Algoritmos de ordenação: Bubblesort e Mergesort

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Algoritmos de ordenação:

Bubblesort e Mergesort

Algoritmos e Estruturas de Dados I

Natália Batista

https://sites.google.com/site/nataliacefetmg/

nataliabatista@decom.cefetmg.br

2º semestre/ 2017

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS

Slides adaptados dos slides do livro texto (Ziviani) e dos slides de aula dos professores Davi Menotti (DECOM/UFOP), Antônio Alfredo Ferreira Loureiro (DCC/UFMG) e Jairo Francisco de Souza (UFJF).

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2 1. Bubblesort

 Princípio:

 Chaves na posição 1 e 2 são comparadas e trocadas se estiverem fora de ordem.

 Processo é repetido com as chaves 2 e 3, até

n − 1 e n.

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3 1. Bubblesort

 Método da Bolha.

 Se desenharmos o vetor de

armazenamento verticalmente, com A[n] em cima e A[1] embaixo, durante um passo do algoritmo, cada registro

“sobe” até encontrar outro com chave maior, que por sua vez sobe até

encontrar outro maior ainda, etc, com um movimento semelhante a uma bolha subindo em um tubo de ensaio.

Fonte: http://clipart-library.com/data_images/27367.jpg

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4 1. Bubblesort

 Algoritmo: **void Bubblesort(int *A, int n)** {

int i, j;

int aux;

for (j=0; j<n-1; j++){

for (i=0; i<n-1; i++){

if (A[i] > A[i+1]){

aux = A[i];

A[i] = A[i+1];

A[i+1] = aux;

}

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5 1. Bubblesort

 Exemplo: considere um vetor com 8 elementos (numerados de 1 a 8).

1 2 3 4 5 6 7 8

44 55 12 42 94 18 6 67

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6 1. Bubblesort

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7 1. Bubblesort

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8 1. Bubblesort

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9 1. Bubblesort

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10 1. Bubblesort

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11 1. Bubblesort

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12 1. Bubblesort

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13 1. Bubblesort

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14 1. Bubblesort

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15 1. Bubblesort

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16 1. Bubblesort

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17 1. Bubblesort

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18 1. Bubblesort

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19 1. Bubblesort

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20 1. Bubblesort

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21 1. Bubblesort

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22 1. Bubblesort

(23)

23 1. Bubblesort

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24 1. Bubblesort

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25 1. Bubblesort

As iterações continuam de forma semelhante...

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26

(27)

27 As iterações continuam mas o vetor já está ordenado...

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28 1. Bubblesort

 Este método faz tantas trocas que o tornam o mais ineficiente de todos os métodos simples ou diretos.

 Método lento:



Só compara posições adjacentes.

 Cada passo aproveita muito pouco do que foi

“aprendido” sobre o arquivo no passo anterior.

 Comparações redundantes em excesso

devido a uma sequência fixa de comparações.

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29 1. Bubblesort

 Melhor caso: C(n) = O(n ² )

 Ocorre quando o arquivo está completamente ordenado, fazendo n − 1 comparações e

nenhuma troca em cada iteração do anel externo.

 Pior caso: C(n) = O(n ² )

 Ocorre quando o arquivo está em ordem reversa,

ou seja, quando o k-ésimo passo faz n − k trocas

em cada iteração do anel externo.

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30 1. Bubblesort

 Outras versões melhoradas do Bubblesort são mais eficientes:

 O(n) no melhor caso no número de comparações.

 O algoritmo pode ser melhorado considerando o fato de que na j-ésima iteração o maior elemento é encontrado e colocado em seu lugar definitivo no vetor.

Logo, todos os elementos que estão após a

última troca já estão ordenados.

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31 1. Bubblesort

 Vantagens:



Simplicidade do algoritmo.



Estável.

 Desvantagens:



Lentidão.

 Indicações:



Tabelas muito pequenas.



Quando se sabe que a tabela está quase ordenada.



Demonstrações didáticas.

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32 2. Mergesort

 Intercalação: operação de unir dois arquivos ordenados gerando um terceiro arquivo ordenado (merge).

 Consiste em colocar no terceiro arquivo o menor elemento entre os menores dos dois arquivos iniciais, desconsiderando este mesmo elemento nos passos posteriores.

 Este processo deve ser repetido até que todos

os elementos dos arquivos de entrada sejam

escolhidos.

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33 2. Mergesort

 Exemplo de intercalação:

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34 2. Mergesort

 Abordagem divisão e conquista:

 Dividir a entrada em conjuntos menores

 Resolver cada instância menor de maneira recursiva

 Reunir as soluções parciais para compor a

solução do problema original.

