Estimativa do coeficiente majorador dos momentos de primeira ordem em estruturas de concreto armado / Estimation of first order moments magnifier coefficient in reinforced concrete structures

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Estimativa do coeficiente majorador dos momentos de primeira ordem em

estruturas de concreto armado

Estimation of first order moments magnifier coefficient in reinforced concrete

structures

DOI:10.34117/bjdv6n5-581

Recebimento dos originais: 13/04/2020 Aceitação para publicação: 28/05/2020

Danielle Meireles de Oliveira

Formação acadêmica: Doutora em Engenharia de Estruturas Instituição: Universidade Federal de Minas Gerais

Endereço: Avenida Presidente Antônio Carlos, 6627, Bloco I, 3º andar, Departamento de Engenharia de Materiais e Construção, DEMC - Bairro Pampulha, Cidade Belo Horizonte – MG, Brasil.

E-mail: [email protected]

Ney Amorim Silva

Formação acadêmica: Doutor em Engenharia Civil (Engenharia de Estruturas) pela Universidade de São Paulo

Instituição: Universidade Federal de Minas Gerais

Endereço: Avenida Presidente Antônio Carlos, 6627, Bloco I, 4º andar, Departamento de Engenharia de Estruturas, DEES - Bairro Pampulha, Cidade Belo Horizonte – MG, Brasil.

Sidnea Eliane Campos Ribeiro

Formação acadêmica: Doutora em Engenharia de Estruturas Instituição: Universidade Federal de Minas Gerais

Endereço: Avenida Presidente Antônio Carlos, 6627, Bloco I, 3º andar, Departamento de Engenharia de Materiais e Construção, DEMC - Bairro Pampulha, Cidade Belo Horizonte – MG, Brasil.

Carmen Couto Ribeiro

Formação acadêmica: Doutora em Génie Civil pela École Nationale des Ponts et Chaussées Instituição: Universidade Federal de Minas Gerais

Endereço: Avenida Presidente Antônio Carlos, 6627, Bloco I, 3º andar, Departamento de Engenharia de Materiais e Construção, DEMC - Bairro Pampulha, Cidade Belo Horizonte – MG, Brasil

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Hisashi Inoue

Formação acadêmica: Doutor em Engenharia Civil pela Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituição: Universidade Federal de São João Del-Rei

Endereço: Rodovia MG 443, km 07, sn, Fazenda do Cadete - Campus Alto Paraopeba, Cidade Ouro Branco – MG, Brasil

Marys Lene Braga Almeida

Formação acadêmica: Doutora em Engenharia Metalúrgica, Materiais e de Minas Instituição: Universidade Federal de Minas Gerais

Endereço: Avenida Presidente Antônio Carlos, 6627, Bloco I, 3º andar, Departamento de Engenharia de Materiais e Construção, DEMC - Bairro Pampulha, Cidade Belo Horizonte – MG, Brasil

RESUMO

Nas últimas décadas, com a construção de edifícios mais altos e esbeltos, a avaliação dos efeitos de segunda ordem passou a assumir fundamental importância no projeto estrutural. Neste contexto, o presente trabalho busca avaliar duas alternativas para estimar o majorador dos momentos de primeira ordem que deve ser aplicado em cada pavimento das estruturas de concreto armado, obtendo-se desta forma os esforços finais, que incluem os de segunda ordem. Para conduzir o estudo, dez edifícios de médio porte foram processados em primeira e segunda ordem utilizando o programa ANSYS. Inicialmente foram determinados os coeficientes z e B2, empregados para avaliar os efeitos de segunda ordem em estruturas de concreto armado e de aço, respectivamente. Em seguida foi calculada, para todos os pavimentos dos edifícios, a relação entre os momentos obtidos pela análise em segunda ordem e em primeira ordem. Os resultados obtidos permitiram estimar o majorador dos momentos de primeira ordem, calculado utilizando o coeficiente z (primeira alternativa) e considerando também o coeficiente B2 (segunda alternativa). Finalmente, a eficiência das alternativas propostas foi avaliada por meio de análises de correlação e de regressão, desenvolvidas no “software” MINITAB.

Palavras-chave: Concreto armado, Majorador dos momentos de primeira ordem, Coeficiente z, Coeficiente B2.

ABSTRACT

In recent decades, with the construction of higher and slender buildings, the evaluation of the second order effects have taken on fundamental importance in structural projects. In this context, the present paper seeks to evaluate two alternatives to estimate the first order moments magnifier that should be applied for each storey of reinforced concrete structures, obtaining in this way the final efforts, which include the second order ones. In order to develop the study, ten medium-sized buildings were processed in first and second order using the ANSYS program. Initially were calculated the values for the z and B2 coefficients, used to evaluate second order effects in reinforced concrete structures and in steel structures, respectively. Next, the relation between the moments obtained by the second and first order analyses was calculated for all storeys of each building. The results allowed to estimate the first order moment magnifier, calculated using the z coefficient (first alternative) and also considering the B2 coefficient (second alternative). Finally, the efficiency of the proposed alternatives was evaluated through correlation and regression analyses, developed using the MINITAB software.

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Keywords: Reinforced concrete, First order moments magnifier, z Coefficient, B2 Coefficient. 1 INTRODUÇÃO

Quando considera-se a configuração geométrica deformada de uma estrutura, surgem solicitações adicionais, denominadas de efeitos de segunda ordem (PASSOS et al., 2016).

A análise em segunda ordem deve envolver a consideração da não-linearidade geométrica e, idealmente, da não-linearidade física, procurando representar o comportamento estrutural de forma mais real possível. Como a análise não-linear completa é muitas vezes complexa e demanda alto esforço computacional (MARTINS et al., 2018), torna-se essencial o desenvolvimento de métodos simplificados capazes de prever, com segurança, o comportamento das estruturas em segunda ordem, ou seja, capazes de simular os efeitos das não-linearidades geométrica e física.

