Universidade Federal Rural da Amazˆ

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Universidade Federal Rural da Amazˆ

onia.

Revisão de Matemática Aplicada. Prof. Drielson D.S.Gouvêa.

Paragominas (PA), 9 de janeiro de 2016.

Aluno (a): Matricula.:

Conceitos b´asicos

Defini¸cão 0.1. [Equa¸cões]Na Matemática, uma equa¸cão é uma afirma¸cão que estabelece uma igualdade entre duas expressões matemáticas. Resolver uma equa¸cão é encontrar todos os valores poss´ıveis para a incógnita que tornem a igualdade verdadeira. Uma solu¸cão da equa¸cão também é chamada raiz da equa¸cão.

Observa¸cão. Muitos problemas que envolvem o estudo das equa¸cões podem ser resolvidos por meio de propor¸cões:

Defini¸cão 0.2. [Propor¸cão]E a igualdade entre duas razões, ou seja, a razão de´ apara b

(_̸= 0) é igual a razão entre cpor d(_̸= 0), o que gera a rela¸cão:

a b =

c

d ⇔a.d=b.c.

Exerc´ıcio 0.1.

1. Resolva as seguintes equa¸c˜oes: (a) 4(2k₋1) + 15 = 6₋2(₋5 +k); (b) 2r₋2(r₋2) + 3(r₋1) = 4(2r₋2);

(c) x(x+ 5)₋8x= 0; (d) 3(j2₋1) + 5 =j2+ 2;

(e) 2(t₋1) +t(t+ 1) =t2₋1.

2. Resolva as seguintes equa¸c˜oes:

(a) j+ 3

j₋4 + 3 7 =

5 7; (b) 5k+ 4

5k₋4 + 5k₋4 5k+ 4 =

13 6 ; (c) r+ 1

r₋1 +

r₋1

r+ 1 =

2r+ 1

r+ 1; (d) 2

t2₋₉ =

t2₋16 72 ; (e) 5

x₋1+

x

2x+ 3= 2, (

x_̸= 1, x_̸= −3 2

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3. Sejam dadas as igualdades:

x a =

y b =

z c =k.

com x, y, z, k_∈R∗ ea, b, c_∈R+. Calcule k sabendo que

a3+b3+c3 x2₊_y2₊_z2 = 7 e

x3+y3+z3

a2₊_b2₊_c2 = 224 . 4. Decomponha a fra¸c˜ao

−2

x3₊_x2₋₂_x.

em uma soma de fra¸cões cujos denominadores são polinômios do primeiro grau. 5. Hidreto de L´ıtio pode ser preparado segundo a rea¸cão expressa pela equa¸cão qu´ımica:

2Li_(s)+H_2(g)_→2LiH_(s)

Admitindo que o volume de hidrogênio é medido nas Condi¸cões Normais de Tempera-tura e Pressão (CTP), calcule:

(a) A massa de hidreto de l´ıtio que pode ser produzida na rea¸c˜ao de 13,8g de l´ıtio com 11,2Lde hidrogˆenio;

(b) O rendimento (em porcentagem) da rea¸c˜ao se, com as quantidades de reagentes acima indicadas, ocorrer a forma¸c˜ao de 6,32g de LiH.

• Volume molar dos gases (CNTP): 22,4L/mol • Massas molares (g/mol): Li(6,90);H(1,00)

6. Um Empresário decidiu vender sua fazenda de 4.500 hec.Sendox hec de pastos, y hec de paricá e z hec de reserva. Excelente para a agricultura e a 25 km de Paragominas. O valor por hectare é de R$4.000,00. Sabe-se que x, y e z estão na razão direta com os números 4, 5 e 6 respectivamente.Quais os valores de x, y e z ? Quanto custa individualmente cada lote desse?

7. Qual a quantidade de água formada a partir de 10g de hidrogênio, sabendo-se que o rendimento da rea¸cão é de 80%?

Massas atˆomicas: H(1u);O(16u).

8. Na última campanha de vacina¸cão na cidadeA, compareceram aos postos de vacina¸cão 4/5 das crian¸cas esperadas. A popula¸cão da cidade é de 180.000 habitantes, dos quais 60% ultrapassaram a idade limite de vacina¸cão. Calcule o número de crian¸cas que não compareceram aos postos.

