DIMENSIONAMENTO E SEQUENCIAMENTO DE LOTES DE PRODUÇÃO DE REFRIGERANTES COM DOIS ESTÁGIOS E MÚLTIPLAS MÁQUINAS
Deisemara Ferreira, Reinaldo Morabito
Departamento de Engenharia de Produção – UFSCar; 13565-905, São Carlos, SP deise@dep.ufscar.br, morabito@power.ufscar.br
Socorro Rangel
Departamento de Ciências de Computação e Estatística – UNESP; 15054-000, S. J. Rio Preto, SP socorro@dcce.ibilce.unesp.br
Resumo
Apresentamos neste trabalho um modelo de otimização inteira mista para dimensionar e sequenciar, de forma integrada, lotes de produção em fábricas de refrigerantes. O modelo considera a sincronia entre os estágios de xaroparia e envase que compõem a produção de refrigerantes. Tempos e custos de troca de refrigerantes em tanques e linhas de envase, que dependem da seqüência de produção, são também considerados. Estratégias de decomposição e relaxação, e variações da heurística relax and fix foram testadas e comparadas na solução de exemplares do modelo, baseados em dados reais de uma fábrica de médio-grande porte. Os resultados obtidos indicam que o modelo proposto é útil na representação do problema, e as estratégias de soluções capazes de fornecer soluções melhores do que as utilizadas pela empresa.
Palavras-chave: Programação inteira mista, programação da produção, modelos integrados de dimensionamento e sequenciamento da produção, indústria de refrigerantes.
1. Introdução
O planejamento, a programação e o controle da produção são tarefas importantes para garantir um bom desempenho do processo produtivo de uma empresa. Uma programação da produção eficiente envolve vários fatores, tais como: a demanda dos produtos, a disponibilidade de matérias primas, a capacidade disponível para produção, o preparo das máquinas, entre outros. Em vários processos produtivos, como na produção de tintas, rações e bebidas, a seqüência de produção dos produtos nas máquinas é uma decisão que tem efeitos importantes nos custos de produção e na utilização da capacidade disponível. Quando há troca da produção de um item para outro é necessário parar as máquinas para que sejam feitos ajustes e limpezas necessários para a produção do próximo item. Esse
preparo das máquinas pode ser demorado e custoso e, portanto, é desejável definir um sequenciamento dos itens que minimize os tempos e custos de preparo.
A maior parte das empresas de bebidas, como refrigerantes, chás gelados, sucos, energéticos, águas, resolve a questão do dimensionamento e sequenciamento dos lotes em duas etapas. Em uma primeira etapa é determinada a dimensão dos lotes, levando em consideração as demandas dos produtos, as disponibilidades de insumos, as capacidades de produção, etc. Em uma etapa subseqüente, a seqüência dos lotes de produção é definida em cada máquina, considerando os tempos de troca, os tempos disponíveis para produção e outros fatores que possam influenciar no sequenciamento da produção. No entanto, estas decisões de dimensionamento e sequenciamento são dependentes uma da outra, devido aos tempos de troca serem bem dependentes da seqüência de produção e consumiram as capacidades das máquinas.
O tamanho do lote a ser produzido em geral não influencia no tempo de preparo das máquinas, ou seja, o tempo que se leva para preparar uma máquina para produção de um lote pequeno é praticamente o mesmo tempo de preparação de um lote grande. Por outro lado, o tempo de troca depende da seqüência de produção dos lotes, por exemplo, o tempo de troca da produção de um refrigerante normal para um refrigerante light ou diet é bem maior do que na seqüência inversa. Desta maneira, muitas vezes é mais vantajoso diminuir o número de preparos, produzindo um lote maior e estocando o excesso de produtos para abastecer a demanda de períodos futuros, do que produzir lotes pequenos para se atender apenas a demanda do período presente. No entanto, lotes maiores implicam em maiores custos de estocagem.
Neste trabalho é estudado o dimensionamento e o sequenciamento integrados da produção de bebidas, mais especificamente a produção de refrigerantes. Esta programação é um processo árduo. A natureza combinatória do problema e a falta de sistemas computacionais específicos para tratar o problema em geral dificultam a realização desta atividade. O desenvolvimento de sistemas de apoio à decisão para produção de bebidas pode reduzir custos e aumentar produtividades, além de facilitar a análise de diferentes cenários, como os efeitos de incertezas na demanda dos produtos e de variações das capacidades produtivas, entre outros.
