O Anglo Resolve. A Prova da Segunda Fase da Fuvest

É trabalho pioneiro.

Prestação de serviços com tradição e confiabilidade.

Construtivo, procura colaborar com as Bancas Examinadoras em sua tarefa árdua de não cometer injustiças.

Didático, mais do que um simples gabarito, auxilia o estudan- te em seu processo de aprendizagem.

A segunda fase da Fuvest consegue, de forma prática, propor conjuntos distintos de provas adequadas às carreiras. Assim, por exemplo, o candidato a Engenharia da Escola Politécnica USP faz, na segunda fase, provas de Língua Portuguesa (40 pontos), Matemática (40 pontos), Física (40 pontos) e Quí- mica (40 pontos). Já aquele que pretende ingressar na Facul- dade de Direito USP fará somente três provas: Língua Portu- guesa (80 pontos), História (40 pontos) e Geografia (40 pontos).

Por sua vez, o candidato a Medicina terá provas de Língua Por- tuguesa (40 pontos), Biologia (40 pontos), Física (40 pontos) e Química (40 pontos).

Com esse critério, embora o conjunto de provas varie de uma carreira para outra, o total de pontos possível não excede a 160, que será somado à pontuação obtida pelos candidatos na primeira fase, para efeito de classificação final.

Vale lembrar que a prova de Língua Portuguesa é obrigatória a todas as carreiras.

Apresentamos, neste fascículo de O Anglo Resolve, a tabela sobre a relação carreira/provas e a resolução comentada das questões. No final, a análise dos nossos professores.

Anglo O Resolve

A Prova da

Segunda

Fase da

Fuvest

FUVEST

TABELA DE CARREIRAS E PROVAS

ÁREA DE EXATAS E TECNOLOGIA

Ciências da Terra (Geologia e Geofísica) LP(40), M(40)

Ciências Exatas – São Carlos (licenciatura) LP(40), M(40)

Computação – São Carlos LP(40), M(40), F(40)

Engenharia Aeronáutica – São Carlos LP(40), M(40), F(40)

Engenharias – São Carlos (Elétrica, Mecânica, Produção Mecânica) LP(40), M(40), F(40)

Engenharia, Computação e Matemática – Bacharelados Aplicada e Computacional – São Paulo LP(40), M(40), F(40), Q(40)

Engenharia Civil – São Carlos LP(40), M(40), F(40)

Engenharia de Alimentos – Pirassununga LP(40), M(40), F(40), Q(40)

Física – São Paulo e São Carlos (Bacharelado), Meteorologia e Matemática – (Bacharelados), Estatística e Matemática – São Paulo LP(40), M(40), F(40)

Física Médica – Ribeirão Preto LP(40), M(40), F(40)

Informática – São Carlos LP(40), M(40), F(40)

Matemática e Física – São Paulo (Licenciatura) LP(40), M(40), F(40)

Matemática (Bacharelado e Licenciatura), Matemática Aplicada e Computação Científica – São Carlos LP(40), M(40), F(40)

Oceanografia – São Paulo LP(40), M(40), B(40), Q(40)

Química – São Paulo LP(40), M(40), F(40), Q(40)

CARREIRAS

PROVAS DA 2ª FASE E RESPECTIVOS NÚMEROS

DE PONTOS ÁREA DE HUMANIDADES

Administração – São Paulo LP(40), M(40), H(40), G(40) Administração – Ribeirão Preto LP(40), M(40), H(40), G(40) Arquitetura – São Carlos LP(80), H(40), HE(40) Arquitetura – São Paulo LP(40), F(20), H(20), HE(80) Artes Cênicas (Bacharelado) LP(40), HE(120)

Artes Cênicas (Licenciatura) LP(40), H(40), HE(80)

Artes Plásticas LP(40), H(40), HE(80)

Audiovisual LP(40), H(40), HE(80)

Biblioteconomia LP(40), H(40)

Ciências Contábeis – São Paulo LP(40), M(40), H(40), G(40) Ciências Contábeis – Ribeirão Preto LP(40), M(40), H(40), G(40)

Ciências Sociais LP(40), H(40), G(40)

Direito LP(80), H(40), G(40)

Economia – São Paulo LP(40), M(40), H(40), G(40) Economia – Ribeirão Preto LP(40), M(40), H(40), G(40) Economia Agroindustrial – Piracicaba LP(40), M(40), H(40), G(40)

Editoração LP(40), H(40)

Filosofia LP(80), H(40), G(40)

Geografia LP(40), H(40), G(40)

Gestão Ambiental – Piracicaba LP(40), B(40), H(40)

História LP(40), H(40), G(40)

