n. 5 – SISTEMAS LINEARES
Sistema linear homogêneo
Sistemas lineares homogêneos são aqueles cujo termo independente é igual a 0 (zero): a
1x
1+ a
2x
2= 0.
Portanto, aqueles que apresentam termo independente diferente de 0 (zero) indica que o sistema não é homogêneo:
a
1x
1+ a
2x
2= 3.
Quando os termos independentes de todas as equações são nulos, ou seja, iguais à zero.
Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução trivial, que é a solução identicamente nula. Assim, todo sistema linear homogêneo é possível.
Este tipo de sistema poderá ser determinado se admitir somente a solução trivial ou indeterminado se admitir outras soluções além da trivial.
Se o sistema homogêneo admitir outra solução em que as incógnitas não são todas nulas, a solução será chamada solução não-trivial.
Obs: sistemas homogêneos NUNCA serão SI, pois sempre
admitirão pelo menos a solução nula.
Forma Algébrica de um Sistema de Equações Lineares com m equações e n incógnitas (número de linhas maior que número de colunas)
m n
m n m
m
n n
n n
b x
a x
a x
a
b x
a x
a x
a
b x
a x
a x
a
2 2 1
1
2 2
2 22 1
21
1 1
2 12 1
11
Forma Matricial: A. x = b
m n m
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a
2 1
2 22
21
1 12
11
xn
x x
2 1
bm
b b
2 1
Matriz Aumentada ou Matriz Completa do Sistema
B [ A
b]
m m n m
m
n n
b a
a a
b a
a a
b a
a a
2 1
2 2
22 21
1 1
12 11
.
Onde:
A matriz dos coeficientes;
x vetor das incógnitas (ou vetor solução);
b vetor dos termos independentes.
Classificação dos Sistemas
Podemos classificar um sistema linear de três maneiras:
SPD – Sistema possível determinado: existe apenas um conjunto solução e o número de equações é igual ao número de incógnitas.
e (equações) = i (incógnitas) Quando o det ≠ 0 SPD
SPI – Sistema possível indeterminado: existem inúmeros conjuntos solução e número de equações é menor que o número de incógnitas.
e (equações) ˂ i (incógnitas) Quando o det = 0
Num sistema possível e indeterminado, calculando por Cramer teremos det = 0 (determinante igual à zero) e cada um dos determinantes (det x, det y, det z) iguais à zero, logo teremos uma indeterminação:
00
SI – Sistema impossível: não é possível determinar um conjunto solução.
0 x
1+ 0 x
2+ ... + 0 x
n= β Logo, ∄
β0
Quando o det = 0
Num sistema impossível teremos det = 0 (determinante principal igual a zero) mas pelo menos um dos determinantes secundários (det x, det y, det z) for diferente de zero:
𝛼0
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES 2 X 2
Sistemas de equações lineares de duas equações com duas incógnitas representam retas no plano.
As retas no plano podem ser: concorrentes; paralelas coincidentes e paralelas distintas.
Podemos conhecer a posição das retas por meio dos coeficientes das equações: n = (a, b) n’ = (a’, b’).
Logo, n = (a, b) n’ = (a’, b’) são os vetores normais a r e a s. Então:
𝒓 ⫽ 𝒔 ↔ 𝒏 ⫽ 𝒏′ ↔ 𝒂
𝒂′ = 𝒃
𝒃′ ↔ |𝒂 𝒃
𝒂′ 𝒃′| = 𝟎
𝒓 ⨉ 𝒔 ↔ 𝒏 ∦ 𝒏′ ↔ 𝒂
𝒂′ ≠ 𝒃
𝒃′ ↔ |𝒂 𝒃
𝒂′ 𝒃′| ≠ 𝟎 Quando 𝑎
𝑎′ = 𝑏
𝑏′ = 𝑐
𝑐′ as retas são paralelas coincidentes e quando 𝑎
𝑎′ = 𝑏
𝑏′ ≠ 𝑐
𝑐′ as retas são paralelas distintas
Exemplos
1. Resolva e interprete geometricamente a solução dos sistemas:
a. { 2𝑥 + 𝑦 = 5 𝑥 − 3𝑦 = 6 b. { 2𝑥 + 𝑦 = 5
6𝑥 + 3𝑦 = 15 c. { 2𝑥 + 𝑦 = 5
6𝑥 + 3𝑦 = 10
Resolução das questões a. { 2𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥 − 3𝑦 = 6
Solução: S.P.D.
x = 3 e y = -1
Como o sistema tem solução única, o sistema é possível e determinado – SPD.
