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Obs: sistemas homogêneos NUNCA serão SI, pois sempre admitirão pelo menos a solução nula.

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Academic year: 2021

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(1)

n. 5 – SISTEMAS LINEARES

Sistema linear homogêneo

 Sistemas lineares homogêneos são aqueles cujo termo independente é igual a 0 (zero): a

1

x

1

+ a

2

x

2

= 0.

 Portanto, aqueles que apresentam termo independente diferente de 0 (zero) indica que o sistema não é homogêneo:

a

1

x

1

+ a

2

x

2

= 3.

 Quando os termos independentes de todas as equações são nulos, ou seja, iguais à zero.

 Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução trivial, que é a solução identicamente nula. Assim, todo sistema linear homogêneo é possível.

 Este tipo de sistema poderá ser determinado se admitir somente a solução trivial ou indeterminado se admitir outras soluções além da trivial.

 Se o sistema homogêneo admitir outra solução em que as incógnitas não são todas nulas, a solução será chamada solução não-trivial.

Obs: sistemas homogêneos NUNCA serão SI, pois sempre

admitirão pelo menos a solução nula.

(2)

Forma Algébrica de um Sistema de Equações Lineares com m equações e n incógnitas (número de linhas maior que número de colunas)





m n

m n m

m

n n

n n

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a

2 2 1

1

2 2

2 22 1

21

1 1

2 12 1

11

Forma Matricial: A. x = b









m n m

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a

2 1

2 22

21

1 12

11







xn

x x

2 1







bm

b b

2 1

Matriz Aumentada ou Matriz Completa do Sistema

B  [ A

b

] 









m m n m

m

n n

b a

a a

b a

a a

b a

a a

2 1

2 2

22 21

1 1

12 11

.

Onde:

A  matriz dos coeficientes;

x  vetor das incógnitas (ou vetor solução);

b  vetor dos termos independentes.

(3)

Classificação dos Sistemas

Podemos classificar um sistema linear de três maneiras:

 SPD – Sistema possível determinado: existe apenas um conjunto solução e o número de equações é igual ao número de incógnitas.

 e (equações) = i (incógnitas) Quando o det ≠ 0  SPD

 SPI – Sistema possível indeterminado: existem inúmeros conjuntos solução e número de equações é menor que o número de incógnitas.

 e (equações) ˂ i (incógnitas) Quando o det = 0

Num sistema possível e indeterminado, calculando por Cramer teremos det = 0 (determinante igual à zero) e cada um dos determinantes (det x, det y, det z) iguais à zero, logo teremos uma indeterminação:

0

0

 SI – Sistema impossível: não é possível determinar um conjunto solução.

0 x

1

+ 0 x

2

+ ... + 0 x

n

= β Logo, ∄

β

0

Quando o det = 0

(4)

Num sistema impossível teremos det = 0 (determinante principal igual a zero) mas pelo menos um dos determinantes secundários (det x, det y, det z) for diferente de zero:

𝛼

0

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES 2 X 2

 Sistemas de equações lineares de duas equações com duas incógnitas representam retas no plano.

 As retas no plano podem ser: concorrentes; paralelas coincidentes e paralelas distintas.

Podemos conhecer a posição das retas por meio dos coeficientes das equações: n = (a, b) n’ = (a’, b’).

(5)

Logo, n = (a, b) n’ = (a’, b’) são os vetores normais a r e a s. Então:

𝒓 ⫽ 𝒔 ↔ 𝒏 ⫽ 𝒏 ↔ 𝒂

𝒂 = 𝒃

𝒃 ↔ |𝒂 𝒃

𝒂 𝒃| = 𝟎

𝒓 ⨉ 𝒔 ↔ 𝒏 ∦ 𝒏 ↔ 𝒂

𝒂 ≠ 𝒃

𝒃 ↔ |𝒂 𝒃

𝒂 𝒃| ≠ 𝟎 Quando 𝑎

𝑎′ = 𝑏

𝑏′ = 𝑐

𝑐′ as retas são paralelas coincidentes e quando 𝑎

𝑎′ = 𝑏

𝑏′𝑐

𝑐′ as retas são paralelas distintas

Exemplos

1. Resolva e interprete geometricamente a solução dos sistemas:

a. { 2𝑥 + 𝑦 = 5 𝑥 − 3𝑦 = 6 b. { 2𝑥 + 𝑦 = 5

6𝑥 + 3𝑦 = 15 c. { 2𝑥 + 𝑦 = 5

6𝑥 + 3𝑦 = 10

(6)

Resolução das questões a. { 2𝑥 + 𝑦 = 5

𝑥 − 3𝑦 = 6

Solução: S.P.D.

x = 3 e y = -1

Como o sistema tem solução única, o sistema é possível e determinado – SPD.

