Medidas Invariantes Absolutamente Contínuas para

(1)

Universidade Federal da Bahia Instituto de Matem´atica

Curso de Pós-graduação em Matemática Dissertação de Mestrado

Medidas Invariantes Absolutamente Cont´ınuas para

Transformac

¸˜

oes de Markov

Rolando Restany Gomes de Ara´ujo

Salvador — Bahia Marc¸o de 2006

(2)

Medidas Invariantes Absolutamente Cont´ınuas para

Transformac

¸˜

oes de Markov

Rolando Restany Gomes de Ara´ujo

Disserta¸cão apresentada ao colegiado do curso de Pós-Gradua¸cão em Ma-temática da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para obten¸cão do T´ıtulo de Mestre em Matemática.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro (Orientador)

Prof. Dr. Jos´e Ferreira Alves (Universidade do Porto – Portugal)

Prof. Dr. Alberto Adrego Pinto (Universidade do Porto – Portugal)

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Ara´ujo, R. R. G. “Medidas Invariantes Absolutamente Cont´ınuas para Transforma¸c˜oes de Markov”.

Orientador: Prof. Dr. Vilton Jeovan Pinheiro.

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao curso de Pós-gradua¸cão em Matemática da Universidade Federal da Bahia, 38 páginas, Salvador-Ba, 2006.

Palavras-Chave: Medidas Invariantes, Transforma¸c˜oes de Markov, Operador de Perron-Fr¨obenius.

(4)

Dedicado `a Fausta Maria da Concei¸c˜ao (in memorian) e Francisca de Assis Gomes.

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“Nenhum problema pode ser resolvido pelo mesmo estado de consciência que o criou. É preciso ir mais longe. Eu penso 99 vezes e nada descubro. Deixo de pensar, mergulho num grande silêncio e a verdade me é revelada!”

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Agradecimentos

Agrade¸co às duas pessoas diretamente responsáveis por mais esta vitória, minha mãe, Francisca de Assis Gomes e minha avó materna, Fausta Maria da Concei¸cão; que não mediram esfor¸cos nem sacrificios, durante toda minha vida para oferecer o que de melhor estava ao seu alcance e sem sombra de dúvidas, não teria chegado à conclusão deste curso se não fosse pelo ajuda, carinho, aten¸cão exclusiva e o amor delas. Agrade¸co aos meus familiares pelo apoio e ajuda durante todo esse per´ıodo.

Aos professores do Instituto de Matemática, pela aten¸cão e disponibilidade em atender, mesmo na resolu¸cão de pequenos problemas. Em especial, aos professores José Ferreira Alves (Faculdade de Ciências do Porto), que sempre se mostrou prestativo e atencioso na resolu¸cão de dúvidas e o Prof. Vilton Jeovan pela orienta¸cão, paciência e transmissão do conhecimento; que certamente é o bem mais precioso que pode ser dado à outra pessoa. A estes serei eternamente grato.

Aos amigos professores do munic´ıpio de Catu: Profa. Jeane Chiam, Profa. Anaci, Prof. Acimar, pelo incentivo e apoio, principalmente nos momentos de maior desânimo. Não poderia deixar de mencionar a Profa. Julieta Bezerra, que com extrema compreensão e carinho possibilitou minha dedica¸cão durante todo o per´ıodo do curso de mestrado, bem como a Profa. Giselda Fróes pela compreensão e apoio na reta final do curso.

Aos amigos do curso: Ab´ılio Souza, Adriano Cattai, Elisângela Farias, Rosane Funato, Gilclécio Dantas, Silvia Costa, Maur´ıcio Porto, Tailsom Jeffersom, os quais pelo objetivo comum que nos uniu, tem a sua parcela de contribui¸cão durante este per´ıodo de convivência.

Aos funcionários do Instituto de Matemática pela boa vontade e gentileza em atender. Aos demais amigos não citados.

(7)

Resumo

Neste trabalho estudaremos a dinâmica das transforma¸cões de Markov. Mostraremos que tais transforma¸cões admitem medidas invariantes que são absolutamente cont´ınuas com respeito à medida de Lebesgue. Verificaremos esse fato, via operador de Perron-Frobënius; pois seus pontos fixos são densidades de medidas invariantes. Veremos que sob a hipótese de controle forte de dis-tor¸cão, tais transforma¸cões exibem medidas invariantes absolutamente cont´ınuas, com densidades limitadas no espa¸co das fun¸cões lipschitz cont´ınuas. Em particular, mostraremos que para uma transforma¸cão markoviana expansora por partes, de classe C2_{, definida numa variedade compacta}

M, existe um conjunto finito de tais medidas, que provaremos ser erg´odicas e que Lebesgue quase

(8)

Abstract

In this work we study the dynamics of the transformations of Markov. We show that such transformations admit invariant measures that are absolutely continuous with respect to the measure of Lebesgue. We verify that fact, through operator of Perron-Frob¨enius; because such measures are their fixed points. We see that under the hypothesis of strong distortion control, such transformations exhibit invariant measures absolutely continuous with limited densities in the space of the functions continuous lipschitz. In particular, we show that for a C2 _piecewise

expanding markovian map, defined in a compact variety M, one exists finite set of such measures, that we prove to be ergodics and that Lebesgue almost whole point belongs the basin of one of those measured.

(9)

Sum´

ario

Resumo vii

Abstract viii

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 3

2 Dinˆamica do Operador de Perron-Fr¨obenius 10

2.1 Existˆencia da probabilidade . . . 10

2.2 Transforma¸c˜oes de Markov . . . 12

2.3 A¸c˜ao do Operador no espa¸co das fun¸c˜oes Lipschitz cont´ınuas . . . 16

2.4 Propriedades de Distor¸c˜ao e Ergocidade . . . 22

3 Teoremas A e B 25

Apˆendice 32

Bibliografia 36

(10)

Introdu¸c˜

ao

Os Sistemas Dinâmicos munidos de medidas invariantes é o principal objeto de estudo da Teoria Ergódica. Em termos simples um sistema dinâmico é qualquer sistema cujo compor-tamento se modifica com o tempo; na verdade o mundo à nossa volta pode ser visto como um sistema dinâmico complexo. Mesmo os sistemas ditos simples, podem apresentar um comporta-mento a longo prazo que apenas podem ser descritos de maneira probabil´ıstica, esses sistemas são denominados caóticos.

Nesse trabalho de disserta¸cão, provaremos a existência de probabilidades invariantes fi-sicamente relevantes para a dinâmica de uma transforma¸cão de Markov, a qual definiremos mais adiante.

Se um dado sistema apresenta infinitos pontos periódicos, ele também apresentará infinitas medidas invariantes, no entanto, desejamos encontrar medidas invariantes que sejam relevantes em termos de medida de lebesgue. Queremos que a probabilidade de encontrar algum iterado da transforma¸cão que reje o sistema em um conjunto mensurável seja não nula apenas quando a medida de lebesgue nesse conjunto mensurável também seja não nula. Para tal é suficiente que essas medidas invariantes sejam absolutamente cont´ınuas em rela¸cão à medida de lebesgue. Propriedades adicionais dessas medidas serão verificadas, como por exemplo ergodicidade, que nos diz num certo sentido que o sistema não pode ser decomposto em termos probabil´ısticos em mais de um sistema não trivial.

Dividimos essa disserta¸cão em três cap´ıtulos. No Cap´ıtulo 1, que chamamos de Prelimi-nares, apresentaremos algumas defini¸cões e resultados gerais da Teoria da Medida. Omitiremos as demosntra¸cões na maioria das vezes por se tratarem de resultados conhecidos, no entanto, citaremos a fonte utilizada e página, para os leitores que desejarem uma consulta mais detalhada.

No Cap´ıtulo 2, onde construiremos as condi¸c˜oes necess´arias para chegarmos ao resultado 1

(11)

principal do nosso trabalho, estudaremos a dinâmica do Operador de Perron-Frobenius, também conhecido como operador de transferência. Inicialmente, sem nos preocuparmos com o espa¸co de atua¸cão do operador, provaremos que os pontos fixos do operador são probabilidades invariantes absolutamente cont´ınuas à medida de lebesgue. Definiremos transforma¸cões de Markov e mostra-remos que para essas transforma¸cões, existem probabilidades invariantes absolutamente cont´ınuas limitadas no espa¸co das fun¸cões integráveis. Em seguida introduziremos o espa¸co das fun¸cões Lips-chitz cont´ınuas e estudaremos o comportamento do operador de Perron-Frobenius neste espa¸co. Um dos principais resultados desse cap´ıtulo é:

Lema(2.4) Seja (T, P) uma transforma¸c˜ao de Markov tal que para todo ~p ∈ eP com

inf {µ(T (~s)); ~s ∈ P} > 0; ent˜ao existe uma probabilidade T -invariante q absolutamente cont´ınua `a µ tal que dq

dµ ∈ L

∞_(µ).

