PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
Rosana Perleto dos Santos
As dificuldades e possibilidades de Professores de Matemática
ao utilizarem o Software Geogebra em atividades que envolvem
O Teorema de Tales
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA
Rosana Perleto dos Santos
As dificuldades e possibilidades de Professores de Matemática
ao utilizarem o Software Geogebra em atividades que envolvem
O Teorema de Tales
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de
MESTRE PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA, sob a orientação do Professor
Doutor Gerson Pastre de Oliveira.
Banca Examinadora
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________________________________________________
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
(Jó 28.12)
A
gradecimentos
A Deus, que sempre me fortalece e não me deixa desistir de minha caminhada e colocou em meu caminho tantas pessoas maravilhosas.
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esumo
O objetivo desta pesquisa foi o de verificar quais são as dificuldades e possibilidades de professores de Matemática ao utilizarem o software Geogebra em atividades que envolvem o Teorema de Tales. Subsidiariamente, pretendeu-se, também, investigar qual seria o papel das tecnologias no eventual trabalho didático dos professores em relação ao Teorema de Tales. Tomaram parte desta investigação quatro professoras da rede pública do estado de São Paulo, atuantes no Ensino Fundamental, ciclo dois. As professoras participaram de uma oficina didática relacionada ao tema matemático em foco neste trabalho, e que propunha a elaboração de estratégias pedagógicas com o uso do software
Geogebra. Na análise das atividades propostas para as docentes, recorreu-se ao estudo das apreensões propostas por Duval, ao trabalho de Chevallard sobre a transposição didática, a pesquisa de Balacheff relacionada à transposição informática e aos trabalhos voltados para o uso de tecnologias na Educação em geral e na Educação Matemática em particular, tendo como base, neste caso, as pesquisas de Kenski, Frota & Borges e Oliveira. A partir das descrições das professoras, distintos perfis de uso das tecnologias e de atuação docente, em relação às estratégias pedagógicas, foram identificados, com destaque para a conexão entre o grau de conhecimento do saber matemático de referência e as abordagens propostas com mediação da interface computacional. Além disso, no contexto de uso do software, foi possível detectar conexões entre o domínio do tema em si, dos pontos de vista didático e científico, e o recurso às práticas expositivas em sala de aula, bem como ao avanço ou não nos níveis de apreensão figural das docentes.
A
bstract
The aim of this research was to verify which are the difficulties and possibilities of Mathematics teachers when they use the Geogebra software on activities related to Thales Theorem. Alternatively, this work intended too to investigate what would be the role of technologies on an eventual pedagogical work of teachers related to Thales´ Theorem. Four teachers of public schools of São Paulo State, Fundamental Level, took part of this investigation. The teachers participated in a workshop related to teaching math subject in focus in this work, and which proposed the development of teaching strategies using the software GeoGebra. In the analysis of the proposed activities for teachers, resorted to the study of seizures proposed by Duval as well as to the work of "pedagogical transposition" proposed by Chevallard. Other elements of this analysis considered the research related to the "computer transposition" of Balacheff and some works about the use of technology in Education in general, and in Mathematics Education in particular: the researches of Kenski, Frota & Borges and Oliveira. From the descriptions of the teachers, different profiles of use of technologies and educational performance, in relation to teaching strategies, were identified, highlighting the connection between the degree of reference mathematical knowledge and the proposed approaches with mediation by computational interface. Moreover, in the context of software use, it was possible to detect connections between the mastery of the topic itself, in a pedagogical and scientific ways, and the use of exposition in classroom, as well as the advance (or not) in the figurative seizure levels of teachers.
S
umário
INTRODUÇÃO ... 17
Uma primeira apresentação ... 17
Motivações da pesquisa ... 18
Justificativa sobre o tema e problematização ... 27
Estrutura do trabalho ... 31
CAP ÍTULO 1 ... 33
Referencial teórico ... 33
1.1 TICs na educação e na educação matemática ... 33
1.2 Transposição Didática ... 47
1.3 Transposição informática ... 54
1.4 Níveis de Apreensão ... 55
CAP ÍTULO 2 ... 59
Teorema de Tales ... 59
2.1 Introdução Histórica ... 59
2.2 Teorema de Tales: De que se trata? ... 66
2.2.1 Justificativa da demonstração do Teorema de Tales pelo método das Áreas ... 71
2.2.2 Aplicações do Teorema de Tales ... 72
CAP ÍTULO 3 ... 77
Aportes Metodológicos ... 77
3.1 Pesquisa qualitativa ... 77
3.2 Descrição dos sujeitos da pesquisa ... 79
3.3 Descrição dos instrumentos da pesquisa ... 84
3.3.1 Atividade 1 ... 86
4.1 Atividade 1 ... 91
4.1.1 Professora A ... 92
4.1.2 Professora B ... 94
4.1.3 Professora C ... 96
4.1.4 Professora D ... 98
4.2 Atividade 2A ... 101
4.2.1 Professora A ... 102
4.2.2 Professora B ... 104
4.2.3 Professora C ... 105
4.2.4 Professora D ... 107
4.3 Atividade 2B ... 109
4.3.1 Professora A ... 110
4.3.2 Professora B ... 112
4.3.3 Professora C ... 115
4.3.4 Professora D ... 118
4.4 Atividade 2C ... 121
4.4.1 Professora A ... 121
4.4.2 Professora B ... 123
4.4.3 Professora C ... 127
4.4.4 Professora D ... 129
CONSIDE RAÇÕES FINAIS ... 133
L
ista das
F
iguras
Figura 1. “Justificativa” de dois alunos sobre a proporcionalidade das figuras ... 25
Figura 2. ângulos opostos pelo vértice são iguais ... 60
Figura 3. Três pontos não alinhados definem, além de um triângulo, uma circunferência ... 61
Figura 4. Lados e Ângulos de um triângulo isósceles ... 61
Figura 5. Diâmetro da circunferência ... 62
Figura 6. Representação da pirâmide com seu eixo e sombra em evidência ... 63
Figura 7. Esquema da possível ideia de Tales sobre a altura da pirâmide ... 64
Figura 8. Resumo do esquema para obtenção da altura da pirâmide ... 64
Figura 9. Esquema da medida da altura da pirâmide ... 65
Figura 10. Representação dos raios solares e as sombras de Tales e da Pirâmide . 65 Figura 11. PROP. II TEOR ... 67
Figura 12. Triângulo ABC e segmento DE paralelo a uma das bases ... 68
Figura 13. Triângulo ABC e segmento DE paralelo a uma das bases. Com DG e EF, alturas relativas do triângulo ADE ... 68
Figura 14. Representação dos triângulos CDE e BDE, ambos com altura h ... 69
Figura 15. Paralela a um dos lados do triângulo ABC ... 70
Figura 16. Prolongamento de dois lados do triângulo ABC ... 70
Figura 17. Nova base PQ paralela à BC ... 70
Figura 18. Interpretação do Teorema de Tales como proporções entre segmentos obtidos por retas paralelas e transversais ... 71
Figura 19. Disposição dos dados do Problema 7 ... 74
Figura 20. Interpretação do Teorema de Tales como proporções entre segmentos obtidos por retas paralelas e transversais do Problema 7 ... 74
