Parte II – Teoria da Firma

(1)

(2)

Sumário

1 Introdução

(3)

Sumário

1 Introdução

(4)

Sumário

1 Introdução

2 Abordagem direta

3 Abordagem através da função de custo

(5)

Sumário

1 Introdução

2 Abordagem direta

(6)

(7)

O que veremos?

Colocação do problema

(8)

O que veremos?

Como deve se comportar uma empresa que visa a obtenção de lucro máximo e que não tem poder de afetar os preços de seus insumos e de seu produto?

Duas abordagens equivalentes

(9)

O que veremos?

1 Escolha das quantidades empregadas de cada insumo de

(10)

O que veremos?

1 Escolha das quantidades empregadas de cada insumo de

modo a fazer com que a diferença entre o valor do total produzido e o custo com a contratação dos insumo seja máxima.

2 Escolha da quantidade produzida de modo a fazer com que a

diferença entre o valor do total produzido e a função de custo seja máxima.

(11)

(12)

Sumário

1 Introdução

2 Abordagem direta

4 Exercícios

(13)

Formulação matemática

• n insumos variáveis com quantidades representadas por x1,x2, . . . ,x_n e preçosw1,w2, . . . ,w_n;

• custo com insumos ﬁxos é CF;

• y é o total produzido e p é o preço do produto.

• f(x1, . . . ,x_n) é a função de produção (de curto prazo, caso haja algum insumo ﬁxo). Assumiremosf(0_{, . . . ,}0) =0.

O problema

max

x1,...,xn

py ₋

n

X

i=1

(14)

Solução

Condição de primeira ordem

p∂f(x1∗, . . . ,xn∗)

∂xi −

wi   

=0 se_x∗

i >0 ≤0 se_x∗

i =0

i ₌1_{, . . . ,}_n

(15)

Solução

p∂f(x1∗, . . . ,xn∗)

∂xi −

wi   

=0 se_x∗

i >0 ≤0 se_x∗

i =0

i ₌1_{, . . . ,}_n

Condição de segunda ordem

(16)

Interpretações para a condição de primeira ordem

1 Igualdade entre o valor do produto marginal de um fator de

produção e seu preço:

x_i∗ _≥0_⇒_p∂f(x1, . . . , ∂xn)

∂xi =

pPMgi =wi

(17)

x_i∗ _≥0_⇒_p∂f(x1, . . . , ∂xn)

∂xi =

pPMgi =wi

2 Igualdade entre preço e custo marginal:

x_i∗_≥0_⇒_p= wi

(18)

x_i∗ _≥0_⇒_p∂f(x1, . . . , ∂xn)

∂xi =

pPMgi =wi

2 Igualdade entre preço e custo marginal:

x_i∗_≥0_⇒_p= wi

PMgi

3 Igualdade entre remuneração real do fator e seu produto

marginal:

x_i∗_≥0_⇒_PMg_i = wi

p

(19)

Inatividade

Para encontrar o lucro máximo global é necessário comparar as soluções de máximo local entre si e com a solução de canto,

x1 =x2=· · ·=0.

Caso não hara solução com emprego positivo dos fatores variáveis tal que

pf(x1, . . . ,x2)−

n X

i=1

(20)

Funções relacionadas à maximização de lucro

Demandas pelos insumos de produção

A função de demanda do insumoi_,x∗

i(p,wi, . . . ,wn), é a função

que retorna a quantidade empregada do insumoi quando o lucro

da empresa é máximo.

(21)

Função de oferta

(22)

Função de oferta

A função de oferta de uma empresa y∗₍_p_,_w₁_{, . . . ,}_w_n_{) é a função} que retorna o valor da função de produção quando o lucro é máximo.

Função de lucro

A função de lucro de uma empresaπ∗(p_,wi, . . . ,wn) é uma função

que retorna o valor do lucro máximo dessa empresa dados os preços p_,wi, . . . ,wn.

