PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL

Dizemos que uma variável y é função de uma variável x , se e somente se, a cada valor de x (variável independente) corresponde um único valor de y (variável dependente).

Exemplos

• O preço da gasolina necessária para encher o tanque de um carro é uma função do número de litros que o tanque comporta, ou seja, para cada número de litros é associado um único preço.

• A área de um quadrado é uma função do seu lado, pois a cada medida do lado corresponde um único valor para a área.

O domínio de uma função f é o conjunto dos possíveis valores da variável independente e é notado por Dom f ou D(f) ; a imagem é o conjunto dos correspondentes valores da variável dependente e é notado por Im f. O gráfico cartesiano de uma função é o conjunto de todos os pontos do plano cartesiano associados aos pares ordenados da função.

Uma função f de um conjunto A num conjunto B é uma relação que associa a cada x

∈

A, um único y

∈

B. Notação: f: A→ B

x y=f(x)

Numa função f: A→ B , diz-se que:

A = Dom f , B = contradomínio da f e Im f = { y

∈

B / y = f(x) }

⊆

B .

Obs.: função real de variável real é aquela cujos domínio e contradomínio são subconjuntos dos números reais.

As funções desempenham um papel importante na ciência. Freqüentemente, se observa que uma grandeza é função de outra e, então tenta-se encontrar uma fórmula razoável para representar essa função. A busca de uma função que representa uma determinada situação é chamada modelagem matemática (e a função escolhida é o modelo matemático).

A maioria das funções podem ser expressas através de uma relação (ou lei) matemática., como por exemplo, a área de um círculo que é uma função do seu raio, isto é, A(r)=

π

r2 .

Entretanto existem funções que não podem ser expressas por uma lei matemática. Neste caso a relação entre as variáveis é feita através de tabelas, conjunto de pares ordenados, etc...

Ex.: a temperatura máxima no mês de fevereiro de 2003, de uma certa cidade, é uma função da data, pois cada dia tem uma única temperatura máxima.

Z

EROS DE UMA FUNÇÃO

Zeros ou raízes de uma função f são os valores de x para os quais f(x) = 0. Geometricamente,

são os pontos de interseção da curva, gráfico de f , com o eixo dos x.

F

UNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES

Uma função f é crescente num intervalo I, quando para quaisquer x1 e x2 ∈ I,

x1 < x2⇒ f(x1) < f(x2).

Uma função f é decrescente num intervalo I, quando para quaisquer x1 e x2∈ I,

x1 < x2⇒ f(x1)> f(x2).

F

UNÇÕES PARES E ÍMPARES

• Uma função f é par quando f(-x) = f(x), para todo x do domínio da f.

Obs.: o gráfico cartesiano de uma função par é simétrico em relação ao eixo dos y. x1 x2

f(x2)

f(x1)

y

x

x1 x2

f(x1)

f(x2)

y

x

-x2 -x1 x1 x2

y

• Uma função f é ímpar quando f(-x) = -f(x), para todo x do domínio da f.

Obs.: o gráfico cartesiano de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.

A

LGUMAS

F

UNÇÕES

R

EAIS

I

MPORTANTES

Função Polinomial

É a função f: lR

→

lR definida por f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 +...+ an-1x +an

onde a0, a1, a2 ... an-1 e an são números reais chamados coeficientes e n é um número natural.

Obs.: Se a0

≠

0 então n é o grau da função polinomial.

Função Constante

É a função f: lR

→

lR definida por f(x) = c, onde c

∈

lR.

O gráfico cartesiano de uma função constante é sempre uma reta paralela ao eixo dos x e que intercepta o eixo dos y no ponto (0, c).

Dom f = lR Im f = { c }

x1

-x1

f(x1)

x

f(-x

1

)

y

c y

Função Polinomial de 1

o

_grau

É a função f: lR

→

lR definida por f(x) = ax + b, com a e b

∈

lR e a ≠ 0.

O gráfico cartesiano de uma função polinomial do 1o grau é sempre uma reta, onde “a” é o coeficiente angular e “b” é o coeficiente linear.

Consideremos a função y = ax + b, representada no gráfico.

Sendo

α

o ângulo que a reta forma com o sentido positivo do eixo x, a = tgα. Logo conhecendo 2 pontos do gráfico da função, a pode ser obtido por:

a =

x

y

x

x

y

y

1 2

1 2

∆

∆

=

−

−

,

Observação

• Se 0

90

0

<

α

<

então tg

α

> 0, logo a > 0 e f é uma função crescente.

)

α

• Se 0 0

180

90

<

α

<

então tg

α

< 0, logo a < 0 e f é uma função decrescente.

α

P

x1

x x y2

y1 α

Q

x y

x y

α

y

Função Quadrática

É a função f: lR

→

lR definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a, b e c

∈

lR e a ≠ 0.

