Análise da Rebentação de Ondas com Ensaios em Laboratório

Análise da Rebentação de Ondas com Ensaios em

Laboratório

André José Figueira Martins

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Civil

Júri

Presidente: Professor António Jorge Silva Guerreiro Monteiro

Orientadores: Professor António Alberto Pires Silva

Doutora Conceição Juana Espinosa Morais Fortes

Vogais:

Professor António Alexandre Trigo Teixeira

Professor José Manuel Paixão Conde

I

Agradecimentos

Ao Professor António Pires Silva, pela oportunidade que me deu em realizar esta dissertação e pelo voto de confiança que depositou em mim. Agradeço pela paciência para esclarecer todas as dúvidas e pelos ensinamentos que me proporcionou sobre os mais variados assuntos, quer relacionados ou não com o trabalho realizado. Agradeço pela capacidade de orientação exigente e ao mesmo tempo descontraída, e pela sua habilidade de ensinar, que me proporcionou uma grande aprendizagem no decurso deste processo.

À Doutora Juana Fortes, pela orientação ao longo de todo o estágio, a cordialidade e forma calorosa com que me acolheu e apresentou às várias pessoas integrantes do LNEC - Núcleo de Portos e Estruturas Marítimas. Agradeço também pela genuína demonstração de preocupação com que sempre tratou e acompanhou as tarefas que desempenhei.

Ao Mestre Diogo Neves, agradeço pela simpatia e disponibilidade durante o estágio, pelo apoio nos ensaios e pela ajuda nas dúvidas mais técnicas do canal e dos respectivos dados.

Ao Professor José Conde agradeço pela aprendizagem que me proporcionou na realização dos ensaios, pela boa disposição e o à vontade que sempre mostrou.

Ao Doutor Rui Capitão, agradeço pela disponibilização do software de sua autoria para a realização deste trabalho.

A todos os funcionários do LNEC, do Departamento de Hidráulica e Ambiente – Núcleo de Portos e Estruturas Marítimas, agradeço pela amabilidade e receptividade com que me receberam no tempo que passei lá.

Agradeço também aos meus colegas mais próximos da Universidade, por todo o apoio, amizade e aprendizagem que me proporcionaram durante os anos de curso.

Por fim, um sincero obrigado aos meus amigos mais chegados, aos meus pais e à minha irmã, Carlos Martins, Rita Martins e Nádia Martins, respectivamente, que me apoiaram sempre e contribuíram para a pessoa que sou hoje, reflectindo-se também neste trabalho.

II

Resumo

A rebentação de ondas é um fenómeno caracterizado pela dissipação de energia, efeitos de turbulência e emulsão de ar.

A importância do estudo deste fenómeno deve-se às consequências que este pode ter, na medida que, o processo de rebentação de ondas é ao mesmo tempo um dos mais dramáticos visualmente, como um dos fisicamente mais importantes para o movimento das ondas e para o desenvolvimento das correntes perto da costa.

Estando os conhecimentos sobre os processos envolvidos neste fenómeno ainda longe de completos, os resultados experimentais desempenham um papel importante na sua clarificação. Iniciou-se com uma breve revisão teórica sobre o estado actual do tema sendo que, na parte prática, o trabalho apresentado descreve uma gama de testes realizados num canal de ondas do Laboratório Nacional de Engenharia Civil (LNEC), com o objectivo principal de introduzir uma extensa análise das ondas, principalmente, a análise da propagação de ondas em condições propícias à rebentação. Portanto, este trabalho mostra a configuração experimental, as condições da onda incidente e a medição da elevação da superfície livre ao longo do canal de ondas. Com base na série temporal da elevação da superfície livre, foi realizada e apresentada uma análise estatística no domínio do tempo, uma análise espectral padrão baseada na transformada de Fourier e uma análise com Wavelets.

O presente trabalho visa também comparar os resultados, adquiridos nos referidos ensaios, com outros valores numéricos obtidos da aplicação de formulações empíricas referentes a geometrias semelhantes à estrutura em estudo. Desta forma, fazendo a análise de casos análogos ao caso de estudo, irá contribuir para uma melhor compreensão das potencialidades das formulações utilizadas e para a sistematização do conhecimento que podemos adquirir através de uma combinação de resultados experimentais e simples aproximações teóricas.

III

Abstract

Wave breaking is a phenomenon characterized by energy dissipation, turbulence effects and air emulsion.

The importance of studying this phenomenon is due to the effects it may have, as the process of wave breaking is both one of the most visually dramatic, and one of the most important physically for the wave motion and for the development of near shore currents.

Since the knowledge of the processes involved in this phenomenon is still far from complete, the experimental results play an important role in their clarifying. This study began with a brief literature review on the current status of the subject and, at the practical level, the presented work describes a range of wave channel tests performed at the National Laboratory of Civil Engineering (LNEC), with the main objective of introducing an extensive analysis of the waves, especially the analysis of wave propagation in conditions prone to wave breaking. Therefore, this paper shows the experimental setup, the incident wave conditions and the measurements of the free surface elevation along the wave channel. Based upon the time series of the wave data measurements, a statistical time domain analysis, a standard Fourier based spectral analysis and a Wavelet analysis was performed and presented.

This study also aims to compare the results, acquired in these tests, with predictions obtained from the application of empirical formulations relating to geometries similar to the structure under study. Thus, the analysis of similar cases to the case study will contribute to a better understanding of these empirical formulations, specially their range of application, and represent a move towards the systematization of the knowledge we can gain using a combination of experimental results and simple theoretical approximations.

IV

Índice

Agradecimentos... I Resumo ... II Abstract ... III Índice de Figuras ... VII Índice de Tabelas ... X Índice de Ilustrações ... XI Simbologia ... XII 1. Introdução ... 1 2. Objectivos ... 2 3. Enquadramento do Tema ... 3

3.1. Onda Linear Simples ... 3

3.1.1. Parâmetros-chave ... 3

3.1.2. Relações básicas ... 4

3.1.3. Movimento orbital das partículas das ondas ... 6

3.1.4. Energia das Ondas ... 7

3.1.5. Influência da profundidade de água ... 8

3.1.6. Refracção e Difracção ... 11

3.2. Campos de ondas nos oceanos ... 13

3.2.1. Conjunto de ondas simples ... 13

3.2.2. Grupo de ondas e velocidade do grupo ... 14

3.2.3. Descrição estatística de registos de ondas ... 15

3.2.4. Duração de registos da elevação da superfície do mar ... 17

3.2.5. Uso de parâmetros estatísticos ... 17

3.2.6. Distribuição das alturas de onda ... 18

3.2.7. Espectro de resposta da onda ... 20

3.2.8. Parâmetros da onda extraídos do espectro ... 23

3.3. Rebentação de Ondas ... 25 3.3.1. Princípios gerais ... 25 3.3.2. Tipos de Rebentação ... 27 3.3.3. Critérios de Rebentação ... 31 4. Condições Experimentais ... 33 4.1. Introdução ... 33 4.2. Componentes ... 35 4.2.1. Canal de Ensaios ... 35

