Discriminante da potência de um número algébrico

(1)

CENTRO DE CI ˆ

ENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEM ´

ATICA

CURSO DE P ´

OS – GRADUAC

¸ ˜

AO EM

MATEM ´

ATICA

Joserlan Perote da Silva

DISCRIMINANTE DA

P

OT

ENCIA DE

ˆ

UM

N ´

UMERO

ALG

EBRICO

´

(2)

D

ISCRIMINANTE DA

P

OT

ENCIA DE UM

ˆ

N ´

UMERO

A

LG

EBRICO

´

Dissertação submetida à Coordenação do

Curso de Pós-Graduação em Matemática,

da Universidade Federal do Cear´a, para

a obtenc¸˜ao do grau de Mestre em

Matem´atica.

´

Area de concentração: Matemática

Orientador: Prof. Dr. Jos´e Othon Dantas

Lopes

Fortaleza

(3)

S58d Discriminante da Potência de um Número Algébrico

Joserlan Perote da Silva. - Fortaleza: 2010.

98f.

Orientador: Prof. Dr. Jos´e Othon Dantas Lopes.

´

Area de concentração: Matemática.

Dissertação(Mestrado) - Universidade Federal do Ceará,

Depto de Matem´atica, 2010.

1. Teoria dos N´umeros.

(4)

(5)

(6)

Primeiramente a Deus, pois ele a minha forc¸a e socorro bem presente.

Ao meu orientador Prof. Dr. Jos´e Othon Dantas Lopes.

Aos professores da banca examinadora: Prof. Dr. Trajano Pires da N´obrega

Neto - UNESP e Prof. Dr. José Robério Rogério - UFC.

`

A minha fam´ılia pelo apoio e compreens˜ao nos momentos de ausˆencia.

Aos meus pais Jo˜ao Lourenc¸o da Silva e Irene Perote da Silva que sempre

me apoiaram, incentivaram e me mostraram que quando sonhamos e acreditamos

tudo ´e poss´ıvel.

`

A minha esposa Ruth, por estar sempre ao meu lado nos momentos dif´ıceis e

por compartilhar os momentos de alegria.

Aos amigos Luis Farias e Michel Pinho por compartilhar as alegrias, tristezas,

dificuldades e vit´orias desde o in´ıcio da nossa caminhada.

Agradeço a Kiara Lima Costa pela paciência que teve durante a digitação deste

trabalho.

`

A Andréa Costa Dantas, pela sua eficiência e grande paciência.

Aos colegas e professores do Curso de Pós-Graduação da UFC.

Aos colegas e professores do Curso de Graduac¸˜ao da UECE.

A FUNCAP e CNPq pelo aux´ılio financeiro.

A todos que direta ou indiretamente cintribu´ıram para a realizac¸˜ao deste

(7)

porém as reveladas sãoo para nós e para nossos filhos

para sempre...”

(8)

Sejaαum número algébrico que não é raiz de um número racional. Mostraremos que o discriminante de αn _{tende a infinito com}_n _{tendendo a infinito e daremos}

(9)

Letα be an algebraic number which is not a root of a racional number. We show that the discriminant of αn _{tends to infinity with}_n _{tending to infinity and}

(10)

Introduc¸˜ao 10

1 Resultados B´asicos 12

1.1 Introduc¸˜ao . . . 12

1.2 M´odulos . . . 12

1.3 Elementos inteiros . . . 17

1.4 Extens˜oes de corpos . . . 24

1.5 Norma e trac¸o . . . 28

1.6 Discriminante de uma n-upla . . . 36

2 Resultados Auxiliares 44

3 Limite inferior do discriminante de αn _{e uma an´alise sobre este}

dis-criminante quandontende a_∞ 82

(11)

Seja α um número algébrico sobre o corpo de números racionais Q, cujos conjugados α1, α2, . . . , αn (com α um destes) são considerados de forma que

|α1| ≥ |α2| ≥. . .≥ |αd|. Denotaremos pora=a(α)o coeficiente l´ıder(positivo)

do polinˆomio minimal deα(emZ[x]).

Bell e Hare investigaram as propriedades do anelZ[α], onde α ´e n´umero de Pisot, ou seja,

α=α1 , a(α) = 1 e 1>|α2| ≥. . .≥ |αd|.

Em particular, eles mostram que para cada n´umero de Pisot de grau d _≥ 2,

|∆(αn₎_{| → ∞}_quando_n_{→ ∞}_.

O nosso objetivo é generalizar esse resultado para um número algébrico

ar-bitr´ario α e obter um limite inferior correspondente mais precisamente, quer-emos obter um limite inferior para a Dn(Dn−1)-´esima raiz de |∆(αn)|, onde

Dn _{= grau}_αn_{, em termos de} _α, _n _e _M₍_α₎_{. A única restrição natural é que} _α

não é raiz de um número racional.

Teorema 0.1 Suponha que α é um número algébrico de grau d e α não é uma raiz de um número racional. Então existe uma constante positiva absoluta co tal

que para cada inteiron_≥2temos

|∆(αn)_|D(D1−1) ≥M(α)nd−cod5logdlogn,

em queD=Dn =grau αn.

(12)

Claramente, para cada α satisfazendo as condic¸˜oes do Teorema, temos

2_≤Dn ≤d, deste modo o Teorema implica que|∆(αn)| → ∞quandon → ∞,

pois

M(α)>1 +c1

|loglogd_|

logd

3

,

ondec1 ´e constante positiva absoluta.

A prova do Teorema se baseia no seguinte Lema.

Lema 0.2 Suponha que αeα′ _{são números algébricos conjugados de grau}_d_, _α

não é raiz da unidade, _|α_{| ≥ |}α′_|_e_n _≥ ₂_{é um inteiro positivo tal que}_αn ₆₌_α′n_.

Ent˜ao existe uma constante positiva absolutaco tal qie

1−

α′

α

n

≥M(α)−cod

(13)

Resultados B´asicos

1.1 Introduc¸˜ao

Neste cap´ıtulo apresentaremos conceitos básicos da teoria algébrica dos números

envolvendo m´odulos, elementos inteiros sobre um anel, elementos alg´ebricos

so-bre um corpo, extens˜oes alg´ebricas, elementos conjugados, corpos conjugados,

norma, trac¸o e determinante.

1.2 M´odulos

Definição 1.1 Seja R um anel. UmR-móduloM é um grupo abeliano (M,+), junto com a função α : R _×M _→ M dada por α(r, m) = rm, comr _∈ R e

m _∈M, satisfazendo para todor, s_∈R, m, n_∈M: 1. (r+s)m =rm+sm

2. r(m+n) =rm+rn

3. r(s_·m) = (r_·s)m

4. 1_·m=m

(14)

A função α é chamada uma R-ação sobre M. Se R é um corpo K, então um

R-módulo é o mesmo que um espaço vetorial sobreK.

Definição 1.2 Um R-submódulo de M é um subgrupo N de M tal que sen _∈ N, r _∈Rentãorn_∈N.

Definição 1.3 Um módulo M é dito finitamente gerado se possuir um conjunto finito de geradores. UmR-móduloM que possui uma base (não necessariamente finita) é chamada de módulo livre, e o número de elementos da base é chamado

posto deM.

Observação 1.1 Nem todo módulo finitamente gerado possui uma base, e nem

todo submódulo de um módulo livre é livre.

Definição 1.4 Seja R um dom´ınio. Dizemos que um R-módulo M é livre de torção senão existeα_∈R, α₆= 0,tal queαm= 0, para todom_∈M.

Teorema 1.1 Todo módulo finitamente gerado livre de torção sobre um dom´ınio

de ideais principais ´e um m´odulo livre

Demonstração: SejamRum dom´ınio de ideias principais,M umR-módulo livre de torção e_{α1, . . . , αn}um conjunto de geradores de M. Se{β1, . . . , βn}é um

conjunto de elementos deM linearmente independentes, ent˜ao_{α1, . . . , αn, β1, . . . , βn}

´e linearmente dependente, para 1 _≤ i _≤ n e 1 _≤ j _≤ m. Assim, existem ai, bi,1, . . . , bi,n∈R, n˜ao todos nulos, tais que

aiαi+bi,1β1 +. . .+bi,nβn (1.1)

Temos que ai é não nulo, pois bi,1, . . . , bi,n são todos não nulos e {β1, . . . , βn}.

Logo, Lé livre, pois o conjunto de geradores é uma base. Da equação 1.1 temos que

(15)

e isto implica queaiαi ∈ L. Tomandoa = n

Y

i=1

ai, temos queaαi ∈ Lpara todo 1 _≤ i _≤ n e como_{α1, . . . , αn} ´e um conjunto de geradores de M, segue que

aM _⊆ L,entãoaM é um submódulo livre. Agora, considere a funçãof : M _→ aM definida por f(m) = ampara todo m _∈ M. Como M é livre de torção, temos quef é um isomorfismo. Portanto,M é livre.

