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x n x 1 a 12 x a 1n =b 1 a S n ... a 2n a 22 =b 2... a n1 a n2 x 2... a nn

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Coordenação do Curso das Engenharias de Eletro Mecânica, Elétrica e Produção Civil

Prof .Jorge Roberto Grobe 11/09/2014 14:12:28 Calculo Numérico

CAPITULO 2    

2.0 SISTEMAS  DE EQUAÇÕES LINEARES

BOLDRINI   (   1980,   p.29),   na   natureza   existem   varias   transformações   e   o   ser   humano necessita garantir sua sobrevivência para melhorar sua existência e dominar processos de mudanças. Um dos métodos encontrados para descrever esta transformação foi de procurar o que permanece constante durante a mudança:

Exemplo,  a descrição da transformação, onde hidrogênio (H2) reage com o oxigeno (O2) para

produzir água (H2O). Quanto de hidrogênio e de oxigênio precisamos ? Esta mudança pode

ser   descrita   do   seguinte   modo:x   moléculas   de   H2  reagem   com   y   moléculas   de   O2

produzindo z moléculas de H2O: xH2 + y O2    zH2O Os átomos não são modificados, o numero de átomos de cada elemento no inicio da reação deve ser igual ao numero de átomos desse mesmo elemento, no final da reação. Então pode ser escrito  em forma de um sistema linear , aonde as variáveis são  x, y e z. Pode­se descobrir quais são os números x, y e z que satisfazem simultaneamente estas equações. Segundo BARROSO (1987, p.17), através da resolução numérica de um sistema linear Sn de n equações e n variáveis pode­se aplicar em calculo  de estruturas, redes elétricas e solução de equações diferenciais, entre outras. Um sistema linear Sn de n equações com n incógnitas: Sn= a11x1a12x2...a1nxn=b1 a21x1a22x2...a2nxn=b2 ... an1x1an2x 2...annxn=bn Sob a forma matricial Sn   pode ser escrito como Ax=b, onde A é uma matriz aumentada quadrada de ordem n, b e x  são matrizes n por 1 , e aij  é chamado de coeficiente da variável

xj    e os bj   são chamados de termos independentes. A matriz A  é   chamada matriz dos

coeficientes e a matriz aumentada ou matriz completa do sistema.   B=

[

a11a12... a1nb1 a21a22... a2nb2 ... an1an2... annbn

]

= [A:b]1  1Concatenção de matrizes

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Os   números     x1,  x2,. .. ,xn   constituem   uma   solução   do   sistema   linear   e   as   equações

transformam em igualdades numéricas. Com esta solução , pode­se escrever na forma de matriz coluna: X =

[

x1 x2 ... xn T

]

Os   sistemas   lineares   podem   ser   classificados   quanto   ao   numero   de   soluções   em compatível, quando tem solução e  incompatível não tem solução. Os  sistemas compatíveis podem ser determinados ( uma solução) ou indeterminados ( varias soluçøes). 2.1 EXERCÍCIOS 1) T2 WXMAXIMA BASTCHELET( 1978, p.500), qual dos sistemas de equações tem: 1) uma única solução;2) um numero infinito de soluções: 3) somente a solução trivial; 4) não tem solução? a) A+3B=0       b) 5L­3u=7      c)8m­6n=4       d)12r +10s=7     2A­B=0      L+u=­1      4m­3n=2      18r+15s=6 e) 28p +16q =0       f) x+y­4=0     21p+12q=0      ­x­y+5=0 2) Resolva o sistema de equações, escrevendo a matriz ampliada, associada ao novo sistema: resposta:{ x=­1; y=2 e z=5} 2x­y+3z=11 4x­3y+2z=0 x+y+z=6 3x+y+z=4 * vai no editor e  salva em uma pasta scilab e salva como extensão sistemas.sce SOLUÇÃO 1 : SCILAB COMANDO : linsolve A=[ 2 ­1 3;4  ­3 2;1 1 1; 3 1 1] b=[11;0;6;4] X=linsolve(A,­b) SOLUÇÃO 2 : SCILAB   COMANDO : RREF

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disp('comando  RREF ') disp('matriz ampliada do sistema') Ab=[A,b] disp('forma escada ') X2=rref(Ab) SOLUÇÃO 3 : WXMÁXIMA COMANDOS: EQUAÇÕES/SISTEMAS LINEARES /NUMERO DE EQUAÇÕES/ DIGITAR AS VARIÁVEIS (%i1) linsolve([2*x­y+3*z=11, 4*x­3*y+2*z=0, x+y+z=6, 3*x+y+z=4], [x,y,z]);Dependent equations eliminated:  (4)(%o1) [x=­1,y=2,z=5] * aqui é possível ver quando o sistema é possível e  indeterminado, uma solução e impossível. 3) T2 WXMAXIMA KOLMANN( 1998, p.26), considere o seguinte sistema linear: 2x+ w=7 3x+2y+3z=­2 2x+3y­4z=­2. x+3z=5 a) encontre a matriz dos coeficientes b) escreva o sistema linear em forma matricial c)encontre a matriz aumentada do sistema d) resolva o sistema linear e a ache a solução se possível. Resposta : w=­84 x=45,5   y=­49   z=­13,5 4) T2 WXMAXIMA BOLDRINI ( 1980, p.51), resolva os sistemas lineares: a) x1+2x2­x3+3x4=1      b) x+y+z=4         c)  x +y+z=4        d) x­2y+3z=0        2x+5y­2z=3      2x+5y­2z=3       2x+5y+6z=0        x+7y­7z=5

