Lógica de Predicados de 1a Ordem – Parte 2
Nesta aula, apresentamos as equivalências e as regras de inferência da Lógica de 1ª Or-dem. Adiantamos que, de formal geral, as leis de equivalência e regras de equivalência da Lógica Proposicional ainda valem. Por isso, vamos dar ênfase às “novas” proprieda-des da Lógica de Predicados de 1ª Ordem.
1. Equivalências Lógicas
A Lógica de 1ª Ordem estende a Lógica Proposicional. Por isso, todas as leis de equiva-lências lógicas vistas antes são válidas na Lógica de Predicados. Inclusive, podemos trocar as variáveis proposicionais daquelas leis por fórmulas quaisquer da Lógica da 1ª Ordem. Veja o exemplo a seguir.
Exemplo: A equivalência
¬
(p∧
q)≡
¬
p∨
¬
q que vimos antes ainda vale na Lógica de 1ª Ordem. Se considerarmos p como a fórmula “P(x)” e q como a fórmula “∀y Q(y)” temos esta equivalência:(
P(x)∧∀yQ(y))
≡¬P(x)∨¬∀yQ(y)¬
Porém, a Lógica de 1ª Ordem tem equivalências lógicas adicionais, relacionadas aos seus quantificadores. Seguem duas leis de equivalências que, basicamente, mostram situações em que uma fórmula quantificada (fórmula com quantificador) pode ser “que-brada” em duas fórmulas quantificadas e vice-versa:
(
P(x) Q(x))
xP(x) xQ(x)x ∧ ≡∀ ∧∀
∀
(
P(x) Q(x))
xP(x) xQ(x)x ∨ ≡∃ ∨∃
As duas “novas” leis de equivalências lógicas mais importantes lidam com as negações das fórmulas quantificadas. Elas costumam ser chamadas de Leis de De Morgan (da Lógica de 1ª Ordem), pois elas generalizam as leis de mesmo nome da Lógica Proposi-cional.
Leis de De Morgan:
)
(
)
(
x
x
P
x
P
x
≡
∃
¬
¬∀
)
(
)
(
x
x
P
x
P
x
≡
∀
¬
¬∃
Não vamos demonstrar essas leis, mas ambas são conseqüências tanto das definições dos quantificadores (como explicamos nas duas leis anteriores) como também das Leis de De Morgan da Lógica Proposicional (que transformam ∧ em ∨ e vice-versa).
Vamos mostrar no exemplo a seguir como usar estas leis para reescrever afirmações como “para todo” como afirmações “existe” e vice-versa.
Exemplo: Reescreva esta afirmação: “Não é verdade que todo inteiro é par ou ímpar”.
• Vamos usar P(x) para representar “x é par” e I(x) para “x é ímpar”. Assim, a a a-firmação dada pode ser expressa pela fórmula ¬∀x
(
P(x)∨I(x))
.• Por uma das leis de De Morgan acima, isso equivale a ∃x¬
(
P(x)∨I(x))
. • Porém, por uma lei da lógica proposicional (também chamada lei de DeMor-gan), esta fórmula equivale a ∃x
(
¬P(x)∧¬I(x))
. • A fórmula final pode ser lida como:2. Inferências Lógicas
Podemos usar as regras de inferência da Lógica Proposicional trocando as variáveis
proposicionais por fórmulas quaisquer da Lógica de 1ª Ordem. Veja o exemplo a seguir.
Exemplo: Se tivermos essas premissas:
(
)
) (
) ( )
(
y Q
y Q x
P x ¬
→ ∃
Por Modus Tollens, podemos concluir:
(
P(x))
x
¬∃
Porém, existem quatro regras de inferência novas muito importantes que explicam como
retirar um quantificador (regras de “instanciação”) e como introduzir um novo
quantifi-cador (regras de “generalização”). Seguem as quatro regras:
1) Instanciação Universal:
)
(
)
(
1
k
P
x
P
x
∴
∀
Onde k1 é um elemento do universo escolhido livremente (pode ser um valor
constante específico ou uma variável).
