31cos x  21 senx 

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 1ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU

www.professorwaltertadeu.mat.br

RELAÇÕES FUNDAMENTAIS – LIVRO DANTE (VOLUME ÚNICO) – PÁGS 221 E 222 - GABARITO 1) Determine os valores das demais funções trigonométricas de um arco x quando:

Relações conhecidas: sen²cos² 1, tg²1sec²,



  cos

tg  sen , ^{cotg } _tg¹_ ^ _sen^cos_^ ,

  cos

sec  1 , cotg²1cossec² e

  sen sec 1

cos  .

a) 2

1



senx e  2

2

3  x .

Solução. O arco é do 4º quadrante. Observando os sinais das funções neste intervalo, temos:

i) cosx:

2 3 4 cos 3 4 1 1 cos 1 2 cos

1 1

cos ^{2 2}

2 2

2         



 







 x x x x

x sen

ii) tgx: 3

3 3

. 3 3 1 3 1 3 . 2 2 1 2

3 2 1

cos     



 x

tgx senx

iii) secx: 3

3 2 3 . 3 3 2 3 2 2

3 1 cos

sec  1    

x x

iv) cotgx: 3 ³

3 3 3 . 3 3 3 3 3 3

3 1

cot 1    





tgx gx

v) cossecx: 2

2 1 1 sec 1

cos 





 senx x

b) 3

cosx  1 e

0x2 .

Solução. O arco é do 1º quadrante. Observando os sinais das funções neste intervalo, temos:

i) senx:

3 2 2 9 8 9

1 1 3 1

1 1

cos ²

2 2

2

2        



 









 x sen x sen x senx

x sen

ii) tgx: 2 2

1 .3 3

2 2 3 13 2 2

cos   

 x

tgx senx

iii) secx: 3

3 1 1 cos

sec  1  

x x

iv) cotgx:

4 2 2 . 2 2 2

1 2 2

1

cot  1   

gx tgx

v) cossecx: 4 2 3 2 . 2 2 2

3 2 2

3 3

2 2

1 sec 1

cos     

x senx

c) cossecx 2 e

2

 x 3 .

Solução. O arco é do 3º quadrante. Observando os sinais das funções neste intervalo, temos:

i) senx:

2 2 2

. 2 2 1 2 1 sec

cos

1 

 

 

 x

senx

ii) cosx: ^{cos 1} ₂^{2 cos2 1 cos2 1} ₄^{2 cos} ₄² ₂²

2 2

2         











 x x x x

x sen

iii) tgx: 1

2 2 2

2

cos 







 x

tgx senx

iv) secx: 2 ²

2 2 2 . 2 2 2 2 2 2

2 1 cos

sec 1    





 x

x

v) cotgx: ^cotgx_tgx^{1 }₁^11

d) tgx 3 e

0x2 .

Solução. O arco é do 1º quadrante. Observando os sinais das funções neste intervalo, temos:

i) secx: ^{sec2x1tg2xsec2x1} ^{3 2 sec2x13secx 42}

ii) cosx:

2 1 sec cos  1 

x x iii) senx:

2 3 4 3 4

1 1 2 1

1 1

cos ²

2 2

2

2        



 









 x sen x sen x senx

x sen

iv) cossecx: 3

3 2 3 . 3 3 2 3 2 2

3 1 sec 1

cos     

x senx

v) cotgx:

3 3 3 . 3 3 1 3 1

cot  1   

gx tgx

2) Sendo

5 cosx  4 e

0x2 , calcule o valor de sen²x3senx.

Solução. O arco é do 1º quadrante. Calculando o valor de senx e substituindo, temos:

25 36 25

45 9 5 9 25

9 5 3 3 25 3 9

:

5 3 25

9 25

1 16 5 1

1 4 cos

2

2 2

2 2

2



 









 



 

















 



 











senx x

sen Logo

senx x

sen x

sen x

x sen

3) Sabendo que

5

cosa 5 e  a

2 , calcule o valor de 1sena .1sena.

Solução. O produto indicado é a diferença de quadrados do tipo (a + b) (a – b) = a² – b². O arco é do 2º quadrante. Temos:

   

5 1 25

5 5

cos 5 1

1 . 1

2 2

2   

















sena sena sen a a .

