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Comportamento Dinâmico de Sistemas de Primeira Ordem

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Academic year: 2019

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Roteiro

1 Sistemas de Primeira Ordem

Função de Transferência de Sistemas de Primeira Ordem Puramente Capacitivo ou Integrador Puro

2 Resposta Transiente de Sistemas de Primeira Ordem

Resposta ao Degrau Resposta ao Impulso Resposta Senoidal

3 Exemplos

Dois Tanques de Nível Resposta ao Pulso Resposta Senoidal

4 Atividades Complementares

(3)

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Primeira Ordem (ouretardo de primeira ordemouestágio exponencial simples) é aquele cuja resposta y(t) é descrita por uma equação diferencial de primeira ordem:

a1 dy

dt +a0y =bu,y(0) =0

Sea06=0, então

a1 a0

dy

dt +y = b a0

u,y(0) =0

Fazendo

a1 a0

=τp e b a0

=Kp

tem-se

(4)

Sistemas de Primeira Ordem

continuação

onde

τp –constante de tempo do sistema: indica a rapidez com que a

resposta do sistema reage a uma perturbação em uma certa entrada

Kp–ganho estacionárioouganho estáticoouganho do processo:

é a razão entre os valores finais da resposta e de uma determinada entrada considerada

Kp =

∆y

∆u(degrau emu), ou Kp = lim

s→0[Gp(s)]

(5)

Função de Transferência de Sistemas de 1

a

Ordem

Aplica-se a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial de um sistema de primeira ordem, obtendo

τpsY(s) +Y(s) = KpU(s)

(τps+1)Y(s) = KpU(s)

Gp(s) = Y

(s) U(s) =

Kp τps+1

s + 1

K

p

U ( s )

Y ( s )

(6)

Puramente Capacitivo ou Integrador Puro

Caso Particular: Sea0=0

dy dt =

b a1

u =K′ pu

Gp(s) = Y(s) U(s) =

K′ p s

diz-se que o sistema épuramente capacitivoouintegrador puro.

(7)

Resposta ao Degrau

As respostas transientes de sistemas de 1a ordem são apresentadas para três tipos de perturbações diferentes, bastante comuns no estudo experimental e teórico do controle de processos.

Resposta ao Degrau

A função degrau de amplitudeAé expressa por

u(t) =Au∗(t),t 0

ondeu∗(t)é a função degrau unitário

u

A

U ( s ) = A

(8)

Resposta ao Degrau

continuação

Combinando a função de transferência de um sistema de 1aordem e a Transformada de Laplace da função degrau com amplitudeA,

Y(s) = Kp

τps+1 A s

cuja transformada inversa deY(s),y(t), será igual a

y(t) =KpA(1−e−t/τp)

(9)

Resposta ao Degrau

continuação

A figura abaixo apresenta o comportamento da saída adimensional y(t)/KpAcontra o tempo adimensionalt/τp:

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Sistema de Primeira Ordem: resposta ao degrau

y/K

p

(10)

Resposta ao Degrau

continuação

Destacam-se nessa resposta:

1 o valor dey(t)alcança 63,2% do seu valor final após decorrido

um intervalo de tempo igual a uma constante de tempo,τp.

Quanto menor for a constante de tempo, mais rápida será a

resposta do sistema. A resposta é essencialmente completa

após 3 a 5 constantes de tempo

tempo decorrido τp 2τp 3τp 4τp 5τp

[y(t)/y()]×100 63,2 86,5 95 98,2 99,3

(11)

Resposta ao Degrau

continuação

2 a inclinação da curva resposta emt =0 é igual a 1

d[y(t)/KpA] d[t/τp]

t=0

=e−t/τp

t=0=1

se a velocidade inicial de variação dey(t)fosse mantida, a resposta seria completa após uma constante de tempo

3 o valor final da resposta é igual aKpA

∆y

(12)

Resposta ao Impulso

Resposta ao Impulso

Matematicamente, a função impulso de intensidadeAé definida por

u(t) =Aδ(t),t =0

ondeδ(t)é a função impulso unitário

0

u

t

A

U ( s ) = A

b

b

0

u

t

A

b ® 0

(13)

Resposta ao Impulso

continuação

A resposta impulsional de um sistema de primeira ordem, perturbado por um impulso de intensidadeA, pode ser expressa por:

Y(s) = Kp

τps+1 A

A transformada inversa deY(s),y(t), será igual a

y(t) = KpA

(14)

Resposta ao Impulso

continuação

A figura abaixo apresenta o comportamento da saída adimensional y(t)τp/KpAcontra o tempo adimensionalt/τp:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Sistema de Primeira Ordem: resposta ao impulso

t/τp

y

τp

/K

p

A

Note que a resposta cresce imediata-mente para 1,0 e, após decai exponen-cialmente.

