíduo quântico deve ser alterada para:
) 1 ..., , 0 ..., , 1 , 0 ( 3 3 3 32 k n k q q q q (6)
Esta nova linha atualizada garante que a cidade k não poderá ser escolhida novamente e como:
k n k j j k j j q q q 3 1 3 1 2 3
1
(7) Então: 1 1 1 1 3 3 1 2 3 3
n k j k j k j k j q q q q (8)Assim, a condição (3) permanece satisfeita na nova linha 3. Naturalmente, o processo descrito para a
atualização da terceira linha deve ser aplicado a todas as linhas ainda não processadas. Após a atualização das linhas 3, 4, ..., n, o processo de determinação da terceira parada segue os mesmos passos descritos para a obtenção da cidade da segunda parada. Deter-minada a terceira parada, o processo de atualização das linhas ainda não processadas se repete e as cida-des das demais paradas são escolhidas, até que todas as paradas tenham sido determinadas.
A ordem de processamento das linhas não é ne-cessariamente sequencial (primeira, segunda, tercei-ra, etc.), sendo válida qualquer ordem para gerar um indivíduo clássico. Os resultados da seção 4 mostram que a ordem na qual as linhas da matriz representati-va do indivíduo quântico são processadas tem forte influência no resultado da otimização.
Em resumo, sejam:
IP: conjunto das linhas já processadas;
CP: conjunto das cidades já visitadas;
i Є {1, 2, ..., n}-IP: próxima linha a ser processada;
k: cidade selecionada no processo de escolha da linha i.
Supondo que (0,q’m2, ...,q’mk, ..., q’mn) é a representa-ção atual de uma linha m Є {1,2,...,n}-IP (após todas
as atualizações realizadas no processamento das li-nhas pertencentes a IP), então os elementos das linhas
m Є {1, 2, ..., n}-IP-{i}, serão representados por, q
’’ mj,
m Є {1, 2, ..., n}-IP-{i}, j Є {1, 2, ..., n}-CP-{k},
on-de: ' ' '' 1 mk mj mj q q q (9)
Se o processo de observação do indivíduo quântico for feito ncla vezes, serão gerados ncla indivíduos clássicos.
3.3 Atualização da População Quântica
Cada indivíduo clássico gerado é avaliado pela fun-ção critério estabelecida; o melhor indivíduo clássico obtido (aquele com o melhor valor na função critério) a partir de cada indivíduo quântico é utilizado para atualizar seu indivíduo quântico gerador. Suponha-se que o algoritmo se encontre na geração t e que Q(t) seja um indivíduo quântico no início desta geração. Suponha-se ainda que o processo de observação do indivíduo quântico produziu ncla indivíduos clássi-cos e o melhor indivíduo é representado pelo vetor c(t) (vetor com dimensão n cujos elementos variam entre 1 e n, sem repetição, e a primeira posição de c(t) vale 1). O vetor c(t) pode ser representado na forma matricial ordenando as colunas da matriz iden-tidade de dimensão n x n na ordem dos elementos de c(t). Esta matriz será denominada E(t). Por exemplo, se c(t)=(1, 3, 2), então a matriz E(t) será formada pelas colunas: (1, 0, 0)T, (0, 0, 1)T e (0, 1, 0)T.
Consequen-temente, todas as demais soluções terão sua probabi-lidade de observação reduzida.
Uma possível forma de se atualizar o indivíduo quântico é utilizar a equação recorrente:
) ( ) ( ) ( )) ( 1 ( ) 1 (t t Qt t Et Q (10) onde ε(t) é um parâmetro a ser especificado, com valor entre 0 e 1 e dependente ou não da geração.
O indivíduo quântico Q(t+1) permanece válido, uma vez que satisfaz as condições (2) e (3). A condi-ção (2) é claramente satisfeita uma vez que cada ele-mento de Q(t+1) é uma combinação convexa de um elemento de Q(t) Є [0,1] com um elemento de E(t) Є {0,1}. Para a condição (3), tem-se:
1
1
)
(
)
1
(
1
n j ijt
q
(11) Resta mostrar que a probabilidade de se obser-var o indivíduo clássico c(t) é maior em Q(t+1) do que em Q(t). Para tal, basta verificar que:}, ,..., 2 , 1 { ) ( ), ( ) ( ) ( )) ( 1 ( ) 1 ( ) ( ), ( ) ( )) ( 1 ( ) 1 ( n i i c j t q t t q t t q i c j t q t q t t q ij ij ij ij ij ij (12)
com a igualdade ocorrendo apenas no caso em que
) ( , 0 ) ( e ) ( , 1 ) (t j ci q t j ci qij ij .
