MATEMÁTICA FINANCEIRA

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Edição - 2007

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QUIPE

ALEXANDRERIBEIRO, ANGÉLICAJORGE, CEFASGOMES, CLAUDERFILHO, DELMARABRITO, DIEGODORIAARAGÃO, FÁBIO GONÇALVES, FRANCISCOFRANÇAJÚNIOR, HERMÍNIOFILHO, ISRAELDANTAS, LUCAS DOVALE, MARCIOSERAFIM, MARIUCHA

PONTE, RUBERVALFONSECA ETATIANACOUTINHO.

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Sumário

Bloco 1: A Matemática e o Cálculo Financeiro 6

Tema 1: Progressões Aritméticas e Geométricas, Juros Simples e Compostos 6

1.1 Progressões Aritméticas . . . . 6

1.1.1 Classificação das Progressões Aritméticas. . . . 7

1.1.2 Termo Geral de uma Progressão Aritmética . . . . 7

1.1.3 Representações Especiais de uma PA . . . . 8

1.1.4 Soma dos n Primeiros Termos de uma PA . . . 10

1.1.5 Exercícios Propostos . . . 11

1.2 Progressões Geométricas . . . 12

1.2.1 Termo Geral de um Progressão Geométrica . . . 13

1.2.2 Representação Especial de uma PG . . . 14

1.2.3 Soma dos n Primeiros Termos de uma PG . . . 15

1.2.4 Soma dos Infinitos Termos de uma PG . . . 16

1.2.5 Exercícios Propostos . . . 17

1.3 Juros Simples . . . 17

1.3.1 Introdução . . . 17

1.3.2 Capitalização Simples . . . 18

1.3.3 Taxas Equivalentes em Juros Simples . . . 19

1.3.4 Análise Gráfica . . . 20

1.3.5 Exercícios Propostos . . . 22

1.4 Juros Compostos . . . 23

1.4.1 Capitalização Composta . . . 23

1.4.2 Taxas Equivalentes em Juros Compostos . . . 25

1.4.3 Análise Gráfica . . . 26

1.4.4 Juros Simples × Juros Compostos . . . 26

1.4.5 Exercícios Propostos . . . 29

1.4.6 Taxa Nominal × Taxa Efetiva . . . 30

1.4.7 Exercícios Propostos . . . 31

Tema 2: Descontos e Equivalência de Capitais 33 2.1 Fluxo de Caixa . . . 33

2.2 Equivalência de Capitais . . . 33

2.2.1 Equivalência de Capitais a Juros Compostos . . . 34

2.2.2 Exercícios Propostos . . . 35

2.3 Desconto . . . 36

2.4 Desconto Racional Simples . . . 36

2.4.1 Exercícios Propostos . . . 38

2.5 Desconto Comercial Simples ou Bancário . . . 38

2.5.1 Exercícios Propostos . . . 40

2.6 Relação entre os Descontos: Racional Simples e Comercial Simples . . . 40

2.7 Desconto Bancário . . . 41

2.8 Desconto Racional Composto . . . 42

2.8.1 Exercícios Propostos . . . 43

2.9 Desconto Comercial Composto . . . 43

2.9.1 Exercícios Propostos . . . 44

Bloco 2: Pagamentos, Financiamentos e Análise de Investimentos 45 Tema 3: Série de capitais, Inflação e Depreciação 45 3.1 Série de Capitais . . . 45

3.1.1 Série Postecipada . . . 45

3.1.2 Exercícios Propostos . . . 50

3.1.3 Séries Antecipadas. . . 51

3.1.4 Exercícios Propostos . . . 54

3.1.5 Séries Diferidas . . . 55

3.1.6 Séries Diferidas Postecipadas . . . 55

3.1.7 Exercícios Propostos . . . 57

3.1.8 Séries Diferidas Antecipadas . . . 58

3.1.9 Exercícios Propostos . . . 59

3.2 Inflação . . . 60

3.2.1 Atualização de Preços . . . 60

3.2.2 Taxa Nominal e Taxa Real . . . 61

3.2.3 Exercícios Propostos . . . 62

3.3 Depreciação . . . 62

3.3.1 Método de Depreciação Linear . . . 63

3.3.2 Plano de Depreciação . . . 63

3.3.3 Exercícios Propostos . . . 64

Tema 4: Sistemas de Amortização e Análise de Investimentos 65 4.1 Sistemas de Amortização . . . 65

4.2 Sistema de Amortização Constante - SAC . . . 66

4.2.1 Exercícios Propostos . . . 70

4.3 Sistema de Amortização Francês - SAF . . . 70

4.3.1 Exercícios Propostos . . . 75

4.4 Sistema de Amortização Americano - SAA. . . 76

4.4.1 Exercícios Propostos . . . 77

4.5 Sistema de Amortização Variável - SAV . . . 77

4.5.1 Exercícios Propostos . . . 79

4.6 Análise de Investimentos . . . 79

4.6.1 Métodos de Avaliação de Investimentos . . . 79

4.6.2 Método do Valor Presente Líquido - VPL . . . 80

4.6.3 Exercícios Propostos . . . 82

4.6.4 Método da Taxa Interna de Retorno - TIR . . . 83

4.6.5 Exercícios Propostos . . . 85

4.6.6 Método do Prazo de Retorno - “PayBack ” . . . 86

4.6.7 Exercícios Propostos . . . 88

Referências Bibliográficas 89

Caro aluno ,

Poderíamos afirmar, sem equívoco algum, que, em forma resumida, a matemática financeira possui, basicamente, dois aspectos importantes: Os juros simples e os juros compostos.

A matemática financeira poderia ser definida como a matemática do cotidiano, do dia-a-dia de cada um de nós. No simples ato de adquirir um certo bem de consumo, um televisor numa compra a prazo ou, então, pedir um desconto por estar comprando algo a vista, são exemplos práticos da influência da matemática financeira, seja por meios diretos ou indiretos, na vida de todos nós.

O interessante na leitura deste material é que o aluno possa adquirir conhecimento suficiente ao ponto de questionar situações cotidianas como, por exemplo, saber se tal financiamento na hora de comprar um carro é, realmente o melhor dentre as opções fornecidas.

No tema 1, as progressões aritméticas e geométricas, tão importantes no ensino médio, junta- mente com os princípios básicos da matemática financeira, que são os juros simples e compostos.

No tema 2, estudaremos equivalência de capitais e descontos, onde daremos bastante ênfase a situações do cotidiano. No tema 3, estudaremos todos os tipos de séries de pagamentos: posteci- pada, diferida e antecipada. Tais séries são utilizadas em situações como financiamento de imóveis, carros, compras a prazo, etc. No tema 4, abordaremos os principais sistemas de amortização, falaremos um pouco sobre inflação e depreciação.

O estudo a distância é feito com base no estudante. Aqui o material apresenta a teoria de modo didático. Faça uma leitura de efeito, ou seja, com atenção e muita paciência, de modo que, todo conceito aqui escrito possa ser compreendido e assimilado.

Agradecemos a ajuda de todos os professores que, exerceram, de algum modo, influência na construção desse material e, também, aos alunos leitores que nos ajudarão, continuamente, a aprimorá-lo.

Desejamos uma boa leitura, e que Deus nos abençoe nesta caminhada.

Prof. Maurício Porto Silva.

A PRESENTAÇÃO DA D ISCIPLINA

BLOCO 01

A Matemática e o Cálculo Financeiro

TEMA 01 Progressões Aritméticas e Geométricas, Juros Simples e Compostos

Apresentação

Os conceitos de capitalização simples (Juros Simples) e de capitalização composta (Juros Compostos) estão presentes no dia-a-dia, seja de forma direta ou indireta. Adquirir um certo bem de consumo numa loja comercial qualquer, aplicar um certo valor em dinheiro numa caderneta de poupança são exemplos práticos da utilização da matemática financeira no cotidiano. Assim sendo, alguns questionamentos importantes se fazem presentes neste momento. Por exemplo: “Qual será a melhor forma de investir o nosso dinheiro?”, ou então:

“Será que essa forma de pagamento é a melhor dentre todas as disponíveis?”. A resposta de tais perguntas não é tão difícil quanto parece; contudo, a compreensão dos conceitos e aplicações dos juros simples e compostos serão de fundamental importância para que possamos encontrar as respostas.