(15)

Resposta Senoidal

Resposta Senoidal

Matematicamente, a função perturbação senoidal é representada pela equação

u(t) =Asen(wt),t0

onde A é a amplitude e w é a frequência angular (igual a 2πf, f=frequência em ciclos por tempo).

A Transformada de Laplace deu(t)é

(16)

Resposta Senoidal

continuação

Combinando-a com a função de transferência de um sistema de 1a ordem, encontra-se

Y(s) = Kp

τps+1 Aw s2+w2

Calculando a transformada inversa deY(s), obtém-se

y(t) = KpAwτp

τ2

pw2+1

e−t/τp + KpA

q

τ2

pw2+1

sen(wt+φ)

φ = arctg(wτp)

(17)

Resposta Senoidal

continuação

Observe o comportamento da entrada senoidal e a resposta do sistema de 1aordem a ela

−0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Sistema de Primeira Ordem: resposta senoidal

y

(18)

Resposta Senoidal

continuação

Pode-se verificar as seguintes características da resposta senoidal:

1 a resposta é também uma onda senoidal com frequênciaw igual

à onda senoidal do sinal de entrada

2 quandot → ∞, resta apenas a solução periódica final, algumas

vezes chamada desolução estacionária

y(t)|s = q KpA

τ2

pw2+1

sen(wt+φ)

φ = arctg(wτp)

(o primeiro termo tende a zero, sendo responsável pelo comportamento transiente da resposta dey(t))

(19)

Resposta Senoidal

continuação

3 a razão entre as amplitudes da resposta (solução estacionária) e

da entrada é a chamadarazão de amplitude,AR

AR =

KpA q

τ2 pw2+1

A =

Kp q

τ2

pw2+1

SeAR<1, diz-se que o sinal éatenuado.

O mesmo é válido para arazão de amplitude normalizada,ARN,

obtida quando divide-seARpelo ganho do processo,Kp

ARN= AR

Kp

= q 1

τ2

pw2+1

(20)

Resposta Senoidal

continuação

4 a respostaatrasaem relação à entrada por um ângulo|φ|. O

atraso sempre ocorrerá, pois o sinal deφé sempre negativo (φ <0, atraso de fase;φ >0, avanço de fase)

(21)

Dois Tanques de Nível

Exemplo

Dois tanques de armazenamento de líquido são mostrados a seguir

F o

h

( A ) F

T a n q u e 1 T a n q u e 2

F o

h

( A ) F = k h

(22)

Dois Tanques de Nível

Exemplo (continuação)

Para o Tanque 1, a vazão de saída é calculada comoF =8√h. Para o Tanque 2, a variação do nívelhnão afeta a vazão de saída,F. Ambos os tanques de armazenamento possuem seção reta uniforme com áreaA=0,3 m2e encontram-se em estado estacionário, com nível de líquido igualhs =1 m. No tempot=0, a vazão de entrada,Fo, é

aumentada para 10 m3/min. Para cada tanque, determine:

(a) a função de transferênciaH(s)/Fo(s)

(b) a resposta transienteh(t)

(c) os níveis no novo estado estacionário

(d) se cada tanque tem altura nominalhn=2 m, qual dos tanques

transbordará? E quando?

(23)

Dois Tanques de Nível

Solução Tanque 1 Modelo Linearizado dh dt = Fo A − k 2A√hs

h,h(0) =0

Função de Transferência

A função de transferência entre a variável de saída,H(s)e a variável de entrada,Fo(s)é:

Gp(s) =

H(s) Fo(s)

= Kp

τps+1

, onde

Kp =

2√hs

k =

(2)(1)

(8) =0,25 m/(m 3/min)

(24)

Dois Tanques de Nível

continuação

Função de Transferência

Substituindo os valores numéricos deKpeτp tem-se:

Gp(s) =

H(s) Fo(s)

