THE INVESTIGATION SOLVABILITY OF THE SECOND BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION WITH INVOLUTORY DEVIATIONS IN THE LOWEST TERMS

(1)

УДК 517.929.7

ИССЛЕДОВАНИЕРАЗРЕШИМОСТИ ВТОРОЙКРАЕВОЙЗАДАЧИДЛЯ

УРАВНЕНИЯВЧАСТНЫХПРОИЗВОДНЫХ СИНВОЛЮТИВНЫМОТКЛОНЕНИЕМВ МЛАДШИХЧЛЕНАХ

БжеумиховаОксанаИгоревна

Кабардино-Балкарскийгосударственный

университетим. Х.М. Бербекова, Нальчик, Россия

Вработеисследованвопросразрешимостивторой краевойзадачидлямодельногоуравненияв частныхпроизводныхсинволютивным отклонениемвмладшихчленах. Исследование

проведенонаосновеметодаразделения переменных

Ключевыеслова: КРАЕВАЯЗАДАЧА,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕУРАВНЕНИЕВ ЧАСТНЫХПРОИЗВОДНЫХ,

ОТКЛОНЯЮЩИЙСЯАРГУМЕНТ, ЗАДАЧА

ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

UDC 517.929.7

THE INVESTIGATION SOLVABILITY OF THE SECOND BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION WITH INVOLUTORY DEVIATIONS IN THE LOWEST TERMS

Bzheumikhova Oksana Igorevna

Kabardino-Balkarian State University named after H.M. Berbekova, Nalchik, Russia

In this article we consider the problem of solvability oа second boundary value problem for the model equation in partial derivatives with involutive deviation in the lowest terms. The investigation is based on a variable separation method

Keywords: BOUNDARY VALUE PROBLEM, PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION,

DEVIATIONS ARGUMENT, STURM-LIOUVILLE PROBLEM

Введение

Многие

математические

модели

,

применяемые

при

исследовании

процессов

,

в

таких

важных

областях

как

математическая

биоэкология

,

механика

,

автоматизированные

системы

управления

,

теория

климатических

моделей

,

иммунология

и

т

.

д

.

базируются

на

дифференциальных

уравнениях

с

отклоняющимся

аргументом

(

например

,

[1-6]).

Широкие

возможности

применения

уравнений

с

отклоняющимся

аргументом

в

качестве

математических

моделей

способствуют

росту

интереса

к

исследованию

новых

задач

для

уравнений

с

частными

производными

[7-10],

которые

по

сравнению

с

обыкновенными

дифференциальными

уравнениями

описывают

процессы

еще

в

большей

степени

приближенные

к

процессам

,

протекающим

на

практике

[11, 12].

В

настоящей

работе

,

методом

разделения

переменных

,

установлена

(2)

производных

с

инволютивным

отклонением

аргумента

в

прямоугольной

области

.

1. Постановка

задачи

Пусть

Ω

=

{

( )

x

,

t

:

−

x

₀

<

x

<

x

₀

,

0 <

t

<

t

₀

}

−

односвязная

область

евклидовой плоскости

2

R

точек

( )

x, .

t

В области

Ω

рассмотрим уравнение

( ) ( ) ( ) (

,

+

,

+

−

,

)

=

0 ≡

u

x

t

k

t

u

x

t

u

x

t

Lu

_xx _tt

, (1)

где

k

( )

t

- достаточно гладкая, причем

k

( )

t

≠

0 .

Для уравнения (1) исследована следующая

Задача

_1.

Найти

регулярное

в

области

Ω

решение

_u

( )

_x

_,

_t

уравнения

(1) из класса

( )

4,2

, 1

t x

C

Ω

I

_{, удовлетворяющее условиям}

(

)

( )

,

0 ( ) ( )

,

( )

,

4 0 3

2 0

1 0

x

t

x

u

x

u

t

x

u

t

x

u

t t

x x

ϕ

=

−

(2)

где

ϕ

_i

(

i

=

1 ,

4 )

– заданные, достаточно гладкие функций.