Deve ser observado que, como a probabilidade de se observar c(t) em Q(t+1) é maior do que em Q(t), ao longo das gerações é razoável imaginar a possibilida-de do indivíduo quântico chegar a uma situação onpossibilida-de qualquer observação feita produzirá sempre o mesmo indivíduo clássico. Em todas as análises numéricas realizadas, a partir de certo número de gerações a capacidade do indivíduo quântico gerar indivíduos clássicos distintos fica severamente afetada. O maior coeficiente de cada linha da matriz representativa do indivíduo quântico é um bom indicador da capacida-de do indivíduo quântico gerar indivíduos clássicos distintos. Suponha-se que o maior coeficiente da ter-ceira linha seja 0,98 na coluna 5. Se a terter-ceira linha for a primeira a ser processada, em 98% das observa-ções, a cidade 5 será selecionada como terceira para-da para-da viagem. Estendendo esta ideia, seja mi o maior coeficiente da linha i e considere-se m=Míni=1,n{mi}. Se o valor de m for alto (maior do que 0,99, por e-xemplo), pode-se afirmar que a esperança de se ob-servarem múltiplos indivíduos clássicos distintos é pequena.
O algoritmo apresentado nesta seção foi testado em quatro configurações diferentes do problema do caixeiro viajante. A seção a seguir apresenta os resul-tados obtidos.
4 Resultados
Foram analisadas configurações do problema do cai-xeiro viajante com 27, 48, 52 e 100 cidades. Cada configuração foi resolvida com um algoritmo genéti-co de ordem e genéti-com o algoritmo genétigenéti-co genéti-com inspira-ção quântica para problemas de otimizainspira-ção combina-tória de ordem. Foram realizados 10 experimentos para cada algoritmo e armazenados os valores míni-mo, médio e máximo da função critério ao final de cada geração.
Os melhores resultados para o algoritmo genéti-co de ordem foram obtidos genéti-com uma taxa de cruza-mento de 85%, uma taxa de mutação de 3% e um fator de elitismo de 10% (os 10% melhores indiví-duos de uma geração passam para a geração seguin-te). O cruzamento uniforme de ordem foi adotado e a técnica de mutação empregada consistiu na troca de posição de dois genes escolhidos aleatoriamente. Uma população de 100 indivíduos clássicos foi utili-zada.
Para o algoritmo genético com inspiração quân-tica, foi utilizado um único indivíduo quântico geran-do 100 indivíduos clássicos a cada geração. Cada indivíduo clássico gerado foi avaliado pela função de critério (distância percorrida), e o melhor indivíduo (o vetor c(t)) apresenta uma distância total percorrida denominada FGer(t). Ao longo das gerações o me-lhor indivíduo clássico obtido até então é armazena-do e a distância percorrida nesta solução é denomi-nada FMin. O parâmetro ε(t) utilizado na atualização do indivíduo quântico é calculado por:
p base t FGer FMin t ) ( ) ( (13)
onde o valor adotado para εbase foi 0,03 e a potência
p, parametrizada. Note-se que a razão
) (t FGer
FMin é
sempre menor ou igual a um e quanto menor ela for, pior a solução encontrada no processo de observação do indivíduo quântico na geração t. A utilização de (13) reduz o efeito, causado por uma solução ruim, na atualização do indivíduo quântico (10). O parâme-tro p funciona como um redutor para a atualização, uma vez que, quanto maior a potência p, menor o efeito na atualização do indivíduo quântico decorren-te de uma solução ruim (razão
) (t
FGer
FMin pequena).
indi-víduo clássico obtido na geração, mas sim o melhor indivíduo clássico obtido até então.
Os testes realizados com o algoritmo genético com inspiração quântica utilizaram diferentes ordens de processamento das linhas da matriz representativa do indivíduo quântico no processo de observação e diferentes valores da potência utilizada no cálculo de ε(t) (13). Foram consideradas três ordens:
Ale.: ordem de processamento aleatória; Ind.: ordem do vetor c(t)
Max.: processa-se primeiramente a linha com o maior elemento, depois a linha com o se-gundo maior valor e assim sucessivamente. Nas tabelas das próximas seções, os termos a-breviados têm o seguinte significado:
Alg.: Algoritmo utilizado
(Ord: algoritmo genético de ordem; para os demais, a ordem e a potência utilizadas, com a letra n indi-cando que não houve reinício do indivíduo quântico – o algoritmo para quando o parâmetro de controle atinge 0,99.)