Finalmente, no Cap´ıtulo 3, apresentaremos os resultados principais deste trabalho, no qual provaremos a existência de um conjunto finito de medidas invariantes absolutamente cont´ınuas e ergódicas para uma C2 _{transforma¸cão markoviana expansora por partes definida numa variedade}

compacta M, e que são limitadas no espa¸co das fun¸cões lipschitz cont´ınuas. Este resultado é obtido a partir da prova do Teorema A, abaixo publicado por Jon Aaronson, em An Introduction to Infinite

Ergodic Theory. Mathematical Surveys and Monographs 50, American Math. Society, 1997, 168.

Teorema A. Suponha que (T, P) uma transforma¸c˜ao de Markov; tal que para todo cilindro

~p ∈ eP tenham forte controle de distor¸c˜ao. Se #T (P) < ∞; ent˜ao existe uma densidade invariante

µ, absolutamente cont´ınua a medida de Lebesgue m, tal que log dµ

dm pertence ao espa¸co das fun¸c˜oes Lipschitz cont´ınuas (L).

Outro Teorema que demonstraremos ´e:

Teorema B. Se T : M → M ´e uma C2 _{aplica¸c˜ao markoviana expansora por partes, com}

um número limitado de imagens, então existe um conjunto finito de medidas invariantes absoluta-mente cont´ınuas à Lebesgue e ergódicas tal que m − q.t.p. pertence a bacia de uma dessas medidas. Ademais a densidade de cada uma dessas medidas com respeito a Lebesgue é uniformemente limi-tada por alguma constante.

Por último, no Apêndice, faremos um breve estudo dos shifts, onde exibiremos um resul-tado de menor importância, mas de alguma relevância para a obten¸cão do resulresul-tado principal do nosso trabalho.

(12)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

Nosso principal objetivo neste cap´ıtulo é estabelecer as nota¸cões necessárias à compreensão dos cap´ıtulos subseqüentes e apresentar defini¸cões e resultados que serão úteis para o entendimento da teoria que será desenvolvida no decorrer deste trabalho. Citaremos alguns teoremas de Análise Funcional e da Teoria da Medida. Por se tratarem de resultados conhecidos na literatura vigente omitiremos ou simplificaremos suas demonstra¸cões.

Admitimos que X é um espa¸co topológico e B denota a σ-álgebra de Borel. Seja µ uma aplica¸cão com dom´ınio B, µ : B → [0, +∞], satisfazendo as seguintes propriedades:

(i) µ(∅) = 0 (ii) µ( ∞ [ i=1 A_i) = ∞ X i=1 µ(A_i), com A0

is disjuntos dois a dois e Ai ∈ B ∀ i.

Dizemos que a aplica¸c˜ao µ acima ´e uma medida sobre os borelianos de X e chamamos a terna (X, B, µ) de espa¸co de medida. Quando µ(X)=1, dizemos que se trata de um espa¸co de

probabilidades.

Dizemos que T : X → X é uma transforma¸cão mensurável se T−1(A) ∈ B ∀A ∈ B. No caso em que µ(T−1_{(A)) = µ(A) ∀A ∈ B, dizemos que T preserva medida ou simplesmente que µ}

é T -invariante. A transforma¸cão mensurável T : X → X no espa¸co (X, B, µ) é dita não singular se µ(T−1_{(A)) = 0, ∀A ∈ B tal que µ(A) = 0. Note que toda transforma¸cão preservando medida é}

necessariamente n˜ao singular.

(13)

Preliminares

conjunto dos pontos onde a propriedade n˜ao ´e satisfeita tem medida nula.

A transforma¸cão não singular T : X → X é chamada q.t.p. invert´ıvel se T é invert´ıvel em algum Y ∈ B com µ(X \ Y ) = 0 e é dita q.t.p. localmente invert´ıvel se existem conjuntos mensuráveis disjuntos {Aj; j ≥ 1} tal que µ(X \

[

j≥1

Aj) = 0 e T ´e invert´ıvel em cada Aj, com

Aj ∈ B, ∀ j.

Um conjunto A ∈ B ´e dito T-invariante se temos T−1(A) = A.

Um espa¸co de medida (X, B, µ) ´e chamado finito se µ(X) < ∞. No caso em que existe uma seq¨uencia {A_k}_k>1, A_k∈ B, satisfazendo X =

∞

[

k=1

A_k e µ(A_k) < ∞ ∀ k; ent˜ao (X, B, µ) ´e dito

σ-finito.

Seja (X, B, µ) um espa¸co de medida, (X0_{, B}0_{) um espa¸co mensur´avel e T : X → X}0 _uma

aplica¸cão mensurável. A medida transportada de µ por T é a medida µ0 _{:= T}

∗µ : B0 → [0, +∞]

definida por:

µ0(A0) := µ(T−1(A0)), A0 ∈ B0.

Enunciaremos alguns Teoremas, dos quais faremos uso no decorrer do nosso trabalho:

1.1 Teorema (Mudan¸ca de Vari´aveis). Seja (X, B, µ) um espa¸co de medida, (X0_{, B}0_{) um espa¸co}

mensurável e T : X → X0 uma aplica¸cão mensurável. Considere ν = µT−1 a medida transportada de µ por T . Então g : X0_{→ R é ν-integrável se e somente se g ◦ T : X → R é µ-integrável e:}

Z X0 g dν = Z X g ◦ T dµ.

Prova. Ver demonstra¸c˜ao em [3], p´ag. 121.

¤

Sejam µ e ν duas medidas num espa¸co mensur´avel (X, B). Dizemos que ν ´e absolutamente

cont´ınua com respeito a µ se µ(A) = 0 implica ν(A) = 0, qualquer que seja A o conjunto mensur´avel.

Neste caso escrevemos ν ¿ µ. Caso tenhamos µ(A) = 0 se e somente se ν(A) = 0, dizemos que µ ´e equivalente a ν e escrevemos µ ∼ ν.

Chamamos suporte da medida µ o conjunto dos pontos tais que toda vizinhan¸ca tem medida positiva para µ e este ´e denotado por supp(µ) = {x; ∀ aberto V x, µ(V ) > 0}. Quando µ

(14)

Preliminares

´e invariante para T a bacia de µ a qual denotamos por B(µ) ´e o conjunto dos pontos tais que lim n→∞ 1 n n−1 X j=0 ϕ(Tj(x)) = Z ϕ dµ

para toda fun¸c˜ao cont´ınua ϕ : X → R. Note que a bacia sempre ´e um conjunto invariante.

Uma probabilidade invariante µ diz-se ergódica se todo subconjunto invariante por T , tem medida é 0 ou 1. Se µ é ergódica então B(µ) tem µ-medida total.

1.2 Teorema (Radon-Nikodym). Seja (X, B, µ) um espa¸co de medida σ-finita. Seja ν : B → R uma medida σ-finita absolutamente cont´ınua com respeito a µ. Então existe uma fun¸cão mensurável não negativa f : X → R tal que:

ν(A) =

Z

A

f dµ, ∀A ∈ β.

¤ A fun¸c˜ao f ∈ L1_{(µ) obtida no Teorema de Radon-Nikodym ´e chamada de derivada de}

Randon-Nikodym ou densidade da medida ν em rela¸c˜ao a medida µ e denotada por f = dν

dµ.

1.3 Lema (Fatou). Seja {f_n}∞

n=1 uma seqüencia de fun¸cões mensuráveis não negativas e f =

lim

n→∞fn q.t.p. sobre um conjunto mensur´avel E, ent˜ao:

Z E f dµ ≤ lim n→∞inf Z E fn dµ.

¤

1.4 Teorema (Convergência Dominada). Seja {fn}∞n=1uma seqüencia de fun¸cões mensuráveis

e | f_n |≤ g sobre um conjunto E, onde g é uma fun¸cão integrável sobre E. Se f = lim

n→∞fn q.t.p. em E ent˜ao: _Z E f dµ ≤ lim n→∞ Z E fn dµ.

¤

(15)

Preliminares

1.5 Teorema (Ascoli-Arzelá). Seja (X, d) um espa¸co métrico compacto. Seja F uma fam´ılia equicont´ınua de fun¸cões ψ : X → R. Isto é, para todo ² > 0 existe δ > 0 tal que se | x−y |< δ então | ψ(x) − ψ(y) |< ² para toda ψ ∈ F. Se F é uniformemente limitada; isto é, existe M > 0 tal que | ψ |< M para toda ψ ∈ F, então toda seqüencia {ψn} de elementos de F tem uma subseqüência

{ψnk} uniformemente convergente em X.

¤ Denotamos Lp_{(X, B, µ); 1 ≤ p < ∞ ou simplesmente L}p_{(µ) o espa¸co das fun¸c˜oes, tais que}

| f |p ´e integr´avel. Em Lp(µ) definimos a norma k · kp como:

k f kp= µZ X | f |p dµ ¶1 p

Definimos L∞_{(µ) o espa¸co das fun¸c˜oes tais que existe M > 0 tal que | f (x) |≤ M para}

q.t.p. x ∈ X, e escrevemos L∞_{(µ) = {f : X → R; ∃M > 0; µ({x; f (x) > M }) = 0. Em L}∞_(µ)

definimos a norma k · k_∞ como:

k f k_∞= inf {M > 0; µ({x; f (x) > M }) = 0}.