Figura 21. Construção esperada para a Atividade 1 ... 88
Figura 22. Construção para a Atividade 1 – Professora A ... 92
Figura 23. Construção para a Atividade 1 – Professora B ... 94
Figura 24. Construção para a Atividade 1 – Professora C ... 96
Figura 28. Construção para a Atividade 2 A (5) - Professora B ... 104
Figura 29. Construção para a Atividade 2 A (8) - Professora B ... 105
Figura 30. Construção para a Atividade 2 A (5) - Professora C ... 106
Figura 31. Construção para a Atividade 2 A (8) - Professora C ... 107
Figura 32. Construção para a Atividade 2A (5) - Professora D ... 107
Figura 33. Construção para a Atividade 2 A (8) - Professora D ... 109
Figura 34. Construção para a Atividade 2B - Professora A ... 110
Figura 35. Construção para a Atividade 2 B - Professora B ... 113
Figura 36. Construção para a Atividade 2 B - Professora C ... 116
L
ista de
Q
uadros
Quadro 1. Questão 2 da Aula 2 – Jornal da Proposta do Estado de São Paulo
(São Paulo, 2008) ... 18
Quadro 2. Aula 13 – Jornal da Proposta do Estado de São Paulo (São Paulo, 2008) ... 19
Quadro 3. Aula 14 – Jornal da Proposta do Estado de São Paulo (São Paulo, 2008) ... 19
Quadro 4. Aula 17 – Jornal da Proposta do Estado de São Paulo (São Paulo, 2008) ... 20
Quadro 5. Aula 18 – Jornal da Proposta do Estado de São Paulo (São Paulo, 2008) ... 21
Quadro 6. Atividade Diagnóstica ... 24
Quadro 7. Atividade Diagnóstica 2 ... 26
Quadro 8. Níveis de utilização para a tecnologia, segundo Frota e Borges (2004) ... 41
Quadro 9. Níveis de utilização para a tecnologia, segundo Oliveira (2009) ... 42
Quadro 10. Elementos fundamentais de análise dos fenômenos didáticos na sala de aula ... 51
Quadro 11. Atividade 1 (7ª série, 4º Bimestre) – Caderno do Professor (São Paulo, 2008) ... 72
Quadro 12. Atividade 2 (7ª série, 4º Bimestre) – Caderno do Professor (São Paulo, 2008) ... 73
Quadro 13. Problema 7 – (8ª série, 3º Bimestre) – Caderno do Professor (São Paulo, 2008) ... 73
Quadro 14. Problema 3 – Caderno do Professor (8ª série, 3º Bimestre) (São Paulo, 2008) ... 75
Quadro 15. Respostas das questões de a até e – Professora A ... 92
Quadro 16. Respostas da questão f – Professora A ... 94
Quadro 17. Respostas das questões de a até e – Professora B ... 95
Quadro 18. Respostas da questão f – Professora B ... 96
Quadro 22. Respostas da questão f – Professora D ... 100
Quadro 23. Respostas da Atividade 2 A (6 – 8) – Professora A ... 102
Quadro 24. Respostas da Atividade 2 A (6 – 8) – Professora B ... 104
Quadro 25. Respostas da Atividade 2A (6 – 8) – Professora B ... 106
Quadro 26. Respostas da Atividade 2A (6 – 8) – Professora D ... 108
Quadro 27. Itens 6 e 7 da Atividade 2 B – Professora A ... 110
Quadro 28. Atividade 2B (8) – Professora A ... 111
Quadro 29. Itens 6 e 7 da Atividade 2 B – Professora B ... 113
Quadro 30. Atividade 2 B (8) – Professora B ... 114
Quadro 31. Itens 6 e 7 da Atividade 2 B – Professora C ... 116
Quadro 32. Atividade 2 B (8) – Professora C ... 117
Quadro 33. Itens 6 e 7 da Atividade 2 B – Professora D ... 119
Quadro 34. Atividade 2 B (8) – Professora D ... 120
Quadro 35. Primeiro momento proposto pela professora A ... 121
Quadro 36. Segundo momento proposto pela professora A ... 122
Quadro 37. Terceiro momento proposto pela professora A ... 123
Quadro 38. Primeira aula proposta pela professora B ... 124
Quadro 39. Segunda aula proposta pela professora B ... 124
Quadro 40. Terceira aula proposta pela professora B ... 125
Quadro 41. Quarta aula proposta pela professora B ... 125
Quadro 42. Quinta aula proposta pela professora B ... 126
Quadro 43. Sexta e sétima aula proposta pela professora B ... 126
Quadro 44. Oitava à décima aula proposta pela professora B ... 127
Quadro 45. Apresentação do projeto elaborado pela professora C ... 127
Quadro 46. Justificativa do projeto elaborado pela professora C ... 128
Quadro 47. Objetivos do projeto elaborado pela professora C ... 128
Quadro 48. Metodologia do projeto elaborado pela professora C ... 129
L
ista de Tabelas
Tabela 1. Síntese da descrição das professoras ... 83
Tabela 2. Razão entre as medidas dos lados dos triângulos – ponto à esquerda ... 90
Tabela 3. Razão entre as medidas dos lados dos triângulos – ponto no centro ... 90
Tabela 4. Razão entre as medidas dos lados dos triângulos – ponto à direita ... 90
Tabela 5. Razão entre as medidas dos lados dos triângulos – ponto à esquerda – Professora A ... 111
Tabela 6. Razão entre as medidas dos lados dos triângulos – ponto no centro – Professora A ... 111
Tabela 7. Razão entre as medidas dos lados dos triângulos – ponto à direita – Professora A ... 111
Tabela 8. Razão entre as medidas dos lados dos triângulos – ponto à esquerda – Professora B ... 113
Tabela 9. Razão entre as medidas dos lados dos triângulos – ponto no centro – Professora B ... 114
Tabela 10. Razão entre as medidas dos lados dos triângulos – ponto à direita – Professora B ... 114
Tabela 11. Razão entre as medidas dos lados dos triângulos – ponto à esquerda – Professora C ... 116
Tabela 12. Razão entre as medidas dos lados dos triângulos – ponto no centro – Professora C ... 117
Tabela 13. Razão entre as medidas dos lados dos triângulos – ponto à direita – Professora C ... 117
Tabela 14. Razão entre as medidas dos lados dos triângulos – ponto à esquerda – Professora D ... 119
Tabela 15. Razão entre as medidas dos lados dos triângulos – ponto no centro – Professora D ... 119
I
ntrodução
Uma primeira apresentação
A secretaria da educação do Estado de São Paulo iniciou, no primeiro semestre de 2008, um projeto de recuperação intensiva em Português e Matemática nos primeiros quarenta e dois dias do ano letivo nas escolas públicas. Para essa proposta, foi encaminhado a todas as escolas estaduais um jornal que deveria ser o objeto central a ser trabalhado com os alunos. Na parte que cabia ao professor de matemática administrar com os alunos da 1ª série do Ensino Médio, o assunto abordado por este trabalho é apresentado pelo jornal primeiramente como semelhança de triângulos e, posteriormente, como Teorema de Tales.
conjecturas relativas ao modo de elaborar atividades para trabalhar as dificuldades dos alunos referentes ao conceito e às consequências pedagógicas do trabalho com o Teorema de Tales.
Motivações da pesquisa
No 1º semestre do ano de 2008, quando cursava a disciplina de Tópicos de Geometria no Mestrado, foi pedido um trabalho final. Tal trabalho consistia na elaboração de uma situação que contemplasse a construção e análise de uma situação problema, tendo como objetivo o ensino e aprendizagem de um conteúdo matemático, baseado nas teorias abordadas e discutidas nas aulas. O grupo que participava da elaboração do trabalho era formado por quatro pessoas e na oportunidade aproveitou-se o material disponibilizado pelo sistema público de ensino. Ao observar o jornal da 1ª série do Ensino Médio, constatou-se que um dos conteúdos matemáticos mais utilizados era o Teorema de Tales, visto que sua presença era constante em várias atividades.
No âmbito do trabalho do professor de Matemática, especificamente na 1ª série do Ensino Médio, logo na segunda aula, aparecia uma questão que utilizava o Teorema de Tales como ferramenta, a qual está representada no quadro a seguir.