4.2.2. Sistema de geração de ondas ... 37

V

4.2.4. Sistema de aquisição de dados ... 39

4.3. Condições de agitação incidentes ... 41

4.4. Procedimentos dos ensaios ... 41

4.4.1. Notas dos ensaios ... 42

4.5. Séries de elevação da superfície livre ... 43

4.5.1. Análise no domínio do tempo - Introdução ... 43

4.5.2. Parâmetros estatísticos ... 45

4.5.3. Análise no domínio da frequência ... 46

5. Análise e discussão dos resultados ... 48

5.1. Análise Temporal ... 49

5.2. Análise da altura de onda relativa ... 51

5.3. Análise da Rebentação ... 54

5.3.1. Tipo de rebentação ... 54

5.3.2. Limitação da altura de ondas regulares por rebentação ... 54

5.3.3. Limite da altura de onda relativa em relação ao declive do fundo ... 56

5.3.4. Transformação das ondas na parte interior da zona de rebentação ... 58

5.4. Análise Estatística ... 61 5.4.1. Média ... 61 5.4.2. Desvio padrão ... 62 5.4.3. Assimetria ... 63 5.4.4. Curtose ... 64 5.5. Análise Espectral ... 65 5.5.1. Considerações gerais ... 65 5.5.2. Análise comparativa ... 67 6. Conclusões ... 75 Bibliografia ... 76 Anexos ... i

Anexo A – Análise Temporal ... i

Anexo A1 – Altura Significativa (Período de onda incidente 1.1, 1.5 e 2.5 s) ... i

Anexo A2 – Período Médio ... ii

Anexo A3 – Altura Significativa (Altura de onda incidente 12, 16 e 18 cm) ... iii

Anexo B – Análise da rebentação ... iv

Anexo B1 – Altura relativa ao longo do canal (Altura de onda incidente 14, 16 e 18 cm) ... iv

Anexo B2 – Altura relativa (Período de onda incidente 1.1 s) ... v

Anexo B3 – Altura relativa (Período de onda incidente 1.5 s) ... vi

Anexo B4 – Altura relativa (Período de onda incidente 2.0 s) ... vii

Anexo B5 – Altura relativa (Período de onda incidente 2.5 s) ... ix

VI

Anexo C1 – Onda incidente com Período de 1.1 s e Altura de onda de 12 cm ... xi Anexo C2 – Onda incidente com Período de 1.5 s e Altura de onda de 14 cm ... xiii Anexo C3 – Onda incidente com Período de 2.0 s e Altura de onda de 16 cm ... xv

VII

Índice de Figuras

Figura 1 – Curva sinusoidal simples. ... 3

Figura 2 – Movimento da progressão de uma onda. Treze fotos instantâneas, cada uma com um intervalo de 1/12 do período (Adaptado de Gröen e Dorrestein, 1976). ... 6

Figura 3 – Mudança da trajectória de uma partícula de água durante dois períodos de onda. ... 7

Figura 4 – Orbitais em diferentes profundidades. Cada orbital possui um comprimento de onda 1/9 vezes menor em relação à orbital imediatamente acima desta (Adaptado de Laing et al., 1998). ... 8

Figura 5 – Refracção ao longo de uma praia, com fundo paralelo à linha de costa. ... 11

Figura 6 – Refracção provocada por uma cordilheira/desfiladeiro submarina(o). ... 11

Figura 7 – Refracção ao longo de uma linha de costa irregular. ... 11

Figura 8 – Exemplo de uma onda igual à sobreposição de duas ondas (I e II) simples (Adaptado de Laing et al., 1998). ... 13

Figura 9 – A superfície do Oceano, obtida a partir da soma de várias ondas sinusoidais (Adaptado de Pierson et al., 1955). ... 14

Figura 10 – Amostra dum registo de ondas (Adaptado de Laing et al., 1998). ... 16

Figura 11 – Exemplo de um espectro com o registro de onda correspondente (12 de Novembro de 1973, 21 UTC, 53 ° 25'N, 4 ° 13'E, profundidade de água de 25 m, altura de onda de 4,0 m, período da onda de 6,5 s (Adaptado de Laing et al., 1998). ... 20

Figura 12 – Espectro de variância típico dum sistema de ondas. Pela transformação do eixo vertical em unidades de , é obtido um espectro da energia de ondas. ... 21

Figura 13 – Perfil de onda trocoidal. ... 25

Figura 14 – Último formato possível que as ondas podem ter, segundo a teoria de Stokes (Adaptado de Laing et al., 1998). ... 25

Figura 15 – Exemplo de rebentação progressiva (Adaptado de Fredsøe e Deigaard, 1992). ... 28

Figura 16 – Exemplo de rebentação mergulhante (Adaptado de Fredsøe e Deigaard, 1992). .. 28

Figura 17 – A - Primeira fase da rebentação mergulhante. B - Continuação do movimento de rebentação e posterior geração de vórtices (Adaptado de Fredsøe e Deigaard, 1992). ... 29

Figura 18 – Exemplo de rebentação de fundo (Adaptado de Fredsøe e Deigaard, 1992). ... 29

Figura 19 - Comparação entre os três tipos de rebentação, progressiva (a), mergulhante (b) e de fundo (c), em quatro momentos distintos da sua evolução (Adaptado de Dean e Dalrymple, 2002). ... 31

Figura 20 – Tipo de rebentação de acordo com Kjeldsen (linha contínua) e Galvin (linha tracejada) (Adaptado de Fredsøe e Deigaard, 1992). ... 32

Figura 21 – Planta do canal (Adaptado de Conde, 2012). ... 35

Figura 22 – Perfil longitudinal do canal (Adaptado de Conde, 2012). ... 36

Figura 23 – Exemplo dum sinal de geração de ondas. (Adaptado de Neves et al., 2011a) ... 37

Figura 24 – Organigrama da instalação experimental, para ensaios do tipo I (Adaptado de Neves et al., 2011a). ... 40

Figura 25 – Separador “Data”. ... 43

Figura 26 – Separador “Run ANOI”... 44

Figura 27 – Separador “Time Analysis”. ... 44

Figura 28 – Módulo “ANALISES” (Adaptado de Fortes et al., 2010). ... 45

Figura 29 – Amostra da folha de Excel™. ... 46

Figura 30 – Exemplo dum espectro no programa SAM MOD 7. ... 46

Figura 31 – Ecrã principal do programa em Matlab™. ... 47

Figura 32 – Variação da altura significativa ao longo do canal, para os ensaios com período de onda incidente igual a 2.0 s. ... 49

Figura 33 – Evolução do período médio ao longo do canal, para os ensaios com altura de onda incidente igual a 16 cm. ... 49