5)   BARROSO(1987,   p.37),   determinar   o   vetor   solução   dos   sistemas   lineares   através   do método de Eliminação de Gauss; a) 2x13x2x3−x4=6,9x1 x2−4x3x4=−6,6 x1 x2x3x4=10,2 4x1−5x2x3−2x4=−12,3 solução exata do sistema 

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[

−1 1 −4 1 −6,6 2 3 1 −1 6,9 1 1 1 1 10,2 4 −5 1 −2 −12,3

]

pivo:­1   operações: 2L1+L2  ; 1*L1+L3  ; 4L1+ L4

[

−1 1 −4 1 −6,6 0 5 −7 1 −6,3 0 2 −3 2 3,6 0 −1 −15 2 −38,7

]

permutando L2 e L4

[

−1 1 −4 1 −6,6 0 −1 −15 2 −38,7 0 2 −3 2 3,6 0 5 −7 1 −6,3

]

pivo: ­1 operações: 2L2+L3  ; 5*L2+L4  

[

−1 1 −4 1 −6,6 0 −1 −15 2 −38,7 0 0 −33 6 −73,8 0 0 −82 11 −199,8

]

 pivo : ­33   ­2,4848*L3+ L4

[

−1 1 −4 1 −6,6 0 −1 −15 2 −38,7 0 0 −33 6 −73,8 0 0 0 −3,9088 −16,4218

]

x4=4,2012   x3=3,0002    x2=2,0994    x1=0,8998 SOLUÇAO NO WXMAXIMA PELO COMANDO TRIANGULARIZE INFORMA A MATRIZ MATRIZ AMPLIADA DO SISTEMA. (%i4) Matrix([2,3,1,­1,6.9],[­1,1,­4,1,6.6],[1,1,1,1,10.2],[4,­5,1,­2,­12.3]) LINHA DE COMANDO:  triangularize(%i4); (%o9)matrix([20,30,10,­10,69],[0,­2200,­200,0,­5220],[0,0,­6000,­16500,­87300   [0,0,0,­ 322500,­1750500]) *a matriz fica tela em forma de matriz escalonada ou triangularizada. * para resolver este sistema linear utilizando o comando TRIANGULARIZE , neste caso precisa­se de uma calculadora. 

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b)  4x13x22x3 x4=10 x12x23x34x4=5 x1−x2−x3−x4=−1 x1x2x3 x4=3 6) T2 WXMAXIMA BOLDRINI ( 1980, p.50), foram estudados 3 tipos de alimentos. Fixada a mesma quantidade ( 1g) determinou­se que: i) o alimento I tem 1 unidade de vitamina A, 3 de unidades de vitamina B e 4 unidades de vitamina C. ii) o alimento II tem 2 unidade de vitamina A, 3 de unidades de vitamina B e 5 unidades de vitamina C. iii) o alimento III tem 3 unidades de vitamina A, 3 de unidades de vitamina C e não contem vitamina B. Se são necessárias 11 unidades de vitamina A, 9 de vitamina B e 20 de vitamina C. a) encontre todas as possiveis quantidades dos alimentos I,II e III, que fornecem a quantidade de vitaminas desejada. b) se o alimento I custa $0,60 por grama e os outros dois custam $0,10, existe uma solução custando exatamente $1,00?

7)  T2   WXMAXIMA  BOLDRINI   (   1980,   p.54),   necessita­se   adubar   um   terreno acrescentando a cada 10m2 140 g de nitrato 190 g de fosfato e 205 g de potássio. Dispõe­se de 4 qualidades de adubo com as seguintes características: i) cada kg do adubo I custa $5 e contem 10 g de nitrato, 10 g de fosfato e 100 g de potássio. ii) cada kg do adubo II custa $ 6 e contem 10 g de nitrato, 100 g de fosfato e 30 g de potássio. iii) cada kg do adubo III custa $ 5 e contem 50 g de nitrato, 20 g de fosfato e 20 g de potássio  iv) cada kg do adubo IV custa $ 15 e contem 20 g de nitrato, 40 g de fosfato e 35 g de potássio .Quanto de cada adubo devemos misturar para conseguir o efeito desejado se estamos dispostos a gastar $ 54 para cada 10 m2 com adubação?