Esta regra diz que, se sabemos que “para todo x (de um universo), é verdade P(x)”,
en-tão podemos concluir que, para um dado elemento k1 do universo, P(k1) é verdade.
Exemplo: Conclua que 64 é par usando apenas essas duas informações:
• “Para todo x inteiro: se x é par, então x2 é par.” • “8 é par”
Isso pode ser representado por estas fórmulas lógicas:
• Par(8)→Par(82), ou seja, “Se 8 é par, então 82 é par”.
Agora, podemos usar a regra de inferência proposicional Modus Ponens para
con-cluir Par(82), representando que 82 (ou seja, 64) é par.
2) Instanciação Existencial
)
(
)
(
1
x
P
x
P
x
∴
∃
Onde x1 é uma nova variável representando um elemento do universo de valor
desconhecido.
A instanciação existencial está por trás daquilo que já fazemos quando usamos uma
definição de par, ou de ímpar ou da relação divide em uma demonstração. Veja o
pró-ximo exemplo.
Exemplo: Se soubermos que “x é par”, pela definição de par, isso equivale a afirmar: • “existe um k inteiro tal que x = 2k”
Isso corresponde a esta fórmula lógica:
• ∃k∈Z
(
x=2k)
Pela regra de Instanciação Existencial, se k1 for uma variável não usada,
pode-mos concluir que:
• x=2k1 (pela regra, subentende-se que k1 é do universo Z, neste caso)
Veja que essas duas primeiras regras, basicamente, descrevem quando podemos usar
uma informação quantificada (“para todo” ou “existe”) que conhecemos como premissa.
As próximas duas regras explicam quando podemos partir de outra informação para
concluir uma informação quantificada.
3) Generalização Universal
)
(
)
(
x
P
x
x
P
qualquer
x
Onde x é uma variável não usada em outras premissas, representando um
ele-mento qualquer do universo (ou seja, que pode assumir qualquer valor do
uni-verso).
Basicamente, esta regra diz que, se provarmos uma afirmação P(x) que independe do
valor de x, então ela vale “para todo x”. Isso está por trás de toda prova que nós fizemos
até aqui envolvendo variáveis. No exemplo a seguir, vamos rever uma demonstração
feita sobre inteiros no exemplo 1 da aula 6.
Exemplo: Vamos começar com essa premissa: • a é um inteiro qualquer
Usando axiomas dos inteiros e desenvolvendo (veja os detalhes no exemplo 1 da
aula 6), concluímos isso:
• a.0 = 0
Logo, pela regra de Generalização Universal, concluímos que:
• ∀a∈Z
(
a.0=0)
, ou seja , “para todo a inteiro, a.0=0”4) Generalização Existencial
)
(
)
(
x
P
x
v
P
∃
∴
Onde v é um elemento do universo (pode ser um valor constante específico ou
uma variável).
Esta regra de inferência diz que, se você descobriu que um v satisfaz um predicado P(v),
então você pode fazer a afirmação genérica de que “existe um x que satisfaz P(x)” sem
identificar o valor de x que torna P(x) verdade.
Logo, pela regra de Generalização Existencial, concluímos que, no universo
das pessoas (vivas ou não):
• ∃p
(
PisouLua(p))
, ou seja, “Existe uma pessoa que pisou na Lua”Exemplo: Sabemos que:
• “2 é primo e 2 é par”
Podemos representar isso assim: • Primo(2)
∧
Par(2)Logo, pela regra de Generalização Existencial, concluímos que:
• ∃x∈Z
(
Primo(x)∧Par(x))
, ou seja, “existe um inteiro que é primo e par”.Todo teorema matemático é uma afirmação “existe” ou “para todo” e, como vimos,
es-ses tipos de afirmações podem ser obtidas (provadas) a partir das duas regras de
“gene-ralização” vistas acima. Na próxima aula, vamos apresentar a “prova universal” e
“pro-va existencial”, que são, simplesmente, estas duas regras de inferência apresentadas
como métodos de prova matemática.
"Até os jovens se cansam e ficam exaustos, e os moços tropeçam e caem;
mas aqueles que esperam no Senhor renovam as suas forças,
voam alto como águias; correm e não ficam exaustos, andam e não se cansam."