9. Em uma feira da região Norte, um turista foi conhecer as famosas frutas do local. Lá, se deparou com cupua¸cu, bacuri e piquiá. Pelo pre¸co de tabela os cupua¸cus custariam 35% do pre¸co total a ser pago. Os bacuris custariam 15% do total e os piquiás custariam 50% do pre¸co total. Contudo, depois de muita conversa, o turista conseguiu um bom desconto, obtendo um abatimento de 10% no pre¸co dos cupua¸cus e 20% no pre¸co das piquiás. Calcule o desconto,assim obtido,no valor total de sua compra.

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Principais Fun¸c˜oes Elementares

Defini¸cão 0.3. [Fun¸cão do 1o _grau]_{Uma fun¸cão é dita do 1}o _{grau quando possui a forma:}

f(x) =ax+b

ondea, b_∈R, e a_̸= 0. ´E bom n˜ao esquecer que:

• Se a= 0,tem-se uma fun¸c˜aoConstante.

• Se a_̸= 0 eb= 0, tem-se uma fun¸c˜ao Linear ou Proporcional.

• Se a_̸= 0 eb_̸= 0, tem-se uma fun¸c˜ao Afim.

• O gr´afico ´e uma reta.

Figura 1: Fun¸c˜ao do 1o _{grau: crescente e decrescente}

Defini¸cão 0.4. [Equa¸cão fundamental da reta ou Equa¸cão Ponto-Inclina¸cão]

f(x)₋f(x0) =a.(x−x0)

• com a= tanθ.

• sendo θ_→ o∠(ângulo) de inclina¸cão com o eixo OX. Observa¸cão. [Tipos de retas]

• Paralelas _→ mesma inclina¸c˜ao, ou seja, mesmos coeficientes angulares.

• Perpendiculares_→formam entre si um ânguloθ= 90o_{. Em duas retas perpendiculares,} o coeficiente angular de uma é o inverso e simétrico da outra.

Exerc´ıcio 0.2.

1. Encontre uma equa¸c˜ao para cada reta que passa por: (a) (2,-3) e tem coeficiente angular -4;

(b) (-4,2) e (3,-1);

(c) (2,-4) e ´e paralela ao eixox; (d) (1,6) e ´e paralela ao eixo y;

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2. Dadas as fun¸c˜oesf(3x+ 1) =x+ 2 e g(x₋3) = 4x+ 7, deRemR, calcule o valor de

f(4) +g(₋1).

3. Seja f(x) uma fun¸c˜ao real satisfazendo a rela¸c˜ao f(x+ 1) = f(x) +f(1) e f(1) = 1. Calcular o valor de f(5).

4. Um pesquisador observou durante um mˆes o crescimento do caule de uma semente germinada. Considerando que o crescimento di´ario foi constante, e que, no in´ıcio do 1o dia, o caule media 15 mm e, no final do 30o _{dia, media 160 mm, calcule a que taxa em}

mm/dia esta planta cresce.

5. A escala Celsius [1701 - Anders Celsius - 1744] de temperatura é tal que: ponto de congelamento da água 0o_C_{e ponto de ebuli¸cão da água 100}o_C_{. ´}_{E uma escala cent´ıgrada.} A escala Fahrenheit [ 1686 - Daniel Gabriel Fahrenheit - 1736] tem os correspondentes pontos tais que 32oF e 212oF, respectivamente.

(a) Escreva a rela¸c˜ao entre essas duas escalas.

(b) Se dobrarmos a temperatura na escala Celsius, o mesmo ocorre na escala Fahre-nheit? Justifique.

6. Biólogos descobiram que o número de sons emitidos por minuto por uma certa espécie de grilos está relacionado com a temperatura. A rela¸cão é quase linear. A 68o_F_{, os} grilos emitem cerca de 124 sons por minuto. A 80o_F_{, emitem 172 sons por minuto.} Encontre a equa¸cão linear que a temperatura (em Fahrenheit F) e o número de ru´ıdos (por minuto t) determinam.

7. O módulo de um número real x denotado por_|x_|é definido por:

|x_|= {

x sex_≥0;

−x sex <0.

(a) discuta o caso _|2x₋5_|com x_∈R; (b) Resolva as equa¸c˜oes e inequa¸c˜oes:

• |2x+ 1_|= 3.

