Sistemas de Controle Aula 11

Sumário:

•

Estabilidade de Sistemas Lineares

•

Especificações de desempenho

•

Sistemas Lineares de primeira ordem

•

Sistema Lineares de segunda ordem

Estabilidade

Em geral, podemos dizer que a resposta total de um sistema é a soma das respostas forçadas e natural, ou seja

𝑐 𝑡 = 𝑐_{𝑓𝑜𝑟ç𝑎𝑑𝑎} 𝑡 + 𝑐_{𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙}(𝑡)

Assim, podemos conceituar as seguintes definições de estabilidade:

➢ Um sistema linear e invariante no tempo é estável se a resposta natural tender a zero quando o tempo tender a infinito.

➢ Um sistema linear e invariante no tempo é instável se a resposta natural crescer, sem limites, à medida que o tempo tender para infinito.

➢ Um sistema linear e invariante no tempo é marginalmente estável quando a resposta natural nem cresce nem se atenua, permanecendo constante ou oscilante, à medida que o tempo tende para infinito.

Estabilidade

Analisando a resposta total (estabilidade BIBO):

1. Um sistema é instável se alguma entrada limitada gerar uma

saída ilimitada.

Estabilidade

Estabilidade

Lembrando que os sistemas instáveis possuem função de transferência a malha

fechada com pelo menos um polo no semiplano s da direita e/ou pólos de

multiplicidade maior que um no eixo imaginário.

Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz

O critério de estabilidade de Routh-Hurwitz constitui um método algébrico destinado a fornecer informações sobre a estabilidade absoluta de um sistema linear invariante no tempo que possui um polinômio característico com coeficientes constantes.

Este critério avalia a possibilidade de uma das raízes desse polinômio se situar no semiplano lateral direito do plano complexo, ou seja, que possua parte real positiva, infringindo assim a condição primeira de estabilidade.

O método consiste na construção de uma tabela que estabelece uma condição necessária e suficiente de estabilidade, baseada em um arranjo triangular.

Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz

Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz

Vamos aos passos para estabelecer o critério:

a) Seja o polinômio característico:

Δ 𝑠 = 𝑎_𝑛𝑠𝑛 + 𝑎_𝑛−1𝑠𝑛−1 + 𝑎_𝑛−2𝑠𝑛−2 + ⋯ + 𝑎₁𝑠 + 𝑎₀

b) Tomam-se os coeficientes de 𝐻(𝑠), preenchendo-se a tabela que segue.

𝑎_𝑛 𝑎_𝑛−2 𝑎_𝑛−4 … 𝑎_𝑛−1 𝑎_𝑛−3 𝑎_𝑛−5 … 𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏₃ … 𝑐₁ 𝑐₂ 𝑐₃ …

Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz

c) Os elementos 𝑏_𝑖 e 𝑐_𝑖 são calculados de acordo com:

𝑏_𝑖 = 𝑎𝑛−1. 𝑎𝑛−2𝑖_𝑎− 𝑎𝑛. 𝑎𝑛−2𝑖−1

𝑛−1

𝑐_𝑖 = 𝑏1. 𝑎𝑛−2𝑖−1_𝑏− 𝑎𝑛−1. 𝑏𝑖+1

1

d) Completada a tabela, o número de mudanças de sinal na primeira coluna será o número de polos não negativos.

Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz

Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz

Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz

Exemplo de sistema de 2ª ordem

Δ 𝑠 = 𝑎₂𝑠2𝒂_𝟏𝑠 + 𝑎₀

O arranjo de Routh é

𝒔𝟐 _𝒂

𝟐 𝒂𝟎

𝑠1 _𝒂

𝟏 0

𝑠0 _𝐛

𝟏 0 𝑏1 = −

1 𝑎₂₋₁

𝑎₂ 𝑎₀

𝑎₁ 0 = −_𝑎1₁ [𝑎2. 0 − 𝑎1. 𝑎0]

𝑏₁ = 𝑎1_𝑎. 𝑎0

1

𝒔𝟐 𝒂_𝟐 𝒂_𝟎

Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz

Exemplo de sistema de 2ª ordem

Δ 𝑠 = 𝑎₂𝑠2𝒂_𝟏𝑠 + 𝑎₀

Podemos ver que o sistema será estável caso todos elementos sejam positivos.

