Roteiro
1 Sistemas de Primeira Ordem
Função de Transferência de Sistemas de Primeira Ordem Puramente Capacitivo ou Integrador Puro
2 Resposta Transiente de Sistemas de Primeira Ordem
Resposta ao Degrau Resposta ao Impulso Resposta Senoidal
3 Exemplos
Dois Tanques de Nível Resposta ao Pulso Resposta Senoidal
4 Atividades Complementares
Sistemas de Primeira Ordem
Sistema de Primeira Ordem (ouretardo de primeira ordemouestágio exponencial simples) é aquele cuja resposta y(t) é descrita por uma equação diferencial de primeira ordem:
a1 dy
dt +a0y =bu,y(0) =0
Sea06=0, então
a1 a0
dy
dt +y = b a0
u,y(0) =0
Fazendo
a1 a0
=τp e b a0
=Kp
tem-se
Sistemas de Primeira Ordem
continuaçãoonde
τp –constante de tempo do sistema: indica a rapidez com que a
resposta do sistema reage a uma perturbação em uma certa entrada
Kp–ganho estacionárioouganho estáticoouganho do processo:
é a razão entre os valores finais da resposta e de uma determinada entrada considerada
Kp =
∆y
∆u(degrau emu), ou Kp = lim
s→0[Gp(s)]
Função de Transferência de Sistemas de 1
aOrdem
Aplica-se a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial de um sistema de primeira ordem, obtendo
τpsY(s) +Y(s) = KpU(s)
(τps+1)Y(s) = KpU(s)
Gp(s) = Y
(s) U(s) =
Kp τps+1
s + 1
K
pU ( s )
Y ( s )
Puramente Capacitivo ou Integrador Puro
Caso Particular: Sea0=0
dy dt =
b a1
u =K′ pu
Gp(s) = Y(s) U(s) =
K′ p s
diz-se que o sistema épuramente capacitivoouintegrador puro.
Resposta ao Degrau
As respostas transientes de sistemas de 1a ordem são apresentadas para três tipos de perturbações diferentes, bastante comuns no estudo experimental e teórico do controle de processos.
Resposta ao Degrau
A função degrau de amplitudeAé expressa por
u(t) =Au∗(t),t ≥0
ondeu∗(t)é a função degrau unitário
u
A
U ( s ) = A
Resposta ao Degrau
continuaçãoCombinando a função de transferência de um sistema de 1aordem e a Transformada de Laplace da função degrau com amplitudeA,
Y(s) = Kp
τps+1 A s
cuja transformada inversa deY(s),y(t), será igual a
y(t) =KpA(1−e−t/τp)
Resposta ao Degrau
continuaçãoA figura abaixo apresenta o comportamento da saída adimensional y(t)/KpAcontra o tempo adimensionalt/τp:
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Sistema de Primeira Ordem: resposta ao degrau
y/K
p
Resposta ao Degrau
continuaçãoDestacam-se nessa resposta:
1 o valor dey(t)alcança 63,2% do seu valor final após decorrido
um intervalo de tempo igual a uma constante de tempo,τp.
Quanto menor for a constante de tempo, mais rápida será a
resposta do sistema. A resposta é essencialmente completa
após 3 a 5 constantes de tempo
tempo decorrido τp 2τp 3τp 4τp 5τp
[y(t)/y(∞)]×100 63,2 86,5 95 98,2 99,3
Resposta ao Degrau
continuação2 a inclinação da curva resposta emt =0 é igual a 1
d[y(t)/KpA] d[t/τp]
t=0
=e−t/τp
t=0=1
se a velocidade inicial de variação dey(t)fosse mantida, a resposta seria completa após uma constante de tempo
3 o valor final da resposta é igual aKpA
∆y
Resposta ao Impulso
Resposta ao Impulso
Matematicamente, a função impulso de intensidadeAé definida por
u(t) =Aδ(t),t =0
ondeδ(t)é a função impulso unitário
0
u
t
A
U ( s ) = A
b
b
0
u
t
A
b ® 0
Resposta ao Impulso
continuaçãoA resposta impulsional de um sistema de primeira ordem, perturbado por um impulso de intensidadeA, pode ser expressa por:
Y(s) = Kp
τps+1 A
A transformada inversa deY(s),y(t), será igual a
y(t) = KpA
Resposta ao Impulso
continuaçãoA figura abaixo apresenta o comportamento da saída adimensional y(t)τp/KpAcontra o tempo adimensionalt/τp:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Sistema de Primeira Ordem: resposta ao impulso
t/τp
y
τp
/K
p
A
Note que a resposta cresce imediata-mente para 1,0 e, após decai exponen-cialmente.
