UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM
MATEMÁTICA
Heloisa Frazão da Silva
S
OBRE
H-
HIPERSUPERFÍCIES
C
OMPACTAS
DE
N
×
R
Heloisa Frazão da Silva
S
OBRE
H-
HIPERSUPERFÍCIES
C
OMPACTAS DE
N
×
R
Dissertacão submetida à Coordenação do Curso de Pós-Graduação em Matemática, da Universidade Federal do Ceará, para a obtenção do grau de Mestre em Matemática.
Área de concentracão: Geometria
Orientador: Prof. Dr. Gregório Pacelli Feitosa Bessa
Fortaleza
Silva, Heloisa Frazão da
S58s Sobre H-hipersuperfícies Compactas deN×R/Heloisa Frazão da Silva. – Fortaleza, 2011.
82 f. : il.
Orientador: Prof. Dr. Gregório Pacelli Feitosa Bessa
Área de concentração: Geometria
Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Ceará,
Centro de Ciências, Departamento de Matemática,Fortaleza,
2011.
1.Geometria diferencial. I. Bessa, Gregório Pacelli Feitosa
(Orient.)
Agradecimentos
Resumo
Consideraremos F(N×R) o conjunto das H-hipersuperfícies fechadas M tal que M ⊂ N×R, onde N é uma variedade riemanniana simplesmente conexa com curvatura seccional limitada superiormente (KN≤ −k2 <0). A partir daí, com o auxílio do Teorema de Comparação do Hessiano mostraremos algumas desigualdades para estas subvariedades M⊂N×Rcom curvatura média constanteHM.
Abstract
ConsiderF(N×R) the set of closed hypersurfacesMsuch that M⊂N×RwhereN is a simply connected riemannian manifold with sectional curvature bounded above (KN≤ −k2< 0). Thereafter, with the aid of Hessian Comparison Theorem we show some inequalities for these submanifoldsM⊂N×Rwith constant mean curvatureHM.
Sumário
1 Preliminares p. 4
1.1 Gradiente, Divergente, Hessiano e o Laplaciano de uma Função . . . p. 4
1.2 A segunda forma fundamental . . . p. 7
1.3 Segunda Variação do Comprimento de Arco . . . p. 8
1.4 Fórmulas Auxiliares . . . p. 12
2 O Teorema de Comparação do Hessiano p. 15
2.1 O Hessiano da Função Distância . . . p. 15
2.2 O Teorema de Comparação do Hessiano . . . p. 18
3 Teorema Principal p. 22
3.1 Resultados Importantes . . . p. 22
3.2 Teorema Principal . . . p. 25
Introdução
Consideraremos F(N×R) o conjunto das H-hipersuperfícies fechadas M tal que M⊂ N×R, onde N é uma variedade riemanniana simplesmente conexa com curvatura seccional limitada superiormente (KN≤ −k2<0). A partir daí, com o auxílio do Teorema de Comparação do Hessiano mostraremos algumas desigualdades para estas subvariedades M⊂ N×R com curvatura média constanteHM.
Precisamos das definições e teoremas a seguir para a demonstração do Teorema principal.
Definição 0.1 . SejaF(N×R)o conjunto de todas as H-hipersuperfícies fechadas M⊂N×R, onde N é uma variedade Riemanniana simplesmente conexa de dimensão n com curvatura
seccional KN≤ −k2. Então definimos o númeroh(N×R)por:
h(N×R) =infM∈F(N×R){|HM|}.
Definição 0.2 . Seja ϕ : M֒→N×R uma imersão de uma variedade m-dimensional M na variedade produto N×R onde N é uma variedade Riemanniana Completa com curvatura seccional KN ≤ c ≤ 0. Seja K ⊂ ϕ(M) um conjunto compacto conexo. Definimos o raio extrínseco por Rp1=raio(p1(K)), o raio do conjunto p1(K), isto é o raio da menor bola métrica
de N contendo p1(K), onde p1:N×R→N é a projeção sobre o primeiro fator.
Definição 0.3 . Seja M uma variedade Riemanniana e Ω⊂M um aberto conexo arbitrário. Definimos oTom Fundamentalλ∗(Ω)deΩpor:
λ∗(Ω) =inf{
R
Ω|∇f|2
R
Ωf2
,f∈H10(Ω)\{0}}=inf
∑
(Ω),onde ∑é o espectro e H10(Ω) é o completamento de C0∞(Ω) com respeito a norma kϕk2H1 0 =
R
Ωϕ2+
R
2
De acordo com isso, como Σ(Rn) = [0,∞) e Σ(Hn(−k2)) = [(n−1)
2k2
4 ,∞), temos que
λ∗(Rn) =0eλ∗(Hn(−k2)) = (n−1)2k2
4 .
Teorema 0.1 (Fórmula de green). Seja f:M→R uma função de classe C2(M), h:M→R uma função de classe C1(M), pelo menos uma delas com suporte compacto. Então:
Z
M{
h△f+hgradh,gradfi}dV=0.
Se ambas são de classe C2(M), então
Z
M{
h△f−f△h}dV=0.
Teorema 0.2 (Teorema de Comparação do Hessiano). Seja M uma variedade Riemanniana
Completa e sejaρ a função distância em M a partir de x0. Sejaγ uma geodésica minimizante
partindo de x0e suponha que a curvatura seccional radial de M ao longo deγ satisfaz Kγ≤k. Então o Hessiano deρ emγ(t)satisfaz:
Hessρ(x)(X,X)≥µ(ρ).kXk2,
ondeµ(ρ) = S’k
Sk
(ρ(x))
A demonstração do teorema principal deste trabalho depende de uma seqüência de resultados.
Para o que segue, seja p1:N×R→Na projeção sobre o primeiro fator e para uma dada hipersuperfície fechadaM⊂N×R, sejaRp1(M)o raio extrínseco do conjuntop1(M)⊂N.
Teorema 0.3 Sejaϕ:M֒→N×Ruma imersão de uma hipersuperfície M fechada de dimensão
m com curvatura média limitada|HM| ≤H0, onde N é uma Variedade Riemanniana com um
polo x0e curvaturas seccionais radiais limitadas KN≤c eρN:N→Ra função distância em x0. Suponha que p1(M)⊂BN(2πk)se c=k2. Então:
n· |H0| ≥(n−1)·µ(Rp1(M)).
3
Teorema 0.4 . Seja N uma Variedade riemanniana completa de dimensão n com um polo e
curvatura seccional radial limitada superiormente KN≤ −k2<0(k>0). Seja M⊂N×Ruma imersão de uma hipersuperfície com curvatura média constante H. Então
|HM| ≥
(n−1)·k n =
2 n
q
λ∗(Hn(−k2)). Em particular,
h(N×R)≥ (n−1)·k
n . Podemos agora enunciar o nosso resultado principal.