Teorema 1.2 Sejam R um anel e M um R-módulo. As condições são equiva-lentes:

a) Toda fam´ılia n˜ao vazia deR-subm´odulos deM tem um elemento maximal.

b) Toda sequência crescente deR-submódulos deM é estacionária.

c) TodoR-subm´odulo deM ´e finitamente gerado.

Demonstrac¸˜ao: Iniciaremos mostrando quea)_⇒c).

SejaE um submódulo deM eφuma fam´ılia de submódulos finitamente ger-ados deE. Veja queφnão é vazio, pois_{0_{} ∈}φ. Dea)temos queφ admite um elemento maximalF. Parax_∈E F+R_·xé um submódulo finitamente gerado de E (é gerado pela uniãp de[x]e um sistema finito de geradores de F). Como F +R_·x_⊃F eF é maximal. TemosF +Rx =F. Logox_∈F, E _⊂F, E =F eE é finitamente gerado.

Agora, vamos mostrarc)_⇒b).

Seja(Mn)n≥0uma união crescente de submódulos deM, entãoE =S_n≥₀Mn

´e um subm´odulo deM. Porc)temos um sistema finito de geradores(x1, x2, . . . , xq).

Para cadai existe um ´ındicen(i),tal que xi ∈ Mn(i). Seja n0 o maior dos n(i).

(16)

Finalmente, mostraremos queb)_⇒a).

A equivalˆenciaa)eb)´e um caso particular do Lema a seguir.

Lema 1.3 SejaT um conjunto ordenado, as condições são equivalentes.

a) Toda fam´ılia n˜ao vazia de elementos deT admite um elemento maximal.

b) Toda sucessão crescente(tn)n≥0de elementos deT é estacionária.

Demonstração: a) _⇒ b) Seja tq um elemento maximal da sucessão crescente (tn). Paran ≥ q temostn ≥ tq(crescente). Portanto pela maximalidade, temos

tn=tq. LogoT ´e estacion´aria.

b)_⇒a)Suponhamos que temos uma parte não vaziaS deT sem elemento max-imal. Então, para x _∈ S, o conjunto de elementos de S estritamente superior a x é não vazio pelo Axioma da Escolha, existe uma aplicação f : S _→ S tal que f(x) > x para x _∈ S. Como S não é vazio, escolha t0 ∈ S e defina por

recorrência a sucessão (tn)n≥0 fazendo tn+1 = f(tn). Esta sucessão é

estrita-mente crescente e portanto não estacionária. Absurdo, logo toda fam´ılia não vazia

de elementos deT admite um elemento maximal.

Teorema 1.4 Sejam R um anel de ideais principais e M um R-módulo livre de poston. SeM′ _{é um}_R_{-submódulo de}_M_{, então:}

1. M′ _{´e livre de posto}_r_{, para}₀_≤_r_≤_n

2. SeM′ ₆_{= 0}_{, ent˜ao existe uma base}_{_v

1, . . . , vn}deM e elementos n˜ao nulos

a1, . . . , ar ∈Rtais que{a1v1, . . . , arvr} ´e uma base deM′e queaidivide

(17)

Demonstração: Para M′ ₌ _h₀_i _{o ideal nulo, o resultado é válido. Assim,}

suponhamosM′ ₆₌ _h₀_i_{. Seja}_L₍_{M, R}₎_{o conjunto das formas lineares sobre} _M_.

Tomandou_∈ L(M, R),temos queu(M′₎_{´e um subm´odulo de}_{R, um ideal de}_R.

Podemos escreveru(M′_{) =} _Ra

u,ondeau ∈ R,uma vez que o ideal ´e principal.

Se u _∈ L(M, R) é tal que Rau é maximal através de Rae, para e ∈ L(M, R),

pelo Teorema 1.2. Assim, tomemos uma base_{x1, . . . , xn}que identificaM com

Rn. Sejapi :M →Ra projeção sobre a i-ésima coordenada, isto é,pi(xj) =δij.

ComoM′ ₆₌_h₀_i_,_{para o menor}_i,₁_≤_i_≤ _{n, p}_i(_M′₎_{´e n˜ao nulo. Assim}_a

u 6=h0i.

Pela nossa construc¸˜ao existev′ _∈_M′ _{tal que}_u₍_v′_{) =}_a

u. Logo, devemos mostrar

que para todo e _∈ L(M, R), temos queau|e(v′). Assim, semdc(au, e(v′)) = d,

ent˜ao d = bau +ce(v′), onde b, c ∈ R, e da´ıd = (bu+ce)(v′). Agora, como (bu+ce)´e uma forma linear sobreM, temos queRau ⊆Rd⊆u(M′), e pela

max-imalidade deRau, segue queRd=Rau, e assim temos queau divide e(v′). Em

particular,au|pi(v′), ent˜ao sejapi(v′) =aubi,combi ∈R. Tomandov = n

X

i=1

bixi,

temos que v′ ₌ _a

uv. Como, u(v′) = au = auu(v),segue que u(v) = 1,

obser-vando queau 6= 0. Assim, devemos mostrar que

• M = ker(u) +Rv, e

• M′ _{= (}_M′_∩_ker(_u_{)) +}_Rv′_{, onde}_v′ ₌_a uv.

Para a primeira afirmação, sex _∈ M, entãox = u(x)v + (x₋u(x)v), logo u(x₋u(x)v) =u(x)₋u(x)u(v) = 0,uma vez queu(v) = 1, entãox₋u(x)v _∈

ker(u). Assim, mostramos que Rv+ ker(u) = M, portanto,Rv_∩ker(u) = _h0_i. Para a segunda afirmac¸˜ao, seja y _∈ M′_{, logo} _u₍_y_{) =} _ba

u, onde b ∈ R, ent˜ao

y =bauv+ (y−u(y)v) =bv′+ (y−u(y)v). Novamente, é claro quey−u(y)v ∈ ker(u)e também quey₋u(y)v =y₋bv′ _∈_M′_{, isto é,}_y₋_u₍_y₎_v _∈_M _∩_ker(_u₎

(18)

r > 0, da segunda afirmação segue queM′_∩_ker(_u₎_{tem posto} _r₋₁_{, e assim é}

livre de acordo com a hipótese de indução. Como, na segunda afirmação a soma

´e direta, obtemos uma base para M′ _adicionando _v′ _{a base para} _M′ _∩ _ker(_u₎_.

Assim M′ _{é livre e} ₁ _{é verdadeiro. Provaremos} ₂ _{por indução sobre o posto} _n

de M. Novamente o caso n = 0 é trivial. Por 1, temos que ker(u) é livre de posto n₋1, uma vez que na primeira afirmação, a soma é direta. Aplicamos a hipótese de indução sobre o módulo livre ker(u)e seu submódulo M′ _∩_ker(_u₎_:

se M′ _∩_ker(_u₎ ₆₌ _h₀_i_{, ent˜ao existem} _r _≤ _{n, uma base}_{_v

2, . . . , vn}deker(u), e

elementos n˜ao nulos a2, . . . , an deR tais que {a2v2, . . . , anvn} ´e uma base para

M′ _∩_ker(_u₎ _e_a

i divide ai+1, para 2 ≤ i ≤ r−1. Tomando a mesma notac¸˜ao

que acima, chamamosa1 =au ev1 =v. Então, da primeira afirmação segue que,

{v1, v2, . . . , vn}´e uma base paraM da segunda e do fato quev′ =av1 segue que,

{a1v1, . . . , arvr}´e uma base paraM′. Falta prova quea1|a2. See´e a forma linear

sobreM definida pela relaçãoe(v1) = e(v2) = 1ee(vi) = 0, parai ≥ 3. Então

a1 =au =e(auv1) =e(v′)∈e(M′), ent˜aoRau ⊆e(M′). Pela maximalidade de

Rau podemos concluir quee(M′) = Rau = Ra1. Comoa2 = e(a2v2)∈ e(M′),

vemos quea2 ∈Ra1, isto ´e,a2|a1.

1.3 Elementos inteiros

Definição 1.5 SejamA_⊆Ranéis. Um elementoα_∈R é chamado inteiro sobre

A se α é raiz de um polinômio mônico com coeficientes em A, isto é, existem

a0, a1, . . . , an−1 ∈A, n˜ao todos nulos, tal que

αn+an−1αn−1+. . .+a1α+a0 = 0.

(19)

Exemplo 1.1 O elemento α = 1 2(1 +

√

5) _∈ R é inteiro sobreZ, pois é raiz do polinômio mônicox2₋_x₋₁_{com coeficientes em}_Z_.

Observação 1.2 SeRé o corpo complexo e os coeficientes do polinômio mônico são números racionais, o elemento α é chamado núemro algébrico. Se os co-eficientes do polinômio mônico são números inteiros, o elemento α é chamado inteiro algébrico.