A solução é representada pela intersecção das retas cujas equações gerais são: 2 xy  5 e x  3 y  6 .

b. { 2𝑥 + 𝑦 = 5

6𝑥 + 3𝑦 = 15

(7)

Solução: S.P.I.

{ 𝑥 = − 1

2 𝑦 + 5 2 𝑦 = 𝛼 𝜖 𝑅

x depende dos valores atribuídos a y

 se 𝛼 = 3, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜, 𝑥 = 1, …

Como o sistema tem infinitas soluções, o sistema é possível e indeterminado – SPI. A solução é representada pela intersecção das retas cujas equações gerais são:

5

2 xy  e 6 x  3 y  15 (retas paralelas coincidentes).

c. { 2𝑥 + 𝑦 = 5

6𝑥 + 3𝑦 = 10

(8)

Como as retas cujas equações gerais são:

2𝑥 + 𝑦 = 5 𝑒 6𝑥 + 3𝑦 = 10

são paralelas não coincidentes, ou distintas, o sistema não tem solução.

Equação 1 Equação 2

x y x y

-1 7 -1 16/3 = 5,33

0 5 0 10/3 = 3,33

1 3 1 4/3 = 1,33

O sistema não tem solução, portanto é um Sistema Impossível –

SI.

(9)

Interpretação Geométrica de Sistemas de Equações 3 x 3

Dado um sistema de equações com três equações com três incógnitas:

 

 

3 3

33 2

32 1

31

2 3

23 2

22 1

21

1 3

13 2

12 1

11

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a

 Cada equação representa um plano no espaço tridimensional.

 Assim, cada equação do sistema representa um plano:

𝛼, 𝛽 𝑒 𝛾

 As soluções do referido sistema pertencem à interseção 𝛼 ∩ 𝛽 ∩ 𝛾 desses planos.

Sistema possível e indeterminado: interseção é uma reta

 Os três planos são distintos e tem uma reta r em comum, isto é 𝛼 ∩ 𝛽 ∩ 𝛾 = 𝑟

 Neste caso o sistema é indeterminado e qualquer ponto da

reta r é uma solução do sistema.

(10)

Exemplo:

 Dois dos planos coincidem e o terceiro os intersecta segundo uma reta r. Neste caso o sistema é indeterminado e qualquer ponto da reta r é uma solução do sistema.





6 4

2 5

3 2

1 z

y x

z y

x

z y

x

(11)

Exemplo:

 Os três planos coincidem. Neste caso o sistema é indeterminado e quaisquer pontos dos planos é uma solução do sistema.

Exemplo:





9 3

6 3

6 2

4 2

3 2

z y

x

z y

x

z y

x

Sistema impossível : interseção 𝜶 ∩ 𝜷 ∩ 𝜸 é vazia

 Três planos são paralelos. Neste caso o sistema é impossível.





9 6

3

6 2

4 2

3 2

z y

x

z y

x

z y

x

(12)

 Dois planos coincidem e o terceiro é paralelo a eles. Neste caso o sistema é impossível.

Exemplo:





8 3

6 3

6 2

4 2

3 2

z y

x

z y

x

z y

x

 Os planos 𝛼 e 𝛽 e são paralelos e o plano 𝛾 os intersecta segundo duas retas paralelas. Neste caso o sistema é impossível.

Exemplo:





9 2

5 2

4 2

3 2

z y

x

z y

x

z y

x

(13)

 Os três planos se intersectam, dois a dois, segundo retas r = 𝛼 ∩ 𝛽, s = 𝛼 ∩ 𝛾 e t = 𝛽 ∩ 𝛾, paralelas umas às outras. Neste caso o sistema é impossível.