Seu gráfico é uma curva denominada parábola. Dependendo do “a” ser positivo ou negativo, o gráfico tem uma das formas mostradas abaixo:

Em ambos os casos a parábola possui um eixo de simetria paralelo ao eixo y. Este eixo corta a parábola num ponto chamado vértice.

Caso a > 0, o vértice é o ponto mais baixo da curva e caso a < 0, o vértice é o ponto mais alto da curva.

Para construir o gráfico de uma parábola é interessante o conhecimento de alguns pontos notáveis, como o vértice e os zeros.

a) Vértice: V(xv, yv)

A abscissa do vértice xv =

2a

b

−

_.

A ordenada do vértice yv = f(xv) ou yv =

a

4

∆

−

_{, onde ∆ = b}2 _{– 4ac.}

b) Zeros ou pontos de interseção da parábola com o eixo x.

Um ponto que pertence ao eixo x tem ordenada y = 0. Logo, para descobrir os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x, basta achar as raízes da equação ax2 + bx + c = 0.

Vértice a > 0

vértice

a < 0 y

x

y

• Se ∆ > 0 então há duas raízes reais e distintas e a parábola intercepta o eixo x em dois pontos.

• Se ∆ = 0 então há duas raízes reais e iguais e a parábola intercepta o eixo x em um único ponto.

• Se ∆ < 0 então não há raiz real e a parábola não intercepta o eixo x.

Estas situações podem ser mostradas no esquema abaixo:

Delta Interseção com o eixo x _{(concavidade para cima)} a > 0 _{(concavidade para baixo)} a < 0

∆ > 0 em dois pontos

∆ = 0 em um ponto

∆ < 0 em nenhum ponto

y y

y y

y y

x x

x

x

Função Potência

É a função f : lR

→

lR definida por f(x) = xn , n

∈

lN* . Representações geométricas de algumas funções potências: • “n” ímpar .

• “n” par.

Função Racional

É a função f(x)

)

(

)

(

x

Q

x

P

=

onde

P

(x

)

e

Q

(x

)

são funções polinomiais e

Q

(x

)

≠

0.

Exemplos de funções racionais:

a) f(x) =

x

1

b) f(x) =

1

₂

x

y = x

y

x x

y = x3 y

y = x5

y

x

1 1 y

x

y

x y

x y = x2

x y

c) f(x) =

1

1

2

−

−

x

x

Função Raiz n-ésima

É a função f definida por n

x

x

f

(

)

=

( ou

_f

_x

_x

n 1

)

(

=

) . Exemplos

Observação

Se “n” é ímpar o domínio da função raiz n-ésima é o conjunto IR e se “n” é par o domínio é o intervalo

[

0

;

+

∞

)

.

Função valor absoluto (ou função módulo

)

É a função f : lR

→

lR definida por f(x) =

x

onde







<

−

≥

=

0

,

0

,

x

se

x

x

se

x

x

.

y

x

x

y

=

x

3

x

y

=

y

x

x o

1 y

• Propriedades do valor absoluto

Se

x

∈

lR

,

y

∈

lR

e

a

∈

lR

₊ , temos :

1)

−

x

=

x

2)

xy

=

x

⋅

y

3)

=

,

y

≠

0

y

x

y

x

4)

x

+

y

≤

x

+

y

5)

x

=

a

↔

x

=

a

∨

x

=

−

a

6)

x

≤

a

↔

−

a

≤

x

≤

a

7)

x

≥

a

↔

x

≤

−

a

∨

x

≥

a

8)

x

2

=

x

2

Observação:

x

2

=

x

O

PERAÇÕES COM

F

UNÇÕES

Operações Aritméticas com funções

Assim como podemos adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir números reais, obtendo novos números reais, podemos operar com funções, produzindo novas funções.

Duas funções

f

e

g

podem ser adicionadas, subtraídas, multiplicadas ou divididas para formar as

funções

,

,

.

,

g

f

e

g

f

g

f

g

f

+

−

ditas, respectivamente, função soma, função diferença, função produto e função quociente, assim definidas:

)

(

)

(

)

(

)

(

).

(

)

)(

.

(

)

(

)

(

)

)(

(

)

(

)

(

)

)(

(

x

g

x

f

x

g

f

x

g

x

f

x

g

f

x

g

x

f

x

g

f

x

g

x

f

x

g

f

=













=

−

=

−

+

=

+

Sendo,

Dom

(

f

+

g

)

=

Dom

(

f

−

g

)

=

Dom

(

f

.

g

)

=

Domf

Domg

_

=

−

{

∈

/

(

)

=

0

}

Exemplo

Se f(x) = x e g(x) =

x

+

3

(f + g)(x) = x +

x

+

3

, Dom( f + g ) = [-3; +∞)

Observe que o gráfico da função soma f+g pode ser obtido adicionando-se as correspondentes coordenadas y de seus gráficos.

Tomando as funções do exemplo:

Da mesma forma se pode obter geometricamente as funções f – g, f . g e f/g.