Exemplo 1.2 1. O elementoα=e2πi5 ∈ Cé um inteiro algébrico, po´ıs é raiz

do polinˆomio mˆonicox5₋₁_{com coeficientes em}_Z_.

2. O elementoα = 22

7 ∈ C é um inteiro algébrico, po´ıs é raiz do polinômio

mˆonicox₋ 22

7 com coeficientes emQ.

Teorema 1.5 SejamA_⊆Ranéis eαum elemento deR. As seguintes afirmações são equivalentes:

1. α ´e inteiro sobreA.

2. O anelA[α] ´e umA-m´odulo finitamente gerado.

3. Existe um subanelB deRcontendoAeαque ´e umA-m´odulo finitamente gerado.

Demonstração:(1) _⇒(2)Comoα é inteiro segue que αn+an−1αn−1+ldots+a1α+a0 = 0,

ondea0, a1, . . . , an∈Ae não são todos nulos. SejaM o submódulo deRgerado

por _{1, α, . . . , αn−1_}_{. Temos que} _M _⊆ _A_[_α_]_{. Por outro lado, temos que} _αn ₌

−(an−1αn−1 +. . .+a1α+a0) ∈ M e por induc¸˜ao segue queαn+j ∈ M para

(20)

A-m´odulo finitamente gerado.

(2) _⇒(3)neste caso, ´e suficiente tomarB =A[α].

(3) _⇒ (1) Seja _{β1, . . . , βn} um conjunto finito de geradores de B como um

m´odulo sobreA, ou seja,B =Aβ1+. . .+Aβn. Comoα∈BeB ´e um subanel

deR segue queαβi ∈ B para todo i = 1, . . . , n. Assim,αβi = n

X

j=1

ai,jβj,com

ai,j ∈Apara1≤i, j ≤n. Da´ı,

αβi− n

X

j=1

ai,jβj = 0 , e n

X

j=1

αβi βj −

ai,j

βj = 0.

Tomando βi βj

=δi,jtemos que

n

X

j=1

(αδi,j−ai,j)βj = 0, para i= 1, . . . , n.

Assim, temos um sistema de n euqações lineares homogêneas em_{β1, . . . , βn},

ou seja, _

                n X j=1

(αδ1,j−a1,j)βj = 0

.. .

n

X

j=1

(αδn,j −an,j)βj = 0

Escrevendo na forma matricial obtemos que

       

αδ1,1−a1,1 αδ1,2−a1,2 . . . αδ1,n−a1,n

αδ2,1−a2,1 αδ2,2−a2,2 . . . αδ2,n−a2,n

..

. ... . .. ...

αδn,1−an,1 αδn,2−an,2 . . . αδn,n−an,n

                β1 β2 .. . βn         =         0 0 .. . 0         .

Sejado determinantedet(δi,jα−ai,j). Pela regra de Cramer temos quedβj = 0

(21)

e em particular d1 = d = 0. Deste modo, temos qued é um polinômio mônico emα, onde o termo com ordem máxima aparece na expansão do produto

n

Y

i=1

(δi,iα−ai,i) = n

Y

i=1

βi

α₋ai,i

= n

Y

i=1

(α₋ai,i)

das entradas da diagonal principal. Portanto, α é raiz de um polinômio mônico com coeficientes emA, ou seja,αé inteiro sobreA.

Proposição 1.1 SejamA _⊆ Ranéis eα1, α2, . . . , αn ∈ R. Seα1 é inteiro sobre

Aeαi ´e inteiro sobreA[α1, . . . , αi−1], parai= 2, . . . , n, ent˜aoA[α1, α2, . . . , αn]

´e umA-m´odulo finitamente gerado.

Demonstração: A prova será feita por indução sobren. O cason = 1segue do item2do Teorema 1.4. Agora suponhamos que o resultado é verdadeiro paran₋1, ou seja, queB = A[α1, α2, . . . , αn−1] é umA-módulo finitamente gerado. Logo,

existe um conjunto finito_{β1, β2, . . . , βp}de geradores deBsobreA. Assim,B = p

X

j=1

Aβj. Pelo item 2 do Teorema 1.4 obtemos que A[α1, α2, . . . , αn] = B[αn]

´e um B-m´odulo finitamente gerado, e assim possui um conjunto de geradores

{γ1, γ2, . . . , γq}. Deste modo, podemos escreverB[αn] = q

X

k=1

Bγk. Assim

A[α1, α2, . . . , αn] =

q

X

k=1

Bγk = q

X

k=1

p

X

j=1

Aβj

!

γk=

X

j,k

Aβjγk,

e deste modo(βjγk)1≤j≤p,1≤k≤q ´e um conjunto de geradores deA[α1, α2, . . . , αn]

como um A-módulo. Portanto, A[α1, α2, . . . , αn] é um A-módulo finitamente

gerado.

(22)

Corolário 1.1 Sejam A _⊆ R anéis. Se α1, . . . , αn são elementos de R que são

inteiros sobreA, entãoA[α1, α2, . . . , αn] é umA-módulo finitamente gerado.

Demonstração: Uma vez queαié inteiro sobreAentãoαié inteiro sobreA[α1, α2, . . . , αi−1],

parai= 1,2, . . . , n, o resultado segue da Proposic¸˜ao 1.1.

Corolário 1.2 SejamA_⊆Ranéis. Seαeβsão elementos deRque são inteiros sobreA, entãoα+β, α₋β eαβ são inteiros sobreA.

Demonstração: Como A[α, β] é um subanel de R e α, β _∈ A[α, β] segue que α+β, α₋β eαβ _∈A[α, β]. Pela Proposição 1.1, comoαeβ são inteiros sobre A, segue queA[α, β]é umA-módulo finitamente gerado. Logo existe um subanel B =A[α, β]deRcontendoA,α+β, α₋βeαβ _∈A[α, β]. Assim, pelo item3

do Teorema 1.4, segue queα+β, α₋β eαβ s˜ao inteiros sobreA.

Definição 1.6 Sejam A _⊆ R anéis. O conjunto dos elementos de R que são inteiros sobreAé chamado fecho inteiro deAemR, ou anel dos inteiros deAem

Re denotado porIR(A).

Corolário 1.3 SeA_⊆Rsão anéis, então:

1. O conjuntoIR(A)´e um subanel deRque cont´emA.

2. Todo subanel deRque é umA-módulo finitamente gerado está contido em

IR(A).

Demonstrac¸˜ao:

(23)

2. SejamBum subanel deRque ´e umA-m´odulo finitamente gerado e_{α1, . . . , αn}

um conjunto finito de geradores deB. Seα _∈B, então A[α] é finitamente gerado como A-módulo, pois α = a1α1 +. . .+anαn, com ai ∈ A.

As-sim pelo Teorema 1.4 segue que α ´e inteiro sobe A, ou seja, α _∈ IR(A). PortantoB est´a contido emIR(A).

Definição 1.7 Sejam Aum dom´ınio eKo seu corpo de frações. O fecho inteiro deAemKé chamado fecho inteiro deAe denotado porIK(A).

Definição 1.8 Sejam A _⊆ Ranéis. Quando IR(A) =Rdizemos queR é inteiro sobreA.

Proposição 1.2 (Transitividade) Sejam A _⊆ B _⊆ R anéis. Assim, R é inteiro sobreB eB é inteiro sobreA, se e somente se,R é inteiro sobreA.

Demonstração: SuponhamosR inteiro sobreB eB inteiro sobreA. Seα _∈ R, entãoα é inteiro sobreB. Logoα é raiz de um polinômio mônico f(x) = xn₊

bn−1xn−1+. . .+b1x+b0com coeficientes emB. TomandoB′ =A[b0, . . . , bn−1]

temos que α é inteiro sobreB′_{. Como}_B _{é inteiro sobre}_{A, segue que os}_b′ is sõ

inteiros sobre A. Pela Proposic¸˜ao 1.1 segue queB′_[_α_{] =} _A_[_b

0, . . . , bn−1, α]´e um

A-m´odulo finitamente gerado, e pelo Teorema 1.4 segue queα ´e inteiro sobreA.

PortantoR é inteiro sobreA. Reciprocamente, suponhamos queR é inteiro sobre A. Seα _∈R, entãoα é raiz de um polinômio mônico com coeficientes emA, ou seja,αn₊_a

n−1αn−1+. . .+a1α+a0 = 0comaiinApara todoi= 1, . . . , n−1.

ComoA _⊆ B, segue queai ∈ B para todoi= 1, . . . , n−1, ou seja,α ´e inteiro

sobreB. AssimR é inteiro sobreB. Agora, seα _∈B e comoB _⊆ Rsegue que α _∈R. Por hipótese, segue queα é inteiro sobreA. PortantoB é inteiro sobreA.