TPro: tempo de processamento total dos 10 experi-mentos em segundos
Min: valor mínimo obtido para a função critério para os 10 experimentos
Med: valor médio obtido para a função critério para os 10 experimentos
Max: valor máximo obtido para a função critério para os 10 experimentos
NGer: número máximo de gerações consideradas (para os algoritmos identificados pela letra n, o sinal ≤ indica que todos os experimentos terminaram o processamento antes da geração indicada)
4.1 Resultados para 27 cidades
Esta configuração refere-se ao problema de per-correr as 27 capitais brasileiras, partindo e retornan-do da cidade retornan-do Rio de Janeiro. A solução ótima des-te problema foi obtida por meio da técnica de pro-gramação inteira e a menor distância possível é 17.028 km. O tempo de processamento foi inferior a 2s. A tabela abaixo exibe os resultados obtidos
Tabela 1. Resultados para 27 cidades
Alg. TPro Min Méd Max NGer
Ord 160 18309 21969 27114 1000 Ale 1 114 18309 21167 25569 1000 Ind 1 107 17028 21635 24400 1000 Max 1 108 20407 23360 26056 1000 Ale 4 127 18233 20825 24577 1000 Ind 4 116 20245 21642 23207 1000 Ale 8 155 17573 19799 22117 1000 Ind 8 150 17874 20955 23364 1000 Ale 4 n 89 20245 22112 23664 ≤1000 Ale 8 n 143 17573 19869 22117 ≤1000
Analisando-se a Tabela 1 percebe-se uma dife-rença significativa nos resultados em função da
esco-lha da ordenação para processamento das linhas na matriz representativa do indivíduo quântico. Estas diferenças estão exibidas nas linhas Ale 1, Ind 1 e Max 1. Nota-se que a ordenação Max é a que apre-senta os piores resultados. Comparando-se as ordena-ções Ale e Ind para as potências 4 e 8, observa-se que a ordem Ale é ligeiramente melhor, exceto para o máximo da potência 4. Adotando, como critério para escolha do melhor algoritmo quântico, o valor médio da melhor solução obtida nos 10 experimentos, con-clui-se que o melhor é Ale 8, ou seja ordem aleatória com potência 8. O tempo de processamento deste algoritmo (155 s) é equivalente ao do algoritmo clás-sico (160 s). Entretanto, comparando os valores mé-dios, tem-se uma redução de 9,88% na distância em favor do algoritmo genético com inspiração quântica e os ganhos com relação aos valores mínimo e máxi-mo são 4,02% e 18,43%, respectivamente.
4.2 Resultados para 48 cidades
Este problema consiste em percorrer 48 capitais dos estados dos Estados Unidos da América. Utili-zando-se a técnica de programação inteira, não foi possível provar a otimalidade da melhor solução ob-tida (33.931), em um tempo de processamento de 3926s. Conseguiu-se provar, entretanto, que não exis-te solução melhor do que 32.015. A tabela abaixo exibe os resultados obtidos
Tabela 2. Resultados para 48 cidades
Alg. TPro Min Méd Max NGer
Ord. 791 42870 51668 57839 1000 Ale 4 579 41963 45318 52108 1000 Ale 4 n 580 41963 45243 52108 ≤1500 Ind 4 518 48229 50282 53743 1000 Ale 8 624 40409 46098 51843 1000 Ale 8 n 731 39975 43019 45376 ≤1500 Ind 8 622 44637 48869 58054 1000 Cla. 1159 41208 48989 55095 1500 Ale 8 769 39975 43019 45376 1500
Para esta configuração, a ordem aleatória de processamento das linhas também se mostrou melhor do que a ordem definida pelo melhor indivíduo da última geração. A melhor potência foi a oitava e o algoritmo Ale 8 n (sem reinício) mostrou ser o me-lhor. Vale notar que, em Ale 8, até a milésima gera-ção, o indivíduo quântico não havia sido reiniciado. Comparando-se os resultados do algoritmo Ale 8 n com o algoritmo clássico (1000 gerações), verifica-se um pequeno ganho (7,59%) no tempo de processa-mento e ganhos de 6,75%, 16,74% e 21,55% nos valores mínimo, médio e máximo, respectivamente.
4.3 Resultados com 52 cidades
pro-gramação inteira, a solução ótima foi encontrada em 173s, e a menor distância percorrida foi de 7.542. Com base no aprendizado adquirido na realização dos experimentos com 48 cidades, bastante similar a este em termos de tamanho, não se consideraram, agora, configurações que certamente produziriam resultados inferiores. A Tabela 3 abaixo exibe os resultados.