Exemplo:





6 6

8

2 3

1 3

2

z y

x

z y

x

z y

x

 Os três planos são paralelos dois a dois. Neste caso o sistema é impossível.

Exemplo:

5 3

6 3

4 2

4 2

3 2

z y

x

z y

x

z y

x

Sistema possível e determinado

(14)

 Os três planos se intersectam em apenas um ponto. Neste caso, o sistema é possível e determinado (solução única).

Exemplo:

1 2

3

2 2

1 3

2

z y

x

z y

x

z y

x

Sugerir exemplos:

𝑎. {

𝑥 + 2 𝑦 + 𝑧 = 7 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = −1

4𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 18

𝑅: 𝑆𝑃𝐷 , 𝑆 = {( 2, 0, 5)}

𝑏. {

2𝑥 + 3 𝑦 = 1 𝑥 − 7𝑦 = 9 3𝑥 + 8𝑦 = 10

𝑅: 𝑆𝐼 , 𝑆 = ∅ 𝑜𝑢 ∄

𝑐. {

𝑥 + 2 𝑦 − 𝑧 = 0 3𝑥 + 9𝑦 + 5𝑧 = 4

𝑥 + 5𝑦 + 7𝑧 = 5

𝑅: 𝑆𝐼 , 𝑆 = ∄ 𝑜𝑢 ∅

𝑑. {

𝑥 + 2 𝑦 + 3𝑧 = 1 2𝑥 + 5𝑦 + 8𝑧 = 3 5𝑥 + 12𝑦 + 19𝑧 = 7

𝑅: 𝑆𝑃𝐼 , 𝑆 = {(−1 + 𝑧, 1 − 2𝑧, 𝑧)}

Exercícios:

1. Resolva por escalonamento e discuta os sistemas lineares:

(15)

a. {

𝑥 + 2 𝑦 + 𝑧 = 4 2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 3

3𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 7

b. {

𝑥 + 2 𝑦 + 𝑧 = 4 2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 3

3𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 8

c. {

𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4 2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 3

3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3

d. {

2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 0 4𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0

𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0

Resolução das questões:

a. {

𝑥 + 2 𝑦 + 𝑧 = 4 2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 3

3𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 7

[

1 2 1 | 4

2 −3 4 | 3 3 −1 5 | 7

] { 𝐿2 = 𝐿2 − 2𝐿1

𝐿3 = 𝐿3 − 3𝐿1 [

1 2 1 | 4

0 −7 2 | −5 0 −7 2 | −5

]

[

1 2 1 | 4

0 −7 2 | −5 0 −7 2 | −5

] {𝐿3 = 𝐿3 − 𝐿2 [

1 2 1 | 4

0 −7 2 | −5

0 0 0 | 0

]

{ 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4

−7𝑦 + 2𝑧 = −5

(16)

Logo, y =

2𝑧 + 5

7

e x + 2y +z = 4  x =4 -

4𝑧 + 10

7

– z  x =

18−11𝑧

7

Portanto, o sistema é compatível e indeterminado, pois para cada valor real de z, obteremos uma das infinitas soluções que o sistema linear admite.

As soluções são as infinitas ternas ordenadas {(

18−11𝑧

7

,

2𝑧 + 5

7

, 𝑧)} | z ∈ℝ

(17)

b. {

𝑥 + 2 𝑦 + 𝑧 = 4 2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 3

3𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 8

[

1 2 1 | 4

2 −3 4 | 3 3 −1 5 | 8

] { 𝐿2 = 𝐿2 − 2𝐿1

𝐿3 = 𝐿3 − 3𝐿1 [

1 2 1 | 4

0 −7 2 | −5 0 −7 2 | −4

]

[

1 2 1 | 4

0 −7 2 | −5 0 −7 2 | −4

] {𝐿3 = 𝐿3 − 𝐿2 [

1 2 1 | 4

0 −7 2 | −5

0 0 0 | 1

]