Teorema 0.5 . Seja N uma Variedade Riemanniana completa de dimensão n como um polo e
curvatura seccional radial limitada superiormente KN≤ −k2<0(k>0). Seja M⊂N×Ruma hipersuperfície imersa com curvatura média constante HM. Então:
Rp1(M)≥ coth−1( n
(n−1)·k· |HM|).
Em particular, se Mi ⊂ N×R é uma sequência de hipersuperfícies fechadas imersas com curvaturas médias constantes HMi→
(n−1)·k
Capítulo
1
Preliminares
Conteúdo
1.1 Gradiente , Divergente , Hessiano e o Laplaciano de uma Função . . . p.4
1.2 A segunda forma fundamental . . . p.7
1.3 Segunda Variação do Comprimento de Arco . . . p.8
1.4 Fórmulas Auxiliares . . . p.12
1.1 Gradiente, Divergente, Hessiano e o Laplaciano de uma
Função
Nesta seção vamos relembrar alguns conceitos básicos da Geometria Riemanniana envolvendo Gradiente , Divergente , Hessiano e o Laplaciano de uma função real de classeC∞ definidos na variedade RiemannianaMdiferenciável com métricah., .ie conexão de Levi-Civita
∇. Denotaremos por X(M) o espaço dos campos vetoriais diferenciáveis em M. TpM vai denotar o espaço tangente aMno pontop∈M.
Definição 1.1 . Seja f:M→Ruma função diferenciável. O gradiente de f é o campo vetorial diferenciável,grad f, definido sobre M por:
1.1 Gradiente, Divergente, Hessiano e o Laplaciano de uma Função 5
para todo X∈TxM, x∈M.
Observação 1.1 . Veja que se f , g:M→Rsão funções diferenciáveis, então
(a)grad(f+g) =gradf+gradg
(b)grad(f.g) =ggradf+fgradg
De fato, seXé um campo diferenciável sobreMtemos
hgrad(f+g),Xi=X(f+g) =X(f) +X(g) =hgradf,Xi+hgradg,Xi=hgradf+gradg,Xi,
e
hgrad(f.g),Xi=X(f.g) =gX(f)+fX(g) =hg.gradf,Xi+hf.gradg,Xi=hg.gradf+f.gradg,Xi
Proposição 1.1 . Seja f:M→R uma função diferenciável.Dados p∈M e v∈TpM, sejaγ :
(−ε,ε)→M uma curva suave tal queγ(0) =p eγ′(0) =v. Então
hgradf,vip= d
dt(f◦γ)(t)|t=0.
Em particular, se p é ponto de máximo ou mínimo local para f, entãogradf(p) =0.
Prova: Para a primeira parte basta observar que, sendo X uma extensão local de γ′, temos
hgradf,vip=X(f) (p) = dtd(f◦γ)(t)|t=0.
Suponha agora que p é ponto de máximo local paraf (o outro caso é análogo). Então se existeU⊂Mvizinhança aberta deptal quef(p)≥f(q)para todoq∈U.
Sev∈TpMeγ:(−ε,ε)→Ué como no enunciado, então(f◦γ):(−ε,ε)→Rtem um máximo local em 0, dondehgradf,vip=dtd(f◦γ)(t)|t=0=0.
Como a relação acima é válida para todov∈TpM, segue que gradf(p)=0.✷
Proposição 1.2 . Se f:M→Reϕ:R→R são funções diferenciáveis, então grad(ϕ◦f) =ϕ′(f)gradf.
Prova: Se p∈M, v∈TpM e γ :(−ε,ε)→M é uma curva diferenciável tal que γ(0) =p e
γ′(0) =v, então segue da proposição anterior que
hgrad(ϕ◦f),vi = d
dt(ϕ◦f◦γ)(t)|t=0
= ϕ′(f(p))d
dt(f◦γ)(t)|t=0
1.1 Gradiente, Divergente, Hessiano e o Laplaciano de uma Função 6
Definição 1.2 . Seja f : M → R uma função diferenciável. Dizemos que p ∈ M é um
ponto críticode f segradf(p) =0. Em particular, segue da proposição acima que todo ponto de
máximo ou mínimo local de f é um ponto crítico de f.
Definição 1.3 . Seja f:M→R uma função diferenciável. O Hessiano de f em p∈M é o operador linear((Hessf)p:TpM→TpM definido para v∈TpM por
(Hessf)p(v) =∇vgradf.
Observação 1.2 . (Hessf)pode ser considerado como um tensor de ordem 2:
Hess,f(X,Y) =hHessf(X),Yi=h∇Xgradf,Yi.
Proposição 1.3 . Se f:M→Ré uma função diferenciável e p∈M, então(Hessf)p:TpM→ TpM é um operador linear auto-adjunto.
Prova. Sev,w∈TpMeV,Wdenotam respectivamente extensões dev,wa campos definidos em uma vizinhança depemM, então
h(Hessf)p(v),wi = h∇Vgradf,Wip
= (Vhgradf,Wi)(p)− hgradf,∇VWip
= (V(Wf))(p)− hgradf,∇WV+ [V,W]ip
= (W(Vf))(p) + ([V,W]f)(p)− hgradf,∇WV+ [V,W]ip
= (W(Vf))(p)− hgradf,∇WVip
= h(Hessf)p(w),vi.✷
Definição 1.4 . Seja X um campo vetorial diferenciável em M. Adivergência de X é a função
diferenciáveldivX:M→R, dada para p∈M por
(divX)(p) =tr{v 7→(∇vX)(p)},
onde v∈TpM etrdenota o traço do operador linear acima.
Definição 1.5 . Seja f: M→ R uma função diferenciável. O Laplaciano de f é a função
△f:M→Rdada por
1.2 A segunda forma fundamental 7
Proposição 1.4 . Se f:M→Ré uma função diferenciável , então
△f=tr(Hessf).
Prova. É suficiente provar a igualdade do enunciado para cadap∈M. Considere entãoU⊂M uma vizinhança deponde esteja definido um referencial móvel{e1, ...,en}.Então
tr(Hessf)p = h(Hessf)p(ei),eii
= h∇eigradf,eiip
= div(gradf)(p)
= △f.