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Prof .Jorge Roberto Grobe 11/09/2014 14:12:28 Calculo Numérico 8) BOLDRINI ( 1980, p.54)Faça o balanceamento das reações: a) N2O2→NO2+O2 ( decomposição térmica do N2O5)

b)HF + SiO2  SiF→ 4+H2O ( dissolução do vidro em HF)

SOLUÇÃO : xHF + ySiO2  zSiF 4+tH2O equações do balanceamento da reação química H:  x =2t F:  x=4z Si: y =z O: 2y =t SOLUÇÃO 1:WXMÁXIMA  (%i2) algsys([x=2*t, x=4*z, y=z, 2*y=t], [x,y,z,t]); (%o2) [[x=%r1,y=%r1/4, z=%r1/4,t=%r1/2]] %r( variável livre que pode ser atribuida como w t=w/2  z=w/4    y=w/4  x=w SOLUÇÃO 2 : SCILAB A=[1  0  0  ­2;1  0  ­4  0;0 1 ­1 0; 0  2  0 ­1] b=[0;0;0;0] X8=linsolve(A,­b) * encontra apenas solução nula disp('comando  RREF ') disp('matriz ampliada do sistema') Ab8=[A8,b8] disp('forma escada ') X81=rref(Ab8)

[

1 0 0 −2 0 0 1 0 −0,5 0 0 0 1 −0,5 0 0 0 0 0 0

]

* a partir desta matriz na forma escada tem que resolver a mão este sistema linear. 

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Prof .Jorge Roberto Grobe 11/09/2014 14:12:28 Calculo Numérico c)T2 WXMAXIMA (NH4)2CO3  NH→ 3+H2O+CO2

9)   KOLMANN(   1998,   p.56)   uma   editora   publica   um  best­seller  em   potencial   com   tres encadernações diferentes: capa mole, capa dura e encadernação de luxo. Cada exemplar de capa mole necessita de 1 minuto para costura e de 2 minutos para a cola. Cada exemplar de capa dura necessita de 2 minutos para costura e de 4 minutos para a cola. Cada exemplar com encadernação de luxo necessita de 3 minutos para a costura e de 5 minutos para a cola. Se o local onde são feitas as costuras fica disponível 6 horas por dia e o local onde se cola fica disponível 11 horas por dia, quantos livros de cada tipo devem ser feitos por dia de modo que os locais de trabalho sejam plenamente utilizados? 10)KOLMANN( 1998, p.56)Um fabricante de móveis produz cadeiras, mesinhas de centro e mesas de jantar. Cada cadeira leva 10 minutos para ser lixada, 6 minutos para ser tingida e 12 minutos para ser envernizada. Cada mesinha de centro leva 12 minutos para ser lixada, 8 minutos para ser tingida e 12 minutos para ser envernizada. Cada mesa de jantar leva 15 minutos para ser lixada, 12 minutos para ser tingida e 18 minutos para ser envernizada. A bancada para lixar fica disponível 16 horas por semana, a bancada para tingir, 11 horas por semana , e a bancada para envernizar, 18 horas por semana. Quantos móveis devem ser fabricados (por semana) de cada tipo para que as bancadas sejam plenamente utilizadas? 2.2 ESTRATÉGIAS DE PIVOTAMENTO  2.2.1 PiVOTAÇÃO COMPLETA

“A   pivotação   completa   é   uma   estratégia   recomendada   para   sistemas   onde   a   precisão   é essencial  e a quantidade  de tempo de execução  exigida  pode ser justificada”.  BURDEN (2003, p.319)

Em sistema linear escolhe o elemento de maior módulo e não pertencente à coluna dos termos independentes. Quando ocorre um pivo nulo deve­se efetuar uma troca de linhas para escolher um pivo não nulo. Outra maneira de se evitar o pivo nulo é usar o método da pivotação completa.  Esta pivotação  minimiza  a ampliação  dos erros de arredondamento  durante as eliminação,   sendo   recomendado   na   resolução   de   sistemas   lineares   de   maior   porte. BARROSO(1987, p.40).

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11)   BARROSO(1987,   p.37   ,determinar   o   vetor   solução   dos   sistemas   lineares   através   do método   da   Pivotação   Completa:   *   4   CASAS   APÓS   A   VIRGULA   COM ARREDONDAMENTO a) 2x13x2x3−x4=6,9x1 x2−4x3x4=−6,6 x1 x2x3x4=10,2 4x1−5x2x3−2x4=−12,3 SOLUÇAO: 2 3 1 -1 6,9 -1 1 -4 1 -6,6 1 1 1 1 10,2 4 -5 1 -2 -12,3 PASSO 1: M1=0,2  M2=0,2   M3=0,6 M1*L4+L3     M2*L4+L2     M3*L4+L1 4,4 1,6 -2,2 -0,48 -0,2 -3,8 0,6 -9,06 1,8 1,2 0,6 7,74 4 -5 1 -2 -12,3 PASSO 2: M4=O,O455   M5=­0,4091     M4*L1+L2    M5*L1+L2    4,4 1,6 -2,2 -0,48 -3,7272 0,4999 -9,0818 0,5454 1,5 7,9364 4 -5 1 -2 -12,3 PASSO 3: M6=0,1463    M7*L2+L3 4,4 1,6 -2,2 -0,48 -3,7272 0,4999 -9,0818 1,5731 6,6077 4 -5 -2 -12,3