𝒔𝟐 𝒂_𝟐 𝒂_𝟎

𝑠1 𝒂_𝟏 0 𝑠0 𝒂_𝟎 0

Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz

Exercício

1. Considerando-se o sistema com polinômio característico 𝐻 𝑠 = 𝑠5 + 4𝑠4 + 2𝑠3 +

5𝑠2 + 3𝑠 + 6, verifique sua estabilidade utilizando o critério de Routh-Hurwitz.

Solução:

𝑎₅ = 1, 𝑎₄ = 4, 𝑎₃ = 2, 𝑎₂= 5, 𝑎₁ = 3, 𝑎₀ = 6

𝑠5 1 2 3

𝑠4 _{4 5 6}

𝑠3 _𝑏

1 𝑏2 b3

𝑠2 𝑐₁ 𝑐₂ 𝑐₃

O arranjo será:

𝑏₁ = −_𝑎1

𝑛−1

1 2

4 5 = − 1

𝑎₄ [1.5 − 2.4]

Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz

Exercício

1. Considerando-se o sistema com polinômio característico 𝐻 𝑠 = 𝑠5 + 4𝑠4 + 2𝑠3 +

5𝑠2 + 3𝑠 + 6, verifique sua estabilidade utilizando o critério de Routh-Hurwitz.

Solução:

𝑎₅ = 1, 𝑎₄ = 4, 𝑎₃ = 2, 𝑎₂= 5, 𝑎₁ = 3, 𝑎₀ = 6

𝑠5 1 2 3

𝑠4 _{4 5 6}

𝑠3 ₃

4 𝑏2 b3 𝑠2 𝑐₁ 𝑐₂ 𝑐₃ 𝑠1 𝑑₁ 𝑑₂ 𝑑₃ 𝑠0 𝑒₁ 𝑒₂ 𝑒₃

O arranjo será:

𝑏₂ = −_𝑎1

𝑛−1

1 3

4 6 = − 1

𝑎₄[1.6 − 3.4]

𝑏₂ = −6 − 12₄

Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz

Exercício

1. Considerando-se o sistema com polinômio característico 𝐻 𝑠 = 𝑠5 + 4𝑠4 + 2𝑠3 +

5𝑠2 + 3𝑠 + 6, verifique sua estabilidade utilizando o critério de Routh-Hurwitz.

Solução:

𝑎₅ = 1, 𝑎₄ = 4, 𝑎₃ = 2, 𝑎₂= 5, 𝑎₁ = 3, 𝑎₀ = 6

𝑠5 1 2 3 0

𝑠4 _{4 5 6 0}

𝑠3 ₃

4

3

2 b3

𝑠2 𝑐 𝑐 𝑐

O arranjo será:

𝑏₃ = −_𝑎1

𝑛−1

1 0

4 0 = − 1

𝑎₄ [1.0 − 0.4]

Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz

Exercício

1. Considerando-se o sistema com polinômio característico 𝐻 𝑠 = 𝑠5 + 4𝑠4 + 2𝑠3 +

5𝑠2 + 3𝑠 + 6, verifique sua estabilidade utilizando o critério de Routh-Hurwitz.