A solução é representada pela intersecção das retas cujas equações gerais são: 2 x y 5 e x 3 y 6 .
b. { 2𝑥 + 𝑦 = 5
6𝑥 + 3𝑦 = 15
Solução: S.P.I.
{ 𝑥 = − 1
2 𝑦 + 5 2 𝑦 = 𝛼 𝜖 𝑅
x depende dos valores atribuídos a y
se 𝛼 = 3, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜, 𝑥 = 1, …
Como o sistema tem infinitas soluções, o sistema é possível e indeterminado – SPI. A solução é representada pela intersecção das retas cujas equações gerais são:
5
2 x y e 6 x 3 y 15 (retas paralelas coincidentes).
c. { 2𝑥 + 𝑦 = 5
6𝑥 + 3𝑦 = 10
Como as retas cujas equações gerais são:
2𝑥 + 𝑦 = 5 𝑒 6𝑥 + 3𝑦 = 10
são paralelas não coincidentes, ou distintas, o sistema não tem solução.
Equação 1 Equação 2
x y x y
-1 7 -1 16/3 = 5,33
0 5 0 10/3 = 3,33
1 3 1 4/3 = 1,33
O sistema não tem solução, portanto é um Sistema Impossível –
SI.
Interpretação Geométrica de Sistemas de Equações 3 x 3
Dado um sistema de equações com três equações com três incógnitas:
3 3
33 2
32 1
31
2 3
23 2
22 1
21
1 3
13 2
12 1
11
b x
a x
a x
a
b x
a x
a x
a
b x
a x
a x
a
Cada equação representa um plano no espaço tridimensional.
Assim, cada equação do sistema representa um plano:
𝛼, 𝛽 𝑒 𝛾
As soluções do referido sistema pertencem à interseção 𝛼 ∩ 𝛽 ∩ 𝛾 desses planos.
Sistema possível e indeterminado: interseção é uma reta
Os três planos são distintos e tem uma reta r em comum, isto é 𝛼 ∩ 𝛽 ∩ 𝛾 = 𝑟
Neste caso o sistema é indeterminado e qualquer ponto da
reta r é uma solução do sistema.
Exemplo:
Dois dos planos coincidem e o terceiro os intersecta segundo uma reta r. Neste caso o sistema é indeterminado e qualquer ponto da reta r é uma solução do sistema.
6 4
2 5
3 2
1 z
y x
z y
x
z y
x
Exemplo:
Os três planos coincidem. Neste caso o sistema é indeterminado e quaisquer pontos dos planos é uma solução do sistema.
Exemplo:
9 3
6 3
6 2
4 2
3 2
z y
x
z y
x
z y
x
Sistema impossível : interseção 𝜶 ∩ 𝜷 ∩ 𝜸 é vazia
Três planos são paralelos. Neste caso o sistema é impossível.
9 6
3
6 2
4 2
3 2
z y
x
z y
x
z y
x
Dois planos coincidem e o terceiro é paralelo a eles. Neste caso o sistema é impossível.
Exemplo:
8 3
6 3
6 2
4 2
3 2
z y
x
z y
x
z y
x
Os planos 𝛼 e 𝛽 e são paralelos e o plano 𝛾 os intersecta segundo duas retas paralelas. Neste caso o sistema é impossível.
Exemplo:
9 2
5 2
4 2
3 2
z y
x
z y
x
z y
x
Os três planos se intersectam, dois a dois, segundo retas r = 𝛼 ∩ 𝛽, s = 𝛼 ∩ 𝛾 e t = 𝛽 ∩ 𝛾, paralelas umas às outras. Neste caso o sistema é impossível.