= 0,25 0,075s+1

Resposta ao Degrau

A entradaFo sofre um perturbação degrau de amplitude

∆Fo=10− (8)(1) | {z } Fs=8√hs

=2 m3/min. A transformada inversa de

H(s) = Kp

τps+1

∆Fo s será igual a

h(t) = Kp∆Fo

1e−t/τp= (0,25)(2)1e−t/0,075

= 0,501−e−t/0,075

(25)

Dois Tanques de Nível

continuação

Resposta ao Degrau

Em variável absoluta

h(t) = 1+0,501e−t/0,075

Após a perturbação, a altura do tanque irá para

(26)

Dois Tanques de Nível

continuação

Resposta ao Degrau

A resposta estacionária final também pode ser obtida do modelo não-linear, calculando-se o seu valor após a variação (degrau) emFo:

no EE: Fos−k p

hs=0

hs=

Fos k

2

hs=

10 8

2

=1,56 m<2 mnão transbordará

(27)

Dois Tanques de Nível

Tanque 2

Modelo Linear(izado)

dh dt =

Fo A −

F

A,h(0) =0

Função de Transferência

A função de transferência entre a variável de saída,H(s)e a variável de entrada,Fo(s)é:

sH(s) = Fo(s)

A −

F(s) A

Gp(s) =

H(s) Fo(s)

= 1/A s Substituindo o valor numérico deAtem-se

(28)

Dois Tanques de Nível

continuação

Resposta ao Degrau

A entradaFo sofre um perturbação degrau de amplitude

∆Fo=10− (8)(1) | {z } Fs=8√hs

=2 m3/min. A transformada inversa de

H(s) = 1/A s

∆Fo s

será igual a

h(t) = ∆Fo A t=

(2)

(0,3)t=6,67t Em variável absoluta

h(t) = 1+6,67t

Após a perturbação, a altura do tanque irá variar linearmente com o tempo, sem atingir novo valor final.

(29)

Dois Tanques de Nível

continuação

Resposta ao Degrau

O tanque irá transbordar quandoh(tb)>hn

2=1+6,67tb ⇒ tb=

21

(30)

Dois Tanques de Nível

continuação

Resposta ao Degrau

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2

Altura de Líquido no Tanque

t (min)

h (m)

hlinear hcapacitivo hnominal

Figura: Resposta ao degrau de dois tanques de nível

(31)

Resposta ao Pulso

Exemplo

Um tanque de nível de seção reta uniforme de áreaA=0,3 m2e vazão de saída calculada comoF =8√h, encontra-se em estado estacioná-rio, com nível de líquido igual hs = 1 m. No tempo t = 0, a vazão

(32)

Resposta ao Pulso

Exemplo (continuação)

F

o

h

( A )

F

=

k

h

Figura:Tanque de nível

(33)

Resposta ao Pulso

Solução

Função de Transferência

A função de transferência entre a variável de saída,H(s)e a variável de entrada,Fo(s)é:

Gp(s) =

H(s) Fo(s)

= Kp

τps+1

, onde

Kp =

2√hs

k =

(2)(1)

(8) =0,25 m/(m 3/min)

τp =

2A√hs

k =

(2)(0,3)(1)

(8) =0,075 min Substituindo os valores numéricos deKpeτp tem-se:

(34)

Resposta ao Pulso

continuação

Perturbação Pulso

A entrada Fo sofre um

perturba-ção pulso de amplitude∆Fo =9−

(8)(1) | {z } Fs=8√hs

= 1 m3/min e duração de

0,1 min.

Esta perturbação pode ser repre-sentada como dois degraus iguais e consecutivos, mas de sinais opostos

8

9

7

0

0 , 1

0 , 2

t , m i n

F o , m 3/ m i n

0

1

- 1

0 0 , 1 0 , 2

t , m i n

F o , m 3/ m i n

0 , 1 0 m 3

d e s v i o

(35)

Resposta ao Pulso

continuação

Perturbação Pulso

Fo(t) = ∆Fo[u(t)−u(t−to)]

comto=0,1 min e cuja Transformada de Laplace é

Fo(s) = ∆Fo

1 s −

e−tos

(36)

Resposta ao Pulso

continuação

Solução no Tempo

Resolvendo a equação no domínio da Transformada

H(s) = Kp

τps+1

∆Fo

1 s −

e−tos

s

H(s) = Kp∆Fo

1

s(τps+1) −

e−tos

s(τps+1)

cuja transformada inversa será igual a

h(t) =Kp∆Fo n

1e−t/τpu(t)h1e−(t−to)/τpiu(tt o)

o

(37)