Jornalismo LP(40), H(40), G(40)

Letras – Básico LP(80), H(40), G(40)

Música – São Paulo e Ribeirão Preto LP(40), HE(120) Oficial Polícia Militar do Estado de São Paulo LP(40)

Pedagogia – São Paulo LP(80), H(40)

Pedagogia – Ribeirão Preto LP(80), H(40), G(40) Publicidade e Propaganda LP(40), H(40) Relações Internacionais (Bacharelado) LP(80), H(40), G(40)

Relações Públicas LP(40), H(40)

Turismo LP(40), H(40), G(40)

CARREIRAS

PROVAS DA 2ª FASE E RESPECTIVOS NÚMEROS

DE PONTOS

ÁREA DE CIÊNCIAS BIOLÓGICAS

Ciências Biológicas – São Paulo LP(40), Q(40), B(40) Ciências Biológicas – Ribeirão Preto LP(40), Q(40), B(40) Ciências Biológicas – Agrobiologia – Piracicaba LP(40), Q(40), B(40) Ciências dos Alimentos – Piracicaba LP(40), Q(40), B(40)

Educação Física – Bacharelado LP(40), A

Enfermagem – São Paulo LP(40), B(40), Q(40)

Enfermagem – Ribeirão Preto LP(40), B(40), Q(40)

Engenharia Agronômica – ESALQ LP(40), M(40), Q(40), B(40) Engenharia Florestal – Piracicaba LP(40), M(40), Q(40), B(40)

Esporte – Bacharelado LP(40), A, HE(80)

Farmácia e Bioquímica – São Paulo LP(40), F(40), Q(40), B(40) Farmácia e Bioquímica – Ribeirão Preto LP(40), Q(40), B(40) Fisioterapia – São Paulo e Ribeirão Preto LP(40), F(40), Q(40), B(40)

Fonoaudiologia – São Paulo LP(80), F(40), B(40)

Fonoaudiologia – Bauru LP(40), F(40), Q(40), B(40)

Medicina (São Paulo) e Ciências Médicas (Ribeirão Preto) LP(40), F(40), Q(40), B(40)

Medicina Veterinária LP(40), F(40), Q(40), B(40)

Nutrição LP(40), F(40), Q(40), B(40)

Odontologia – São Paulo LP(40), F(40), Q(40), B(40)

Odontologia – Ribeirão Preto LP(40), F(40), Q(40), B(40)

Odontologia – Bauru LP(40), F(40), Q(40), B(40)

Psicologia – São Paulo LP(40), M(40), B(40), H(40)

Psicologia – Ribeirão Preto LP(80), B(40), H(40)

Terapia Ocupacional – São Paulo e Ribeirão Preto LP(40), B(40), H(40)

Zootecnia – Pirassununga LP(40), M(40), Q(40), B(40)

CARREIRAS

PROVAS DA 2ª FASE E RESPECTIVOS NÚMEROS

DE PONTOS

LEGENDA

LP – Língua Portuguesa M – Matemática F – Física Q – Química

B – Biologia H – História G – Geografia A – Aptidão

HE – Habillidade Específica

Matemática

Carlos, Luís e Sílvio tinham, juntos, 100 mil reais para investir por um ano. Carlos escolheu uma apli- cação que rendia 15% ao ano. Luís, uma que rendia 20% ao ano. Sílvio aplicou metade de seu dinheiro em um fundo que rendia 20% ao ano, investindo a outra metade numa aplicação de risco, com rendimen- to anual pós-fixado. Depois de um ano, Carlos e Luís tinham juntos 59 mil reais; Carlos e Sílvio, 93 mil reais; Luís e Sílvio, 106 mil reais.

a) Quantos reais cada um tinha inicialmente?

b) Qual o rendimento da aplicação de risco?

Indicando as quantias, em milhares de reais, que Carlos, Luís e Sílvio tinham, após este ano, por x, y e z, nessa ordem, temos:

x + y = 59 x + z = 93 y + z = 106 +

2x + 2y + 2z = 258 ∴ x + y + z = 129 x + y + z = 129 e y + z = 106 ⇒ x = 23 x + y + z = 129 e x + z = 93 ⇒ y = 36 x + y + z = 129 e x + y = 59 ⇒ z = 70

a) Indicando as quantias, em milhares de reais, que Carlos, Luís e Sílvio tinham, inicialmente, por c,le s, nessa ordem, temos:

c ⋅^{1,15 = x}

c ⋅1,15 = 23 ∴ ^{c = 20} l⋅1,2 = y

l⋅1,2 = 36 ∴ l^{= 30}

De c + l+ s = 100, c = 20 e l= 30, temos s = 50.