2. A figura abaixo indica o Teorema de Tales:
Retas paralelas: p1, p2, p3 Retas transversais: t1, t2
x z y = w.
a) Se x, y e z forem números racionais, é possível que w seja um número irracional?
b) Admita x= 2, y=3 e w= 3 e calcule o valor de z. Em seguida, encontre uma aproximação decimal para z admitindo que 2,45 2,45× ≅6.
O mesmo assunto é trabalhado pelo jornal, primeiramente como semelhança de figuras geométricas planas nas aulas 13 e 14, e depois como Teorema de Tales nas aulas 17 e 18.
1. As medidas de CB e de FG são fixas (respectivamente, 180m e 60m), enquanto as demais medidas podem variar, mantendo-se, todavia, a semelhança entre as duas figuras. Com base nisso, resolva:
a) Se a medida de EH for igual a 25m, qual será a medida de DA? b) Se DA=18m, quanto medirá EH?
c) Se EH =k, quanto medirá DA em função de k?
Quadro 2. Aula 13 – Jornal da Proposta do Estado de São Paulo (São Paulo, 2008)
1. Os triângulos SAD e SBC são semelhantes, isto é, têm ângulos internos correspondentemente de mesma medida, e as medidas de lados correspondentes obedecem a uma proporcionalidade. Observe-os desenhados separadamente da figura inicial. O lado DA do triângulo SAD é correspondente do lado BC do triângulo SBC.
a) Quais são os outros lados correspondentes nos dois triângulos?
b) Qual é a proporção que podemos escrever entre as medidas dos lados dos triângulos SAD e SBC?
c) Calcule as medidas dos lados de cada triângulo e escreva-as na tabela.
Aula 17 – Teorema de Tales: aplicações
De uma praça em formato retangular saem quatro avenidas, α, β, ϕ e θ, uma de cada vértice do retângulo. Ligando cada par de avenidas há três ruas, 1, 2 e 3, sempre paralelas em cada caso. Os pontos de encontro entre cada par de ruas são nomeados pelas letras do alfabeto, A, B, C, D, etc. Observe na figura os pontos M e P. O ponto M está na rua “2 Leste”, enquanto o ponto P está na rua “3 Norte”.
1. Considere apenas a parte Sul e as seguintes e as seguintes distâncias entre pontos,
dadas abaixo, e verifique que é válida a proporção GH DE
HI = FE
GH=50m HI=40m DE=60m FE=48m
2. A proporção verificada no exercício anterior é a expressão matemática do Teorema de Tales que afirma que, quando retas paralelas são cortadas por retas transversais as medidas dos segmentos correspondentes determinados nas transversais são proporcionais. Considere agora o lado Leste da praça da figura e escreva a expressão matemática do Teorema de Tales.
3. Dado que AB=36m, calcule a medida BC.
4. Na figura, a distância entre os pontos J e K é igual a 32m. Sendo assim, calcule as medidas de:
a) KL a partir da proporcionalidade entre os segmentos do lado Norte. b) KL a partir da proporcionalidade entre os segmentos do lado Oeste.
Aula 18 – Teorema de Tales: aplicações
Se a praça da figura da aula anterior for retirada do mapa, observa-se que as avenidas ϕ e
θ encontram-se no ponto X, enquanto as avenidas α e β encontram-se no ponto Y.
1. Adotando as medidas fornecidas ou calculadas na aula anterior, e dado que JX =10m e AY=8m, calcule: a) GX b) DY.
2. Considere apenas o lado oeste da figura, e os três triângulos, XJG, XHK e XLI. Sabendo que JG=12m.
a) HK b) LI
Quadro 5. Aula 18 – Jornal da Proposta do Estado de São Paulo (São Paulo, 2008)
O trabalho de Haruna (2000), por exemplo, foi uma análise do processo de apreensão relativa ao teorema de Tales com alunos da oitava série do ensino fundamental. A análise consistiu no levantamento dos obstáculos didáticos e epistemológicos e as variáveis de situação, a fim de verificar se o computador, mais especificamente o uso do software Cabri Géomètre, auxiliaria para que os obstáculos fossem superados ou se, ao contrário, induziria outros. Para fundamentar a análise, recorreu ao estudo das variáveis de situação didática, proposto por Guy Brousseau (1987) e os registros de representação semiótica, estudados por Raymond Duval (1995). Primeiramente, Haruna (2000) propõe uma sequência didática com situações-problema para uso do software Cabri expressas em língua natural. Esta escolha, segundo a autora, foi para propiciar maior significado do teorema de Tales aos alunos. Após dois meses da realização da sequência didática com uma turma de oitava série, Haruna (2000) aplicou um pós-teste na mesma turma e em outra, que não participou da sequência com o uso do software e realizou dois tipos de análise para os resultados obtidos: qualitativa e quantitativa. A análise qualitativa fundamentou-se nos autores citados anteriormente (Brousseau e Duval) e a quantitativa contou com o auxílio de métodos de análise multidimensional com o uso do software CHIC, que fornece as árvores de similaridade e a hierárquica de implicação. Com o término de suas análises, a autora verificou que as mesmas iam ao encontro de suas hipóteses, ou seja, o desenvolvimento das atividades da sequência baseadas na rede semântica e as situações problema em linguagem natural com o uso do
software Cabri não formaram imagens prototípicas1. Haruna (2000) ainda alertou para um dos problemas que perduraram mesmo após o término da sequência que foi o erro quanto ao cálculo da medida do segmento obtido na paralela.
Também pode ser mencionado o trabalho de Veiga (2003), que, em sua pesquisa, trabalhou igualmente com alunos de oitava série do ensino fundamental. O foco de seu trabalho foi o procedimento de divisão de segmentos em partes iguais baseado no teorema de Tales. A fundamentação teórica consta do trabalho de Duval (1995) no que diz respeito às apreensões. A autora elaborou uma atividade diagnóstica para oito alunos de uma oitava série. Depois, elaborou uma sequência de atividades que foram aplicadas individualmente para os alunos.
____________
1
Nesta parte de sua pesquisa, o aluno era questionado quanto à visualização de figuras contendo retas paralelas em vários sentidos e diferentes disposições. Tais retas, dependendo da figura, eram cortadas por transversais também em diferentes sentidos, formando ângulos diversos em função disto. O aluno deveria, neste caso, fornecer justificativas relativas às propriedades estudadas com base no Teorema de Tales. Segundo a autora, os estudantes indagados, em boa parte das atividades propostas por ela, consideraram que apenas a visualização justificava as interpretações, sem considerar as propriedades envolvidas.
Desta forma, em relação ao trabalho final da disciplina Tópicos de Geometria, o propósito foi o de apresentar atividades a alunos do primeiro ano do Ensino Médio de uma escola estadual do município de Carapicuíba que envolviam a aplicação do Teorema de Tales para serem desenvolvidas utilizando do software Geogebra, ferramenta computacional que favorece a manipulação, exploração e visualização de figuras, e que permite ao aluno conjecturar e questionar possíveis resultados.
Para a realização do trabalho supracitado, no primeiro momento, aplicou-se um teste diagnóstico para verificar o nível de compreensão que os alunos tinham em relação ao conteúdo matemático no que diz respeito ao teorema de Tales, e para nortear a elaboração das atividades.
Atividade Diagnóstica
1. O que você entende por razão entre duas medidas?
2. Observe as figuras abaixo e verifique se os lados correspondentes são proporcionais.
3. Sabendo que r // s // t, encontre o valor de x.
Quadro 6. Atividade Diagnóstica.
Desta atividade diagnóstica participaram 47 alunos do 1º ano do Ensino Médio. A categorização da análise foi realizada da seguinte forma: 1) Os que não souberam o que é razão entre duas medidas; 2) Os que identificaram proporção nos dois triângulos; 3) Os que utilizaram a propriedade fundamental das proporções na resolução da questão três e não souberam o que era proporção.