Os conceitos de juros simples e compostos serão abordados neste tema; aplicações e exercícios para a fixação de todos os conceitos que serão apresentados se fazem presentes também. A matemática financeira possui uma linguagem ou forma de apresentação bastante simples e direta, tornando o estudo mais atrativo e interessante.

Antes do estudo dos juros simples e compostos, faremos uma breve revisão sobre as progressões, um caso particular das seqüências numéricas. Entender os conceitos sobre progressões aritméticas e geométricas será muito importante dentro do contexto dos juros simples e compostos.

1.1 Progressões Aritméticas

Introdução

Bissexto é o ano em que ao mês de fevereiro é atribuído 29 dias ao invés de 28. Eles foram introduzidos no nosso calendário e são contados de quatro em quatro anos. Na realidade, um ano possui 365 dias e 6 horas e, para que possamos definir um ano com uma quantidade exata de dias, foi necessário criar o ano bissexto e, assim, a cada 4 anos as 24 horas acumuladas seriam compensadas. Sendo assim, os anos passaram a ter 365 dias exceto os bissextos, com 366 dias.

Suponha que, a partir do ano de 2000, estivéssemos interessados em contar os anos bissextos. Assim, podemos escrever:

2.000, 2.004, 2.008, 2.012, . . .

e, dessa forma, percebemos que todos os anos bissextos, a partir do ano de 2.000, formam uma seqüência numérica. Observa-se, também, que os elementos dessa seqüência são acrescidos em 4 unidades a partir do primeiro termo que no caso em questão seria o ano de 2.000. Podemos visualizar a relação entre esses elementos de uma outra maneira, por exemplo, denotando por:

a

1

= 2.000, a

2

= 2.004, a

3

= 2.008 e a

4

= 2.012

temos que a diferença entre um termo qualquer e o seu antecessor será sempre constante e igual a 4, ou seja, a

2

− a

1

= a

3

− a

2

= a

4

− a

3

= 4.

Seqüências numéricas que possuem tal característica são chamadas de progressões aritméticas. A definição formal de uma progressão aritmética, ou PA por abreviação é dado a seguir:

1.1 Definição. Uma progressão aritmética (PA) é uma seqüência de números reais em que a diferença entre um termo qualquer (a partir do 2

^◦

termo) e do seu antecessor é um valor constante. A este valor constante dá-se o nome razão da PA e é, geralmente, representado pela letra r.

Exemplo 1.1 . (a) (2, 4, 6, . . .) é uma PA de razão r = 2;

(b) (1, 1, 1, . . .) é uma PA de razão r = 0;

(c) (4, 3, 2, . . .) é uma PA de razão r = − 1.

1.1.1 Classificação das Progressões Aritméticas

Podemos classificar as progressões aritméticas, de acordo com o sinal da razão r, em 3 tipos. Se a razão é positiva (r > 0), a PA é crescente. O exemplo (a) ilustra tal situação. Quando r = 0, significa que todos os elementos da PA são iguais entre si, e a PA é constante (exemplo (b)). Finalmente, se r < 0 (exemplo (c)) a PA é decrescente.

Identificar se uma dada seqüência numérica é uma PA, não é uma tarefa difícil, uma vez que ela é uma seqüência numérica que possui um “termo geral”, ou seja, uma fórmula que relaciona qualquer um dos seus termos. O mais interessante é que o termo geral de uma PA, depende de um de seus termos e da razão r, que é facilmente calculada.

1.1.2 Termo Geral de uma Progressão Aritmética

Suponha que uma certa PA (a

1

, a

2

, a

3

, a

4

, . . .) possua razão igual a r. Já sabemos que a diferença entre qualquer termo (começando pelo 2

^◦

termo) pelo seu antecessor será sempre igual a razão r , assim:

a

2

− a

1

= r ⇔ a

2

= a

1

+ r

a

3

− a

2

= r ⇔ a

3

= a

2

+ r ⇔ a

3

= (a

1

+ r ) + r ⇔ a

3

= a

1

+ 2 · r a

4

− a

3

= r ⇔ a

4

= a

3

+ r ⇔ a

4

= (a

1

+ 2 · r ) + r ⇔ a

4

= a

1

+ 3 · r

.. . .. . .. . .. .

Observe que a

2

= a

1

+ r , a

3

= a

1

+ 2 · r, a

4

= a

1

+ 3 · r . Seguindo essa lógica chegamos ao termo geral, ou n-ésimo termo da seqüência:

a

n

= a

1

+ (n − 1) · r, n ∈ N .

Dessa forma, de posse do primeiro termo da seqüência a

1

e da razão r , podemos encontrar qualquer outro termo que desejarmos.

Nota 1. Uma outra fórmula para o termo geral de uma progressão aritmética é dada por:

a

n

= a

k

+ (n − k ) · r , n ∈ N ; k ∈ N . Exemplo 1.2 . Encontrar o 50

^◦

termo da PA ( − 3, 1, 5, 9, . . .).

Solução: Observe que o primeiro termo da PA é igual a − 1, para encontrarmos a razão, basta fixar um

termo (exceto o primeiro) e subtrairmos o seu antecessor. Por exemplo, r = a

2

− a

1

= 1 − ( − 3) = 4. Observe

ainda, que poderíamos calcular a razão utilizando a

3

e a

4

sem qualquer tipo de problema, pois neste caso r = a

4

− a

3

= 9 − 5 = 4. Assim, de posse de a

1

= − 3 e r = 4 pelo termo geral da PA para n = 50 temos que:

a

50

= a

1

+ 49 · r = − 3 + 49 · 4 = 193.

Exemplo 1.3 . Encontre uma PA onde o 10

^◦

termo é igual a 48 e a soma do 5

^◦

termo com o 20

^◦

é igual a 121.

Solução: Como a

10

= 48, temos a

1

+ 9 · r = 48. A soma a

5

+ a

20

é igual a 121, ou seja, (a

1

+ 4 · r) + (a

1

+ 19 · r) = 121. Segue que, 2 · a

1

+ 23 · r = 121. Para encontrarmos a PA devemos resolver o sistema:

(

a

1

+ 9 · r = 48 2 · a

1

+ 23 · r = 121 Multiplicando-se a primeira equação por − 2, temos que:

(

− 2 · a

1

− 18 · r = − 96 2 · a

1

+ 23 · r = 121 Adicionando-se as equações, temos: 5 · r = 25 ⇔ r = 25

5 ⇒ r = 5. Para encontrar o primeiro termo, podemos escolher qualquer uma das equações anteriores. Para simplificar os cálculos, escolhemos a

1

+ 9 · r = 48.

Isolando a

1

nesta equação temos: a

1

= 48 − 9 · 5 = 3. Assim, a PA é (3, 8, 13, . . .).

Exemplo 1.4 . Quantos meios aritméticos devem ser inseridos entre 15 e 160, de modo que a razão da interpolação seja igual a 5?

Solução: Neste exemplo, devemos encontrar a quantidade de elementos entre os termos a

1

= 15 e a

n

= 160 para algum valor de n. Utilizando a expressão para o termo geral de uma PA, temos que:

160 = 15 + (n − 1) · 5 ⇒ n − 1 = 160 − 15

5 ⇒ n − 1 = 29 ⇒ n = 30

Observe que entre a quantidade total de elementos será 30, como já temos dois, ou seja, a

1

e a

30

significa que entre eles existem um total de 28 elementos.

1.1.3 Representações Especiais de uma PA

Em algumas situações, faz-se necessário o uso de uma notação ou representação especial para pro- gressões aritméticas. Tal representação visa equacionar, de forma simples e eficiente, situações que envolvem progressões aritméticas as quais o número de termos é conhecido. Por exemplo, suponha que estejamos procurando três termos em uma PA tais que a soma deles é igual a 33 e o produto igual a 440. Poderíamos modelar a situação da seguinte forma: Suponha que os termos a

1

, a

2

e a

3

são de uma PA. Portanto, a

2

= a

1

+ r, a

3

= a

1

+ 2 · r. Assim, utilizando os dados fornecidos, temos que:

a

1

+ (a

1

+ r ) + (a

1

+ 2 · r ) = 33 e a

1

· (a

1

+ r ) · (a

1

+ 2 · r ) = 440.