(23)

Ilustração gráfica: demanda pelo único fator de produção

P

M

g

,P

M

,

w p

PMg

(24)

(25)

(26)

Ilustração gráfica: demanda pelo único fator de produção x P M g ,P M , w p PMg PM ˆ w ˆ p ˆ x ¯ w ¯ p ¯ x

Demanda de x

(27)

Exemplo

A função de produção

(28)

Exemplo

f₍x1,x2) =3√3x1x2

Condições de lucro máximo de 1a ordem:

PMg₁ = w1

p ⇒

3

r_x

2

x12 = w1

(29)

Exemplo

f₍x1,x2) =3√3x1x2

Condições de lucro máximo de 1a ordem:

PMg₁ = w1

p ⇒

3

r_x

2

x12 = w1

p

PMg₂ ₌ w2

p ⇒

3

r_x

1

x22 = w2

(30)

Exemplo – continuação

Funções de demanda pelos insumos

x1∗(p,w1,w2) =

p3

w2 1w2

x2∗(p,w1,w2) =

p3

w1w22

(31)

x1∗(p,w1,w2) =

p3

w2 1w2

x2∗(p,w1,w2) =

p3

w1w22

A função de oferta

(32)

x1∗(p,w1,w2) =

p3

w2 1w2

x2∗(p,w1,w2) =

p3

w1w22

y∗(p_,w1,w2) =f [x1∗(p,w1,w2),x2∗(p,w1,w2)]

=33

s

p3

w2 1w2

p3

w1w22

(33)

x1∗(p,w1,w2) =

p3

w2 1w2

x2∗(p,w1,w2) =

p3

w1w22

y∗(p_,w1,w2) =f [x1∗(p,w1,w2),x2∗(p,w1,w2)]

=33

s

p3

w2 1w2

p3

(34)

A função de lucro

π∗(p_,w1,w2) =py∗(p,w1,w2)−w1x1∗(p,w1,w2)−w2x2∗(p,w1,w2)

(35)

=p_×3 p 2

w1w2 −

w1×

p3 w12w2 −

w2×

p3 w1w

(36)

=p_×3 p 2

w1w2 −

w1×

p3 w12w2 −

w2×

p3 w1w

2 2

π(p_,w1,w2) =

p3

w1w2

(37)

Propriedades da função de lucro

(38)

• A função de lucro é não decrescente em relação ao preço do produto e não crescente em relação aos preços dos fatores.

• A função de lucro é convexa em relação ao preço de seu produto e em relação aos preços dos fatores de produção.

(39)

• A função de lucro é não decrescente em relação ao preço do produto e não crescente em relação aos preços dos fatores.

• A função de lucro é convexa em relação ao preço de seu produto e em relação aos preços dos fatores de produção.

• Lema de Hotelling:

∂π∗₍_p_,_w₁_{, . . . ,}_w_n₎

∂wi =−

x_i∗₍p_,w1, . . . ,w_n)

∂π∗(p_,w1, . . . ,w_n)

(40)

Exemplo

f(x1,x2) =3√3x1x2

(41)

Exemplo

f(x1,x2) =3√3x1x2

x1∗(p,w1,w2) =

p3

w2 1w2

x2∗(p,w1,w2) =

p3

(42)

Exemplo

f(x1,x2) =3√3x1x2

x1∗(p,w1,w2) =

p3

w2 1w2

x2∗(p,w1,w2) =

p3

w1w22

y∗(p_,w1,w2) =3

p2

w1w2

π∗(p_,w1,w2) =py∗(p,w1,w2)−w1 =

p3 w1w2

(43)

∂ ∂pπ

∗₍_p_,_w

1,w2) = ∂

∂p p3 w1w2 =

3 p 2

w1w2 =

(44)

∂ ∂pπ

∗₍_p_,_w

1,w2) = ∂

∂p p3 w1w2 =

3 p 2

w1w2 =

y∗(p_,w1,w2)

∂ ∂w1π

∗₍_p_,_w₁_,_w₂_{) =} ∂

∂w1

p3

w1w2 =−

p3

w2

1w2 =−

x1∗(p,w1,w2)

(45)

∂ ∂pπ

∗₍_p_,_w

1,w2) = ∂

∂p p3 w1w2 =

3 p 2

w1w2 =

y∗(p_,w1,w2)

∂ ∂w1π

∗₍_p_,_w₁_,_w₂_{) =} ∂

∂w1

p3

w1w2 =−

p3

w2

1w2 =−

x1∗(p,w1,w2)

∂ ∂w2π

∗₍_p_,_w₁_,_w₂_{) =} ∂

∂w2

p3

w1w2 =−

p3

w1w22

(46)

(47)

Sumário

1 Introdução

2 Abordagem direta

(48)

Maximização de lucro

Nova colocação do problema

max_y py ₋c(y)

(49)

max_y py ₋c(y)