Solução:

𝑎₅ = 1, 𝑎₄ = 4, 𝑎₃ = 2, 𝑎₂= 5, 𝑎₁ = 3, 𝑎₀ = 6

𝑠5 1 2 3 0

𝑠4 _{4 5 6 0}

𝑠3 ₃

4

3

2 0

𝑠2 𝑐₁ 𝑐₂ 𝑐₃ 𝑠1 𝑑₁ 𝑑₂ 𝑑₃ 𝑠0 𝑒₁ 𝑒₂ 𝑒₃

O arranjo será:

𝑐₁ = −_𝑏1

1

4 5 3 4

3

2 = − 1 𝑏₁ 4.3 2 − 5.3 4

𝑐₁ = −

24 − 15 4

3 4

= −9_{3 = −3}

Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz

Exercício

1. Considerando-se o sistema com polinômio característico 𝐻 𝑠 = 𝑠5 + 4𝑠4 + 2𝑠3 +

5𝑠2 + 3𝑠 + 6, verifique sua estabilidade utilizando o critério de Routh-Hurwitz.

Solução:

𝑎₅ = 1, 𝑎₄ = 4, 𝑎₃ = 2, 𝑎₂= 5, 𝑎₁ = 3, 𝑎₀ = 6

𝑠5 1 2 3 0

𝑠4 _{4 5 6 0}

𝑠3 ₃

4

3

2 0

𝑠2 −3 𝑐 𝑐

O arranjo será:

𝑐₂ = −_𝑏1

1

4 6 3

4 0 = − 1

𝑏₁ 4.0 − 6. 3 4

Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz

Exercício

1. Considerando-se o sistema com polinômio característico 𝐻 𝑠 = 𝑠5 + 4𝑠4 + 2𝑠3 +

5𝑠2 + 3𝑠 + 6, verifique sua estabilidade utilizando o critério de Routh-Hurwitz.

Solução:

𝑎₅ = 1, 𝑎₄ = 4, 𝑎₃ = 2, 𝑎₂= 5, 𝑎₁ = 3, 𝑎₀ = 6

𝑠5 1 2 3

𝑠4 _{4 5 6 0}

𝑠3 ₃

4

3

2 0

𝑠2 −3 6 𝑐₃ 𝑠1 𝑑₁ 𝑑₂ 𝑑₃ 𝑠0 𝑒₁ 𝑒₂ 𝑒₃

O arranjo será:

𝑐₃ = −_𝑏1

1

4 0 3 4 0 𝑐₃ = 0

Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz

Exercício

1. Considerando-se o sistema com polinômio característico 𝐻 𝑠 = 𝑠5 + 4𝑠4 + 2𝑠3 +

5𝑠2 + 3𝑠 + 6, verifique sua estabilidade utilizando o critério de Routh-Hurwitz.

Solução:

𝑎₅ = 1, 𝑎₄ = 4, 𝑎₃ = 2, 𝑎₂= 5, 𝑎₁ = 3, 𝑎₀ = 6

𝑠5 1 2 3

𝑠4 _{4 5 6}

𝑠3 ₃

4

3

2 0

𝑠2 −3 6 0

O arranjo será:

𝑑₁ = −_𝑐1

1

3 4

3 2

−3 6 = − 1 𝑐₁

3

4 . 6 − (−3). 3 2

𝑑 = − 18

Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz

Exercício

1. Considerando-se o sistema com polinômio característico 𝐻 𝑠 = 𝑠5 + 4𝑠4 + 2𝑠3 +

5𝑠2 + 3𝑠 + 6, verifique sua estabilidade utilizando o critério de Routh-Hurwitz.

Solução:

𝑎₅ = 1, 𝑎₄ = 4, 𝑎₃ = 2, 𝑎₂= 5, 𝑎₁ = 3, 𝑎₀ = 6

𝑠5 1 2 3

𝑠4 _{4 5 6}

𝑠3 3 4

3

2 0

𝑠2 −3 6 0 𝑠1 _{3 𝑑}

2 𝑑3

𝑠0 𝑒₁ 𝑒₂ 𝑒₃

O arranjo será:

𝑑₂ = −_𝑐1

1

3

4 0

−3 0 = − 1 𝑐₁

3

4 . 0 − (−3). 0

𝑑₂ = −0 + 0_{−3 = 0}

Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz

Exercício

1. Considerando-se o sistema com polinômio característico 𝐻 𝑠 = 𝑠5 + 4𝑠4 + 2𝑠3 +

5𝑠2 + 3𝑠 + 6, verifique sua estabilidade utilizando o critério de Routh-Hurwitz.