Na literatura há diversos trabalhos que modelam matematicamente apenas o dimensionamento dos lotes (e.g., Kuik et al., 1994; França et al, 1999; Pochet e Wolsey, 2006; Toledo e Armentano, 2006; Brahimi et al., 2006), e diversos trabalhos que modelam apenas o sequenciamento da produção (e.g., Manne, 1960; Hax e Candea, 1984; Pinedo, 1995; Cheng et al., 2004). Mais recentemente apareceram trabalhos que integram o dimensionamento e o sequenciamento dos lotes em um mesmo modelo matemático (e.g., Drexl e Kimms, 1997; Clark e Clark, 2000; Haase e Kimms, 2000; Karimi et al., 2003; Gupta e Magnusson, 2005). Uma maneira de sequenciar a produção dos itens é considerar o intervalo de tempo menor (dias, turnos, horas) e permitir que apenas um item seja produzido por período (modelo small bucket). Assim, sabe-se exatamente o que e quanto será produzido em cada
período. Esta estratégia é utilizada, por exemplo, em Fleishmann (1990) no modelo matemático conhecido por Problema Discreto de Dimensionamento e Sequenciamento de Lotes (DLSP - Discrete Lotsizing and Scheduling Problem).
Fleishmann e Meyr (1997) apresentam um modelo big bucket chamado Problema Geral de Dimensionamento e Sequenciamento de Lotes (GLSP - General Lotsizing and Scheduling Problem), que considera que vários itens podem ser produzidos por período. Porém, os períodos (macro períodos) são divididos em períodos menores (sub-períodos ou número de preparos do período), e em cada sub-período (que pode ter tamanho variável) apenas um item pode ser produzido, o que estabelece o sequenciamento dos lotes. Todas as variáveis são indexadas por sub-período, exceto as variáveis de estoque que continuam dependentes do macro período. A produção de um item em um período é igual à soma do que foi produzido daquele item em cada sub-período. O tamanho do sub- período é dado pelo tamanho do lote de produção, podendo inclusive ser nulo. Em Meyr (2000, 2002) o modelo GLSP é estendido para considerar tempos de troca dependentes do sequenciamento da produção e várias máquinas.
Modelos integrados de dimensionamento e sequenciamento da produção têm sido aplicados no estudo da programação da produção de algumas indústrias brasileiras. Alguns exemplos são Araújo et al. (2004), Toso e Morabito (2005) e Luche e Morabito (2005) aplicados nos setores de fundição, nutrição animal e grãos eletrofundidos, respectivamente. Poucos trabalhos na literatura tratam especificamente da programação da produção de refrigerantes, apesar da importância do setor na economia brasileira. Atualmente no Brasil existem mais de 800 fábricas de refrigerantes espalhadas pelo país, que geram mais de 60 mil empregos diretos e 520 mil indiretos, para a produção de 3.500 marcas diferentes. A cada ano, aumenta a fabricação de bebidas tais como: águas, chás, energéticos e principalmente refrigerantes. Dados da ABIR - Associação Brasileira das Indústrias de Refrigerantes e de Bebidas Não Alcoólicas - mostram que o setor de refrigerantes fechou o ano de 2006 com crescimento de 4.75% em relação a 2005, o que representa mais de 12 bilhões de litros de refrigerantes por ano (ABIR, 2007).
Na literatura, os trabalhos de Rangel e Ferreira (2003) e Clark (2003) apresentam modelos de otimização inteira mista para tratar apenas do dimensionamento de lotes neste setor. Em Ferreira et al.
(2007) foi estudado um problema de dimensionamento e sequenciamento da produção de refrigerantes em uma fábrica de pequeno porte por meio de um modelo de otimização baseado no modelo GLSP. O modelo considera apenas um estágio de produção, envase da bebida, tratado como gargalo da produção, com uma única linha de envase. Heurísticas do tipo relax and fix foram propostas para resolver o modelo. Um caso mais geral do problema considerando dois estágios de produção (preparo do xarope e envase da bebida) foi estudado em Toledo (2005) e Toledo et al. (2007). Foi proposto um modelo de otimização inteira mista que considera a sincronia entre os estágios, que é um aspecto importante em fábricas de médio e grande porte, com várias linhas de envase paralelas. Devido à
complexidade e dimensão do modelo (que envolve cerca de 65 famílias de restrições), foram propostas abordagens de solução por meio de algoritmos genéticos e meméticos (Toledo et al., 2006).
No presente trabalho também propomos um modelo otimização inteira mista, Modelo Dois Estágios Multi-Máquinas (P2EMM), que considera várias linhas de envase em paralelo e a sincronia entre os dois estágios de produção (preparo do xarope e envase da bebida). Apesar de admitir algumas hipóteses simplificadoras em relação ao modelo proposto em Toledo et. al. (2007), o modelo P2EMM também se mostrou de difícil solução para os sistemas de otimização de ultima geração (e.g., CPLEX).