• |x₋2_|+_|x+ 1_|= 3.

• |2x+ 1_|<3.

• |x₋2_{| ≥}3.

8. O pre¸co médio de certo produto agr´ıcola é fun¸cão do mês do ano em que é comerciali-zado. Se P é o pre¸co médio em reais ené o número correspondente ao mês do ano,P

em fun¸cão de n é dado por P(n) = 8_{− |}6₋n_|. Determine para qual valor de n P é m´ınima, e o valor m´ınimo de P.

9. O volume de água em um tanque varia em fun¸cão do tempo de acordo com a equa¸cão

V(t) = 10_{− |}4₋2t_{| − |}2t₋6_|, t _∈ R+. Nela, V é o volume medido em m3 após t horas, contadas a partir de 8h de uma manhã. Determine os horários inicial e final dessa manhã em que o volume permanece constante.

10. Fa¸ca os itens abaixo:

(a) Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao f(x) =x2₋3_|x_|+ 2.

(b) Represente os pontos (x, y) do plano cartesiano que satisfazem a rela¸c˜ao modular

|3x₋2y_|= 6.

11. O módulo _|x_|de um número real x é definido por _|x_|= x, se x _≥ 0 , e _|x_| = ₋x, se

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Defini¸cão 0.5. [Fun¸cão do 2o _grau]_{Uma fun¸cão é dita do 2}o _{grau quando possui a forma:}

f(x) =ax2₊_bx₊_c ondea, b, c_∈R, ea_̸= 0. ´E bom n˜ao esquecer que:

• Para encontrarmos as ra´ızes de uma fun¸c˜ao do2o _{grau, resolvemos a equa¸c˜}_ao_f₍_x_{) = 0} pela f´ormula:

x= −b±

√

b2₋₄_ac

2a , onde ∆ =b

2₋₄_ac_{, e}

  

∆>0,duas ra´ızes reais e distintas; ∆ = 0,duas ra´ızes reais e iguais; ∆<0,duas ra´ızes complexas.

• A fun¸c˜ao f(x) =ax2₊_bx₊_c _{pode ser reescrita de duas maneiras, veja:} 1. f(x) =a.(x₋x1).(x−x2), chamada de forma Fatorada;

2. f(x) =a.(x₋xv)2+yv, chamada de forma Canˆonica;

• O gráfico é uma parábola.

Figura 2: Concavidade: para cima (a >0) ou para baixo (a <0).

• O vértice V(xv, yv) da parábola é obtido através das rela¸cões:

xv = −

b

2a e yv= −∆

4a

Exerc´ıcio 0.3.

1. Cavar um buraco retangular de 1m de largura de modo que o volume cavado seja 300m3. sabendo que cada metro quadrado de ´area cavada custa R$10,00 e cada metro de profundidade custa R$30,00 determinar as dimens˜oes do buraco de modo que o seu custo seja m´ınimo.

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3. Em uma das etapas do processo da produ¸cão de suco de acerola concentrado, usa-se uma membrana de ultrafiltra¸cão com o objetivo de concentrar o suco, ou seja, reter a polpa da fruta, as enzimas pectinil´ıticas e eliminar a água em excesso. A fun¸cão

f(x) =t2₋4t+ 8 descreve o fluxo L(h.m2) em fun¸c˜ao do tempo tem horas, para um certo dom´ınio da fun¸c˜ao.

(a) Devido à concentra¸cão do suco e às incrusta¸cões que se formam na membrana, depois de um certo tempo o fluxo atinge o menor valor.Depois de quanto tempo isso ocorre?

(b) Qual ´e o m´aximo valor do fluxo dessa membrana?

4. A taxa de evapora¸cão de água em um reservatório depende da condi¸cão climática. Em um modelo simplificado, essa taxa, E,pode ser descrita por:

E=v(2₋(U(x))2) +v(U(x)).

Sendo v a velocidade constante do vento, e para este problema vale 10m/s; e U(x) a umidade relativa do ar sendo dependente da diferen¸ca entre concentra¸cão de ar e vapor de água por volume (variável x) definida porU(x) =x+ 1. Determine:

(a) Para que valor de x a taxa de evapora¸c˜ao ´e zero?

(b) Qual o valor de x em que a taxa de evapora¸cão é máxima? (c) Qual o valor máximo da taxa de evapora¸cão?

