Exame de entrada na Pós-Graduação do Programa Astronomia – IAG/USP São Paulo 29 de Outubro de 2014
Nome (Name): ____________________________________________________
Instruções gerais:
a. A prova é individual, sem qualquer consulta. É permitido o uso de calculadora. A duração da prova é de no máximo 4 horas. Não é permitido o uso de telefone celular. Você pode responder as questões em Português ou em Inglês.
b. A prova não poderá ser feita a lápis. Escreva seu nome em cada folha prova e numere-as. c. Se estiver fazendo a prova fora do IAG/USP, use papel A4, mas deixe margens de pelo menos 2 cm nos quatro lados de cada folha. Use somente um lado da folha de respostas e numere-as. Solicitamos que a prova seja enviada por e-mail a redsouza48@iag.usp.br .
General Instructions:
a. The test is individual without any consult and it is allowed the use of hand calculators. The duration
is limited to a maximum of 4 hours and the candidate cannot use cell phone. You can choose to answer the questions in Portuguese or in English.
b. The test cannot be done with graphite. Write your name and number the pages used to answer the
questions.
c. If your examination is made outside the building of IAG/USP answer the questions in A4 paper leaving a margin of 2cm on each side of the text. Use only one side of each page. Please send a PDF file with the answers by e-mail to redsouza48@iag.usp.br .
Questões (Questions)
1. No último segundo um objeto em queda livre passa ¾ da distancia total percorrida.
a. Quanto tempo o objeto precisou para percorrer a distancia total? b. De que altura começou a queda?
In the last second of a free fall, a body covered three-fourth of its total path. a. For what time did the body fall?
b. From what height did the body fall?
2. Energia potencial de um corpo é dada como: U(x)=5x2 – 4x3, U em joules, x em metros. Obter:
a. força F(x) que atua neste corpo; b. posição de equilíbrio(s);
c. estabilidade de equilíbrio(s).
The potential energy of an object is given by U(x)=5x2 – 4x3, where U is in joules, x is in meters. a. What is the force F(x) acting on the object?
b. Determine the positions where the object is in equilibrium. c. State whether they are stable or unstable.
Solução:
3. Obter a soma dos primeiros N números impares consecutivos 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + (2N-1)
Determine the sum of the N odd consecutive numbers 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + (2N-1)
Solução:
N 2 1=1 1+3=4
1+3+5=9 1+3+5+7=16 ...
4. Considere o efeito Compton (ver figura abaixo). De acordo com a teoria quântica, um feixe de radiação eletromagnética monocromática de frequência é considerado como um conjunto de partículas chamadas fótons, cada uma possuindo energia e momentum ⁄ ⁄ , onde é o comprimento de onda. O espalhamento da radiação eletromagnética se torna um problema de colisão de um fóton com uma partícula carregada. Suponha que um fóton que se move ao longo do eixo x colide com uma partícula de massa . Após a colisão, o fóton é espalhado de um ângulo e sua frequência é mudada. Calcular o aumento no comprimento de onda do fóton como função do ângulo de espalhamento.
Consider the Compton Effect (see figure below). According to quantum theory, a monochromatic electromagnetic beam of frequency is regarded as a collection of particlelike photons, each possessing an energy and a momentum ⁄ ⁄ , where is the wavelength. The scattering of electromagnetic radiation becomes a problem of collision of a photon with a charged particle. Suppose that a photon moving along the x-axis collides with a particle of mass . Because of the collision, the photon is scattered at an angle , and its frequency is changed. Find the increase in the photon´s wavelength as a function of the scattering angle.
Solução:
p , E
𝑬𝟎
Before the collision After the collision photon
photon
p , E
5. Calcular a área superficial do pedaço de uma função z=xy que se encontra dentro do cilindro representado por .
Find the surface area of the portion of the function z = xy that is inside the cylinder.
6. Uma distribuição esférica de carga tem uma densidade de carga volumétrica que é função apenas de r, a distância desde o centro da distribuição. Em outras palavras, . Sendo a função de dada abaixo, determine o campo elétrico como função de r. Integre o resultado para obter uma expressão para o potencial eletrostático , sujeito à restrição .
a. ⁄ sendo A uma constante para ; for .
A spherical charge distribution has a volume charge density which is a function only of r, the distance from the center of the distribution. In other words, . If is as given below, determine the electric field as a function of r. Integrate the result to obtain an expression for the electrostatic potential , subject to the restriction that .
a. ⁄ with A a constant for ; b. for .