4) Dado

2

cosx 2 , com

0x2 , determine o valor de secxcossecx.

Solução. O arco é do 1º quadrante. Substituindo as relações conhecidas e calculando a soma, temos:

2 2 2

2 4 2 . 2 2 4 2 4 2 2 2 2 1 cos sec 1

cos sec

2 2 4 2 4

1 2 2 1

1 2

cos ²

2 2

2 2































 















senx x x

x

senx x

sen x

sen x

x sen

5) Se

2 cosa 1 e

0a2 , qual é o valor da expressão

a a

sena y a

cos sec

sec cos



  ?

Solução. O arco é do 1º quadrante. Substituindo as relações conhecidas e calculando o quociente, temos:

9 3 3 . 3 3 3

1 3 3

1 3 .2 3 2

1 2

3 3 2

1

2 1 4

3 2

3 4

2 2 1

2 3 3 2

cos cos 1 1 cos

sec sec cos

2 3 4 3 4

1 1 2 1

1 1

cos ²

2 2

2 2









 















 

 













 



 











a a sena sena a

a

sena y a

sena a

sen a

sen a

a sen

6) Simplifique as expressões:

a) ^{y sec}₁^x_^_cot^cos_gx^secx b) ysecxcosx .cossecxsenx .tgxcotgx

Solução. Expressando os termos em senos e cossenos, temos:

a) x

x x

senx senx x

senx senx x

senx x senx

senx x senx

x senx

x senx

senx x senx

y x sec

cos 1 cos

. . cos

cos .

cos cos

cos .

cos 1 cos

1 cos

1





 

 









 

b)

 

 cos  1

cos cos

cos cos

. cos cos cos

. cos cos

cos

cos . cos

cos

cos cos

cos cos

. cos cos

cos cos

1

cos cos cos

cos cos

cos 1 cos

cos cos 1

cos 1

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

2









 



 





 



 





 



 



 







 



 



 



  





 



 



 



   





 



 



 



   





 



 



 



 



 



 



x x

sen y

senx x senx x

x x sen senx

x x

x senx senx senx

x x

senx x

senx x x y sen

senx x x

senx x

senx

x x sen x x

senx x x

senx x

senx

x x sen x x

y sen

senx x x

x senx senx senx

x x

senx x

senx senx

x x

senx senx x senx

y x

7) Determine o valor de

x x

A gx

sec sec

cos

1 cot



  , dado

2 cosx 1 .

Solução 1. Expressando A em senos e cossenos e substituindo o valor de cosx ao final, temos:

2 cos 1 cos

. cos

cos . .

cos cos

. cos cos

cos 1 1

cos 1 sec

sec cos

1

cot   



 











 

  x

senx x senx senx

x x senx senx

senx x x

senx senx x senx

senx x

x senx

senx x x

x A gx

Solução 2. Calculando os valores das funções e substituindo na expressão, temos:

i) 2

3 4 1 3

2 1 1

cos

2 2

2

2     



 









 x sen x senx

x sen

ii) 3

3 2 3 . 3 3 2 3 sec 2

cos x  

iii) 3

3 3 . 3 3 1 3 1 3 . 2 2 1 2

3 2 1

cot cos     

senx gx x

iv) 2

cos sec  1 

x x

Logo, ^{33 3.2 33 6 2 33 36 2}



^{33 33}



¹²

3 6 3 2

3 3 3 3 2

3 2

3 1 3

 

 



 



 











 A

8) Dado

3

 1

senx , com  x

2 , determine o valor de ^cotgx.

Solução. O arco é do 2º quadrante. Substituindo as relações conhecidas, temos:

2 1 2

.3 3

2 2 3

13 2 2 cot cos

3 2 2 9 cos 8 9 1 1 cos 1 3 cos

1 1

cos ²

2 2

2































 



 









senx gx x

x x

x x

x sen

9) Para

2

cosx 1, qual é o valor da expressão ^{y cos}_cot^sec_gx^x_.sec^senx_x ^secx?