(d) Se x= 0, qual a taxa de evapora¸c˜ao?

5. Um fazendeiro tem 600 hectares para plantar e sabe que o ganho total G (em euros) para obter a sua produ¸cão depende do número de hectares plantados x, sendo dado pela expressão:

G(x) = 2000x₋2x2

Calcule quantos hectares devem ser plantados para o lucro m´aximo poss´ıvel. Quanto iria ganhar se semeasse 600 hectares dispon´ıveis?

6. O número N de bactérias em uma cultura espec´ıfica é dada em fun¸cão do tempo t

expresso em minutos pela fun¸c˜ao

N(t) = 500 + 50t₋t2, parat_∈[0,35]

(a) Em que instante o número de bactérias é máximo? (b) E m´ınimo? Esbo¸car o gráfico da fun¸cão N(t).

7. Um biólogo de campo deseja cercar um campo de estudo retangular, limitado em um dos seus lados por um rio. Dispões para isso de 500 metros de cerca. Que tamanho terá o campo de estudo de área máxima que pode cercar? (Não há necessidade de cercar o lado que forma a margem do rio)

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Defini¸cão 0.6. [Fun¸cão Composta]Em matemática, uma fun¸cão composta é criada apli-cando uma fun¸cão à sa´ıda, ou resultado, de uma outra fun¸cão, sucessivamente. Como uma fun¸cão deve possuir um dom´ınio e contradom´ınio bem definidos e estamos falando de aplicar fun¸cões mais de um vez, devemos ser precisos com rela¸cão a como estamos aplicando estas fun¸cões. Seja:

f :X _→Y e g:Y _→Z.

duas fun¸c˜oes, se o dom´ınio de g contiver o contradom´ınio de f, podemos definir a fun¸c˜ao composta:

g_◦f :X _→Z.

comg_◦f(x) =g(f(x)),_∀x_∈X.

Exerc´ıcio 0.4.

1. Sendo dadosf(x) =x2+ 3 e g(x) = 3x, calcular g_◦f e f _◦g.

2. Dadas as fun¸c˜oesf(x) =x2₋5x+ 6 eg(x) =x+ 1, pede-se: (a) Calcular f_◦g.

(b) Achar x de modo quef_◦g= 0.

3. Uma chácara de áreazfoi dividida em lotes, todos de forma quadrada de ladoxe área

y. Escreva a fómula matemática que expresse: (a) y em fun¸cão dex;

(b) z em fun¸c˜ao de y; (c) z em fun¸c˜ao de x.

4. Uma pesquisa ecológica determinou que a popula¸cão (S) de sapos de uma determinada região, medida em centenas, depende da popula¸cão (m) de insetos, medida em milhares, de acordo com a equa¸cãoS(m) = 65 +

√

m

8. A popula¸cão de insetos, por sua vez, varia com a precipita¸cão (p) de chuva em cent´ımetros, de acordo com a seguinte equa¸cão

m(p) = 43p+ 7,5.

(a) Expresse a popula¸cão de sapos como fun¸cão da precipita¸cão. (b) Calcule a popula¸cão de sapos quando a precipita¸cão é de 1,5 cm.

5. Um estudo das condi¸cões ambientais de um munic´ıpio indica que a taxa média de monóxido de carbono no ar será de C(p) = 0,5p₋1 ppm ( partes por milhão) quando a popula¸cão for de p milhares de habitantes. Daqui a t anos, a popula¸cão será de

p(t) = 10 + 0,1t.

(a) Atualmente, qual ´e a taxa de mon´oxido no ar?

(b) Qual ser´a a taxa de mon´oxido de carbono daqui a 4 anos?

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Defini¸c˜ao 0.7. [Fun¸c˜ao Inversa]

Diz-se que g :Y _→ X ´e a inversa da fun¸c˜ao f :X _→ Y quando se tem g(f(x)) = x e

f(g(y)) =y para quaisquerx_∈X e y_∈Y.

Exerc´ıcio 0.5.

1. Mostrar que para as seguintes fun¸cões, existem fun¸cões inversas. Encontrar as ex-pressões expl´ıcitas para essas fun¸cões inversas.