{

𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4

−7𝑦 + 2𝑧 = −5 0𝑥 + 0𝑦 + 0𝑧 = 1

Como

𝟏

𝟎

Portanto, o sistema é incompatível, pois 0x + 0y + oz = 1, o sistema de equações não tem solução.

c. {

𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4 2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 3

3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3

[

1 2 1 | 4

2 −3 4 | 3 3 −1 1 | 3

] { 𝐿2 = 𝐿2 − 2𝐿1

𝐿3 = 𝐿3 − 3𝐿1 [

1 2 1 | 4

0 −7 2 | −5

0 −7 −2 | −9

]

(18)

[

1 2 1 | 4

0 −7 2 | −5

0 −7 −2 | −9

] {𝐿3 = 𝐿3 − 𝐿2 [

1 2 1 | 4

0 −7 2 | −5

0 0 −4 | −4

]

{ 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4

−7𝑦 + 2𝑧 = −5

−4𝑧 = −4

Logo, z = 1 y = 1 e x = 1

Portanto, o sistema é compatível e determinado admitindo uma única solução S:{(1,1,1)}

𝑑. {

2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 0 4𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0

𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0

𝑅: 𝑆𝑃𝐷, {(0, 0, 0)}

Lista de exercícios:

1. Resolva por escalonamento e discuta os sistemas lineares:

a. {

𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2 4𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 5

R: {(1,1,1)} - SPD

(19)

b. {

𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2 5𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 10

R: {(

3−𝑧

2

,

5−𝑧

4

, z)} - SPI

c. {

𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2

2𝑥 − 4𝑦 = 5

R: SI

d. {

2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 4 3𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 − 𝑡 = 5

2𝑦 + 𝑧 = 0

−𝑥 − 𝑦 + 2𝑡 = 6

R: 𝑆𝑃𝐷, 𝑆 = {(1, −1, 2 , 3)}.

e. {

𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 0

−𝑥 + 2𝑦 + 𝑡 = 0 2𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = 0

R: 𝑆𝑃𝐼, 𝑆 = {(2𝑦 + 𝑡, 𝑦, −2𝑡, 𝑡)}.

f. {

𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 − 𝑡 + 5𝑣 = 0

−2𝑥 + 4𝑦 − 7𝑧 + 𝑡 + 2𝑢 − 8𝑣 = 0 3𝑥 − 6𝑦 + 12𝑧 − 3𝑡 + 𝑢 + 15𝑣 = 0 2𝑥 − 4𝑦 + 9𝑧 − 3𝑡 + 3𝑢 + 12𝑣 = 0

R: 𝑆𝑃𝐼, 𝑆 = {(2𝑦 − 3𝑡 + 3𝑣, 𝑦 , 𝑡 − 2𝑣 , 𝑡 , 0 , 𝑣)}.

(20)

Resolução:

a. {

𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2 4𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 5

[

1 2 1 | 4

3 −2 1 | 2

4 3 −2 | 5

] { 𝐿2 = −3𝐿1 + 𝐿2

𝐿3 = −4𝐿1 + 𝐿3 [

1 2 1 | 4

0 −8 −2 | −10 0 −5 −6 | −11

]

[

1 2 1 | 4

0 −8 −2 | −10 0 −5 −6 | −11

] {𝐿3 = 8𝐿3 − 5𝐿2 [

1 2 1 | 4

0 −8 −2 | −10 0 0 −38 | −38

]

{

𝑥 + 2 𝑦 + 𝑧 = 4 −8𝑦 − 2𝑧 = −10

−38𝑧 = −38

R: {(1,1,1)} - SPD

b. {

𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2 5𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 10

[

1 2 1 | 4

3 −2 1 | 2

5 2 3 | 10

] { 𝐿2 = −3𝐿1 + 𝐿2

𝐿3 = −5𝐿1 + 𝐿3 [

1 2 1 | 4

0 −8 −2 | −10 0 −8 −2 | −10

]

[

1 2 1 | 4

0 −8 −2 | −10 0 −8 −2 | −10

] {𝐿3 = 𝐿3 − 𝐿2 [

1 2 1 | 4

0 −8 −2 | −10

0 0 0 | 0

]

(21)

