PME-5232 - Dinâmica das Fluidos e Fenômenos de
Transporte
Prof. Dr. Marcos Pimenta
Aluno: Denir Paganini Nascimento Nº USP 366197
Contribuições de Ludwig Prandtl à
Mecânica dos Fluidos
São Paulo
2016
1 Dinâmica dos fluidos antes de Prandtl
Arquimedes (287-212 A.C) introduziu algumas ideias básicas sobre fluidos estáticos. Leonardo da Vinci (1452-1519 D.C.) observou e desenhou as linhas de fluxo de fluidos escoando em torno de alguns objetos. Somente com Isaac Newton (1642-1727), no segundo livro de Principia Mathematica (1687), é que a dinâmica dos fluidos começou a ser estudada e entendida de forma quantitativa e matemática.
Durante o século seguinte à publicação de Newton, muitos esforços foram empreendidos para descobrir uma formulação matemática para des-crever o escoamento de fluidos. As grandes mentes foram Daniel Bernoulli (1700-1782), Jean le Rond d´Alembert (1717-1783) e Leonhand Euler (1707-1783).
Euler descreveu o escoamento em termos de campos tridimensionais de pressão e velocidade e modelou o escoamento como uma sucessão contínua de elementos de fluidos infinitesimais. Aplicando o principio básico de conservação de massas e a segunda lei de Newton, Euler obteve duas equações diferenciais não lineares parciais, acopladas envolvendo os campos de pressão e velocidade do escoamento. Essas equações eram muito difíceis de serem trabalhadas, além disso, ele não levou em conta os efeitos da fricção causada pela movimentação dos elementos fluidos, ou seja, ele ignorou a viscosidade.
Mais de um século se passou até que surgisse uma equação que levasse em consideração o efeito da fricção interna de um escoamento. Claude-Louis Navier em 1822 e de forma independente George Stokes em 1845, foram os primeiros a obter esse sistema de equações diferenciais par-ciais não lineares, chamadas de equação de Navier-Stokes. Até hoje em dia, essas equações são o padrão matemático para descrever um escoamento de um fluido, e ninguém conseguiu obter uma solução geral analítica delas.
A dificuldade de resolver as equações de Navier-Stokes para problemas de escoamentos reais é muito frustrante para aqueles que querem calcular a força de cisalhamento de fricção sobre uma superfície imersa num fluido. No começo do século XX, essa frustração tornou-se mais evidente depois da invenção do avião, pois os engenheiros e projetistas daquela época queriam calcular o empuxo e o arrasto das aeronaves.
Figura 1 – Distribuição da pressão (p) e tensão de cisalhamento (τ) sobre um perfil aerodinâmico
Considerando o escoamento de um fluido em torno de um corpo com perfil aerodinâmico conforme visto na figura 1, o fluido exerce uma força líquida, chamada de força aerodinâmica líquida, sobre o perfil aerodinâmico. A figura 1 mostra as origens daquela força: a pressão do fluido e a tensão de cisalhamento, que resulta da fricção entre a superfície e o escoamento.
As distribuições da pressão e da tensão de cisalhamento são os fatores que interagem com o perfil aerodinâmico e exercem força sobre ele.
Para determinar a força, é preciso calcular as distribuições de pressão e de tensão de cisalhamento e depois integrar sobre toda a superfície do perfil aerodinâmico. No começo do século XX, a distribuição de pressão podia ser obtida por diversas aproximações, assumindo que o fluido não tinha viscosidade. Porém, para calcular a distribuição de tensão de cisalhamento é necessário incluir a fricção interna e considerar um escoamento viscoso. Naquele tempo, não era possível resolver as equações de Navier-Stokes para essa situação.
2 Contribuições de Prandtl para a mecânica dos
flui-dos
2.1 Conceito da camada limite
Foi diante desse cenário que Prandtl apresentou em 1904, no terceiro congresso mundial de matemática na cidade de Heidelberg, Alemanha, seu trabalho seminal entitulado Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner
Reibung, que quer dizer sobre movimento de um líquido com muito pouca
fricção, em tradução livre.