Com relação a este levantamento, relativo ao primeiro ponto levantado no parágrafo anterior, vinte e nove alunos (61,6%) tiveram uma boa desenvoltura para responder o que é razão entre duas medidas; quatorze alunos (29,9%) tentaram responder, mas grafaram respostas bem confusas, tais como: “– Não tenho certeza, mas acho que quando a razão é igual”, “– Que podem apresentar diferentes formatos e medidas ou podem apresentar medidas iguais...” ou ainda “– Que quando uma figura tem a mesma medida entre os dois lados pode-se observar que um lado espelha o outro”. Os outros quatro alunos (8,5%) não responderam.
triângulo, três (27,3%) utilizaram a propriedade fundamental das proporções para justificar, dois (18,2%) justificaram pelas medidas dos ângulos de cada triângulo serem proporcionais, o que levaria os triângulos a serem proporcionais também.
Em relação ao universo analisado, onze alunos (23,4%) responderam que os triângulos eram proporcionais, dentre os quais sete (14,9%) não justificaram, dois (4%) justificaram a proporcionalidade em relação a cada triângulo individualmente, mas não enxergaram a proporção entre os dois triângulos e dois alunos (4%) fizeram juntos e produziram uma resposta sem qualquer sentido, reproduzida na próxima figura.
Figura 1. “Justificativa” de dois alunos sobre a proporcionalidade das figuras
Dentre os alunos restantes, dezenove (40,4%) não responderam e seis (12,8%) responderam que não havia proporcionalidade. Nesta última categoria, dentre as justificativas encontradas, todos mencionaram que os lados possuíam medidas diferentes.
Quanto ao terceiro ponto do levantamento aqui mencionado, todos os alunos, quando colocado um feixe de retas paralelas cortadas por duas transversais, reconheceram a propriedade fundamental das proporções como ferramenta para resolução do problema dado, aplicando a regra de três. Dentre todos os alunos, somente um aluno não conseguiu chegar ao valor de x (erro algébrico).
Atividade diagnóstica 2
1. Calcule o valor de x nos casos a seguir:
Quadro 7. Atividade Diagnóstica 2.
Almouloud (2007) destaca que, quando o aluno se depara com um problema para resolver, é muito comum ele acreditar que sempre há uma resposta para a questão matemática e que o professor a conhece. Para o mesmo autor, é importante que o professor ofereça aos alunos alguns problemas que tenham solução, outros que não tenham solução, outros, ainda, que tenham várias soluções e que possuam excesso de dados para que o aluno possa demonstrar um efetivo aprendizado. O fato de o professor mudar o tipo de problema pode ser considerado uma ruptura do contrato didático. De acordo com esta proposição, nas atividades representadas no quadro 7, não se menciona que as retas estivessem em paralelismo. Inclusive, no segundo feixe de retas, fez-se questão que uma das retas se apresentasse declinada em relação às outras duas. Pode-se observar que o tratamento feito por 100% dos alunos foi o mesmo que no item três da atividade diagnóstica 1 (Quadro 6), ou seja, todos eles aplicaram a propriedade fundamental das proporções, apesar de a mesma não se aplicar em nenhum dos casos da segunda atividade, pelo motivo de não ser mencionado se as retas são paralelas e nada garantir que os esquemas tinham solução.
Analisando todos os dados, pode-se dizer que a maior parte dos alunos aplicava a propriedade fundamental das proporções instintivamente quando se deparavam com problemas que apresentavam um feixe de três retas cortadas por duas transversais, mesmo não apresentando retas paralelas. Metade deles tinha a ideia de proporção e 60% do total de alunos sabia o que é uma razão.
A partir dos resultados observados com o teste, a sequência de atividades foi elaborada, seguida de análise matemática e didática, as quais não permitiram concluir se as dificuldades de aprendizagem expostas referiam-se ao processo ao qual aqueles alunos foram submetidos em sala de aula ou a questões atinentes às dificuldades dos professores em trabalharem com o tema.
Estes dados, bem como as análises e considerações obtidas, geraram motivação e ambiência para a pesquisa aqui relatada. Ao observar que os alunos apresentam semelhantes dificuldades, pensou-se em verificar se os professores detinham suficientes conhecimentos de conteúdo (e didáticos) para o trabalho com o tema “Teorema de Tales”. Por outro lado, aventou-se a possibilidade de alinhar eventuais estratégias docentes com o uso de softwares, ou seja, com uma abordagem que envolvesse aspectos ligados às Tecnologias de Informação e Comunicação (TICs). Assim, na atual pesquisa, o objetivo passa a ser o de verificar quais são as dificuldades e possibilidades de professores de Matemática ao utilizarem o software Geogebra em atividades que envolvem o Teorema de Tales. Subsidiariamente, pretendeu-se investigar qual seria o papel das tecnologias no eventual trabalho didático dos professores em relação ao Teorema de Tales.
Justificativa sobre o tema e problematização
Esta ideia partiu da percepção das dificuldades na organização, por parte dos professores, de uma abordagem que torne mais efetiva a construção do conhecimento por parte dos estudantes. Sobre este assunto, Kenski (2007) defende que os perfis profissionais são cada vez mais singulares e em constante mutação – desta forma, a organização de cursos válidos para professores, médicos, engenheiros, advogados entre outros se torna cada vez mais difícil, porque as informações referentes à globalização são absorvidas em diferentes ramos profissionais de formas distintas. Hipoteticamente, acredita-se que um trabalho colaborativo venha a se estabelecer no meio docente por intermédio de atividades elaboradas e discutidas por um grupo, para então enriquecer a elaboração de aulas participativas mediadas por TICs. Quando se fala em trabalho colaborativo, destaca-se um dos sentidos apontados por Fiorentini (2006) que defende ser um trabalho que conta com a participação de todos os envolvidos em uma prática investigativa, na qual todos cooperam na realização do processo, desde sua concepção até a análise e escrita final do projeto.
Nesse sentido, espera-se uma abertura de possibilidades para estratégias pedagógicas com uso de TICs, a serem desenvolvidas no âmbito escolar. Segundo Kenski (2007), a escola é um espaço social de suma importância para alimentar a relação entre pessoas e as mais novas informações. Todos frequentam a escola para aprender, o que faz com que se dê continuidade e inovação à produção da sociedade em um dado momento, e que tal fato desperte o consumo de bens e serviços relacionados à informação. Para Oliveira (2007), entretanto, este estágio se completa com o desenvolvimento da autonomia e a crítica dos estudantes, de tal forma que os mesmos tornem-se cidadãos reflexivos e capazes de utilizar seus conhecimentos para o desenvolvimento social e pessoal.
na aplicação dos saberes desenvolvidos desta forma, o que envolve o uso dos conhecimentos em contextos distintos daqueles nos quais foram ensinados.
No âmbito desta problematização, então, torna-se importante mencionar a visão de Brousseau (citado por Oliveira, 2009), relativa às situações adidáticas, parte fundamental de sua teoria sobre situações didáticas, e que refletem de maneira bastante completa a pretensão desta pesquisa. Brousseau (1987) menciona a criação de situações nas quais o professor constrói ambientações ideais para a estruturação do conhecimento matemático dos estudantes, sem que os mesmos percebam a intenção do docente. Para Oliveira,
(...) em relação à problematização proposta, a questão matemática envolvida deve ser tal que a figura do aluno assuma maior centralidade no processo, à medida que, autonomamente, materialize suas reflexões em declarações e ações voltadas à própria aprendizagem. Para BROUSSEAU (1987), o professor tem o papel de criador das situações de aprendizagem, uma vez que, como mediador, “cria condições para o aluno ser o principal ator da construção de seus conhecimentos a partir da(s) atividade(s) proposta(s)” (OLIVEIRA, 2009, p. 3)
A intenção desta pesquisa é desenvolver uma reflexão para elaboração de estratégias de ensino, as quais instiguem a indagação, articulação, interpretação e depuração. Por intermédio de reflexões, espera-se que o professor atue como facilitador, mediador e desafiador e elabore atividades de aprendizagem a fim de que a interação do aluno com o conhecimento em construção seja desenvolvida no decorrer do aprendizado. Segundo Pais (2008), o trabalho do professor é o inverso do trabalho do pesquisador: enquanto o segundo busca níveis de generalização, o primeiro deve recontextualizar o conteúdo na tentativa de expor ao aluno situações mais compreensíveis.