1.2 A segunda forma fundamental
Seja(N,g)uma Variedade Riemanniana de dimensãoneϕ:M֒→Numa subvariedade deN de dimensão m onde emMconsideramos a métrica induzidah=ϕ∗g. Parap∈Midentificamos o subespaçodϕ(p)(TpM)deTpNe consideramos o seu complemento ortogonalTpM⊥. Assim obtemos a decomposição ortogonalTpN=TpM⊕TpM⊥. Parau∈TpNvamos denotar por u⊤ eu⊥ aTpM-componente e aTpM⊥- componente, respectivamente. Se∇Ndenota a conexão de Levi-Civita de(N,g). Então paraX∈X(M), lembremos que(∇NXY)(p),p ∈Mé determinado
por valores deYem uma curva em Mtangente aXp,e podemos decompor(∇NXY)(p)em duas componentes como um vetor deTpN=TpM⊕TpM⊥.
Podemos ver que a aplicação p 7→(∇N
XY)⊤(p) satisfaz todas as condições da conexão de Levi-Civita∇MdeMcom a métricah. Donde temos:
∇MXY= (∇NXY)⊤.
Agora temos por definição queα(X,Y):= (∇N
XY)⊤,que é um campo de tensores simétrico de ordem 2 em M e toma valores em TM⊥. De fato podemos checar diretamente que α é F(M)-linear com respeito aX,Y.
Veja queα é um tensor simétrico:
α(X,Y)−α(Y,X) = (∇NXY−∇NYX)⊥= [X,Y]⊥=0.
1.3 Segunda Variação do Comprimento de Arco 8
M.
Definição 1.7 . Paraξ ∈TpM⊥ definimos ooperador formaAξ :TpM→TpM por:
hAξx,yi:=−hα(X,Y),ξi,
ondeξ ∈TpM⊥.
Veja queAξ é um tensor simétrico.
Os autovalores deAξ são chamados deCurvaturas PrincipaisdeMna direção normalξ.
Observação 1.3 . O operador forma pode ser obtido da seguinte maneira:
Extendendo ξ a um campo normal diferenciável em uma vizinhança de p em M,
consideramos a decomposição ortogonal(∇N
xξ) = (∇Nxξ)⊤+ (∇Nxξ)⊥ para x∈TpM. Então temos:
Aξx= (∇Nxξ)⊤.
De fato, para qualquer y∈TpM, obtemos
hAξx,yi=−hα(X,Y),ξi=−h∇NxY,ξi=hy,∇Nxξi=h(∇Nxξ)⊥,yi,
ondeX,Ysão campos de vetores emMcomXp=x,Yp=y, respectivamente.
1.3 Segunda Variação do Comprimento de Arco
Definição 1.8 . Seja M uma Variedade Riemanianna. OComprimento de Arcode uma curva
diferenciável c:[a,b]→M é, por definição L[c] =
Z b
a k
c’(t)kdt.
Vamos assumir que cé diferenciável, kc’(t)k 6=0, e sem perda de generalidade, podemos
assumir quecé parametrizada proporcionalmente ao comprimento de arco. Em outras palavras,
kc’(t)ké uma constante.
Definição 1.9 . Seja c : [a,b] → M uma curva diferenciável por partes na variedade
Riemanniana M. Uma Variação de c é uma aplicação contínua α : [a,b]×(−ε,ε) → M
1.3 Segunda Variação do Comprimento de Arco 9
(a). α(t,0) =c(t);
(b). Existem a=t0<t1< ... <tk=b tais queα |[ti,ti+1]×(−ε,ε) é diferenciável para todo
0≤i<k.
Seja c : [a,b] →M uma curva diferenciável por partes e α :[a,b]×(−ε,ε)→ M uma variação dec. Desde ques7→α(t,s)é, para cada t∈[a,b], uma curva suave em M, fica bem
definido ao longo deco campo vetorialV= ddsα(t,0), denominado ocampo variacionaldeα.
Note queVé diferenciável por partes ao longo dec. Ascurvas da variaçãoαsão as curvas αs:[a,b]→Mdadas porαs(t) =α(t,s).
Observação 1.4 . A variaçãoα :[a,b]×(−ε,ε)→M dada porα(t,s) =expc(t)(s)V(t) está bem definida e é diferenciável por partes. Veja que:
dα
ds(t,0) = d(expc(t)(s)V(t))V(t)|(t,0)
= (expc(t)(0)V(t)) = V(t).
De modo que V é o campo variacional deα.
SejamT,Vcampos de vetores tangentes em[a,b]×(−ε,ε)correspondentes a primeira e a
segunda variáveis. Vamos identificar estes vetores com suas imagens no âmbito da diferencial deα : V=dα
ds(t,0), T= dα
dt(t,0).
Nosso objetivo é calcular a mudança no comprimento de arco sobre a família de curvas cs=α |[a,b]×{s}, onde−ε<s<ε.
Isto é dado por:
d
dsL[cs] = d ds
Z b
a h
c’s(t),c’s(t)i
1 2dt
=
Z b
a
VhT,Ti
1 2dt = 1 2 Z b a h
T,Ti−12VhT,Tidt
= 1
2
Z b
a h
T,Ti−122h∇VT,Tidt
=
Z b
a h T,Ti−
1
2h∇VT,Tidt.
1.3 Segunda Variação do Comprimento de Arco 10
d
dsL[cs] =
Z b
a h
T,Ti−12h∇TV,Tidt.
Esta fórmula é conhecida como a fórmula daPrimeira Variação do Comprimento de Arco
Comokc′0k=l, podemos trabalhar um pouco mais com a fórmula acima:
d
dsL[cs]|s=0 = 1
l
Z b
a h
∇TV,Tidt
= 1
l
Z b
a (
ThV,Ti − hV,∇TTi)dt
= 1
l
Z b
a ( d
dthV,Ti − hV,∇TTi)dt
= 1
l(hV,Ti(b)− hV,Ti(a))− 1
l
Z b
a h
V,∇TTi. Se todas as curvascs=α|[a,b]×{s}têm os mesmos extremos temos que
cs(a) =expcs(a)(0) =expcs(a)(s·0)⇒ V(a) =0.
cs(b) =expcs(b)(0) =expcs(b)(s·0)⇒ V(b) =0.
Portanto
d
dsL[cs]|s=0=− 1
l
Z b
a h
V,∇TTi.
Observação 1.5 . Sec :[a,b]→Mé uma geodésica, então :
∇c’c’=0.
Portanto,
c’hc’,c’i=2h∇c’c’,c’i=0.
Isto significa quehc’,c’ideve ser constante. Daí, dtdhc’,c’i=0.Podemos dizer quekc’k=k6=0
O comprimento de arco s deγ, a partir de uma origem fixa, digamos t=t0, é então dado por :
s(t) =
Z t
t0k
c’(t)kdt=k(t−t0).
Portanto, o parâmetro de uma geodésica é proporcional ao comprimento de arco.