Observe que, agindo desta forma, transformamos um problema, a princípio simples, num sistema de equações não linear, cuja solução não é tão simples assim. Como devemos proceder então?

Lembrando que podemos selecionar uma quantidade de termos em uma PA e que esta é um número natural, a quantidade de termos é um número par ou ímpar. Caso este seja ímpar, existirá um termo central e, assim, começaremos a equacionar, a partir dele. No exemplo em questão, n = 3 e, dessa forma, os termos em progressão é representado por:

(x − r , x, x + r ).

A representação especial mostrada anteriormente não poderá, em hipótese alguma, deixar de satisfazer as condições de uma PA. Por exemplo, a diferença entre qualquer termo (começando pelo segundo termo) com o seu antecessor é sempre igual a razão, chamando de a

1

= x − r , a

2

= x e a

3

= x + r, é fácil perceber que a

2

− a

1

= x − (x − r ) = r e a

3

− a

2

= x + r − x = r .

Voltando a nosso exemplo: a soma dos três elementos é 33 e o produto dos meus elementos era igual a 44, utilizando a notação especial, temos:

(x − r ) + x + (x + r ) = 33 ⇒ 3x = 33 ⇒ x = 11 (x − r ) · x · (x + r) = 440 ⇒ 11 · (11 − r ) · (11 + r ) = 440

Observe que, na primeira equação, já encontramos uma das variáveis, ou seja, o valor de x. Substituindo na segunda equação, ficamos apenas com uma equação com uma variável, no caso r, encontrando o valor de r temos que:

(11 − r) · (11 + r) = 40 ⇒ 121 − r

²

= 40 ⇒ r = ± √

81 ⇒ r = 9

Como não existiu outra informação a respeito da PA, encontramos, para o problema, duas respostas, que são:

(2, 11, 20) e (20, 11, 2).

E, quando selecionarmos cinco elementos que estão em uma PA, como ficaria a sua representação espe- cial?

Neste caso, a quantidade de elementos também é ímpar e, desta forma, existe um termo central que, por razões óbvias, é o a

3

. Assim, a representação para cinco termos em uma PA é:

(x − 2r, x − r , x, x + r , x + 2r).

No caso em que a quantidade de números é par, não existirá mais o termo central da PA. Mesmo assim, existirá uma representação especial. Supondo que a PA tenha quatro termos, uma representação é:

(x − 3y, x − y , x + y, x + 3y )

Observe que, neste caso, r = 2y (verifiquem!) e, somente desta forma, conseguimos uma representação simétrica.

ER 1. Determine três números em PA crescente cuja soma seja 39 e o produto dos extremos seja 144.

Solução: O exemplo fala de uma PA de três termos. Assim, usaremos a notação especial dada por:

(x − r , x, x + r ).

Observe que a soma dos termos é igual a 39, dessa forma temos:

(x − r ) + x + (x + r ) = 39 ⇒ 3x = 39 ⇒ x = 13.

Como o produto dos termos extremos é 144 e conhecendo o valor de x, ficamos com:

(13 − r) · (13 + r ) = 144 ⇔ 13

²

− r

²

= 144 ⇔ r = ± √

25 ⇔ r = ± 5.

A questão menciona o fato da PA ser crescente. Dessa forma, o valor negativo para a razão não nos interessa.

Portanto, r = 5. A PA procurada é (13 − 5, 13, 13 + 5) = (8, 13, 18).

ER 2. Num quadrilátero, os ângulos internos estão em PA e o maior deles mede 150

^◦

. Quais são as medidas

dos outros ângulos internos?

Solução: Para este exemplo, utilizaremos a notação especial para uma PA de quatro elementos:

(x − 3y, x − y, x + y , x + 3y ), onde r = 2y .

O exemplo informa que o maior, dentre os 4 ângulos do quadrilátero, mede 150

^◦

. Por razões óbvias isto significa que x + 3y = 150

^◦

. A soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é igual a 360

^◦

. Portanto:

(x − 3y ) + (x − y ) + (x + y ) + (x + 3y) = 360

^◦

⇔ 4x = 360

^◦

⇔ x = 90

^◦

Substituindo o valor de x em x + 3y = 150

^◦

com a finalidade de encontrar y chegamos a:

90

^◦

+ 3y = 150

^◦

⇒ y = 150

^◦

− 90

^◦

3 ⇒ y = 20

^◦

Dessa forma, os 4 ângulos do quadrilátero que formam a PA são: PA = (30

^◦

, 70

^◦

, 110

^◦

, 150

^◦

).

1.1.4 Soma dos n Primeiros Termos de uma PA

Pelo simples fato de ser um caso particular de uma seqüência numérica, podemos pensar em conceitos mais sofisticados, tais como convergência. Com relação a uma PA (a

1

, a

2

, a

3

, . . .) de razão r, será que a soma dos elementos converge? a resposta é não. Prove isso como exercício. Entretanto, se tomarmos uma determinada quantidade de elementos da PA, a sua soma é facilmente obtida. Vamos demonstrar isso.

Considere os n termos de uma PA (a

1

, a

2

, a

3

, . . . , a

n−2

, a

n−1

, a

n

) de razão r . A sua soma é dada por:

S

_n

= a

1

+ a

2

+ a

3

+ . . . + a

n−2

+ a

n−1

+ a

_n

Suponha, para um certo índice k , com 1 < k < n, que todos os termos anteriores a a

_k

e este, sejam escritos em função do primeiro termo a

1

e da razão r . Do termo de índice k + 1 em diante, todos serão escritos em função do termo a

_n

e da razão r .

Através de um exemplo com 6 termos de uma PA visualizaremos o que foi dito anteriormente.

Considere os termos (a

1

, a

2

, a

3

, a

4

, a

5

, a

6

) de uma PA e tomemos k = 3. Assim, para n = 1, n = 2 e n = 3, todos os termos serão escritos em função de a

1

, ou seja:

(a

1

, a

1

+ r , a

1

+ 2r, a

4

, a

5

, a

6

)

Para os demais termos, n = 4, n = 5 e n = 6, escreveremos em função do último termo da PA, que no caso em questão é o a

6

. Assim, temos:

(a

1

, a

1

+ r , a

1

+ 2r , a

6

− 2r, a

6

− r, a

6

).

Observe que esta representação poderá ser feita com qualquer quantidade de termos de uma PA. Além disso, a representação preserva as características dos termos que estão em uma PA. Por exemplo, a diferença entre o quarto e o terceiro termo será igual a razão da PA. Observe:

a

4

− a

3

= (a

6

− 2r ) − (a

1

+ 2r ) = (a

1

+ 5r − 2r ) − a

1

− 2r = 3r − 2r = r .

Retornemos à representação dos n termos de uma PA como sugerido, ou seja, (a

1

, a

1

+ r , a

1

+ 2r , . . . , a

n

− 2r, a

n

− r , a

n

).

Assim, a soma dos n primeiros termos da PA é:

(i) S

_n

= a

1

+ (a

1

+ r ) + (a

1

+ 2r ) + . . . + (a

n

− 2r ) + (a

n

− r) + a

_n

Podemos calcular a mesma soma, de uma outra maneira. Por exemplo, do último termo para o primeiro, afinal, a ordem das parcelas não altera a soma.

(i i) S

n

= a

n

+ (a

n

− r) + (a

n

− 2r) + . . . + (a

1

+ 2r ) + (a

1

+ r ) + a

1

. Adicionando (i) a (i i) temos:

S

n

= a

1

+ (a

1

+ r) + (a

1

+ 2r ) + . . . + a

n

− 2r + a

n

− r + a

n

S

n

= a

n

+ (a

n

− r) + a

n

− 2r + . . . + (a

1

+ 2r ) + (a

1

+ r ) + a

1

2 · s

n

= (a

1

+ a

n

) + (a

1

+ a

n

) + (a

1

+ a

n

) + . . . + (a

1

+ a

n

) + (a

1

+ a

n

) + (a

1

+ a

n

)

Observe que a parcela (a

1

+ a

_n

) foi adicionada n vezes. Portanto,

2 · S

n

= (a

1

+ a

n

) · n ⇒ S

n

= (a

1

+ a

n

) · n

2 .