2. Доказательство

существования

и

единственности

задачи

Для задачи 1 справедлива следующая

Теорема

1. Пусть

1)

ϕ

₁

( ) ( )

t

,

ϕ

₂

t

∈

C

3

[ ]

0 ,

t

₀

,

ϕ

₃

( ) ( )

x

,

ϕ

₄

x

∈

C

3

{

[

−

x

₀

,

0 ) (

U

0 ,

x

₀

]

}

,

где













∈

2 ,

0

π

x

,

( )

0 ,

π

0

t

,

k

( )

t

∈

C

1

[ ]

0 ,

t

₀

;

2)

∫

( )

=

0

3

0

x

dx

x

ϕ

,

∫

( )

=

0

4

0

x

dx

x

ϕ

,

(3)

Действительно

,

разобьем

задачу

(1), (2)

в

области

Ω

на

две

вспомогательные

:

0

1

≡

Lu

, (3)

(

₀

,

)

0

1

−

x

t

=

u

_x

,

u

₁_x

( )

x

₀

,

t

=

0 , (4)

( )

x

( )

x

u

₁_t

,

0 =

ϕ

₃

,

u

₁_t

( )

x

,

t

₀

=

ϕ

₄

( )

x

, (5)

0

2

≡

Lu

, (6)

( )

,

0

2

x

=

u

_t

,

u

₂_t

( )

x

,

t

₀

=

0 , (7)

(

x

t

)

( )

t

u

₂_x

−

₀

,

=

ϕ

₁

,

u

₂_x

( )

x

₀

,

t

=

ϕ

₂

( )

t

, (8)

где

u

=

u

₁

+

u

₂

.

Решение

уравнения (3)

удовлетворяющее

однородным

граничным

условиям (4) будем искать в виде [13]:

( ) ( )

x

T

t

X

u

₁

=

₁

⋅

₁

. (9)

Подставляя (9) в (3) и опуская нижние индексы, получим

( )

−

=

−

′′

( )

=

−

λ

+

′′

t

T

t

T

x

X

x

X

x

X

,

где

λ

=

const

.

Отсюда, с учетом (4) будем иметь

( )

+

( )

−

+

( )

=

0 ′′

x

X

x

X

x

X

λ

, (10)

( )

0 )

(

−

x

₀

=

X

x

₀

=

X

, (11)

( ) ( )

t

T

′′

t

−

T

( )

t

=

0 k

λ

. (12)

Исследуем задачу о собственных значениях (10), (11).

Дважды дифференцируя (10), приходим к соотношению:

( )

x

+

X

′′

( )

−

x

+

X

′′

( )

x

=

0 X

IV

λ

. (13)

С другой стороны из (10) имеем:

( )

.

,

x

X

x

X

x

X

x

X

x

X

x

X

λ

−

′′

−

=

−

=

−

′′

(14)

(4)

( )

x

+

2 X

′′

( )

x

+

( )

2

−

1 X

( )

x

=

0 X

IV

λ

. (15)

Характеристическое

уравнение

соответствующее (15),

будет

иметь

вид:

0

1

2

2 2

4

₊

λ

_r

₊

λ

₋

₌

r

.

Разрешая биквадратное уравнение, находим:

λ

−

=

1

r

,

r

₂

=

−

1 −

λ

,

λ

−

=

1

3

r

,

r

₄

=

−

1 −

λ

.

Таким образом, общее

решение уравнения (15) может быть записано

в виде:

( )

x x x x

e

C

e

C

e

C

e

C

x

X

=

₁ 1−λ

+

₂ − 1−λ

+

₃ −1−λ

+

₄ − −1−λ

. (16)

Следуя [14, 15],

получим

из (16)

представления

решения (10)

для

различных

λ

.

С лучай

1 :

λ

<

−

1 .

В этом случае общее решение (10) имеет вид:

( )

x

=

C

₁

sh

(

x

1 −

λ

)

+

C

₃

ch

(

x

−

1 −

λ

)

X

.

Используя условия (11), получим

(

)

(

)

(

)

(

)









=

−

+

−

=

−

.

0

1 sh

1

1 ch

1 ,

0

1 sh

1

1 ch

1

0 3 0

1

0 3 0

1

λ

x

C

x

C

x

C

x

C

Определитель

этой

системы

(

1 ) (

sh

1 )

0 ch

1

2

−

₀

−

₀

−

=

∆

λ

x

λ

x

λ

только

при

λ

=

±

1 ,

что

противоречит

рассматриваемому

случаю

λ

<

−

1 .