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Prof .Jorge Roberto Grobe 11/09/2014 14:12:29 Calculo Numérico

VETOR SOLUÇAO: X =

[

0,9002 2,1 3 4,2004

]

  b)  4x13x22x3 x4=10 x12x23x34x4=5 x1−x2−x3−x4=−1 x1x2x3 x4=3 4 3 2 1 10 0 1,25 2,5 3,75 2,5 0 -1,75 -1,5 -1,25 -3,5 0 0,25 0,5 0,75 0,5 Pivo: 4    4 3 2 1 10 0 1,25 2,5 3,75 2,5 0 -1,3333 -0,6667 0 -2,6667 0 0 0 0 0 Pivo:3,75   Pivo: ­0,6667 SOLUÇÃO 1: fazendo x4=0   x3=0   x2=2  x=1 * quando x4=0 variavel livre , resolver  L2 e L3  o sistema linear 2x2 SOLUÇÃO 2 ; fazendo x2=0  , (calcula­se o x3 pela linha L3) x3=4  x4 =­2  x1=1 SOLUÇÃO 3: fazendo x3=0 ( calcula­se x2 pela linha L3) x2=2  e x1=1 SOLUÇÃO 4 ; usando o WXMAXIMA :  x1=1   x2=K   x3= 4­2k    x4=k­2  ( k =variavel  livre) 12) VCN PIVOTAÇÃO COMPLETA BOLDRINI ( 1980, p.54), necessita­se adubar um  terreno acrescentando a cada 10m2 140 g de nitrato 190 g de fosfato e 205 g de potássio.  Dispõe­se de 4 qualidades de adubo com as seguintes características: i) cada kg do adubo I custa $5 e contem 10 g de nitrato, 10 g de fosfato e 100 g de potássio. ii) cada kg do adubo II custa $ 6 e contem 10 g de nitrato, 100 g de fosfato e 30 g de potássio. iii) cada kg do adubo III custa $ 5 e contem 50 g de nitrato, 20 g de fosfato e 20 g de potássio  iv) cada kg do adubo IV custa $ 15 e contem 20 g de nitrato, 40 g de fosfato e 35 g de  potássio .Quanto de cada adubo devemos misturar para conseguir o efeito desejado se estamos dispostos a gastar $ 54 para cada 10 m2 com adubação?

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Prof .Jorge Roberto Grobe 11/09/2014 14:12:29 Calculo Numérico 2.2 FATORIZAÇÅO  LU 

Para KOLMAN (1999, p.443), uma matriz é decomposta   como   um produto de uma matriz triangular inferior  com uma matriz triangular superior.  Esta decomposição leva o algoritmo  para resolver um sistema linear Ax=b.  A popularidade deste método faz  com que forneça  uma maneira mais barata de resolver um sistema linear  quando se faz  uma mudança no vetor b  de Ax=b.  A decomposição para resolver o sistema linear , onde U e´ a matriz triangular superior e L e´ uma matriz triangular inferior.  A matriz U e´ resolvida sem colocar a matriz aumentada [ U: b], e possuem todos os elementos diagonais diferentes de zero.  A solução é obtida de baixo para cima. Para a   construção da matriz L, coloca­se na diagonal principal iguais a 1.  Colocar  na primeira coluna L1 , respectiva os multiplicadores com sinal trocado e assim por diante. 

Suponha  que  uma  matriz   A  n x  n pode  ser escrita  com  um  produto  de  uma  matriz triangular inferior L com uma matriz triangular superior U, ou seja : A=LU.  Entåo diz­se que A tem uma fatorização LU ou decomposição LU. Substituindo A=LU, no sistema Ax=b, escreve­se (LU)x=b. Fazendo Ux=z , então essa equação matricial fica escrita Lz=b. Segundo BURDEN (2003, p.339­341), esta fatoração e´ chamada de método de Doolitle e requer que valores  iguais a 1 estejam  na diagonal de L.  O método de Crout requer valores iguais a 1 estejam na diagonal de U. Então as matrizes L e U podem ser escritas: Para LAY (1999, p.125) , existem matrizes unidades triangulares inferiores E1...Ep  tais que:  (Ep...E1) A= U A=(Ep^-1...E3^-1.E2^-1.E1-¹)U=LU ALGORITMO DA FATORIZAÇÃO  LU   DOOLITLE

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Os elementos da matriz L são osij e os de U são os uij .

  fonte: http://MetodosNumericoseEstatisticos/MNEaula04.ppt  2.3 EXERCICIOS EXEMPLO: BURDEN( 2003, p.340), seja o sistema linear   x1x23x4=4 2x1x2−x3x4=1 3x1−x2−x32x4=−3 −x12x23x3−x4=4 U=

[

1 1 0 3 0 −1 −1 −5 0 0 3 13 0 0 0 −13

]

   L=

[

1 0 0 0 2 1 0 0 3 4 1 0 −1 −3 0 1

]