VIII

Figura 34 – Variação da altura de onda significativa ao longo do canal, para ondas incidentes com H=14 cm e com períodos diferentes. ... 50 Figura 35 – Evolução da altura de onda relativa ao longo do canal, para os 4 casos de ondas incidentes com altura H=12 cm. ... 51 Figura 36 – Partes exterior e interior da zona de rebentação (Adaptado de Fredsøe e Deigaard, 1992). ... 52 Figura 37 – Variação na altura relativa após a rebentação, conforme o declive (Adaptado de Fredsøe e Deigaard, 1992). ... 52 Figura 38 – Comparação entre os dados da Equação 5.1 e da onda incidente com período 1.5 s e altura de onda 16 cm. ... 53 Figura 39 – Altura relativa de rebentação versus , com comparação entre os resultados (Adaptado de Goda, 1985). ... 55 Figura 40 – Altura de rebentação relativa em função de (Adaptado de Corps of Engineers, 2003). ... 57 Figura 41 – Efeito do declive do fundo na atenuação da onda dentro da zona de rebentação (Adaptado de Horikawa e Kuo, 1966). ... 58 Figura 42 – Correlação entre altura de onda normalizada e profundidade normalizada, para um declive de 1:20 (Adaptado de Horikawa e Kuo, 1966). ... 59 Figura 43 – Correlação entre altura de onda relativa e profundidade normalizada, para um declive de 1:20 (Adaptado de Horikawa e Kuo, 1966). ... 60 Figura 44 – Média da elevação da superfície livre, para uma onda incidente com altura de 18 cm e período de 1.5 s. ... 61 Figura 45 – Desvio padrão da elevação da superfície livre, para uma onda incidente com altura de 18 cm e período de 1.5 s. ... 62 Figura 46 - Assimetria da elevação da superfície livre, para uma onda incidente com altura de 18 cm e período de 1.5 s. ... 63 Figura 47 – Curtose da elevação da superfície livre, para uma onda incidente com altura de 18 cm e período de 1.5 s. ... 64 Figura 48 – Representação de duas ondas harmónicas com frequências e , dado um =1/( + ). ... 65 Figura 49 – Exemplo de uma wavelet de Morlet. ... 66 Figura 50 – Análise Wavelet do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=-1000 cm. ... 68 Figura 51 – Análise de Fourier do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=-1000 cm. ... 68 Figura 52 – Análise Wavelet do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=-500 cm. ... 69 Figura 53 – Análise de Fourier do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=-500 cm. ... 69 Figura 54 – Análise Wavelet do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=-400 cm. ... 70 Figura 55 – Análise de Fourier do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=-400 cm. ... 70 Figura 56 – Análise Wavelet do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=-150 cm. ... 71 Figura 57 – Análise de Fourier do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=-150 cm. ... 71 Figura 58 – Análise Wavelet do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=-100 cm. ... 72 Figura 59 – Análise de Fourier do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=-100 cm. ... 72 Figura 60 – Análise Wavelet do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=0 cm. ... 73

IX

Figura 61 – Análise de Fourier do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=0 cm. ... 73 Figura 62 – Análise Wavelet do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=400 cm. ... 74 Figura 63 – Análise de Fourier do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=400 cm. ... 74

X

Índice de Tabelas

Tabela 1 – Intervalos do número de Iribarren, conforme o tipo de rebentação. ... 31 Tabela 2 – Posição das sondas no canal, medidas em cm, relativamente ao ponto x=0 cm, no topo da 2ª rampa. ... 39 Tabela 3 – Características das ondas incidentes nos ensaios realizados do tipo I. ... 41 Tabela 4 – Dados sobre a posição, altura de onda e profundidade de rebentação, para os quinze ensaios... 48 Tabela 5 – Tipos de rebentação para os quinze ensaios efectuados... 54 Tabela 6 – Dados dos quinze ensaios utilizados para comparação entre a altura relativa de rebentação e o factor . ... 55 Tabela 7 – Dados dos quinze ensaios utilizados para comparação entre a altura relativa de rebentação e o factor . ... 57

XI

Índice de Ilustrações

Ilustração 1 – Difracção das ondas devido ao quebra-mar, nas ilhas Channel, Califórnia

(Adaptado de Corps of Engineers, 1977). ... 12

Ilustração 2 – Três exemplos do espectro de onda, em fases distintas do seu desenvolvimento: Geração no mar alto, propagação em águas profundas e empolamento e rebentação em águas pouco profundas. ... 22

Ilustração 3 – Exemplos reais dos tipos de rebentação (Adaptado de Corps of Engineers, 2003). ... 30

Ilustração 4 – Vista geral do local dos ensaios. ... 33

Ilustração 5 – Vista frontal do canal de ondas em duas situações distintas: vazio e cheio. ... 34

Ilustração 6 – Visão geral de um ensaio durante a fase de rebentação. ... 34

Ilustração 7 – Vista do canal de ensaios. ... 35

Ilustração 8 – Pormenores da bomba. ... 36

Ilustração 9 – Válvulas para entrada de água no canal. ... 36

Ilustração 10 – Pormenores do batedor de ondas. ... 37

Ilustração 11 – Pormenores da sonda AØ. ... 38

Ilustração 12 – 8 sondas resistivas usadas nos ensaios do tipo I. ... 38

Ilustração 13 – Portátil para transmissão de dados e Box de ligação. (Adaptado de Neves et al., 2011a) ... 39

Ilustração 14 – Painel National Instruments™, SPIDER e Condicionador de sinal (Adaptado de Neves et al., 2011a). ... 40

XII

Simbologia

Definição Símbolo Dimensão

Aceleração da gravidade L / T2

Altura média quadrática L

Amplitude L

Altura de onda

L

Altura de onda de zero descendente L

Altura de onda média

̅

L

Altura de onda máxima L

Altura de onda significativa

̅̅̅̅̅̅

⁄ L

Altura média de 1/n das maiores alturas

̅̅̅̅̅̅

_⁄ L

Amplitude da j-ésima L

componente da onda

Ângulo de fase da j-ésima -

componente da onda

Altura significativa calculada L com o momento de ordem zero

Altura significativa

L

Assimetria

-

Altura de onda na rebentação L

Celeridade L / T

Celeridade em águas profundas L / T

Comprimento de onda

L

Comprimento de onda ao largo

L

Curtose -

Declive do fundo

-

XIII

Massa volúmica da água

M / L3

Desvio-padrão

L

Densidade espectral de

L2.T variância (espectro)

Elevação da superfície livre L

Energia da onda (por unidade de área)

M / T2

Frequência 1 / T

Frequência angular temporal 1 / T

Frequência da j-ésima componente 1 / T

da onda

Frequência de pico 1 / T

Média

̅

L

Momento de ordem n

L2.T-n

Momento de ordem zero L2

Número de Iribarren -

Número de Iribarren ao largo -

Número de Iribarren no ponto de -

rebentação da onda

Número de onda 1 / L

Número de onda em águas profundas 1 / L

Número de registos -

Período

T

Período de onda análogo à T

frequência média do espectro

Período de onda significativo

̅̅̅̅̅

_⁄ T

Período de onda teórico equivalente ao T

período médio de zero descendente

̅

XIV

Período médio de zero descendente

̅

T

Período médio do n-avo

̅̅̅̅̅̅

⁄ T

de ondas mais altas

Probabilidade das alturas não

-

excederem

Probabilidade das alturas

-

excederem

Profundidade de água

L

Profundidade de água no ponto

L

de rebentação da onda

Tangente hiperbólica

-

Variância

L2

1

1. Introdução

A determinação da zona de rebentação é essencial em estudos de hidrodinâmica costeira e de transporte de sedimentos. Sendo a rebentação um fenómeno complexo, não linear e que ocorre com diferentes escalas, a pesquisa neste tema, mais concretamente, a localização e extensão da rebentação são dois dos factores principais para esses estudos, uma vez que determinam a localização e estabilidade das estruturas marítimas e o transporte de sedimentos associado.

Neves et al. (2011a) efectuaram um conjunto de ensaios no canal de ondas irregulares do LNEC, com vista à recolha de dados de elevação da superfície livre e do campo de velocidades, para 15 condições de agitação incidente regular, em diferentes posições ao longo do canal. Os ensaios, efectuados em modelo físico, foram realizados no âmbito do Projecto BRISA - Breaking waves and Induced Sand transport, financiado pela Fundação para a Ciência e Tecnologia (contrato PTDC/ECM/67411/2006). O principal objectivo do projecto é contribuir para a compreensão e modelação numérica dos fenómenos de rebentação das ondas e do transporte de sedimentos em zonas costeiras.