(50)

max_y py ₋c(y)

dc(y)

dy =p ⇒CMg =p

(51)

max_y py ₋c(y)

dc(y)

dy =p ⇒CMg =p

(52)

max_y py ₋c(y)

dc(y)

dy =p ⇒CMg =p

d2c(y)

dy2 ≥0⇒

dCMg dy ≥0

(53)

Solução gráfica – II

Cust

os

uni

t. CMg

CVM CM

(54)

Condição de máximo global

Seja um produto positivo y∗ que satisfaça às condições de

primeira e segunda ordem do problema de maximização de lucro, isto é, tal que CMg(y∗_{) =}_p _{e, supondo que a função de custo} seja duplamente diferenciável, que CMg′(y∗)_>0. Nesse caso_y∗ maximiza localmente o lucro da empresa. Para que y∗ maximize

globalmente o lucro da empresa é, em adição, necessário que, em adição,

1 Caso haja qualquer outro nível de produção ˆy que satisfaça

as duas condições de lucro máximo, py∗₋_c₍_y∗₎_≥_p_y_ˆ₋_c_(ˆ_y_), e

(55)

(56)

as duas condições de lucro máximo, py∗₋_c₍_y∗₎_≥_p_y_ˆ₋_c_(ˆ_y_), e

2 O lucro obtido ao se produziry∗ seja superior ao lucro

obtido ao não se produzir nada, ou seja,

py∗₋CV(y∗)₋CF _{≥ −}CF _⇒py∗_≥CV(y∗)

(57)

(58)

produção com prejuízo

y

Cu

st

os

un

it. CMg

CVM CM

p

y∗

(59)

Encerramento de atividades

Cu

st

os

un

it. CMg

CVM CM

(60)

A curva de oferta da firma individual

y

Cust

os

uni

t.,

p CMg

CVM CM

(61)

Cust

os

uni

t.,

p CMg

(62)

y

Cust

os

uni

t.,

p CMg

CVM CM

y(p)

(63)

Medidas de ganho do produtor

Lucro

(64)

Medidas de ganho do produtor

Lucro

π(p) =py(p)₋c(y(p))

Excedente do produtor (EP)

EP =py(p)₋CV(y(p))

(65)

Medidas de ganho do produtor – representações gráficas – I

C.

un

it. CMg

CVM CM ˆ

p

(66)

Medidas de ganho do produtor – representações gráficas – I y C. un it. CMg CVM CM ˆ p y∗

π( ˆp₎

(67)

Medidas de ganho do produtor – representações gráficas – II

C.

un

it.

,

p CMg

CVM CM ˆ

p

(68)

(69)

Medidas de ganho do produtor – representações gráficas – II C. un it. , p CMg CVM CM ˆ p EP C. un it. , p CMg CVM CM y(p)

ˆ p

(70)

(71)

Questão 07 – ANPEC 2018

Uma empresa produz, com duas fábricas (1 e 2), um bem em ambiente perfeitamente competitivo no curto prazo. A planta 1 produz o bem com custos totais expressos pela função

CT(y1) =10y1+

1 2y

2

1. A planta 2 produz segundo a função de custo CT(y2) =

1 2y

2

2. Julgue as assertivas:

0 Existe volume de produção tal que a empresa opera somente

(72)

CT(y1) =10y1+

1 2y

2

1 2y

2

com a planta 2 ; V

(73)

CT(y1) =10y1+

1 2y

2

1 2y

2

com a planta 2 ; V

1 A empresa opera de modo a igualar os custos médios das

(74)

CT(y1) =10y1+

1 2y

2

1 2y

2

com a planta 2 ; V

duas plantas; F

(75)

CT(y1) =10y1+

1 2y

2

1 2y

2

com a planta 2 ; V

(76)

CT(y1) =10y1+

1 2y

2

1 2y

2

com a planta 2 ; V

duas plantas; F

2 É ineﬁciente em termos paretianos utilizar uma única planta; F

(77)

CT(y1) =10y1+

1 2y

2

1. A planta 2 produz segundo a função (y2) =

1 2y

2

(78)

CT(y1) =10y1+

1 2y

2

1 2y

2

3 Se o preço de mercado do bem forp =15, uma planta produz

o triplo da outra; V

4 A função custo marginal da empresa é igual a

CMg(y) = 12y+10.