Quando o parâmetro é o próprio comprimento de arco, isto é k = 1, diremos que a geodésica c está normalizada :kc’(t)k=1.
1.3 Segunda Variação do Comprimento de Arco 11
SejamX=ddsα(t,0),T= ddtα(t,0)ecs=α |[a,b]×{s}. Então já vimos que
L′
X(0) = d
dsL[cs]|s=0=
Z b
a
h∇TX,Ti
kTk dt. Derivando novamente obtemos:
L′′
X(0) = d2 ds2L[cs]
= d
ds
Z b
a
h∇TX,Ti
kTk dt
=
Z b
a
Xh∇TX,Ti
kTk dt
=
Z b
a
h∇X∇TX,Ti+h∇TX,∇XTi · kTk
kTk2 −
h∇TX,Ti · h∇XT,Ti
kTk3 dt
=
Z b
a h
∇X∇TX,Ti+h∇TX,∇XTi − h∇TX,Ti · h∇XT,Tidt
=
Z b
a h
∇X∇TX,Ti+h∇TX,∇TXi − h∇TX,Ti · h∇TX,Tidt
=
Z b
a h
R(X,T)X,Ti+h∇T∇XX,Ti+h∇TX,∇TXi − h∇TX,Ti · h∇TX,Tidt
=
Z b
a −h
R(X,T)T,Xi+Th∇XX,Ti+h∇TX,∇TXi − h∇TX,Ti · h∇TX,Tidt
= h∇XX,Ti|ba+
Z b
a h
∇TX,∇TXi − hR(X,T)T,Xi − h∇TX,∇TXi · hT,Tidt
= h∇XX,Ti(b)− h∇XX,Ti(a)−
Z b
a h
R(X,T)T,Xidt
= h∇XX,Ti(b)− h∇XX,Ti(a)−
Z b
a
K(T,X)dt.
OndeK(T,X)representa a curvatura seccional gerada pelo plano determinado pelos vetores T,X.
Proposição 1.5 . Sejam N e N duas variedades de M sem bordo, e seja γ :[0,t]→M uma
geodésica tal que γ(0) ∈N, γ(t) ∈N, γ a curva mais curta de N para N. Então γ′(0) é perpendicular a Nγ(0), eγ′(t)é perpendicular a Nγ(t).
Prova. Seγ′(0)não é perpendicular a N
γ(0), escolha x∈Nγ(0) tal que hγ′(0),xi>0, e sejac
uma curva emNpartindo deγ(0)tal quec′(0) =x.
Construa uma variação α :[0,t]×(−ε,ε) →M tal que α|[0,t]×{0} = γ, α(0,s) = c(s),
1.4 Fórmulas Auxiliares 12
comprimento de arco, temos que
d
dsL[γs]|s=0 = − 1
l(hc
′(t),γ′(t)i − hc′(0),γ′(0)i
= −1
lhγ
′(0),xi
< 0.
Portanto, para todospequeno no intervalo(0,ε), L[γs]<L[γ], eγ não é mínima.✷
1.4 Fórmulas Auxiliares
Definição 1.10 . Seja γ :[0,a]→M uma geodésica. Um campo diferenciável de vetores ao longo deγ é umcampo de Jacobise J satisfizer aequação de jacobi
D2J
dt2 +R(J,γ
′)γ′=0,∀t∈[0,a].
Aqui, salvo menção em contrário, iremos considerarhJ,γ′i=0.
Definição 1.11 . Sejaγ :[0,a]→M uma geodésica. O pontoγ(t0)éconjugadoaγ(0)ao longo
deγ, t0∈(0,a], se existe um campo de Jacobi J, não nulo, ao longo deγtal que J(t0) =J(0) =0.
O número máximo de tais campos linearmente independentes é a multiplicidade de γ(t0)(conjugado aγ(0)).
Definição 1.12 . Uma variedade Riemanniana M é (geodesicamente) completase para todo
p∈M, a aplicação exponencial expp, está definida para todo v∈TpM, isto é, se as geodésicas
γ(t) que partem de p estão definidas para todos os valores do parâmetro t∈R.
Definição 1.13 . Seja M uma variedade riemanniana, γ :[0,a]→M uma geodésica e ν o
espaço vetorial dos campos diferenciáveis por partes ao longo de γ. A forma do índice ao
longo deγ é a forma bilinear simétrica Ia:ν×ν→Rdada por
Ia(V,W) =
Z a
0 {hV
′,W′i − hR(γ′,V)γ′,Wi}dt
onde V,W∈ν.
Teorema 1.1 (Lema do índice). Seja M uma variedade riemanniana e tal queγ :[0,a]→M
1.4 Fórmulas Auxiliares 13
um campo diferenciável por partes e J um campo de Jacobi ao longo deγ, com V(0) =J(0) =0 e V(t0) =J(t0)para algum0<t0≤a, então
It0(V,V)≥It0(J,J), ocorrendo a igualdade se e só se V(t) =J(t), para0≤t≤t0
Prova. Para uma prova, ver [CARMO 2008].
Vamos agora, calcular o Hessiano def=g◦ϕcomo segue.
Seja ϕ : M ֒→ N uma imersão isométrica onde M e N são Variedades Riemannianas
Completas. Considere uma função diferenciávelg:N→Re a composiçãof=g◦ϕ :M→R. IdentificandoXcomdϕq(X), ondeq∈Me para todoX∈TqM, temos que:
hgradf,Xi=X(f) =df(X) =d(g◦ϕ)(X) =X(g◦ϕ) =X(g) =hgradg,Xi.
pois
gradg=gradf+gradg⊥.
Consideremos agora∇Me∇Nas conexões deMeNrespectivamente, e sejamα(q)(X,Y)e Hessf(q)(X,Y), respectivamente a segunda forma fundamental da imersão ϕ e o Hessiano def emq ∈M, comX,Y∈TqM. Temos então paraq∈Me para quaisquerX,Y∈TqMque:
HessMf(q)(X,Y) = h∇MXgradf,Yiq
= h(∇NX(gradg−(gradg)⊥))⊤,Yiϕ(q)
= h(∇NXgradg)⊤,Yiϕ(q)− h(∇NX(gradg)⊥)⊤,Yiϕ(q)
= h(∇NXgradg)⊤,Yiϕ(q)
= Xhgradg,Yiϕ(q)− hgradg,(∇NXY)⊤iϕ(q)
= Xhgradg,Yiϕ(q)− hgradg,∇NXY−(∇NXY)⊥iϕ(q)
= Xhgradg,Yiϕ(q)− hgradg,∇NXYiϕ(q)+hgradg,(∇NXY)⊥iϕ(q)
= h∇NXgradg,Yiϕ(q)+hgradg,(∇NXY)⊥iϕ(q)
= HessNg(ϕ(q))(X,Y) +hgradg,α(X,Y)iϕ(q).