Composição de funções

Vamos considerar uma operação, chamada composição, que não tem análoga na aritmética ordinária. Informalmente a operação de composição consiste em substituir em uma dada função a variável independente por alguma função, desde que exista condição para isto. Dadas duas funções f e g, a composta de f e g denotada por fog, é a função definida por (fog)(x)=f(g(x)).

Dom fog = {x ∈ dom g / g(x) ∈ dom f}

• x g(x) f(g(x))

g _f

Exemplo

f(x) = x2 _{– 16, Dom f = IR}

g(x) =

x

, Dom g = [0; +∞)

fog(x) = f(

x

) = (

x

)2 – 16 = x –16 , Dom fog = [0; +∞)

gof(x) = g(x2 _{– 16) =}

16

x

2

−

, Dom gof = (-∞; -4] ∪ [4; +∞)

F

UNÇÃO

I

NVERSA

Suponhamos que f é uma função tal que, para dois valores distintos de x no Dom f , correspondem dois valores também distintos de y na Im f. Neste caso se invertermos a ordem dos elementos nos pares ordenados (x, y) da f, obteremos o conjunto dos pares (y, x) que representam uma função chamada de inversa da f e que é notada por f –1, sendo Dom f = Im f –1 e Im f = Dom f –1.

(

x

,

y

)

∈

f

⇔

(

y

,

x

)

∈

f

−1

Exemplos 1)

}

)

4

,

1

(,

)

1

,

5

(

,)

2

,

3

{(

)}

1

,

4

(

,)

5

,

1

(

),

3

,

2

{(

1

₌

₋

−

=

−

f

f

1 1

}

1

,

5

,

3

{

Im

Im

}

4

,

1

,

2

{

− −

=

−

=

=

=

f

Dom

f

f

f

Dom

2)

2

1

)

(

1

2

2

1

1

2

1

2

)

(

1 1

+

=

−

=

+

=

−

=

−

=

− −

x

x

f

x

y

x

y

ou

y

x

x

x

f

f

f

x

y

f

Observação

Os gráficos cartesianos de duas funções inversas são simétricos em relação a reta y = x .

Função Exponencial

É a função f: lR

→

lR definida por f(x) = ax_{, onde a}

_∈

_{lR , a > 0 e a}

_≠

_1.

O gráfico de f(x) = ax depende do valor da base a.

a > 1 0 < a < 1

função crescente função decrescente

• Propriedades

Para quaisquer x e y reais e k racional, temos:

a) ax + y _{= a}x_{. a}y

b) ax - y = _y x

a

a

c) ax . k = (ax)k d) a- x ₌

x

a

1

As funções exponenciais são usadas para representar muitos fenômenos nas ciências naturais e sociais. A base mais usada é o número e = 2,71828 ..., número irracional chamado número de Euler.

1/2

1/2 _x

y

-1 -1

f y = x f -1

y y

y = ax

1

x

y = ax

x

1

Função logarítmica

É a função f: (0;+ ∞)

→

lR definida por f(x) = loga x , onde a

∈

lR, a > 0 e a

≠

1.

A função logarítmica de base a, é a inversa da função exponencial de base a. Assim temos

y = logax ⇔ ay = x

a > 1 0 < a < 1

função crescente função decrescente

Se a = e = 2,718282 ... (Número de Euler) a função é chamada função logarítmica natural e é notada por:

f(x) = ln x ou f(x) = L(x)

Como a função logarítmica natural é a inversa da função exponencial, temos: y = ln x ⇔ ey = x

• Propriedades

Sendo x, y números reais positivos e k um real qualquer, temos: a) loga(x.y) = logax + logay

b) loga

_











y

x

_{= log}

ax - logay

c) logaxk = k logax

y

y = loga x

y

x y = loga x

x

1

1

0

F

UNÇÕES TRANSFORMADAS

A partir do gráfico y = f(x) (função base), pode-se obter os gráficos de algumas funções transformadas da função f.

a) Translação Vertical

y = f(x)

⇒

g(x) = f(x) + k, k

∈

lR

k > 0 translação vertical para cima k < 0 translação vertical para baixo

Observe o exemplo:

b) Translação Horizontal

y = f(x)

⇒

g(x) = f(x + k), k

∈

lR

k > 0 translação horizontal para esquerda k < 0 translação horizontal para direita

Observe o exemplo:

f(x) = x2

g1(x) = x2 + 2

g2(x) = x2 - 2

x

y

g2

g1

f

f(x) = x2

g1 (x) = (x - 2)2

g2(x) = (x + 2)2

y

x y

g1

c) Reflexão em torno do eixo dos x

y = f(x)

⇒

g(x) = -f(x) Observe o exemplo:

d) Reflexão em torno do eixo dos y

y = f(x)

⇒

g(x) = f(-x)

Observe o exemplo: f(x) =

x

g(x) =

−

x

f(x) =

x

g(x) =

-

x

y

x

f

g

y

f g