(24)

Proposição 1.3 Sejam Aum dom´ınio e B um anel tal queB _⊆ AeA é inteiro sobreB. Assim,A é um corpo se, e somente se,B é um corpo.

Demonstração: Suponhamos que A é um corpo e seja αum elemento não nulo deB. Logoα _∈ Ae possui inversoα−1 _∈ _{A. Como}_A _{é inteiro sobre}_{B, segue}

que α−1 _∈ _A _{é raiz de um polinômio mônico com coeficientes em} _{B, ou seja,}

α−n₊_a

n−1α−n+1+. . .+a1α−1+a0 = 0comai ∈B, parai= 1,2, . . . , n−1.

Multiplicando porαn−1_obtemos_α−1 ₌₋₍_a

n−1+. . .+a1αn−2+a0αn−1), o que

mostra que α−1 _∈ _B_{. Assim}_B _{´e um corpo. Reciprocamente, suponhamos que}

B é um corpo e sejaβ um elemento não nulo deA. Pelo Teorema 1.4 temos que B[β] é umB-módulo finitamente gerado. ComoB é um corpo, segue queB[β]é

um espaço vetorial de dimensão finita sobreB. Por outro lado, a função deB[β]

emB[β]que levayemβy é uma transformaçaõ linear injetiva, uma vez queB[β]

é um dom´ınio. Como a dimensão de B[β]sobreB é finita, segue que também é sobrejetora. Assim, existeβ′ _∈_B_[_β_]_⊆_A_{tal que}_ββ′ _{= 1}_{, ou seja,}_β _{é invers´ıvel}

emA. Portanto,A´e corpo.

Definição 1.9 Sejam A _⊆ R anéis. Dizemos que A é integralmente fechado em

RquandoIR(A) =A. SeA é um dom´ınio eKé o seu corpo de frações, dizemos queAé integralmente fechado seIK(A) = A.

Exemplo 1.3 1. Sejam A um dom´ınio eK o seu corpo de frações. O fecho inteiroIK(A)é integralmente fechado.

2. Todo anel de ideias principais ´e integralmente fechado.

3. Todo anel faotrial ´e integralmente fechado.

(25)

1. Temos queKtambém é o corpo de frações deIK(A)e que o fecho inteiro

de IK(A), dado por IK(IK(A)), ´e inteiro sobre IK(A). Como A ⊆ IK(A)

segue queIK(A) ´e inteiro sobreA. Portanto,IK(IK(A)) = IK(A)e assim

IK(A)´e integralmente fechado.

2. Por definição, um anel de ideais é um dom´ınio. Seja α um elemento de

K o corpo de frações de A. Suponha que α _∈ IK(A), ou seja, que α é

inteiro sobre A. Logoα é raiz de um polinômio mônico com coeficientes em A, ou seja,αn₊_a

n−1αn−1 +. . .+a1α+a0 = 0 comnai ∈ A, para

i = 1,2, . . . , n₋1. Tomandoα = b

c, onde b e c são elementos de A e primos entre si, e substituindo na equação obtemos que

bn

cn +an−1

bn−1

cn−1 +. . .+a1

b

c+a0 = 0.

Agora, multiplicando porcn_{ficamos com}

bn₊_a

n−1bn−1c+. . .+a1bcn−1+a0cn=bn+c(an−1bn−1+. . .+a1bcn−2+a0cn−1) = 0.

Assim bn ₌ ₋_c₍_a

n−1bn−1 +. . . +a1bcn−2 + a0cn−1), e assim c divide

bn_{. Como} _b _e _c _{s˜ao primos entre si, aplicando repetidamente o Lema de}

Euclides, segue quecdivide b. Logo, c ´e um elemento invers´ıvel emA, e assimα= b

c ∈A.PortantoA é integralmente fechado. 3. O argumento é análogo ao anterior.

1.4 Extens˜oes de corpos

Definic¸˜ao 1.10 Sejam R um anel e K um corpo tal que K _⊆ R. Um elemento

(26)

sobreK, então o polinômio mônicomα(x)de grau m´ınimo tal quemα(x) = 0 é chamado polinômio minimal deαsobreK.

Definic¸˜ao 1.11 SejamR um anel eKum corpo. O conjunto dos elementos deR

que são algébricos sobre K é chamado fecho algébrico de Kem R e denotado porIR(K).

Exemplo 1.4 O elemento α = √7 ₋√3 é algébrico sobre Q, pois é raiz do polinômiox4₋₂₀_x2_{+ 16}_{com coeficientes em}_Q_.

Definição 1.12 SejamRum anel eKum corpo tal queK_⊆R. Dizemos queR é algébrico sobreKse todo elemento deR é algébrico sobre K. SeR é um corpo,

R é chamado uma extensão algébrica deK.

Observac¸˜ao 1.3 SejamK_⊆Lcorpos

1. O fecho algébrico deKemLé igual aKse, e somente se,Lé uma extensão algébrica sobreK.

2. Todo elemento algébrico sobreK é um elemento inteiro sobre K. Em par-ticular, sobre corpos, elementos algébricos e inteiros são equivalentes.

Definição 1.13 Sejam Ke Lcorpos tal que K _⊆ L. Chamaremos de dimensão deLsobreKe denotamos por[L:K]o grau deLsobreK.

Assim podemos reescrever as equivalˆencias do Teorema 1.4 para corpos da

seguinte forma:

Teorema 1.6 Sejam K e L corpos tal que K _⊆ L e α um elemento de L. As seguintes afirmações são equivalentes:

(27)

2. [K[α] :K´e finito

Demonstração:(1)_⇒(2)Suponhamos queαé algébrico sobreKcom polinômio minimalmα(x)de graun. Temos queK(α)é espaço vetorial sobreKgerado por

{1, α, . . . , αn−1_}_{. Observamos que} _K₍_α₎ _{é fechado sobre a adição, subtração e}

multiplicac¸˜ao porα. Comoαn ₌₋_m_α(_α_{) +}_αn ₌_g₍_α₎_{, onde}_∂₍_g₎ _{< n, segue}

queK(α) é fechado sobre a multiplicação e assimK(α) é um anel. Finalmente, mostramos que sev _∈K(α),v ₆= 0, então 1

v ∈K(α). Temos quev =h(α), onde h(x)_∈ K[x]e∂(h)< n. Como mα(x)´e irredut´ıvel segue quemα(x)eh(x)s˜ao coprimos. Assim, existem p(x), q(x) _∈ K[x] tal que mαp(x) +h(x)q(x) = 1.

Logo, 1 = mα(α)p(α) +h(α)q(α) = h(α)q(α). Assim q(α) = 1

v ∈ K(α) e

[K[α] :K=n. Portanto[K[α] :K ´e finita.

2 _⇒ (1) Se[K[α] : K = n, ent˜ao _{1, α, . . . , αn_} _{´e linearmente dependente.}

Logo existem a0, a1, . . . , an ∈ K, na˜o todos nulos, tais quea−0 +a1α+. . .+

anαn = 0e da´ı temos queα ´e alg´ebrico sobreK.

Corolário 1.4 Toda extensão finita é algébrica

Demonstração: SejamLeKcorpos tal queK _⊆L,[L :K=m < _∞eα_∈ L. Como K[α] é um subespaço de L segue que K[α] : K = n _≤ m < _∞. Pelo Teorema 1.6 segue queα é algébrico sobreK. AssimLé uma extensão algébrica.

Definição 1.14 SejaLuma extensão do corpoQ. Se o grau deLsobreQé finito, dizemos queLé um corpo de números.

Teorema 1.7 (Multiplicidade dos Graus) SejamK,LeMcorpos. SeM é uma extensão algébrica finita deLeLé uma extensão algébrica finita deK, entãoM

(28)

Demonstrac¸˜ao: Sejam_{α1, α2, . . . , αm}uma base deMsobreLe{β1, β2, . . . , βn}

uma base de L sobre K. Verifiquemos que _{α1β1, . . . , αmβn} ´e uma base de

M sobre K. Se α _∈ M, ent˜ao α = α1β1 +. . .+ αnβn, onde aj ∈ L, para

i = 1,2, . . . , n. Agora, como cada aj ∈ L, segue que podemos escrevˆe-lo como

aj = b1α1 +b2α2 +. . .+bmαm, onde bi ∈ K, para i = 1,2, . . . , m. Assim

α = n

X

j=1

ajβj =

X

i,j

bi,jαiβj, onde bi,j ∈ K. Logo{α1β1, . . . , αmβn} gera M

sobreK. Da relac¸˜aoX

i,j

bi,jαiβj = 0, temos que n

X

j=1

m

X

i=1

bi,jαi

!