O perfil de fundo consistiu numa série de rampas de inclinação variável. Foi definida uma profundidade de 10 cm de coluna de água no topo da 2ª rampa, de maneira a haver rebentação nessa zona. Obteve-se um conjunto bastante elevado de dados experimentais, cujo tratamento foi realizado utilizando análises clássicas no domínio do tempo e da frequência e com Wavelets.

Esta dissertação é a continuação do trabalho desenvolvido por aqueles autores, dando-se especial ênfadando-se à análidando-se comparativa entre as medições efectuadas nos ensaios com dados de outros estudos semelhantes e também com valores de formulações empíricas e semi-empíricas.

2

2. Objectivos

O presente trabalho tem como principal objectivo a análise hidrodinâmica da rebentação de ondas para as condições de agitação e profundidade testadas. Os dados utilizados foram obtidos nos ensaios realizados no Departamento de Hidráulica e Ambiente - Núcleo de Portos e Estruturas Marítimas, localizado no Laboratório Nacional de Engenharia Civil (LNEC), durante o período entre Abril de 2010 e Março de 2011.

O trabalho desenvolvido nesta dissertação consistiu nos seguintes pontos:

 Apresentar uma revisão dos conhecimentos teóricos e experimentais sobre a rebentação de ondas, incluindo uma selecção das grandezas físicas envolvidas mais significativas no fenómeno;

 Efectuar a comparação com os dados presentes em diversos estudos académicos existentes utilizando os dados obtidos experimentalmente;

 Proceder a uma discussão dos resultados alcançados;

 Propor outras condições de ensaio a testar e parâmetros a analisar em futuros estudos. Esta dissertação tem seis capítulos. Depois da Introdução e do presente capítulo, o Capítulo 3 trata de fazer uma resenha dos conceitos mais relevantes para o estudo da rebentação de ondas. No Capítulo 4, para além de se apresentar as condições experimentais, com a descrição do canal, do sistema de geração de ondas, do equipamento de medição, das condições de agitação e dos procedimentos de ensaios, expõem-se as metodologias seguidas nas análises efectuadas. No Capítulo 5 apresentam-se alguns dos registos efectuados durante as medições, ao mesmo tempo que se mostram as comparações com estudos anteriores. Finalmente, no Capítulo 6 apresentam-se as conclusões dos resultados obtidos no desenvolvimento deste trabalho.

3

3. Enquadramento do Tema

Com o objectivo de ser uma introdução à temática desta dissertação, este capítulo está focado na exposição dos princípios mais relevantes para o estudo da rebentação das ondas. Partindo do exemplo mais simples de uma onda linear, fez-se uma revisão de uma série de conceitos significativos para o assunto em discussão. Após este passo, irá ser exposto o fenómeno da rebentação em si, focando os critérios e tipos de rebentação existentes.

3.1. Onda Linear Simples

O movimento de onda mais simples pode ser representado por uma onda progressiva sinusoidal e com crista longa. Sinusoidal significa que a onda possui uma oscilação periódica, tendo a forma da função do seno, como está representado na Figura 1.

Figura 1 – Curva sinusoidal simples.

É de crista longa pois toda a série de ondas, seguidas umas das outras, possui cristas longas e paralelas, sendo todas iguais em altura e equidistantes umas das outras. O carácter progressivo advém do movimento da forma da onda, a uma velocidade constante, numa direcção perpendicular à da crista e sem qualquer mudança nesta mesma forma.

3.1.1.

Parâmetros-chave

O comprimento de onda, , é a distância em metros (m) medida na horizontal, entre duas cristas sucessivas.

O período de onda, , é o intervalo de tempo, em segundos (s), medido entre a passagem de duas cristas de onda sucessivas num ponto fixo.

A frequência, , é o número de cristas que passam num ponto fixo, durante 1 segundo. Normalmente vem discriminada em número de ciclos por segundo, isto é, em Hertz (Hz), e corresponde ao inverso do período, ou seja, ⁄ .

A amplitude, , é a dimensão máxima do deslocamento vertical da superfície livre da água em relação ao nível médio do mar. Tem como unidades, o metro (m).

4

A altura de onda, , é a diferença, também medida em metros (m), entre as superfícies livres, de uma crista de onda e da cava anterior a esta. Neste caso específico, para uma onda regular, a altura de onda é igual a duas vezes o valor da amplitude, isto é, =2. .

A celeridade, , é a velocidade com que uma crista ou uma cava avançam. É referida geralmente como a velocidade de onda ou velocidade de fase, sendo geralmente dada em metros por segundo (m/s).

A declividade de uma onda, , é o rácio entre a altura e o comprimento de onda, ou seja, = ⁄ .

3.1.2.

Relações básicas

Para as ondas progressivas periódicas, pode dizer-se:

(1.1) O perfil de onda tem a forma de uma onda sinusoidal:

(1.2) Na Equação 1.2, =2π/ , é o número de onda e =2π/ , é a frequência angular temporal. O número de onda é uma medida cíclica do número de cristas por cada 2π unidades de distância, enquanto a frequência angular vem discriminada em número de radianos por segundo. Um ciclo de onda completo representa uma revolução completa, ou seja, é 2π radianos.

Voltando à Equação 1.1, a celeridade, , pode ser exibida por , ou, agora que e estão definidos, como sendo . A dependência da celeridade com o comprimento de onda induz um efeito de dispersão e a relação entre estas variáveis é conhecida como a relação de dispersão (Laing et al., 1998). Para águas profundas pode ser expressa em termos de frequência e comprimento de onda, ou, de forma mais usual, por e :

(1.3) onde é a aceleração da gravidade e esta equação pode ter a forma:

√

(1.4) Voltando à Figura 1, se considerarmos uma foto instantânea no instante =0, o eixo horizontal é dado por x e o perfil da onda fica gravado como:

5

No entanto, o mesmo perfil é obtido quando o movimento da onda é medido por meio de um gravador de ondas colocado na posição =0. O perfil gravado é dado pela Equação 1.6:

(1.6) que descreve o movimento de, por exemplo, subida ou descida de uma bóia flutuante, enquanto uma onda passa.

Portanto, os parâmetros mais importantes quando se faz a previsão de ondas ou para efeitos de medição de instalações ao largo (offshore) são a altura, o período (ou, se desejarmos, o seu inverso, a frequência) e a direcção da onda. Um observador obrigado a dar uma estimativa visual não terá a possibilidade de fixar um nível zero como na Figura 1 e não pode, portanto, medir a amplitude da onda. Em vez disso, é indicada a distância vertical entre a crista e a cava anterior, isto é, a altura de onda.

Na realidade, as ondas sinusoidais simples, descritas em cima, não são encontradas no mar, sendo que apenas uma ondulação (swell) que passe por uma zona sem vento pode chegar perto dessa situação. A razão pela qual se fez esta descrição de ondas simples é pelo facto de estas constituírem as soluções básicas das equações que regem a fenomenologia das ondas na superfície livre do mar e sendo, por essa razão, as bases para os campos de ondas reais que ocorrem nos oceanos.

6

3.1.3.

Movimento orbital das partículas das ondas

Se analisarmos cuidadosamente um pequeno objecto flutuante é possível verificar que este tem um movimento ascendente e descendente. Na realidade, ele avança nas cristas e retrocede nas cavas.