(...) o trabalho com resolução de problemas amplia os valores educativos do saber matemático e o desenvolvimento dessa competência contribui na capacitação do aluno para melhor enfrentar os desafios do mundo contemporâneo. (pp. 35, 36)
Em relação à utilização de TICs nas aulas, Borba e Penteado (2007) salientam que há a necessidade de o professor ser flexível no que diz respeito à organização de suas aulas e acima de tudo ser aberto ao processo de negociação com os alunos e com outros que atuam no cenário escolar. Mas para que o professor tenha essa ousadia de inovação em sua prática, há a necessidade de encontrar formas de oferecer um suporte constante para seu trabalho. Neste aspecto, relativo à sua formação continuada, pode-se dizer que as oficinas sejam boas oportunidades para que haja uma progressão neste sentido.
Quanto à formação de professores em informática na educação, Almeida (2000) realiza uma busca histórica na qual parte da concepção de projetos informáticos na educação voltada para a construção de novas perspectivas sobre o aprendizado. A autora realiza um desdobramento em uma discussão sobre os marcos teóricos do subprojeto Informática na Educação do PEC/ PUC-SP que envolve construcionismo2, formação contextualizada, interdisciplinaridade e autonomia. E salienta que o objetivo de um programa de formação continuada voltada para professores é o de promover a autonomia relativa à resolução de problemas com que podem se deparar na vida profissional. E ainda aprender a pensar e tomar decisões, esperar o imprevisto e utilizar as TICs para selecionar informações e trocar experiências, bem como reconstruir constantemente o conhecimento com base em reflexão, interação e cooperação.
Desta forma, a partir destes pressupostos, as questões direcionadoras desta investigação são:
• Quais são as possibilidades e dificuldades de professores de Matemática ao utilizarem o software Geogebra em atividades que envolvem o Teorema de Tales?
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2
• Qual a importância da utilização do software Geogebra no ensino do Teorema de Tales, no que se refere ao aspecto pedagógico?
• De que forma o professor de Matemática utiliza-se do computador para elaborar estratégias na abordagem de atividades que envolvem o Teorema de Tales?
Do objetivo e questões alinhadas neste trabalho, algumas finalidades podem ser destacadas:
• Propor uma abordagem do Teorema de Tales que aproxime o processo de construção do conhecimento do aluno da proposta da SEESP (Secretaria da Educação do Estado de São Paulo), usando estratégias pedagógicas com TICs;
• Estudar diferentes abordagens para o ensino do Teorema de Tales com um curso para professores de matemática de 7ª e 8ª séries do Ensino Fundamental, com o intuito de instigar o trabalho com caráter de investigação manipulativa;
• Buscar condições que possam trazer melhorias ao ensino, possibilitando ao aluno e professor da Rede Pública a oportunidade de conjecturar, bem como a elaboração de atividades para trabalhar o assunto de maneira que o entendimento da aplicação do conceito seja prazeroso para ambas as partes.
Estrutura do trabalho
Para dar conta das questões e objetivos levantados nesta investigação, este trabalho tem a seguinte estrutura:
sábio, o saber a ensinar e o saber ensinado. São trazidos os estudos de Balacheff (1994) no que diz respeito à transposição informática fundamentada nos domínios da validade epistemológica e didática. Outros aportes importantes provêm da teoria das apreensões de Duval (1988, 1995);
• O Capítulo 2 trata diretamente do tema da pesquisa, o Teorema de Tales. Aqui, buscou-se dar ênfase ao assunto desde as suposições de seu surgimento até o conceito hoje utilizado. Apresentam-se, ainda, as aplicações do teorema de Tales desenvolvidas pelo Caderno do Professor (São Paulo, 2008), adotado pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo para o ensino público;
• O Capítulo 3 descreve os aportes metodológicos, bem como os instrumentos utilizados na investigação, juntamente com a descrição dos sujeitos de pesquisas;
• O Capítulo 4 descreve os procedimentos relativos à análise qualitativa correspondente à sequência didática desenvolvida com professores da rede estadual de educação, bem como a análise das respostas dadas pelos professores nas atividades apresentadas no capítulo anterior;
C
apítulo
1
Referencial teórico
O processo de ensino-aprendizagem tratado nesta pesquisa relaciona-se aos fenômenos estudados pela didática da matemática. Para elucidar a questão abordada neste trabalho, optou-se pelo ponto de vista expresso nas pesquisas desenvolvidas por Yves Chevallard (1991), no que diz respeito à transposição didática, uma vez que o saber adquirido pelo professor em sua formação universitária é diferente do saber ensinado aos alunos. Também são considerados os trabalhos de Nicolas Balacheff (1994), relativos ao conceito de transposição informática, de Raymond Duval (1995), referindo-se aos níveis de apreensão, os de Vani Moreira Kenski (2007), mais especificamente ligados ao grande tema “Uso de TICs na Educação”. Além disso, são utilizados os textos de Marcelo de Carvalho Borba (2007, 2008), no que toca à reflexão sobre a presença das TICs na Educação Matemática.
1.1 TICs na educação e na educação matemática
ou animais. Kenski (2007) ainda apresenta uma evolução da tecnologia em questão às guerras. A autora narra que, desde a Idade da Pedra, o homem se utilizou dos elementos da natureza para garantir a sua existência: defendia-se com o uso do fogo, água, pedaços de pau ou ossos de animais, o que acarretou na ambição do poder de ser o mais forte, ou seja, não só para se defender, mas, também para atacar. E os armamentos foram os que mais evoluíram, tendo seu auge com as grandes guerras. Como facilitadoras, as tecnologias se confundem com a evolução humana, desde o momento em que o homem começou a andar na posição ortostática. Para garantir sua sobrevivência, roupas foram criadas, assim como calçados e habitações. O homem deixou de ser nômade e se estabeleceu, dominou a agricultura e o grande salto foi a utilização do fogo. Mais adiante, destaca-se o uso de metais e cerâmicas: o homem fez uso de todos os recursos da natureza e os transformou em técnicas facilitadoras, ou para trabalhos ou para lazer ou, ainda, para defesa e ataque.
Assim, segundo a autora, tecnologia é “o conjunto de conhecimentos e princípios científicos que se aplicam ao planejamento, à construção e a utilização de um equipamento em um determinado tipo de atividade” (KENSKI, 2007, p. 24).
De outro ponto de vista, Kenski (2007) afirma que a maioria das tecnologias é utilizada como auxiliar na educação, presentes todo tempo no processo pedagógico desde o planejamento até a formação dos alunos. Nesta trajetória, a implantação de novas tecnologias na educação pode trazer algumas divergências entre os educadores durante certo tempo. Tais conflitos tendem a diminuir com o tempo, ou seja, na medida em que o homem adota posturas evolutivas, torna essa questão menos complexa. Semelhante processo geralmente surge sob a forma de aculturação. Quando as medidas tecnológicas são adotadas entre os educadores, os alunos tendem a se adequar à forma de aprendizado proposta, principalmente quando se leva em conta que a tecnologia em questão evolui em relação à época e ao uso comum feito pelas pessoas.
complementar os estudos inicialmente propostos. Mesmo que a tecnologia venha alterar alguns fatores pedagógicos na educação, Kenski (2007) frisa ainda a importância da vontade de aprender por parte dos estudantes, além da sensibilidade, por parte dos educadores, para utilizar as tecnologias mais atuais sem descartar os outros meios que já vinham sendo utilizados e que davam resultados positivos.