{ 𝑥 + 2 𝑦 + 𝑧 = 4

−8𝑦 − 2𝑧 = −10 {

𝑥 + 2 𝑦 + 𝑧 = 4 𝑧 = 10 − 8𝑦

2

{ 𝑥 + 2 𝑦 + 𝑧 = 4 𝑧 = 5 − 4𝑦

{ 𝑥 = − 2 𝑦 − 5 + 4𝑦 + 4

𝑧 = 5 − 4𝑦 { 𝑥 = 2 𝑦 − 1 𝑧 = 5 − 4𝑦

R: 𝑆𝑃𝐼, 𝑆 = {(2𝑦 − 1, 𝑦 , 5 − 4𝑦)} 𝑜𝑢 𝑆 = {(

3−𝑧

2

,

5−𝑧

2

, 𝑧)}.

c. {

𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2

2𝑥 − 4𝑦 = 5

[

1 2 1 | 4

3 −2 1 | 2 2 −4 0 | 5

] { 𝐿2 = 𝐿2 − 3𝐿1

𝐿3 = 𝐿3 − 2𝐿1 [

1 2 1 | 4

0 −8 −2 | −10 0 −8 −2 | −3

]

[

1 2 1 | 4

0 −8 −2 | −10 0 −8 −2 | −3

] {𝐿3 = 𝐿3 − 𝐿2 [

1 2 1 | 4

0 −8 −2 | −10

0 0 0 | 7

]

{

𝑥 + 2 𝑦 + 𝑧 = 4

−8𝑦 − 2𝑧 = −10 0𝑥 + 0 𝑦 + 0 𝑧 = 7

{

𝑥 + 2 𝑦 + 𝑧 = 4

−8𝑦 − 2𝑧 = −10 0𝑥 + 0 𝑦 + 0 𝑧 = 7 → ∄

O que é impossível!

Portanto, SI.

(22)

d. {

2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 4 3𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 − 𝑡 = 5

2𝑦 + 𝑧 = 0

−𝑥 − 𝑦 + 2𝑡 = 6

R: (1,-1,2,3) – SPD

[

2 3 1 1 | 4

3 −3 1 −1 | 5

0 2 1 0 | 0

−1 −1 0 2 | 6

] {𝐿1 ↔ 𝐿4 [

−1 −1 0 2 | 6 3 −3 1 −1 | 5

0 2 1 0 | 0

2 3 1 1 | 4

]

[

−1 −1 0 2 | 6 3 −3 1 −1 | 5

0 2 1 0 | 0

2 3 1 1 | 4

] {𝐿2 = 𝐿2 + 3𝐿1 𝐿4 = 𝐿4 + 2𝐿1 [

−1 −1 0 2 | 6 0 −6 1 5 | 23

0 2 1 0 | 0

0 1 1 5 | 16 ]

[

−1 −1 0 2 | 6 0 −6 1 5 | 23

0 2 1 0 | 0

0 1 1 5 | 16

] {𝐿2 = 𝐿2 + 6𝐿4 𝐿3 = 𝐿3 − 2𝐿4 [

−1 −1 0 2 | 6

0 0 7 35 | 119

0 0 −1 −10 | −32

0 1 1 5 | 16

]

[

−1 −1 0 2 | 6

0 0 7 35 | 119

0 0 −1 −10 | −32

0 1 1 5 | 16

] {𝐿2 ↔ 𝐿4 [

−1 −1 0 2 | 6

0 1 1 5 | 16

0 0 −1 −10 | −32

0 0 7 35 | 119

]

[

−1 −1 0 2 | 6

0 1 1 5 | 16

0 0 −1 −10 | −32

0 0 7 35 | 119

] {𝐿4 = 𝐿4 + 7𝐿3 [

−1 −1 0 2 | 6

0 1 1 5 | 16

0 0 −1 −10 | −32 0 0 0 −35 | −105

]

{

−𝑥 − 𝑦 + 2𝑡 = 6 𝑦 + 𝑧 + 5𝑡 = 16

−𝑧 − 10𝑡 = −32

−35𝑡 = −105

R: 𝑆𝑃𝐷, 𝑆 = {(1, −1, 2 , 3)}.