Uma parti¸cão P de um espa¸co de probabilidades (X, B, µ), que chamaremos de uma parti¸cão com respeito a medida µ, é uma fam´ılia de subconjuntos de B de medida não nula; tais que:

(i) Ai, Aj ∈ P, i 6= j ⇒ µ(Ai∩ Aj) = 0

(ii) µ(X \ [

Ai∈ P

Ai) = 0

Chamamos de densidade de probabilidade a uma fun¸c˜ao ρ ∈ L1(µ) tal que ρ ≥ 0 e k ρ k= 1, de fato observe que ρ induz uma medida de probabilidade νρ dada por

0 ≤ νρ(A) :=

Z

A

ρ dµ ≤ 1 ∀A ∈ B.

Dizemos que ν_ρ´e T -invariante se ν_ρ(T−1_{(A)) = ν}

ρ(A); ∀A ∈ B.

Seja (X, B, µ) um espa¸co de medida. Se T : X → X é uma transforma¸cão não singular, definimos o operador P : L1(µ) → L1(µ) por

Z

A

Pf dµ =

Z

(16)

Preliminares

Observe que o operador est´a bem definido, ou seja, se ν_f ´e a medida definida por ν_f := R

T−1_(A)f dµ, temos pela n˜ao singularidade de T que νf ¿ µ. Logo, pelo teorema de Randon-Nikodym existe uma ´unica g_f ∈ L1_{(µ), tal que ν}

f(A) :=

R

Agf dµ, ∀A ∈ B. Assim Pf ´e, por

defini¸c˜ao nossa gf dada pelo Teorema de Randon-Nikodym.

O operador P é chamado de Perron-Fröbenius correspondente para T . A importância deste operador para o estudo de medidas invariantes segue do fato que seus pontos fixos são densidades de medidas invariantes absolutamente cont´ınuas. Para verificarmos esta afirma¸cão, suponha que

h ∈ L1_{(µ) seja um ponto fixo de P, ou seja, Ph = h. Assim, definindo ν por ν(A) =} R

Ah dµ,

veremos que ν ¿ µ e, al´em disto

ν(T−1(A)) = Z T−1_(A)h dµ = Z A Ph dµ = Z A h dµ = ν(A).

Logo, ν ´e absolutamente cont´ınua e invariante.

1.6 Proposi¸cão. Seja P : L1(µ) → L1(µ) o operador de Perron-Fröbenius de uma transforma¸cão

T como dita anteriormente. Ent˜ao valem:

1. P ´e um operador linear,

2. P ´e positivo: f ≥ 0 ⇒ Pf ≥ 0, 3. P preserva a m´edia: Z X Pf dµ = Z X f dµ,

4. P ´e uma contra¸c˜ao fraca: k Pf k₁ ≤ k f k₁,

5. Se Tn =

n vezes

z }| {

T ◦ ... ◦ T e P é o operador de Perron-Fröbenius correspondente para T então Pn é o operador correspondente para Tn _e

Z A Pnf dµ = Z T−n_(A) f dµ. Prova.

1. Seja A ⊂ X um conjunto mensur´avel e sejam λ₁ e λ₂ constantes. Ent˜ao, se f₁, f₂ ∈

(17)

Preliminares L1_(µ), Z A P(λ1f1+ λ2f2)dµ = Z T−1_(A) (λ1f1+ λ2f2) dµ = λ1 Z T−1_(A) f1 dµ + λ2 Z T−1_(A) f2 dµ = λ1 Z A Pf1 dµ + λ2 Z A Pf2 dµ = Z A (λ1Pf1+ λ2Pf2)dµ. Logo, P(λ1f1+ λ2f2) = λ1Pf1+ λ2Pf2 ∀ f1, f2 ∈ L1(µ) e λ1, λ2 ∈ R.

2. Qualquer que seja A mensur´avel, tem-se Z A Pf dµ = Z T−1_(A) f dµ ≥ 0. Logo, se f ≥ 0, ent˜ao Pf ≥ 0.

3. O resultado decorre diretamente de Z X Pf dµ = Z T−1_(X)f dµ = Z X f dµ

4. Seja f ∈ L1_{(µ). Sejam f}+ _{= max(f, 0) e f}−_{= −min(0, f ). Ent˜ao, f}+ _{e f}− _{∈ L}1_(µ),

f = f+_{− f}− _{e |f | = f}+_{+ f}−_{. Como P ´e um operador linear, tem-se}

Pf = P(f+− f−) = P(f+) − P(f−). Consequentemente, |Pf | ≤ |P(f+)| + |P(f−)| = P(f+) + P(f−) = P|f | e k Pf k₁= Z X |Pf | dµ ≤ Z X P|f | dµ = Z X |f | dµ =k f k₁.

5. A prova segue por indu¸c˜ao em n. Para n = 1, ´obvio, admitindo que vale para n = k; para n = k + 1 obtemos Z A Pk+1f dµ = Z A Pk(Pf ) dµ = Z T−k_(A) Pf dµ = Z T−1_(T−k_(A)) f dµ = Z T−(k+1)_(A) f dµ. Logo, _Z A Pnf dµ = Z T−n_(A) f dµ. ¤

(18)

Preliminares

1.7 Corol´ario. P ´e cont´ınuo.

Prova. Segue da contra¸c˜ao fraca.

¤ Uma cole¸cão F ⊂ L1_{(µ) é chamada uniformemente integrável, se para todo ² > 0, existe}

M > 1 tal que, _Z

{|f |≥M }

| f | dµ ≤ ², ∀f ∈ F,

em que {| f |≥ M } = {x ∈ X, | f (x) |≥ M }. Uma cole¸cão F é uniformemente integrável, se e somente se, é fracamente pré-compacta em L1(µ), ou seja toda seqüência de fun¸cões em F possui subseq¨uência {fnk}k≥1 que convergente fracamente para alguma h ∈ L1(µ). Escrevemos fnk * h,

significando _Z A fnkdµ −→ Z A h dµ, ∀A ∈ B.

O préfixo pré é usado porque tomamos h ∈ L1_{(µ), ao invés de h ∈ F.}

(19)

Cap´ıtulo 2

Dinˆ

amica do Operador de

Perron-Fr¨

obenius

Neste cap´ıtulo, provaremos a existência de pontos fixos para o Operador de Perron-Fröbe-nius, quando T for uma Transforma¸cão de Markov. Ademais, analisaremos o comportamento do Operador de Perron-Fröbenius no espa¸co das fun¸cões Lipschitz cont´ınuas e concluiremos que existe um ponto fixo para o mesmo, sendo este uma densidade de uma medida T -invariante.

2.1 Existˆ

encia da probabilidade

Dada f ∈ L1

+(µ), vamos definir Anf por Anf := 1_n n−1

X

k=0

Pkf e provaremos nesta se¸c˜ao, a

existência de uma probabilidade T -invariante cuja densidade é o limite de uma subseq¨uência de

Anf .

2.1 Proposi¸cão. Seja T uma transforma¸cão não singular de (X, B, µ). Se existe f pertencente a L1_(µ)

+ tal que {Anf }n≥1 é uma fam´ılia uniformemente integrável, então existe uma probabilidade

T -invariante que ´e absolutamente cont´ınua a µ.

Prova. Segue da integrabilidade uniforme, que existe subsequˆencia {Ankf }k≥1 e uma h pertencente a L1_{(µ), tal que A}

nkf * h significando que Z A Ankf dµ −→ Z A h dµ := ν(A) ; ∀A ∈ B

(20)

Existˆencia da probabilidade

Por hip´otese, temos que lim nk→∞   1 nk nXk−1 j=0 Pjf   = h, ent˜ao, devido a continuidade do operador vale

Ph = lim nk→∞ P   1 nk nXk−1 j=0 Pjf   . Por outro lado,

P   1 n_k nXk−1 j=0 Pjf   = 1 n_k nXk−1 j=0 Pj+1f = 1 nk nXk−1 j=0 Pjf − 1 nkP 0_{f +} 1 nkP n_f

como as duas ´ultimas parcelas são limitadas, vão para zero quando nk→ ∞. Segue então que,

Ph = lim nk→∞ P   1 n_k n_Xk−1 j=0 Pjf   = lim nk→∞ 1 n_k n_Xk−1 j=0 Pjf = h e ent˜ao, _Z A Ph dµ = Z A h dµ = ν(A); ∀A ∈ B.

Como j´a foi observado ν, tendo a densidade como ponto fixo de P, ´e T -invariante.

¤ 2.2 Proposi¸cão. Seja T uma transforma¸cão não singular de (X, B, µ). Se existe M > 0 e 1 ≤ p ≤ ∞ tal que k Pn_{f k}

p≤ M ∀ n, ent˜ao existe uma probabilidade T -invariante ν absolutamente

cont´ınua `a µ tal que h = dν dµ ∈ L

p_(µ).

Prova. Segue da Proposi¸c˜ao (2.1) que para qualquer f ∈ Lp_(µ)

+temos Anf := _n1 n−1 X k=0 Pkf ∈ Lp(µ), de fato, k Anf kp = k _n1 n−1 X k=0 Pkf kp ≤ 1 n n−1 X k=0 k Pkf k_p ≤ 1 n n−1 X k=0 M

(21)

2.2. TRANSFORMAC¸ ˜OES DE MARKOV

a ´ultima desigualdade decorre de k Pn_{f k}

p ≤ M ∀ n.