O coeficiente z, apresentado na NBR 6118:2014, pode ser utilizado para fornecer uma estimativa dos

esforços finais da estrutura, que incluem os de segunda ordem, desde que seu valor não ultrapasse um determinado limite. Para o cálculo de z, emprega-se o método de consideração simplificada da não-linearidade física segundo

a NBR 6118:2014, que consiste na utilização de valores reduzidos de rigidez para os elementos estruturais. Destaca-se que o coeficiente z deve ser utilizado em estruturas de concreto armado e apresenta um valor único para toda a estrutura, embora os efeitos de segunda ordem sofram variações ao longo da altura do edifício, como constatado em diversos trabalhos (CARMO, 1995, LIMA & GUARDA, 1999 e OLIVEIRA, 2002).

No caso das estruturas de aço, a avaliação dos efeitos de segunda ordem pode ser realizada empregando o coeficiente B2, o qual é calculado para cada pavimento da estrutura e, analogamente ao z, também fornece uma estimativa dos esforços finais.

Dentro deste contexto, o presente trabalho busca estudar a variação dos efeitos de segunda ordem ao longo da altura de edifícios de concreto armado e avaliar alternativas para a obtenção dos esforços finais, utilizando os coeficientes z e B2. Para conduzir a pesquisa, os resultados obtidos por Oliveira et al. (2014) e Oliveira et al. (2017) serão analisados e complementados, realizando análises estatísticas de

correlação e regressão entre as variáveis envolvidas no estudo.

2 EFEITOS GLOBAIS DE SEGUNDA ORDEM E COEFICIENTE Z

De acordo com a NBR 6118:2014, os efeitos globais de segunda ordem são os esforços de segunda ordem introduzidos pelos deslocamentos horizontais dos nós da estrutura, quando sujeita a ações verticais e horizontais.

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Caso esses efeitos sejam inferiores a 10% dos respectivos esforços de primeira ordem a estrutura pode ser classificada como de nós fixos. Caso contrário (efeitos globais de segunda ordem superiores a 10% dos de primeira ordem) a estrutura é classificada como de nós móveis.

Os esforços de segunda ordem globais podem ser avaliados por meio do coeficiente z, válido para estruturas reticuladas de no mínimo quatro pavimentos. Tal coeficiente pode ser determinado a partir de uma análise linear de primeira ordem, reduzindo-se a rigidez dos elementos estruturais, para considerar a não-linearidade física de forma aproximada.

Segundo a NBR 6118:2014 o valor de z, para cada combinação de carregamento, pode ser calculado por

meio da seguinte expressão:

d , tot , 1 d , tot z M M 1 1     (1) sendo:

- M1,tot,d: momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as forças horizontais (com seus

valores de cálculo) da combinação considerada, em relação à base da estrutura;

- ΔMtot,d: soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura (com seus valores de cálculo),

na combinação considerada, pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação. A estrutura será classificada como de nós fixos se for satisfeita a condição z ≤ 1,1.

A NBR 6118:2014 também estabelece que os esforços finais (primeira ordem + segunda ordem) podem ser avaliados a partir da majoração adicional dos esforços horizontais da combinação de carregamento considerada por 0,95z, processo válido para z ≤ 1,3. No entanto, de acordo com o Projeto de Revisão da NBR 6118:2000, os valores finais dos esforços poderiam ser obtidos pela multiplicação dos momentos de primeira ordem por 0,95z, desde que z não ultrapasse 1,3. Assim, nota-se que o z deixou de ser o coeficiente majorador dos momentos de primeira ordem, e passou a ser o coeficiente majorador das ações horizontais.

Moncayo (2011) considera que a utilização de z como majorador de esforços para a obtenção dos esforços

de segunda ordem gera resultados muito melhores que o emprego de 0,95 z.

Segundo Franco & Vasconcelos (1991), pode-se obter uma boa estimativa dos resultados da análise de segunda ordem utilizando z como majorador dos momentos de primeira ordem. De acordo

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com Vasconcelos (1996), este processo é valido mesmo para valores de z inferiores a 1,10, casos nos quais as normas técnicas permitem não considerar os efeitos de segunda ordem.

Oliveira (2007) realizou uma avaliação da eficiência do coeficiente z como majorador dos esforços de primeira ordem (momentos fletores, forças normais e cortantes) e como majorador das ações horizontais, para a obtenção dos esforços finais, que incluem os de segunda ordem. Constatou-se que o coeficiente z deve ser utilizado como majorador dos momentos de primeira ordem (e não das ações horizontais) para a obtenção dos momentos finais. Oliveira (2007) acrescenta que no caso da força normal nos pilares e da força cortante nas vigas, a majoração pelo coeficiente z não se faz necessária, uma vez que, para estes esforços, os valores obtidos em primeira e em segunda ordem são praticamente os mesmos.

Neste trabalho o coeficiente z será considerado majorador dos momentos de primeira ordem, para a determinação dos momentos finais, partindo-se do princípio que a força normal nos pilares e a força cortante nas vigas são obtidas diretamente da análise em primeira ordem.

3 COEFICIENTE B2

Conforme o AISC/LRFD (1999), os efeitos de segunda ordem em estruturas de aço podem ser avaliados por meio do método aproximado de amplificação dos momentos de primeira ordem pelos fatores de majoração B1 e B2. O momento fletor solicitante de segunda ordem, MSd, deve, então, ser determinado por meio da seguinte expressão:

MSd = B1 Mnt + B2 Mlt (2)

onde Mnt é o momento fletor solicitante de cálculo, assumindo não existir deslocamento lateral na estrutura, e Mlt é o momento fletor solicitante de cálculo devido ao deslocamento lateral do pórtico; ambos Mnt e Mlt são obtidos por análises de primeira ordem. O coeficiente de amplificação B1 relaciona-se à instabilidade da barra, ou aos efeitos locais de relaciona-segunda ordem (efeito P-δ); B2 relaciona-se à instabilidade do pórtico, ou aos efeitos globais de segunda ordem (efeito P-Δ).