Следовательно

,

C

₁

=

C

₃

=

0 .

Откуда

заключаем

,

что

X

( )

x

≡

0 .

С лучай

2 :

λ

=

−

1 .

При

таком

значении

λ

решение

(10)

имеет

вид

:

( )

x

C

1

sh

( )

2 x

C

3

X

=

+

.

Удовлетворяя

(11),

имеем

( )









=

.

0

2 ch

2 ,

0

2 ch

2

0 1

x

C

(5)

Откуда

заключаем

,

что

C

₁

=

0 и

X

( )

x

≡

C

₃

.

Этому собственному значению

λ

=

−

1 соответствует

( )

x

t

C

T

( )

t

u

₁

,

=

₃

, (17)

где

T

(t

)

- решение уравнения (12).

Требуя

выполнения

граничных

условий (5) ,

получаем

систему

для

определения постоянных входящих в (17):

( )

₁

( )

,

0

₃

( )

0

3

x

=

u

t

x

=

C

T

′

ϕ

,

( )

1

( )

0 3

( )

0 4

x

=

u

t

x

,

t

=

C

T

′

t

ϕ

.

Таким

образом,

решение

задачи (3)-(5)

при

λ

=

−

1 определяется

соотношением (17).

С лучай

3 : Д ля

− < <1

λ

1

, удовлетворяя общее решение (10)

( )

x

=

C

₁

sh

(

x

1 −

λ

)

+

C

₃

cos

(

x

1 +

λ

)

X

условиям (11), находим

(

)

(

)

(

)

(

)









=

+

−

=

+

−

.

0

1 sin

1

1 ch

1 ,

0

1 sin

1

1 ch

1

0 3

0 1

0 3

0 1

λ

x

C

x

C

x

C

x

C

Определитель

системы

(

λ

) (

λ

)

λ

−

+

−

=

∆

2

1

2

ch

x

₀

1 sin

x

₀

1 обращается

в

нуль

либо

при

λ

=

±

1 ,

либо

при

1

2

0

−













=

x

n

π

λ

.

Следовательно,

C

₁

=

C

₃

=

0 и

X

( )

x

≡

0 , т.к.

λ

∉

(

−

1 ,

1 )

.

С лучай

4 :

λ

=

1 .

При

указанном

значении

λ

для

всех













∈

2 ,

0

π

x

(10) принимает вид

( )

x

C

x

C

( )

x

X

=

₂

+

₃

cos

2 . (18)

Удовлетворяя (18) граничным условиям (11) получим

( )









=

−

=

+

.

0

2 sin

2 ,

0

2 sin

2

0 3

2

0 3

2

x

C

x

C

(6)

В

силу

того

,

что

( )

2

0 sin

2

₀ ₀

≠

−

=

∆

x

,

имеем

C

₂

=

C

₃

=

0 и

X

( )

x

≡

0 .

С лучай

5 .

При

λ

>

1 общее решение (10) принимает вид:

( )

x

=

C

₂

sin

(

x

λ

−

1 )

+

C

₃

cos

(

x

λ

+

1 )

X

.

Удовлетворяя

полученное

выражение

для

X

( )

x

граничным

условиям

(11), будем иметь:

(

)

(

)

(

)

(

)









=

+

−

=

+

−

.

0

1 sin

1

1 cos

1 ,

0

1 sin

1

1 cos

1

0 3 0 2 0 3 0 2

λ

x

C

x

C

x

C

x

C

Равенство

(

1 ) (

sin

1 )

0 cos

1

2

−

₀

−

₀

+

=

−

=

∆

λ

x

λ

x

λ

справедливо

при

1

2

0

1



+











₊

=

x

n

π

λ

, либо при

1

2

0 2



−











=

x

n

π

λ

.

Таким образом,

задача (10), (11)

имеет собственные значения

λ

₁_n

,

λ

₂_n

и

соответствующие

им

собственные

функции

( )

_











₊

=

x

n

C

x

X

_n _n

0 1

2

2 cos

π

,

( )

_











=

x

n

C

x

X

_n _n

0

2

sin

π

,

(

n

∈

N

)

,

где

C

_n

–

произвольные

постоянные,

нуждающиеся в определении.