De facto, durante um ciclo de uma onda simples, por exemplo, num período de onda, as partículas da onda descrevem a trajectória dum círculo no plano vertical (em águas profundas), plano este que é o indicado na Figura 1. Em zonas de águas pouco profundas, o movimento aproxima-se mais de uma elipse. A Figura 2 ilustra o movimento de uma partícula para o caso de uma onda sinusoidal simples, em águas profundas.

Figura 2 – Movimento da progressão de uma onda. Treze fotos instantâneas, cada uma com um intervalo de 1/12 do período (Adaptado de Gröen e Dorrestein, 1976).

Consideremos então a velocidade na qual uma partícula de água completa o seu trajecto. O perímetro da circunferência é, aproximadamente, igual a π e é percorrido num intervalo de tempo igual a um período . A ordem de grandeza da velocidade da partícula pode ser dada por π , sendo este o maior valor que pode ser atingido nas cristas.

No entanto, não se deve confundir a velocidade de partículas individuais e a velocidade com que um perfil de onda se propaga (velocidade de onda). A velocidade desta última é normalmente muito maior, já que é dada por , e o comprimento de onda é geralmente superior a π .

A Figura 2 foi simplificada de maneira a mostrar a progressão das cristas e cavas, resultado do movimento da partícula de água. Na realidade, dependendo da declividade da onda, a partícula de água não retorna ao ponto exacto de partida da sua trajectória, já que ela acaba por ir bater numa posição ligeiramente à frente, na direcção por onde a onda está a progredir. Isto está exemplificado na Figura 3.

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Figura 3 – Mudança da trajectória de uma partícula de água durante dois períodos de onda.

Ou seja, por outras palavras, o movimento de retorno de uma cava é ligeiramente menor que o de avanço duma crista, criando assim um pequeno deslocamento para a frente. Esta diferença aumenta conforme a declividade da onda seja maior (Laing et al., 1998).

3.1.4.

Energia das Ondas

Quando uma onda perturba a superfície livre de um fluido comunica energia cinética a este. As ondas também deslocam partículas na vertical e por isso afectam a energia potencial de uma coluna de água. A combinação destas duas formas de energia movimenta-se em conjunto com a onda. A energia total é dividida de forma simétrica entre a energia cinética e energia potencial, na aproximação da teoria linear de ondas de pequena amplitude.

É importante notar que a energia não se desloca à mesma velocidade da onda, a chamada velocidade de fase. Ela movimenta-se com a velocidade do grupo de ondas. O conceito de velocidade de grupo irá ser exposto na secção 3.2.2, mas é importante notar aqui que, em águas profundas, a velocidade de grupo é igual a metade da velocidade de fase (Laing et al., 1998).

A energia total de uma onda linear é dada por /2, que é o mesmo que /8, onde é a massa volúmica da água (Laing et al., 1998). Isto é o valor total dado pelas parcelas de energia cinética e potencial de todas as partículas duma coluna de água para um comprimento de onda. Este valor irá ser importante na Secção 3.2.8.

8

3.1.5.

Influência da profundidade de água

À medida que uma onda se propaga, as partículas de fluido percorrem trajectórias em forma de círculos verticais, que se tornam progressivamente menores quanto maior for a profundidade, seguindo um decrescimento exponencial (Laing et al., 1998), como está exemplificado na Figura 4:

Figura 4 – Orbitais em diferentes profundidades. Cada orbital possui um comprimento de onda 1/9 vezes menor em relação à orbital imediatamente acima desta (Adaptado de Laing et al., 1998).

Abaixo de uma profundidade correspondente a metade do comprimento de onda, , os deslocamentos das partículas em zonas de águas profundas são menores do que 4% dos existentes à superfície. O efeito disto é que, desde que a profundidade da água seja superior ao valor correspondente a /2, a influência do fundo sobre o movimento das partículas pode ser desprezada. Desta forma, e para qualquer onda de superfície, uma zona é considerada de águas profundas quando a sua profundidade é pelo menos igual a metade do comprimento de onda ao largo, (Laing et al., 1998).

De maneira a caracterizar o rácio entre a profundidade ( ) e o comprimento de onda ( ), existem os seguintes limites:

 Águas profundas /2;

 Águas intermédias /20 /2;

 Águas pouco profundas /20.

É importante notar que o efeito de dissipação da onda devido à interacção com o fundo, fruto do atrito com o fundo e do movimento de sedimentos, ainda não é tida em conta nesta parte.

Quando as ondas se propagam até zonas de águas pouco profundas, tomando como exemplo a aproximação à costa, quase todas as características da onda mudam, já que começa a sofrer os efeitos do fundo, sendo que apenas o período se mantém constante. A

9

velocidade de onda diminui com a redução da profundidade (Laing et al., 1998). Da relação = conclui-se que o comprimento de onda também diminui.

Da teoria linear do movimento de onda, pode deduzir-se a relação de dispersão que relaciona a velocidade de onda, , com o número de onda, =2π/ , e também com a profundidade . Apresenta-se essa relação na Equação 1.7:

(1.7) em que é a aceleração gravítica e representa a tangente hiperbólica:

(1.8) A relação de dispersão, indicada na Equação 1.7, em termos da frequência angular e do número de onda, pode ser escrita da seguinte forma:

(1.9) Em águas profundas ( /2), o valor da aproxima-se da unidade e o valor de atinge o seu máximo. A Equação 1.7 fica então reduzida à Equação 1.10:

(1.10)

ou, usando = , originário da Equação 1.1:

√

(1.11)

(1.12)

(1.13) Expressando em unidades de metro por segundo ao quadrado, o termo /2.π é aproximadamente igual a 1.56 m/s2. Neste caso, podemos escrever que =1.56. , em metros (m), e que =1.56. , em metros por segundo (m/s).

Quando estamos perante uma situação de águas pouco profundas ( /20), a Equação 1.10 pode ser simplificada para seguinte forma:

10

A relação existente na Equação 1.10 ostenta maior relevância quando lidamos com ondas de período longo e grande comprimento de onda. Quando este tipo de onda propaga-se em águas pouco profundas, a velocidade da onda depende apenas da profundidade.

Por outro lado, se uma onda está numa área com profundidade intermédia ( /20 /2), pode-se usar fórmulas aproximadas para a velocidade de onda e comprimento de onda em águas pouco profundas, expressas pelas Equação 1.15 e 1.16:

√

(1.15)

√

(1.16) com e a corresponderem à velocidade e comprimento de onda em águas profundas, de acordo com as Equações 1.10 e 1.12, respectivamente. O valor de corresponde ao número de onda em águas profundas, 2.π/ .

Um outro aspecto que é condicionado pela mudança da profundidade é a altura de onda. À medida que a onda se próxima da costa, a sua altura aumenta, sendo que isto é resultado das mudanças na velocidade de grupo das ondas (Laing et al., 1998). A energia propagada em direcção à costa tem de ser conservada, pelo menos até que os efeitos de atrito sejam assinaláveis, de maneira a que se a velocidade de grupo diminuir e o comprimento de onda reduzir, a energia em cada comprimento de onda tem de aumentar. Do valor para a energia, indicado na Secção 3.1.4, verificamos que isto significa um aumento da altura de onda .

11

3.1.6.