O coeficiente B2 pode ser calculado, para cada pavimento da estrutura, como:



  Sd Sd h 0 2 H N L 1 1 B  (3)

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sendo NSd o somatório das forças normais de compressão solicitantes de cálculo em todos os pilares e outros elementos resistentes a forças verticais do pavimento, 0h o deslocamento horizontal relativo, L o comprimento do pavimento e HSd o somatório de todas as forças horizontais de cálculo no pavimento que produzem 0h.

Silva (2004) afirma que, se em todos os pavimentos o coeficiente B2 não superar o valor de 1,1, a estrutura pode ser considerada pouco sensível a deslocamentos horizontais e, neste caso, os efeitos globais de segunda ordem podem ser desprezados. Quando o maior B2 estiver situado entre 1,1 e 1,4, o método aproximado B1-B2 pode ser utilizado para o cálculo do momento fletor, sendo os demais esforços (força normal e força cortante) obtidos diretamente da análise de primeira ordem. Finalmente, quando B2 > 1,40, recomenda-se a realização de uma análise elastoplástica rigorosa de segunda ordem. Ainda segundo Silva (2004), caso 1,1 < B2 ≤ 1,2, pode-se, alternativamente, calcular os momentos fletores com base em uma análise de primeira ordem realizada com os esforços horizontais majorados pelo maior B2.

Nota-se então que o coeficiente B2 constitui um “indicador” da importância dos efeitos globais de segunda ordem, apresentando, diferentemente do coeficiente z, valores diferenciados para cada pavimento da estrutura.

4 ANÁLISES ESTATÍSTICAS

O relacionamento existente entre as variáveis envolvidas no presente estudo será avaliado utilizando as técnicas de análises de correlação e de regressão, apresentadas nos próximos itens.

4.1 ANÁLISE DE CORRELAÇÃO

Segundo LEVIN et al. (2012), na maior parte dos casos, os pesquisadores buscam estabelecer correlações lineares entre as variáveis. Dessa forma, usualmente o grau de correlação entre duas variáveis quantitativas X e Y é medido através do coeficiente de correlação linear de Pearson, que oscila entre -1,00 e +1,00. Se positivo, as duas variáveis apresentam uma relação direta (quanto maior o valor de uma variável, maior o valor da outra). Caso o coeficiente de Pearson seja negativo há uma relação inversa. Finalmente, um valor próximo de zero indica que não há uma associação linear entre as duas variáveis.

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                                



 

       N 1 i 2 N 1 i i 2 i N 1 i 2 N 1 i i 2 i N 1 i N 1 i N 1 i i i i i Y Y N X X N Y X Y X N r (4) onde:

- N é o número de pares de observações (“duplas” formadas de X e Y); - Xi é a observação i da variável X;

- Yi é a observação i da variável Y.

Vale comentar que o coeficiente de Pearson fornece uma medida do grau de correlação linear existente entre as variáveis em uma determinada amostra. Para verificar se a associação obtida entre X e Y realmente existe na população, é necessário testar a significância do coeficiente r encontrado. Dessa forma, são estabelecidas as seguintes hipóteses:

- hipótese nula (H0): não existe correlação na população, ou seja, r = 0;

- hipótese alternativa (H1): existe correlação na população, isto é, r  0.

A hipótese nula será rejeitada se o coeficiente r for igual ou superior, em módulo, a um valor crítico tabelado, correspondente a um determinado nível de significância  e com N - 2 graus de liberdade.

O nível de significância  representa a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela for verdadeira. Portanto, quanto menor for o valor de , maior será a confiança na decisão de rejeitar H0. Convencionalmente (e

neste trabalho) adota-se  = 0,05, o que significa que há uma probabilidade de rejeitar erroneamente H0 igual a

5%. Vale mencionar que, em diversas situações, torna-se conveniente realizar um teste de hipóteses por meio da comparação entre o nível de significância  e o denominado valor p, que indica o “peso” da evidência contra H0.

Assim, se p for pequeno, existe uma forte evidência para se rejeitar a hipótese nula. De forma geral, pode-se escrever:

- p <  rejeita-se H0;

- p  não rejeita-se H0.

O valor p pode ser obtido através de tabelas, ou, nos casos mais complexos, utilizando programas estatísticos. Maiores detalhes relativos à obtenção de p podem ser encontrados em Montgomery & Runger (2003).

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4.2 ANÁLISE DE REGRESSÃO

De acordo com Montgomery & Runger (2003), análise de regressão é uma técnica estatística utilizada para modelar e investigar a relação entre duas ou mais variáveis. No caso de regressão simples, considera-se uma variável explicativa ou independente X e uma variável resposta ou dependente Y.

No modelo do tipo Y = a + bX, os parâmetros a e b são dados por:



      N 1 i i _ N 1 i i _ _ _ Y N 1 Y , X N 1 X , X b Y a (5)              _        _  



  N 1 i 2 _ i XX N 1 i _ i i XY XX XY X X S X X Y S S S b (6) onde:

- N é o número de pares de observações (“duplas” formadas de X e Y); - Xi é a observação i da variável X;

- Yi é a observação i da variável Y.

A partir da definição dos parâmetros do modelo, deve-se testar a significância da regressão. Assim, definem-se as hipóteses nula H0 e alternativa H1, sendo:

- H0: b = 0; - H1: b  0.