Exemplo:
6 6
8
2 3
1 3
2
z y
x
z y
x
z y
x
Os três planos são paralelos dois a dois. Neste caso o sistema é impossível.
Exemplo:
5 3
6 3
4 2
4 2
3 2
z y
x
z y
x
z y
x
Sistema possível e determinado
Os três planos se intersectam em apenas um ponto. Neste caso, o sistema é possível e determinado (solução única).
Exemplo:
1 2
3
2 2
1 3
2
z y
x
z y
x
z y
x
Sugerir exemplos:
𝑎. {
𝑥 + 2 𝑦 + 𝑧 = 7 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = −1
4𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 18
𝑅: 𝑆𝑃𝐷 , 𝑆 = {( 2, 0, 5)}
𝑏. {
2𝑥 + 3 𝑦 = 1 𝑥 − 7𝑦 = 9 3𝑥 + 8𝑦 = 10
𝑅: 𝑆𝐼 , 𝑆 = ∅ 𝑜𝑢 ∄
𝑐. {
𝑥 + 2 𝑦 − 𝑧 = 0 3𝑥 + 9𝑦 + 5𝑧 = 4
𝑥 + 5𝑦 + 7𝑧 = 5
𝑅: 𝑆𝐼 , 𝑆 = ∄ 𝑜𝑢 ∅
𝑑. {
𝑥 + 2 𝑦 + 3𝑧 = 1 2𝑥 + 5𝑦 + 8𝑧 = 3 5𝑥 + 12𝑦 + 19𝑧 = 7
𝑅: 𝑆𝑃𝐼 , 𝑆 = {(−1 + 𝑧, 1 − 2𝑧, 𝑧)}
Exercícios:
1. Resolva por escalonamento e discuta os sistemas lineares:
a. {
𝑥 + 2 𝑦 + 𝑧 = 4 2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 3
3𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 7
b. {
𝑥 + 2 𝑦 + 𝑧 = 4 2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 3
3𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 8
c. {
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4 2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 3
3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3
d. {
2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 0 4𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0
Resolução das questões:
a. {
𝑥 + 2 𝑦 + 𝑧 = 4 2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 3
3𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 7
[
1 2 1 | 4
2 −3 4 | 3 3 −1 5 | 7
] { 𝐿2 = 𝐿2 − 2𝐿1
𝐿3 = 𝐿3 − 3𝐿1 [
1 2 1 | 4
0 −7 2 | −5 0 −7 2 | −5
]
[
1 2 1 | 4
0 −7 2 | −5 0 −7 2 | −5
] {𝐿3 = 𝐿3 − 𝐿2 [
1 2 1 | 4
0 −7 2 | −5
0 0 0 | 0
]
{ 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4
−7𝑦 + 2𝑧 = −5
Logo, y =
2𝑧 + 57
e x + 2y +z = 4 x =4 -
4𝑧 + 107
– z x =
18−11𝑧7
Portanto, o sistema é compatível e indeterminado, pois para cada valor real de z, obteremos uma das infinitas soluções que o sistema linear admite.
As soluções são as infinitas ternas ordenadas {(
18−11𝑧7
,
2𝑧 + 57
, 𝑧)} | z ∈ℝ
b. {
𝑥 + 2 𝑦 + 𝑧 = 4 2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 3
3𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 8
[
1 2 1 | 4
2 −3 4 | 3 3 −1 5 | 8
] { 𝐿2 = 𝐿2 − 2𝐿1
𝐿3 = 𝐿3 − 3𝐿1 [
1 2 1 | 4
0 −7 2 | −5 0 −7 2 | −4
]
[
1 2 1 | 4
0 −7 2 | −5 0 −7 2 | −4
] {𝐿3 = 𝐿3 − 𝐿2 [
1 2 1 | 4
0 −7 2 | −5
0 0 0 | 1
]
{
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4
−7𝑦 + 2𝑧 = −5 0𝑥 + 0𝑦 + 0𝑧 = 1
Como
𝟏𝟎
∄
Portanto, o sistema é incompatível, pois 0x + 0y + oz = 1, o sistema de equações não tem solução.