Exemplo 1.5 . Calcule a soma dos 15 primeiros termos da PA ( − 14, − 10, − 16, . . .).

Solução: Utilizando a fórmula para o cálculo da soma dos n termos de uma PA para n = 15, temos:

S

15

= (a

1

+ a

15

) · 15

2 .

Como o primeiro termo é a

1

= − 14 e a razão da PA é r = − 10 − ( − 14) = − 10 + 14 = 4, temos que a

15

= a

1

+ 14 · r = − 10 + 14 · 4 = 46. Assim, a soma dos quinze primeiros termos é:

S

15

= ( − 14 + 46) · 15

2 ⇒ S

15

= 32 · 15

2 ⇒ S

15

= 240.

Exemplo 1.6 . Dada a PA (e

^x

, e

^x

+ 1, e

^x

+ 2, . . .), determine o valor de x tal que a soma dos seus dez primeiros termos seja igual a 50.

Solução: A soma dos dez primeiros termos é:

S

10

= (a

1

+ a

10

) · 10

2 ⇔ S

10

= (a

1

+ a

10

) · 5.

Como a

1

= e

^x

e a razão da PA é r = a

2

− a

1

= e

^x

+ 1 − e

^x

= 1, então a

10

= a

1

+ 9 · r = e

^x

+ 9. Substituindo-se S

10

= 50 em S

10

= (a

1

+ a

10

) · 5, temos:

50 = (e

^x

+ e

^x

+ 9) · 5 ⇔ 10 = 2e

^x

+ 9 ⇔ 2e

^x

= 1 ⇔ e

^x

= 1

2 ⇔ x = ln(1/2).

1.1.5 Exercícios Propostos

EP 1.1 . Numa PA o primeiro termo é 12 e o décimo quinto termo é 30. Qual é o quarto termo dessa PA?

EP 1.2 . Numa PA de 7 termos, a

7

= 3 · a

1

e o termo central é 6. Qual é a razão da progressão?

EP 1.3 . Determine m de modo que a seqüência (m − 14, 2m + 2, m

²

) seja uma PA EP 1.4 . Interpole seis meios aritméticos entre − 22 e 20.

EP 1.5 . Quantos números inteiros x, tais que 23 ≤ x ≤ 432, não são múltiplos de 3?

EP 1.6 . Determine três números que formam uma PA crescente cuja soma deles seja 39 e o produto dos extremos seja 144.

EP 1.7 . Num quadrilátero, os ângulos internos estão em PA e o maior deles mede 150

^◦

.Quais são as medidas

dos outros ângulos internos?

EP 1.8 . Uma gravadora observou, que em um ano, a venda de cd’s aumentava mensalmente segundo uma PA de razão 400. Se em março foram vendidos 1.600 cd’s, quantos cd’s a gravadora vendeu naquele ano?

EP 1.9 . Quantos termos devemos somar na PA = ( − 15, − 12, − 9, . . .) para obtermos uma soma igual a 270?

EP 1.10 . Suponha que, em um certo mês, o número de queixas diárias registradas em um órgão de defesa do consumidor aumente segundo uma PA Sabendo que nos 10 primeiros dias houve 245 reclamações e nos 10 dias seguintes houve mais 745 reclamações. Determine a seqüência do número de reclamações naquele mês.

1.2 Progressões Geométricas

Introdução

Uma lenda antiga retrata a história da criação do jogo de xadrez. Diz a lenda que, num certo reino, o rei, todo poderoso, estava cansado de tanto governar. Assim, pediu a um dos seus servos mais inteligentes que criasse um jogo, no qual ele pudesse se entreter. Levando em consideração um pedido muito especial, o jogo tinha que representar, necessariamente, uma espécie de batalha, dado que o rei era um verdadeiro fã de tal tipo de “atividade física”. Em retribuição à invenção de “tal jogo”, o rei deu a sua palavra ao servo, prometendo que atenderia a qualquer pedido seu. Ele, que não era bobo, após a invenção do jogo, fez o seguinte pedido:

“Como o jogo que inventei se passa num tabuleiro contendo 8 × 8 quadradinhos, ao todo, peço-te, ó rei, que, para cada quadradinho, eu ganhe uma certa quantidade de grãos, contados da seguinte forma: para o primeiro quadrado, um grão apenas; para o segundo, o dobro; para o terceiro, o dobro do segundo, ou seja, quatro grãos, e assim sucessivamente, até o último quadrado”.

O rei, que não era matemático, achou o pedido fácil de ser atendido, mas, desconfiado, como qualquer rei, pediu a alguns de seus “braços direitos” que contabilizassem a quantidade total de grãos. Será que a quantidade de grãos era pagável? vamos analisar da seguinte forma:

1

^◦

Quadrado ⇒ 1 grão = 2

⁰

grão 2

^◦

Quadrado ⇒ 2 grãos = 2

¹

grãos 3

^◦

Quadrado ⇒ 4 grãos = 2

²

grãos

.. . .. . .. . 64

^◦

Quadrado ⇒ 2

⁶⁴

grãos

Observe que a quantidade a ser paga é a soma de todas as quantidades por cada um dos quadradinhos do tabuleiro de xadrez. Assim,

2

⁰

+ 2

¹

+ 2

²

+ . . . + 2

⁶⁴

Só para se ter uma idéia da quantidade de grãos que deve ser pago, nos dias atuais, a quantidade mundial de grãos, não seria capaz de chegar nem perto do valor obtido pela soma anterior. Nem tudo parece ser tão simples quanto a forma com a qual se apresenta, o rei não sabia, mas o conjunto formado pela quantidade de grãos em cada quadradinho do jogo, ou seja, (2

⁰

, 2

¹

, 2

²

, . . . , 2

⁶⁴

) são termos de um tipo especial de seqüência, denominada progressão geométrica. Observe que, cada termo desta seqüência (exceto pelo primeiro termo) é obtido do seu antecessor multiplicado por 2. A definição matemática de uma progressão geométrica, ou PG de forma abreviada, é dada a seguir:

1.2 Definição. [Progressão geométrica] Uma progressão geométrica é uma seqüência de números reais não nulos em que o quociente entre um termo qualquer (a partir do segundo) e o seu antecessor é sempre constante. Essa constante é chamada de razão da PG e será indicada pela letra q.

São exemplos de progressões geométricas, as seqüências:

(a) (2, 6, 18, 54, . . .), onde q = 3;

(b) ( − 5, 15, − 45, 135, . . .), onde q = − 3;

(c) (20, 10, 5, 5

2 , . . .), onde q = 1

2 ;

(d) (4, − 4, 4, − 4, . . .), onde q = − 1;

(e) ( − 1, − 1 3 , − 1

9 , − 1

27 , . . .), onde q = 1

3 ; (f) ( − 1, − 2, − 4, − 8, . . .), onde q = 2.

As progressões geométricas se dividem em três tipos:

⋄ Alternada ou oscilante: Quando a razão for negativa. Como exemplo, podemos citar as progressões ge- ométricas em (b) e em (d).

⋄ Crescente: Quando a razão q for maior que 1 (q > 1), aliado ao fato do primeiro termo ser positivo (a

1

> 0).

É o caso do exemplo em (a). Um outro caso é dado quando a razão q for um número real positivo menor que 1, 0 < q < 1 e o primeiro termo for negativo. É o caso do exemplo em (e).

⋄ Decrescente: Quando o primeiro termo é positivo (a

1

> 0) e a razão é um número positivo menor que um (0 < q < 1). É o caso do exemplo em (b). Ou ainda, quando (a

1

< 0) e a razão é maior do que 1 (q > 1).

É o caso do exemplo em (f).

1.2.1 Termo Geral de um Progressão Geométrica

Assim como foi visto nas progressões aritméticas, as geométricas possuem uma fórmula para o cálculo do termo geral. A idéia que utilizaremos é bem simples e de fácil compreensão.