Resposta: Carlos, Luís e Sílvio tinham inicialmente, nessa ordem, 20 mil, 30 mil e 50 mil reais.

b) Sendo r% o rendimento da aplicação de risco, temos: 25 ⋅1,2 + 25(1 + r%) = 70 Dessa igualdade, podemos concluir que r = 60.

Resposta: 60%

Maria quer cobrir o piso de sua sala com lajotas quadradas, todas com lado de mesma medida inteira, em centímetros. A sala é retangular, de lados 2m e 5m. Os lados das lajotas devem ser paralelos aos la- dos da sala, devendo ser utilizadas somente lajotas inteiras. Quais são os possíveis valores do lado das lajotas?

Sendo la medida, em cm, do lado das lajotas, podemos concluir, do enunciado, que lé um divisor comum de 200 e 500.

Como o máximo divisor comum de 200 e 500 é 100, podemos afirmar que ldeve ser um divisor de 100.

O número 100 (= 2²⋅⁵²) possui 9 divisores positivos: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 e 100.

Esses são os possíveis valores de l^. Resposta: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 e 100.

123123

l^cm l^cm

500 cm

200 cm

123

QUESTÃO 01

RESOLUÇÃO:

QUESTÃO 02

RESOLUÇÃO:

Um tabuleiro tem 4 linhas e 4 colunas. O objetivo de um jogo é levar uma peça da casa inferior esquerda (casa (1, 1)) para a casa superior direita (casa (4, 4)), sendo que esta peça deve mover-se, de cada vez, para a casa imediatamente acima ou imediatamente à direita. Se apenas uma destas casas existir, a peça irá mover-se necessariamente para ela. Por exemplo, dois caminhos possíveis para completar o trajeto são (1, 1) →^{(1, 2)} →^{(2, 2)} →^{(2, 3)} →^{(3, 3)} →^{(3, 4)} →(4, 4) e (1, 1) →^{(2, 1)} →^{(2, 2)} →^{(3, 2)} →^{(4, 2)} → (4, 3) →^{(4, 4).}

a) Por quantos caminhos distintos pode-se completar esse trajeto?

b) Suponha que o caminho a ser percorrido seja escolhido da seguinte forma: sempre que houver duas opções de movimento, lança-se uma moeda não viciada; se der cara, a peça move-se para a casa à di- reita e se der coroa, ela se move para a casa acima. Desta forma, cada caminho contado no item a) terá uma certa probabilidade de ser percorrido. Descreva os caminhos que têm maior probabilidade de serem percorridos e calcule essa probabilidade.

a) Podemos representar o caminho (1, 1) →^{(1, 2)} →^{(2, 2)} →^{(2, 3)} →^{(3, 3)} →^{(3 ,4)} →(4, 4) pela seqüência (d, c, c, d, c, d), onde d significa mover a peça para uma casa imediatamente à direi- ta, e c, para uma casa imediatamente acima.

Os caminhos distintos são as permutações dos elementos dessa seqüência. Assim:

Resposta: 20

b) Os caminhos de maior probabilidade são aqueles em que há o menor número de deslocamentos até os de opção única, isto é, (d, d, d, c, c, c) e (c, c, c, d, d, d).

A probabilidade de cada um deles é:

Resposta: Os caminhos são:

(1, 1) →^{(2, 1)} →^{(3, 1)} →^{(4, 1)} →^{(4, 2)} →^{(4, 3)} →^{(4, 4)} e

(1, 1) →^{(1, 2)} →^{(1, 3)} →^{(1, 4)} →^{(2, 4)} →^{(3, 4)} →^{(4, 4).}

E a probabilidade de cada um é .

Sejam A = (0, 0), B = (8, 0) e C = (–1, 3) os vértices de um triângulo e D = (u, v) um ponto do segmento BC— . Sejam E o ponto de intersecção de AB—

com a reta que passa por D e é paralela ao eixo dos y e F o ponto de intersecção de AC—

com a reta que passa por D e é paralela ao eixo dos x.

a) Determine, em função de u, a área do quadrilátero AEDF.

b) Determine o valor de u para o qual a área do quadrilátero AEDF é máxima.

1 8 1

2 1 2

1

2 1 1 1 1

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 8 P₆^{3 3} 6

3 3 20

( , ) !

! !

= =

⋅

4

3

2 1

1 2 3 4

QUESTÃO 03

RESOLUÇÃO:

QUESTÃO 04

Admitindo 0 ^u 8, temos a figura:

1) Coeficiente angular da reta BC↔: m_BC= = .