(23)

e. {

𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 0

−𝑥 + 2𝑦 + 𝑡 = 0 2𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = 0

[

1 −2 1 1 | 0

−1 2 0 1 | 0 2 −4 1 0 | 0

] {𝐿2 = 𝐿2 + 𝐿1

𝐿3 = 𝐿3 − 2𝐿1 [

1 −2 1 1 | 0

0 0 1 2 | 0

0 0 −1 −2 | 0 ]

[

1 −2 1 1 | 0

0 0 1 2 | 0

0 0 −1 −2 | 0

] {𝐿3 = 𝐿3 + 𝐿2 [

1 −2 1 1 | 0 0 0 1 2 | 0 0 0 0 0 | 0

]

{ 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 0

𝑧 + 2𝑡 = 0 { 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑡 + 𝑡 = 0

𝑧 = −2𝑡 { 𝑥 = 2𝑦 + 𝑡 𝑧 = −2𝑡

R: 𝑆𝑃𝐼, 𝑆 = {(2𝑦 + 𝑡, 𝑦, −2𝑡, 𝑡)}.

f. {

𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 − 𝑡 + 5𝑣 = 0

−2𝑥 + 4𝑦 − 7𝑧 + 𝑡 + 2𝑢 − 8𝑣 = 0 3𝑥 − 6𝑦 + 12𝑧 − 3𝑡 + 𝑢 + 15𝑣 = 0 2𝑥 − 4𝑦 + 9𝑧 − 3𝑡 + 3𝑢 + 12𝑣 = 0

[

1 −2 4 −1 0 5 | 0

−2 4 −7 1 2 −8 | 0 3 −6 12 −3 1 15 | 0 2 −4 9 −3 3 12 | 0

] {

𝐿2 = 𝐿2 + 2𝐿1 𝐿3 = 𝐿3 − 3𝐿1 𝐿4 = 𝐿4 − 2𝐿1

[

1 −2 4 −1 0 5 | 0 0 0 1 −1 2 2 | 0 0 0 0 0 1 0 | 0 0 0 1 −1 3 2 | 0

]

[

1 −2 4 −1 0 5 | 0 0 0 1 −1 2 2 | 0 0 0 0 0 1 0 | 0 0 0 1 −1 3 2 | 0

] {𝐿4 = 𝐿4 − 𝐿2 [

1 −2 4 −1 0 5 | 0 0 0 1 −1 2 2 | 0 0 0 0 0 1 0 | 0 0 0 0 0 1 0 | 0 ]

[

1 −2 4 −1 0 5 | 0 0 0 1 −1 2 2 | 0 0 0 0 0 1 0 | 0 0 0 0 0 1 0 | 0

] {𝐿4 = 𝐿4 − 𝐿3 [

1 −2 4 −1 0 5 | 0 0 0 1 −1 2 2 | 0 0 0 0 0 1 0 | 0 0 0 0 0 0 0 | 0

]

(24)

{

𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 − 𝑡 + 5𝑣 = 0 𝑧 − 𝑡 + 2𝑢 + 2𝑣 = 0

𝑢 = 0

{

𝑥 = 2𝑦 − 4(𝑡 − 2𝑣) + 𝑡 − 5𝑣 𝑧 = 𝑡 − 2𝑣

𝑢 = 0

{

𝑥 = 2𝑦 − 4𝑡 + 8𝑣 + 𝑡 − 5𝑣 𝑧 = 𝑡 − 2𝑣

𝑢 = 0

{

𝑥 = 2𝑦 − 3𝑡 + 3𝑣 𝑧 = 𝑡 − 2𝑣

𝑢 = 0

R: 𝑆𝑃𝐼, 𝑆 = {(2𝑦 − 3𝑡 + 3𝑣, 𝑦 , 𝑡 − 2𝑣 , 𝑡 , 0 , 𝑣)}.

Referências Bibliográficas

BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. São Paulo: Harper & Row, 1980.

CALLIOLI, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, 1990.

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KOLMAN, B.; HILL, R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 6ª ed. Rio de Janeiro:

Prentice-Hall, 1998.

LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1972.

STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Álgebra linear. São Paulo: Pearson-Makron Books, 2010.

Referências

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