c. {
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4 2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 3
3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3
[
1 2 1 | 4
2 −3 4 | 3 3 −1 1 | 3
] { 𝐿2 = 𝐿2 − 2𝐿1
𝐿3 = 𝐿3 − 3𝐿1 [
1 2 1 | 4
0 −7 2 | −5
0 −7 −2 | −9
]
[
1 2 1 | 4
0 −7 2 | −5
0 −7 −2 | −9
] {𝐿3 = 𝐿3 − 𝐿2 [
1 2 1 | 4
0 −7 2 | −5
0 0 −4 | −4
]
{ 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4
−7𝑦 + 2𝑧 = −5
−4𝑧 = −4
Logo, z = 1 y = 1 e x = 1
Portanto, o sistema é compatível e determinado admitindo uma única solução S:{(1,1,1)}
𝑑. {
2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 0 4𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0
𝑅: 𝑆𝑃𝐷, {(0, 0, 0)}
Lista de exercícios:
1. Resolva por escalonamento e discuta os sistemas lineares:
a. {
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2 4𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 5
R: {(1,1,1)} - SPD
b. {
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2 5𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 10
R: {(
3−𝑧2
,
5−𝑧4
, z)} - SPI
c. {
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2
2𝑥 − 4𝑦 = 5
R: SI
d. {
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 4 3𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 − 𝑡 = 5
2𝑦 + 𝑧 = 0
−𝑥 − 𝑦 + 2𝑡 = 6
R: 𝑆𝑃𝐷, 𝑆 = {(1, −1, 2 , 3)}.
e. {
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 0
−𝑥 + 2𝑦 + 𝑡 = 0 2𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = 0
R: 𝑆𝑃𝐼, 𝑆 = {(2𝑦 + 𝑡, 𝑦, −2𝑡, 𝑡)}.
f. {
𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 − 𝑡 + 5𝑣 = 0
−2𝑥 + 4𝑦 − 7𝑧 + 𝑡 + 2𝑢 − 8𝑣 = 0 3𝑥 − 6𝑦 + 12𝑧 − 3𝑡 + 𝑢 + 15𝑣 = 0 2𝑥 − 4𝑦 + 9𝑧 − 3𝑡 + 3𝑢 + 12𝑣 = 0
R: 𝑆𝑃𝐼, 𝑆 = {(2𝑦 − 3𝑡 + 3𝑣, 𝑦 , 𝑡 − 2𝑣 , 𝑡 , 0 , 𝑣)}.
Resolução:
a. {
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2 4𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 5
[
1 2 1 | 4
3 −2 1 | 2
4 3 −2 | 5
] { 𝐿2 = −3𝐿1 + 𝐿2
𝐿3 = −4𝐿1 + 𝐿3 [
1 2 1 | 4
0 −8 −2 | −10 0 −5 −6 | −11
]
[
1 2 1 | 4
0 −8 −2 | −10 0 −5 −6 | −11
] {𝐿3 = 8𝐿3 − 5𝐿2 [
1 2 1 | 4
0 −8 −2 | −10 0 0 −38 | −38
]
{
𝑥 + 2 𝑦 + 𝑧 = 4 −8𝑦 − 2𝑧 = −10
−38𝑧 = −38
R: {(1,1,1)} - SPD
b. {
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2 5𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 10
[
1 2 1 | 4
3 −2 1 | 2
5 2 3 | 10
] { 𝐿2 = −3𝐿1 + 𝐿2
𝐿3 = −5𝐿1 + 𝐿3 [
1 2 1 | 4
0 −8 −2 | −10 0 −8 −2 | −10
]
[
1 2 1 | 4
0 −8 −2 | −10 0 −8 −2 | −10
] {𝐿3 = 𝐿3 − 𝐿2 [
1 2 1 | 4
0 −8 −2 | −10
0 0 0 | 0
]
{ 𝑥 + 2 𝑦 + 𝑧 = 4
−8𝑦 − 2𝑧 = −10 {
𝑥 + 2 𝑦 + 𝑧 = 4 𝑧 = 10 − 8𝑦
2
{ 𝑥 + 2 𝑦 + 𝑧 = 4 𝑧 = 5 − 4𝑦
{ 𝑥 = − 2 𝑦 − 5 + 4𝑦 + 4
𝑧 = 5 − 4𝑦 { 𝑥 = 2 𝑦 − 1 𝑧 = 5 − 4𝑦
R: 𝑆𝑃𝐼, 𝑆 = {(2𝑦 − 1, 𝑦 , 5 − 4𝑦)} 𝑜𝑢 𝑆 = {(
3−𝑧2
,
5−𝑧2
, 𝑧)}.