Resposta ao Pulso

continuação

Solução no Tempo

Ou

h(t) =

Kp∆Fo 1−e−t/τp t <to Kp∆Fo 1−e−t/τp−1−e−(t−to)/τp t >to h(t) =

Kp∆Fo 1−e−t/τp t <to Kp∆Fo eto/τp−1e−t/τp t >to

Substituindo pelos valores numéricos

h(t) =

(0,25)(1) 1e−t/0,075=0,25 1e−t/0,075 t<0,1 min

(38)

Resposta ao Pulso

continuação

Solução no Tempo

Comparando com a resposta impulsional de intensidade∆Fo×to

h(t) = Kp∆Foto

τp

e−t/τp = (0,25)(1)(0,1)

(0,075) e

−t/0,075=

0,33e−t/0,075

Em variável absoluta

h(t) =

1+0,25 1e−t/0,075 t<0,1 min 1+0,698e−t/0,075 t>0,1 min h(t) = 1+0,33e−t/0,075

(39)

Resposta ao Pulso

continuação

Solução no Tempo

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4

Pulso e Impulso em F 0

h (m)

(40)

Resposta Senoidal

Exemplo

A composição de alimentação de um reator varia com uma amplitude maior que o aceitável. Deseja-se instalar um tanque pulmão para re-duzir a variação na composição de alimentação, como mostrado na figura:

CA

C*A0

CA0

V C*A0

F

F F

Tanque

Pulmão Reator

Figura: Reator com tanque pulmão

(41)

Resposta Senoidal

Exemplo (continuação)

(42)

Resposta Senoidal

Solução Modelo Linear dC∗ A0 dt = F

V(CA0−C ∗

A0),CA∗0(0) =CA∗0s

Função de Transferência

A função de transferência entre a variável de saída,C∗

A0(s)e a variável de entrada,CA0(s)é obtida a partir do modelo linear

escrito na forma padrão de primeira ordem e em variável desvio:

dC∗ A0 dt + F VC ∗ A0=

F VCA0

Gp(s) = C∗

A0(s) CA0(s)

= Kp

τps+1

, onde

Kp = F/V

F/V =1 e τp= 1

F/V =V/F min

(43)

Resposta Senoidal

continuação

Resposta à Senóide

A entradaCA0comporta-se como uma perturbação senoidal Asen(wt)com amplitudeA=200 g/m3e frequência angular w =2πf =2π/T =2π/5=0,4πmin−1. A transformada inversa de

C∗ A0(s) =

Kp τps+1

Aw s2+w2 será igual a

C∗

A0(t) =

KpAwτp τp2w2+1

e−t/τp + KpA

q

τp2w2+1

sen(wt+φ)

(44)

Resposta Senoidal

continuação

Solução Estacionária

Após um transiente inicial, considera-se apenas a chamada solução estacionária:

C∗

A0(t) =

KpA q

τ2

pw2+1

sen(wt+φ)

φ = arctg(wτp)

(45)

Resposta Senoidal

continuação

Solução Estacionária

Deseja-se que a amplitude da senóide na entrada do reator seja reduzida deA=±200 g/m3paraA=±20 g/m3; isto é, projetar um

tanque pulmão com volumeV suficiente para atenuar o sinal original

CA0(t)paraCA∗0(t). Desta forma, a amplitude do sinalCA∗0(t)será igual

a:

A∗ = KpA q

τ2

pw2+1

A∗ = KpA

p

(V/F)2w2+1

V = F

w s

KpA

A∗

−1= 1 0,4π

(46)

Leitura I

Leitura Complementar

Próxima aula:

apostila do Prof. Wua, capítulos 11 (volume I) e 12 (volume II).

livro do Stephanopoulosb, capítulos 11 e 12. livro do Seborg et al.c, capítulos 5 e 6.

aKwong, W. H., Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB.

Volumes I e II, EdUFSCar, São Carlos, Brasil, 2002.

bStephanopoulos, G., Chemical Process Control. An Introduction to Theory and

Practice. Prentice Hall, Englewood Cliffs, USA, 1984.

cSeborg, D. E., Edgar, T. F., Mellichamp, D. A.,Process Dynamics and Control. 1st

Edition, John Wiley, New York, USA, 1989.

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