1.4 Fórmulas Auxiliares 14
obtemos que :
△f(q) =
m
∑
i=1
Hessf(q)(ei,ei)
=
m
∑
i=1
Hessg(ϕ(q))(ei,ei) +hgradg, m
∑
i=1
Capítulo
2
O Teorema de Comparação do Hessiano
Conteúdo
2.1 O Hessiano da Função Distância. . . p.15
2.2 O Teorema de Comparação do Hessiano . . . p.18
2.1 O Hessiano da Função Distância
Definição 2.1 . Seja M uma variedade Riemanniana completa. Dados x∈ M e v ∈TxM unitário, sejaγv:[0,∞)→M o raio geodésico normalizadoγv(t) =expx(tv). Se o conjunto dos pontos t∈(0,∞) tais queγv é minimizante em [0,t] for um intervalo da forma [0,t0], dizemos
queγv(t0)é oponto de mínimode x na direção de v. Ocut locusCut(x) de x em M é definido
como o conjunto dos pontos mínimos de x em M(em alguma direção).
Definindo
Ex={v∈TxM;expx(tv)∈M\Cut(x),∀0≤t≤1} temos
Proposição 2.1 . expx:Ex→M\Cut(x)é um difeomorfismo.
2.1 O Hessiano da Função Distância 16
Observação 2.1 . Fixado x∈ M denotaremos por ρM : M\(Cut(x)S{x}) →R∗+ a função
distância a partir de x, isto é,ρM(x0) =distM(x,x0)onde Cut(x)é o Cut Locus de x.
Proposição 2.2 . Sejaγ:[0,a]→M\Cut(x)uma geodésica normalizada partindo de x. Então: gradρ(γ(t)) =γ′(t),∀0<t<a.
Em particular,|gradρ|=1.
Prova. Sejaγ(t) =expx(tv),0≤t≤a, ex=γ(t0). Sew∈TxM,w⊥γ′(t0), segue da proposição
anterior e do Lema de Gauss a existência deW∈Tv(TxM) tal que hW,vi=0 e dexpt0vW= w. Tomemos entãoα :(−ε,ε)→Ex tal que |α(s)|=t0, α(0) =t0v eα′(0) =W. Segue da unicidade da geodésica minimizante que ligaexpx(α(s))axque
ρ(expx(α(s))) =t0,
e daí que
0=h∇ρ(x),(dexpx)t0vWi=h∇ρ(x),wi.
Como a igualdade acima é válida para todow⊥γ′(t0), segue que∇ρ(x)é um mútiplo deγ′(t0).
Mas desde queρ(γ(t)) =tpara 0≤t≤a, temos:
h∇ρ(γ(t)),γ′(t)i=1,∀0<t≤a,
e daí∇ρ(γ(t)) =γ′(t)para 0<t≤a. ✷
Agora fixemos um ponto x0∈M. Seja x∈M\Cut(x0) e consideremos γ uma geodésica
minimizanteγ :[0,ρ(x)]→Mligando xa x0, parametrizada pela distância. SejaJ∈TxM tal quehJ,γ′i(x) =0. Comox não é ponto conjugado dex0, podemos estenderJa um campo de
jacobieJao longo deγ satisfazendoeJ(x0) =0,eJ(x) =Je[eJ,γ′] =0.
Pela proposição anterior temos que γ′ = gradρ e temos também que [eJ,gradρ] = 0.
Portanto
∇e
2.1 O Hessiano da Função Distância 17
Logo
Hessρ(x)(X,X) = h∇eJgradρ,eJi
= h∇gradρeJ,eJi
=
Z ρ
0
d
dth∇gradρeJ,eJidt
=
Z ρ
0 (h∇gradρeJ,∇gradρeJi+heJ,∇gradρ∇gradρeJi)dt
=
Z ρ
0 {|∇gradρeJ| 2+
heJ,∇gradρ∇gradρeJi}dt ComoeJé um campo de jacobi, temos:
∇gradρ∇gradρeJ+R(eJ,gradρ)gradρ =0.
Portanto temos que:
Hessρ(x)(X,X) =
Z ρ
0 (|∇gradρeJ| 2
− heJ,R(eJ,gradρ)gradρi)dt,
ondeR é a curvatura da Variedade Riemanniana Me o segundo membro acima é a forma do índice.
Podemos então escrever:
Hessρ(x)(X,X) =
Z ρ
0 (heJ
′
,eJ′i − hR(eJ,γ′),eJi)dt
Então reescrevendo de forma mais suscinta:
Observação 2.2 . Tomemos J∈TxM e extenda-o a um campo de jacobieJ ao longo deγ tal que
eJ(x0) =0,eJ(x) =J, comheJ,γ′i=0. Dessa forma o Hessiano deρM(x)é dado por Hessρ(x)(X,X) = Iρ(eJ,eJ)
=
Z ρ
0 (heJ
′
,eJ′i − hR(eJ,γ′)γ′,eJi)dt
=
Z ρ
0 (h∇γ′eJ,∇γ′eJi − hR(γ
′,eJ)γ′,eJi)dt
=
Z ρ
0 (|∇γ′eJ|
2− hR(γ′,eJ)γ′,eJidt.
2.2 O Teorema de Comparação do Hessiano 18
Riemannianas completas de curvatura seccionalk. Consideremos
Sk(t) =
1
ksin(k.t),se SupK=k
2
t,se SupK=0
1
ksinh(k.t),se SupK=−k2 Definaf(t) = Sk(t)
Sk(ρ(x)). Veja quef satisfaz a equação de Jacobi
d2f
dt2+k·f=0
f(0) =0,f(ρ(x)) =1
Os campos de Jacobi ao longo deγ :[0,ρ(x)]→M, comheJ,γ′i=0 são dados por eJ(t) =f(t)·X(t)
ondeXé um campo de vetores paralelo ao longo deγtal quekX(t)k=1 ,X(0) =X. Substituindo o campoeJ(t) =f(t)·X(t)na equação obtida na observação 2.2, obtemos
Hessρ(x)(X,X) =
Z ρ
0 (heJ
′
,eJ′i − hR(eJ,γ′),eJi)dt
=
Z ρ
0 hf ’(t)X(t),f ’(t)X(t)i − hR(f(t)X(t),γ
′)γ′,f(t)X(t)idt
=
Z ρ
0 (kf ’(t)k 2
− hR(X(t),γ′)γ′,X(t)if2(t))dt
=
Z ρ
0 (kf ’(t)k 2
−K·f2(t))dt
=
k·cot(k·ρ(x)),se SupK=k2
1
ρ(x),se SupK=0
k·coth(k·ρ(x)),se SupK=−k2
2.2 O Teorema de Comparação do Hessiano
Para a demonstração do Teorema de Comparação do Hessiano, precisaremos do Teorema abaixo:
Teorema 2.1 (Rauch). Sejam Mn eMfm, m≥n, variedades Riemannianas, γ :[0,a]→Mn e e
2.2 O Teorema de Comparação do Hessiano 19
i. γe(t)não é conjugado aγe(0), ao longo deγe,∀0<t≤a.
ii. KM(γ′(t),X)≤KMe(γe′(t),Xe),∀X∈Tγ(t)M,Xe∈Tγe(t)M, respectivamente perpendiculares ae
γ′(t)eγe′(t).