Assim {Anf }n≥1 é uma fam´ılia uniformemente integrável e isto já prova a existência

da probabilidade T -invariante ν. Decorrente da integrabilidade uniforme, temos que existe uma subsequˆencia {Ankf }k≥1 satisfazendo Ankf * h; ent˜ao:

2.2 Transforma¸c˜

oes de Markov

Seja T uma transforma¸cão não singular localmente invert´ıvel e P uma parti¸cão enumerável de X. Nessas condi¸cões, dizemos que P é uma Parti¸cão de Markov para a transforma¸cão T se :

(i) T (A) ´e a reuni˜ao de elementos de P, ∀A ∈ P

(ii) T : A → T (A) ´e invert´ıvel, ∀A ∈ P

(iii) P gera B sob T , no sentido de que W∞_k=0T−k_{(P) = B, em que:} ∞ _ k=0 T−k(P) = ( ∞ \ k=0 T−kA_k, A_k ∈ P, ∀k )

Dada uma transforma¸cão T não singular localmente invert´ıvel e P uma parti¸cão de Markov; chamamos o par (T, P) de Transforma¸cão de Markov.

Chamamos Conjunto Cilindro e denotamos por ~p, o conjunto

~p = [p0, ..., pn−1] = n−1_\

i=0

T−ipi,

(22)

Transforma¸c˜oes de Markov

Consideraremos que µ(~p) > 0, ∀~p ∈ P. Chamamos de gn _{o ramo inverso de T}n_,

satisfa-zendo Tn_{◦ g}n_{(x) = x, ∀ x ∈ ~p. A fim de simplificar nossa nota¸c˜ao, denotaremos o ramo inverso de}

Tn _{restrito ao cilindro ~p por g} ~

p := gp0 ◦ ... ◦ gpn−1 = (Tn ¯ ¯

~

p)−1. Ademais; designaremos o dom´ınio

de g~p, que ´e Tn(~p), por Dom(g~p).

Vamos denotar eP := [

n∈N

Pn−1. Como (Tn¯¯_~_p) ´e uma bije¸c˜ao com sua imagem escreveremos o Jacobiano de (Tn¯¯

~

p) com respeito a µ por JµTn, ou seja,

µ(Tn(~p)) := Z

~ p

J_µTn dµ.

Diremos que uma Transforma¸cão de Markov (T, P) tem distor¸cão limitada em todo cilindro (ou controle fraco de distor¸cão), se existe C > 0, tal que

¯ ¯ ¯ ¯ Jµg~p(x) Jµg~p(y) − 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ C; ∀ x, y ∈ Dom(g~p), ∀~p ∈ eP

2.3 Lema (Lema da distor¸c˜ao). Sejam ~p = [p₀, ..., p_n−1] ∈ Pn−1 _{um cilindro e ~q ∈ e}_{P e}

suponhamos que (T, P) tem distor¸c˜ao limitada em todo cilindro, ent˜ao: µ(g_~_q∩ ~p)

µ(~p) ≤ C

2_·µ(~q ∩ T (pn−1))

µ(T (pn−1)) .

Prova. Temos que Tn_{(~p) = T (p}

(23)

Por outro lado, procedendo da mesma forma temos:

µ(g_~_q∩ ~p) = Z ~ q ∩ Tn_(~_p) Jµ g~p(x) dµ = Z ~ q ∩ T (pn−1) J_µg_~_p(x) dµ ≤ C · |Jµg~p(x)| · µ(~q ∩ T (pn−1)) < C2·µ(~p) · µ(~q ∩ T (pn−1)) µ(T (p_n−1)) e ent˜ao, temos o resultado desejado.

¤

2.4 Lema. Seja (T, P) uma Transforma¸cão de Markov com distor¸cão limitada em todo cilindro e inf {µ(T (~s)); ~s ∈ P} > 0; então existe uma probabilidade T -invariante ν absolutamente cont´ınua

`a µ tal que dν

dµ ∈ L

∞_(µ).

Prova. Segue do Lema (2.3) que ∀n ≥ 1, ~p = [p0, ..., pn−1] ∈ Pn−1 um cilindro e A um

conjunto mensur´avel, A ∈ B vale:

µ(T−n_{(A) ∩ ~p)}

µ(~p) ≤ C

2_·µ((A) ∩ T (pn−1))

µ(T (pn−1))

Seja Γ = {T (~s); ~s ∈ P} e suponhamos que µ(T (~s)) ≥ ² > 0; ∀ T (~s) ∈ Γ. Assim n´os temos,

µ(T−n(A)) = X ~r∈Pn µ(T−n_{(A) ∩ ~p)} µ(~p) · µ(~p) ≤ C2· X ~r∈Pn µ(A ∩ T (pn−1)) µ(T (p_n−1)) · µ(~p) ≤ C 2 ² · X ~r∈Pn µ(A ∩ T (pn−1)) · µ(~p) ≤ C2 ² · X ~r∈Pn µ(A) · µ(~p) ≤ C2 ² · µ(A)

(24)

Observamos que se g ∈ L1_(µ)

+e _µ(A)1

Z

A

g dµ ≤ M, ∀A ∈ B, isto implica que k g k∞≤ M .

Tomando agora a densidade f ≡ 1 e A ∈ B temos, Z A Pk1 dµ = Z T−n_(A)1 dµ = X ~r∈ Pn Z x∈(~r∩T−n_(A))1 dµ = X ~r∈ Pn Z x∈g~p(A∩T−n(~r)) 1 dµ = X ~r∈ Pn Z A Jµg~p(~r) dµ = X ~r∈ Pn µ(g_~_p(A ∩ Tn(~r))) = X ~r∈ Pn µ(~r ∩ T−n(A)) = µ(T−n(A)) ≤ C2 ² · µ(A) portanto, encontramos k Pn1 k∞≤ C2 ² ∀ n.

Assim, pela Proposi¸c˜ao (2.2) existe uma probabilidade T -invariante ν ¿ µ em X e nk →

∞ tal que dν dµ ∈ L ∞_{(µ) e} 1 nk nXk−1 j=0 Pj1 * dν dµ em L∞_{(µ), significando} Z A 1 nk nXk−1 j=0 Pj1 dµ −→ Z A dν dµ dµ ∀A ∈ B. ¤ 2.5 Lema. Seja (T, P) uma Transforma¸cão de Markov com distor¸cão limitada em todo cilindro e inf {µ(T (~s)); ~s ∈ P} > 0; então existe uma probabilidade T -invariante ν absolutamente cont´ınua

`a µ tal que inf

~ q∈ T (~s) µ dν dµ ¶ > 0.

Prova. Inicialmente, observemos que para ~p e ~q ∈ P temos, µ C2 ² ¶−1 ·µ(~p) µ(~q) ≤ µ(g_p_~(x)) µ(g~p(y)) ≤ µ C2 ² ¶ ·µ(~p) µ(~q),

(25)

2.3. AÇ ÃO DO OPERADOR NO ESPAÇ O DAS FUNÇ ÕES LIPSCHITZ CONTÍNUAS

de fato, observemos que

µ(g_~_p(x)) µ(g_~_p(y)) = R ~ pJµg~p dµ R ~ qJµg~q dµ .

Do Lema anterior e da h´ıp´otese de distor¸c˜ao limitada, podemos escrever logJµg~p Jµg~q ≤ ¯ ¯ ¯ ¯ Jµg~p(x) Jµg~q(y) − 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ C.

Ademais, pelo Lema da Distor¸c˜ao, encontramos R ~ pJµg~p dµ R ~ qJµg~q dµ ≤ C2 ² · Jµg~p(x)µ(~p) Jµg~q(y)µ(~q) Portanto, para A ∈ B µ C2 ² ¶₋₁ · µ(A) ≤ µ(T−n(A)) ≤ µ C2 ² ¶ · µ(A), assim; µ C2 ² ¶₋₁ ≤ 1 nk nXk−1 j=0 Pj1 ≤ µ C2 ² ¶ como 1 n_k nXk−1 j=0 Pj1 * dν dµ, temos ent˜ao µ C2 ² ¶₋₁ ≤ dν dµ ≤ µ C2 ² ¶ . ¤

2.3 A¸c˜

ao do Operador no espa¸co das fun¸c˜

oes Lipschitz cont´ınuas

Nesta se¸cão analisaremos o comportamento do Operador de Perron-Fröbenius no espa¸co das fun¸cões Lipschitz cont´ınuas, que definiremos adiante e para tal faremos uso de alguns lemas auxiliares, que fornecerão subs´ıdios para podermos concluir que existe algum ponto fixo do Operador nesse mesmo espa¸co.