Para resolvê-lo, são então estudadas diferentes abordagens de solução baseadas em uma estratégia de decomposição (ED) e uma estratégia de relaxação (ER) do modelo, combinadas com heurísticas relax and fix.
Na próxima seção deste artigo é descrito resumidamente o processo de produção de refrigerantes de acordo com a realidade de três fábricas de refrigerantes visitadas. A modelagem matemática é apresentada na Seção 3 e a metodologia de solução na Seção 4. Experimentos computacionais foram realizados para avaliar e comparar o desempenho das abordagens entre si e com a prática da empresa, e os resultados são analisados na Seção 5. Finalmente, na Seção 6 apresentamos as considerações finais e propostas de trabalhos futuros.
2. Processo de Produção de Refrigerantes
Conforme mencionado, a produção de bebidas possui dois estágios principais que são o preparo do xarope (sabor) e o envase da bebida pronta. O xarope é preparado em tanques especiais que possuem hélices para agitar o líquido. Uma quantidade mínima de xarope, suficiente para cobrir as hélices, deve ser preparada para garantir a homogeneidade do mesmo. Em geral, os tanques podem preparar qualquer sabor de xarope, mas na prática é comum as fábricas dedicarem alguns tanques só para o preparo dos sabores light e diet. Há necessidade de preparar o tanque antes de seu uso. Se o xarope a ser preparado for do mesmo sabor que o anterior, o tanque passa por um enxágüe rápido. Se o xarope for de sabor diferente, o tanque passa por uma limpeza mais demorada. Assim, toda vez que um xarope é produzido, há um tempo de preparo a ser considerado. O setor da fábrica onde estão situados os tanques é chamado de xaroparia.
Uma linha de envase é constituída por uma esteira rolante e diversas máquinas alinhadas em série. As máquinas são utilizadas para esterilizar os vasilhames, enchê-los com líquido (xarope e água gaseificada no caso dos refrigerantes), fechá-los, rotulá-los, codificá-los e empacotá-los. Ao final do processo, os pacotes de refrigerantes são colocados em paletes e estocados. Existe apenas uma entrada e uma saída de vasilhames. Há uma máquina na linha de envase, denominada proporcionador, que é utilizada para adicionar água ao xarope recebido dos tanques, transformando assim o xarope em bebida pronta.
As linhas de envase podem diferir de acordo com o tipo de embalagem. Linhas que envasam bebidas em embalagens plásticas (PET- Polietileno Tereftalato), não trabalham com vasilhames de
vidro, pois o processo de limpeza dos vasilhames de vidro é mais minucioso. As latas também são produzidas em linhas de envase específicas, e das etapas citadas anteriormente, não há a etapa de rotulação, pois as latas em geral, já vêm ilustradas. Além destas diferenças, as linhas que envasam garrafas PET, podem diferir pelo tamanho da embalagem PET. No mercado existem linhas de envase modernas que, além de encher todos os tamanhos de vasilhames, possuem um controle volumétrico de bebida, o que garante a quantidade exata de bebida na garrafa. No entanto, é comum nas fábricas as linhas que envasam apenas alguns tamanhos de vasilhames e possuem o controle de bebida sensorial.
Independente do número de tanques, cada linha de envase recebe xarope de apenas um tanque por vez, porém um tanque pode enviar xarope para mais de uma linha simultaneamente se elas estiverem envasando o mesmo sabor de bebida. O esquema do processo de produção de refrigerantes, ilustrado na Figura 1, mostra a ligação entre os tanques e as linhas de envase. Todas as M linhas recebem água de uma mesma fonte, e xarope de apenas um tanque por vez. O tanque N, por exemplo, pode enviar xarope para as linhas k e M ao mesmo tempo, enquanto estas linhas recebem xarope apenas deste tanque.
Figura 1. Estágios de xaroparia e envase de refrigerantes.
A cada troca de xarope nos tanques e/ou produto nas linhas é necessário um tempo de preparação (limpeza e/ou ajuste do maquinário) que depende da seqüência da produção. A programação da produção de refrigerantes envolve então a definição do tamanho dos lotes de produção e a sequência em que estes serão produzidos a cada período do horizonte de planejamento. A programação da produção é em geral feita para estoque, mas é comum a venda de grandes lotes de
Proporcionador (bebida)
Entrada de vasilhame Limpeza
Enchedora Capsulador
Rotulador Codificador Empacotador Paletização
Água tratada
Paletização Linha 1
Linha k Tanque
1
Tanque k
Tanque N
Envase Xaroparia
. . .
. . . . . .
Proporcionador (bebida)
Entrada de vasilhame Limpeza
Enchedora Capsulador
Rotulador Codificador Empacotador
Proporcionador (bebida)
Entrada de vasilhame Limpeza
Enchedora Capsulador
Rotulador Codificador Empacotador Paletização Linha M
Estoque
. . .
bebidas que devem ser entregues com urgência, e por isto às vezes são priorizados em relação aos outros produtos.