Caso a hipótese nula não seja rejeitada pode-se concluir que X é pouco importante para explicar a variação em Y, ou que a relação verdadeira entre X e Y não é linear. Por outro lado, rejeitar H0 indica que X é importante para explicar a variabilidade em Y. Isto pode significar que a reta ajustada é realmente adequada para representar o relacionamento entre as variáveis X e Y, ou que, embora haja um efeito linear, outros modelos (incluindo, por exemplo, termos polinomiais de ordem mais elevada em X) poderiam conduzir a melhores resultados.

O teste de significância da regressão pode ser realizado utilizando o procedimento de análise de variância, cuja equação básica é escrita como:

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sendo SQT a denominada soma quadrática total corrigida (



         N 1 i 2 _ i T Y Y SQ ), SQR a soma

quadrática da regressão (SQR = bSXY) e SQE a soma quadrática dos erros (SQE = SQT - bSXY). As somas quadráticas SQT, SQR e SQE possuem, respectivamente, N - 1, 1 e N - 2 graus de liberdade.

A hipótese nula será rejeitada se:





(1,N 2) E R E R 0 F MQ MQ 2 N / SQ 1 / SQ F   _   _ (8)

onde MQR e MQE são denominadas médias quadráticas e F_₍₁_,_N_₂₎ é um valor crítico tabelado,

correspondente a um determinado nível de significância  e com (1, N - 2) graus de liberdade. Vale ressaltar que pode-se rejeitar H0 diretamente a partir da constatação de que o valor p obtido é inferior à .

Além de testar a significância da regressão, é importante avaliar a quantidade de variabilidade dos dados explicada pelo modelo. Esta avaliação é realizada por meio do coeficiente de determinação R2_, definido por: T E T R 2 SQ SQ 1 SQ SQ R    (9) 5 APLICAÇÕES NUMÉRICAS

Para conduzir a pesquisa, os resultados obtidos por Oliveira et al. (2014) e Oliveira et al. (2017) serão analisados e complementados. No estudo realizado foram processados em primeira e segunda ordem, utilizando modelos tridimensionais no “software” ANSYS, dez edifícios de médio porte em concreto armado, cujas principais características são apresentadas na Tabela 1. O processamento dos edifícios em segunda ordem foi realizado por meio de uma análise não linear geométrica, reduzindo a rigidez dos elementos estruturais para levar em conta a não-linearidade física de forma simplificada.

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Tabela 1: Características principais dos edifícios analisados. Edifício Nº de Pavimentos Pé-direito (m) fck (MPa) I 16 2,90 20 II 18 2,55 30 III 20 2,75 45 IV 30 2,85 20 V 22 2,75 65 VI 15 2,90 25 VII 18 2,88 25 VIII 18 2,70 25 IX 20 2,56 30 X 20 2,90 25

Fonte: Elaboração dos autores.

A análise estrutural foi realizada para as ações verticais (compostas pelas cargas permanentes e pela carga acidental ou sobrecarga) agindo simultaneamente com o carregamento horizontal (correspondente à ação do vento, nas direções paralelas aos eixos X e Y, calculado de acordo com as prescrições da NBR 6123:1988). Os coeficientes aplicados às ações, definidos a partir da combinação última normal que considera o vento como a ação variável principal, foram determinados segundo as recomendações da NBR 6118:2014.

Inicialmente, com os resultados da análise em primeira ordem, foram calculados os coeficientes

z e B2 para todos os edifícios, nas direções X e Y. Conforme detalhadamente apresentado por Oliveira et al. (2014), em todos os casos os coeficientes z e B2 forneceram a mesma classificação das estruturas. Além disso, os valores de z e da média dos coeficientes B2 dos pavimentos (B2,méd) se mostraram extremamente próximos.

A partir do processamento das estruturas em primeira e segunda ordem foi calculada, para todos os pavimentos dos edifícios, a relação entre os momentos obtidos pela análise em segunda ordem e em primeira ordem (para os pilares e vigas), nas direções X e Y. Esta relação entre os momentos pode ser denominada de majorador dos momentos de primeira ordem, “”, uma vez que representa o valor pelo qual os momentos de primeira ordem devem ser multiplicados para que se obtenham os momentos finais, que incluem os de segunda ordem.

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5.1 AVALIAÇÃO DOS MOMENTOS DE SEGUNDA ORDEM AO LONGO DA ALTURA DOS

EDIFÍCIOS UTILIZANDO O COEFICIENTE Z

Na situação ideal, na qual a majoração dos momentos de primeira ordem por z fornece os momentos finais com 100% de precisão, os valores de  e z devem coincidir para todos os pavimentos dos edifícios, isto é,  /z = 1 ao longo de toda a altura.

Foram então construídos os gráficos mostrados nas Figuras 1 e 2, que representam a variação da razão  /z ao longo da altura de todos os edifícios, em ambas as direções, para os pilares e vigas, respectivamente. Nestes gráficos, o eixo das abscissas corresponde à relação y/h, onde y representa a altura do pavimento considerado e h é a altura total da estrutura.

Nas Figuras 1 e 2 verifica-se que a maior parte dos valores de  /z parece estar situada entre, aproximadamente, 0,90 e 1,10, tanto no caso dos pilares quanto no caso das vigas. Constata-se também que não é possível avaliar a variação da razão  /z ao longo da altura dos edifícios a partir da simples observação das Figuras 1 e 2. Assim, para investigar a relação entre as variáveis envolvidas no estudo, serão realizadas análises de correlação e regressão, utilizando o “software” MINITAB.

Figura 1: Variação da razão  /z ao longo da altura dos edifícios,

em ambas as direções, para os pilares.

Fonte: Elaboração dos autores. 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 y/h R e la ç ã o e n tr e o s m a jo ra d o re s d o s m o m e n to s d e 1 ª o rd e m e o c o e fi c ie n te Y z

Edifício I - Direção X Edifício I - Direção Y Edifício II - Direção X

Edifício II - Direção Y Edifício III - Direção X Edifício III - Direção Y

Edifício IV - Direção X = Y Edifício V - Direção X Edifício V - Direção Y

Edifício VI - Direção X = Y Edifício VII - Direção X Edifício VII - Direção Y

Edifício VIII - Direção X Edifício VIII - Direção Y Edifício IX - Direção X

Edifício IX - Direção Y Edifício X - Direção X Edifício X - Direção Y



/

z

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Figura 2: Variação da razão  /z ao longo da altura dos edifícios,

em ambas as direções, para as vigas.