Então:
(a). |J(t)|
|eJ(t)| é uma função não-decrescente de t∈(0,a]
(b). hJ′,Ji ≥|J|2
|eJ|2hJ’e,eJi, t∈(0,a].
Prova. Ver [CARMO 2008].
Observação 2.3 . Veja que
Iρ(eJ,eJ) =
Z ρ
0 (heJ
′
,eJ′i − hR(eJ,γ′)γ′,eJi)dt
=
Z ρ
0 (heJ
′
,eJ′i − heJ′′,eJi)dt
=
Z ρ
0
d dtheJ
′
,eJidt
= heJ′,eJi|ρo.
Logo podemos escrever:
Hessρ(x)(X,X) = Iρ(eJ,eJ) = heJ′,eJi|ρo.
Podemos agora enunciar o Teorema de Comparação do Hessiano.
Teorema 2.2 (O Teorema de Comparação do Hessiano). Sejam Mn e Mfn variedades Riemannianas completas e γ :[0,a]→M e γe:[0,a]→M geodésicas normalizadas que nãoe
intersectam respectivamente Cut(γ(0))e Cut(γe(0)). Se
KM(γ′(t),X)≤KMe(γe′(t),Xe),
para todos t∈[0,a], X∈Tγ(t)M eeX∈Tγe(t)M, ortogonais respectivamente ae γ′(t)eγe′(t), e ρ e
e
ρ denotam respectivamente as funções distância em M e emM a partir dee γ(0)eγe(0), então, para0<t≤a, tem-se:
2.2 O Teorema de Comparação do Hessiano 20
para quaisquer X∈Tγ(t)M eXe∈Tγe(t)M, unitários e ortogonais respectivamente ae γ′(t)eγe′(t).
Prova. Fixe 0<t≤a. Assim temos:
(Hessρ)γ(t0)(X,X) =hJ’,Ji(t0),
ondeJé o campo de jacobi ao longo deγ tal queJ(0) =0 eJ(t0) =X. Note que em particular
temos quehJ,γ′i=0 em[0,t0].
Analogamente,
(Hessρe)eγ(t0)(Xe,Xe) =hJ’e,eJi(t0),
ondeeJé o campo de jacobi ao longo deγetal queeJ(0) =0 eeJ(t0) =X, come heJ,eγ′i=0.
Agora, como γenão encontra Cut(γe(0)) em(0,t0], (γenão encontra o conjunto dos pontos
mínimos deeγ em(0,t0]), temos queγe(t)não é conjugado aeγ(0)ao longo deγe, para 0<t≤a.
Portanto, segue do Teorema de Rauch que
(Hessρ)γ(t0)(X,X) = hJ’,Ji(t0)
≥ |J|
2
|eJ|2hJ’e,eJi(t0)
= |X|
2
|Xe|2(Hessρe)γe(t0)(Xe,Xe)
= (Hessρe)eγ(t0)(Xe,Xe).
Para o que segue precisaremos da seguinte versão do Teorema de Comparação do Hessiano:
Corolário 2.1 . Seja M uma variedade Riemanniana Completa e sejaρ a função distância em
M a partir de x0. Sejaγ uma geodésica minimizante partindo de x0e suponha que a curvatura
seccional radial de M ao longo deγ satisfaz Kγ ≤k. Então o Hessiano deρ emγ(t)satisfaz: Hessρ(x)(X,X)≥µ(ρ).kXk2,
ondeµ(ρ) = S’k
Sk(ρ(x)).
Prova. Sejam X∈Tγ(ρ)M e X⊥γ′(ρ). Denotemos por X(t) o campo de vetores obtido pela
extensão paralela deXao longo deγ.
2.2 O Teorema de Comparação do Hessiano 21
Sk(t) =
1
ksin(k.t),se SupK=k
2
t,se SupK=0
1
ksinh(k.t),se SupK=−k
2
Os campos de jacobiXe(t)ao longo deγ:[0,ρ(x)]→McomXe(0) =0 ,eX(ρ) =XehXe,γ′i=
0 são dados por
e
X(t) =f(t)X(t),
ondef(t) = Sk(t)
Sk(ρ(x)). Veja quef satisfaz a equação de Jacobi
d2f
dt2+k·f=0
f(0) =0,f(ρ(x)) =1.
Seja {∂
∂ γ,X1, ...,Xn−1} uma base ortonormal de Tγ(ρ)M e paralela ao longo de γ. Então
substituindo o campo de jacobi Xei = f(t)Xi(t) com Xi(0) = 0, eXi(γ(ρ)) = Xi e |Xi|= 1 na expressão obtida na observação 2.2, temos que:
Hess(ρ)(Xi,Xi) =
Z ρ
0 (|
∂ ∂ γXei|
2
− hR(eXi,
∂ ∂ γ)
∂
∂ γ,Xeii)dt
=
Z ρ
0 (|
∂
∂ γ f(t)Xi|
2
−f(t)2hR(Xi,
∂ ∂ γ)
∂
∂ γ,Xii)dt
=
Z ρ
0 (|
∂f(t)
∂t |
2
−Kγf(t)2)dt
=
k·cot(k·ρ(x)),se Sup K=k2
1
ρ(x),se Sup K=0
k·coth(k·ρ(x)),se Sup K=−k2
Capítulo
3
Teorema Principal
Conteúdo
3.1 Resultados Importantes . . . p.22
3.2 Teorema Principal . . . p.25
3.1 Resultados Importantes
Nesta sessão mostraremos notações e resultados que serão utilizados na demostração do teorema principal.
Teorema 3.1 (Fórmula de Green). Sejam f:M→Ruma função de classe C2(M)e h:M→R uma função de classe C1(M), pelo menos uma delas com suporte compacto. Então:
Z
M{
h△f+hgradh,gradfi}dV=0.
Se ambas são de classe C2(M), então
Z
M{
h△f−f△h}dV=0.