Outro fator fundamental na programação da produção de fábricas de médio-grande porte, além dos tempos e custos de trocas dependentes da sequência, é a sincronia entre os estágios de preparo de xarope e envase da bebida. Na prática, se o tanque não estiver com o xarope pronto para ser enviado para a linha de envase, esta deve aguardar até que o xarope esteja pronto. Do mesmo modo, o tanque só pode iniciar o envio de xarope para a linha de envase se ela estiver preparada. Assim, podem ocorrer esperas da linha de envase pelo tanque e do tanque pela linha de envase. As Figuras 2 e 3 representam situações onde o tanque e a linha de envase estão seqüenciados. No entanto, na Figura 2 não há sincronia entre os estágios. Os lotes de produção (retângulos) determinam os tamanhos dos lotes e o espaço entre eles define os tempos de troca de um refrigerante para outro na linha de envase, ou troca de um xarope para outro no tanque. Os tipos de refrigerantes são representados por números (1, 2 e 3) e os tipos de xaropes por letras (a e b).
Na Figura 3 os retângulos de cor preta são os tempos de espera. Observe na Figura 2 que, no início do horizonte de planejamento, o tanque precisa de tempo para preparar o xarope a, enquanto a linha de envase está adiantada e já iniciou a produção do refrigerante 1. Na primeira troca (xarope a para b e refrigerante 1 para 2), apesar do tempo de troca ser o mesmo no tanque e na linha, a produção na linha continua adiantada por não ter considerado a espera do lote anterior. Na troca do refrigerante 2 para 2 e do xarope b para b, o início da produção na linha de envase não considerou o tempo de preparo do segundo tanque de xarope (este tipo de troca pode ocorrer caso seja necessário mais de um tanque de xarope para produzir o lote). A seguir foi feita na linha de envase a troca do refrigerante 2 para 3, mas o sabor dos refrigerantes é o mesmo, xarope b. Neste caso, o tempo de troca no tanque é menor que o da linha de envase, assim o tanque deveria esperar a linha de envase estar pronta para liberar o xarope. Se forem consideradas as esperas, a programação sincronizada seria como na Figura 3. Observe que após fazer a sincronia, a capacidade disponível diminui e o sequenciamento proposto ultrapassa a capacidade disponível. A sincronia deve ser então considerada no momento em que está sendo estabelecido o dimensionamento e o sequenciamento da produção.
Figura 2. Programação não sincronizada.
a b b
1 2 2 3
Subp. 1 Subp. 2 Subp. 4
Tanque
Linha
b
Subp. 3
Figura 3. Programação sincronizada.
O processo de fabricação de refrigerantes descrito anteriormente é comum às três fábricas visitadas entre 2001 e 2006. O que difere estas empresas uma da outra é principalmente o número de produtos, a capacidade de produção (o número de tanques e de linhas de envase) e o grau de informatização. A Fábrica A, de médio-grande porte, produz mais de 100 itens caracterizados pela embalagem e sabor da bebida (por exemplo, o refrigerante de 600ml sabor laranja é um item e o refrigerante de 2l do mesmo sabor é outro), possui nove tanques com capacidades diferentes, e sete linhas de envase com capacidades diferentes. A Fábrica B (de médio porte) produz 48 itens, possui sete tanques e três linhas de envase com capacidades diferentes. A Fábrica C (de pequeno porte) produz 27 tipos de itens, possui duas linhas de envase, uma apenas para embalagens PET e a outra apenas para embalagens de vidro, e há vários tanques dedicados para cada linha. Note que no caso da fábrica C, a sincronia entre tanque e linha deixa de ser relevante para a modelagem porque cada linha dispõe de vários tanques dedicados e é o gargalo de produção, e assim, o problema a ser considerado pode ser reduzido a um estágio. Este problema foi objeto de estudo em Ferreira et al. (2007).
A Fábrica A possui um sistema de informação gerencial que interliga os diversos setores da empresa (e.g. vendas, compras, planejamento e controle da produção, logística, etc.), e a programação da produção é realizada com ajuda de softwares. Um primeiro sistema faz o pré-dimensionamento dos lotes considerando apenas a capacidade das linhas de envase. Um segundo sistema faz o ajuste do dimensionamento obtido considerando a capacidade dos tanques e o nível de estoque. Um terceiro sistema faz o sequenciamento da produção. Diversos ajustes manuais são ainda realizados para considerar restrições não incluídas nos sistemas, por exemplo, manutenção de máquinas e urgência de alguns pedidos. As Fábricas B e C fazem toda a programação da produção manualmente, sem ajuda de softwares específicos. Mais detalhes dos processos de produção destas fábricas podem ser obtidos em Ferreira (2006).