Dada uma parti¸cão mensurável P de um espa¸co de medida (X, B, µ) e uma aplica¸cão mensurável T : X → X definiremos uma métrica associada a P e T como segue. Seja 0 < β < 1 fixado, introduziremos a métrica d_βem X dada por d_β = βs(x,y)_{, onde s(x, y) é o tempo de separa¸cão}

(26)

A¸c˜ao do Operador no espa¸co das fun¸c˜oes Lipschitz cont´ınuas

de x e y, definido a seguir. Se x e y estão em elementos distintos de uma parti¸cão P de X então

s(x, y) = 0. Se x e y estão num mesmo elemento da parti¸cão então s(x, y) é o maior inteiro n ≥ 0

tal que Tk_{x e T}k_{y est˜ao no mesmo elemento da parti¸c˜ao para k = 0, ..., n.}

Aqui trabalharemos com o conceito de fun¸cão Lipschitz cont´ınua com respeito aos elemen-tos da parti¸cão P de X. Assim no nosso contexto, dizemos que uma fun¸cão f : X → R é Lipschitz

cont´ınua em A ⊂ X se:

DAf := sup x6=y∈A

| f (x) − f (y) | d_β(x, y) < ∞

e Lipschitz cont´ınua em x ∈ X se é Lipschitz cont´ınua em alguma vizinhan¸ca de x. Uma fun¸cão é

localmente Lipschitz cont´ınua em A ⊂ X se ´e Lipschitz cont´ınua em cada ponto de A. Dada uma

fun¸cão f : X → R, dizemos que f é P-Lipschitz cont´ınua por partes em X, se é Lipschitz cont´ınua em cada A ∈ P e DPf := sup

A∈P

DAf < ∞. Note que qualquer fun¸c˜ao limitada P-Lipschitz cont´ınua

por partes ´e Lipschitz cont´ınua em X. Seja P0 _{uma parti¸c˜ao definida como segue P}0 _{:= {X\T (X) ∪}

parti¸cão de T (X) gerada por T (P)}, a cole¸cão das fun¸cões P0-Lipschitz cont´ınua por partes em X é denotada por L e equipada com a norma:

k f kL:=k f k1+DXf.

Por simplicidade nos referiremos ao espa¸co L, como o espa¸co das fun¸c˜oes Lipschitz cont´ınuas. No nosso contexto o Teorema (1.5) acima ser´a enunciado da seguinte forma:

2.6 Teorema. Se {fn}∞n=1 é uma sequência de fun¸cões Lipschitz cont´ınuas e sup

n≥1 k fn kL < ∞,

então existe uma subsequência {fnk}∞k=1 e uma fun¸cão g lipschitz cont´ınua tal que

fnk(x) → g(x), quando k → ∞ ∀x ∈ X,

k g kL ≤ lim_n→∞inf k fnkL

e

k f_n_k − g k₁→ 0, quando k → ∞.

Prova. Tomemos uma sequˆencia {fn}∞n=1 em L (espa¸co das fun¸c˜oes lipschitz cont´ınuas).

Por hip´otese k fnkL≤ K; n ≥ 1 e K > 0. Podemos tomar | fn(x) | ≤ 2K, x ∈ X, n ≥ 1 e sabemos

que | fn(x) − fn(y) | ≤ K · dβ(x, y); ∀x, y ∈ X; n ≥ 1.

(27)

Seja Γ ⊂ X um subconjunto enumerável denso; logo existe uma subsequência {fnk} tal que (fnk(x))k≥1 é uma sequência de Cauchy ∀x ∈ Γ. De fato (fnk(x))k≥1 é uma sequência de

Cauchy ∀x ∈ X e ent˜ao existe g ∈ L, g : X → R tal que lim

k→∞fnk(x) = g(x) ∀x ∈ X. E decorrente

do Lema de Fatou, temos que

k g k1≤ lim

k→∞inf k fnk k1 .

Seja P0_{uma parti¸c˜ao definida como anteriormente; tomemos um elemento qualquer B ∈ P}0_,

ent˜ao para x, y ∈ B, com x 6= y

DP0g = | g(x) − g(y) | dβ(x, y) ← | fnk(x) − fnk(y) | dβ(x, y) ≤ DP 0f_n_k portanto DP0g ≤ lim

k→∞ inf DP0fnk e isto ´e suficiente para mostrar que g ∈ L.

Por outro lado,

k g kL = k g k1 +DP0g

≤ lim

k→∞inf k fnk k1+ limk→∞ inf DP0fnk

e portanto,

k g kL ≤ lim

k→∞inf k fnk kL.

Por ´ultimo, como | fnk(x) | ≤ g(x); ∀x ∈ X, pelo Teorema da Convergˆencia Dominada

k g k1≤ lim

k→∞k fnk k1 e ent˜ao temos k fnk− g k1−→ 0, quando k → ∞.

¤ A fim de simplificar a nota¸c˜ao escreveremos d(x, y) = dβ(x, y) para representar a m´etrica

d_β(x, y) = βs(x,y)_{, onde 0 < β < 1 fixado e s(x, y) ´e o tempo de separa¸c˜ao de x e y.}

Considerare-mos que as transforma¸c˜oes de Markov trabalhadas nesta se¸c˜ao satisfazem inf{µ(T (~p)); ~p ∈ P} > 0, ∀ ~p ∈ P.

2.7 Lema. Seja ~p um cilindro e h : ~p −→ R tal que h é uma fun¸cão Lipschitz cont´ınua e g_~_p é o ramo inverso de (Tn¯¯

~

p), ent˜ao para 0 < β < 1 fixado e x, y ∈ Dom(g~p) vale:

|h(g_p_~(x))| ≤ 1 µ(~p) Z ~ p |h(x)| dµ + βn· D_~_ph

(28)

desem-penhará papel importante na próxima se¸cão. Em que Ωβ := ½ ~p ∈ eP; ¯ ¯ ¯ ¯ J_µg_~_p(x) Jµgp~(y) − 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ Cdβ(x, y); ∀(x, y) ∈ ~p ∈ Dom(g~p) ¾ com C ∈ R+.

2.8 Lema. Suponha h uma fun¸c˜ao Lipschitz cont´ınua e ~p = [p0, ..., pn−1] ∈ Pn−1 um cilindro.

Ent˜ao para x, y ∈ ~p ∈ Ω_β temos:

|Jµg~p(x) · h(gp~(x)) − Jµg~p(y) · h(g~p(y))| ≤ M00· d(x, y) · µ M Z ~ p |h| dµ + (M + 1)µ(~p)βnD_~_ph ¶

Prova. Inicialmente, da desigualdade triangular obtemos

Analisando os fatores da parcela (I), observamos que:

(i) Jµg~p(x) ≤ M00· µ(~p), ∀x ∈ ~p, decorre diretamente do Lema da Distor¸c˜ao

(ii) |h(g_~_p(x))| ≤ 1 µ(~p) Z ~ p |h(x)| dµ + βn· D_p_~h; pelo Lema (2.7) (iii) ¯ ¯ ¯ ¯ J_µg_p_~(x) Jµg~p(y) − 1 ¯ ¯ ¯

¯ ≤ M · d(x, y); pois por hip´otese ∀~p ∈P; temos que ~p ∈ Ωe β

(29)

A¸c˜ao do Operador no espa¸co das fun¸c˜oes Lipschitz cont´ınuas e, portanto, (I) ≤ M00· µ(~p) · M · d(x, y) · µ 1 µ(~p) Z ~ p |h| dµ + Dp~h · βn ¶ ≤ M · d(x, y) · µZ ~ p |h| dµ + µ(~p) · D~ph · βn ¶

Analisando a parcela (II), basta verificarmos que

|h(g_~_p(x)) − h(g_~_p(y))| ≤ d(g_p_~(x), g_~_p(y)) · D_~_ph ≤ d(x, y) · βn· D_~_ph

e, portanto,

(II) ≤ M00· µ(~p) · d(x, y) · βn· D_~_ph

Assim, podemos concluir que (I) + (II) ≤ M00· M · d(x, y) · µZ ~ p |h| dµ + µ(~p) · D_~_ph · βn ¶ + M00· µ(~p) · d(x, y) · D_~_ph · βn ≤ M00· d(x, y) · µ M Z ~ p |h| dµ + (M + 1) · µ(~p) · D_~_ph · βn ¶

chegando ent˜ao ao resultado desejado.

¤

A próxima Proposi¸cão estabelece um estimativa para o Operador de Perron-Fröbenius no espa¸co das fun¸cões Lipschitz cont´ınuas.

2.9 Proposi¸cão. Seja h uma fun¸cão Lipschitz cont´ınua e P o Operador de Perron-Fröbenius para T , então vale:

k Pn h k ≤ M00· (D_P0h · βn + k h k₁)

Prova. Inicialmente, podemos deduzir uma representa¸cão do Operador de Perron-Fröbe-nius que será útil na demostra¸cão desta proposi¸cão.

Sabemos que T ´e invert´ıvel em cada ~p ∈ Pn−1_{, T}−1 _{: T (~p) → ~p e g} ~

p ramo inverso de Tn,

restrito a ~p; que estamos denotando por g_~_p, e que satisfaz Tn_{◦ g} ~ p(x) = x ∀x ∈ ~p, dessa forma podemos escrever T−n(X) = [ ~ p∈Pn−1 ~p = [ ~ p∈Pn−1 Im(g_~_p)

(30)

agora, pela defini¸c˜ao do operador Z X Pn h dµ = Z T−n_(X)h dµ = Z [ ~ p∈Pn−1 Im(gp~) h dµ = X ~ p∈Pn−1 Z Im(g~p) h dµ = X ~ p∈Pn−1 Z Dom(gp~) Jµg~p· h ◦ g~p dµ e, portanto, temos Pn h = X ~ p∈Pn−1 Jµg~p· h ◦ gp~.