Suponha que uma certa PG (a

1

, a

2

, a

3

, a

4

, . . .) possua razão igual a q. Já sabemos que o quociente entre qualquer termo (a partir do 2

^◦

termo) pelo seu antecessor é igual a razão q. Assim:

a

2

a

1

= q ⇔ a

2

= a

1

· q a

3

a

2

= q ⇔ a

3

= a

2

· q ⇔ a

3

= (a

1

· q) · q ⇒ a

3

= a

1

· q

²

a

4

a

3

= q ⇔ a

4

= a

3

· q ⇔ a

4

= (a

1

· q

²

) · q ⇒ a

4

= a

1

· q

³

.. . .. . .. .

Observe que a

2

= a

1

· q, a

3

= a

1

· q

²

, a

4

= a

1

· q

³

. Seguindo essa lógica chegamos ao termo geral, ou n-ésimo termo da seqüência:

a

_n

= a

1

· q

ⁿ⁻¹

, n ≥ 1

Dessa forma, de posse do primeiro termo da seqüência (a

1

) e da razão q, podemos encontrar qualquer outro termo que desejarmos tal como aconteceu nas progressões aritméticas.

ER 3. Qual é o 8

^◦

termo da PG (800, 400, 200, . . .)?

Solução: Encontrar o 8

^◦

termo, significa fazer n = 8 na expressão do termo geral da PG. Portanto, a

8

= a

1

· q

⁷

. Como a

1

= 800 e q = 400

800 = 1

2 , substituindo na expressão anterior, temos: a

8

= 800 ·



1 2

‹7

⇒ a

8

= 800 2

⁷

. Exemplo 1.7 . O 2

^◦

termo de uma PG de termos positivos é 10

⁵

e o 10

^◦

termo é 10

²¹

. Qual é a razão dessa PG?

Solução: O segundo termo de qualquer PG é obtido fazendo o índice n do termo geral igual a 2. Dessa forma:

a

2

= a

1

· q como a

2

= 10

⁵

⇒ a

1

= a

2

q ⇒ a

1

= 10

⁵

q

O décimo termo é obtido do termo geral, fazendo o índice n igual a 10, assim:

a

10

= a

1

· q

⁹

como a

10

= 10

²¹

e a

1

= 10

⁵

q ⇒ 10

²¹

= 10

⁵

q · q

⁹

⇒ 10

²¹

10

⁵

= q

⁸

. Assim, q

⁸

= 10

¹⁶

⇒ q = ± √

⁸

10

¹⁶

= ± 10

²

. Como a PG é formada de termos positivos, então q = 10

²

. ER 4. Dada a PG (2

^x

, 2

^2x

, 2

^3x

, . . .), determine o valor de x de modo que seu décimo termo seja 1

128 .

Solução: O décimo termo da PG será obtido, fazendo o índice n igual a 10. Portanto, a

10

= a

1

· q

⁹

. Como a

1

= 2

^x

, precisamos encontrar a razão da PG e com isso calcular o seu décimo termo. A razão será dada por q = a

2

a

1

= 2

^2x

2

^x

⇒ q = 2

^x

. Utilizando o fato de que a

10

= 1

128 temos:

1

128 = 2

^x

· (2

^x

)

⁹

⇔ 2

^10x

= 1

2

⁷

⇒ 2

^10x

= 2

⁻⁷

⇔ 10x = − 7 ⇔ x = − 7 10 .

1.2.2 Representação Especial de uma PG

Assim como foi visto para os termos iniciais de uma progressão geométrica, temos, também, representações simples e eficientes para os n termos iniciais de uma progressão geométrica. Por exemplo, suponha a seguinte situação:

As idades de três irmãos são números inteiros que estão em PG. Se o produto dessas idades é 64 e a soma das idades dos dois mais velhos é 20, quantos anos tem cada um dos irmãos?

Para resolver este problema, suponha que os três primeiros termos (a

1

, a

2

, a

3

) de uma PG representam as idades procuradas. Observe que poderíamos escrever estes termos em função apenas do primeiro termo (a

1

) e da razão q. Dessa forma,

(a

1

, a

1

· q, a

1

· q

²

)

Contudo, esta representação não é a ideal, pois quando formos utilizar as informações do problema, o sistema de equações obtido será de resolução bastante complicada. Compare:

¨

a

1

· (a

1

· q) · (a

1

· q

²

) = 64 (a

1

· q) + (a

1

· q

²

) = 20 ⇔

¨

a

³₁

· q

³

= 64 (a

1

· q) + (a

1

· q

²

) = 20

Resolver um sistema como o anterior é uma tarefa bastante árdua e complicada. Entretanto, existem “atal- hos” que a matemática nos proporciona, fazendo com que possamos representar a mesma situação de uma maneira muito mais atrativa e simplificada.

Considere 3 termos de uma PG (a

1

, a

2

, a

3

). Como a quantidade de elementos é ímpar, temos a presença de um termo central. Sendo assim, consideraremos o termo central como sendo x , ou seja, a

2

= x . Como

a

2

a

1

= q ⇔ a

1

= x q e a

3

a

2

= q ⇔ a

3

= x · q, Uma outra representação para os termos da PG é dado por:



x

q , x, x · q

‹

Voltando ao problema, tinhamos que o produto das idades dos três irmãos era igual a 64 e a soma das idades dos dois mais velhos era igual a 20. Assim,

8

<

:



x q

‹

· x · (x · q) = 64 x + (x · q) = 20

⇔

¨

x

³

= 64

x · (q + 1) = 20

A primeira equação já nos fornece o valor de x, pois, se x

³

= 64, então x = 4. Substituindo este valor na equação x · (q + 1) = 20, encontramos o valor de q. De fato,

4 · (q + 1) = 20 ⇒ q + 1 = 20

4 ⇒ q + 1 = 5 ⇒ q = 4

De posse do valor de x e de q, podemos, enfim, saber quais são as idades de cada um dos irmãos, que são os termos (1, 4, 16).

Observe que podemos equacionar, de maneira análoga, qualquer quantidade ímpar de termos de uma PG.

Por exemplo, se tivermos cinco termos de uma PG, faremos o termos central a

3

= x e sua representação especial é:



x q

²

, x

q , x, x · q, x · q

²

‹

.

No caso de progressões geométricas que possuem um número par de elementos, procedemos de uma forma um pouco diferente, afinal não existe o “termo central”.

Tomemos, inicialmente, quatro termos iniciais de uma PG. Uma representação especial que apresenta uma espécie de “simetria” dos elementos é dada por:



x y

³

, x

y , x · y, x · y

²

‹

Observe que, assim como ocorreu com os termos iniciais de uma progressão aritmética, os de uma pro- gressão geométrica, em número par de elementos, possui representação especial uma nova variável. Em am- bos os casos, utilizamos y . Para encontrar a razão, basta dividir, por exemplo, o segundo termo pelo primeiro, na representação especial de quatro termo de uma PG, a razão q = y

²

(verifiquem!)

1.2.3 Soma dos n Primeiros Termos de uma PG

Considere os n primeiros termos de uma PG (a

1

, a

2

, a

3

, . . . , a

n−1

, a

_n

), onde q 6 = 1, e seja S

_n

a soma destes n termos. Assim,

(i)S

n

= a

1

+ a

2

+ a

3

+ . . . + a

n−1

+ a

_n

Multiplicando-se ambos os lados da igualdade pela razão q, temos:

(i i)q · S

n

= q · (a

1

+ a

2

+ a

3

+ . . . + a

n−1

+ a

n

) = q · a

1

+ q · a

2

+ q · a

3

, . . . , q · a

n−1

+ q · a

n

Sabemos que numa PG o quociente entre um termo qualquer, a partir do segundo, pelo seu antecessor é igual a razão. Isto pode ser enunciado de outra maneira. A saber: um determinado termo (exceto o primeiro) é o produto do seu antecessor pela razão. Dessa forma, a

2

= a

1

· q, a

3

= a

2

· q e, seguindo essa lógica, a

n

= a

n−1

· q.

Substituindo esses resultados em (i i), temos:

(i i i)q · S

n

= a

2

+ a

3

+ a

4

+ . . . + a

n

+ a

n

· q.