3. Modelo Dois Estágios Multi-Máquinas - P2EMM
O problema de programação da produção de refrigerantes pode ser enunciado da seguinte maneira. Defina o tamanho e a sequência dos lotes, considerando a sincronia entre os dois estágios da produção (xaroparia e envase), demanda dinâmica, capacidades dos tanques e das linhas de envase, tempos de preparo dependentes da sequência, de forma a minimizar o custo total de produção. Apesar de nas Fábricas A e B um tanque poder atender simultaneamente mais de uma linha por vez, uma
a b b
1
Subp. 1 Subp. 2 Subp. 4
Tanque
Linha
b
Subp. 3
2 2 3
simplificação está sendo considerada no modelo a seguir de que cada linha possui um tanque dedicado (e, portanto, N=M). Foi observado a partir dos trabalhos de Toledo (2005) e Toledo et al. (2007) que a consideração do número de tanques diferente do número de linhas resulta num número muito alto de variáveis e restrições. Além disto, na prática, cada linha recebe xarope de apenas um tanque por vez. O modelo a seguir considera cada linha como sendo uma única máquina. O seguinte conjunto de parâmetros define o tamanho do problema:
Tamanho do Problema
J = número total de refrigerantes (itens);
L = número total de sabores de xarope;
M = número total de linhas de envase (máquinas) e tanques;
T = número total de macro-períodos;
N = número total de sub-períodos (i.e. número total de preparos em cada macro-período).
Seja (i, j, k, l, m, t, s) o conjunto de índices definido como:
Índices:
) ...
1 (
,j J
i ∈ = itens;
) ...
1 ( T
t∈ = períodos;
) ...
1 ( N
s∈ = sub-períodos;
) ...
1 (
,l L
k ∈ = sabor dos xaropes;
) ...
1 ( M
m∈ = máquinas e tanques;
e suponha que os seguintes conjuntos são conhecidos:
Conjuntos
St = conjunto dos sub-períodos do período t;
λj = conjunto de todas as máquinas que podem produzir o item j;
αm = conjunto de todos os refrigerantes que podem ser produzidos na máquina m.
βm = conjunto de todos os xaropes que podem ser preparados no tanque m.
γml = conjunto de todos os refrigerantes que podem ser produzidos na máquina m e utilizam o xarope l.
A seguir os dados e variáveis com o sobrescrito I se referem ao estágio de xaroparia do processo de produção e os com o sobrescrito II se referem ao estágio de envase:
Dados
djt = demanda do item j no período t;
hj = custo de estocar o item j;
gj = custo de atrasar a entrega do item j;
II
sij = custo de fazer a troca do item i para j;
I
skl = custo de fazer a troca do xarope k para l;
II
bij = quantidade consumida de tempo para fazer a troca de produção do item i para j;
I
bkl = quantidade consumida de tempo para fazer a troca do xarope k para o xarope l;
II
amj = quantidade consumida de tempo para produção de uma unidade do item j na máquina m;
II
Kmt = capacidade de tempo disponível na máquina m para envase no período t;
I
Km = capacidade do tanque m;
I
qls = quantidade mínima do xarope l a ser preparada nos tanques no sub-período s.
rlj = quantidade consumida de xarope l para produção de uma unidade do item j;
Variáveis:
I+jt = estoque do item j no período t;
I−jt = quantidade em atraso do item j no período t;
II
xmjt = produção da máquina m do item j no sub-período s;
II
vms = tempo que a máquina m no sub-período s ficou aguardando o preparo do tanque;
= 0casocontrário
período -
sub no item do produção para
preparada está
linha a se
1 m j s
ymjsII
1 se há produçao no tanque do xarope no sub-período ; y = 0 caso contrário.
Imls
m l s
= 0casocontrário
período -
sub no item o para item do máquina na
troca há se
1 m i j s
zmjsII
1 se há troca no tanque do xarope para o xarope no sub-período ;
z =
0 caso contrário;
mklsI m k l s
Para sincronizar os dois estágios da produção, é necessário incluir o conjunto de variáveis não- negativas vmsII ,m=1... , M s =1...N (tempo de espera da máquina), que indica o tempo que a máquina m aguarda até que o preparo do tanque no sub-período s seja concluído. O tempo de espera da máquina m no sub-período s é igual à diferença entre o tempo de troca do xarope no tanque e o tempo de troca do item na máquina:
m m m m
II I I II II
ms kl mkls ij mijs
k l i j
v b z b z
β β α α
∈ ∈ ∈ ∈
≥ − , m =1...M, s=1...N.