5.1.1 Análise de correlação entre y/h e  /z

Nesta etapa, é avaliada a correlação entre as variáveis envolvidas no estudo, as relações y/h e /z, cujas

principais medidas estatísticas estão apresentadas na Tabela 2.

Tabela 2: Medidas estatísticas para a variável /z.

Variável Tamanho da

Amostra (n) Média

Desvio Padrão

Coeficiente de

Variação (%) Mínimo Mediana Máximo /z

Pilares 349 0,988 0,060 6,120 0,780 0,990 1,140

/z

Vigas 349 0,975 0,065 6,720 0,770 0,970 1,140

As Tabelas 3 e 4 apresentam os coeficientes de correlação de Pearson e os resultados do teste de significância correspondentes às variáveis estudadas, para os pilares e vigas, respectivamente.

0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 y/h R e la ç ã o e n tr e o s m a jo ra d o re s d o s m o m e n to s d e 1 ª o rd e m e o c o e fi c ie n te Y z

Edifício I - Direção X Edifício I - Direção Y Edifício II - Direção X

Edifício II - Direção Y Edifício III - Direção X Edifício III - Direção Y

Edifício IV - Direção X = Y Edifício V - Direção X Edifício V - Direção Y

Edifício VI - Direção X = Y Edifício VII - Direção X Edifício VII - Direção Y

Edifício VIII - Direção X Edifício VIII - Direção Y Edifício IX - Direção X

Edifício IX - Direção Y Edifício X - Direção X Edifício X - Direção Y



/

z

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Tabela 3: Resultados da análise de correlação para os pilares (variáveis y/h e /z).

Variável X Variável Y r p  Conclusão

y/h /z -0,168 0,002 0,05 Rejeita-se H0

Tabela 4: Resultados da análise de correlação para as vigas (variáveis y/h e /z).

y/h /z 0,066 0,221 0,05 Não rejeita-se H0

Observa-se na Tabela 3 que, no caso dos pilares, existe uma correlação negativa entre as variáveis y/h e  /z, o que significa que quanto maior a relação y/h, menor o valor de /z. Além disso, como p é inferior a ,

rejeita-se a hipóterejeita-se nula H0, e, dessa forma, pode-se afirmar que a associação obtida realmente existe na população.

Na Tabela 4 verifica-se que, para as vigas, há uma correlação positiva entre as variáveis y/h e /z, porém,

analisando o valor de p obtido, nota-se que esta associação não é significativa.

Vale ressaltar que coeficientes de correlação estatisticamente significantes não apresentam necessariamente uma significância prática. Assim, os coeficientes anteriormente obtidos são apenas “indicadores” de uma tendência, havendo observações que não seguem este padrão. Dessa forma, o relacionamento existente entre as variáveis envolvidas no estudo será melhor avaliado utilizando a técnica de análise de regressão, apresentada no próximo item.

5.1.2 Análise de regressão: variáveis y/h e  /z

No presente item busca-se, por meio da análise de regressão, estabelecer uma equação que expresse o relacionamento entre as variáveis  /z (variável resposta ou dependente Y) e y/h (variável explicativa ou

independente X).

Inicialmente foi ajustado um modelo do tipo Y = a + bX. Os resultados obtidos (equação da

regressão, análise de variância e coeficiente de determinação R2), correspondentes aos pilares e vigas, estão apresentados na Tabela 5.

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Tabela 5: Resultados obtidos para o modelo do tipo Y = a + bX (variáveis y/h e /z).

Item Pilares Vigas

Eq. da regressão

/z = 1,006 - 0,035 (y/h) /z = 0,967 + 0,015 (y/h)

Análise de variância Análise de variância Fonte de variação SQ* GL** MQ*** F0 p SQ* GL** MQ*** F0 p Regressão 0,036 1 0,036 10,13 0,002 0,006 1 0,006 1,51 0,221 Erro 1,237 347 0,004 1,485 347 0,004 Total 1,273 348 1,492 348 R2 _2,8% _0,4%

*Somas quadráticas **Graus de liberdade ***Médias quadráticas Fonte: Elaboração dos autores.

Após o ajuste do modelo Y = a + bX, foram considerados os modelos polinomiais Y = a + bX + cX2_{e Y = a + b}_{X + c}_X2 _{+ d}_X3_{. Nestes casos, a hipótese nula estabelece que}

b = c = d = 0. Portanto, rejeitar H0 significa que pelo menos um dos termos bX, cX2 ou dX3 devem ser incluídos

no modelo. Estudos mais detalhados relativos aos modelos polinomiais, incluindo a obtenção dos parâmetros a, b, c e d, podem ser encontrados em Werkema & Aguiar (1996). Os resultados obtidos para estes modelos, correspondentes aos pilares e vigas, estão apresentados nas Tabelas 6 e 7.

Tabela 6: Resultados obtidos para o modelo do tipo Y = a + bX + cX2_{(variáveis y/h e}_/ z).

Item Pilares Vigas

Eq. da regressão /z = 1,018 - 0,097 (y/h) + + 0,059(y/h)2 /z = 0,930 + 0,214 (y/h) + - 0,189(y/h)2

(15)

Tabela 7: Resultados obtidos para o modelo do tipo Y = a + bX + cX2 _{+ d}_X3

(variáveis y/h e /z).