(79)

CT(y1) =10y1+

1 2y

2

1 2y

2

3 Se o preço de mercado do bem forp =15, uma planta produz

o triplo da outra; V

(80)

Suponha que a função de produção de para um dado produto tem a seguinte forma funcional: q=f(x1) =2x1−0,03x

2

1. Considere também que o preço de uma unidade do bem ﬁnal é

p(q) = R$10_,00e o preço unitário do insumo, praticado pelo mercado, é p(x1) = R$8,00.

Dadas essas informações, é correto aﬁrmar que:

0 O nível de utilização do insumo que maximiza o nível de

produção é x1=33,33.

(81)

2

(82)

2

produção é x1=33,33. V

1 O nível de utilização do insumo que maximiza o lucro da

ﬁrma é x1 =19,5.

(83)

2

(84)

2

ﬁrma é x1 =19,5. F

2 O nível de produção economicamente ótimo é q ₌28.

(85)

2

(86)

2

ﬁrma é x1 =19,5. F

2 O nível de produção economicamente ótimo é q ₌28. V

3 O lucro máximo (π) obtenível pela ﬁrma é π(q) = R$120.

(87)

2

(88)

2

ﬁrma é x1 =19,5. F

2 O nível de produção economicamente ótimo é q ₌28. V

3 O lucro máximo (π) obtenível pela ﬁrma é π(q) = R$120. V

4 A produtividade marginal do fator é crescente.

(89)

2

(90)

Sobre a Teoria da Produção analise as aﬁrmativas abaixo:

0 A função de produção que exibe retornos constantes de

escala é uma função homogênea do grau 0.

(91)

(92)

escala é uma função homogênea do grau 0. F 1 Suponha uma função de produção do tipo Cobb-Douglas,

sendo os coeﬁcientes técnicosa eb, tal que a+b_>1. A elasticidade de substituição desta função de produção também é superior à unidade.

(93)

sendo os coeﬁcientes técnicosa eb, tal que a+b_>1. A elasticidade de substituição desta função de produção

(94)

também é superior à unidade. F

2 Suponha uma função de produção do tipo CES, deﬁnida da

seguinte forma: q₌f₍k_,l_{) = [}kρ₊_lρ_]γρ. A elasticidade de substituição referente a essa função é deﬁnida porσ = 1_−γ1 .

(95)

também é superior à unidade. F

2 Suponha uma função de produção do tipo CES, deﬁnida da

(96)

Questão 03 – ANPEC 2011 (continuação)

3 Suponha que π(·) é a função lucro do conjunto de produção

Y e quey(_·) é a correspondência de oferta associada.

Suponha também que Y é fechado e satisfaz a propriedade

de free disposal (livre descarte). Nesse contexto, segundo o Lema de Hotelling: se y(p) consiste de um único ponto,

então π(·) é diferenciável emp eD_pπ(p) =y(p).

(97)

(98)

então π(·) é diferenciável emp eD_pπ(p) =y(p). V

4 A função de lucro atende às propriedades de ser homogênea

de grau 1 em preços e convexa nos preços.

(99)

então π(·) é diferenciável emp eD_pπ(p) =y(p). V

(100)

Considere um mercado em concorrência perfeita, avalie as aﬁrmativas:

0 A igualdade entre preço e custo marginal é condição

necessária, mas não suﬁciente para a maximização dos lucros da ﬁrma.

(101)

necessária, mas não suﬁciente para a maximização dos lucros

(102)

da ﬁrma. V

1 No curto prazo, se o lucro econômico do produtor é positivo,

a produção se faz com custo marginal superior ao custo médio.

(103)

da ﬁrma. V

a produção se faz com custo marginal superior ao custo

(104)

da ﬁrma. V

médio. V

2 Se a função de custo total da ﬁrma for

C₍q_{) =}q3

−9_q2+42_q, então, a função de oferta será

p(q) =3_q2₋18_q+42, para valores de _q maiores que 3.

(105)

da ﬁrma. V

médio. V

(106)

Questão 06 – ANPEC 2005 (cont.)

3 Se a função de custo total de uma ﬁrma for

C₍q_{) =}q3

−9_q2+42_q e se o preço de mercado for igual a 42, a elasticidade-preço da oferta deste produtor será igual a

18 7 .

(107)

C₍q_{) =}q3

18

(108)

C₍q_{) =}q3

18

7 . F

4 O valor do excedente do produtor iguala-se aos lucros totais

da ﬁrma mais o valor do custo ﬁxo.

(109)

C₍q_{) =}q3

18

7 . F