c. {
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2
2𝑥 − 4𝑦 = 5
[
1 2 1 | 4
3 −2 1 | 2 2 −4 0 | 5
] { 𝐿2 = 𝐿2 − 3𝐿1
𝐿3 = 𝐿3 − 2𝐿1 [
1 2 1 | 4
0 −8 −2 | −10 0 −8 −2 | −3
]
[
1 2 1 | 4
0 −8 −2 | −10 0 −8 −2 | −3
] {𝐿3 = 𝐿3 − 𝐿2 [
1 2 1 | 4
0 −8 −2 | −10
0 0 0 | 7
]
{
𝑥 + 2 𝑦 + 𝑧 = 4
−8𝑦 − 2𝑧 = −10 0𝑥 + 0 𝑦 + 0 𝑧 = 7
{
𝑥 + 2 𝑦 + 𝑧 = 4
−8𝑦 − 2𝑧 = −10 0𝑥 + 0 𝑦 + 0 𝑧 = 7 → ∄
O que é impossível!
Portanto, SI.
d. {
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 4 3𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 − 𝑡 = 5
2𝑦 + 𝑧 = 0
−𝑥 − 𝑦 + 2𝑡 = 6
R: (1,-1,2,3) – SPD
[
2 3 1 1 | 4
3 −3 1 −1 | 5
0 2 1 0 | 0
−1 −1 0 2 | 6
] {𝐿1 ↔ 𝐿4 [
−1 −1 0 2 | 6 3 −3 1 −1 | 5
0 2 1 0 | 0
2 3 1 1 | 4
]
[
−1 −1 0 2 | 6 3 −3 1 −1 | 5
0 2 1 0 | 0
2 3 1 1 | 4
] {𝐿2 = 𝐿2 + 3𝐿1 𝐿4 = 𝐿4 + 2𝐿1 [
−1 −1 0 2 | 6 0 −6 1 5 | 23
0 2 1 0 | 0
0 1 1 5 | 16 ]
[
−1 −1 0 2 | 6 0 −6 1 5 | 23
0 2 1 0 | 0
0 1 1 5 | 16
] {𝐿2 = 𝐿2 + 6𝐿4 𝐿3 = 𝐿3 − 2𝐿4 [
−1 −1 0 2 | 6
0 0 7 35 | 119
0 0 −1 −10 | −32
0 1 1 5 | 16
]
[
−1 −1 0 2 | 6
0 0 7 35 | 119
0 0 −1 −10 | −32
0 1 1 5 | 16
] {𝐿2 ↔ 𝐿4 [
−1 −1 0 2 | 6
0 1 1 5 | 16
0 0 −1 −10 | −32
0 0 7 35 | 119
]
[
−1 −1 0 2 | 6
0 1 1 5 | 16
0 0 −1 −10 | −32
0 0 7 35 | 119
] {𝐿4 = 𝐿4 + 7𝐿3 [
−1 −1 0 2 | 6
0 1 1 5 | 16
0 0 −1 −10 | −32 0 0 0 −35 | −105
]
{
−𝑥 − 𝑦 + 2𝑡 = 6 𝑦 + 𝑧 + 5𝑡 = 16
−𝑧 − 10𝑡 = −32
−35𝑡 = −105
R: 𝑆𝑃𝐷, 𝑆 = {(1, −1, 2 , 3)}.