Segue ent˜ao que para x ∈ Dom(g_~_p)

|Pnh(x)| ≤ X ~ p∈Pn−1 µ 1 µ(~p) Z ~ p |h(x)| dµ + D~ph · βn ¶ · M00· µ(~p) ≤ M00· X ~ p∈Pn−1 µ(~p) · µ 1 µ(~p) Z ~ p |h(x)| dµ + D_P0h · βn ¶ , pois D_~_ph ≤ D_P0h ≤ M00· (k h k1 + DP0h · βn)

Por ´ultimo, para h uma fun¸c˜ao Lipschitz cont´ınua e x, y ∈ ~q ∈ P0_{, temos}

|Pnh(x) − Pnh(y)| ≤ X ~ q∈Pn−1 |Jµg~q(x) · h(g~q(x)) − Jµg~q(y) · h(g~q(y))| = M00· d(x, y) · X ~ q∈Pn−1 µ M Z ~ q |h| dµ + (M + 1) · µ(~q) · βn· D_~_qh ¶ , pelo Lema(2 .8 ) ≤ M00· d(x, y) · (M k h k1 + (M + 1) · DP0h · βn) ; ou seja, |Pn_{h(x) − P}n_h(y)| d(x, y) ≤ M,

em que basta tomarmos

M = M00· (M · k h k1 + (M + 1) · DP0h · βn) .

Dessa forma, segue por defini¸cão que D_P0Pnh < M , sendo então o próprio Operador P Lipschitz cont´ınuo.

¤

(31)

2.4. PROPRIEDADES DE DISTORC¸ ˜AO E ERGOCIDADE

2.4 Propriedades de Distor¸c˜

ao e Ergocidade

Um subconjunto aberto mensurável W ⊂ X, tal que W (T ) = {x; ∀ aberto U 3 x, ∃n > 0 com Tn_{(U ) ∩ U 6= ∅} é chamado conjunto errante para T uma transforma¸cão não singular.}

Deno-tamos por W(T ) a cole¸cão dos conjuntos errantes. Dessa forma chamamos a parte Dissipativa da transforma¸cão T e denotamos por D(T ) =S(W(T )) a união mensurável das cole¸cões de conjuntos errantes para T . Dessa forma, a transforma¸cão T é chamada totalmente dissipativa se D(T ) = X mod µ.

O conjunto C(T ) := X\D(T ) é chamado parte Conservativa de T . A transforma¸cão não singular T é chamada Conservativa se C(T ) = X mod µ.

Se podemos particionar o dom´ınio X da forma {C(T ), D(T )}, então dizemos que T possui uma decomposi¸cão de Hopf. (Ver em [1], pág. 15)

Seja o conjunto Ωβ := ½ ~p ∈ eP; ¯ ¯ ¯ ¯JµT n_(x) JµTn(y) − 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ Cdβ(Tn(x), Tn(y)); ∀(x, y) ∈ ~p ∈ Pn−1 ¾

em que C ∈ R+. N´os dizemos que uma transforma¸c˜ao de Markov (T, P) possui controle forte de

distor¸cão se existe C > 1 tal que para todo ~p ∈ eP, ~p ∈ Ωβ. Observe que por questão de conveniência

estamos reescrevendo o conjunto Ωβ, definido anteriormente, mas s˜ao de fato os mesmos.

Seja (T, P) uma Transforma¸cão de Markov e C > 0. Uma cole¸cão Θ ⊂ eP é chamada

Cole¸cão Schweiger para T se todos os elementos da cole¸cão possuem distor¸cão limitada para algum C > 0, e

[

B∈Θ

B = X mod µ.

Uma Transforma¸cão de Markov (T, P) possui controle fraco de distor¸cão se existe uma Cole¸cão Schweiger para T .

2.10 Lema. Suponha que (T, P) é uma Transforma¸cão de Markov com controle fraco de distor¸cão e Θ é uma Cole¸cão Schweiger para T . Se A ∈ Θ; então

∞ X n=1 µ(T−n(A)) = ∞ ⇒ A ⊂ C mod µ e ∞ X n=1 µ(T−n(A)) < ∞ ⇒ A ⊂ X\C mod µ

(32)

Propriedades de Distor¸c˜ao e Ergocidade

em particular C e D s˜ao ambos uni˜oes de conjuntos em Θ.

Prova. Da segunda implica¸c˜ao temos que dado um ponto x ∈ A, x volta a A finitas vezes, n˜ao retornando a partir de um certo n ≥ n0 fixado, ou seja, A ⊂ D = X\C. Para a primeira

implica¸c˜ao suponhamos que µ(A\C) > 0 ent˜ao ∃B ∈ B ∩ A := {B ∈ B; B ⊂ A}, µ(B) > 0 tal que

∞

X

n=1

µ(T−n(B)) < ∞ portanto, pelo Lema (2.4)

∞

X

n=1

µ(T−n(A)) < ∞

¤ Ao estudarmos a dinâmica de certas transforma¸cões a longo prazo, desejamos saber onde os pontos do espa¸co são levados por iterados futuros da transforma¸cão que reje o sistema, assim definimos o ω − limite de um ponto x ∈ X, como sendo o conjunto dos pontos y ∈ X, tais que para toda vizinhan¸ca V de y a rela¸cão Tn_{(x) ∈ V , n > 0 é satisfeita para infinitos valores de n.}

Dizemos também que uma transforma¸cão cont´ınua T de um espa¸co topológico X é

tran-sitiva se existe x ∈ X tal que ω_T(x) = X. A transforma¸cão T é dita topologicamente transitiva se para todo par de conjuntos abertos, não vazios U, V ⊂ X existe n ≥ 1 tal que Tn_{(U ) ∩ V 6= ∅.}

Lembremos que T ´e dita erg´odica, se para todo A ∈ B, invariante (T−1_{(A) = A mod µ),}

implica µ(A) = 0 ou µ(Ac_{) = 0}

2.11 Lema. Seja T uma transforma¸cão não singular localmente invert´ıvel e X um conjunto T -invariante, se existe φ invert´ıvel tal que φ conjuga (T, X) e (σ, Σ), onde σ é shift e Σ é invariante por σ; então (T, X) é topologicamente transitivo.

Prova. Este Lema é um corolário da Proposi¸cão A.5. (Ver Apêndice)

¤

2.12 Lema. Suponha que T é topologicamente transitivo com controle fraco de distor¸cão, então T é conservativo ou totalmente dissipativo. Se T é conservativo então T é ergódico.

Prova. Assumamos que

[

B∈Θ

B = Xmod µ;

(33)

Propriedades de Distor¸c˜ao e Ergocidade

da´ı pelo Lema (2.10) temos

C = [

B⊂Θ∩C

B mod µ.

Assim, segue pela irredutibilidade que T é conservativo ou totalmente dissipativo. Supo-nha que T é conservativo. Já que Θ gera B; segue pelo Lema de Distor¸cão que

µ(T−n_{(A) ∩ ~p)}

µ(~p) ≤ C

2_·µ(A) ∩ T (pn−1))

µ(T (pn−1)) ∀n ∈ N; ~p ∈ (P

n−1_{∩ Θ); A ∈ B.}

Agora, suponha que T−1_{(A) = A e µ(A) > 0, ent˜ao para A ∈ B,}

µ(A ∩ ~p) µ(~p) ≤ C

2_·µ(A) ∩ T (pn−1))

µ(T (p_n−1)) ∀n ∈ N; ~p ∈ (P

n−1_{∩ Θ).}

Para µ-q.t.p. x ∈ X, temos que,

µ(A ∩ ~p) µ(~p) =

µ(A ∩ [po(x), ..., pn−1(x)])

µ(T (pn−1))

−→ χ_A(x) quando n → ∞ em qur para n ≥ 1, pn−1(x) ´e definido por Tn(x) ∈ pn−1(x) ∈ P.

Por conservatividade de T , se ~p = [po, ..., pn−1] ∈ Θ ent˜ao para µ-q.t.p. x ∈ ~p, Tkx ∈ ~p

para infinitos k0_{s, portanto,}

χA(x) · _{µ(A ∩ T (p}µ(T (pn−1)) n−1)) ≤ C 2_. E segue que, A = [ B∈Θ, µ(A∩B)>0 B mod µ.

J´a que µ(A) > 0, ∃ B ∈ Θ tal que B ⊂ A; por irredutibilidade se B0 _{∈ Θ, ent˜ao ∃k ≥ 0}

tal que µ(B ∩ T−k_B0_{) > 0, portanto B}0 _{⊂ A. Assim A = Xmod µ, logo µ(A}c_{) = 0 e concluimos}

que T ´e ergodico.