Собственным

значениям

1

2

0

1



−











₊

=

x

n

π

λ

соответствуют

решения

уравнения (12) равные

( )

t

T

( )

t

T

=

_n

.

Возвращаясь к решению задачи (3)-(5), видим, что функция

∑

∞ =













₊

=

1 0 11

2

2 cos

)

(

)

,

(

n n n

x

n

t

T

C

t

x

(7)

является

решением

уравнения

(3)

при

1

2

0

1



−











₊

=

x

n

π

λ

.

Условия

(5)

позволяют

определить

значение

постоянных

входящих

в

(19).

С

учетом

условия

1)

теоремы

1,

функции

ϕ

₃

( )

x

и

ϕ

₄

( )

x

,

−

x

₀

≤

x

≤

x

₀

разлагаются

в

ряд

Фурье

,

который

содержит

только

косинусы

,

а

именно

:

( )

∑

∞ =













₊

+

=

1 0 0 3

2

2 cos

2

_n n

x

n

x

δ

π

ϕ

,

( )

∑

∞ =













₊

+

=

1 0 0 4

2

2 cos

2

n n

x

n

x

ρ

π

ϕ

,

где

( )

∫

=

0 0 3 0 0

2

x

dx

x

ϕ

δ

,

=

∫

( )

0 0 4 0 0

2

x

dx

x

ϕ

ρ

,

( )

∫













₊

=

0 0 0 3 0

2

2 cos

2

x

n

x

dx

x

n

x

π

ϕ

δ

,

( )

∫













₊

=

0 0 0 4 0

2

2 cos

2

x

n

x

dx

x

n

x

π

ϕ

ρ

,

причем

ряды

∑

∞

=1 n

n

δ

и

∑

∞

=1 n

n

δ

сходятся

.

Учитывая

граничные

условия

(5),

получаем

:

.

2

2 cos

2

2 cos

)

(

,

2

2 cos

2

2 cos

)

0 (

1 0 0 1 0 1 0 0 1 0

∑

∞ = ∞ = ∞ = ∞ =













₊

+

=













₊

′













₊

+

=













₊

′

n n n n n n n n n n

x

n

x

n

t

T

C

x

n

x

n

T

C

π

ρ

π

δ

π

(20)

Сопоставляя

соответствующие

коэффициенты

в

полученных

соотношениях

,

а

так

же

учитывая

условие

2)

теоремы

1 определяем

(8)

определяемыми

по

формулам

(20),

удовлетворяет

всем

условиям

задачи

(3)-(5).

Переходя

к

рассмотрению

случая

собственных

значений

1

2

0 2



−











=

x

n

π

λ

будем иметь

∑

∞ =













=

1 0

12

(

,

)

(

)

sin

n n n

x

n

t

T

C

t

x

u

π

. (21)

Используя

условия (5)

позволяют

определим

значение

постоянных

входящих в (21).

С учетом условия 1) теоремы 1, функции

ϕ

₃

( )

x

и

ϕ

₄

( )

x

,

−

x

₀

≤

x

≤

x

₀

разлагаются в ряд Фурье, который содержит только синусы, а именно:

( )

∑

∞ =













=

1 0 3

sin

n n

x

n

x

µ

π

ϕ

,

( )

∑

∞ =













=

1 0 4

sin

n n

x

n

x

ν

π

ϕ

,

где

( )

∫













=

0 0 0 3 0

sin

2

x

n

x

dx

x

n

x

π

ϕ

µ

,

∫

( )

_











=

0 0 0 4 0

sin

2

x

n

x

dx

x

n

x

π

ϕ

ν

,

а

ряды

∑

∞

=1 n

n

µ

и

∑

∞

=1 n

n

ν

сходятся

.

Учитывая

граничные

условия

(5),

получаем

:

.

sin

)

(

,

sin

)

0 (

1 0 1 0 1 0 1 0

∑

∞ = ∞ = ∞ = ∞ =













=













′













=













′

n n n n n n n n n n

x

n

x

n

t

T

C

x

n

x

n

T

C

π

ν

π

µ

π

(22)

Сравнивая

соответствующие

коэффициенты

в

полученных

соотношениях,

а

так

же

учитывая

условие 2)

теоремы 1

определяем

постоянные входящие в (21). Представленные выше рассуждения остаются

справедливыми

и

для

случая

задачи (6)-(8).