Equação da reta BC↔

: y – 0 = – ∴ y = Como D(u, v) pertence à reta BC↔

, temos que v = 1 2) Coeficiente angular da reta AC↔

: m_AC= = – 3.

Equação da reta AC↔

: y – 0 = – 3(x – 0) ∴ ^{y = – 3x.}

Como F(x_F, v) pertence à reta AC↔

, temos que: x_F= . Assim, FD = u – x_F ∴ ^{FD = u –} ∴ FD = u + . a) A área S do quadrilátero AEDF é:

S =

S =

S = uv + 2

De 1 e 2 , vem: . Resposta:

b) Para que a área do quadrilátero AEDF seja máxima, devemos ter:

Resposta:

Nota: foi admitido 0 u 8 para que exista o quadrilátero AEDF.

As raízes do polinômio p(x) = x³– 3x²+ m, onde m é um número real, estão em progressão aritmética.

Determine a) o valor de m;

b) as raízes desse polinômio.

64 17

u= u

 



⋅ ∴ =

– –

128 54

2 17

54

64 17 1

54 ( – u17 128 64)}² + u +





S= 1 u + u+

54 ( – )17 128 64² v²

6

u v

u v

+ +

 

⋅ 3

2 (FD AE DE+ )⋅

2

v –v 3

3

 



–v 3

3 0

1 0 – – –

8 3 –u.

8 3 –x. 1

3( – )x 8

–1 3 3 0

1 8 – – – C (–1, 3)

F (x_F, v)

D (u, v)

A (0, 0) E (u, 0) B (8, 0) x y

QUESTÃO 05

RESOLUÇÃO:

a) Sendo (x₁, x₂, x₃) a progressão aritmética definida pelas raízes do polinômio, temos que x₁+ x₂+ x₃= 3 (Girard).

Sendo r a razão dessa progressão, temos:

x₂– r + x₂+ x₂+ r = 3 3x₂= 3 ∴ ^x2= 1

Como o número 1 é uma raiz, temos p(1) = 0.

1³– 3 ⋅¹²+ m = 0 ∴ ^{m = 2} Resposta: 2

b) Temos, ainda, que x₁⋅x₂⋅x₃= –m (Girard) (x₂– r) ⋅^x2⋅^(x2+ r) = –2

(1 – r) ⋅¹ ⋅(1 + r) = –2 1 – r²= –2

r²= 3 ∴ ^{r =}

Logo, as raízes são os números 1 – , 1 e 1 + . Resposta: 1 – , 1 e 1 + .

O triângulo retângulo ABC, cujos catetos AC—

e AB—medem 1 e 3, respectivamente, é dobrado de tal forma que o vértice C coincida com o ponto D do lado AB—

. Seja MN—

o segmento ao longo do qual ocorreu a dobra. Sabendo que N ˆDB é reto, determine

a) o comprimento dos segmentos CN— e CM—

; b) a área do triângulo CMN.

Sendo CN = x e CM = y, do enunciado temos a figura:

No triângulo retângulo BAC, temos:

1) ∴ BC = 2

2) ∴ β^{= 30º. Logo,}α^{= 60º.}

a) No triângulo retângulo BDN, vem:

senβ ∴ ∴

No triângulo retângulo DAM, vem:

senβ ∴ ∴

Resposta: CN= 2 e CM= 3

2 3

y= 2 3 1

2

= 1– y

= AM y DM

x = 2 3 1

2= 2x x

= DN – BN tgβ= 1

3

(BC)²=1² +( 3)²

C

N M

A D B

3 3

3 3

± 3

RESOLUÇÃO:

QUESTÃO 06

RESOLUÇÃO:

N M

A D B

3 1

y x

y x α α

β β

b) A área S pedida é:

S = (CN)(CM) ⋅^{sen 60º}

S = Resposta:

Determine as soluções da equação (2cos²x + 3senx)(cos²x – sen²x) = 0 que estão no intervalo [0, 2π^].

(2 – 2 sen²x + 3 sen x) ⋅^{(1 – sen2x – sen2x) = 0}

sen x = 2 (não convém) 2 sen²x – 3 sen x – 2 = 0 ou

sen x = Ou:

1 – 2 sen²x = 0 ∴ ^{sen2x =} ∴ ^{sen x = ±}

Resposta:

Na figura abaixo, as circunferências C₁e C₂, de centros O₁e O₂, respectivamente, se interceptam nos pontos P e Q. A reta r é tangente a C₁e C₂; a reta s passa por O₁e O₂e βé o ângulo agudo entre r e s.