RESPOSTA:  [ 3;­1;0;2]T 13) KOLMANN (1999, p.448) , resolver o sistema linear Ax=b pela  fatoraçåo LU: a) A=[ 2 3 4;4 5 10;4 8 2]  b=[6;16;2]  b) A=[ 2 8 0;2 ­2 ­3;1 2 7]  b=[18;3;12] c) T2 VCN A=[ ­3  1  ­2;­12 10 ­6; 15 13 12]   b=[15;82;­5] * escreve a forma fatorada LU, e a solução do sistema pode ser Gauss. d) A=[ 8 12 ­4;6 5 7;2  1 6]  b=[­36;11;16] L=[4  0  0; 3  2 0;1 1 1]   U=[ 2 3 ­1;0 ­2 5;0  0 2] 14) T2  VCN E SCILAB Considere o sistema linear  e resolva pela fatoração LU: 2 ; , , 1 1 , , 2 2 ; , , , , 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1                  

    k n k j u a u n j u a j n j k u a u n k a u k i ji ik jk kk jk j j j i ji ik jk jk k k        

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Prof .Jorge Roberto Grobe 11/09/2014 14:12:29 Calculo Numérico 6x1­2x2­4x3+4x4=2 3x1­3x2­6x3+x4=­4 ­12x1+8x2+21x3­8x4=8 ­6x1       ­10x3­7x4=­43 APLICAÇÕES NA FERRAMENTA MATEMATICA WXMAXIMA • (%i10) matrix([3,2], [1,6]); • (%o10) matrix([3,2],[1,6]) • (%i11) lu_factor (%o10); • (%o11) [matrix([3,2],[1/3,16/3]),[1,2],generalring] • (%i12) get_lu_factors(%o11); • (%o12) [matrix([1,0],[0,1]),matrix([1,0],[1/3,1]),matrix([3,2],[0,16/3])] APLICAÇÕES NA FERRAMENTA MATEMATICA SCILAB >> A=[ 3 2;1 6] >> [L,U,P]= lu(A)    *P=matriz permutação  2.4 FATORAÇAO  DE CHOLESKY  OU DECOMPOSIÇAO DE CHOLESKY Em BURDEN (2003, p.349), o método de Cholesky, que  requer que lii  =uii para cada i. A matriz definida positiva é chamada definida positiva simétrica.

Em PERESSINI (1988), a fatoração LLT resolve um sistema linear Ax=b  onde U= LT é uma

matriz triangular superior com os elementos da diagonal  positivos, A matriz L na fatorizaçao de Cholesky da matriz definida positiva   pode ser calculada pela seguinte matriz equação A=LLT.

[

l11.... l21l22.... .... ln1ln2...lnn

] [

l11l21...ln1 ... l22...ln2 ... lnn

]

=A=L*LT Para  resolver o sistema Ax=b faz­se: Lz=b   e   LTy=z Condição para uma matriz ser definida positiva de tamanho n xn:

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Prof .Jorge Roberto Grobe 11/09/2014 14:12:29 Calculo Numérico  a) aii>0 para cada i=1,2,...,n  b) xTAx>0 para todo vetor n­dimensional.  c)determinante matrizes condutoras ou submatrizes são positivas.  d) na eliminação de Gauss sem intercambio de linhas todos os pivôs positivos.  Matriz nxn A e chamada de estritamente em diagonal quando  ∣aii∣

j=1n j≠1aij∣  é valido para cada i=1,2,...,n    BURDEN (2003, p.).  ALGORITMO DE CHOLESKY fonte: http://MetodosNumericoseEstatisticos/MNEaula04.ppt  APLICAÇÕES NA FERRAMENTA MATEMATICA WXMAXIMA • (%i10) matrix( [g11,0,0], [g21,g22,0], [g31,g32,g33]); • (%o10) matrix([g11,0,0],[g21,g22,0],[g31,g32,g33]) • (%i11) transpose (%o10); • (%o11) matrix([g11,g21,g31],[0,g22,g32],[0,0,g33]) • (%i12) (%o10).(%o11); • (%o12) matrix([g11^2,g11*g21,g11*g31], [g11*g21,g22^2+g21^2,g22*g32+g21*g31], [g11*g31,g22*g32+g21*g31,g33^2+g32^2+g31^2])

2

;

,

,

1

1

,

,

2

,

,

2

1 1 11 1 1 1 1 2 11 11

   

k

n

k

j

a

n

j

a

n

k

a

a

k i ji ki jk kk jk j j j i ji jj jj

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2.5 EXERCICIOS, BURDEN (2003, p.356­357)   Exemplo: a) Mostrar que a matriz simétrica  é definida positiva. A=