(34)

Cap´ıtulo 3

Teoremas A e B

Neste cap´ıtulo demonstraremos os dois Teoremas Principais deste trabalho, provaremos que uma C2_{–Transforma¸c˜ao Markoviana Expansora por Partes possui uma medida invariante µ}

que é absolutamente cont´ınua com respeito à medida de Lebesgue m, isto é µ = hm, onde h é densidade acotada longe do zero e portanto log h também é limitado. De fato, mostraremos que

h pertence ao espa¸co das fun¸c˜oes P0_{-Lipischitz cont´ınuas por partes. Esta condi¸c˜ao implica que a}

medida µ ´e equivalente `a de Lebesgue no sentido de que possuem os mesmos conjuntos de medida Lebesgue zero.

Lembramos que dado um cilindro ~p = [p0, ..., pn−1] ∈ Pn−1⊂ eP, denotamos o ramo inverso

de Tn _{restrito ao cilindro ~p, por g} ~

p := gp0 ◦ ... ◦ gpn−1 = (Tn ¯ ¯

~

p)−1. Ademais, n´os dizemos que uma

transforma¸c˜ao de Markov (T, P) possui controle forte de distor¸c˜ao se existe C > 1 tal que para todo ~p ∈ eP, ~p ∈ Ω_β. Onde Ω_β := ½ ~p ∈ eP; ¯ ¯ ¯ ¯JµT n_(x) JµTn(y) − 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ C · dβ(Tn(x), Tn(y)); ∀ (x, y) ∈ ~p ∈ Pn−1 ¾ com C ∈ R₊.

Teorema A. Suponha que (T, P) uma transforma¸c˜ao de Markov; tal que para todo cilindro ~p ∈ eP

tenham forte controle de distor¸c˜ao. Se #T (P) < ∞; ent˜ao existe uma densidade invariante µ, absolutamente cont´ınua a medida de Lebesgue m, tal que log dµ

dm pertence ao espa¸co das fun¸c˜oes Lipschitz cont´ınuas (L).

(35)

Teoremas A e B

Prova. Sabemos que (T, X) e (σ, Σ) são conjugados, então pelo Lema (2.11) nos podemos assumir que (T, P) é topologicamente transitivo. Pela Proposi¸cão (2.2) e Lema (2.4) existe h : X → R, tal que Ph = h. Pelo Lema (2.5) conclu´ımos que log h ∈ L∞_{(µ); e isto é suficiente para mostrar}

que h ∈ L. Pela ergodicidade de T , nos temos que 1 n n−1 X k=0 Pk1 −→ h = dµ dm em L 1_{(µ) quando n → ∞.}

Pela Proposi¸c˜ao (2.8); existe q ≥ 1, 0 < β < 1 e M > 0 tal que

k Pqf kL ≤ M · DP0f · βn+ M k f k₁

≤ θ k f kL+ M k f k1 ∀ f ∈ L e 0 < θ < 1.

Agora, iterando n´os temos

k Pqnf kL = k Pq(Pq...qf ) kL ≤ θ k Pq...qf kL+M k Pq...qf k1 ≤ θ(θn−1 k f kL+(θn−2+ ... + 1)M k f k1) + M k f k1 = θnk f kL+(θn−1+ ... + θ)M k f k1+M k f k1 = θnk f kL+(θn−1+ ... + θ + 1)M k f k1 tomando M0 ₌ ∞ X n=0 θn· M , obtemos: k Pqnf kL≤ θnk f kL+M0k f k1< ∞; ∀ f ∈ L; n ≥ 1 e 0 < θ < 1. Considere An1 := _n1 n−1 X k=0

Pk1. N´os mostramos que sup

n≥1k P k_{1 k}

L < ∞; de fato lembremos

que k Pk1 kL=k Pk1 k1 +DXPk1. Pelo Lema(2.4), k Pk1 k1 ≤

C2

² · µ(A); A ∈ B e pela Proposi¸c˜ao (2.9), para g uma fun¸c˜ao Lipschitz cont´ınua vale D_P0Pkg < M , assim D_XPk1 < ∞.

Considerando An1 := _n1 n−1 X k=0 Pk1 para k ≥ 1, temos k An1 kL= ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 n n−1 X k=0 Pk1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ L ≤ 1 n n−1_X k=0 k Pk1 kL

(36)

Teoremas A e B

reescrevendo k = a · q + b, em que a ≥ 0 e 0 ≤ b < q obtemos

k An1 kL ≤ _n1 n−1 X k=0 k Paq+b1 kL ≤ 1 n n−1 X k=0 k Paq(Pb1) kL

≤ θak Pb1 kL+M0k Pb1 k1< ∞, conforme exposto acima.

Por ´ultimo, reca´ımos nas hipóteses dadas pelo Teorema de Ascoli-Arzelá, (Teorema 2.6) e por-tanto, An1 possui subsequência convergente em L1(µ) cujo limite é h, fun¸cão lipschitz cont´ınua.

Portanto, µ = hm ´e uma medida finita T -invariante absolutamente cont´ınua, com log h limitado. ¤

Seja T uma transforma¸cão definida num subconjunto X ⊂ M, em que M é uma variedade compacta e X possui medida Lebesgue total. Dizemos que T é uma Transforma¸cão Markoviana

Expansora por Partes se existir uma parti¸c˜ao enumer´avel P, com respeito a medida de lebesgue, do

dom´ınio X e conjuntos cilindros tais que:

(i) k (DT (x))−1 _k−1_{≥ λ > 1 ∀ x ∈ ~p ∈ P,}

(ii) log ¯ ¯ ¯

¯det DT (x)_{det DT (y)} ¯ ¯ ¯

¯ ≤ C · d(x, y); ∀ x, y ∈ ~p, ∀ ~p ∈ P, (iii) Para cada p_k∈ P; T¯¯_p

k ´e um difeomorfismo C

2 _{com uma extens˜ao ainda C}2 _{a p}

k.

Dizemos que um conjunto A ⊂ M ´e positivamente invariante para T , se T (A) = A. Um conjunto invariante (T−1_{(A) = A) ´e em particular um conjunto positivamente invariante.}

Para provar o pr´oximo Teorema, necessitaremos do seguinte Lema:

3.1 Lema. Se A ⊂ M é um conjunto positivamente invariante, então existe uma bola B de raio δ/4 tal que m(B\A) = 0. Em particular, sendo a medida de M finita, teremos somente um número finito de conjuntos invariantes distintos.

Prova. ´E suficiente mostrarmos que existe uma bola de raio δ/4, onde a medida relativa de A está próxima de 1. Seja k > 0 um número pequeno. Sejam Ac um compacto contido em A e

Av uma vizinhan¸ca de Actal que m(A\Ac) e m(Av\Ac) sejam ambos menores que k · m(A). Para

x ∈ Ac seja Vn(x) a vizinhan¸ca de x; ademais Vn(x) ´e enviada com distor¸c˜ao limitada por Tn na

(37)

Teoremas A e B

bola de raio δ em torno de Tn_{(x). Podemos escolher n sufiucientemente grande de a que para todo}

x ∈ Ac se tenha Vn(x) ⊂ Av. Seja Un(x) ⊂ Vn(x) a pr´e imagem por Tn de Bδ/4(Tn(x)). Sejam

x1, ..., xN ∈ Ac tais que Un(x1), ..., Un(xN) cubram Ac.

Podemos ainda se necess´ario for, reordenar os ´ındices, de forma tal que para m ≤ N termos uma subfam´ılia maximal Un(x1), ..., Un(xm), cujos elementos s˜ao disjuntos dois a dois. Notemos

que V_n(x₁), ..., V_n(x_N) cobrem A_c, uma vez que a uni˜ao deste conjunto cont´em U_n(x_i), para todo 1 ≤ i ≤ N. De fato, cada Un(xi) deve intersectar algum Un(xk) com k ≤ m e , deste modo, a

sua imagem por Tn_{, uma bola de raio δ/4em torno de T}n_(x

i), intersecta a bola de raio δ/4 em

torno de Tn_(x

k), estando assim contida na correspondente bola de raio δ. Em particular temos

U_n(x_i) ⊂ V_n(x_k).

Pela distor¸c˜ao limitada, existe uma constante uniforme C > 0, independente de x e de

n, tal que m(Un(x)) ´e maior que C · m(Vn(x)). Assim sendo, a medida de lebesgue de Un(x1) ∪

... ∪ Un(xm) ´e maior que C · m(Ac). Se θ > 0 ´e tal que m(Un(xi) \ Ac) ≥ θ · m(Un(xi) para todo

1 ≤ i ≤ m, ent˜ao

m(Un(x1) ∪ ... ∪ Un(xm) \ Ac) ≥ θ · Cm(Ac) ≥ θ · C(1 − k)m(A).

Por outro lado, dado que U_n(x_i) ⊂ A_v e A_c⊂ A, esta medida tem que ser inferior a k · m(A) k · m(A) ≥ m(Un(x1) ∪ ... ∪ Un(xm) \ Ac) ≥ θ · C(1 − k)m(A).

Podemos deste modo reduzir k > 0, aumentando n, de forma tal que θ seja for¸cosamente pequeno. Desta forma podemos encontrar n e U_n(x_i) tais que a medida de lebesgue relativa de U_n(x_i) ∩ A_c em Un(xi) seja arbitrariamente próxima de 1. Então, pela distor¸cão limitada e pelo fato de A se

positivamente invariante a medida de lebesgue relativa de Tn_(A

c) ⊂ A na bola de raio δ/4 em torno

de Tn_(x

i) também está arbitrariamente próxima de 1.