Refracção e Difracção

Conforme as ondas comecem a sentir os efeitos do fundo, ocorre um fenómeno conhecido como refracção. Quando uma onda passa por uma zona de profundidade intermédia, se esta não tiver um deslocamento perpendicular ao fundo, a parte da onda que estiver numa zona de águas profundas move-se mais rapidamente que a fracção que está na zona de águas pouco profundas, de acordo com a Equação 1.15, fazendo com que a crista da onda se aproxime de uma posição quase paralela aos contornos do fundo. Alguns exemplos de padrões de refracção podem ser vistos desde a Figura 5 até à Figura 7.

Figura 5 – Refracção ao longo de uma praia, com fundo paralelo à linha de costa.

Figura 6 – Refracção provocada por uma cordilheira/desfiladeiro submarina(o).

12

Geralmente, qualquer mudança na velocidade da onda, por exemplo, devido ao gradiente de correntes na superfície, podem levar à refracção, independentemente da profundidade de água.

Por sua vez, o fenómeno de difracção ocorre normalmente a sotavento de obstáculos como, por exemplo, quebra-mares. A obstrução faz com que a energia tenha de ser transmitida ao longo da crista de uma onda. Esta transferência de energia quer dizer que as ondas podem afectar a água a sotavento de uma estrutura, embora a altura destas sejam muito reduzidas. Um bom modelo disto está exemplificado na Ilustração 1.

Ilustração 1 – Difracção das ondas devido ao quebra-mar, nas ilhas Channel, Califórnia (Adaptado de Corps of Engineers, 1977).

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3.2. Campos de ondas nos oceanos

Na realidade, as ondas nos oceanos não têm um perfil tão simples como o mostrado na Figura 1. Com as suas formas irregulares, apresentam superfícies em constante mudança, já que as ondas estão continuamente a ser ultrapassadas e atravessadas por outras. Como resultado disto, as ondas no mar são normalmente de crista curta. Isto é particularmente verdadeiro para as ondas cujo crescimento é feito sob a influência do vento do mar (Laing et al., 1998).

3.2.1.

Conjunto de ondas simples

As ondas de crista longa e quase sinusoidal podem ser vistas com um padrão mais regular quando as ondas não estão sob a influência dos ventos que as geraram. Tais ondas, conhecidas como ondulação (swell), podem percorrer centenas de quilómetros depois de se afastarem da área onde foram geradas. A ondulação vinda de zonas distantes normalmente mistura-se com as ondas locais geradas pelo vento.

As ondas lineares, descritas na Secção 3.1, podem ser apresentadas de maneira a estarem incluídas em vários padrões observados. Dito de outra forma, qualquer padrão de onda observado no oceano pode ser mostrado de maneira a incluir várias ondas simples, que diferem entre si no comprimento de onda, na altura e na direcção.

Tomemos, como exemplo, ondas com cristas longas, paralelas entre si, mas que diferem na frequência, tal e qual está apresentado na Figura 8.

Figura 8 – Exemplo de uma onda igual à sobreposição de duas ondas (I e II) simples (Adaptado de Laing et al., 1998).

Embora o perfil superior seja relativamente regular, já não é certamente um perfil de onda sinusoidal simples, já que a altura da onda não é igual em todas as cristas e para além disso, a distância horizontal entre estas também é diferente. No entanto, este perfil pode representado como a soma de dois perfis de onda simples com ligeiras diferenças na frequência, por exemplo, os perfis I e II da Figura 8. Ao adicionar os desvios verticais de I e II

14

nos pontos correspondentes do eixo horizontal, obtém-se o perfil superior, aliás, como está representado na Figura 8.

Tirando partido deste conceito simples, de combinação de harmónicas simples, e indo mais além, podemos perceber como um padrão irregular de ondas, provocadas pelo vento, pode ser visto como a sobreposição de um número infinito de ondas sinusoidais, com propagações independentes entre si. Isto está retratado na Figura 9, que mostra um grande número de ondas sinusoidais sobrepostas umas sobre as outras. O exemplo é melhor percebido se imaginarmos que estão representados todos os perfis de onda sinusoidal na superfície do oceano, num determinado instante. Ou seja, como se fosse uma fotografia da área pretendida, com as diferentes “componentes”, i.e., ondas sinusoidais, todas discretizadas. A grande diferença entre cada perfil de onda, para além do comprimento de onda, é a direcção de propagação da onda, que varia em cada um.

3.2.2.

Grupo de ondas e velocidade do grupo

Já vimos como as ondas no oceano podem ser interpretadas como combinações de ondas simples. Na Figura 8, entende-se como duas ondas simples, com comprimentos de onda muito próximos, são combinadas de maneira a formarem grupos de ondas. Este fenómeno é comum, pois qualquer pessoa que tenha observado com atenção as ondas no oceano já terá reparado que as maiores ondas, ou seja, as mais visíveis a olho nu, tendem a vir em grupos.

Embora as diversas cristas existentes num grupo nunca sejam equidistantes entre si, pode-se imaginar o grupo como tendo um distância média e, dessa forma, um comprimento de onda médio. Apesar do facto da crista de cada onda individual avançar a uma velocidade efectiva, correspondente ao seu comprimento de onda, o grupo, funcionando como uma unidade coerente, progride com a sua própria velocidade, sendo esta chamada de velocidade de grupo.

Em zona de águas profundas, o seu valor é dado por:

(2.1) Figura 9 – A superfície do Oceano, obtida a partir da soma de várias ondas sinusoidais (Adaptado de Pierson et al., 1955).

15

Uma equação mais geral, válida para zonas com profundidade de água finita, é apresentada através de:

(

)

(2.2)

Pode-se também mostrar que a velocidade de grupo é a velocidade a que a energia da onda se desloca. Se considerarmos o fluxo de energia devido a uma série de ondas seguidas, a energia cinética está associada com o movimento das partículas de água em orbitais praticamente fechadas e esta energia normalmente não se propaga. Por outro lado, a energia potencial está relacionada com o deslocamento das partículas de água, sendo que esta energia move-se em conjunto com a onda, na velocidade de fase. Assim, em águas profundas, o efeito obtido é o de haver apenas metade da energia a se mover à velocidade de fase, que é o mesmo que dizer a energia total desloca-se a metade da velocidade de fase (Laing et al., 1998).

A integridade da onda é mantida por um balanço contínuo entre a energia cinética e a energia potencial. Á medida que as ondas se propagam para uma zona imperturbada, a energia potencial localizada na onda da frente é convertida em energia cinética, resultando numa perda de amplitude. Isto leva a uma situação de esmorecimento das ondas, à medida que elas ultrapassam a energia. Na retaguarda do grupo de ondas, a energia cinética que foi deixada para trás é convertida em energia potencial, resultando no aparecimento de novas ondas nesse local (Laing et al., 1998).

Por conseguinte, um grupo de ondas pode ser considerado como o veículo da energia das ondas e a velocidade de grupo é também a velocidade com que a energia da onda é propagada, que é um resultado importante na modelação de ondas.

3.2.3.

Descrição estatística de registos de ondas

O padrão algo confuso existente na Figura 9 pode também ser visto, em termos da Equação 1.6, como o movimento da superfície livre da água num ponto fixo. Um registo típico de uma onda para deslocamento deste tipo é mostrado na Figura 10, em que a escala das ordenadas é dada em metros (m) e a escala das abcissas em segundos (s). As cristas das ondas estão indicadas com traços e os cruzamentos de zeros descendentes com círculos. O período de onda é “distância” temporal medida entre dois cruzamentos deste tipo consecutivos, enquanto que a altura de onda é a distância vertical entre uma cava e a próxima crista compreendidos entre dois cruzamentos consecutivos. O valor médio num registo destas alturas constitui a altura .