É interessante lembrar aqui que, em cada sub-período s, pode haver produção de um único xarope (item). Se o tempo de troca do item na máquina for maior do que o tempo de troca do xarope no tanque, esta variável se anula e apenas o tempo de troca de item na máquina é computado na restrição de capacidade da máquina. Caso contrário, o tempo de espera total também deve ser considerado. O modelo de otimização inteira mista, chamado simplesmente de modelo Dois Estágios Multi-Máquinas (P2EMM), para a programação da produção de refrigerantes é então composto pela função objetivo (1) e pelas restrições (2)-(17) apresentadas a seguir.
(1) J
1 t 1 1 1 1 1
Z= ( )
m m m m
T M N M N
II II I I
j jt j jt ij mijs kl mkls
j m s i j m s k l
Min h I g I s z s z
α α β β
+ −
= = = = ∈ ∈ = = ∈ ∈
+ + +
Sujeito a:
Estágio I (Xaroparia) (2)
∈ ml
j
mjsII jlx r
γ ≤K ym mlsI I , m=1... , M l∈βm,s=1,..., ;N (3)
∈ ml
j
II mjs jlx r
γ
≥ qlsI ymlsI , m=1... ,M l∈βm,s=1,..., ;N (4)
∈
∈ − ≥
m
m l
I mls l
I s
ml y
y
β β ( 1)
m=1,...,M; t =1...T,s S∈ −t { }Pt ;
(5) zmklsI ≥ ymk sI ( 1)− +ymlsI −1 m=1,..., ; ,M k l∈βm;s=2,..., ;N
(6) ( 1) 1
mk
I II I
mkls mj s mls
j
z y y
γ −
∈
≥ + − m=1,..., ; ,M k l∈βm;t=2,..., ;T s P= t;
(7) 1 1
m
I I
mkl ml
k
z y
β
∈
≥ m=1,...,M , l∈βm;
(8) 1
m m
I mkls
k l
z
β β
∈ ∈
≤ m=1,...,M; t =1...T,s S∈ t; Estágio II (Envase)
(9) I+j(t−1)+I−jt+
∈ j∈ t
m s S
II
xmjs λ
=I+jt+I−j(t−1)+djt, j=1,...,J, t =1 T,..., ;
(10)
m t m m t t
II II II II II II
mj mjs ij mijs ms mt
j s S i j s S s S
a x b z v K
α α α
∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈
+ + ≤ , m=1,...,M; t=1... ;T
(11)
m m m m
II I I II II
ms kl mkls ij mijs
k l i j
v b z b z
β β α α
∈ ∈ ∈ ∈
≥ − , m=1...M, s=1...N.
(12) II mjsII
j mtII
mjsII y
a
x ≤ K , m=1,...,M; j∈αm; t=1...T,s S∈ t;
(13) =1
∈ m j
mjsII
y
α , m=1...M, s=1...N;
(14) zmijsII ≥ ymiII(s−1)+ymjsII -1, m=1,...,M;i, j∈αm;s=2,..., ;N (15)
∈ m ∈ m
i j
mijsII
z
α α
≤1, m=1,...,M , s=1,...,N;
(16) 1 1
m
II II
mij mj
i
z y
∈α
≥ m=1,...,M; j∈αm;s=1,..., ;N (17) I+jt, I−jt≥0, j=1,...,J,t =1,...,T ; xmjsII , vmsII , zmijsII , zmklsI ≥0; ymjsII , ymlsI =0/1,
, ,...,
1 M
m= ie j∈αm,kel∈βm,t =1,...,T, s∈St.
O critério de otimização (1) é minimizar os custos de estoque, atraso e troca. No estágio I, o termo
∈ml j
II mjs jlx r
γ
é a demanda do segundo estágio, ou seja, é a quantidade de xarope l a ser preparada no tanque m no sub-período s. Este termo substitui a utilização de uma variável x específica para mlsI designar o lote de xarope. As restrições (2) junto com as restrições (3) garantem que se houver preparo do tanque m para o xarope l (ymlsI =1), então o xarope l será produzido em quantidade suficiente para garantir a homogeneidade do líquido, sem exceder a capacidade do tanque. A restrição (4) ordena a produção em sub-períodos consecutivos dentro de cada macro período. A restrição (5), equivalente à restrição (14) do estágio II, controla a troca de xarope no tanque. Observe que no estágio I o preparo do tanque não se mantém. Isto faz com que, se antes de um sub-período de produção ocorrer um sub-período ocioso, a restrição (5) não será ativada, deixando de contar uma troca de xarope. Tendo em vista que a restrição (4) ordena a produção, este problema pode ocorrer apenas na troca entre macro períodos. Para evitá-lo foi inserida a restrição (6) que, por estar em função também do preparo da máquina, sempre indica qual foi o xarope preparado no último sub-período de cada macro período. A restrição (7) garante que será contado o primeiro preparo de xarope do horizonte de planejamento. A restrição (8) é semelhante a (15), e limita o número de trocas por sub-período.