βj = 0. Como

{β1, β2, . . . , βn} ´e linearmente independente, segue que m

X

i=1

bi,jαi = 0e

nova-mente como _{α1, α2, . . . , αm} ´e linearmente independente segue que bi,j = 0

para todo i = 1,2, . . . , me j = 1,2, . . . , n. Assim, _{α1β1, . . . , αmβn}´e

linear-mente independente. Portanto ´e uma base deMsobreK. Al´em disso, temos que

[M:K] = [M:L][L:K].

Definição 1.15 Sejam L e M extensões de um corpoK. Dizemos que dois ele-mentosα _∈ Leα′ _∈ _M _{são conjugados sobre}_K_{se existe um}_K_-isomorfismo_ϕ

deK(α)emK(α′₎_{tal que}_ϕ₍_α_{) =} _α′

Definição 1.16 SejamLeMextensões de um corpoK. Dizemos queLeMsão conjugados sobreKou sãoK-isomorfos, se existe um K-isomorfismoσ deLem

Mtal queσa=a, para todoa_∈K.

Definição 1.17 SejaKum corpo. Dizemos queKtem caracter´ısticamsemα= 0para todo elementoα_∈K, emé o menor inteiro positivo com esta propriedade. Se mα ₆= 0para todo elemento não nuloα e inteiro positivo m, dizemos queK

(29)

Observação 1.4 Todo corpo possui um único subcorpo minimal, chamado

sub-corpo primo, e este é isomorfo aQou aZp, ondep é primo. Se é isomorfo aQo

corpo tem caracter´ısticap.

1.5 Norma e trac¸o

SejamA _⊆ R anéis tal queR é umA-módulo livre de posto finiton. Sejam

{α1, . . . , αn}uma base deRspbreAeϕ :R→Rum homomorfismo. Assim:

              

ϕ(α1) = a11α1+a12α2+. . .+a1nαn

ϕ(α2) = a21α1+a22α2+. . .+a2nαn

.. .

ϕ(αn) =an1α1+an2α2+. . .+annαn

comaij ∈A,e1≤i, j ≤n. Na forma matricial, temos

       

ϕ(α1)

ϕ(α2)

.. .

ϕ(αn)

       

=

       

a1,1 a1,2 . . . a1,n

a2,1 a2,2 . . . a2,n

..

. ... . .. ...

an,1 an,2 . . . an,n

       

       

α1

α2

.. .

αn

       

.

Definição 1.18 Sejam A _⊆ R anéis tal queR é um A-módulo livre de posto n. Seja o endomorfismoϕα :R→Rdado porϕα(x) =αx, comα∈R. Definimos:

1. O trac¸o deα _∈ Rrelativo aA, como o trac¸o do endomorfismoϕα e

deno-tamos porTrR/A(α) = TrR/A(ϕα).

2. A norma de α _∈ R relativo aA, como o determinante do endormorfismo

ϕαe denotamos porNR/A(α) = det(ϕα).

(30)

Observação 1.5 SejaA_⊆Ranéis tal queRé umA-módulo livre de posto finito. Seα, β _∈Rea_∈A, então

1. ϕα+ϕβ =ϕα+β.

2. ϕα◦ϕβ =ϕα◦β.

3. ϕaα=aϕα.

Além disso, a matriz de ϕa em relação a uma base de R sobre A é a matriz

diagonal ondea´e a entrada de todas as diagonais.

Para um endomofismoϕ, segue da ´Algebra Linear que:

1. O trac¸o deϕ ´e definido porTrR/A(ϕ) = n

X

i=1

aii,

2. A norma deϕ ´e definida porNR/A(ϕ) = det(aij), e

3. O polinˆomio caracter´ıstico deϕ ´e definido pordet(xI ₋ϕ) = det(xδi,j −

ai,j).

Para os endomorfismosϕeρtemos que:

1. TrR/A(ϕ+ρ) = TrR/A(ϕ) + TrR/A(ρ),

2. det(ϕ_·ρ) = det(ϕ)det(ρ)e 3. det(xI ₋ϕ) =xn₋_(Tr

R/A(ϕ))xn−1+. . .+ (−1)ndet(ϕ).

Agora, sejamK,LeMcorpos tal queK_⊆M_⊆Le[L :K] =n. Seα, β _∈ Le a _∈K, ent˜ao valem as seguintes propriedades:

1. TrL/K(α+β) = TrL/K(α) + TrL/K(β)

(31)

3. TrL/K(a) =na

4. NL/K(a) =an

5. NL/K(aα) =anNL/K(α)

6. NL/K(αβ) =NL/K(α)NL/K(β)

7. NL/K(α) =NM/K(NL/M(α))

8. TL/K(α) =TM/K(TL/M(α)).

Proposição 1.4 Sejam K um corpo finito ou de caracter´ıstica zero, L uma ex-tensão algébrica de K de grau n e α um elemento deL. Se α1, . . . , αn são as

ra´ızes do polinˆomio minimal deαsobreK, cada uma repetida [L: K(α)]-vezes, ent˜ao

1. TrL/K =α1 +. . .+αn,

2. NL/K =α1. . . αne

3. mα(x) = (x₋α1)(x−α2). . .(x−αn).

Além disso, o polinômio caracter´ıstico é a[L:K(α)]-ésima potência do polinômio minimal deαsobreK.

Demonstração: Suponhamos queα é um elemento de LsobreK, ou seja,L =

K[α]. Semα(x) =xn₊_a

n−1xn−1+. . .+a0,comai ∈Kparai= 0,1, . . . , n− 1, é o polinômio minimal de α sobre K, então L é K - isomorfo a K[x]

hmα(x)_i e

{1, α, . . . , αn−1_} _{´e uma base de}_L _sobre _K_{. Al´em disso, temos que a matriz do}

endomorfismoϕα :L→Lcom relação a base{1, α, . . . , αn−1}é dada por

M =

       

0 0 . . . 0 ₋a0

1 0 . . . 0 ₋a1

..

. ... . .. ... ...

0 0 . . . 1 ₋an−1

(32)

Assim, temos quedet(xI₋ϕα)´e determinante da matriz xIn−M =

       

x 0 . . . 0 a0

−1 x . . . 0 a1

..

. ... . .. ... ...

0 0 . . . ₋1 x+an−1

       

.

Logo pelo c´alculo do determinante da matriz xIn − M, obtemos o polinˆomio

caracter´ısticofα(x)deα, que é igual a mα(x), o polinômio minimal deα. Mas, por definição temos que,

fα(x) = det(xI₋ϕα(x)) = det(xIn−M)xn=xn− TrL/K(ϕα)

xn−1+. . .+(₋1)ndet(ϕα). Al´em disso, comoα ´e primitivo segue que

mα(x) = (x₋α1)(x−α2). . .(x−αn) =xn−

n

X

i=1

αi

!

xn−1+. . .+(₋1)n n

Y

i=1

αi

!

,

e da´ı obtemos que

xn₋ TrL/K(ϕα)

xn−1+. . .+(₋1)ndet(ϕα) =xn₋

n

X

i=1

αi

!

xn−1+. . .+(₋1)n n

Y

i=1

αi

!

.

Portanto,

TrL/K(ϕα) = TrL/K(α) =

n

X

i=1

αi e NL/K(ϕα) = NL/K(α) =

n

Y

i=1

αi.

Consideremos, agora o caso geral. Se [L : K[α]] = m, é suficiente mostrarmos que o polinômio caracter´ıstico fα(x) de α, com relação a L sobre K, é igual

a m-ésima potência do polinômio minimal de α sobre K. Se _{α1, . . . , αr} é

uma base de K[α] sobre K e _{β1, . . . , βm} ´e uma base de L sobre K[α], ent˜ao

{α1β1, . . . , αrβm} ´e uma base de Lsobre K. Pelo Teorema 1.7 temos quen =

rm. SejaM = (aih)a matriz so endomorfismo de K[α]sobreK com relac¸˜ao a

base(αi)1≤i≤r. Assimααi =

X

h

(aih)αh, e deste modo

α(αiβj) =

X

h

aihαh

!

βj =

X

h

(33)

Logo _

             

αα1β1 = a11α1β1+a12α2β1+. . .+a1rαrβ1

αα2β1 = a21α1β1+a22α2β1+. . .+a2rαrβ1

..

. = ...

ααrβ1 = ar1α1β1 +ar2α2β1+. . .+arrαrβ1

Agora, ordenamos a base_{α1β1, . . . , αrβm}deLsobreK, de modo que a matriz

do endomorfismo seja da forma

M1 =

       

M 0 . . . 0 0 0 M . . . 0 0

..

. ... . .. ... ...

0 0 . . . 0 M

       

,

isto ´e,Mse repetem-vezes na diagonal principal como blocos diagonais na matriz M1. Assim,

xIn−M1 =

       

xIn−M 0 . . . 0 0 0 xIn−M . . . 0 0

..