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Figura 10 – Amostra dum registo de ondas (Adaptado de Laing et al., 1998).

Um registo temporal da elevação da superfície livre nunca é igual, devido ao comportamento algo aleatório desta superfície. Se o estado dum mar puder ser considerado estacionário, as propriedades estatísticas da distribuição de períodos e alturas de onda serão similares entre registos distintos. São frequentemente usados os seguintes parâmetros estatísticos (Laing et al., 1998):

̅ – Altura de onda média;

– Altura de onda máxima, medida num registo;

̅ – Período médio de zero descendente, obtido a partir da divisão do comprimento do registo, em segundos, pelo número de cruzamentos de zeros descendentes;

⁄

̅̅̅̅̅̅ – Altura média de 1/n das maiores alturas, i.e., se todas as alturas de onda medidas num registo forem dispostas em ordem descendente, da maior à menor, o n-avo contendo as ondas mais altas deve ser retirado e ̅̅̅̅̅̅ é dado pelo valor médio dessa parcela; ⁄

⁄

̅̅̅̅̅̅ – Período médio do n-avo de ondas mais altas;

Por norma geral, é normalmente utilizado o valor de n igual a três, obtendo os seguintes dados de referência:

⁄

̅̅̅̅̅̅ – Altura de onda significativa, cujo valor é aproximadamente igual à altura de onda observada visualmente;

⁄

̅̅̅̅̅ – Período de onda significativo, aproximadamente igual ao período de onda associado com o valor do espectro máximo, explicado na Secção 3.2.8.

17

3.2.4.

Duração de registos da elevação da superfície do mar

A optimização da duração das observações do estado do mar é determinada por vários factores. Primeiro que tudo, para uma correcta aplicação do princípio da sobreposição linear do estado do mar, as condições devem ser estatisticamente estacionárias durante o período de amostragem. De facto, isto nunca irá ser integralmente atingido, já que os campos de ondas normalmente estão em estado de evolução, i.e., a crescer ou a decair. Em contrapartida, de maneira a diminuir a incerteza estatística, o registo deve conter pelo menos 200 ondas do tipo cruzamento zero descendente (ou ascendente). Daí, o tempo optimizado para o qual as ondas são medidas é de 15 a 35 minutos, já que neste intervalo as condições previamente enunciadas são atingidas de forma razoável (Laing et al., 1998).

Quando os registos de ondas são processados automaticamente, a análise é sempre precedida por um controlo na qualidade dos pontos de dados registados, de forma a remover discrepâncias e erros devidos a operações defeituosas dos sensores, quer seja em equipamentos de gravação de dados ou de transmissão de dados.

3.2.5.

Uso de parâmetros estatísticos

Normalmente, o termo estado do mar é usado para descrever as condições das ondas por meio de vários parâmetros estatísticos. É comum usar-se a altura significativa da onda,

⁄

̅̅̅̅̅̅, e o período médio, ̅ , ou outro período característico, para definir o estado do mar. A altura de onda máxima correspondente pode também ser deduzida, sendo este procedimento exposto na secção 3.2.6.

O uso do período médio, ̅ , tem as suas desvantagens. A distribuição de cruzamentos de zeros descendentes individuais de um registo é, por norma, bastante ampla e é também, de certa maneira, sensível ao ruído, em contraste com a distribuição de períodos do, por exemplo, terço das ondas mais altas. Além disso, o período médio das ondas mais altas dum registo é usualmente uma boa aproximação do período associado com o pico do espectro de resposta da onda, explicado com maior detalhe na Secção 3.2.8. Verificou-se que o período médio medido a partir dos períodos do n-avo de ondas mais altas, com n maior que três, não é muito diferente de ̅̅̅̅̅̅, exibindo porém maior dispersão (Laing et al., 1998). ⁄

A declividade da onda, , dada por ⁄ , pode ser dada pela forma da Equação 1.12:

(2.3) onde representa a altura de onda (por exemplo, ̅̅̅̅̅̅, ⁄ ̅̅̅̅̅̅, ̅̅̅̅̅̅) e o período de onda (por

18

3.2.6.

Distribuição das alturas de onda

A elevação da superfície livre é designada por . Esta variável expressa a variação da superfície do oceano no espaço e no tempo (ver Equação 1.2) para situações com ondas simples e também para um estado do mar mais complexo. Demonstra-se que a elevação tem uma distribuição estatística Gaussiana, isto é, uma distribuição normal (Longuet-Higgins, 1952).

Para uma variável com distribuição normal, como , os valores máximos são conhecidos por terem uma distribuição aproximada de Rayleigh. Para um certo estado do mar, estes valores máximos estão directamente relacionados com as alturas de onda. Sendo assim, a distribuição de alturas de onda, medidas com o método de cruzamentos de zeros descendentes, pode ser representada, aproximadamente, pela distribuição de Rayleigh. Esta característica já foi verificada com observações em laboratório e em campo (Laing et al., 1998). Se indicar a probabilidade das alturas não ultrapassarem um certo valor num estado

do mar caracterizado por um valor conhecido de ̅̅̅̅̅̅, ⁄ é determinado por:

[

⁄

̅̅̅̅̅̅

⁄

]

(2.4) A probabilidade das alturas excederem H1 é então:

(2.5) No caso de ̅̅̅̅̅̅ ser calculado a partir de um registo de onda de comprimento finito, o ⁄

comprimento do registo ou o número de ondas usadas para os cálculos devem ser tidos em conta. Se, num registo contendo ondas, tivermos ( ≤ ) ondas que excedam uma dada altura , a probabilidade da alturas excederem é:

(2.6) Inserindo as duas relações antecedentes na Equação 2.6, conduz a:

⁄

̅̅̅̅̅̅

_(2.7)

Esta equação proporciona um método rápido para a determinação de ̅̅̅̅̅̅ a partir dum ⁄

registo de ondas. Pelo contrário, se ̅̅̅̅̅̅ for conhecido, a distribuição de uma registo de ondas ⁄

pode ser comparada com a distribuição de Rayleigh usando a Equação 2.8:

19

Para a previsão da altura de onda máxima, , a partir duma sequência de ondas,

em que ̅̅̅̅̅̅ é conhecido, é comum tomar a moda da distribuição dos valores máximos (Laing ⁄

et al., 1998):

̅̅̅̅̅̅ √

⁄ (2.9) Em alternativa, se usarmos o 50º percentil, ou seja a mediana, da distribuição dos valores máximos, obtém-se uma estimativa mais conservativa de por causa da assimetria

da distribuição, i.e., cerca de 5% maior, de acordo com a Equação 2.9:

̅̅̅̅̅̅ √

⁄ (2.10) A previsão de deve ser baseada numa duração realística, por exemplo, seis horas,

à parte dos limites de confiança usuais da previsão de ̅̅̅̅̅̅. Isto implica um valor de entre ⁄

2000 a 5000 (em seis horas existem cerca de 2700 ondas se o período de pico for de 8 s) (Laing et al., 1998). Usando a Equação 2.9 obtém-se:

̅̅̅̅̅̅

⁄ (2.11) Na Secção 3.2.8, é explicada a relação entre ̅̅̅̅̅̅ e ⁄ .

20

3.2.7.