A restrição (9) diz respeito ao balanceamento entre estoque e produção. Como a variável de produção está definida em termos dos sub-períodos do período t, é necessário somar a produção de todas as máquinas em todos sub-períodos s∈St. A restrição (10) garante que o tempo de produção mais o tempo gasto para as trocas de refrigerantes, e o tempo de espera da máquina não excederão a capacidade de tempo do período t da máquina m. Sendo que o tempo de espera da máquina é a diferença entre o tempo de troca na máquina e troca do tanque, restrição (11). A restrição (12) garante que não haverá produção caso a máquina m não esteja preparada. A restrição (13) estabelece que a máquina sempre estará preparada para produzir exatamente um refrigerante por sub-período. A restrição (14) controla a troca de refrigerantes. Pode ocorrer apenas uma troca por sub-período, restrição (15). A restrição (16) é similar à restrição (7) e estabelece a troca no primeiro sub-período do horizonte de planejamento. As restrições (17) definem o domínio das variáveis. Note que as variáveis
zmklsI e zIImijs são contínuas. As restrições (5) e (14) e a minimização dos custos de troca de refrigerantes e xaropes garantem que essas variáveis assumam apenas os valores 0 ou 1.
O modelo P2EMM é facilmente adaptável para representar particularidades de diferentes fábricas de refrigerantes. No estudo realizado para validar o modelo (ver Seção 5) foram usados dados da Fábrica A. Nesta fábrica existe um sabor de xarope (p) cuja demanda é muito superior à dos demais, e seu tempo/custo de preparo é alto. Portanto, este xarope é produzido continuamente. Para representar essa situação no Modelo P2EMM, as restrições (2) e (3) não são geradas para l= p. Note que se a variável de preparo associada é igual a zero (ympsI =0), não é possível produzir nenhum item que utilize este xarope (pois ympsI =0 xmjsII =0,∀j∈γmp). Como este xarope não é preparado nos outros tanques, o tempo de troca deste xarope para outros (e vice-versa) foi considerado nulo. Não há mudanças na linha de envase relativas à produção de refrigerantes deste sabor. Essa empresa também estabelece como meta que o estoque de refrigerantes ao final de um período (e.g., semana) deve ser suficiente para cobrir a demanda do próximo período. Neste caso há necessidade de incluir uma restrição adicional:
(18) Ijt+ ≥ dj t( 1)+ , j=1,...,J; t=2,...,T+1.
Em alguns ambientes industriais, o estágio da xaroparia em geral não representa um gargalo para a produção. Isto é, os tempos de preparo dos tanques podem ser desconsiderados uma vez que a capacidade instalada na xaroparia em geral é suficiente para que o xarope de um determinado sabor esteja pronto sempre que necessário. Neste caso, não é preciso haver controle de trocas no estágio I, apenas a quantidade mínima e máxima de xarope no tanque deve ser respeitada. A sincronia entre os estágios xaroparia e envase também pode ser desconsiderada. A aplicação do modelo P2EMM à essa realidade é obtida simplesmente eliminando do estágio I todas as variáveis, exceto a variável de preparo, ymlsI =0, e todas as restrições, exceto as restrições de quantidade mínima e máxima de xarope no tanque (2) e (3). A variável de espera da máquina pelo tanque, que garante a sincronia entre os dois estágios, vmsII também não é necessária. Assim, a restrição que calcula o tempo de espera do estágio II, (11), é removida e a restrição de capacidade, (10), é modificada para:
(10a)
m t m m t
II II II II II
mj mjs ij mijs mt
j s S i j s S
a x b z K
α α α
∈ ∈ ∈ ∈ ∈
+ ≤ , m=1...M, t =1...T .
Com essas modificações, obtemos um novo modelo, chamado simplesmente de modelo Um Estágio Multi Máquinas (P1EMM), que representa a realidade de ambientes produtivos onde a xaroparia não é um gargalo na produção, composto pela função objetivo (1a):
(1a) J
1 t 1 1 1
Z ( )
m m
T M N
II II
j jt j jt ij mijs
j m s i j
Min h I g I s z
α α
+ −
= = = = ∈ ∈
= + + ,
e pelas restrições (2), (3), (9), (10a), (12)-(17).