. ... . .. ... ...

0 0 . . . 0 xIn−M

       

,

e det(xIn −M1) = det(xIq −M)m. Dessa forma fα(x) = detxIn−M1 ´e o

polinômio caracter´ıstico deαsobreKedet(xIq−M)é o polinômio minimal de

αsobreK, de acordo com a primeira parte da demonstrac¸˜ao.

Observação 1.6 Da Proposição 1.4, segue que:

1. TrL/K(α) =mTrK[α]/K(α),

(34)

3. fα(x) = (mα(x))m

Exemplo 1.5 SejamL=Q(√7)eα=₋1 +√7_∈Q(√7). O polinˆomio carac-ter´ıstico deαsobreQ´efα(x) = x2₊₂_x₋₆_,_Tr

L/Q(α) = −2eNL/Q(α) = −6. Se

Q(i,√7), então temos quem = [M :L] = 2. Assim, pela Observaçãõ 1.6, segue que TrM/Q(α) = 2(TrL/Q(α)) = 2·(−2) = −4e NM/Q(α) = (NL/Q(α))2 =

(₋6)2 = 36.

Proposição 1.5 SejamAum dom´ınio eKseu corpo de frações, ondeKtem car-acter´ıstica zero. Se L é uma extensão finita deKeα _∈ L é um elemento inteiro sobre A, então os coeficientes do polinômio caracter´ıstico fα são inteiros sobre

A. Em particular,TrL/K eNL/K s˜ao inteiros sobreA.

Demonstração: Pela Proposição 1.4 temos que o polinômio caracter´ıstico deα é dado porfα = (x−α1)(x−α2). . .(x−αn),ondeα1, α2, . . . , αnsão as ra´ızes

do polinômio minimal deα. Como os coeficientes defα(x)são a menos de iso-morfismos somas e produtos dosαi, segue que é suficiente mostrar que osαi são

inteiros sobreA, uma vea que, pelo Corolário 1.1, temos que a soma, a diferença e o produto são inteiros emA. Pela Teoria de Galois temos que, cadaαi é

con-jugado de α sobre K e assim existe K-isomorfismo σi : K[α] → K[αi]tal que

σi(α) = αi, para todo i = 1, . . . , n. Assim, como α ´e inteiro sobre A, segue

queαn₊_a

n−1αn−1+. . .+a1α+a0 = 0, comai ∈ A, n˜ao todos nulos.

Apli-candoσiobtemos queσi(α)n+an−1σi(α)n−1+. . .+a0 = 0,e consequentemente

αn

i +an−1αn−i 1 +. . .+a1αi +a0 = 0, ou seja, αi ´e inteiro sobre A, para cada

i= 1,2, . . . , n. Portanto os coeficientes defα(x)s˜ao inteiros sobreA.

Corolário 1.5 Se A é um anel integralmente fechado, então os coeficientes do polinômio caracter´ısticofα(x)são elementos deA. Em particular,TrL/KeNL/K

(35)

Demonstração: Os coeficientes do polinômio caracter´ısticofα(x)são elementos deKe são inteiros sobreA. ComoAé integralmente fechado, os coeficientes de fα(x)pertencem aA. Assim,TrL/K eNL/K são elementos deA.

Proposição 1.6 SejamAum anel integralmente fechado,Kseu corpo de frações,

Luma extens˜ao finita deKde grauneIL(A)o anel dos inteiros deAemL. Sejam {α1, . . . , αn}uma base deL sobreK, ondedet(TrL/K(αiαj)) 6= 0eα ∈ L. Se TrL/K(αβ) = 0para todoβ ∈L, ent˜aoalpha= 0.

Demonstração: Seα _∈ L, então α =a1α1+a2α2+. . .+anαn, onde ai ∈ K,

parai=, . . . , n. Assim, ´e suficiente mostrarmos que seTr(ααj) = 0, para cada

j = 1,2, . . . , nent˜aoα = 0. Deste modo, temos que

0 = TrL/K(ααj) =a1TrL/K(α1αj) +a2TrL/K(α2αj) +. . .+anTrL/K(αnαj),

para cadaj = 1, . . . , ne na forma matricial temos que

       

TrL/K(α1α1) TrL/K(α2α1) . . . TrL/K(αnα1)

TrL/K(α1α2) TrL/K(α2α2) . . . TrL/K(αnα2)

..

. ... . .. ...

TrL/K(α1αn) TrL/K(α2αn) . . . TrL/K(αnαn)

       

       

a1

a2

.. .

an

       

=

       

0

.. .

0

       

.

Comodet(TrL/K(αiαj))6= 0segue quea1 =a2 =. . .=an= 0. Portantoα= 0.

Corolário 1.6 Com as mesmas hipóteses da Proposição 1.6, temos que a aplicação

ρ : L _→ HomK(L,K) dada por ρ(α) = Sα, onde Sα(β) = TrL/K(αβ), com

(36)

Demonstração: Seα1, α2 ∈L, então

        

ρ(α1+α2)(β) = TrL/K((α1+α2)(β)) = TrL/K(α1β) + TrL/K(α2β)

=Sα1(β) +Sα2(β) = (ρ(α1) +ρ(α2))(β), e

ρ(aα)(β) = Saα(β) = TrL/K(aαβ) =aTrL/K(αβ) = aSα(β) = aρ(α)(β),

para todo β _∈ L. Assim, ρé um homomorfismo. Agora, se α _∈ L é tal que ρ(α) = 0, então ρ(α)(β) = Sα(β) = TrL/K(αβ) = 0, para todo β ∈ L.

Pela Proposição 1.6, segue que α = 0. Assim, ρ é injetora. Além disso, como

dimKL = dim(HomK(L,K)), segue que ρ ´e sobrejetora. Portanto, ρ ´e um

iso-morfismp.

Teorema 1.8 Se A é um anel integralmente fechado, Kseu corpo de frações,L

uma extens˜ao finita deKde grauneIL(A)o anel dos inteiros deAemL, ent˜ao

IL(A)é umA-submódulo de umA-módulo livre.

Demonstração: Seja _{α1, α2, . . . , αn} uma base de L sobre K. Pelo Corolário

1.3 temos que toda extensão finita é algébrica, logo todos os a′

is s˜ao alg´ebricos

sobre K, ou seja, existemai ∈ A, para i = 0,1, . . . , nn˜ao todos nulos, tal que

anαni +an−1αin−1 +. . .+a0 = 0. Supondo, sem perda de generalidade, que

an6= 0e multiplicando esta equac¸˜ao poran−n 1, obtemos que

an−_n 1(anαni +. . .+a0) = (anαi)n+an−1(anαi)n−1+. . .+an−n 1a0 = 0,

ou seja, anαi ´e inteiro sobre A, para i = 1,2, . . . , n. Agora, seja anαi = βi ∈

IL(A), parai = 1,2, . . . , n. Mostremos que{β1, . . . , βn} ´e uma base deLsobre

K. Para isso, suponhamos queb1β1+b2β2+. . .+bnβn= 0, ondebi ∈A, parai= 1, . . . , n. Logob1anα1+b2anα2+. . .+bnanαn= 0,e como{α1, . . . , αn}´e uma

base deLsobreKsegue quebian = 0e portantobi = 0parai= 1, . . . , n. Assim,

{β1, . . . , βn} ´e linearmente independente e como possuinelementos segue que ´e

(37)

uma base dual _{γ1, . . . , γn} tal que ρ(βi)(γj) = Sβi(γj) = TrL/K(βiγj) = δij.

Agora se α _∈ IL(A)ent˜aoαβi ∈ IL(A), parai = 1, . . . , n. Pelo Corol´ario 1.5,

segue queTrL/K(αβi)∈Aparai= 1, . . . , n. Assim, comoα=c1γ1+. . .+cnγn,

com ci ∈ K, para i = 1, . . . , n, segue que TrL/K(αβi) = ci ∈ A, para i = 1, . . . , n. Portanto, IL(A) é um submódulo de um A-módulo livre gerado por {γ1, . . . , γn}.

Corolário 1.7 Com as mesmas hipóteses do Teorema 1.8, seA é um anel princi-pal, então

1. IL(A)´e umA-m´odulo livre de poston.

2. Se_{A ⊆}IL(A) é um ideal , entãoA é umA-módulo livre de poston.

Demonstrac¸˜ao:

1. SeA é um anel principal, então temos que um submódulo de umA-módulo livre é livre de posto menor ou igual an. Logo, pelo Teorema 1.4, segue que IL(A)contém uma base de L sobre Kque possui n elementos. Portanto,

IL(A)tem poston.

2. Sejam α um elemento n˜ao nulo de _A e _{α1, . . . , αn}uma base de IL(A).

Se a1αα1 +. . .+anααn = 0, com ai ∈ A, para i = 1, . . . , n. Assim

{αα1, . . . , ααn} ∈ A. Portanto,A ´e umA-m´odulo livre de poston.