Item Pilares Vigas

Eq. da regressão /z = 1,025 - 0,167 (y/h) + + 0,221(y/h)2_{- 0,103}_(y/h)3 /z = 0,884 + 0,680 (y/h) + - 1,266(y/h)2_{+ 0,682}_(y/h)3

Observa-se nas Tabelas 5 a 7 que, no caso dos pilares, todos os modelos podem ser considerados úteis para explicar a variabilidade de /z, uma vez que, em todos os casos, os valores de p mostram-se inferiores ao

nível de significância  = 0,05. Entretanto, os pequenos coeficientes de determinação obtidos indicam que outros fatores, além de y/h, deveriam ser incorporados aos modelos a fim de garantir predições seguras da variável /z.

Vale comentar que, dentre todos os modelos ajustados, o modelo polinomial de terceira ordem

/z = 1,025 - 0,167 (y/h) + 0,221(y/h)2 - 0,103(y/h)3, representado graficamente na Figura 3, pode ser

considerado o mais adequado, uma vez que apresenta o maior R2_.

Ainda nas Tabelas 5 a 7 verifica-se que, no caso das vigas, o valor de p correspondente ao modelo /z =

0,967 + 0,015 (y/h) mostra-se superior a 0,05, o que significa que tal modelo não é útil para explicar a variabilidade de /z. Isto já era esperado, uma vez que, como constatado na análise de correlação realizada no item 5.1.1, não

existe, para as vigas, uma associação significativa entre as variáveis y/h e /z. Além disso, nota-se que, de forma

semelhante a que ocorre no caso dos pilares, o modelo polinomial de terceira ordem /z = 0,884 + 0,680 (y/h) -

1,266(y/h)2_{+ 0,682}_(y/h)3 _{apresenta o maior coeficiente de determinação R}2_{, e, portanto, pode ser considerado o}

mais adequado. Este modelo encontra-se representado graficamente na Figura 4.

Nas Figuras 3 e 4, observa-se que os modelos considerados mais adequados fornecem, para quase toda a faixa de variação de y/h, relações /z próximas ou inferiores a 1, e, portanto, situam-se dentro de valores confiáveis.

Vale ressaltar que a relação /z < 1 implica que o majorador obtido é inferior a z, e, portanto, nestes casos, a

(16)

Figura 3: Representação do modelo /z = 1,025 - 0,167 (y/h) +

+ 0,221(y/h)2_{- 0,103}_(y/h)3_{, correspondente aos pilares.}

Figura 4: Representação do modelo /z = 0,884 + 0,680 (y/h) +

- 1,266(y/h)2_{+ 0,682}_(y/h)3_{, correspondente às vigas.}

y/h /  1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 1,15 1,10 1,05 1,00 0,95 0,90 0,85 0,80 z y/h /  1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 1,15 1,10 1,05 1,00 0,95 0,90 0,85 0,80 0,75 z

(17)

5.2 AVALIAÇÃO DOS MOMENTOS DE SEGUNDA ORDEM AO LONGO DA ALTURA DOS

EDIFÍCIOS UTILIZANDO OS COEFICIENTES Z E B2

Neste item será avaliada outra alternativa para levar em conta a variação dos efeitos de segunda ordem com a altura dos pavimentos nos edifícios de concreto armado, considerando que uma melhor estimativa dos momentos finais poderia ser realizada utilizando também o coeficiente B2, calculado para cada pavimento da

estrutura e cujo valor médio se aproxima de z.

Assim, com os resultados da análise em primeira ordem, foi calculado o majorador “estimado” dos momentos de primeira ordem, diferenciado para cada pavimento i da estrutura e dado por:

z méd i est

B







, 2 , 2 (10)

sendo B2,i o coeficiente B2 do pavimento i e B2,méd a média dos coeficientes B2 dos pavimentos.

Dessa forma, considera-se, ao mesmo tempo, a validade da utilização do coeficiente z para obter os

momentos finais médios dos pavimentos e a capacidade do coeficiente B2 de levar em conta a variação dos efeitos

de segunda ordem ao longo da altura dos edifícios.

A variação da razão  /est ao longo da altura de todos os edifícios, em ambas as direções, para os pilares e vigas, está apresentada nas Figuras 5 e 6, respectivamente. Verifica-se nestas figuras que a maior parte dos valores de  /est parece estar situada entre, aproximadamente, 0,85 e 1,10, tanto no caso dos pilares quanto no caso das vigas. As análises estatísticas realizadas no “software” MINITAB, que permitem uma melhor avaliação dos resultados obtidos, são apresentadas nos próximos itens.

(18)

Figura 5: Variação da razão  /est ao longo da altura dos edifícios,

em ambas as direções, para os pilares.

Figura 6: Variação da razão  /est ao longo da altura dos edifícios,

em ambas as direções, para as vigas.

Fonte: Elaboração dos autores. 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 R e la ç ã o e n tr e o s m a jo ra d o re s d o s m o m e n to s d e 1 ª o rd e m e o c o e fi c ie n te Y z y/h

Edif ício I - Direção X Edif ício I - Direção Y Edif ício II - Direção X Edif ício II - Direção Y Edif ício III - Direção X Edif ício III - Direção Y Edif ício IV - Direção X = Y Edif ício V - Direção X Edif ício V - Direção Y Edif ício VI - Direção X = Y Edif ício VII - Direção X Edif ício VII - Direção Y Edif ício VIII - Direção X Edif ício VIII - Direção Y Edif ício IX - Direção X Edif ício IX - Direção Y Edif ício X - Direção X Edif ício X - Direção Y

y/h 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 R el aç ão e n tr e o s m aj o ra d o re s d o s m o m en to s d e 1ª o rd em e o c o e fic ie n te Y z y/h

Edif ício I - Direção X Edif ício I - Direção Y Edif ício II - Direção X Edif ício II - Direção Y Edif ício III - Direção X Edif ício III - Direção Y Edif ício IV - Direção X = Y Edif ício V - Direção X Edif ício V - Direção Y Edif ício VI - Direção X = Y Edif ício VII - Direção X Edif ício VII - Direção Y Edif ício VIII - Direção X Edif ício VIII - Direção Y Edif ício IX - Direção X Edif ício IX - Direção Y Edif ício X - Direção X Edif ício X - Direção Y

(19)

5.2.1 Análise de correlação entre y/he /est

A correlação entre as variáveis envolvidas no estudo, as relações y/h e

 /est (cujas principais medidas estatísticas estão apresentadas na Tabela 8) é avaliada por meio do coeficiente de Pearson e do teste de significância. Os resultados obtidos, para os pilares e vigas, estão apresentados nas Tabelas 9 e 10, respectivamente.