Solução 1. Expressando A em senos e cossenos e substituindo o valor de cosx ao final, temos:

4 9 1 .2 8 9 2 1 8 9

2 1 8 1 1

2 1 2 1 1

cos 1 cos . 1

cos .

1 cos 1cos

. 1 cos 1 .cos

1 cos

1 .cos 1 1

cos . 1

cos cos

. 1 cos 1

sec . cot

sec . cot sec

sec cos sec

. cot

sec cos

3

3 3

3 2

2

2 2











 



 







 

 









 







 

 

 



y

x x senx

x senx

x senx

x senx

x

senx

x senx senx

x

senx

x senx senx

x sen y

x senx

x senx x

senx x senx x

gx

x gx senx

x x x

gx

senx y x

Solução 2. Calculando os valores das funções e substituindo na expressão, temos:

i) 2

3 4 1 3

2 1 1

cos

2 2

2

2     



 









 x sen x senx

x sen

ii) 3

3 2 3 . 3 3 2 3 sec 2

cos x   iii) 3

3 3 . 3 3 1 3 1 3 . 2 2 1 2

3 2 1

cot  cos     

senx gx x

iv) 2

cos sec  1 

x x

Logo,

4 9 4

8 2 1 4 2 1 3 12

3 2 3 3 2 . 3 6 2 3 3

3 2

6 3 2 3

3 2

6 3 3 3 4 2 2 3 .

3 2

3 3

3 2

 

























 

 A

10) Calcule o valor de y  senx.cosx sabendo que ^{tgxcotgx2}.

Solução. Desenvolvendo a soma mostrada em senos e cossenos substituindo depois em “y”, temos:

2 cos 1 .

2 cos 1 cos

2 1 cos 2

. 2 cos

cos 2 cos

cot

2 2













 













x senx y

x senx x

x senx senx

x x

sen senx

x x

gx senx tgx

11) Escreva a expressão ^{y senx.tgx2cosx} em função de cosx. Solução. Expressando todos os termos em cossenos, temos:

x y x

x x x

x x x

x sen x

x x sen x

senx senx x

tgx senx y

cos cos 1

cos cos 2 cos 1 cos

cos cos 2

cos 2 cos

cos 2 . cos

2 .

2

2 2

2 2

2

 



 

 













12) Se msenxcosx e nsenxcosx, prove que m²n² 2.

Solução. Calculando os quadrados de “m” e “n” e efetuando a soma, temos:

 

 

2 1 1 cos . 2 1 cos . 2 1

cos . 2 1 cos . 2 cos cos

cos . 2 cos

cos . 2 1 cos . 2 cos cos

cos . 2 cos

2 2

2 2

2 2 2

2

2 2

2 2 2

2

















 

 











































x senx x

senx n

m

x senx x

senx x

x sen x x

senx x

sen x

senx n

x senx x

senx x

x sen x x

senx x

sen x

senx m

13) Se t

x tgx senx 

cos , escreva a expressão

x x

sen

x senx x

y sen _{2 2}

2

cos cos .



  em função de t. (Sugestão: use a fatoração no numerador e denominador da fração.

Solução 1. Colocando em evidência senx no numerador e expressando o denominador como produto da soma pela diferença, temos:

 

      1

cos cos . cos

cos cos

. cos .

cos

cos cos

cos .

2 2

2

 



 



 

 

 



 



 

t t x x x

senx x senx x

senx senx x

senx x senx

x senx

senx x

x sen

x senx x y sen

OBS: Dividindo todos os termos de senx x

senx

cos por cosx, não alteramos o resultado. Observe ainda que cosx é diferente de zero, pois tgx = t (existe), possibilitando, assim, a divisão.

Solução 2. Escrevendo senxt.cosx e substituindo na expressão, temos:

   

  ^{ }

 

 1 . 1 1

1

1 1 1

cos

1 cos

cos cos

.

cos . cos . cos

cos .

cos . cos cos

. cos

cos .

2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 2

 





 



 



 



 



 



 

t t t

t t y t

t t t t

x t x t x x

t

x t x t

x x

t

x x t x t

x x

sen

x senx x y sen

OBS: Foi possível cancelar cos²x no numerador e denominador, pois é diferente de zero (tgx existe).