EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E
TRANSCENDENTES
RAIZES
Necessidade de determinar um número ℰ tal que f()=0
Equações Algébricas de 1º,2º,algumas de 3º,4º graus e algumas transcendentes podem ter suas raízes computadas através de métodos analíticos.
Polinômio de grau superior a 4 e a maioria das equações transcendentes só podem ser resolvidas por métodos que aproximam a solução.
RAIZES
Para se calcular raízes duas etapas devem ser seguidas:
Isolar a raiz, achar um intervalo [a,b], menor possível que contenha somente uma raiz da equação f(x)=0;
ISOLAMENTO DE RAIZES
RAÍZES ÚNICAS
A raíz de uma função em um intervalo será única se a derivada f’(x)>0 ou f’(x)<0 para
COROLÁRIO
VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIO
VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIO
Para calcular
P(x
0)
, sendoP(x)
dado pelo primeiro membro do polinômio abaixo, é necessário fazern(n+1)/2
multiplicações en
adições.AVALIANDO
P(x) = 3x
+2x
-10x
+2x
-15x
-3x⁴+2x³-16x²+3x-5
no ponto 2, tem-se:P(2) = 3.2
+2.2
-10.2
+2.2
-15.2
-3.2
+2.2³-16.2²+3.2-5
=3.512+2.256-10.128+2.64-15.32-3.16+2.8-16.4+3.2-5
=321
Número de operações requeridas:
Multiplicações =9.(9+1)/2=45
DISPOSITIVO PRÁTICO DE BRIOT-RUFFINI
O dispositivo de Briot-Ruffini necessita apenas de n multiplicações e n adições para um polinômio de grau n, diferente do método de divisão de polinômio que necessita de n(n+1)/2 multiplicações e n adições.
an an-1 an-2 ... a1 a0 c cbn +cbn-1 ... cb2 +cb1
DISPOSITIVO PRÁTICO DE BRIOT-RUFFINI
Dado P(x) = x³-7x²+16x-10
P(2) = 2
P(-3)= -148
1
-7
16
-10
-3
-3
+30 -138
1
-10
46 -148
1
-7
16
-10
2
+2
-10
+12
DISPOSITIVO PRÁTICO DE BRIOT-RUFFINI
Dado P(x) = x³-7x²+16x-10
P(1) = 0
1
-7
16
-10
1
+1
-6
+10
ALGORITMO DE HORNER
Assim como o dispositivo de Briot-Ruffini, o algoritmo de
Horner necessita apenas de
n
multiplicações e
n
adições
para um polinômio de
grau n
, diferente do método de
divisão de polinômio que necessita de
n(n+1)/2
ALGORITMO DE HORNER
ALGORITMO DE HORNER EXEMPLO
P(x)=
Multiplicações = 9
ALGORITMO DE HORNER IMPLEMENTAÇÃO
Algoritmo de Horner
{ Objetivo: Avaliar um polinômio de grau n no ponto a }
Parâmetros de entrada n, c, a
{ grau, coeficientes e ponto a ser avaliado, onde c é tal que } { P(x)=c(1)xn+c(2)xn-1+...+c(n)x+c(n+1) }
Parâmetros de saída y { ordenada P(a) } y<-- c(1)
Para i<-- 2 até n+1 faça
y<-- y*a+c(i)
OS LIMITES DAS RAÍZES REAIS - TEOREMA DE LAGRANGE
(Teorema de Lagrange): Sejam an>0, a0≠0 e k(0 k n-1) o maior índice dos coeficientes negativos do polinômio P(x). Então o limite superior das raízes positivas de um Polinômio pode ser dado por:
Onde B é o máximo dos módulos dos coeficientes do polinômio ou B é o valor absoluto do maior coeficiente negativo em módulo.
DEFININDO OS OUTROS LIMITES DAS RAÍZES
Para determinar os limites superiores e inferiores das raízes positivas e negativas, são necessárias três equações auxiliares
P
1
(x) = x
n
P(1/x) = 0,
P
2
(x) = P(-x) = 0
ep
3
(x) = x
n
P(-1/x) = 0.
DEFININDO OS OUTROS LIMITES DAS RAÍZES
Desse modo teremos, P1(x) = cn xn(1/x-ᶠ
1)(1/x-ᶠ2)...(1/x-ᶠn),
P1(x) = cn (1-xᶠ1)(1-xᶠ2)...(1-xᶠn), cujas raízes são 1/ᶠ1, 1/ᶠ2, …,1/ᶠn. Similarmente,
P2(x) = cn (-x-ᶠ1)(-x-ᶠ2)...(-x-ᶠn), com raízes -ᶠ1, -ᶠ2, … , -ᶠn ,
e
P3(x) = cn xn(-1/x-ᶠ
1)(-1/x-ᶠ2)...(-1/x-ᶠn),
LIMITES INFERIORES E SUPERIORES
Se 1/ q L1 --> q 1/L1 => 1/L1 + L
Se -r L2 --> r -L2 e Se -1/ s L3 --> s -1/L3 => -L2 - -1/L3
1/L1 + L
Limites positivos
-L2 - -1/L3
NOMENCLATURA
k é o índice do primeiro coeficiente negativo n é o grau do polinômio
B é o valor absoluto do maior coeficiente negativo em módulo
Li é o limite superior das raízes positivas de Pi(x)=0 dado pelo teorema de Lagrange
EXEMPLO
NÚMERO DE RAÍZES REAIS
REGRA DE SINAIS DE DESCARTES
O número de raízes reais positivas n+ de P(x)=0 é igual ao número de
variações de sinais na sequência dos coeficientes ou é menor que este número por um inteiro par, sendo as raízes contadas de acordo com a sua multiplicidade e não sendo considerados os coeficientes nulos.
Corolário: Se P(x)=0 não possuir coeficientes nulos, então o número de raízes reais negativas n- (contando multiplicidades) é igual ao número de
permanências de sinais na sequência ou é menor que este número por um inteiro par.
EXEMPLO
EQUAÇÕES TRANSCENDENTES
Uma equação transcendente é uma equação que contém alguma
função que não é redutível a uma fração entre polinômios, e cuja
solução não pode ser expressa através de funções elementares.
De modo geral, uma equação transcendente não possui uma solução
exata expressa através de funções conhecidas, sendo necessário
recorrer ao cálculo numérico para obter uma solução.
EQUAÇÕES TRANSCENDENTES
As equações transcendentes mais comuns que aparecem são:
equações trigonométricas em que a incógnita aparece tanto como
argumento de uma função trigonométrica quanto independente.
equações logarítmicas com combinações do logaritmo e da incógnita.
Uma equação transcendente pode ter infinitas soluções.
[wikipedia]
EX: f(x)=sen(x) =0 -> infinitas raízes,
FORMA DE OBTER RAÍZES
O método gráfico é maneira mais simples para achar um intervalo que contenha uma única raíz.
Ele consistem em fazer um esboço da função no intervalo de interesse e identificar onde a função se anula.
CONDIÇÃO DE ERROS DE RAÍZES
Algoritmo Fornecer um intervalo [a,b], no qual a função f(x) troca de sinal, ou seja f(a).f(b)<0.
Apesar de a raíz não estar necessariamente isolada, pois f(a).f(b)<0 só nos diz que existe um número impar de raizes no intervalo, o algoritmo fornecerrá um intervalo de partida para o isolamento de uma raiz.