Esta visão pode ser completada pela ideia das TICs como mediadoras dos processos pedagógicos nos quais estão inseridas, e como partes de estratégias pedagógicas amplas, com uso de diversificados artefatos, mas com foco nas pessoas. Esta é a visão de Oliveira (2009), quando afirma que as tecnologias por si só não substituem a concepção dos processos e das estratégias, nem implementam ou melhoram as metodologias. Isto pode ser feito, sim, mas a partir de um cenário em que as pessoas planejam e usam as tecnologias para compor suas concepções do processo de ensino-aprendizagem, como suportes para ampliar as interações e os meios de experimentação, para por em foco cenários de construção dinâmicos e modificáveis, para implementar novas possibilidades de interação e intervenção, entre outros propósitos. Mas tais dimensões, segundo o autor, são aquelas construídas a partir da critica e da reflexão no uso de tecnologias, cujo resultado, na aplicação em um desenvolvimento de natureza pedagógica, é a existência de roteiros didáticos, com a inclusão de momentos e formas variadas que proporcionem a apreensão dos conteúdos – inclusive com uso de TICs, por exemplo, mas sem elas, também.
Borba e Penteado (2007) sugerem que a relação entre a informática e a educação matemática não é expressa por uma dicotomia, mas a informática pode alterar a prática pedagógica no sentido de melhorar o conhecimento do professor e também do aluno, ou ainda não influenciar diretamente no aprendizado.
legislação vigente. De qualquer forma, argumentam, se o dinheiro não for utilizado para compras de computadores, será utilizado para outros fins relacionados à telecomunicação, não para salário ou giz.
Pela vida atormentada que o professor tem, talvez, o computador seja apenas um problema a mais. Mas também pode ser o instrumento para desencadear novas possibilidades para seu desenvolvimento pessoal e profissional. Para os autores a utilização do computador a princípio, tanto para professores e alunos, é motivador. Mas com o tempo o recurso passa a ser enfadonho da mesma maneira que o giz e lousa. Oliveira (2009) menciona, neste caso, que é necessário formar o professor para aprender a usar as tecnologias, de qualquer tipo, de forma ampla e integrada, no âmbito de uma estratégia que considera diversos meios e que o faz através da crítica e da reflexão sobre a aplicação adequada, nunca descolada no conhecimento matemático que se pretende fornecer elementos para construir.
Ao se voltar aos princípios da educação, ver-se-á que a escola era um meio de introduzir o cidadão na sociedade. Com o passar do tempo, a sociedade se voltou para a educação, agora com a missão de formar o cidadão. A implantação das TICs torna inevitáveis as mudanças nas escolas, pois há um avanço da sociedade diante dos aparelhos eletrônicos e veículos de comunicação on-line e afins, no qual a escola ainda está em processo de adaptação. Essa relação informatização/escola é um processo árduo, que exige mudanças de alto risco, pelo choque com os métodos antigos utilizados na educação.
Kampff, Machado e Cavedini (2004) lançam a questão de “como se dá o conhecimento matemático?”. Tal questão é abordada e discutida de maneira que a forma como o professor desencadeia suas ações pedagógicas seja absorvida pela concepção que tem sobre o tema.
experimentação, interpretação, visualização, indução, conjecturas, abstração, generalização e demonstração.
Para que essas ações sejam também acompanhadas pelos alunos, os recursos tecnológicos podem ser utilizados com o papel de dar suporte aos objetos matemáticos e às ações mentais dos alunos, a fim de favorecer os processos ligados à construção do conhecimento matemático. São estes recursos, na verdade, mediadores em relação a um processo baseado em estratégias pedagógicas, concebidas pelo professor, que alinha as diversas tecnologias necessárias à sua prática, e as mobiliza em regime de orientação em relação aos seus grupos de alunos (Oliveira, 2009).
Segundo Herbenstreint (apud Gravina e Santarosa, 1998), “o computador permite criar um novo tipo de objeto – os objetos ‘concreto-abstratos’. Concretos porque existem na tela do computador e podem ser manipulados; abstratos por se tratarem de realizações feitas a partir de construções mentais”.
A escolha de softwares educacionais para a aprendizagem da Matemática deve ser pautada na busca de ambientes que permitam ao aluno descrever suas ideias por intermédio da expressão e exploração. Tais ações, segundo Gravina e Santarosa (1998), são úteis para a compreensão e estabelecimento de relações e construção de conceitos.
Os softwares de modo geral podem ser considerados como recursos multimídias, ou como elementos de transposição didática, desde que os mesmos abordem algum conteúdo pedagógico. Para Dall’Asta (2003) um software é considerado educacional quando permite ao aluno a construção e organização do seu próprio raciocínio lógico. Assim, os professores, ao utilizarem os softwares, podem abordar os conteúdos de forma interativa, não devendo ater-se apenas ao recurso computacional, tendo de agir, eles mesmos, como mediadores entre o aluno e o conteúdo a ser abordado.
didático do processo, materializado através de estratégias adequadas a cada conteúdo e contexto de ensino.
Pode-se afirmar que nenhum software por si só é educacional, como Fernandes (2006) defende: o software é apenas um recurso didático, em relação ao qual o professor vai escolher determinado uso, segundo o conteúdo desejado para sua aula ou discussão.
Ainda que sejam úteis, em relação à determinada estratégia, os recursos tecnológicos não são autossuficientes. Portanto, o professor não será substituído por computadores, segundo autores como Borba e Penteado (2003), Kenski (2007) e Oliveira (2007). Os estudos desenvolvidos por estes autores mostram que o professor assume um papel de destaque nos processos pedagógicos, desde que em conexão com uma prática descolada dos princípios de transmissão pura e simples de conteúdos, o que transformaria os alunos em meros receptores passivos. Ainda assim, este professor deve lidar com as mudanças, ou seja, percebe-se que não se imunizará da possibilidade de uso dos recursos tecnológicos. Da mesma forma, as inovações educacionais implicam em mudanças na prática docente, na ampliação de seus conceitos sobre estratégias pedagógicas em sala de aula, na reflexão sobre a própria prática.
A informática na educação matemática, para Borba e Penteado (2003), deve ser vista como um direito. Direito este que inclui a alfabetização tecnológica que, para os autores, não é um simples curso de informática, mas sim um aprender e interpretar a nova mídia e ser inserida nas atividades essenciais como aluno. Em suma, a informática na educação tem duas justificativas para Borba e Penteado (2003): alfabetização tecnológica e direito ao acesso. Para os professores, entretanto, é necessário, segundo os mesmos autores, assumir que a incorporação das novas mídias em sua prática docente é um objetivo a ser alcançado, o que implica em fugir de certa “zona de conforto” na qual muitos docentes se colocam, aceitando os riscos de mudar, de aprender e de assumir uma nova prática.
superação para o uso efetivo de tecnologias nas escolas que depende de dois movimentos que os autores interpretam como paralelos. Como primeiro movimento, o professor é visto enquanto sujeito, mas especificamente na sua formação, para incorporar a tecnologias. No segundo movimento, foca-se o sistema educacional, que deve fornecer as condições de incorporação da tecnologia nas escolas.