2 −1 0 −1 2 −1 0 −1 2

Dica: calcular os determinantes das submatrizes  b) Considere as matrizes   A=

7 2 0 3 5 −1 0 5 −6

e B=

6 4 −3 4 −2 0 −3 0 1

verifique quais das matrizes tem estritamente dominante diagonal. 15) Determine qual das matrizes  e  (i) simétrica, (ii) singular, (iii) estritamente dominante em diagonal e (iv) definida positiva. a) A=[2 1;1  3] b) B=[ ­2  1;1  ­3] c) C=[2  1 0;0  3 0; 1  0 4] d) E=[4  2  6;3  0  7;­2  ­1  ­3] f) F=[2  ­1  0;­1  4  2;0  2  2] respostas: simétrica (a, b, f); singulares(e ); dominante (a, b , c, d); matriz positiva (a, f) 16) Use a fatoração de Cholesky para as seguintes matrizes: • verifique se a matriz é simétrica • definida positiva: determinantes das submatrizes maiores que zero. • É possível fatorar pelo Cholesky a1) A=[ 2 1;1 3] a) A=[ 2  ­1  0;­1  2  ­1;0  ­1 2]

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b) T2 SCILAB B=[4  1 1 1 ;1  3 ­1  1;1  ­1 2  0;1  1 0 2] c) T2 WXMAXIMA C=[4  1 ­1 0;1 3 ­1 0;­1 ­1 5 2;0 0 2 4]

APLICAÇÕES DA FERRAMENTA MATEMATICA SCILAB

>>L =chol(A)   * resultado matriz triangular superior e   a matriz triangular inferior fazer transposta: L'*L=B APLICAÇÕES DA FERRAMENTA MATEMATICA WXMAXIMA  • (%i12) matrix( [4,3], [3,8]); • (%o12) matrix([4,3],[3,8])  • (%i13) cholesky (%o12); • (%o13) matrix([2,0],[3/2,sqrt(23)/2]) 17) Resolva os sistemas lineares pela fatoração de Cholesky: a)  2x1 –x2 =3        ­x1 +2x2 –x3=­3        ­x2 +2x3=1 b) T2 WXMAXIMA      4x1 +x2 +x3+x4=0,65      x1 +3x2 –x3 +x4=0,05      x1­ x2 +2x3 =0      x1+x2 + 2x4 =0,5 * verifique se a matriz é simétrica definida positiva 2.6 TECNICAS ITERATIVAS PARA SOLUCIONAR  SISTEMAS LINEARES Para  BURDEN (2003, p.381), os métodos iterativos de Jacobi e de Gauss­Seidel  surgiram no final do século 18. Estas técnicas são raramente utilizadas para solucionar sistemas lineares de pequenas dimensões. Em sistemas grandes, com uma grande porcentagem de entradas zero, essas   técnicas   são   eficientes   em   termos   tanto   de   calculo   como   de   armazenamento.   São sistemas que surgem na analise de circuitos e na solução numérica de problemas de valor

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limite e equações diferenciais parciais. Esta técnica iterativa para resolver sistemas linear nxn Ax=b começa com um aproximação inicial x(o)   para  a solução x e gera uma seqüência de

vetores xK  para k =0 ate inf, que converge para x. O sistema Ax=b e convertido em um

sistema equivalente na forma x=Tx+c para alguma matriz T e algum vetor c fixos. Quando o vetor inicial xo  ter sido selecionado, a seqüência de vetores para aproximar   a solução ‘e

gerada calculando­se:   xk =Txk−1c para cada k=1,2,3... EXEMPLO :   METODO ITERATIVO DE JACOBI 1) O Sistema linear Ax=b dado por  10x1 –x2 +2x3=6 ­x1 +11x2 –x3+3x4=25 2x1­x2+10x3­x4=­11 3x2­x3+8x4=15 solução:   isolar cada variável x1,x2,x3,x4 e encontrar as equações e compor a matriz T com a diagonal igual a zero.  xk =Txk−1c  Construir  uma tabela para x1,x2,x3 e x4   Usar o vetor inicial nulo. K 0 1 2 3 x1 0 0,6 1,0473 0,9326 x2 0 2,2727 1,7159 2,053 x3 0 ­1,1 ­0,8052 ­1,0493 x4 0 1,8750 0,8852 1,1309 A equação Ax=b ou (D­L­U)x=b , é transformada  em  Dx=(L+U)x+b, isolando x, tem­se : x=D−1 LU  xD−1b   para D matriz não singular. Resulta na forma matricial da técnica iterativa de Jacobi: xk =D−1 L U xD−1b   para k=1,2,... Critério de interrupção de Passo:

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xkxk −1

xk

tol   ( tol=tolerância) Para BARROSO (1987, p.52), continua­se a gerar aproximações até que um dos critérios seja satisfeito: max

xk1xk

tol   ou k>M , M=numero maximo de iterações. Nota: a tolerância   (Epsílon) fixa o grau de precisão das soluções. EXERCICIOS 18)   Obtenha as duas primeiras iterações do método de Jacobi para os seguintes sistemas lineares, usando xo=0. a)VCN 3x1­x2+x3=1      3x1+6x2+2x3=0       3x1+3x2+7x3=4 b) CALC 10x1­x2 =9       ­x1 +10x2 ­2x3=7       ­2x2 +10x3=6 19) Resolva o seguinte sistema linear : a)

[

1 0 0 2 1 0 −1 0 1

][

2 3 −1 0 −2 1 0 0 3

]