1.6 Discriminante de uma n-upla

Definição 1.19 SejamA_⊆Ranéis tal queRé umA-módulo livre de posto finito

(38)

de_{α1, . . . , αn}por

DR/A(α1, . . . , αn) = det(TrR|A(αiαj)),

ondei, j = 1,2, . . . , n.

Exemplo 1.6 SeK = Q(√7)é um corpo de números e_{1,√7_}é um conjunto de elementos deK, então

DK/Q(1, √

7) =

TrK/Q(1) TrK/Q( √

7)

TrK/Q( √

7) TrK/Q( √

7)2

=

2 0

0 14

= 28.

Proposição 1.7 SejamA_⊆Ranéis tal queRé umA-módulo livre de posto finito

n. Se_{β1, . . . , βn} ´e um conjunto de elementos deRtal queβi = n

X

j=1

aijαj,com

aij ∈Aparai= 1, . . . , n,ent˜ao

DR/A(β1, . . . , βn) = (det(aij))2DR/A(α1, . . . , αn).

Demonstração: Por definição temos que

DR/A(β1, . . . , βn) = det(TrR/A(βrβs)),

ondeβr= n

X

i=1

ariαi,βs = n

X

j=1

asjαj eβrβs= n

X

i=1

ariasjαiαj. Assim

TrR/A(βrβs) = n

X

i=1

ariasjTrR/A(αiαj),

e na forma matricial obtemos que

(TrR/A(βrβs)) = (ari)(TrR/A(αiαj))(asj)t.

Logo,

DR/A(β1, . . . , βn) = det(TrR/A(βrβs)) = det((ari)(TrR/A(αiαj))(asj)t)

= det(ari)det(TrR/A(αiαj))det(asj)t)

(39)

Corolário 1.8 Sejam A _⊆ R anéis tais que R é um A-módulo livre de posto finiton e Aum dom´ınio. Se _{α1, . . . , αn}e{β1, . . . , βn}são bases de R, então

DR/A(α1, . . . , αn)eDR/A(β1, . . . , βn)s˜ao associados ou ambos possuem

deter-minantes nulos.

Demonstração: Como_{α1, . . . , αn}e{β1, . . . , βn}são bases de R, segue que

existem elementos aij ∈ A tais que βj = n

X

i=1

aijαi, para todo j = 1, . . . , n.

Assim, pela Proposic¸˜ao 1.7, temos que

DR/A(β1, . . . , βn) = (det(aij))2DR/A(α1, . . . , αn).

Como (aij) ´e uma matriz invers´ıvel, segue quedet(aij) ´e uma unidade do anel

A. Assim, DR/A(α1, . . . , αn) e DR/A(β1, . . . , βn) s˜ao elementos associados ou

ambos determinantes s˜ao nulos.

Exemplo 1.7 No Exemplo 1.6, vimos que o discriminante da base _{1,√7_} de

Q(√7)é28. Tomando_{1+√7,₋4₋√7_}como outra base deK, pela Proposiçaõ 1.7, temos que

DK/Q(1 + √

7,₋4₋√7) =

1 1

−4 ₋1

2

DK/Q(1, √

7) = (3)228 = 756.

Proposição 1.8 Sejam A um dom´ınio, R um anel tal que A _⊆ R e R é um A -módulo livre de posto finito n. Se o conjunto _{α1, . . . , αn} de elementos deR é

linearmente dependente sobreA, ent˜ao

(40)

Demonstração: Como _{α1, . . . , αn} é linearmente dependente sobre A, segue

que existema1, . . . , an∈A, n˜ao todos nulos, tal quea1α1+. . .+anαn= 0.

Reor-denando e tomandoa1 6= 0, consideremos o conjunto{α′1, . . . , α′n}de elementos

deR, ondeα‘′

1 = 0eα′i =αiparai= 2, . . . , n. Assim,α′i =a1,iα1+. . .+an,iαn

para i = 2, . . . , n, onde aj,1 = aj, e se i > 1temos que aj,i = 1para j = i e

aj,i = 0paraj 6= i. Temos que DR/A(α1′, . . . , α′n) = DR/A(0, α2, . . . , αn) = 0,

pois a matriz da aplicação do traço possui a primeira linha nula. Assim, pela

Proposic¸˜ao 1.7 segue que

0 =DR/A(0, α2, . . . , αn) = DR/A(α′1, . . . , αn′) = det(aij)2DR/A(α1, . . . , αn).

Mas

(ai,j) =

       

a1 0 . . . 0

0 1 . . . 0

..

. ... . .. ...

0 0 . . . 1

       

,

logodet(aij) =a1 6= 0. Portanto, comoA´e um dom´ınio segue queDR/A(α1, α2, . . . , αn) =

0.

Lema 1.9 (Lema de Dedekind) SeG´e um grupo,Kum corpo, eσ1, . . . , σns˜ao

homomorfismos distintos deGno grupo multiplicativoK∗, ent˜ao os σ′

iss˜ao

lin-earmente independentes sobreK.

Demonstrac¸˜ao: Suponhamos, por absurdo, que os σ′

is s˜ao linearmente

depen-dentes. Assim, existem a1, . . . , an ∈ K, n˜ao todos nulos, tal que n

X

i=1

aiσi = 0,

com o n´umero rdos a′

isn˜ao nulos o menor poss´ıvel. Temos que r ≥ 2, pois os

σ′

issão não nulos. Seg ∈G, então

(41)

Como os σ′

is são homomorfismos, segue que a Equação 1.2 é válida para todo

g _∈G. Assim, paragh, comh_∈G, temos que

a1σ1(g)σ1(h) +a2σ2(g)σ2(h) +. . .+arσr(g)σr(h) = 0. (1.3)

Multiplicando a Equac¸˜ao 1.2 porσ1(h)obtemos que

a1σ1(g)σ1(h) +a2σ2(g)σ1(h) +. . .+arσr(g)σ1(h) = 0,

e subtraindo da Equac¸˜ao 1.3 segue que

a2(σ1(h)−σ2(h))σ2(g) +. . .+ar(σ1(h)−σr(h))σr(g).

Como isso vale para todog _∈Ge como tomamosro menor poss´ıvel, segue que a2(σ1(h)−σ2(h)) = 0. Assim σ1(h) = σ2(h), para todoh ∈ G,pois a2 6= 0.

Mas isto contradiz a hip´otese de que os σ′

is s˜ao distintos. Portanto os σi′s s˜ao

linearmente independentes.

Proposição 1.9 SejamL uma extensão finita de graun de um corpoK, ondeK

´e finito ou tem caracter´ıstica zero, eσ1, . . . , σn, os distintosK-isomorfismo deL.

Se_{α1, . . . , αn}´e uma base deLsobreK, ent˜ao

DL/K(α1, . . . , αn) = det(σi(αj))2 6= 0.

Demonstração: Por definição DL/K(α1, . . . , αn) = det(TrL/K(αiαj)). Como o

trac¸o deαiαj ´e a soma de seus conjugados, segue que

DL/K(α1, . . . , αn) = det(TrL/K(αiαj)) = det

X

k= 1nσk(αiαj)

.

Mas, temos que

       

σ1(α1) σ2(α1) . . . σn(α1)

σ1(α2) σ2(α2) . . . σn(α2)

..

. ... . .. ...

σ1(αn) σ2(αn) . . . σn(αn)

       

       

σ1(α1) σ1(α2) . . . σ1(αn)

σ2(α1) σ2(α2) . . . σ2(αn)

..

. ... . .. ...

σn(α1) σn(α2) . . . σn(αn)

       

= n

X

k=1

(42)

Assim,detXk = 1nσk(αiαj)

= det(σi(αj))2. Portanto,DL/K(α1, . . . , αn) = det(σi(αj))2_{. Agora, se}_det(_σ_i(_α

j) = 0, ent˜ao existema1, . . . , an∈C, n˜ao todos

nulos, tal que

n

X

i=1

aiσi(αj) = 0,paraj =,2, . . . , n. Pela linearidade conclu´ımos

que

n

X

i=1

aiσi(α) = 0, para todoα∈ L, o que ´e absurdo, pois pelo Lema 1.9 osσi

s˜ao linearmente independentes. Logodet(σi(αj))2 6= 0. Portanto,

DL/K(α1, . . . , αn) = det(σi(αj))2 6= 0.

Exemplo 1.8 Sejam K = Q(√7) e α = a +b√7 _∈ K. Como [K : Q] = 2, segue que existem doisQ-isomorfismos, σ1, σ2, ondeσ1(a+b

√

7) = a+b√7e

σ2(a+b

√

7) =a₋b√7. Como_{1,√7_}´e uma base deQ(√7)sobreQsegue que

DK/Q(1, √

7) =

1 1

√

7 ₋√7

2

(₋2√7)2 = 28.