Subtraindo (i i i) de (i) temos:

q · S

_n

− S

_n

= (a

2

+ a

3

+ a

4

+ . . . + a

_n

+ a

_n

· q) − (a

1

+ a

2

+ a

3

+ . . . + a

n−1

+ a

_n

).

Fazendo as devidas simplificações, chegamos a:

(i v )q · S

n

− S

n

= a

n

· q − a

1

. Como a

n

= a

1

· q

ⁿ⁻¹

e substituindo em (i v ), obtemos:

q · S

n

− S

n

= a

1

· q

ⁿ⁻¹

· q − a

1

⇒ S

n

· (q − 1) = a

1

· (q

ⁿ

− 1) ⇒ S

n

= a

1

· (q

ⁿ

− 1)

(q − 1) .

Observe que a condição para que a razão seja diferente de 1 se faz necessária para a existência da soma dos termos.

Nota 2. Se uma PG possui razão igual a 1, por motivos óbvios, todos os termos são iguais. Assim, para somar os n termos iguais, basta que multipliquemos n por qualquer um dos termos da PG.

(a

1

, a

1

, . . . , a

1

| {z }

n

) ⇒ S

n

= a

1

+ a

1

+ . . . + a

1

| {z }

n

= n · a

1

ER 5. Calcule a soma dos oito primeiros termos da PG ( − 2, 6, − 18, . . .).

Solução: Para responder este exemplo precisamos fazer o índice n da expressão que calcula a soma dos termos de uma PG igual a 8, dessa forma:

S

8

= a

1

· (q

⁸

− 1) (q − 1) .

O termo a

1

= − 2, a razão da PG é encontrada dividindo-se o segundo termo pelo primeiro. Assim, q = a

2

a

1

⇒ q = 6

− 2 = − 3.

Calculando a soma, temos:

S

8

= − 2 · [( − 3)

⁸

− 1]

( − 3 − 1) ⇒ S

8

= − 2 · 6.560

− 4 ⇒ S

8

= 3.280.

1.2.4 Soma dos Infinitos Termos de uma PG

Vimos, na disciplina Cálculo III, que uma série é formada pela adição dos infinitos termos de uma seqüência.

Se podemos encontrar um resultado para esta adição (soma), a série é dita convergente. Estudamos vários resultados, os quais garantem a convergência de uma série. Quando tratamos de uma PG que possui razão q,

− 1 < q < 1, sua série converge para um valor s

∞

que é dada por:

S

∞

= lim

n→∞

S

n

⇒ S

∞

= lim

n→∞

a

1

· (q

ⁿ

− 1) (q − 1) .

Observe que q

ⁿ

tende a zero à medida que o expoente n aumenta, uma vez que − 1 < q < 1. Dessa forma, S

∞

= a

1

· (0 − 1)

q − 1 ⇔ S

∞

= − a

1

q − 1 ⇔ S

∞

= a

1

1 − q .

Em suma, dada uma PG (a

1

, a

2

, a

3

, . . .), com − 1 < q < 1, temos que a adição de seus termos é dada por:

a

1

+ a

2

+ a

3

+ . . . = a

1

1 − q .

ER 6. Utilizando a fórmula da soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica, encontre a fração geratriz da dízima periódica 0, 777 . . .

Solução: Podemos decompor a dízima periódica através da adição de infinitas parcelas as quais são termos de uma PG. Veja a seguinte decomposição:

0, 777 . . . = 0, 7 + 0, 07 + 0, 007 + . . . = 7 10 + 7

100 + 7

1000 + . . . = 7

10 + 7 10

²

+ 7

10

³

+ . . .

Observe que as parcelas determinam a PG



7 10 , 7

10

²

, 7 10

³

, . . .

‹

de razão q = 7 10

²

7 10

= 7 10

²

· 10

7 = 1

10 .

Como − 1 < 1

10 < 1, temos que S

∞

= a

1

1 − q = 7 10 1 − 1

10

= 7 10 9 10

= 7 9 . Portanto, a fração geratriz da dízima periódica é 7

9 . ER 7. Resolva a equação x + x

²

2 + x

³

4 + x

⁴

8 + . . . = 6, com x ∈ R .

Solução: Observe que as parcelas determinam uma PG de razão q = a

2

a

1

= x

²

/2 x = x

2 , e que temos que a soma é 6. Portanto,

S

∞

= 6 ⇔ 6 = x 1 − x

2

⇔ x = 6 ·



2 − x 2

‹

⇔ x = 6 − 3x ⇔ 4x = 6 ⇔ x = 3 2 .

1.2.5 Exercícios Propostos

EP 1.11 . Os termos



− 2 3 , 4

9 , − 8 27 , . . .

‹

estão em PG. Qual é o sexto termo?

EP 1.12 . Determine x de modo que os termos (3

^x+1

, 3

^4−x

, 3

^3x+1

) sejam de uma PG.

EP 1.13 . Qual é o número de termos ( √ 3, √

6, . . . , 16 √

3) sabendo que estes estão em PG.

EP 1.14 . Numa PG oscilante, a soma do 2

^◦

com o 5

^◦

termo é − 210, e a soma do 4

^◦

com o 7

^◦

é − 840. Qual é o primeiro termo dessa PG?

EP 1.15 . Subtraindo-se um mesmo número dos números 6, 14 e 38, obtemos, nessa ordem, os 3 termos iniciais de uma PG. Qual a razão dessa PG?

EP 1.16 . Quantos termos da PG = (2, − 6, 18, − 54, . . .) devemos considerar a fim de que a soma seja 9.842?

EP 1.17 . Encontre a fração geratriz da dízima periódica 1, 777 . . ..

EP 1.18 . A soma de três termos iniciais de uma PG crescente é 26 e o produto entre eles é 216. Encontre essa PG.

EP 1.19 . Sabendo que a seqüência (4y , 2y − 1, y + 1, . . .) é uma PG, determine:

(a) O valor de y (b) A razão da PG

EP 1.20 . Os números que expressam as medidas do lado, da diagonal e da área de um quadrado podem estar, nessa ordem, em PG? Em caso afirmativo, qual é a razão dessa PG?

1.3 Juros Simples

1.3.1 Introdução

Quando estudamos alguns conceitos, no ensino médio, como velocidade e aceleração, suas unidades de medidas são dadas pelo quociente entre duas outras unidades de medidas. No caso da velocidade, a unidade é m

s (metros por segundo). Já em respeito à aceleração, temos m

s

²

(metros por segundo ao quadrado). Existem

duas características presentes nas unidades mencionadas, nota-se que ambas são dadas como um quociente entre medidas e a medida situada no denominador da fração é de natureza temporal, ou seja, uma grandeza que mede unidade de tempo.

Uma taxa nada mais é do que um quociente entre medidas. A aceleração e a velocidade são exemplos de taxas, onde a medida situada no denominador da fração é de natureza temporal. Uma taxa de juros representa um valor monetário qualquer, em que a unidade de tempo pode ser dias, semanas, meses, semestres, anos e etc. Representaremos a taxa de juro pela letra i admitindo, portanto, as formas: percentual e unitária.

Taxa de Juros Forma Percentual Forma Unitária 2 por cento ao dia i = 2% a.d. i = 0, 02 a.d.

24 por cento ao mês i = 24% a.m. i = 0, 24 a.m.

30 por cento ao semestre i = 30% a.s. i = 0, 30 a.s.

5 por cento ao ano i = 5% a.a. i = 0, 05 a.a.

Observe, na tabela anterior, que as taxas possuem uma forma simplificada na escrita. Ao invés de escrever- mos “10 por cento ao bimestre”, escrevemos i = 10% a.b. Isso faz com que a representação da taxa de juros seja de fácil compreensão. Agora que já sabemos como representar uma taxa, em qualquer unidade temporal, podemos então começar a pensar em capitalizar, primeiramente, a juros simples.

1.3.2 Capitalização Simples

Andando pelo centro da cidade, um certo indivíduo se depara com a seguinte proposta:

“Invista R$ 1.000, 00 durante 4 meses aplicando uma taxa fixa de juros i = 10% am”

O primeiro questionamento a ser feito nesta situação é: quanto ele irá lucrar utilizando a taxa de juros mencionada? Outra importante pergunta é: como o investimento inicial será capitalizado?