(a) y =₋2x+ 3 com dom´ınio x_∈R, (b) y =x2+ 2 com dom´ıniox_≥0, (c) y =x2+ 2 com dom´ıniox_≤0, (d) y = 1

x2 com dom´ınio x >0.

2. Seja f : [1,_∞[_→ [₋3,_∞[ uma fun¸c˜ao definida por f(x) = 3x2 ₋₆_x_{. Se a fun¸c˜ao}

g: [₋3,_∞[_→[1,_∞[ ´e a inversa de f, ent˜ao calcule [g(6)₋g(3)]2.

Revis˜ao de Potˆencia

1. Se a, b_∈R∗

+, e x, y∈R. (a) ax_.ay ₌_ax+y_.

(b) a x

ay =a x−y_.

(c) (ax₎y ₌_ax.y_{= (}_ay₎x_.

(d) (a.b)x₌_ax_.bx_.

(e) (a

b

)x = a

x

bx. (f)

( 1

a

)x

=a−x_.

2. Potˆencia de expoente racional: axy = √yax, com x, y∈Z∗ e y≥2.

3. Nota¸cão cient´ıfica: x está em nota¸cão cient´ıfica se x=α.10β∈_Z∗

, com 1_≤α <10.

Exerc´ıcio 0.6.

1. Um aluno utiliza em um experimento um microscópio que aumenta 2000 vezes as di-mensões das part´ıculas observadas. Nesse microscópio, ele vê uma célula em formato esférico, medindo 2 cm de diâmetro. Sabendo que 1 m´ıcron (µ) corresponde a 10−6 metro, qual o volume da célula esférica observada? (V ol⊙= 4₃πr3 e useπ= 3,14.)

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Defini¸cão 0.8. [Fun¸cão Exponencial] Chama-se fun¸cão exponencial para toda fun¸cão

f :R→R∗

+ tal que:

f(x) =ax,

coma_∈R∗

+ ea̸= 1. Observa¸c˜ao. :

• O gráfico de uma fun¸cão exponencial é chamado de Curva Exponencial.

Figura 3: Fun¸c˜ao Exponencial: crescente (a >1) e decrescente (0< a <1)

• A resolu¸cão de uma equa¸cão exponencial baseia-se na equivalência:

ax =ay _⇔x=y

• As resolu¸cões de uma inequa¸cão exponencial baseiam-se nas equivalências:

– Para a >1 :ax _{> a}y _⇔_{x > y}_; – Para 0< a <1 :ax _{> a}y _⇔_{x < y}_.

• A fun¸c˜aoex _{(fun¸c˜ao exponencial de base}_{e) pode ser representada da seguinte forma:}

f(x) =ex_,_∀_x_∈_R_.

onde e_≈2,718281828459045235360287 ´e a chamada constante de N´eper.

Observa¸cão. O númeroe pode ser representado e calculado por meio da utiliza¸cão da série de Taylor para ex quandox= 1, como a soma da seguinte série infinita:

e=

∞

∑ n=0

1

n! = 1 0!+

1 1!+

1 2!+

1 3!+

1 4!+... Onde n! representa ofatorial de n.

n! =n.(n₋1).(n₋2)...2.1.

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Exerc´ıcio 0.7.

1. Resolva as seguintes equa¸c˜oes:

(a) 5x+1+ 5x+2 = 3750.

(b) 3r−4_{+ 3}r−3_{+ 3}r−2_{+ 3}r−1 _{= 40}_.

(c) 2 2k

32k + 1 =

13.2k−1 3k+1 . (d) 2t₋₂−t_{= 5(1}₋₂−t₎_.

2. (UEPA) Os testes realizados em laboratório quanto a eficiência de um antibiótico mos-tram que a quantidade de bactérias existente numa cultura diminui 20%, a cada 6 horas, em rela¸cão a quantidade existente anteriormente. Numa cultura onde existem inicialmente 16 milhões de bactérias, qual o tempo necessário para que o número de bactérias fique reduzido a 51,20% da quantidade inicial?

3. (UFF) Em um meio de cultura especial, a quantidade de bactérias, em bilhões, é dada pela fun¸cão Q definida, para t _≥ 0, por Q(t) = k.5kt_{, sendo} _t _{o tempo, em minuto,} e k uma constante. A quantidade de bactérias, cuja contagem inicia-se com o cálculo de Q(0), torna-se, no quarto minuto, igual a 25Q(0). Determine quantos bilhões de bactérias estão presentes nesse meio de cultura no oitavo minuto.