Resposta Senoidal
Resposta Senoidal
Matematicamente, a função perturbação senoidal é representada pela equação
u(t) =Asen(wt),t≥0
onde A é a amplitude e w é a frequência angular (igual a 2πf, f=frequência em ciclos por tempo).
A Transformada de Laplace deu(t)é
Resposta Senoidal
continuaçãoCombinando-a com a função de transferência de um sistema de 1a ordem, encontra-se
Y(s) = Kp
τps+1 Aw s2+w2
Calculando a transformada inversa deY(s), obtém-se
y(t) = KpAwτp
τ2
pw2+1
e−t/τp + KpA
q
τ2
pw2+1
sen(wt+φ)
φ = arctg(−wτp)
Resposta Senoidal
continuaçãoObserve o comportamento da entrada senoidal e a resposta do sistema de 1aordem a ela
−0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Sistema de Primeira Ordem: resposta senoidal
y
Resposta Senoidal
continuaçãoPode-se verificar as seguintes características da resposta senoidal:
1 a resposta é também uma onda senoidal com frequênciaw igual
à onda senoidal do sinal de entrada
2 quandot → ∞, resta apenas a solução periódica final, algumas
vezes chamada desolução estacionária
y(t)|s = q KpA
τ2
pw2+1
sen(wt+φ)
φ = arctg(−wτp)
(o primeiro termo tende a zero, sendo responsável pelo comportamento transiente da resposta dey(t))
Resposta Senoidal
continuação3 a razão entre as amplitudes da resposta (solução estacionária) e
da entrada é a chamadarazão de amplitude,AR
AR =
KpA q
τ2 pw2+1
A =
Kp q
τ2
pw2+1
SeAR<1, diz-se que o sinal éatenuado.
O mesmo é válido para arazão de amplitude normalizada,ARN,
obtida quando divide-seARpelo ganho do processo,Kp
ARN= AR
Kp
= q 1
τ2
pw2+1
Resposta Senoidal
continuação4 a respostaatrasaem relação à entrada por um ângulo|φ|. O
atraso sempre ocorrerá, pois o sinal deφé sempre negativo (φ <0, atraso de fase;φ >0, avanço de fase)
Dois Tanques de Nível
Exemplo
Dois tanques de armazenamento de líquido são mostrados a seguir
F o
h
( A ) F
T a n q u e 1 T a n q u e 2
F o
h
( A ) F = k h
Dois Tanques de Nível
Exemplo (continuação)
Para o Tanque 1, a vazão de saída é calculada comoF =8√h. Para o Tanque 2, a variação do nívelhnão afeta a vazão de saída,F. Ambos os tanques de armazenamento possuem seção reta uniforme com áreaA=0,3 m2e encontram-se em estado estacionário, com nível de líquido igualhs =1 m. No tempot=0, a vazão de entrada,Fo, é
aumentada para 10 m3/min. Para cada tanque, determine:
(a) a função de transferênciaH(s)/Fo(s)
(b) a resposta transienteh(t)
(c) os níveis no novo estado estacionário
(d) se cada tanque tem altura nominalhn=2 m, qual dos tanques
transbordará? E quando?