Proposição 1.10 SeKé um corpo finito ou de caracter´ıstica zero,L=K[α]uma extensão finita deKde graunemα(x)o polinômio minimal deαsobreK, então

DL/K(1, α, . . . , αn−1) = (−1)

1

2n(n−1)N_L_/_K(m′

α(α)),

ondem′

α(x)´e a derivada demα(x).

Demonstração: Sejamα, α2_{, . . . , α}n _{as ra´ızes de}_m_α(_x₎_{em uma extensão de}_K_,

que são conjugados deα. Pela Proposição 1.9, segue queDL/K(1, α, . . . , αn−1) =

det(σi(αj₎₎2_{, onde}_σ

i,1 ≤ i ≤ n, s˜ao os K-isomorfismos deK[α]. Al´em disso,

temos que

det(σi(αj)) =

       

σ1(α) σ2(α) . . . σn(α)

σ1(α2) σ2(α2) . . . σn(α2)

..

. ... . .. ...

σ1(αn) σ2(αn) . . . σn(αn)

       

=

       

σ1(α1) σ2(α)1 . . . σn(α)1

σ1(α)2 σ2(α)2 . . . σn(α)2

..

. ... . .. ...

σ1(α)n σ2(α)n . . . σn(α)n

       

(43)

que ´e um determinante de Vandermonde. Logo,

det(σi(αj)) = Y

1≤i<j≤n

(αi₋αj), e assim,

DL/K(1, α, . . . , αn−1) =

Y

1≤i<j≤n

(αi₋αj)2. Por outro lado, como polinˆomio minimal de α ´e dado pormα(x) =

n

Y

i=1

(x₋αi)

segue que

m′_α(x) = n

X

j=1

n

Y

i=1,i6=j

(x₋αi) e m′_α(αj) = n

Y

i=1,i6=j

(αj ₋αi). Assim,

n

Y

j=1

m′_α(αj) = n

Y

i,j=1,i6=j

(αj₋αi), e como

n

Y

j=1

m′_α(αj) =NL/K(m′α(α)), segue que

NL/K(m′α(α)) = n

Y

i,j=1,i6=j

(αj₋αi). (1.4)

Agora, em

n

Y

i,j=1,i6=j

(αj ₋αi)cada fator(αi₋_αj₎_para_{i < j} _{aparece duas vezes,}

uma como(αi₋_αj₎_{e outra como}₍_αj₋_αi₎_{, e o produto das duas ´e}₋₍_αi₋_αj₎2_.

Assim, no produto da Equação 1.4 aparece o termo(₋1)s_{, onde}_s _{é o número de}

pares(i, j), com1_≤i < j _≤n, ou seja, NL/K(m′α(α)) =

Y

1≤i<j≤n

(₋1)s(αi₋αj)2. Mas, para

              

i= 1, temos j = 2,3, . . . , n e s= 1

i= 2, temos j = 3,4, . . . , n e s= 2

.. .

(44)

Assim

(n₋1) + (n₋2) +. . .+ 1 = ((n−1) + 1)n−1

2 =

1

2n(n−1) =s.

Logo

NL/K(m′α(α)) = (−1)

1 2n(n−1)

Y

1≤i<j≤n

(αi₋αj)2. Portanto

NL/K(m′α(α)) = (−1)

1

2n(n−1)D_L_/_K(1, α, . . . , αn−1) e deste modo

DL/K(1, α, . . . , αn−1) = (−1)

1

2n(n−1)N_L

/K(m′α(α)),

Exemplo 1.9 Sejam L = Q(√7) e mα(x) = x2 ₋ ₇ _{o polinˆomio minimal de}

α =√7sobreQ. Temos quem′ α(

√

7) = 2√7, eNL/K(2 √

7) =₋28. Assim, pela Proposic¸˜ao 1.10, segue que

DL/K(1, √

7) = (₋1)122N_L_/_K(m′

α(

√

(45)

Resultados Auxiliares

Seja α um número algébrico sobre o corpo de números racionais Q, cujos conjugados α1, α2, . . . , αd (com α um destes) são considerados de forma que

|α1| ≥ |α2| ≥. . .≥ |αd|. Denotaremos pora=a(α)o coeficiente l´ıder(positivo)

do polinˆomio minimal deα(emZ[x]). Suponhamosd_≥2.

Definição 2.1 O discriminante deαé definido como sendo

∆(α) = a2d−2_· Y

1≤i≤j≤d

(αi−αj)2 (2.1)

Observação 2.1 Da demonstração da Proposição1.10temos que

D(1, α, α2, . . . , αd−1) = Y

1≤i<j≤d

(αi−αj)2.

Assim,∆(α) =a2d−2_·_D₍₁_{, α, α}2_{, . . . , α}d−1₎_.

Definic¸˜ao 2.2 Definimos a medida de Mahler deαcomo sendo

M(α) = a_·

d

Y

j=1

max_{1,_|αj|} (2.2)

(46)

Definic¸˜ao 2.3 Definimos a altura de Weil deαcomo sendo

h(α) =

1

d

logM(α) (2.3)

Definic¸˜ao 2.4 Definimos a altura de Remak deαcomo sendo

R(α) =_|a_||α1| · |α2| d−2

d−1 ·. . .· |α_d−| 2

d−1 · |α_d−₁| 1

d−1 (2.4)

Exemplo 2.1 Seja α = 1 +√2 número algébrico sobre o corpo dos números racionaisQeP(x) =x2₋₂_x₋₁_{seu polinômio minimal de}_α_.

Como os coeficientes deP(x)est˜ao emZtemos,

∆(1 +√2) = 1_·(1 +√2₋(1₋√2))2 = (2√2)2 = 8

M(1 +√2) = 1_·max_{1,_|1 +√2_{|} ·}max_{1,_|1₋√2_|}= 1 +√2

R(1 +√2) = 1_{· |}1 +√2_|= 1 +√2

Agora, vamos demonstrar alguns resultados que serão úteis nas demonstrações

dos Lemas deste Cap´ıtulo e do Cap´ıtulo posterior.

Iniciaremos mostrando que

1_{≤ |}∆(α)_{| ≤}M(α)2(d−1)dd, com n _≥2 inteiro (2.5) Sabemos queD(1, α, α2_{, . . . , α}d−1_{) = (}₋₁₎d(d₂−1)_N₍_P′₍_α₎₎_{, onde}_N _{´e a norma}

eP′ _{é o polinômio derivado do polinômio caracter´ıstico. Logo,}_|_∆(_α₎_{| ≥}₁_.

Agora, vejamos

∆(α) = a2d−2_· Y

1≤i<j≤d

(αi−αj)2 =a2d−2

1 α1 α21 . . . αd−1 1

1 α2 α22 . . . αd−2 1

..

. ... ... . .. ...

1 αd α2d . . . αd−d 1

(47)

ondeAi = (1αiα2i . . . αd−i 1).

Da desigualdade de Hadamard, temosdet[A1A2. . . Ad]≤ |A1|. . .|Ad|. Logo,

|∆(α)_{| ≤}a2d−2_|A1|2|A2|2. . .|Ad|2 , |Ai|=

q

1 +α2

i +α4i +. . .+α

2(d−1)

i

|∆(α)_{| ≤}a2d−2_·(1+α2_i+α4_i+. . .+α2(_i d−1))(1+α2_i+α4_i+. . .+α2(_i d−1)). . .(1+α2_i+α4_i+. . .+α2(_i d−1))

|∆(α)_{| ≤}a2d−2d_·max(1,_|α1|)2d−2 d·max(1,|α2|)2d−2

. . .d_·max(1,_|αd|)2d−2

|∆(α)_{| ≤}a2d−2_·dd_·

d

Y

i=1

max(1,_|αi|)2d−2 =dd·(M(α))2d−2.

Um outro resultado importante ´e

|∆(α)_{| ≤}R(α)2(d−1)dd. (2.6) Sejamqi =

αi

αi−1

parai= 2,3, . . . , d,π1 =

d−1

Y

i=1

α2(_i d−1) e

π2 =

d−1

Y

i=1

  

d

Y

j=i+1

1₋

j

Y

k=i+1

qk

!2

 .

Como_|α1| ≥ |α2| ≥ |α3| ≥. . .≥ |αd|, temos que|qi|= |

αi|

|αi−1| ≤

1.

Da definic¸˜ao 2.1, temos

∆(α) =a2d−2π1π2.

Como_|π2| ≤ddtemos que

|∆(α)_{| ≤ |}a_|2(d−1)_|π1| ·dd =|a|2(d−1)|α1|2(d−1)|α2|2(d−1). . .|αd−1|2·dd.

Segue da Definic¸˜ao 2.4 que

|∆(α)_{| ≤}R(α)2(d−1)dd.