4. (Unipac-MG) A rela¸c˜ao P(t) = 32000.(1₋2−_0,1t

) descreve o crescimento de uma po-pula¸cão de P bactérias,t dias após o instante 0. Determine a condi¸cão necessária de t

para que P seja superior a 31000 bact´erias.

5. O decaimento radioativo do Iodo 131 (131I) ´e descrito pela fun¸c˜ao

P(t) =P0.2−bt,

em que P0 é a concentra¸cão inicial do elemento, t é o tempo transcorrido (em dias) desde que foi medida a concentra¸cão, e b é uma constante real positiva. Responda às perguntas abaixo, sabendo que a meia-vida do Iodo 131 é de 8 dias, ou seja, que a concentra¸cão desse isótopo em uma amostra cai pela metade em 8 dias.

(a) Em uma medi¸cão feita hoje, uma amostra de água contaminada apresentou 50 pCi/l de Iodo 131. Escreva a fun¸cão que fornece a concentra¸cão de131_I _{em fun¸cão} det, o tempo (em dias) contado a partir da data em que a concentra¸cão foi medida. (b) Trace o gráfico da concentra¸cão de Iodo 131 nessa amostra de água para um

per´ıodo de 40 dias, contados a partir de hoje.

(c) Com base em seu gráfico, determine aproximadamente daqui a quantos dias a água conterá uma concentra¸cão de 131I menor ou igual a 3 pCi/l, que é o limite recomendado para o consumo humano.

6. Em uma placa de Petri, uma cientista criou uma cultura de bactérias que contava inicialmente com 600 bactérias. Observando a cultura, a cientista notou que o número de bactérias crescia 50% a cada hora.

(a) Escreva a fun¸cão que fornece o número de bactérias em fun¸cão do tempo t, em horas, decorrido desde a cria¸cão da cultura.

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Defini¸cão 0.9. [Fun¸cão Logar´ıtmica]Chama-sefun¸cão logar´ıtmicapara a fun¸cão inversa dafun¸cão exponencial, definida por f :R∗

+→Rtal que:

f(x) =loga(x), coma_∈R∗

+ ea̸= 1. Observa¸c˜ao.

• Damos o nome de logaritmo ao número real obtido pela aplica¸cão da fun¸cão lo-gar´ıtmica a algum valor particular de x. O termo loga(b) é denominado logaritmo de b na base a.

loga(b) =x_⇔ax=b

• O gráfico de uma fun¸cão logaritmica é chamado de Curva Logar´ıtmica.

Figura 4: Fun¸c˜ao Logar´ıtmica: crescente (a >1) e decrescente (0< a <1)

• A resolu¸cão de uma equa¸cão logar´ıtmica baseia-se na equivalência:

loga(x) =loga(y)_⇔x=y

• As resolu¸cões de uma inequa¸cão logar´ıtmica baseiam-se nas equivalências: – Para a >1 :loga(x)> loga(y)_⇔x > y;

– Para 0< a <1 :loga(x)> loga(y)⇔x < y.

• Sejaa uma constante real tal que a >0 ea_̸= 1, e sejac uma constante real qualquer. Se x >0 e y >0, ent˜ao,

– Logaritmo do produto:

loga(xy) =loga(x) +loga(y).

– Logaritmo do quociente:

loga (

x y

)

=loga(x)−loga(y).

– Logaritmo da potˆencia:

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Exerc´ıcio 0.8.

1. Resolva as equa¸c˜oes:

(a) log3(x+2)−log1

3(x−6) =log3(2x−5).

(b) log5(x−2)−3 =log5(4x+ 3)−1.

(c) log2(3x) =log4(8x2+ 9).

(d) 2log4(6₋x) =log2(3x)₋log2(6).

2. A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina à produ¸cão de madeira, evolui, desde que é plantada, segundo o seguinte modelo matemático: h(t) = 1,5 +log3(t+ 1), com h(t) em metro e t em ano. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5m de altura, qual o tempo (em ano) transcorrido do momento da planta¸cão até o do corte?