e. {
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 0
−𝑥 + 2𝑦 + 𝑡 = 0 2𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = 0
[
1 −2 1 1 | 0
−1 2 0 1 | 0 2 −4 1 0 | 0
] {𝐿2 = 𝐿2 + 𝐿1
𝐿3 = 𝐿3 − 2𝐿1 [
1 −2 1 1 | 0
0 0 1 2 | 0
0 0 −1 −2 | 0 ]
[
1 −2 1 1 | 0
0 0 1 2 | 0
0 0 −1 −2 | 0
] {𝐿3 = 𝐿3 + 𝐿2 [
1 −2 1 1 | 0 0 0 1 2 | 0 0 0 0 0 | 0
]
{ 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 0
𝑧 + 2𝑡 = 0 { 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑡 + 𝑡 = 0
𝑧 = −2𝑡 { 𝑥 = 2𝑦 + 𝑡 𝑧 = −2𝑡
R: 𝑆𝑃𝐼, 𝑆 = {(2𝑦 + 𝑡, 𝑦, −2𝑡, 𝑡)}.
f. {
𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 − 𝑡 + 5𝑣 = 0
−2𝑥 + 4𝑦 − 7𝑧 + 𝑡 + 2𝑢 − 8𝑣 = 0 3𝑥 − 6𝑦 + 12𝑧 − 3𝑡 + 𝑢 + 15𝑣 = 0 2𝑥 − 4𝑦 + 9𝑧 − 3𝑡 + 3𝑢 + 12𝑣 = 0
[
1 −2 4 −1 0 5 | 0
−2 4 −7 1 2 −8 | 0 3 −6 12 −3 1 15 | 0 2 −4 9 −3 3 12 | 0
] {
𝐿2 = 𝐿2 + 2𝐿1 𝐿3 = 𝐿3 − 3𝐿1 𝐿4 = 𝐿4 − 2𝐿1
[
1 −2 4 −1 0 5 | 0 0 0 1 −1 2 2 | 0 0 0 0 0 1 0 | 0 0 0 1 −1 3 2 | 0
]
[
1 −2 4 −1 0 5 | 0 0 0 1 −1 2 2 | 0 0 0 0 0 1 0 | 0 0 0 1 −1 3 2 | 0
] {𝐿4 = 𝐿4 − 𝐿2 [
1 −2 4 −1 0 5 | 0 0 0 1 −1 2 2 | 0 0 0 0 0 1 0 | 0 0 0 0 0 1 0 | 0 ]
[
1 −2 4 −1 0 5 | 0 0 0 1 −1 2 2 | 0 0 0 0 0 1 0 | 0 0 0 0 0 1 0 | 0
] {𝐿4 = 𝐿4 − 𝐿3 [
1 −2 4 −1 0 5 | 0 0 0 1 −1 2 2 | 0 0 0 0 0 1 0 | 0 0 0 0 0 0 0 | 0
]
{
𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 − 𝑡 + 5𝑣 = 0 𝑧 − 𝑡 + 2𝑢 + 2𝑣 = 0
𝑢 = 0
{
𝑥 = 2𝑦 − 4(𝑡 − 2𝑣) + 𝑡 − 5𝑣 𝑧 = 𝑡 − 2𝑣
𝑢 = 0
{
𝑥 = 2𝑦 − 4𝑡 + 8𝑣 + 𝑡 − 5𝑣 𝑧 = 𝑡 − 2𝑣
𝑢 = 0
{
𝑥 = 2𝑦 − 3𝑡 + 3𝑣 𝑧 = 𝑡 − 2𝑣
𝑢 = 0
R: 𝑆𝑃𝐼, 𝑆 = {(2𝑦 − 3𝑡 + 3𝑣, 𝑦 , 𝑡 − 2𝑣 , 𝑡 , 0 , 𝑣)}.
Referências Bibliográficas
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. São Paulo: Harper & Row, 1980.
CALLIOLI, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, 1990.
ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. São Paulo: Bookman, 2008.
KOLMAN, B.; HILL, R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 6ª ed. Rio de Janeiro:
Prentice-Hall, 1998.
LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1972.
STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Álgebra linear. São Paulo: Pearson-Makron Books, 2010.