Prova: Para uma prova ver [SAKAI 1995].
3.1 Resultados Importantes 23
R, onde N é uma variedade riemanniana simplesmente conexa de dimensão n com curvatura seccional KN≤ −k2. Então definimos o númeroh(N×R)por:
h(N×R) =infM∈F(N×R){|HM|}.
Sejaϕ:M֒→Numa imersão própria de uma variedadem-dimensionalMem uma variedade
riemanniana completaN de dimensão n. Definimos a bola extrínseca de raio R centrada em p denotada por DR(p) como sendo a componente conexa diferenciável de ϕ(M)∩BN(R) =
{q∈ϕ(M);dist(p,q)≤R}contendop, ondeBN(R)denota a bola geodésica emNcentrada em p=ϕ(p) sujeita a restrição de que R≤ inf{iN(p),2√πk}, onde k é o supremo das curvaturas seccionais deNeiN(p) =inf d(p,Cut(p))é o raio de injetividade deNemp.
Observe queDR(p)é um domínio compacto e conexo emϕ(M).
Sejaϕ:M֒→N×Ruma imersão de uma variedadem-dimensionalMna variedade produto
N×RondeNé uma variedade riemanniana completa com curvatura seccionalKN≤c≤0. Seja K⊂ϕ(M)um conjunto compacto conexo. Definimos o raio extrínseco porRp1 =raio(p1(K)),
o raio do conjunto p1(K), isto é o raio da menor bola métrica de N contendo p1(K), onde
p1:N×R→Né a projeção sobre o primeiro fator.
Em [Frankel 1966], Frankel prova que para duas hipersuperfícies, uma fechada e a outra propriamente imersa em uma variedade riemanniana completa com curvatura de Ricci positiva se intersectam. Este resultado tem uma versão para N×R onde N tem curvatura seccional positiva. vejamos:
Teorema 3.2 . Seja N uma variedade riemanniana completa com curvatura seccional positiva.
Sejam M1e M2hipersuperfícies mínimas imersas em N×R, onde M1é fechada e M2é própria.
Então (por uma translação vertical)elas se intersectam, isto é, p1(M1)∩p1(M2)6= /0.
Prova. SejamM1 eM2 hipersuperfícies deN×R, ondeNtem curvatura de Ricci positiva,M1
é fechada eM2é própria.
Suponha que p1(M1)∩p1(M2) = /0, onde p1 :N×R→N é a projeção sobre o primeiro
fator.
Seja γ uma geodésica ligando a ∈M1 a b ∈M2 de comprimento positivo realizando a
distâncialentreM1eM2.
Pela proposição (1.5), esta geodésica chega a M1 e a M2 perpendicularmente a a e b
3.1 Resultados Importantes 24
SejaX(0)∈TaM1um vetor unitário eX(t)seu transporte paralelo ao longo deγ. Este vetor dá origem a uma variação deγ mantendo os extremos fixos sobreM1eM2.
Pela fórmula da segunda variação do comprimento de arco, temos:
L′′X(0) =B2(X(l),X(l))−B1(X(0),X(0))−
Z l
0 K(X∧T)dt,
ondeB1eB2são os operadores forma deM1eM2respectivamente.
Tomando uma base ortonormal{X1, ...,Xn}deTaM1temos n
∑
i=1
L′′Xi(0) =−
Z l
0 RicN×R(γ
′(t)).
Veja queγ′(t) =γN′(t)+γR′(t)tem componente horizontalγN′(t)6=0 (poisγNé não constante) para cadat∈I,Iintervalo de medida positiva,I⊂[0,l].
Calculando a curvatura de Ricci deN×Rna direção deγ′(t), obtemos:
RicN×R(γ′(t)) =
n
∑
i=1h
R(γR′ +γN′,Xi)Xi,γR′ +γN′i
=
n
∑
i=1h
R(γR′,Xi)Xi,γR′ +γN′i+hR(γN′,Xi)Xi,γR′ +γN′i
=
n
∑
i=1h
R(γR′,XiN)XiN,γR′i+hR(γR′,XiN)XiN,γN′i+hR(γN′,XiN)XiN,γR′i+hR(γN′,XiN)XiN,γN′i
=
n
∑
i=1h
R( γN′
|γN′|,
XiN
|XiN|) XiN
|XiN|,
γ′
N
|γN′|i · |γ
′
N|2· |XiN|2 Veja queγR′ eXiRsão múltiplos.
Portanto,
RicN×R(γ′(t)) =
n
∑
i=1
KN[( XiN
|XiN|)∧(
γN′
|γ′
N|
)]· |γN′|2· |XNi|2>0,se KN>0.
Consequentemente, ∑ni=1L′′
Xi(0) < 0, contradizendo o fato de que γ tem comprimento mínimo.( Se ∑ni=1L′′
Xi(0)≥ 0, ∀i, então a geodésica γ é ponto de mínimo para o funcional
comprimento de arco).
3.2 Teorema Principal 25
3.2 Teorema Principal
A demonstração do teorema principal deste trabalho depende de uma sequencia de resultados.
Para o que segue, seja p1:N×R→Na projeção sobre o primeiro fator e para uma dada hipersuperfície fechadaM⊂N×R, sejaRp
1(M)o raio extrínseco do conjuntop1(M)⊂N.
Teorema 3.3 . Sejam ϕ : M֒→ N×R uma imersão de uma hipersuperfície M fechada de dimensão m com curvatura média limitada|HM| ≤H0, onde N é uma variedade riemanniana com um polo x0 e curvaturas seccionais radiais limitadas KN ≤ c e ρN : N→ R a função distância em x0. Suponha que p1(M)⊂BN(2πk)se c=k2. Então:
n· |H0| ≥(n−1)·µ(Rp1(M)).
Prova. Seja ϕ :M֒→N×R uma imersão isométrica. Considere a função distância ρ(x) =
dist(x0,x)ao polox0∈N, g:N×R→Ruma função diferenciável dada por g(x,t) =ρN2(x)e
definaf=g◦ϕ:M→R. Veja quef≥0 é diferenciável sobreM. Pelo teorema de Green temos que:
Z
M
f△f+|gradf|2dM=
Z
∂M f ∂f
∂ ν d(∂M) =0
( pois∂M= /0). ν := normal unitária exterior aMao longo de∂M.
Isto implica que existe um subconjunto /06=S⊂Mtal que para algum pontox∈Stemos△f<0
(f≥0 ,|gradf|2>0).