Observa-se nas Tabelas 9 e 10 que, tanto para pilares quanto para as vigas, existe uma correlação positiva entre as variáveis y/h e /est, ou seja, quanto maior a relação y/h, maior o valor de /est. Além disso, como p é

inferior a , rejeita-se a hipótese nula H0, e, assim, pode-se afirmar que ambas as associações são significativas.

Nota-se também que os coeficientes de correlação obtidos são superiores aos mostrados nas Tabelas 3 e 4, indicando que a intensidade da relação entre y/h e /est apresenta-se mais forte do que aquela encontrada entre y/h

e /z.

Tabela 8: Medidas estatísticas para a variável  /est.

Variável Tamanho da

Amostra (n) Média

Desvio Padrão

Coeficiente de

Variação (%) Mínimo Mediana Máximo  /est

Pilares 349 0,991 0,084 8,442 0,709 0,992 1,222

 /est

Vigas 349 0,978 0,085 8,677 0,782 0,973 1,290

Tabela 9: Resultados da análise de correlação para os pilares (variáveis y/h e /est).

y/h /est 0,224 0,000 0,05 Rejeita-se H0

Tabela 10: Resultados da análise de correlação para as vigas (variáveis y/h e /est).

y/h /est 0,393 0,000 0,05 Rejeita-se H0

5.2.2 Análise de Regressão: Variáveis y/h e  /est

A análise de regressão entre as variáveis /est (variável resposta ou dependente Y) e y/h (variável

explicativa ou independente X) foi realizada considerando os modelos Y = a + bX, Y = a + bX + cX2_{e Y = a +}

bX + cX2 _{+ d}_X3_{. Os resultados obtidos (equação da regressão, análise de variância e coeficiente de determinação}

(20)

Tabela 11: Resultados obtidos para o modelo do tipo Y = a + bX (variáveis y/h e /est).

Item Pilares Vigas

Eq. da regressão

/est = 0,957 + 0,065 (y/h) /est = 0,917 + 0,116 (y/h)

Tabela 12: Resultados obtidos para o modelo do tipo Y = a + bX + cX2 _{(variáveis y/h e}_/ est).

Item Pilares Vigas

Eq. da regressão /est = 1,061 - 0,499 (y/h) + + 0,536(y/h)2 /est = 0,973 - 0,187 (y/h) + + 0,287(y/h)2

Tabela 13: Resultados obtidos para o modelo do tipo Y = a + bX + cX2 _{+ d}_X3

(variáveis y/h e /est).

Item Pilares Vigas

Eq. da regressão /est = 1,192 - 1,821 (y/h) + + 3,597(y/h)2_{- 1,939}_(y/h)3 /est = 1,049 - 0,954 (y/h) + + 2,063(y/h)2_{- 1,125}_(y/h)3

(21)

Observa-se nas Tabelas 11 a 13 que todos os modelos ajustados para os pilares e vigas podem ser considerados úteis para explicar a variabilidade de /est, uma vez que, em todos os casos, os valores de p

mostram-se inferiores ao nível de significância  = 0,05. Vale comentar que, tanto para os pilares quanto para as vigas, os modelos polinomiais de terceira ordem podem ser considerados os mais adequados, uma vez que apresentam o maior R2_{. Tais modelos estão representados nas Figuras 7 e 8, correspondentes aos pilares e vigas, respectivamente.}

Figura 7: Representação do modelo /est = 1,192 - 1,821 (y/h) +

+ 3,597(y/h)2_{- 1,939}_(y/h)3_{, correspondente aos pilares.}

Figura 8: Representação do modelo /est = 1,049 - 0,954 (y/h) +

+ 2,063(y/h)2_{- 1,125}_(y/h)3_{, correspondente às vigas.}

y/h /  1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 1,2 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 e st y/h /  1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 1,3 1,2 1,1 1,0 0,9 0,8 es t

(22)

A Tabela 14 mostra os modelos considerados mais adequados para as duas variáveis dependentes avaliadas no estudo, ou seja, /z e /est. Comparando-se os valores do coeficiente de determinação R2 obtidos, observa-se

que a análise de regressão relacionando

/est e y/h forneceu melhores resultados do que aquela realizada considerando /z e y/h, tanto para os pilares

quanto para as vigas. Ainda assim, os coeficientes de determinação obtidos indicam que outros fatores, além de y/h, deveriam ser incorporados aos modelos a fim de garantir predições seguras da variável /est.

Tabela 14: Modelos considerados mais adequados para as variáveis avaliadas no estudo,

correspondentes aos pilares e vigas.