3. Um produtor do interior do estado do Pará decidiu investir no plantio de uma nova vari-edade de banana, a BRS Conquista, em fun¸cão das vantagens apresentadas, entre elas, a resistência às doen¸cas como mal-do-panamá, sigatoka amarela e negra. No primeiro ano do plantio, esse produtor plantou x mudas de bananas. Em seu planejamento, o produtor previu que seu plantio dobraria a cada ano. Após quanto tempo o número de mudas passará a ser 20 vezes a quantidade inicial? (log2 = 0,3).

4. Considere que o número de bactérias de uma cultura, t minutos após o in´ıcio de uma observa¸cão, pode ser calculado pela expressãoN(t) = 900.30,01t_{. Assim sendo, decorrido} quanto tempo do in´ıcio da observa¸cão o número de bactérias será com certeza superior a 36.000 unidades?(Use: log2 = 0,30 e log3 =0,48).

5. Um piscicultor construiu uma represa para criar tra´ıras. Inicialmente, colocou 1000 tra´ıras na represa, e por um descuido, soltou 8 lambaris. Suponha-se que o aumento das popula¸cões de lambaris e tra´ıras ocorra, respectivamente, segundo as leis L(t) =L0.10t e T(t) = T0.2t, onde L0 é a popula¸cão inicial de lambaris, T0, a popula¸cão inicial de tra´ıras, e t, o número de anos que se conta a partir do ano inicial. Considerando-se

log2 = 0,3, o número de lambaris será igual ao de tra´ıras depois de quantos anos? 6. Uma colônia de microrganismos cresce de forma proporcional ao tamanho da popula¸cão.

Isso significa que a taxa de crescimento da colônia em um instantet é dada pork.P(t), em queP(t) é o número de microrganismos presentes no instantet, eké uma constante. A fun¸cão que possui essa propriedade é a exponencial. Assim sendo, P(t) pode ser escrita como

P(t) =P0.abt.

em que P0 e b são constantes reais. Suponha que uma colônia tenha, inicialmente, 20 microrganismos. Se a popula¸cão da colônia dobra a cada 1h15, determine

(a) uma fun¸cão na forma P(t) =P0.2bt que expresse o número de microrganismos da colônia no instante t, em horas;

(b) o número aproximado de microrganismos após 7 h; (c) o instante em que a colônia terá 2000 microrganismos.

7. A taxa de transporte de certa substância através de uma membrana está relacionada à concentra¸cão da substância no meio exterior pela fun¸cão

V(x) =a+b.log2(x)

(13)

Defini¸cão 0.10. [Fun¸cões Trigonométricas] As fun¸cões cos :R−→ R e sen :R−→ R, chamadasfun¸cão cosseno e fun¸cão seno respectivamente, são definidas pondo-se, para cada

t_∈R:

E(t) = (cos(t), sen(t))

Em outras palavras,x=cos(t) e y=sen(t) são respectivamente a abscissa e a ordenada do pontoE(t) da circunferência unitária abaixo:

Figura 5: Circunferˆencia trigonom´etrica.

Observa¸c˜ao.

• Utilizando o teorema de Pitágoras no triângulo OEE’, segue-se imediatamente desta defini¸cão que vale, para todot_∈R, arela¸cão fundamental

sen2(t) +cos2(t) = 1

• Utilizando a rela¸cão de semelhan¸ca nos triângulosOEE’ e OTA, tem-se a propor¸cão

T A sen(t) =

OA

cos(t) ⇒T A=

sen(t)

cos(t).

– Esta rela¸c˜ao ´e chamada detangente de t, sendo representada portg(t).

• UmaEqua¸cão Trigonométrica é aquela que envolve um número trigonometrico com arco desconhecido.

Resolu¸cão de uma Equa¸cão Trigonométrica.

– Equa¸c˜ao do tipo sen(t)= a, com ₋1_≤a_≤1.

Solu¸c˜ao Geral:

(14)

– Equa¸c˜ao do tipo cos(t)= a, com ₋1_≤a_≤1.

S =_{x_∈R/x=_±t+ 2kπ;k_∈Z}.

– Equa¸c˜ao do tipo tg(t)= a,_∀a_∈R.

S=_{x_∈R/x=t+kπ;k_∈Z}.

• O gráfico da fun¸cão seno é chamado desenóide e da fun¸cão cosseno decossenóide.