Причем

функция

u

₂

( )

x

,

t

(9)

находится

в

виде

сходящихся

тригонометрических

рядов

.

Таким

образом

,

решение

задачи

1 определяется

из

соотношения

u

( )

x

,

t

=

u

₁

( )

x

,

t

+

u

₂

( )

x

,

t

.

Заключение

На

основе

метода

разделения

переменных

было

доказано

существование решения

второй краевой

задачи

для модельного

уравнения

в

частных производных

с

инволютивным

отклонением

в

младших

членах.

Несмотря на то, что результаты работы носят

теоретический характер, они

могут

иметь

широкое

применение,

как

и

в

дальнейших

исследованиях

уравнений с отклоняющимся аргументом, так и в прикладных задачах.

Списоклитературы

1. Wu J. Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 1996.

2. Wu J. Traveling wave fronts of reaction-diffusion systems with delay/ J.Wu, X. Zou // J. Dynamics and Differential Equations, 2001. – Vol. 13, No. 3. – P. 651-687.

3. Huang J. Traveling wave fronts in diffusive and cooperative Lotka–Volterra system with delays / J. Huang, X. Zou // J. Math. Anal. Appl, 2002. – Vol. 271. – P. 455-466.

4. Faria T. Nonmonotone travelling waves in a single species reaction–diffusion equation with delay / T. Faria, S. Trofimchuk // J. Differential Equations, 2006. – Vol. 228. – P. 357-376.

5. Trofimchuk E. Slowly oscillating wave solutions of a single species reaction–diffusion equation with delay / E. Trofimchuk, V. Tkachenko, S. Trofimchuk // J. Differential Equations, 2008. – Vol. 245. – P. 2307-2332.

6. Meleshko S.V. On the complete group classification of the reaction–diffusion equation with a delay / S. V. Meleshko, S. Moyo // J. Math. Anal. Appl., 2008. – Vol. 338. – P. 448-466.

7. Hernandez E. A note on partial functional differential equations with state-dependent delay / E. Hernandez, A. Prokopczyk, L. Ladeira // Nonlinear Analysis, R.W.A., 2006. – No. 4. – P. 510-519.

8. Rezounenko A.V. Stability of positive solutions of local partial differential equations with a nonlinear integral delay term / A.V. Rezounenko // Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations. Proc. 8th Coll. QTDE, 2008. – No. 17. – P. 1-7.

(10)

10.Лесев В.Н. Об однозначной разрешимости задачи Нейманадля эллиптического

уравнения с отклоняющимся аргументом / В.Н. Лесев, О.И. Бжеумихова //

ЭкологическийвестникнаучныхцентровЧЭС, 2012. – №3. – С. 41-46.

11.Wang L. Global exponential robust stability of reaction–diffusion interval neural networks with time-varying delays / L. Wang, Y. Gao // Physics Letters A, 2006. – Vol. 350. – P. 342-348.

12.Lu J. G. Global exponential stability and periodicity of reaction–diffusion delayed recurrent neural networks with Dirichlet boundary conditions / J. G. Lu. // Chaos, Solitons and Fractals, 2008. – Vol. 35. – P. 116-125.

13.ТихоновА.Н., СамарскийА.А. Уравненияматематическойфизики. – М.: Изд-во

Наука, 1977. – 735 с.

14.Лесев В.Н. Применение метода Фурье к исследованию задачи Дирихле для

уравнения с отклоняющимсяаргументоми операторомЛапласа в главной части / В.Н.

Лесев, О.И. Бжеумихова // Научный журнал КубГАУ [Электронный ресурс]. –

Краснодар: КубГАУ, 2012. – №07(81). – С. 1-10.

15.Бжеумихова О.И. Краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа

второго порядка с отклоняющимся аргументом / О.И. Бжеумихова, В.Н. Лесев //

Обозрение прикладной и промышленной математики, 2011. – Т. 18, вып. 5. – С. 744-745.

References