7. No ano de 2001 uma importante constante da natureza teve o seu valor estimado por um grupo de pesquisadores em 72 unidades com um erro avaliado em 8
unidades. Esta avaliação foi inferida observando-se os dados de um número N= 17 objetos. Aproximadamente quantos objetos deveriam ser observados para o que o erro final desta estimativa seja de apenas 1 unidade?
In 2001 one important constant of nature was estimated by a group of researchers as 72 units with an error estimated in 8 units. This evaluation was done by using the observations of N=17 objects. How many objects should be used in order to reduce the error to a unit?
Solução:
O erro de uma estimativa empírica é proporcional a √ do número de medidas independentes e, portanto a amostra empírica deveria ser 64 vezes superior ou N= 1088 objetos.
8. Em um gás ideal monoatômico qual é a razão entre a velocidade quadrática média dos átomos e a correspondente velocidade quadrática média relativa entre dois átomos quaisquer?
In a monoatomic ideal gas what is the ratio between the mean square velocity of the atoms and the correspondent mean square relative velocity between any two atoms?
Solução:
O valor médio quadrático da velocidade relativa é ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) e como o movimento dos átomos é aleatório ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Portanto √ .
9. (a) Uma caminhonete de 3000 kg patinando no gelo com uma velocidade de 3,0m/s bate em uma outra menor de 1000 kg que patina com velocidade de 5,0 m/s. Os dois corpos passam a viajar juntos. Na ausência de atrito qual a velocidade da combinacao? (b) Começa a chover canivetes e a combinação de caminhonetes começa a aumentar sua massa com uma taxa de 1 kilo por segundo. Apos 500 segundos qual a nova velocidade da combinação de caminhonetes? (Suponha que a chuva tem somente uma componente vertical)
(a) An small truck of 3000 Kg is moving in the ice surface with a velocity of 3.0 ms and hits another truck of 1000 Kg moving with a 5.0 m/s velocity. The two bodies begin the travel together after the collision. In the absence of friction what will be the velocity of the combined bodies? (b) Suppose that it begins a “knife rain” and the combination of the two trucks increase their combined mass at a rate of 1 kg per second. After 500 seconds what will be the new velocity of the combined bodies? (hint: admit that the rain Is active only in the vertical direction)
Solução:
O momento antes de se juntarem é o mesmo de depois de se juntarem. (a) 3000 * 3 + 1000*5 = 4000*v -> v = 3,5 m/s
(b) A nova massa depois de 500s é 500 kilos + a massa anterior de 4000 kilos = 4500 kilos
4000 * 3,5 = 4500 * v -> v = 3,11 m/s.
10. Uma garrafa de champagne é largada por uma pessoa que está dentro de um balão em vôo. O balão está subindo a uma velocidade de 3,0 metros por segundo. A garrafa de champagne leva 8,0 s para chegar ate o chão. Encontre a
altura do balão quando a garrafa foi largada, a altura do balão quando a garrafa chegou ao chão e a velocidade com a qual a garrafa bate no chão.
A bottle of Champaign is dropped by a person flying in a balloon. The balloon is going up at a velocity of 3.0 m/s. The bottle takes 8.0 s to hit the ground. Find the height of the balloon when the bottle finally hit the ground and the bottle velocity at the instant of impact.
Solução:
A maneira mais fácil é tomar a origem na altura do balão quando a garrafa foi largada, ou seja a altura do balão em t=0. Tome os deslocamentos com sinal positivo para baixo. Lembre que a aceleração será para baixo (positiva) e a velocidade inicial do balão para cima (negativa).
Primeiro escrevemos a equação para a altura do balão contando o tempo desde o momento em que a garrafa foi largada.
X = (-3 m/s) t + (4,9 m/s^2) t^2 = -3.0 * 8 + 4,9 * 64 = 290 m
A altura do balão quando a garrafa chega ao chão é a altura quando ela foi largada mais o tanto que o balão subiu em 8.0s (que é o tempo que a garrafa levou para chegar ao chão)
290m + (3,0 m/s * 8 s ) = 314 metros
A velocidade de impacto é v = v_o + at = -3,0 m/s + (9.8m/s^2)*8 = 75m/s
Informações Adicionais (Additional information):
Relação energia-momentum: Coordenadas polares: ∬ ∬ Coordenadas esféricas: ∭ ∭ Lei de Gauss: ⃗⃗ ⃗⃗ Teorema do divergente: ∫ ⃗⃗ ∮ ⃗