• A fun¸cão seno é uma fun¸cão ´ımpar, isto é, sen(t) = ₋sen(₋t),_∀t_∈R, enquanto que a fun¸cão cosseno é umafun¸cão par, ou seja, cos(t) =cos(₋t),_∀t_∈R.

• As curvas das fun¸cões seno e cosseno têm o mesmo formato, porém estão defasadas (deslocadas) π

(15)

Exerc´ıcio 0.9.

1. Resolva as equa¸c˜oes:

(a) 2cos2(x)₋2cos(2x)₋1 = 0, [0,2π]. (b) 2.sen(x).cos(x) +sen(x) = 0, [0,2π].

(c) 2.sen2(x) +cos(x)₋1 = 0, [0,2π]. (d) (tg(x)₋1).(2sen(x)₋1) = 0, [0,2π].

2. (UERGS) O pre¸co de produtos agr´ıcolas oscila de acordo com a safra de cada um: mais baixo no periodo da colheita, mais alto na entressafra. Suponha que o pre¸co aproximado P, em reais, do quilograma de tomates seja dado pela fun¸c˜ao

P(t) = 0,8.sen

[ 2π

360(t−101) ]

+ 2,7,

na qualt é o número de dias contados desde 1 de janeiro até 31 de dezembro de deter-minado ano. Para esse per´ıodo de tempo, calcule:

(a) O maior e o menor pre¸co do quilograma de tomates; (b) Os valores t para os quais o pre¸co P seja igual a R$3,10.

3. (Udesc) Um topógrafo em uma atividade de medi¸cão de superf´ıcie de terra chegou à equa¸cão 2sen2₍_x_{) + 5}_cos₍_x_{) = 4. O topógrafo solicitou ajuda a um zootecnista para} en-contrar poss´ıveis ângulosx. Supondo que você seja esse zootecnista, encontre o conjunto solu¸cão dessa equa¸cão.

4. (UFMT/Modificado) Em um determinado ciclo predador–presa, a popula¸c˜ao P(t) de um predador no instantet (em meses) tem como modelo

P(t) = 10.000 + 3.000sen

( 2πt

24 )

e a popula¸c˜aop(t) de sua fonte b´asica de alimento (sua presa) admite o modelo

p(t) = 15.000 + 5.000cos

( 2πt

24 )

O gr´afico a seguir representa ambos os modelos no mesmo sistema de eixos cartesianos.

Em rela¸cão ao ciclo predador – presa acima, determine para que valor det em meses, a popula¸cão de predadores é igual à de presas.

5. (UERJ) Uma popula¸c˜ao P de animais varia, aproximadamente, segundo a equa¸c˜ao

(16)

6. (UnB-DF/Modificado) Estudando-se o fluxo de água em um ponto do estuário de um rio, determinou-se que a água flui para o oceano na vazão v, em milhões de litros por hora, em fun¸cão do tempot, em horas, de acordo com a equa¸cão

v(t) =A+B.sen(wt),

em que A, B e w são constantes reais positivas, e t _≥ 0. A vazão na qual a água do rio flui para o oceano varia por causa das marés. Na maré baixa, a água flui mais rapidamente, com vazão máxima de 20 milhões de litros por hora, e na maré alta, ela flui mais lentamente, com vazão m´ınima de 4 milhões de litros por hora. Nessa região, o tempo entre duas marés altas é igual a 12 horas e 24minutos. Com base nessas informa¸cões, fa¸ca o que se pede.

(a) Calcule o valor do coeficienteA.

(b) Calcule o per´ıodo, em minutos, da fun¸c˜ao v(t).

(c) Determine o valor de t, em minutos, quando 10h _≤ t _≤ 22h, para o qual v(t) ´e m´axima.

7. Em um sistema predador-presa, o número de predadores e de presas tende a variar periodicamente com o tempo. Considere que, em determinada região, onde leões são os predadores e zebras são as presas, a popula¸cão de zebras tenha variado de acordo com a fun¸cão dada por: Z(t) = 850 + 400.sen(_πt

4 )

, sendo o tempot medido, em anos, a partir de janeiro de 2000 (t = 0) Pergunta-se:

(a) Qual era a popula¸c˜ao de zebras em janeiro de 2000?

(b) De acordo com a fun¸cão dada, qual é a popula¸cão máxima de zebras atingida nessa região?