Dois Tanques de Nível
Solução Tanque 1 Modelo Linearizado dh dt = Fo A − k 2A√hsh,h(0) =0
Função de Transferência
A função de transferência entre a variável de saída,H(s)e a variável de entrada,Fo(s)é:
Gp(s) =
H(s) Fo(s)
= Kp
τps+1
, onde
Kp =
2√hs
k =
(2)(1)
(8) =0,25 m/(m 3/min)
Dois Tanques de Nível
continuaçãoFunção de Transferência
Substituindo os valores numéricos deKpeτp tem-se:
Gp(s) =
H(s) Fo(s)
= 0,25 0,075s+1
Resposta ao Degrau
A entradaFo sofre um perturbação degrau de amplitude
∆Fo=10− (8)(1) | {z } Fs=8√hs
=2 m3/min. A transformada inversa de
H(s) = Kp
τps+1
∆Fo s será igual a
h(t) = Kp∆Fo
1−e−t/τp= (0,25)(2)1−e−t/0,075
= 0,501−e−t/0,075
Dois Tanques de Nível
continuaçãoResposta ao Degrau
Em variável absoluta
h(t) = 1+0,501−e−t/0,075
Após a perturbação, a altura do tanque irá para
Dois Tanques de Nível
continuaçãoResposta ao Degrau
A resposta estacionária final também pode ser obtida do modelo não-linear, calculando-se o seu valor após a variação (degrau) emFo:
no EE: Fos−k p
hs=0
hs=
Fos k
2
hs=
10 8
2
=1,56 m<2 m→não transbordará
Dois Tanques de Nível
Tanque 2
Modelo Linear(izado)
dh dt =
Fo A −
F
A,h(0) =0
Função de Transferência
A função de transferência entre a variável de saída,H(s)e a variável de entrada,Fo(s)é:
sH(s) = Fo(s)
A −
F(s) A
Gp(s) =
H(s) Fo(s)
= 1/A s Substituindo o valor numérico deAtem-se
Dois Tanques de Nível
continuaçãoResposta ao Degrau
A entradaFo sofre um perturbação degrau de amplitude
∆Fo=10− (8)(1) | {z } Fs=8√hs
=2 m3/min. A transformada inversa de
H(s) = 1/A s
∆Fo s
será igual a
h(t) = ∆Fo A t=
(2)
(0,3)t=6,67t Em variável absoluta
h(t) = 1+6,67t
Após a perturbação, a altura do tanque irá variar linearmente com o tempo, sem atingir novo valor final.
Dois Tanques de Nível
continuaçãoResposta ao Degrau
O tanque irá transbordar quandoh(tb)>hn
2=1+6,67tb ⇒ tb=
2−1
Dois Tanques de Nível
continuaçãoResposta ao Degrau
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2
Altura de Líquido no Tanque
t (min)
h (m)
hlinear hcapacitivo hnominal
Figura: Resposta ao degrau de dois tanques de nível
Resposta ao Pulso
Exemplo
Um tanque de nível de seção reta uniforme de áreaA=0,3 m2e vazão de saída calculada comoF =8√h, encontra-se em estado estacioná-rio, com nível de líquido igual hs = 1 m. No tempo t = 0, a vazão
Resposta ao Pulso
Exemplo (continuação)
F
oh
( A )
F
=
k
h
Figura:Tanque de nível
Resposta ao Pulso
SoluçãoFunção de Transferência
A função de transferência entre a variável de saída,H(s)e a variável de entrada,Fo(s)é:
Gp(s) =
H(s) Fo(s)
= Kp
τps+1
, onde
Kp =
2√hs
k =
(2)(1)
(8) =0,25 m/(m 3/min)
τp =
2A√hs
k =
(2)(0,3)(1)
(8) =0,075 min Substituindo os valores numéricos deKpeτp tem-se:
Resposta ao Pulso
continuaçãoPerturbação Pulso
A entrada Fo sofre um
perturba-ção pulso de amplitude∆Fo =9−
(8)(1) | {z } Fs=8√hs
= 1 m3/min e duração de
0,1 min.