Esse trabalho introduziu o conceito da camada limite. Prandtl postulou que o efeito da fricção é o que faz o fluido próximo à superfície ficar grudado nela, ou seja, ele assumiu a condição de aderência na superfície, e que os efeitos da fricção no fluido só ocorre dentro dessa fina camada, próxima à superfície. Fora dessa camada limite, o escoamento é considerado invíscido, ou seja sem viscosidade.
Figura 2 – Escoamento mostrando o conceito da camada limite
O conceito da camada limite é mostrado na figura 2. A descrição de Prandtl para a camada limite é a seguinte: “Uma explicação satisfatória do fenômeno físico que ocorre dentro da camada limite Grenzschicht entre o fluido e o corpo sólido pode ser obtida assumindo a hipótese de aderência total do fluido na parede do corpo, isto é, assumindo a hipótese que a
veloci-pequena e o deslocamento do fluido não seja muito grande, a velocidade do fluido deve retornar ao seu valor normal a uma pequena distância da superfí-cie. Entretanto, dentro dessa fina camada de transição Übergangsschicht a acentuada variação de velocidade, mesmo com pequenos coeficientes de fricção, produz efeitos significativos.”.
Um desses efeitos, mostrado na figura 2, é que a velocidade varia enormemente em uma pequena distância normal à superfície, ou seja, a camada limite é uma região de grande gradiente de velocidade. E, de acordo com a lei de Newton para a tensão de cisalhamento é proporcional ao gradiente de velocidade:
τ = μ~∇V (1)
onde, τ é a tensão de cisalhamento, μ é o coeficiente de viscosidade e ~∇V o gradiente de velocidade.
Como resultado, a força de arrasto, devido ao atrito superficial, exer-cida no corpo não pode ser desconsiderada, o que é o oposto do que os cientistas do século XIX acreditavam. De fato, em perfis aerodinâmicos esbeltos, o arrasto é causado em maior parte devido ao atrito superficial.
2.2 Ponto de separação da camada limite
Outro efeito apontado por Prandtl é a separação do escoamento. Em certos casos, em certos pontos determinados pelas condições externas, o escoamento do fluido pode se descolar da parede do corpo sólido. Conforme mostrado na figura 3, a camada limite se separa da superfície e o escoamento se desloca em contra fluxo. Forma-se uma região de baixa energia na esteira do corpo.
Para gradientes de pressão adverso, quando a pressão aumenta no sentido de direção do escoamento, a espessura da camada limite aumenta rapidamente. O gradiente adverso juntamente com a tensão de cisalhamento
Figura 3 – Ponto de separação do escoamento
na superfície diminuem a quantidade de movimento da camada limite. A distribuição de pressão sobre a superfície do corpo muda abrupta-mente a partir do ponto de separação. Essa mudança causa um arrasto de pressão que atua na direção do escoamento. Quando a separação é muito extensa, o arrasto da pressão torna-se maior que o arrasto devido ao atrito superficial.
No ponto de separação ou deslocamento, os elementos do fluido dentro da camada limite já perderam grande parte de sua energia cinética devido à dissipação da energia pela fricção e não conseguem mais voltar à região onde a pressão é crescente. Portanto, a velocidade da camada limite praticamente desaparece. No ponto de separação existe um ponto de inflexão, vide destaque na figura 3 e, a partir desse ponto, a camada limite se separa da superfície.
Apesar do trabalho de Prandtl ter introduzido o conceito da camada limite, o termo específico, camada limite, só foi utilizado uma única vez no trabalho inteiro, em vez disso, ele utilizou o termo camada de transição. Provavelmente, ele abandonou o último termo para evitar confusão com o fenômeno da transição turbulenta na camada limite.