¤ Um conjunto compacto positivamente invariante A ´e chamado atrator se sua bacia de atra¸c˜ao B(A) = {x ∈ M, w(x) ⊂ A} possui medida lebesgue positiva.

Teorema B. Se T : M → M ´e uma C2 _{Transforma¸c˜ao Markoviana expansora por partes, com um}

número limitado de imagens, então existe um conjunto finito de medidas invariantes absolutamente cont´ınuas com respeito à medida de Lebesgue e ergódicas tal que m − q.t.p. pertence a bacia de uma dessas medidas. Ademais a densidade de cada uma dessas medidas com respeito a Lebesgue é uniformemente limitada por alguma constante.

(38)

Teoremas A e B

Prova. Sejam x e y pertencentes ao cilindro ~pn= [p0, ..., pn−1], com dβ(x, y) ≤ ², ou seja,

x e y est˜ao muito pr´oximos.

Lembramos que d = dβ = βs(x,y), onde s(x, y) ´e o tempo de separa¸c˜ao de x e y. Se x e y

estão em elementos distintos de uma parti¸cão P de X então s(x, y) = 0. Se x e y estão num mesmo elemento da parti¸cão então s(x, y) é o maior inteiro n ≥ 0 tal que Tk_{x e T}k_{y estão no mesmo}

elemento da parti¸c˜ao para k = 0, ..., n. Ademais, por

(i) k (DT (x))−1 k−1≥ λ > 1 ∀ x ∈ ~p ∈ P

(ii) log ¯ ¯ ¯

¯det DT (x)_{det DT (y)} ¯ ¯ ¯

¯ ≤ C · d(x, y); ∀ x, y ∈ ~p, ∀ ~p ∈ P temos,

d(Tj(x), Tj(y)) ≤ λ−(n+s(Tn(x),Tn(y))−j)· d(Tn+s(Tn(x),Tn(y))(x), Tn+s(Tn(x),Tn(y))(y))

≤ λ−(n−j)· λ−s(Tn(x),Tn(y))· r, onde r = diam ~p

e pondo β = λ−1 e fazendo k = n − j obtemos,

d(Tj(x), Tj(y)) ≤ βn−j· βs(Tn(x),Tn(y))

Agora, tomando logaritmos encontramos log ¯ ¯ ¯ ¯det DT n_(x) det DTn_(y) ¯ ¯ ¯ ¯ = n−1_Y k=0 log ¯ ¯ ¯ ¯det DT (T k_(x)) det DT (Tk_(y)) ¯ ¯ ¯ ¯ = n−1 X k=0

(log | det DT (Tk(x))| − log | det DT (Tk(y))|)

≤ C · n X k=0 βn−k· r · βs(Tn(x),Tn(y)) = C0· dβ(Tn(x), Tn(y)) em que C0 _{= C ·} n X k=0

βn−k · r. Conv´em observar que como m ´e a medida de Lebesgue, temos que JmTn= det DTn. Agora, utilizando o fato de que para todo x > 0 tem-se log x ≤ |x − 1|; obtemos,

log ¯ ¯ ¯ ¯det DT n_(x) det DTn_(y) ¯ ¯ ¯ ¯ = log ¯ ¯ ¯ ¯JmT n_(x) JmTn(y) ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ ¯ ¯ ¯ ¯JmT n_(x) JmTn(y) − 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ Cdβ(Tn(x), Tn(y))

portanto, reca´ımos nas hipóteses do Teorema A e então, existe densidade invariante µ; absoluta-mente cont´ınua a Lebesgue e limitada no espa¸co das fun¸cões Lipschitz cont´ınuas.

(39)

Teoremas A e B

Para provar a existˆencia de um n´umero finito dessas medidas, suponhamos A ⊂ X algum conjunto T -invariante com medida Lebesgue positiva, dado pelo Lema anterior, ent˜ao pelo exposto temos que 1

n

n−1

X

k=0

PkχA converge na norma L1(m) para alguma hA que ´e limitada no espa¸co das

fun¸c˜oes Lipschitz cont´ınuas. Escrevendo µ_A = h_Am; temos µ_A densidade T -invariante absoluta-mente cont´ınua. Observe que escrevendo Ac_{= X\A temos}

µA(Ac) = Z AchAdm = limn→∞ 1 n n−1 X k=0 Z AcP k_χ A dm = lim_n→∞ 1 n n−1 X k=0 Z X χAc◦ Tk· χ_Adm = 0. Dessa forma, µAd´a peso total ao conjunto A, ou seja µA= 1. Ent˜ao X pode ser

decom-posto numa quantidade finita de conjuntos T -invariantes como acima e logo teremos necessaria-mente uma quantidade finita de medidas invariantes absolutanecessaria-mente cont´ınuas e erg´odicas.

Sabemos que µ(supp µ) = 1 ∀µ probabilidade, em particular µj(supp µj) = 1, como

µj ¿ m temos então m(supp µj) > 0. Sabemos também que supp µj é um conjunto positivamente

invariante. Pelo que acabamos de comentar e pelo Lema(3.2), temos que existe uma bola contida no supp µj, ou seja int(supp µj) 6= ∅ ∀j.

Seja K = {x, w(x) ∩ (int(supp µ1) ∪ ... ∪ (int(supp µj))} = ∅, observamos que K ´e

positivamente invariante. Logo se m(K) > 0, temos pelo Teorema anterior que existe uma medida

ν, absolutamente cont´ınua a lebesgue tal que ν(K) = 1.

Observemos que K ∩ int(supp µ_j) = ∅, dessa forma µ_j ≤ 1 − µ_j(int(supp µ_j)) < 1 e assim ter´ıamos µj 6= ν ∀j. Absurdo pois µ1, ..., µn, com 1 ≤ j ≤ n, s˜ao todas as medidas absolutamente

cont´ınuas `a lebesgue. Dessa forma, temos necessariamente m(K) = 0

Logo para m − q.t.p. x ∈ M teremos alguma µj tal que w(x) ∩ int(supp µj) 6= ∅; mas isto

implica que existe n0 tal que Tn0(x) pertence ao int(supp µj) e logo Tn0(x) pertence ao supp µj,

como supp µj´e um conjunto positivamente invariante Tn(x) pertence ao supp µj para todo n ≥ n0,

ent˜ao conclu´ımos que w(x) ⊂ supp µj. Ou seja, lebesgue quase todo ponto pertence a bacia de

uma dessas medidas.

¤ 3.2 Corolário. Se #T (P) = 1, então existe uma única medida µ absolutamente cont´ınua com respeito à medida de lebesgue.

(40)

Teoremas A e B

que T (A) = X, assim pelo Teorema A temos que 1

n

n−1

X

k=0

PkχA converge na norma L1(m) para a

densidade hA que ´e limitada no espa¸co das fun¸c˜oes Lipschitz cont´ınuas. Escrevendo µA = hAm;

temos µA medida T -invariante absolutamente cont´ınua e erg´odica, com µA(T (A)) = µ(X) = 1.

Suponhamos B ⊂ X conjunto positivamente invariante. Ent˜ao,

µ1(B) = µA_µ(A ∩ B)

A(A) e µ2(B) =

µA(Ac∩ B)

µA(Ac)

s˜ao duas medidas absolutamente cont´ınuas, com densidades h1 = dµ1/m e h2 = dµ2/m que s˜ao

fun¸cões lipschitz cont´ınuas. Dessa forma, A e Ac_{tem interior não vazio, contradi¸cão.}

¤

(41)

Apˆ

endice

Shift

Os shifts são um importante objeto no estudo em Sistemas Dinâmicos. Parte de sua importância provêm do fato de que certos difeomorfismos contém na sua dinâmica transforma¸cões que se assemelham ao de uma transforma¸cão shift. Isto é, sob certas condi¸cões um difeomorfismo

f de uma variedade compacta M possui um conjunto X ⊂ M, tal que fN_{(X) = X, para algum}

N e fN¯¯

X é conjugado a um shift, ou seja, é dinâmicamente equivalente a algum shift.

Seja S um conjunto enumer´avel e seja B a σ-´algebra pelos conjuntos cilindros da forma [s1, ..., sn] := {x ∈ SN; xk = sk, 1 ≤ k ≤ n, n ≥ 1}; onde s1, ..., sn ∈ S. Chamamos de shift a

aplica¸c˜ao σ : SN_{−→ S}N_{, dada por (σx)}

n = xn+1; onde SN´e um espa¸co m´etrico compacto quando

equipado com a topologia produto ( topologia gerada pelos conjuntos cilindros), B(SN_{) ´e a cole¸c˜ao}

de Borel conjuntos e σ : SN_{−→ S}N_{´e cont´ınua.}

Shift de Markov

Seja S um conjunto enumerável como anteriormente. Uma matriz estocástica n × n é uma matriz P : S × S −→ [0, 1], cujos coeficientes p_s,t satisfazem

X

t∈S