O investimento inicial será de R$ 1.000, 00. Assim, o “capital inicial” que denotaremos, a partir deste instante, pela letra C será, exatamente, o valor de R$ 1.000, 00. Portanto C = R$ 1.000, 00. O capital inicial sofrerá a ação da taxa de juros i = 10% durante quatro meses que agora chamaremos de “número de períodos”

e representaremos pela letra n. O primeiro período de capitalização sempre será representado por n = 0.

Dessa forma, capitalizar, durante quatro períodos, significa admitir quatro valores naturais, começando pelo zero, ou seja, n ∈ { 0, 1, 2, 3 } . O juro do período, será representado pela letra J . A simulação é descrita de forma detalhada na tabela abaixo. Observe, ainda, que em cada um dos períodos será calculado o juro e, em seguida, o montante, representado pela letra M , é obtido. Obviamente, o montante é a soma do capital com os juros do período corrente, ou seja:

M = C + J

Período Capital Juros Montante

0 1.000, 00 0 M = 1.000, 00 + 0 = 1.000, 00

1 1.000, 00 1.000, 00 · (0, 10) = 100, 00 M = 1.000, 00 + 100, 00 = 1.100, 00 2 1.000, 00 1.000, 00 · (0, 10) = 100, 00 M = 1.100, 00 + 100, 00 = 1.200, 00 3 1.000, 00 1.000, 00 · (0, 10) = 100, 00 M = 1.200, 00 + 100, 00 = 1.300, 00

É fácil perceber que os juros correntes durante toda a simulação é uma taxa fixa, exceto pelo período n = 0.

Dessa forma, podemos afirmar que os juros total é a soma de todos os juros encontrados em cada um dos períodos. Chamando de J

n

os juros do período n, com n ∈ { 0, 1, 2, 3 } , temos:

J = J

0

+ J

1

+ J

2

+ J

3

= 0 + 1.000, 00 · (0, 10) + 1.000, 00 · (0, 10) + 1.000, 00 · (0, 10)

Simplificando os cálculos, os juros totais da simulação é dado por: J = 1.000, 00 · (0, 10) · 3.

Observe que se tivéssemos uma quantidade maior de períodos a capitalizar, o produto 1.000, 00 · (0, 10) se manteria fixo, mudando-se apenas o número a ser multiplicado pela direita. Por exemplo, se capitalizarmos durante 6 períodos, o juro total acumulado é dado por: J = 1.000, 00 · (0, 10) · 5. Assim, para uma capitalização qualquer de um certo capital inicial C, submetido a uma taxa de juros i durante um período n, teremos que o juro total acumulado pode ser calculado pela expressão:

J = C · i · n

De posse da expressão que calcula os juros fixos, durante todo o período de capitalização, podemos encontrar a relação entre o montante M , o capital inicial C, a taxa de juros i e o número de períodos n. Observe o seguinte desenvolvimento:

M = C + J, e J = C · i · n Segue que,

M = C + C · i · n ⇔ M = C · (1 + i · n).

Para a simulação descrita anteriormente, o montante obtido depois de submeter o capital inicial de R$1.000, 00 a uma taxa i = 10% a.m., durante quatro meses de capitalização, é M = R$ 1.300, 00. Observe que este mesmo valor poderá ser calculado utilizando a fórmula M = C · (1 + i · n), onde C = R$ 1.000, 00, i = 10% e n = 4 meses (verifiquem!).

1.3 Definição. [Juros Simples] Chamamos de capitalização simples ou regime à juros simples a toda movi- mentação financeira em que a taxa de juros por período incide sempre sobre o capital inicial. Os juros, neste caso, verificam a relação J = C · i · n e, além disso, o montante M , obtido depois de submeter um certo capital C a uma taxa de juros i durante um certo número de períodos n é dado por M = C · (1 + i · n).

Nota 3. As unidades temporais da taxa de juros i, juntamente com o número de períodos n, devem ser sempre as mesmas. Por exemplo, se i = 4% a.a. o número de períodos deverá, necessariamente, ser dado em anos também. Suponha que, neste caso, n = 12 meses. Como proceder? Em alguns casos, mudar a unidade temporal do número de períodos, é mais simples do que mudar a da taxa de juros. É fácil perceber que, se n = 12 meses, então n = 1 ano e, dessa forma, colocamos a taxa de juros e o número de períodos em sintonia no que diz respeito a unidade temporal de ambos.

Como mudaríamos a taxa de juros, então? Tal questionamento é simples de responder. Introduziremos, a partir de agora, o conceito de taxas equivalentes e desta forma podemos alterar a unidade temporal da taxa para qualquer outra unidade que quisermos.

1.3.3 Taxas Equivalentes em Juros Simples

Suponha que tenhamos um certo capital inicial C de R$ 500, 00 e desejamos submeter a regime de juros simples utilizando duas taxas de juros i

a

= 12% a.a. e i

m

= 1% a.m. durante n = 12 meses. Lembrando que n = 12 meses pode ser reescrito como n = 1 ano, temos:

Para a primeira taxa de juros i

a

= 12% a.a. o montante M

1

obtido é: M

1

= 500 · (1 + (0, 12 · 1)) = 500 · 1, 12 = 560, 00.

Para a segunda, i

m

= 1% a.m., o montante M

2

é: M

2

= 500 · [1 + (0, 01 · 12)] = 500 · 1, 12 = 560, 00.

Observe que M

1

= M

2

, porque isso aconteceu? A resposta disso é mais simples do que parece, observe atentamente as taxas utilizadas nesta simulação, i

_a

= 12% a.a. e i

_m

= 1% a.m., a primeira foi dada em anos e a segunda em meses, além disso i

a

= 12 · i

m

ou se preferir, i

m

= i

_a

12 .

As taxas i

a

e i

m

são chamadas de taxas equivalentes, em outras palavras, submetendo um mesmo capital inicial C , num mesmo número de períodos, o montante encontrado será sempre o mesmo. De uma forma geral, suponha que i

a

seja uma taxa qualquer dada em anos e que desejamos encontrar as taxas equivalentes em semestre (i

s

), bimestre (i

b

), meses (i

m

), quinzenas (i

q

) e dias (i

d

), supondo que o capital inicial e o número de períodos são fixos, já sabemos de antemão que os montantes obtidos para cada umas das taxas será o mesmo. Se n = 1 ano podemos afirmar que n = 2 semestres, n = 6 bimestres, n = 12 meses , n = 24 quinzenas e n = 360 dias. Dessa forma:

M

a

= M

s

= M

b

= M

m

= M

q

= M

d

(1 + i

a

· 1) = (1 + i

s

· 2) = (1 + i

b

· 6) = (1 + i

m

· 12) = (1 + i

q

· 24) = (1 + i

d

· 360) i

_a

= 2 · i

_s

= 6 · i

_b

= 12 · i

_m

= 24 · i

_q

= 360 · i

_d

Nota 4. A quantidade de dias em cada mês no regime comercial é sempre igual a 30 não importando se o mês tem 31 dias ou menos de 30 no caso do mês de fevereiro.

1.3.4 Análise Gráfica

Uma outra forma de analisar o comportamento de um certo investimento, submetido ao regime de juros simples seria através da análise gráfica. Observe que, uma vez fixados o capital inicial C e a taxa de juros simples i, a expressão que relaciona essas variáveis juntamente com o montante M e o número de períodos n torna-se uma função de variáveis M (dependente) e n (independente) como definida abaixo:

M(n) = C · (1 + i · n), onde C e i são fixos

O domínio dessa função está restrito apenas ao primeiro quadrante. Portanto, não estaremos interessados em valores negativos tanto do montante quanto do número de períodos. Dessa forma Dom(M) = R

⁺

.