3 Evolução após o trabalho de Prandtl
O conceito da camada limite de Prandtl permitiu que as equações de Navier-Stokes fossem reduzidas a uma forma mais simples. Em 1908, Prandtl e um de seus alunos, H. Blasius, resolveram essas equações simplificadas dentro da camada limite, para um escoamento laminar sobre uma placa plana. Obtendo a equação para a espessura da camada limite:
δ= 5, 2
pRe laminar (2) onde Re é o número de Reynolds local e a posição ao longo da placa.
E, a equação para o coeficiente de fricção da superfície, que é definido como a tensão de cisalhamento local:
cƒ
=
0, 664 pRe
(3) Finalmente, após séculos de esforços, as primeiras leis descrevendo o arrasto fluido dinâmico devido à fricção foram obtidas.
Em 1921, Theodore von Kármán, ex-aluno de Prandtl, obteve a equação integral do momento, integrando as equações da camada limite ao longo da camada limite. Chegando ao resultado:
ν ∂ ∂y|y=0 = U 2dδ2 d + U dU d(δ1+ δ2) (4) onde, δ1() = Z ∞ 0 1 − U dy (5) e, δ2() = Z ∞ 0 U 1 − U dy (6)
Essa equação se mostrou aplicável em vários problemas práticos e tec-nológicos de engenharia, e com isso, o conceito da camada limite começou a receber maiores atenções e foi melhor aceita na comunidade científica.
Um fato histórico, que mostra como mudou a aceitação da camada limite, pode ser observado nas edições do livro Hydrodynamics de Horace
Lamb. Na quinta edição de 1924, ele dedicou apenas um parágrafo para a teoria da camada limite, enquanto na sexta edição de 1932, já havia um capítulo completo dedicado à teoria da camada limite e suas equações.
Prandtl é considerado, com razão, o pai da aerodinâmica. Suas contri-buições nesse campo foram muito além da camada limite, ele também foi pioneiro no desenvolvimento da sustentação de asas e na teoria do arrasto.
Seu trabalho foi merecedor de um prêmio Nobel, porém ele nunca foi laureado. Talvez por causa de suas atitudes políticas perante o nazismo da época, bem como suas atitudes sociais, jamais se saberá a razão certa. Entretanto, enquanto as pessoas estudarem fluido dinâmica, o nome de Prandtl será sempre lembrado.
Para honrar Ludwig Prandtl e homenagear seu trabalho pioneiro na aerodinâmica foi instituído um prêmio quatro anos após a sua morte. O objetivo é incentivar o trabalho de futuros especialistas em aerodinâmica e preservar o seu nome. Foi decidido adotar como símbolo um anel de ouro com o nome de LUDWIG PRANDTL inscrito em letras maiúsculas. Nesse anel é encravada uma pedra com a figura de uma águia simbolizando a liberdade do pensamento.
O dia de nascimento de Prandtl, 4 de fevereiro, foi escolhido como data para a entrega do prêmio. O primeiro ganhador foi Theodore von Kármán, em 1957. A escolha dos ganhadores é feita pela Wissenschaftliche Gesellschaft
4 Tradução dos termos em alemão
Flüssigkeits líquido Bewegung movimento klein pequeno Reibung atrito
Grenzschicht camada Limite Übergang transição Schicht camada Wissenschaft ciência Gesellschaft sociedade Luftfahrt aviação
Referências
1 J. D. Anderson Jr. Ludwig Prandt´s Boundary Layer. Physics Today, Dezembro 2005.
2 J. D. Anderson Jr. Introduction to flight. McGraw Hill, 7th edition, 2012. 3 J. A. D. Ackroyd, B. P. Axcell, and A. I. Ruban. Early Developments of
Modern Aerodynamics. Butterworth Heinemann, 2001.
4 V. L.. Streeter and E. B. Wylie. Mecânica dos Fluidos. McGraw Hill, 7 edition, 1982.
5 F. M. White. Viscous fluid flow. McGraw Hill, 3 edition, 2006.
6 H. Schlichting. Boundary-Layer Theory. McGraw Hill, 7th edition, 1979. 7 Johanna Vogel-Prandtl. Ludwig Prandtl - A Personal Biography Drawn from