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35 2. Mergesort

 Princípio:

 Dividir recursivamente o vetor a ser ordenado em dois vetores até obter n vetores de um único

elemento.

 Intercalar dois vetores de um elemento formando um vetor ordenado de dois elementos.

 Repetir o processo formando vetores cada vez

maiores, até ordenar todo o vetor.

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36

Fonte: VineetKumar at English Wikipedia - Transferred from en.wikipedia to Commons by Eric Bauman using CommonsHelper., Public Domain, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=8004317

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37 2. Mergesort

 Considere a sequência de inteiros v[0..n-1] = a ₀ , a ₁ , ..., a _n-1 .

 Considere n como uma potência de 2.

 Intercalação: método merge

 Recebe como entrada duas sequências ordenadas v[i..m] e v[m+1..j].

 Produz outra sequência ordenada com os

elementos das sequências de entrada.

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38 2. Mergesort

 Método merge(v, i, m, j):

 Seleciona repetidamente o menor dentre os menores elementos restantes em v[i..m] e v[m+1..j].

 Quando houver empate, retira de uma delas.

 Requer n-1 comparações, onde n é o número

total de elementos em v[i..j].

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39 2. Mergesort

void Merge(Vetor A, int i, int m, int j){

Vetor B;

int x;

int k = i;

int l = m+1;

for (x=i;x<=j;x++) B[x] = A[x];

x = i;

while (k<=m && l<=j) { if (B[k] <= B[l]) A[x++] = B[k++];

else

A[x++] = B[l++];

}

while (k<=m) A[x++] = B[k++];

while (l<=j) A[x++] = B[l++];

}

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40 2. Mergesort

 Método mergesort(v, i, j):

 ordena a subsequência de inteiros v[i..j] = a

_i

, a

_i+1

, ..., a

_j

,

assumindo que seu comprimento é 2

^k

para algum

k ≥ 0.

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41 2. Mergesort

void Mergesort(Vetor A, int i, int j){

int m;

if (i < j){

m = (i + j - 1) / 2;

Mergesort(A, i, m);

Mergesort(A, m + 1, j);

Merge(A, i, m, j);

/*Intercala A[i..m] e A[m+1..j] em A[i..j] */

}

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42 2. Mergesort

6 2 8 5 10 9 12 1 15 7 3 13 4 11 16 14

2 6 8 5 10 9 12 1 15 7 3 13 4 11 16 14

2 6 5 8 10 9 12 1 15 7 3 13 4 11 16 14

2 5 6 8 10 9 12 1 15 7 3 13 4 11 16 14

2 5 6 8 9 10 12 1 15 7 3 13 4 11 16 14

2 5 6 8 9 10 1 12 15 7 3 13 4 11 16 14

2 5 6 8 1 9 10 12 15 7 3 13 4 11 16 14

1 2 5 6 8 9 10 12 15 7 3 13 4 11 16 14

1 2 5 6 8 9 10 12 7 15 3 13 4 11 16 14

1 2 5 6 8 9 10 12 3 7 13 15 4 11 16 14

1 2 5 6 8 9 10 12 3 7 13 15 4 11 14 16

1 2 5 6 8 9 10 12 3 4 7 11 13 14 15 16

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

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43 2. Mergesort

 Análise: na contagem de comparações, o

comportamento do Mergesort pode ser

representado por

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44 2. Mergesort

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45 2. Mergesort

 Adicionando lado a lado:

Pela condição de parada T(1) = 0, temos que:

T(n/2

ⁱ

) = 0.

Logo i = log n.

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46 2. Mergesort

E usando o somatório:

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47 2. Mergesort

 Temos que:

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48 2. Mergesort

 Vantagens:

 MergeSort é O(n log n).

 Indicado para aplicações que exigem restrição de tempo.

 Estável.

 Fácil Implementação.

 Desvantagens:

 Utiliza memória auxiliar.

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49 Referências



Ziviani, N. Projeto de algoritmos: com implementações em Java e C++. 3 ed. Editora Cengage Learning, 2007.



Goodrich, M. T. e Tamassia, R. Estruturas de Dados &

Algoritmos. Editora Bookman, 2013.



Loureiro, A. A. F. Projeto e Análise de Algoritmos:

Análise de Complexidade. Notas de aula, 2010.



Menotti, D. Ordenação. Notas de aula, 2009.



Souza, J. F. Método BubbleSort. Notas de aula, 2016.



Algoritmos de ordenação: Bubblesort e Mergesort