Solução:

𝑎₅ = 1, 𝑎₄ = 4, 𝑎₃ = 2, 𝑎₂= 5, 𝑎₁ = 3, 𝑎₀ = 6

𝑠5 1 2 3

𝑠4 _{4 5 6}

𝑠3 3 4

3

2 0

𝑠2 −3 6 0

O arranjo será:

𝑑₃ = −_𝑐1

1

3

4 0

−3 0 = − 1 𝑐₁

3

4 . 0 − (−3). 0

Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz

Exercício

1. Considerando-se o sistema com polinômio característico 𝐻 𝑠 = 𝑠5 + 4𝑠4 + 2𝑠3 +

5𝑠2 + 3𝑠 + 6, verifique sua estabilidade utilizando o critério de Routh-Hurwitz.

Solução:

𝑎₅ = 1, 𝑎₄ = 4, 𝑎₃ = 2, 𝑎₂= 5, 𝑎₁ = 3, 𝑎₀ = 6

𝑠5 1 2 3

𝑠4 _{4 5 6}

𝑠3 3 4

3

2 0

𝑠2 −3 6 0

𝑠1 _{3 0 0}

𝑠0 𝑒₁ 𝑒₂ 𝑒₃

O arranjo será:

𝑒₁ = −_𝑑1

1

−3 6

3 0 = − 1

𝑑₁ (−3). 0 − 3.6

𝑒₁ = −0 − 18₃ = 6

Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz

Exercício

1. Considerando-se o sistema com polinômio característico 𝐻 𝑠 = 𝑠5 + 4𝑠4 + 2𝑠3 +

5𝑠2 + 3𝑠 + 6, verifique sua estabilidade utilizando o critério de Routh-Hurwitz.

Solução:

𝑎₅ = 1, 𝑎₄ = 4, 𝑎₃ = 2, 𝑎₂= 5, 𝑎₁ = 3, 𝑎₀ = 6

𝑠5 1 2 3

𝑠4 _{4 5 6}

𝑠3 3 4

3

2 0

𝑠2 −3 6 0

O arranjo será:

𝑒₂ = −_𝑑1

1

−3 0

3 0 = − 1

𝑑₁ (−3). 0 − 3.0

Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz

Exercício

1. Considerando-se o sistema com polinômio característico 𝐻 𝑠 = 𝑠5 + 4𝑠4 + 2𝑠3 +

5𝑠2 + 3𝑠 + 6, verifique sua estabilidade utilizando o critério de Routh-Hurwitz.

Solução:

𝑎₅ = 1, 𝑎₄ = 4, 𝑎₃ = 2, 𝑎₂= 5, 𝑎₁ = 3, 𝑎₀ = 6

𝑠5 1 2 3

𝑠4 _{4 5 6}

𝑠3 3 4

3

2 0

𝑠2 −3 6 0

𝑠1 _{3 0 0}

𝑠0 𝑒₁ 0 𝑒₃

O arranjo será:

𝑒₃ = −_𝑑1

1

−3 0

3 0 = − 1

𝑑₁ (−3). 0 − 3.0

𝑒₃ = −0_{3 = 0}

Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz

Exercício

1. Considerando-se o sistema com polinômio característico 𝐻 𝑠 = 𝑠5 + 4𝑠4 + 2𝑠3 +

5𝑠2 + 3𝑠 + 6, verifique sua estabilidade utilizando o critério de Routh-Hurwitz.

Solução:

𝑎₅ = 1, 𝑎₄ = 4, 𝑎₃ = 2, 𝑎₂= 5, 𝑎₁ = 3, 𝑎₀ = 6

𝑠5 _{1 2 3}

𝑠4 4 5 6

𝑠3 3 4

3

2 0

𝑠2 _{−3 6 0}

Com isso calculamos o arranjo completamente:

Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz

Exercício

2. Considerando-se o sistema com ganho em malha aberta igual a:

𝐺 𝑠 = _{𝑠 + 2 𝑠 + 3 𝑠 + 5}1000

E realimentação com ganho unitário, verifique sua estabilidade utilizando o critério de Routh-Hurwitz.