4 Abordagens de Solução
A solução do modelo P2EMM usando sistemas de otimização de última geração (e.g. CPLEX (ILOG, 2001) descrita na Seção 5 foi insatisfatória e indicou a necessidade de se desenvolver métodos de solução específicos. Nesta seção descrevemos três abordagens de solução baseados em modelos de otimização para a solução do problema integrado de dimensionamento e sequenciamento da produção de refrigerantes: Estratégia de Decomposição (ED), Estratégia de Relaxação (ER) e heurística relax and fix (RF).
4.1 Estratégia de Decomposição
A estratégia de decomposição (ED) surgiu da observação da prática realizada em uma das empresas visitadas. Na Fábrica A, as linhas de envase produzem conjuntos específicos de bebidas, ou seja, a menos de competirem pela xaroparia, a maioria as linhas de envase podem ser consideradas independentes, pois apenas para algumas delas os conjuntos α1,α2,..., αM possuem interseção diferente de vazio. Se considerarmos que cada uma das linhas de envase (máquinas) no modelo P2EMM produz um conjunto específico de itens, o modelo pode ser decomposto em M modelos independentes, um para cada valor de m. Cada um desses submodelos pode ser considerado como um modelo Dois Estágios Uma Máquina (P2E1M). Nos casos onde há mais de uma máquina que pode produzir um mesmo item, a programação da produção deve indicar, além dos tamanhos e da sequência de produção dos lotes, a máquina onde os lotes devem ser produzidos. A proposta então é resolver o problema em duas fases. Na primeira fase, a demanda dos itens é distribuída entre as máquinas, e na segunda fase é realizado o sequenciamento e o dimensionamento integrados em cada uma das máquinas pela solução de M modelos P2E1M.
Para fazer a distribuição da demanda dos itens nas máquinas, é possível utilizar um modelo de dimensionamento de lotes capacitado (PDL). Um novo conjunto de variáveis demmjt é definido para determinar a demanda de cada item j em cada período t em cada uma das m máquinas. As variáveis de estoque e atraso são definidas por máquina e se tornam, Imjt+ e Imjt− . A relaxação linear do PDL é fácil de ser resolvida, e fornece as demandas de cada item em cada máquina para a segunda fase. Note que o sequenciamento dos lotes é desconsiderado nesta fase. A variável demmjt será um parâmetro para a segunda fase. O modelo PDL é formado pela função objetivo (19) e pelas restrições (20)-(24).
Modelo PDL
Variáveis adicionais:
Imjt+ = estoque na máquina m do item j no período t;
Imjt− = quantidade em atraso na máquina m do item j no período t;
demmjt= demanda a ser produzida na máquina m do item j no período t.
(19)
1 1 1
Z= M J T ( j mjt j mjt)
m j t
Min h I+ g I−
= = =
+ Sujeito a:
Estágio I (Xaroparia)
(20) ,
ml
II I
jl mjt m t
j
r x K S
∈γ
≤ m=1.. , M l =1.. , L t=1.. ;T Estágio II (Envase)
(21) mjt jt,
m
dem =d j=1.. , J t=1..T;
(22) Imj t+( 1)− +xmjtII +Imjt− −Imjt+ −Imj t−( 1)− =demmjt, m=1.. , M j=1.. , J t=1.. ;T (23)
1 J ,
II II II
j mjt mt
j
a x K
=
≤ m=1.. , M t =1..T; (24) Imj+0 =Imj−0 =0; Imjt+ , Imjt− , xmltI , xmjtII , demmjt ≥0; m=1.. , ,M i j=1.. , ,J k l=1.. , L t=1.. .T
O critério de otimização (1) é minimização dos custos de estoque e atraso. A capacidade total do tanque no período t é dada por seu volume máximo KmI St , pois |St| representa o número de vezes que é possível preparar o tanque no período. Assim, a restrição (20) garante que a capacidade dos tanques não será excedida. Por não estarem sendo consideradas as variáveis de preparo do tanque, não é possível definir a produção mínima de xarope. As restrições (21) e (22) garantem o balanceamento entre produção e estoque. A restrição (23) garante que a capacidade das máquinas seja respeitada.
A estratégia de decomposição pode ser resumida no Algoritmo ED descrito na Figura 4. Após a solução dos M modelos P2E1M na Fase II, calcula-se os custos totais de estoque, atrasos, trocas de bebidas nas linhas e trocas de xaropes nos tanques, somando os respectivos custos obtidos pelas soluções de cada um dos M modelos. O dimensionamento e sequenciamento dos lotes do problema são determinados pelo dimensionamento e o sequenciamento que os M modelos P2E1M fornecem para cada máquina.
Algoritmo ED
Fase I – Resolva o modelo PDL.
Fase II – Se PDL é viável faça Para m=1...M faça
Resolva P2E1M considerando para cada máquina m os itens e demandas definidos na Fase I.
Figura 4 –Algoritmo ED