Tabela 3. Resultados para 52 cidades
Alg. TPro Min Méd Max NGer
Ord. 1001 10117 11174 12292 1000
Ale 4 683 9420 10204 11242 1000
Ale 4 n 698 9417 10204 11242 ≤1500
Ale 8 742 9800 10452 12386 1000
Ale 8 n 946 9124 9814 10388 ≤1500
Novamente, o melhor algoritmo foi Ale 8 n. Comparando-se seu resultado com aquele obtido para o algoritmo clássico (Ord), nota-se um pequeno ga-nho (5,49%) no tempo de processamento e gaga-nhos de 9,82%, 12,17% e 15,49% nos valores mínimo, médio e máximo, respectivamente.
4.4 Resultados com 100 cidades
Esta última configuração retrata o problema de percorrer 100 localidades (http://www.or.uni-bonn .de/~gester/kroC100.tsp). Por programação inteira, não foi possível provar a otimalidade da melhor solu-ção obtida (28.079) em um tempo de processamento de 3167s. Consegue-se provar, entretanto, que não existe solução melhor do que 19.707. A Tabela 4 exibe os resultados obtidos.
Tabela 4. Resultados para 100 cidades
Alg. TPro Min Méd Max NGer
Ord. 6875 59883 67461 78358 1000 Ind 1 2848 57344 61056 67762 1000 Ale 2 2785 76545 70070 81174 1000 Ind 2 2853 57469 60381 65156 1000 Ale 4 2804 76260 79625 84243 1000 Ind 4 2863 60262 70292 79017 1000 Ale 8 2844 76260 79625 84243 1000 Ind 8 2871 69133 76848 81420 1000 Ale8 n 12589 35364 39349 47908 ≤6000
O melhor resultado foi obtido para a ordenação Ind com potência unitária (considerando 1000 gera-ções). O ganho com relação ao algoritmo genético clássico foi expressivo para o tempo de processamen-to (58,57%) e próximo daqueles observados para os problemas menores: 4,24%, 9,49% e 13,52% nos valores mínimo, médio e máximo, respectivamente.
Analisando-se o resultado do algoritmo Ale 8 n, verifica-se uma solução muito melhor, porém às cus-tas de um tempo de processamento significativamente maior. Considerando que o número de gerações do algoritmo Ale 8 n foi próximo de 6000 (ou seja, fo-ram necessárias cerca de 6000 gerações para o
indi-víduo quântico ser reiniciado), o número de 1000 gerações, considerado nas análise comparativas, é insuficiente para se obter soluções satisfatórias utili-zando algoritmos genéticos.
5 Conclusão
Em contraste com a técnica de algoritmos genéticos com representação binária que possui uma versão específica para resolver problemas de otimização combinatória de ordem, a técnica de algoritmos gené-ticos com inspiração quântica ainda não havia sido estendida para este tipo de problema. Uma proposta foi apresentada neste artigo e o problema do caixeiro viajante foi escolhido como estudo de caso. Foram considerados quatro problemas com tamanhos dife-rentes e os resultados obtidos sugerem que o desem-penho de um algoritmo genético com inspiração quântica para a resolução de problemas de ordem é superior ao dos algoritmos genéticos de ordem. No-vas pesquisas, tais como cruzamento e mutação de indivíduos quânticos e obtenção de resultados numé-ricos adicionais serão necessários para se estabelecer um veredito definitivo.
Referências Bibliográficas
Cruz, A.V.A, Vellasco, M.B.R and Pacheco, A.C (2006). Quantum-inspired evolutionary algo-rithm for numerical optimization. Congress on Evolutionary Computation, pp. 2630–2637. Gen, M. and Cheng, R. (1997). Genetic Algorithms
and Engineering Design. Wiley Series in Engi-neering Design and Automation.
Han, K. and Kim, J.H. (2000). Genetic Quantum Al-gorithm and its Application to Combinatorial Optimization Problem. Congress on Evolutio-nary Computation, pp. 1354-1360.
Han, K.H and Han, J.H (2002). Quantum-Inspired Evolutionary Algorithm for a Class of Combina-torial Optimization. IEEE Transactions on Evo-lutionary Computation, 6(6):580–593.
Michalewicz, Z (1994). Genetic Algorithms+Data Structures=Evolution Programs, Springer. Nemhauser, G.L and Wosley, L.A (1988). Integer
and Combinatorial Optimization. Wiley Inters-cience Series in Discrete Mathematics and Opti-mization.
Platel, M.D., Schliebs, S and Kasabov, N (2007). A Versatile Quantum-inspired Evolutionary Algo-ritm. Congress on Evolutionary Computation, pp. 423-430.