[

x1 x2 x3

]

=

[

2 −1 1

]

20) Encontre   de modo que  

[

2  −1  2 1 −1 1 4

]

seja definida postiva.  Resposta  −23/2 21) Seja   A=

[

1 0 −1 0 1 1 −1 1 

]

. Encontre todos os valores de alfa para os quais : a) A é singular   b) A é estritamente dominante em diagonal   c) A é simétrica  d) A é definida positiva

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EXEMPLO:  METODO ITERATIVO DE GAUSS­SEIDEL 1) O sistema linear dado : 10x1 –x2 +2x3=6 ­x1 +11x2 –x3+3x4=25 2x1­x2+10x3­x4=­11 3x2­x3+8x4=15 A forma matricial do método de Gauss­Seidel  é: (D­L)xk=Uxk­1+b Isolando xk  tem­se: xk= (D­L)­1Uxk­1+(D­L)­1b Em LAY (1999),uma matriz A, nxn é chamada de estritamente dominante se o modulo de cada elemento da diagonal principal é maior que a soma dos módulos dos outros elementos da sua   linha.   A   velocidade   de   convergência   depende   do   quanto   os   elementos   da   diagonal principal dominam as somas de linhas correspondentes. Exemplo: Mostre que o método de Gauss­Seidel gera uma seqüência que converge para a solução do seguinte sistema, desde que as equações estejam devidamente arrumadas: x1­3x2+x3=­2 ­6x1+4x2+11x3=1 5x1­2x2­2x3=9 EXERCICIOS 22) VCN Resolva os sistemas lineares a e b do pelo método de Gauss­Seidel. 2.7 NOÇÕES DE MAL CONDICIONAMENTO BARROSO ( 1987, p.74), para avaliar a precisão da solução   x   do sistema Ax=b, o resíduo r=b­A, onde  x  é a solução  computada. Se  x for uma boa aproximação para x , é esperado   que   as   componentes   de   r   seja   valores   pequenos.   Valores   pequenos   para   as componentes do resíduo podem não indicar que  x seja uma boa aproximação para x.

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EXEMPLOS: 1) Seja o sistema linear  x1+ 1,001x2=2,001 0,999x1+ x2=1,999 a solução exata do sistema [ 1;1] para  x =[2; 0,001] o resíduo  r=[­0,00001; 0] 2)x1+ 1,001x2=2 0,999x1+ x2=1,999 solução: [­999;1000] *o sistema é  mal condicionado 3) Seja o sistema linear: 0,992x + 0,873y=0,119 0,481x+0,421y=0,060 solução :[1,­1]T 0,992 x +0,873y=0,12  ( valor perturbado) 0,481x+0,421y=0,060 solução:[0,8154 ; ­0,7891] * não é mal condicionado 3) Uma matriz mal condicionada é a matriz de Hilbert. Aij= 1 i j−1 Um modo de  se detetar o mal condicionamento  é através do determinante normalizado da matriz dos coeficientes do sistema dado; se o determinante normalizado for sensivelmente menor que a unidade, o sistema será mal condicionado. Se A é uma matriz  de ordem n , seu determinante normalizado, denotado por det(Norm A) é dado por :

det  norm A= det  A

12... n  onde   =

i ,1 2  i ,2 2  i ,n 2

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NORMA MATRICIAL 23)BURDEN (2003, p.372),seja a a matriz A=[1 2 1;0 3 ­1;5 ­1 1] calcule a norma matricial. 24)Seja o sistema linear  x1+2x2+3x3=1       2x1+3x2 +4x3=­1       3x1+4x2+6x3=2 sendo   dado   X =[0 ;−7;5]T

solução geral e X =[−0,33 ;−7,9 ;5,8]Tsolução aproximada

calcule :  ∥X − X∥e∥A X −b∥

Para   CLAUDIO   (1989,   p.79­84),   seja   um   sistema   sistema   linear   Ax=y   e   os   vetores soluções x1  e x2  duas aproximações exata para x.Qual das aproximações é melhor? Uma

forma trivial seria calcular os resíduos dados por r1=y­Ax1  e r2=y­Ax2.

Exemplo: Seja o sistema linear: 0,24x+0,36y+,12z=0,84 0,12x+0,16y+0,24z=0,52 0,15x+0,21y+0,25z=0,64 e sejam x1=[25,­14,­1]T  e x2=[­3,4,0]T Os resíduos são : [ 0  0 0,08]  e [0,12 0,24 0,25] A solução exata : [­3,4,1]T , embora modulo r

1 < modulo de r2, a solução de x2 é melhor que

x1. Conclusão:  Nem sempre a aproximação de menor resíduo é a melhor ou mais exata.  Um problema é dito mal condicionado se pequenas alterações nos dados de entrada ocasionam grandes erros no resultado final. Quando o sistema linear é 2x2 é fácil de verificar ( construção das retas) , mas quando aumenta o tamanho do sistema é preciso um meio de medir este condicionamento.