Então se{e1, ...,en}é uma base ortonormal deTqMtemos que: 0>△f = tr(Hessf)(ei,ei)
=
n
∑
i=1
Hessf(x)(ei,ei)
=
n
∑
i=1
Hessg(ϕ(x))(ei,ei) +hgradg, n
∑
i=1
α(ei,ei)i
Escolhamos agora uma base ortonormal{e1, ...,en}deTqMdo seguinte modo. Tomemos{e2, ...,en}tangentes a esfera∂BN(ρ(x))de raioρ(x) =ρN(ϕ(x)).
3.2 Teorema Principal 26 {gradρN,∂ θ∂2, ...,∂ θ∂n}, temos que a escolha dessa base ortonormal emTqMé dada por:
e1=he1,∂∂ti∂∂t+he1,gradρNigradρN ej=∂ θ∂j,j=2, ...,m.
Calculando Hessgobtemos:
Hessg(X,X) = h∇Xgradg,Xi
= h∇X(ρNgradρN+ρNgradρN),Xi
= h∇X2ρNgradρN,Xi
= hX(2ρN)gradρN+2ρN∇XgradρN,Xi
= h2X(ρN)gradρN+2ρN∇XgradρN,Xi
= h2hgradρN,XigradρN+2ρN∇XgradρN,Xi
= 2hgradρN,Xi2+2ρNHessρN(X,X)
Donde temos
Hessg(ei,ei) =
2he1,gradρNi2,se i=1 2ρNHessρN(ei,ei),se i≥2 Temos também
hgradg,α(X,X)i=h2ρNgradρN,α(X,X)i=2ρNhgradρN,α(X,X)i. Portanto, parax6=x0∈Stemos que
0>△f(x) =
n
∑
i=1
Hessg(ϕ(x))(ei,ei) +hgradg, n
∑
i=1
α(ei,ei)i
≥ 2he1,gradρNi2+2(n−1)ρNHessρN(ei,ei) +2ρNhgradρN,n−→HMi
≥ 2he1,gradρNi2+2(n−1)ρNHessρN(ei,ei) +2nρNhgradρN,−→HMi
≥ 2he1,gradρNi2+2(n−1)ρNHessρN(ei,ei) +2nρNhgradρN,−→HMi −2nρN|H0|
≥ 2he1,gradρNi2+2(n−1)ρNHessρN(ei,ei)−2nρN|H0|
≥ 2(n−1)ρNµ(ρN)−2nρN|H0|
Assim, obtemos
3.2 Teorema Principal 27
Portanto
n|H0| ≥ (n−1)µ(ρN)
≥ (n−1)µ(Rp1(M)).
Seja M uma variedade riemanniana e Ω⊂M um aberto conexo arbitrário. Definimos o
Tom Fundamentalλ∗(Ω)deΩpor:
λ∗(Ω) =inf{
R
Ω|∇f|2
R
Ωf2
,f∈H10(Ω)\{0}}=inf
∑
(Ω),ondeH10(Ω)é o completamento deC0∞(Ω)com respeito a normakϕk2H1 0=
R
Ωϕ2+
R
Ω|∇ϕ|2.
De acordo com isso, comoΣ(Rn) = [0,∞)eΣ(Hn(−k2)) = [(n−1)
2k2
4 ,∞),como podemos ver
em [BESSA & MONTENEGRO 2003] temos queλ∗(Rn) =0 eλ∗(Hn(−k2)) =(n−14)2k2.
Segue dos trabalhos de Barbosa-Kenmotsu-Oshikiri em [BARBOSA, KENMOTSU & O. 1991] e Salavessa em [SALAVESSA 1989], que se um gráfico inteiro de uma função diferenciável f:Hn→R tem curvatura média constante H então |H| ≤ n−n1. Por outro lado, Bessa e Montenegro em [BESSA & MONTENEGRO 2007] mostraram com o teorema abaixo que hipersuperfícies compactas imersas em N×R, onde N é uma variedade Riemanniana n dimensional com polo e curvaturas seccionais radiaisKN≤ −k2<0, satisfaz|H| ≥ (n−n1)k :
Teorema 3.4 . Seja N uma variedade riemanniana completa de dimensão n com um polo e
curvatura seccional radial limitada superiormente KN≤ −k2<0(k>0). Seja M⊂N×Ruma imersão de uma hipersuperfície com curvatura média constante H. Então
|HM| ≥
(n−1)·k n =
2 n
q
λ∗(Hn(−k2)). Em particular,
h(N×R)≥ (n−1)·k
n .
Prova. Pelo teorema anterior, temos que:
n|HM| ≥ (n−1)µ(Rp1(M))
= (n−1)·k·coth(k·Rp1(M))
≥ (n−1)k.
Portanto,
|HM| ≥
3.2 Teorema Principal 28
Veja agora que como h(N×R) =infM∈F(N×R){|HM|} , e (n−n1)k ≤ |HM| então segue da definição de ínfimo que
h(N×R)≥ (n−1)k
n .✷ Podemos agora enunciar o nosso resultado principal.
Teorema 3.5 . Seja N uma variedade riemanniana completa de dimensão n com um polo e
curvatura seccional radial limitada superiormente KN≤ −k2<0(k>0). Seja M⊂N×Ruma hipersuperfície compacta imersa com curvatura média constante HM. Então:
Rp1(M)≥ coth−1( n
(n−1)·k· |HM|).
Em particular, se Mi ⊂ N×R é uma sequência de hipersuperfícies fechadas imersas com curvaturas médias constantes HMi→
(n−1)·k
n então o raio extrínseco Rp1(Mi)→∞.
Prova: Pelo teorema anterior temos que
n|HM| ≥ (n−1)·k coth(k·Rp1(M))
Assim temos:
coth(k·Rp1(M))≤
n· |HM|
(n−1)·k. Comocoth−1é uma função decrescente temos que
k·Rp1(M)≥coth−1( n· |HM| (n−1)·k) Portanto,
Rp1(M)≥1 kcoth
−1( n· |HM|
(n−1)·k).
Agora, seMi⊂N×Ré uma sequência de hipersuperfícies fechadas imersas com curvaturas médias constantes, então temos:
Rp1(Mi)≥ 1 kcoth
−1(n· |HMi|
(n−1)k). Fazendo|HMi| →
(n−1)k
n , temos quecoth−
1(n·|HMi|
(n−1)k) =coth−
1(1) = +∞.
29
Referências Bibliográficas
BARBOSA, JOÃO LUCAS MARQUES; KENMOTSU, K.; O., OSHIKIRI. Foliations by hypersurfaces with constant mean curvature.Mathematische Zeitschrift, v. 207, p. 97–98,
1991.
BESSA, G. PACELLI; MONTENEGRO, J. FÁBIO. Eigenvalue estimates for submanifolds with locally bounded mean curvature.Annals of Global Analysis and Geometry, n. 24, p.
279–290, 2003.
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