Variáveis Equação da regressão p R2

y/h e /z

Pilares /z = 1,025 - 0,167 (y/h) + 0,221(y/h)2 - 0,103(y/h)3 0,007 3,4%

Vigas /z = 0,884 + 0,680 (y/h) - 1,266(y/h)2 + 0,682(y/h)3 0,000 8,7%

y/h e /est

Pilares /est = 1,192 - 1,821 (y/h) + 3,597(y/h)2 - 1,939(y/h)3 0,000 45,9%

Vigas /est = 1,049 - 0,954 (y/h) + 2,063(y/h)2 - 1,125(y/h)3 0,000 27,7%

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Neste trabalho avaliaram-se duas alternativas para estimar o majorador dos momentos de primeira ordem que deve ser aplicado em cada pavimento das estruturas de concreto armado, empregando os coeficientes z e B2. Para conduzir o estudo, diversos edifícios de médio porte foram analisados em primeira e segunda ordem utilizando o “software” ANSYS, e o processo simplificado de obtenção dos momentos finais foi avaliado levando-se em conta a variação dos efeitos de segunda ordem ao longo da altura das estruturas.

Foram definidas as relações  /z,  /est e y/h, sendo:

-  : denominado de majorador dos momentos de primeira ordem (razão entre os momentos obtidos

pela análise em segunda e em primeira ordem, para os pilares e vigas, ao longo da altura dos edifícios); - est: majorador “estimado” dos momentos de primeira ordem, diferenciado para cada pavimento i da estrutura, e dado por (B2,i /B2,méd)z;

- y: altura do pavimento considerado; - h: altura total da estrutura.

Para investigar a relação entre as variáveis envolvidas no estudo, foram realizadas análises de correlação e regressão, utilizando o “software” MINITAB.

Os resultados da análise de correlação indicaram que a intensidade da relação entre y/h e /est apresenta-se mais forte do que aquela encontrada entre y/h e /z, para os pilares e vigas.

(23)

Na análise de regressão, verificou-se que, tanto para os pilares quanto para as vigas, os modelos polinomiais de terceira ordem ajustados para as variáveis /est e y/h foram considerados os mais adequados,

apresentando os maiores coeficientes de determinação. Ainda assim, os valores de R2 _{obtidos indicaram que outros}

fatores, além de y/h, deveriam ser incorporados aos modelos a fim de garantir predições seguras da variável /est.

Portanto, sugere-se, como novas pesquisas, estudar a variação de /est ao longo da altura dos edifícios

incorporando novas variáveis aos modelos ajustados, tais como o número total de pavimentos, a rigidez da estrutura, etc.

REFERÊNCIAS

AMERICAN INSTITUTE OF STEEL CONSTRUCTION – AISC. Load and resistance factor design

specification for structural steel buildings. Chicago, 1999.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118 – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, versão corrigida, 2014.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de revisão da NBR 6118 – Projeto de estruturas de concreto. Rio de Janeiro, 2000.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6123 – Forças devidas ao vento em edificações. Rio de Janeiro, 1988.

CARMO, R.M.S. Efeitos de segunda ordem em edifícios usuais de concreto armado. São Carlos. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, 1995.

FRANCO, M.; VASCONCELOS, A.C. Practical assessment of second order effects in tall buildings. In: COLOQUIUM ON THE CEB-FIP MC90, Rio de Janeiro. Proceedings, p.307-323, 1991.

LEVIN, J.; FOX; J.A.; FORDE, D.R. Estatística para ciências humanas. 11.ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012.

(24)

LIMA, J.S.; GUARDA, M.C.C. Comparação entre o parâmetro alfa e o coeficiente z na análise da estabilidade global de edifícios altos. In: CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO, 41., Salvador.

Anais [...], 1999.

MARTINS, J.O.V.; RODRIGUES, M.A.C.; BURGOS, R.B.; MARTHA, L.F. Método simplificado para análise não linear geométrica de edifícios de concreto armado considerando deformação por cisalhamento no Mastan2. In: XIII SIMPÓSIO DE MECÂNICA COMPUTACIONAL (SIMMEC), Vitória. Anais [...], 2018.

MONCAYO, W.J.Z. Análise de segunda ordem global em edifícios com estrutura de concreto armado. São Carlos. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo, 2011.

MONTGOMERY, D.C.; RUNGER; G.C. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos, 2003.

OLIVEIRA, D.M. Parâmetros de instabilidade global das estruturas de concreto armado segundo

a nova NBR-6118. Belo Horizonte. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia da Universidade

Federal de Minas Gerais, 2002.

OLIVEIRA, D.M. Estudo dos processos aproximados utilizados para a consideração das não-linearidades

física e geométrica na análise global das estruturas de concreto armado. Belo Horizonte. Tese (Doutorado) –

Escola de Engenharia da Universidade Federal de Minas Gerais, 2007.

OLIVEIRA, D.M.; SILVA, N.A.; OLIVEIRA, P.M.; RIBEIRO, C.C. Evaluation of second order moments in reinforced concrete structures using the z and B2 coefficients. Revista Ibracon de Estruturas e Materiais,

v. 7, n. 3, p. 329-348, jun. 2014.

OLIVEIRA, D.M.; SILVA, N.A.; RIBEIRO, C.C.; RIBEIRO, S.E.C. Statistical analysis of the second order effects variation with the stories height of reinforced concrete buildings. Revista Ibracon de Estruturas e Materiais, v. 10, n. 2, p. 333-357, abr. 2017.

(25)

PASSOS, V.M.; FEITOSA, L.A; ALVES, E.C.; AZEVEDO, M.S. Analysis of instability of tall buildings with prestressed and waffle slabs. Revista Ibracon de Estruturas e Materiais, v. 9, n. 2, p. 244-262, abr. 2016.

SILVA, R.G.L. Avaliação dos efeitos de 2ª ordem em edifícios de aço utilizando métodos

aproximados e análise rigorosa. Belo Horizonte. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia da

Universidade Federal de Minas Gerais, 2004.

VASCONCELOS, A.C. Revisão da NB-1: O problema dos efeitos de 2ª ordem. Jornal TQS News, n.3, Out., p.10-11, 1996.

WERKEMA, M.C.C.; AGUIAR, S. Análise de regressão: como entender o relacionamento entre as

variáveis de um processo. Belo Horizonte, Fundação Christiano Ottoni, Escola de Engenharia da