Em consonância com o trabalho de Goos et al (2003), Frota e Borges (2004) analisam as propostas oficiais e identificam duas concepções nestes documentos, em relação ao uso de tecnologias na Educação Matemática: consumir tecnologias e incorporar tecnologias. Também propõem uma terceira abordagem, que diz respeito à matematização das tecnologias. Tais concepções são esclarecidas a seguir:
• Consumir tecnologia – os recursos tecnológicos são reconhecidos como poderosos para ensinar e aprender matemática. Neste passo, o sujeito acredita que os processos tecnológicos são capazes de modificar o ensino, tornando-o mais atrativo e motivador. Além disso, há o encantamento pela automatização das tarefas;
• Incorporar tecnologia – a tecnologia é tomada como ferramenta e instrumento cognitivo;
• Matematizar tecnologia – a tecnologia torna-se fonte de renovação para novas abordagens curriculares em Matemática, correlacionando os conteúdos matemáticos com as produções sociais e vice-versa.
No que diz respeito ao ato de “consumir tecnologias”, no qual, segundo os autores, as pessoas podem tornar-se dependentes das ferramentas para realizar tarefas que já resolviam sem estes recursos, Frota e Borges (2004) determinam os seguintes subníveis:
Representa, da mesma forma, uma maneira de automatizar cálculos e algoritmos, permanecendo a mesma dimensão didática;
• Segundo nível: “consumir tecnologia para mudar o foco das tarefas” – uso das tecnologias para realizar tarefas antigas, mas focalizando aspectos que não eram valorizados manualmente. Entretanto, o foco permanece na leitura e materialização de roteiros predefinidos, sem qualquer autonomia, refinando a fluência no recurso tecnológico sem atenção ao desenvolvimento do saber matemático.
O passo de incorporar a tecnologia, no qual o ensino da matemática com o uso das TICs pode ampliar a possibilidade de compreensão, também pode gerar obstáculos didáticos ao entendimento de determinados conceitos. Para os autores este passo também é subdividido em dois níveis.
• Primeiro nível:“tecnologia como parceira” – a incorporação da tecnologia se acentua e as formas de fazer matemática se modificam, o que implica em assumir tarefas matemáticas em versões mais complexas. Neste nível a tecnologia assume o papel de mediadora, e permite explorar diferentes perspectivas dos problemas;
• Segundo nível: “tecnologia como extensão do self” – a incorporação da competência tecnológica faz parte do processo, o que implica em entender que maneiras novas de fazer matemática implicam no desenvolvimento de novas formas de pensar e solucionar problemas.
O passo matematizar a tecnologia aborda a mesma como objeto curricular e é subdividida pelos autores em dois níveis.
• Segundo nível: “matematizar a tecnologia modelando objetos e processos” – visa o desenvolvimento da habilidade de elaborar modelos matemáticos e novas tecnologias mais eficazes e adequadas para cada problema abordado.
A seguir, esquematiza-se o entendimento sobre a proposta de Frota e Borges (2004), que surge de forma hierárquica, ou seja, nada indica, no trabalho destes autores, que estas concepções sejam comunicantes.
Quadro 8. Níveis de utilização para a tecnologia, segundo Frota e Borges (2004)
No que diz respeito ao uso de recursos tecnológicos por professores de Matemática, Oliveira (2009) sintetiza e completa as definições de Borba e Penteado (2003), Frota e Borges (2004) e Goos et al (2003), indicando quatro níveis pelos quais os docentes precisariam passar para utilizar de forma crítica as tecnologias em suas práticas:
• Apropriação das interfaces e dos recursos, desenvolvendo fluência na manipulação das ferramentas;
• Inclusão das tecnologias como partes integrantes de seu fazer didático;
• Criação de estratégias pedagógicas que integrem todas as tecnologias, novas e velhas, como suportes e elementos de mediação em relação ao aprendizado dos estudantes e ao conteúdo matemático (esta dimensão permite empregar, de forma integrada, as anteriores).
Para Oliveira (2009), estas quatro concepções podem representar um ciclo – e deveriam fazê-lo, idealmente – de modo que o professor de Matemática transite de uma para a outra à medida que refina seu entendimento teórico-prático sobre uso das tecnologias em seu trabalho. Segundo o autor, à medida que avança na apropriação destes níveis e dos conhecimentos correspondentes, o ciclo se repete, em uma instância superior.
Quadro 9. Níveis de utilização para a tecnologia, segundo Oliveira (2009)
A tecnologia é fundamental para a educação e por isso diferentes tipos de mídias foram utilizados, mas a maioria delas foram trabalhos fracassados e cansativos para alunos e professores. Para Kenski (2007) são várias as causas desses fracassos, dentre as quais está que o professor não teve preparo em sua formação no que se trata das formas de utilização das TICS nas estratégias e projetos pedagógicos. Outro fator é que apesar da colocação de TVs em sala de aula e a criação de laboratórios ou salas especiais de informática, tudo isso não é suficiente para sanar o problema existente: a deficiência no critério de aprendizagem e adaptação tecnológica ainda continua.
Kenski (2007) ressalta alguns dos problemas que se enfrenta na educação no que se refere a Tecnologias, que vão desde os vírus até programas que fornecem aos alunos de diversos níveis o trabalho já pronto. No assunto que tanto é comentado entre professores da rede pública de ensino – falta de manutenção nos laboratórios de informática – a autora indica que as instituições devem investir em segurança nos trabalhos on-line e conscientização de forma adequada de uso, para que os mesmos não entrem em colapso.
Kenski (2007) argumenta sobre fatores que evidenciam os problemas quando relacionados às mídias nos processos educacionais, desde a implantação das tecnologias nas escolas até a manutenção das mesmas. Ela cita que há o problema de manutenção dos aparelhos nas escolas, quando se refere às escolas públicas, e que o mesmo problema se estende aos softwares – o governo teria que dispor de uma quantidade maior de verba destinada aos programas para os mesmos pudessem sempre estar à disposição dos alunos, de forma que o professor pudesse continuar com os temas aplicados em sala de aula. Atualmente, isso ainda é quase impossível, porque essa manutenção periódica ainda não é uma realidade.
Segundo Kenski (2007), quando o computador foi inserido nas escolas, professores e alunos o consideravam um equipamento de igual teor da televisão, rádio, retroprojetor entre outras mídias. Outros o comparavam com a máquina de datilografia, mas com memória. Algum tempo depois começaram as aulas de informática, totalmente separadas das outras áreas de ensino. Com o aparecimento de novos softwares e programas especiais iniciava-se cursos para professores e alunos, desta vez mais sistematicamente, com ênfase nos programas da Microsoft (Excel, Power Point, Paint, Word, etc.), mas continuava totalmente separado das matérias didáticas. Já em um segundo momento, com a chegada dos periféricos (CD-ROMs, DVDs, CDs e auxiliares) específicos de cada disciplina, surge um novo problema na forma de utilização: o professor elabora o trabalho para o aluno para que ele possa pesquisar nas salas de informática dentre outras formas de comunicações eletrônicas. O resultado é que o aluno acessa e copia não absorvendo nenhum conhecimento da matéria aplicada, muitos não tem a consciência de utilizar tais métodos como uma forma de aprender e sim para ganhar tempo deixando de lado o principal foco da educação, que é a aprendizagem.