O sistema em malha fechada com ganho unitário pode ser obtido como

𝐻_𝑀𝐹 𝑠 = _{1 + 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠) , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐻 𝑠 = 1}𝐺 𝑠

𝐻_𝑀𝐹 𝑠 = _{1 + 𝐺 𝑠}𝐺 𝑠

Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz

Exercício

2. cont.

𝐻_𝑀𝐹 𝑠 =

1000

𝑠 + 2 𝑠 + 3 𝑠 + 5 1 + _{𝑠 + 2 𝑠 + 3 𝑠 + 5}1000

𝐻_𝑀𝐹 𝑠 = _{𝑠3 + 10𝑠2}1000_{+ 31𝑠 + 1030}

A tabela de Routh será:

Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz

Exercício

2. cont.

𝐻_𝑀𝐹 𝑠 = _{𝑠3 + 10𝑠2}1000_{+ 31𝑠 + 1030}

A tabela de Routh será:

𝑠3 1 31 0 𝑠2 10 1030 0 𝑠1 𝑏₁ 0 0 𝑠0 𝑐₁ 0 0

𝑏₁ = −₁₀1 _{10 1030 = −}1 31 _{10 1.1030 − 31.10}1

𝑏₁ = −_{10 1030 − 310 = −}1 720_{10 = −72}

Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz

Exercício

2. cont.

𝐻_𝑀𝐹 𝑠 = _{𝑠3 + 10𝑠2}1000_{+ 31𝑠 + 1030}

A tabela de Routh será:

𝑠3 1 31 0 𝑠2 10 1030 0 𝑠1 −72 0 0 𝑠0 𝑐₁ 0 0

𝑐₁ = −₍₋₇₂₎1 ₋₇₂10 1030₀ = −_{(−72) 10.0 − (−72). 1030}1

Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz

Exercício

2. cont.

𝐻_𝑀𝐹 𝑠 = _{𝑠3 + 10𝑠2}1000_{+ 31𝑠 + 1030}

A tabela de Routh será:

𝑠3 1 31 0 𝑠2 10 1030 0 𝑠1 −72 0 0 𝑠0 1030 0 0

Como possui um número negativo, o sistema é instável.

Exercícios

Agora é com vocês, vamos treinar os conceitos de estabilidade que aprendemos.

3) Avalie a estabilidade dos sistemas representados pelas funções de transferência abaixo:

𝐻 𝑠 = _{𝑠2 + 5𝑠 + 16}3

𝐻 𝑠 = _{𝑠2 + 4𝑠 + 10}4

Projetos de estabilidade via Routh-Hurwitz

4) Determine a faixa de valores do ganho, K, para o sistema da figura abaixo que fará com que o sistema seja estável, instável e marginalmente estável. Suponha K>0.

5) Para o sistema em malha aberta 𝐺 𝑠 = 𝐾1+

𝐾2 𝑠

(𝑠+2)(𝑠+3), determine os valores das

constantes envolvidas, utilizando o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz para que o sistema em malha fechada seja estável.

Exercícios

6) Determine para o sistema descrito por 𝐻 𝑠 = 3

2𝑠2_+10𝑠+14 os valores de:

a) Tempo de pico;

Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais

Zero somente na Primeira Coluna

Caso o primeiro elemento de uma linha for zer, a divisão por zero seria

necessária para formar a próxima linha. Para evitar isto, atribuímos um valor

épsilon,

𝝐

, e no fim fazemos o limite de épsilon para zero.

Exemplo

Determine a estabilidade da função de transferência a malha fechada.

𝑇 𝑠 =

_𝑠

_{+ 2𝑠}

_{+ 3𝑠}

10

_{+ 6𝑠}

_{+ 5𝑠 + 3}

Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais

Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais