7.6.1. Sessão 01: Introduzindo o conceito de taxa média de variação, taxa de variação instantânea e velocidade.
Fonte: LARSON – EDWARDS, Cálculo com aplicações, p. 139, Problema nº 13, adaptado.
Data: 19/04/2010, horário; 07h30min. . Turma: T14, Cálculo A.
7.6.1.1 Atividade 01: Situação-Problema de Medicina - A eficácia de um analgésico t horas depois de entrar na corrente sanguínea é dada por E = 1
27 (9t + 3t 2
– t3; 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 4,5). Determine a taxa média de variação de E nos intervalos indicados e compare essa taxa com a taxa de variação instantânea nos extremos dos intervalos: (a) [0,1], (b) [1,2], (c) [2,3], (d) [3,4].
Tabela 01: Eficácia de um medicamento em mg/(mL/hora) em relação ao tempo (em horas).
Tempo (t) Eficácia (E)
0 0 1 11/27 2 22/27 3 1 4 20/27 9/2 21/8 Objetivo da atividade:
Definir taxa média de variação e taxa instantânea de variação. Conhecimentos Prévios:
Coeficiente angular da reta secante, coeficiente angular da reta tangente, medida de um segmento, cálculo do limite de funções.
Dinâmica da aula:
Questões dos alunos e a explicação do professor; questionamento do professor e explicação dos alunos.
Um aluno (Mateus), pergunta:
Professor: Como definiremos taxa média de variação? Explicação do Professor:
Para cada intervalo [t, t+Δt] vamos calcular a taxa média de variação, que é igual ao quociente da diferença, entre as ordenadas da extremidade e da origem e a diferença entre as abscissas da extremidade e da origem do intervalo, isto é: .
Outro aluno (Gustavo) pergunta como tirar ΔE, Δt e da tabela acima. Resposta: No primeiro intervalo [0,1], t varia de 0 a 1 e E varia de 0 a .
Δt = a diferença entre a extremidade 1 e a origem 0 => Δt = 1 - 0 = 1 e, ΔE = a diferença entre a extremidade e a origem 0 => ΔE = - 0 = .
Portanto;
Assim, vocês podem tirar a taxa média de variação nos outros intervalos. Foi dado um tempo para que os alunos pudessem resolver essa atividade. Outro aluno (Tiago) pergunta como achar a taxa de variação instantânea.
Resposta: A taxa de variação instantânea é dada pelo limite da taxa média de variação quando Δt → 0. Como vocês já conhecem limites, podem determinar a taxa de variação instantânea nas extremidades dos intervalos. Literalmente, podemos calcular a taxa de variação média e a taxa de variação instantânea utilizando a função E.
A) Dar a t um acréscimo Δt que corresponde a E um acréscimo ΔE:
B) Isolar ΔE: E = (1 27)× (9(𝑡𝑡 + ∆𝑡𝑡) + 3(𝑡𝑡 + ∆𝑡𝑡) 2 - (𝑡𝑡 + ∆𝑡𝑡)3- (9 t + 3t2- t3))
C) Dividir tudo por Δt:
Dividir ΔE por Δt para achar a taxa média de variação, isto é, . Então:
No intervalo [0, 1], temos Δt = 1 - 0 = 1.
Portanto, confere com o calculado na tabela.
Outro aluno (Paulo Henrique) pergunta: Professor, e a taxa de variação instantânea?
A taxa de variação instantânea será vista agora, como foi dito acima é o limite da taxa média de variação quando Δt → 0, ou seja:
D) Tomar o limite da taxa média de variação
Que é a derivada de E no instante t, isto é:
Se (Derivada de E em relação a t)
No instante t = 0 → = 1/3. No instante t = 1 → = 4/9.
A resolução do problema acima foi completada pelos alunos.
Solução esperada pelo professor:
a) A taxa de variação média no [0,1] é 11/27 e a taxa de variação instantânea nos extremos do intervalo são: E'(0) = 1/3, E'(1) = 4/9.
b) A taxa de variação média no [1,2] é 11/27 e a taxa de variação instantânea nos extremos do intervalo são: E'(1) = 4/9, E'(2) = 1/3.
c) A taxa de variação média no [2,3] é 5/27 e a taxa de variação instantânea nos extremos do intervalo são: E'(2) = 1/3 e E'(3) = 0.
d) A taxa de variação média no [3,4] é -7/27 e a taxa de variação instantânea nos extremos do intervalo são: E'(3) = 0 e E'(4) = -5/9.
Considerações:
1. Quando a taxa de variação média é positiva, a concentração do analgésico está aumentando, e negativa quando a concentração está diminuindo. A taxa de variação média acontece no intervalo [t, t + Δt].
2. A taxa de variação instantânea se dá no instante t. A taxa de variação instantânea representa a derivada de E no instante t, se positiva, a concentração do analgésico é crescente e, se negativa decrescente. Ela pode ser observada pela inclinação da reta
tangente à curva de E no ponto considerado. Quando inclinada para a direita, positiva e quando inclinada para a esquerda, negativa.
Pois, mesmo nos intervalos não desenvolvidos pelo professor, indicando possivelmente a compreensão da tarefa.
Na 2ª sessão, concretizamos os grupos de tres alunos, onde um lê a situação-problema, outro coordena o caminho de solução e o terceiro opera o computador. Os grupos institucionalizados foram dez. Foi dado para cada grupo um livro do software
maple contendo as instruções de como operar esse software, para ser utilizado na
resolução dos problemas que serão propostos. Pergunta feita pelo professor:
Que contribuições o software maple ajudará para atingir os objetivos propostos?
O software maple tem uma de suas aplicabilidades no cálculo diferencial e integral. Com o software maple poderemos resolver problemas que envolvem limites, derivadas, integrais, traçar gráficos de retas, curvas em 2D e 3D, na qual terão uma visão plana ou espacial conforme o tipo de problema proposto. É uma importante ferramenta para complementar o processo de ensino-aprendizagem do Cálculo A.
O que será analisado? Os alunos, seu potencial, suas dúvidas, seus acertos, como compreendem o que é taxa média de variação e o que é taxa instantânea de variação.
Como será analisado? Será analisada a situação-problema eficácia de um analgésico na corrente sanguínea procurando fazer com que os alunos vejam, entendam, compreendam e calculem a taxa média de variação e velocidades com o uso do software
maple, utilizando o livro do software maple como guia de orientação.
Segundo Polya e Dante, a situação-problema proposta que é um problema de medicina será acompanhada de quatro fases, isto é:
Na primeira fase temos que compreender o problema para poder resolvê-lo. Na segunda fase, quais as incógnitas? t, E, ΔE, Δt, e
Quais os dados:
Os intervalos de variação e os pontos extremos do intervalo e a função
Na terceira fase vamos usar a função para podermos alcançar o objetivo de eficácia de um medicamento.
Na quarta fase fazendo um retrospecto da solução, verificando os cálculos para se ter certeza que o analgésico foi eficaz, t horas depois de ter entrado na corrente sanguínea.
A aluna Ana se dirige ao professor e faz a seguinte pergunta:
O senhor pode mostrar graficamente onde está a taxa média de variação no 1º intervalo [0, 1] e a taxa de variação instantânea na extremidade em t = 1.
Resposta:
Vamos fazer a demonstração no software maple:
Agora, vamos trabalhar com letras para expressar as incógnitas, isto é: O intervalo de tempo [t, t+Δt], Δt = t+ Δt - t ;
O incremento da função ΔE = E + ΔE - E.
Depois de ter chegado à incógnita , usar os números adequados da tabela acima para calcular esta razão.
A razão de variação nos dá a eficácia do analgésico no intervalo [t, t+Δt]. A taxa média de variação representa o coeficiente angular da reta secante à curva de E no ponto A (0, 0) e B (1, 11/27), isto é:
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Figura 02: Curva de eficácia de um analgésico.
Observação: A notação graf:=PLOT(...) significa que o gráfico naquela situação está pronto.
Solução apresentada por dois grupos de alunos:
A eficácia (E, em escala de 0 a 1) de um analgésico t horas depois de entrar na corrente sanguínea é dada por 𝐸𝐸 = (1 27⁄ )(9𝑡𝑡 + 3𝑡𝑡2− 𝑡𝑡3), 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 4.
Determine a taxa de variação média de E nos intervalos indicados e compare essa taxa com a taxa de variação instantânea nos extremos do intervalo: (a) [0, 1], (b) [1, 2], (c) [2, 3], (d) [3, 4] Solução: > > > > >
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Na segunda parte da sessão os grupos 07 e 09 apresentaram a solução pelo software
maple. Os outros grupos fizeram as tarefas com sem o uso do software maple.
Todos os grupos realizaram a tarefa.
Demonstraram que houve uma aprendizagem significativa, pois o novo conhecimento foi ancorado nos conhecimentos prévios já existentes na sua estrutura mental.
Houve participação total dos grupos, pois, a resolução de problemas é muito importante para o novo aprendizado.
As taxas de variação instantânea nas extremidades dos intervalos: >
> > > > > > Considerações do Professor:
A teoria de Ausubel é uma teoria cognitiva e, busca explicar teoricamente o processo de aprendizagem na ótica cognitivista. Significa como o indivíduo se situa e organiza o seu mundo. Preocupa-se com o processo de compreensão, transformação, armazenamento e uso da informação envolvida na cognição. Para Moreira a estrutura cognitiva de um indivíduo é um complexo organizado resultante do processo cognitivo através dos quais adquire e utiliza o conhecimento.
Para Ausubel, novas idéias e informações podem ser apreendidas e retidas na medida em que conceitos relevantes e inclusivos estejam claros e disponíveis na estrutura cognitiva do indivíduo e sirvam de ancoradouro a novas idéias e conceitos.
Para MOREIRA, 2005, p. 127. Quando novas informações adquirem significado para o indivíduo através da interação com esses conceitos, sendo por eles assimilados e contribuindo para sua diferenciação, elaboração e estabilidade, a aprendizagem é dita significativa.
Acredito que a aprendizagem significativa aconteceu, pois, os conceitos de taxa média (coeficiente angular da reta secante) e taxa instantânea (coeficiente angular da reta tangente) se apoiaram nos conceitos subsunçores, já existente na estrutura cognitiva dos alunos. Portanto, os estudantes demonstraram que entenderam o que é taxa média de variação e o que é taxa instantânea de variação.