Para Borba e Penteado (2007) a informática é um canal de mudanças do conhecimento, mas uma mídia qualquer não determina a pedagogia na prática. Ao mesmo tempo, a informática pode ser considerada como uma forma de equacionar problemas presentes em práticas do ensino tradicionais: a prática pedagógica envolvendo tecnologias pode estimular o uso de problemas para formulação de conjecturas, já que o aspecto da experimentação pode ser explorado intensamente, o que pode proporcionar um processo de investigação por parte do aluno e/ou do professor. Assim, os autores frisam que a informática tem o seu lugar definido no âmbito da prática pedagógica, o que significa que a mesma não irá fazer extinguir a escrita ou a oralidade. Da mesma forma, muito menos as simulações desenvolvidas por softwares matemáticos extinguirão a demonstração em Matemática. Pode acontecer uma reorganização, mas nunca uma extinção das “velhas” tecnologias. Nesta relação, argumenta Oliveira (2007), uma mídia não substitui ou elimina a outra, mas redefine seus usos e aplicações.
a tais salas podem não estar familiarizados com os programas ou equipamentos disponíveis, o que pode levar o aluno a ficar disperso na elaboração dos seus trabalhos. Neste aspecto, Oliveira (2009) indica que há a necessidade de construir uma formação sólida para que os professores utilizem os recursos tecnológicos – entre eles, as tecnologias digitais – em suas práticas cotidianas. Para isto, os currículos dos cursos de formação (licenciaturas, por exemplo) devem contemplar a construção de um conhecimento específico que é o de elaborar estratégias pedagógicas adequadas à abordagem dos diversos conteúdos com o uso das tecnologias adequadas. O foco, para o autor, não são as tecnologias, mas os conteúdos e as pessoas que aprendem, servindo às tecnologias como interfaces mediadoras entre, por exemplo, situações-problema e o conhecimento que se pretende consolidar.
Para Kenski (2007), o grande desafio para o uso das TICS em sala de aula para o professor é a própria formação, pois, às vezes, o docente não consegue lidar pedagogicamente com as divergências de conhecimentos dos alunos em nível tecnológico, tanto nas instituições equipadas com modernas tecnologias digitais como nas que possuem recursos precários. A autora defende que o professor que tem uma boa formação possui segurança para lidar com a diversidade de conhecimentos dos alunos, ao mesmo tempo em que aproveita o conhecimento dos alunos mais avançados e garante o acesso às tecnologias aos alunos em situação de exclusão digital. Assim, o uso das TICS em aula pode alterar a relação existente entre professor e aluno, a partir da formação de equipes de trabalho, que permitem que os participantes passem a ser parceiros na construção do conhecimento, em regime de colaboração.
Segundo Borba e Penteado (2007) o professor pode se deparar com alguns riscos no decorrer da aula que utiliza tecnologias, tais como:
• Problemas técnicos que podem impedir o desenvolvimento de uma atividade por completo;
• Atualização do vocabulário sobre computadores e softwares, o que abre espaço para os alunos falarem das experiências e curiosidades desta área;
• Enfrentar as limitações das salas ambientes de informática;
Diante de tudo isso, o professor é desafiado constantemente a rever e ampliar seu conhecimento. (...) Porém, o processo de integração do computador à prática docente, pela complexidade que apresenta, pode suscitar reflexões de natureza diversa (Borba e Penteado, 2007 p. 65)
Kenski (2007) afirma que o professor tem de se conscientizar que sua ação profissional não será substituída pelas tecnologias, ao contrário, as tecnologias podem ampliar o espaço profissional dos professores para além da escola clássica, o que, em suma, representam novas oportunidades profissionais.
Educar para a inovação e a mudança significa planejar e implantar propostas dinâmicas de aprendizagem, em que possam exercer e desenvolver concepções sócio-históricas da educação – nos aspectos cognitivo, ético, político, científico, cultural, lúdico e estético – em toda a sua plenitude e, assim, garantir a formação de pessoas para o exercício da cidadania e do trabalho com liberdade e criatividade (Kenski, 2007 p. 67)
Kenski (2007) questiona a formação que é dada para os docentes. Para ela, esta deveria ser complementada com o conhecimento e uso do computador e demais suportes de mídia, para que os mesmos fossem utilizados de forma adequada, o que não descarta as aulas expositivas e muito menos os livros. Ainda enfatiza a importância de o docente aprender outros idiomas, principalmente o inglês e o espanhol, para permear a interação e o diálogo em rede, com o intuito de estabelecer projetos de cooperação e trocas educacionais com outros países.
Diante dos riscos apresentados anteriormente, o professor que não recebe (ou procura) formação adequada, tende a desistir da utilização de tecnologias ou pré-estabelecer roteiros para enquadrar a tecnologia em atividades rotineiras.
ensino-aprendizagem. Podem representar um maior esforço para o professor, o qual, segundo Borba e Penteado (2007), sozinho, não avançará muito nesta questão.
1.2 Transposição Didática
Para Pais (2008) a transposição didática pode ser analisada tendo como base três saberes: o saber científico, o saber a ensinar e o saber ensinado.
Para CHEVALLARD (1991), as distinções entre os saberes devem considerar a existência de um “saber científico” (ou “saber sábio”), ligado às atividades acadêmicas e de origem nos temas trabalhados em âmbito universitário e espaços correlatos, como núcleos de pesquisa, por exemplo. Este ponto de vista é corroborado por Oliveira (2009), o qual menciona a distância entre este saber, formal e laudatório, daquele contido nos programas escolares fundamentais.
O mesmo autor salienta que o saber sábio não é adequado, em sua forma original, ao processo de ensino-aprendizagem desenvolvido na escola. Assim, CHEVALLARD (1991 apud OLIVEIRA, 2009) destaca a existência de um “saber a ensinar”, que é ligado a uma abordagem didática, e a finalidade é de organizar pedagogicamente e apresentar aos estudantes determinado saber. Ainda é destacada a existência do “saber ensinado”, que é aquele que tem lugar na sala de aula e demais ambientes de ensino-aprendizagem, representando o trabalho didático efetivamente constituído no cotidiano escolar. O saber ensinado é resultado da atuação do professor em relação aos grupos de alunos com os quais trabalha em suas aulas, no âmbito de um determinado sistema didático.
processo, transformações adaptativas singulares. De modo que o mesmo possa transformar-se em tema de ensino em níveis escolares básicos, por exemplo.
Da mesma forma, Pais (2008) afirma que a transposição didática visa estudar o processo da prática educativa, o qual ocorre por intermédio de influências que envolvem segmentos diferenciados do sistema educacional. Ainda salienta que essas ideias são apresentadas por Chevallard (1991) já em uma das primeiras definições formais:
Um conteúdo do saber, tendo sido indicado como saber a ensinar, sofre, desde então, um conjunto de transformações adaptativas que permitem que o mesmo esteja apto a tomar lugar entre os objetos de ensino. O trabalho de verter um objeto de saber a ensinar em objeto de ensino é chamado de transposição didática (CHEVALLARD, 1991, p. 39 apud PAIS, 2008).
Uma série de pesquisas na área de Educação Matemática vem sendo feitas utilizando a lógica da transposição didática, como por exemplo, as mencionadas nos parágrafos seguintes.
O trabalho de Chiummo (1998) fundamenta-se em áreas de figuras planas e é embasado nos estudos de transposição didática, história e epistemologia. Tal investigação foi fundamentada em Brousseau (1987), no que diz respeito aos obstáculos epistemológicos e didáticos3. Para a abordagem de tais assuntos, tomou a definição de contrato didático feito por Henry (1991). Para transformar o tipo de contrato didático adotado pelos professores em relação aos alunos, foi elaborada uma sequência didática embasada na transposição didática, ou seja, no trabalho de Chevallard (1991). A autora deteve-se na tríade dos saberes: sábio, a ensinar e ensinado, utilizando-se, também, de conceitos desenvolvidos por Douady (1987), como a dialética “ferramenta-objeto” e o “jogo de quadros”. A metodologia apresentada, com base na engenharia didática, foi constituída de quatro etapas: análises prévias, concepção e análise a priori da sequência didática, experimentação e análise a posteriori (em conjunto com a validação). Os sujeitos foram divididos em dois grupos, sendo sessenta e seis alunos de 6ª série
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