Outra fato importante é que o gráfico da função juros simples, pelo fato de ser linear, é representado por uma reta, que não passa pela origem. Isto se deve ao fato que partiremos sempre de um certo capital inicial C . Assim, quando n = 0 temos no mínimo o valor do capital inicial C, haja visto que ainda não completamos um mês de capitalização para que o juros obtido no primeiro período fosse incorporado ao montante.

n M

C · (1 + i) C

1

ER 8. Quanto se deve aplicar hoje para obter um montante de R$ 10.000, 00 daqui a 19 meses a uma taxa de juros simples de 50% a.a.

Solução: O capital inicial c =? não temos, o montante M = 10.000, 00, o número de períodos n = 19 meses que poderá ser transformado em anos através de uma simples regra de três:

Ano Meses

1 − − − − − − − 12 x − − − − − − − 19

= ⇒ 12 · x = 19 ⇒ x = 19 12 .

A fórmula do montante para o regime de juros simples é dada por M = C · (1 + i · n). Portanto:

10.000 = C ·

•

1 +



0, 50 · 19 12

‹ ˜

⇒ C = 10.000

•

1 +



0, 50 · 19 12

‹˜

⇒ C ≈ 5.581, 39.

Poderíamos resolver a mesma questão mantendo o número de períodos fixo, ou seja, n = 19 meses, porém,

alterando a unidade temporal da taxa de juros simples.

i

a

= 12 · i

m

⇒ i

m

= i

_a

12 . Logoi

m

= 0, 5

12 ≈ 0, 0416 = 4, 16% a.m.

Encontrando o capital inicial C, utilizando a nova taxa de juros simples mensal i = 4, 16% temos:

10.000 = C · [1 + (0, 0416 · 19)] ⇒ C = 10.000

[1 + (0, 0416 · 19)] ⇒ C ≈ 5.581, 39 Portanto, o capital procurado é de R$ 5.581, 39.

ER 9. Qual o valor dos juros contidos no montante de R$ 100.000, 00, resultante da aplicação de um certo capital à taxa de 42% a.a., durante 13 meses?

Solução: Para resolvermos estes exercícios, devemos lembrar, primeiramente, que os juros no regime de capitalização simples é fixo durante todos os períodos e a fórmula para calcular o juro total acumulado depende do capital inicial C, da taxa de juros simples i e do número de períodos n.

J = C · i · n

Precisamos encontrar o capital inicial C para depois calcular o juro total. Como o montante é de R$100.000, 00, através da fórmula M = C · (1 + i · n), obteremos o valor do capital inicial. Observe ainda que as unidades temporais da taxa e do número de períodos são incompatíveis, ou trocamos a taxa de juros de anos para meses ou trocamos o número de períodos de meses para anos. Se n = 13 meses, então n = 13

12 anos.

100.000 = C ·

•

1 +



0, 42 · 13 12

‹ ˜

⇒ C = 100.000

•

1 +



0, 42 · 13 12

‹˜

⇒ C ≈ 68.728, 52.

Assim, o capital inicial é de R$ 68.728, 52. Calculando o juros total do período, temos que:

J = 68.728, 52 · 0, 42 · 13

12 ≈ 31.271, 48.

Podemos encontrar, da mesma forma, o valor total dos juros utilizando uma outra relação que envolve o montante M , o capital inicial C e o juros total J . A fórmula mencionada é dado por:

M = C + J ⇒ J = M − C .

Assim, subtrai-se o valor do montante pelo capital e, dessa forma, encontra-se o valor para o juro total J.

J = 100.000, 00 − 68.728, 52 = 31.271, 48

O resultado do juro total, seria o mesmo, se mantivermos o número de períodos igual à 13 meses e transformando a unidade temporal da taxa de juros de ano para meses? Fica a cargo do leitor responder tal questionamento.

ER 10. Uma empresa aplicou R$ 4.000, 00 reais no dia 15/06/06 ao dia 21/06/06 e gerou um montante de R$ 4.042, 00. Qual foi a taxa mensal de rendimento dessa operação?

Solução: Em primeiro lugar, precisamos descobrir o número de períodos existentes entre essas duas

datas. Seria muito comum que qualquer pessoa afirmasse que entre as datas 15/06/06 e 21/06/06 existem

apenas 6 dias e isto infelizmente é incorreto. Quando contabilizamos datas, a data de partida deverá também

ser levada em consideração, dessa forma não teremos apenas 6 dias, o correto, neste caso, é afirmar que

entra as datas 15/06/06 e 21/06/06 existem na verdade 7 dias. Dessa forma o número de períodos será n = 7

dias. Utilizando a fórmula de juros simples M = C · (1 + i · n), temos:

4.042 = 4.000 · (1 + i · 7) ⇒ 4.042

4.000 = 1 + i · 7 ⇒ 1, 0105 = 1 + 7 · i ⇒ i = 1, 0105 − 1

7 = 0, 015.

Dessa forma, i = 0, 015 é a taxa de juros simples diária, lembrando que o exercício pede a taxa de juros mensal. Assim devemos utilizar a equivalência de taxas, onde i

m

= 30 · i

d

.

i

m

= 30 · i

d

= 30 · 0, 015 = 0, 045 = 4, 5% a.m.

ER 11. Depositei a quantia de R$ 72.000, 00 em um banco que remunera seus clientes à taxa simples de 36%

a.a. Depois de um certo tempo, verifiquei que o meu saldo no banco era de R$ 73.800, 00. Por quantos dias deu-se esta aplicação?

Solução: A questão pede para encontrarmos o número de períodos em dias, que o capital inicial C = 72.000, 00 foi aplicado a uma taxa de juros simples i = 36% a.a., resultando num montante M = 73.800, 00.

Observe que o número de períodos a ser encontrado deverá estar medido em dias, dessa forma devemos fazer uma mudança na unidade temporal de ano para dias da taxa fornecida.

i

a

= 360 · i

d

⇒ i

d

= i

a

360 ⇒ i

d

= 0, 36

360 ⇒ i

d

= 0, 001.

Utilizando a fórmula de juros simples M = C · (1 + i · n) temos que:

73.800, 00 = 72.000, 00 · (1 + 0, 001 · n) ⇒ 73.800, 00

72.000, 00 − 1 = 0, 001 · n ⇒ n = 1, 025 − 1 0, 001 = 25 Assim, o número de períodos procurado é n = 25 dias.

1.3.5 Exercícios Propostos

EP 1.21 . Uma empresa tomou emprestada a quantia de R$ 451.000, 00, se comprometendo a liquidar a dívida em 45 dias, pagando por esta R$ 572.770, 00. Qual a taxa mensal de juros simples adotada nesta operação?

EP 1.22 . Depositei a quantia de R$ 72.000, 00 em um banco que remunera seus clientes à taxa de juros simples de 36% ao ano. Depois de um certo tempo, o meu saldo neste banco era de R$ 73.800, 00. Por quantos dias deu-se essa aplicação?

EP 1.23 . Uma loja oferece um aparelho um aparelho por R$ 500, 00 a vista. Na compra deste aparelho a prazo, pede-se 20% do valor a vista como entrada, e mais um pagamento de R$ 550, 00 no prazo de 2 meses.

Que taxa de juros simples a loja está cobrando nessa operação?

EP 1.24 . Um capital, aplicado por 5 meses, foi elevado a R$42.000, 00. Caso esse capital tivesse sido aplicado por 10 meses, à mesma taxa de juros simples, teria se elevado R$ 54.000, 00. Encontre esse capital e a taxa utilizada.

EP 1.25 . Um capital aplicado por 2 meses, elevou-se a 2

3 de si próprio. Qual foi a taxa de juros simples considerada?

EP 1.26 . Um capital (C

2

) supera um outro (C

1

) em 20%. Os dois foram aplicados a juros simples a taxas de 10% a.m. e 7% a.m. respectivamente, e produziram juntos, em um mesmo prazo, um montante de R$ 205.000, 00. Determine esse prazo, sabendo que o juro do capital (C

2

) supera (C

1

) em R$ 25.000, 00

EP 1.27 . Que taxa de juros simples faz com que um certo capital inicial C triplique de valor em 2 anos e 1 mês.

EP 1.28 . A soma de um capital, aplicado durante 110 dias, à taxa de juros simples de 7% a.a., com seu juro,

é igual R$ 2.553, 47. Determine o valor do juro, considerando o ano com 360 dias.