Sabendo que o raio de C₁é 4, o de C₂é 3 e que senβ= , calcule:

a) a área do quadrilátero O₁QO₂P;

b) senα^{, onde} α^{= QOˆ}2P.

Do enunciado, temos a figura:

1 5 π π π π π π 4

3 4

7 6

5 4

7 4

11

, , , , e 6

3π 4

π 4 2

2

1 –2 – 2

2 7π

65π 4

7π 4

11π 6 2 2 1

2

–1 2 3

9 1 2

2 3

2 3

3 2

3

⋅ ⋅ ⋅ ∴ ^S= 9 1

2⋅

QUESTÃO 07 RESOLUÇÃO:

P

r Q s

O₁ C₁

C₂ O₂

β

4 3

βα/2 D1

3 3

C B A

P

r Q s

O₁ C₁

C₂ O₂ α

β

QUESTÃO 08

RESOLUÇÃO:

No triângulo retângulo O₁O₂D, temos:

Sendo O₁O₂= 5, PO₁= 4 e PO₂= 3, segue-se que:

(O₁O₂)²= (PO₁)²+ (PO₂)²

Logo, PO₁O₂é um triângulo retângulo em P.

Assim:

a) A área do quadrilátero O₁QO₂P é:

Resposta: 12

b) No triângulo retângulo O₁O₂P, temos que:

Então:

Resposta:

Um bloco retangular (isto é, um paralelepípedo reto-retângulo) de base quadrada de lado 4cm e altura 203cm, com de seu volume cheio de água, está inclinado sobre uma das arestas da base, formando um ângulo de 30° com o solo (ver seção lateral abaixo). Determine a altura h do nível da água em relação ao solo.

Do enunciado, temos a figura:

20 3

4

h 30º

2 3 24 25 senα=24

25 senα=²⋅ ⋅⁴

5 3 5

senα₌²⋅sen α ⋅ α 2 cos 2

sen α e α

2 4

5 2

3

= cos = 5.

2 1

2 3 4 12

⋅^_ ⋅ ⋅ ^_^{,ou seja, .}

sen DO

O O O O O O

β= ¹ ∴ = ∴ =

1 2 1 2 1 2

1 5

1 5

QUESTÃO 09

20 3

4

h 30º

H 60º

30º M

B 2

A

C D

RESOLUÇÃO:

No prisma de base quadrada de lado 4 e altura H, cujo volume é igual a do volume do bloco

retangular com altura igual a , podemos concluir que H = , ou seja, H = . No triângulo retângulo MAB, temos que:

tg 30° = ∴ = ∴ ^{AB =}

Logo, BC = AB + H ∴ ^{BC =} Do triângulo retângulo CDB, vem:

sen 60° = ∴ = ∴ ^{h = 21}

Resposta: 21 cm

São dados, abaixo, os pontos A e M e a reta s. Sabe-se que o ponto A é vértice de um paralelogramo ABCD;

o lado AB—

está na reta s; M é o ponto médio do lado BC—

e o ângulo CÂB tem medida 30°. Usando régua e compasso, construa esse paralelogramo. Descreva e justifique sua construção.

Enunciado gráfico (Rascunho)

Descrição e justificativa

1. Pelo ponto M, traçar a reta r paralela à reta s.

2. Obter o ponto N no encontro da reta r com a reta t, obtida construindo-se um ângulo de 30° com vértice no ponto A e lado →

As.

Propriedade: Se as retas r e s são paralelas e M é ponto médio de BC—

, então N é ponto médio de AC— . 3. Obter o ponto C no encontro da reta t com a circunferência de centro N e raio AN—

. 4. Obter o ponto B no encontro da reta CM com a reta s.

5. Obter o ponto D no encontro da circunferência de centro C e raio AB—

com a circunferência de centro A e raio BC—

.

D C t

r N

30°

A

M

s B

M

A

s h

14 3 3

2 h

BC

14 3

2 3 3 AB

2 3 3 AB

2

40 3 3 2

3⋅20 3 20 3

2 3

QUESTÃO 10

RESOLUÇÃO:

Propriedade: Os lados opostos de um paralelogramo têm medidas iguais.

M

A

s N

30° r

B D

C

t

Comentário

Prova muito bem elaborada e abrangente. As questões são criativas, porém algumas estão muito trabalhosas.

A questão de construção geométrica é um exemplo de como se pode avaliar a capacidade de resolver uma situação nova com o conhecimento adquirido.

Incidência

Aritmética

ASSUNTO

Nº DE QUESTÕES

1 2 3 4

Construção Geométrica

Equação Algébrica

Geometria Analítica

Geometria do Espaço

Geometria Plana

Porcentagem

Probabilidade

Trigonometria