Esta perturbação pode ser repre-sentada como dois degraus iguais e consecutivos, mas de sinais opostos
8
9
7
0
0 , 1
0 , 2
t , m i n
F o , m 3/ m i n
0
1
- 1
0 0 , 1 0 , 2
t , m i n
F o , m 3/ m i n
0 , 1 0 m 3
d e s v i o
Resposta ao Pulso
continuaçãoPerturbação Pulso
Fo(t) = ∆Fo[u(t)−u(t−to)]
comto=0,1 min e cuja Transformada de Laplace é
Fo(s) = ∆Fo
1 s −
e−tos
Resposta ao Pulso
continuaçãoSolução no Tempo
Resolvendo a equação no domínio da Transformada
H(s) = Kp
τps+1
∆Fo
1 s −
e−tos
s
H(s) = Kp∆Fo
1
s(τps+1) −
e−tos
s(τps+1)
cuja transformada inversa será igual a
h(t) =Kp∆Fo n
1−e−t/τpu(t)−h1−e−(t−to)/τpiu(t−t o)
o
Resposta ao Pulso
continuaçãoSolução no Tempo
Ou
h(t) =
Kp∆Fo 1−e−t/τp t <to Kp∆Fo 1−e−t/τp−1−e−(t−to)/τp t >to h(t) =
Kp∆Fo 1−e−t/τp t <to Kp∆Fo eto/τp−1e−t/τp t >to
Substituindo pelos valores numéricos
h(t) =
(0,25)(1) 1−e−t/0,075=0,25 1−e−t/0,075 t<0,1 min
Resposta ao Pulso
continuaçãoSolução no Tempo
Comparando com a resposta impulsional de intensidade∆Fo×to
h(t) = Kp∆Foto
τp
e−t/τp = (0,25)(1)(0,1)
(0,075) e
−t/0,075=
0,33e−t/0,075
Em variável absoluta
h(t) =
1+0,25 1−e−t/0,075 t<0,1 min 1+0,698e−t/0,075 t>0,1 min h(t) = 1+0,33e−t/0,075
Resposta ao Pulso
continuaçãoSolução no Tempo
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4
Pulso e Impulso em F 0
h (m)
Resposta Senoidal
Exemplo
A composição de alimentação de um reator varia com uma amplitude maior que o aceitável. Deseja-se instalar um tanque pulmão para re-duzir a variação na composição de alimentação, como mostrado na figura:
CA
C*A0
CA0
V C*A0
F
F F
Tanque
Pulmão Reator
Figura: Reator com tanque pulmão
Resposta Senoidal
Exemplo (continuação)
Resposta Senoidal
Solução Modelo Linear dC∗ A0 dt = FV(CA0−C ∗
A0),CA∗0(0) =CA∗0s
Função de Transferência
A função de transferência entre a variável de saída,C∗
A0(s)e a variável de entrada,CA0(s)é obtida a partir do modelo linear
escrito na forma padrão de primeira ordem e em variável desvio:
dC∗ A0 dt + F VC ∗ A0=
F VCA0
Gp(s) = C∗
A0(s) CA0(s)
= Kp
τps+1
, onde
Kp = F/V
F/V =1 e τp= 1
F/V =V/F min
Resposta Senoidal
continuaçãoResposta à Senóide
A entradaCA0comporta-se como uma perturbação senoidal Asen(wt)com amplitudeA=200 g/m3e frequência angular w =2πf =2π/T =2π/5=0,4πmin−1. A transformada inversa de
C∗ A0(s) =
Kp τps+1
Aw s2+w2 será igual a
C∗
A0(t) =
KpAwτp τp2w2+1
e−t/τp + KpA
q
τp2w2+1
sen(wt+φ)
Resposta Senoidal
continuaçãoSolução Estacionária
Após um transiente inicial, considera-se apenas a chamada solução estacionária:
C∗
A0(t) =
KpA q
τ2
pw2+1
sen(wt+φ)
φ = arctg(−wτp)
Resposta Senoidal
continuaçãoSolução Estacionária
Deseja-se que a amplitude da senóide na entrada do reator seja reduzida deA=±200 g/m3paraA∗=±20 g/m3; isto é, projetar um
tanque pulmão com volumeV suficiente para atenuar o sinal original
CA0(t)paraCA∗0(t). Desta forma, a amplitude do sinalCA∗0(t)será igual
a:
A∗ = KpA q
τ2
pw2+1
A∗ = KpA
p
(V/F)2w2+1
V = F
w s
KpA
A∗
−1= 1 0,4π
Leitura I
Leitura Complementar
Próxima aula:
apostila do Prof. Wua, capítulos 11 (volume I) e 12 (volume II).
livro do Stephanopoulosb, capítulos 11 e 12. livro do Seborg et al.c, capítulos 5 e 6.
aKwong, W. H., Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB.
Volumes I e II, EdUFSCar, São Carlos, Brasil, 2002.
bStephanopoulos, G., Chemical Process Control. An Introduction to Theory and
Practice. Prentice Hall, Englewood Cliffs, USA, 1984.
cSeborg, D. E., Edgar, T. F., Mellichamp, D. A.,Process Dynamics and Control. 1st
Edition, John Wiley, New York, USA, 1989.