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Seja o sistema linear Ax=b e o sistema linear com alguma perturbação Ax=b’ . Então a solução Ax=b’ é   x’ .Qual é a modificação em x , sabendo que y foi alterado para b’ . Ax=y A(x­x’)=b­b’ (x­x’)=A­1(b­b’) Aplicando a norma de vetores, indicada por uma barra e a norma de matrizes indicada por duas barras  ∥.∥∞ . Aplicando uma propriedade de norma de matrizes: ∣x −x '∣≤∥A−1∥∣b−b '∣   (1) Divindo por |x|: ∣x −x '∣x∣ ≤ ∥A−1∥ ∣x∣b−b '∣ Pode­se escrever : ∥x∥≤∥A−1∥∥b∥ 1 ∥x∥≤ ∥A∥b∣   (2) Multiplicando as equações (1) e (2) ambos os membros. ∣x−x '∣x∣ ≤∥A −1∥∥A∥b−b '∣b∣

valor   relativo   provocado   pela   alteração dos sistema linear de b para b’ fator   de ampliação valor relativo de perturbação feita no sistema Ax=b  A definição de condicionamento é dado por: EXEMPLOS: APLICAÇÕES NA FERRAMENTA MATEMATICA WXMAXIMA 1) Uma matriz mal condicionada é a matriz de Hilbert

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Prof .Jorge Roberto Grobe 11/09/2014 14:12:29 Calculo Numérico USANDO O WXMAXIMA: (%i1) h [i, j] := 1 / (i + j ­ 1); 1 (%o1) h := i, j i + j - 1 (%i2) genmatrix (h, 3, 3); [ 1 1 ] [ 1 - - ] [ 2 3 ] [ ] [ 1 1 1 ] (%o2) [ - - - ] [ 2 3 4 ] [ ] [ 1 1 1 ] [ - - - ] [ 3 4 5 ] fonte: http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/pt/maxima_25.html Função: mat_cond (M, 1) 

Função: mat_cond (M, inf)

Retorna o número condiciona da norma de ordem p da matriz m. Os valores permitidos para p são 1 e inf. Essa função utiliza a factorização linear alta para inverter a matriz m.  • Dessa forma o tempo de execução para mat_cond é proporcional ao cubo do tamanho da matriz;  • lu_factor determina as associações baixa e alta para o número de condição de norma infinita em tempo proporcional ao quadrado do tamanho da matriz.  • (%i6) matrix( [1,2], [5,9]); • (%o6) matrix([1,2],[5,9]) • (%i7) mat_cond(%o6,1); • (%o7) 154 • (%i8) mat_cond(%o6,inf); • (%o8) 154 • a principio esta calculando a norma infinita pelas linhas  APLICAÇÕES NA FERRAMENTA MATEMATICA SCILAB ­­>A=[1 2; 5 9]

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Coordenação do Curso das Engenharias de Eletro Mecânica, Elétrica e Produção Civil

Prof .Jorge Roberto Grobe 11/09/2014 14:12:29 Calculo Numérico  A  =       1.    2.       5.    9.     ­­>cond(A)  ans  =       110.99099   EXERCICIOS 25)WXMAXIMA E SCILAB E VCN BARROSO(1987, p.79), resolver o sistema linear  e verificar se o sistema é mal condicionado: x6y2z4t=8 3x19y4z15t=25 x4y8z12t=18 5x33y9z3t=72 REFERÊNCIAS

• KOLMAN, Bernard.  Introdução à Álgebra Linear Com Aplicações.  6a  edição. RJ. Editora

LTC.1999.

• BARROSO, L.C. et. al. Cálculo Numérico(com aplicações) 2.ed. SP. Editora  Harbra.1987. • BURDEN, R.L e FAIRES, J.D. Analise Numérica. Pioneira  Thomson  Learning. 2003.

• LAY, D. C. Algebra Linear e suas aplicações.2a edição Editora LTC.RJ. 1999. • PERESSINI, A. L.et .al. The Mathematics of Nonlinear Programing.USA.1988.

• CLAUDIO, D.M e MARINS, J.M.Calculo Numérico Computacional.Teoria e Pratica.Editora

Atlas.SP.1989.

LAY, David C. Álgebra Linear e suas aplicações. 2.ed. RJ: Editora LTC, 1999.

STEINBRUCH, A; WINTERLE, P. Álgebra Linear.2.ed. SP.McGRaw-Hill.1987.

• BOLDRINI, L. J.et.al. Algebra Linear. 3a edição. SP. Editora Harbra. 1980.

• BATSCHELET, E. Introdução A Matemática para Biocentistas. SP.Editora da Universidade

de São Paulo.1978.

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Coordenação do Curso das Engenharias de Eletro Mecânica, Elétrica e Produção Civil

Prof .Jorge Roberto Grobe 11/09/2014 14:12:30 Calculo Numérico

Disponivel   em    MetodosNumericoseEstatisticos/MNEaula04.ppt   acessado   em

16/02/2009.

• Disponivel   em  http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/pt/maxima_25.html,

acessado em 17/09/2009.

Referências

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