Espectro de resposta da onda

Já foi notado, na Secção 3.2.1, que a superfície do oceano pode ser vista como a soma de vários conjuntos de ondas simples. Uma maneira de formalizar este conceito é através da introdução do espectro de variância da agitação marítima. Uma observação do estado do mar pode ser decomposta por meio de análise harmónica (ou de Fourier) num grande número de ondas sinusoidais com frequências, direcções, amplitudes e fases diferentes. Uma análise mais detalhada sobre os parâmetros utilizados, através da análise de Fourier, nos dados dos ensaios será exposta no Capítulo 5. Cada frequência e direcção descrevem uma componente da onda, e cada componente tem uma amplitude e fase associadas.

Por conseguinte, a análise harmónica fornece uma aproximação à forma irregular dum registo de onda como a soma de curvas sinusoidais. Para a elevação variando no tempo, independentemente da direcção, apresenta-se a Equação 2.12 (Laing et al., 1998):

∑

(2.12) em que:

– Elevação da superfície livre no instante ; – Frequência da j-ésima componente da onda; – Amplitude da j-ésima componente da onda;

– Ângulo de fase da j-ésima componente da onda; – número total de componentes.

O ângulo de fase permite ter em conta o facto de as componentes não estarem todas em fase, isto é, de os seus valores máximos geralmente ocorrerem em instantes distintos. As componentes com frequências altas tendem a tornar-se insignificantes e desta maneira existe um limite razoável para .

Os valores esperados do quadrado das amplitudes são a contribuição, para a variância da elevação da superfície livre ( ), de cada uma das componentes da onda, isto é, a

Figura 11 – Exemplo de um espectro com o registro de onda correspondente (12 de Novembro de 1973, 21 UTC, 53 ° 25'N, 4 ° 13'E, profundidade de água de 25 m, altura de onda de 4,0 m, período da onda de 6,5 s (Adaptado de Laing et al., 1998).

21

variância é dada por =∑ . A função resultante é conhecida como espectro de variância da onda, (Laing et al., 1998). Os espectros típicos da agitação marítima têm uma forma parecida à exibida na Figura 11, onde as amplitudes ao quadrado de cada componente são representadas em função das suas frequências correspondentes. A Figura 11 mostra o espectro dum registo da elevação em conjunto com a série temporal, localizada na parte superior.

Na prática, um espectro pode ser calculado por métodos diferentes. O algoritmo mais comum é a Transforma Rápida de Fourier (FFT).

Uma vez que a energia de onda é igual a /8, ou /2 ( =2. ), os espectros inicialmente eram expressos em termos de e chamados espectros de energia das ondas. No entanto, tornou-se prática comum deixar de parte o termo e utilizar-se /2, ou simplesmente , no eixo vertical. Desta forma, o espectro de energia é considerado como sendo um espectro de variância.

Os espectros das ondas são habitualmente dados como uma curva contínua, ligando os pontos discretos encontrados a partir da análise de Fourier, tendo uma forma geral parecida à da Figura 12. No entanto, a curva pode não ser sempre tão regular. Zonas com maiores irregularidades podem dar azo a um espectro amplo que pode ter vários picos. Estes podem estar claramente separados uns dos outros ou fundidos numa curva mais larga com várias saliências. A ondulação irá geralmente dar um espectro muito estreito, concentrado a energia numa pequena faixa de frequências (ou comprimentos de onda) à volta dum período de pico. Este tipo de espectro estreito está associado a uma aparência relativamente “limpa” das ondas, pois se nos relembrarmos do que foi dito na Secção 3.2.2 (e na Figura 8), são nestas condições que os grupos de onda são claramente visíveis (Laing et al., 1998).

Figura 12 – Espectro de variância típico dum sistema de ondas. Pela transformação do eixo vertical em unidades de , é obtido um espectro da energia de ondas.

É importante notar que a maior parte das medições não fornecem informação sobre a direcção da ondas e sendo assim, só podemos calcular uma distribuição de “energia” sobre as

22

frequências das ondas, . No eixo vertical, a medida para energia das ondas é feita em unidades de m2/Hz.

Já foi visto anteriormente que, embora o espectro teoricamente possa ser contínuo, na prática as variâncias (ou energias) são calculadas para frequências discretas. Ou seja, o domínio da frequência tem de ser visto como um conjunto de valores discretos, em que o valor de para uma frequência de, por exemplo, 0.16 Hz, é considerado como o valor médio num intervalo que vai desde 0.155 até 0.165 Hz. Este valor, dividido pela largura do intervalo, é uma medida para a densidade da energia e é expresso em unidades de m2/Hz, em que, de novo, se está omitindo o factor . De facto, os espectros da agitação são habitualmente mencionados como sendo espectros de densidade da energia.

Assim, este método de analisar as medições das ondas gera uma distribuição da energia das diversas componentes da onda. Na Secção 3.2.2, foi observado que a energia da onda desloca-se à velocidade de grupo , e que, da Equação 2.2, vimos que esta é função da frequência, da direcção (ou vector do número de onda) e possivelmente da profundidade de água. Portanto, a energia em cada componente do espectro propaga-se à respectiva velocidade de grupo associada e desta forma é possível deduzir como a energia das ondas de uma certa zona se dispersa.

É importante reter que um registo de ondas e o espectro procedente deste são apenas amostras do estado do mar, como está subjacente na Secção 3.2.4. Como todas as estimativas estatísticas, é relevante saber a qualidade da nossa estimativa e quão bem é susceptível de indicar o verdadeiro estado do mar. Havendo uma teoria moderadamente completa para descrever este aspecto, este tema não se irá desenvolver muito neste trabalho, sendo que convém referir que a validade duma estimativa espectral está dependente em larga escala da duração do registo, em que este último depende da “estacionaridade” estatística, isto é, que não evolui de forma rápida (Jenkins e Watts, 1968). Na Ilustração 2 estão expostos três exemplos distintos da evolução do espectro de onda.

Ilustração 2 – Três exemplos do espectro de onda, em fases distintas do seu desenvolvimento: Geração no mar alto, propagação em águas profundas e empolamento e rebentação em águas pouco profundas.

23

3.2.8.

Parâmetros da onda extraídos do espectro

O n-ésimo momento ou momento de ordem , , do espectro é definido através de:

∫

(2.13) onde indica a densidade da variância, em função da frequência , como na Figura 12, de modo que represente a variância ⁄ contida no i-ésimo intervalo entre e . Na prática, a integração da Equação 2.13 é aproximada por uma soma finita, com = :

∑

(2.14) Da definição de resulta que, o momento de ordem zero, , representa a área abaixo da curva espectral. Na forma finita isto é o mesmo que dizer:

∑

(2.15) sendo, por isso, a variância total do registo da onda obtida pelo somatório das variâncias de cada uma da componentes individuas do espectro. Esta área tem por isso um significado físico, que é usado em aplicações práticas para a definição de parâmetros de altura da onda extraídos do espectro. Recordando que para uma onda simples (Secção 3.1.4) a energia da onda (por unidade de área), , está relacionada com a altura de onda por:

(2.16) Então, se substituirmos o estado do mar existente por apenas uma onda simples sinusoidal que tenha a mesma energia, a sua altura média quadrática (root mean square) equivalente seria dada através de:

√

(2.17)

e agora representa a energia total (por unidade de área) do estado do mar.

Como objectivo de comparação, foi necessário haver um parâmetro proveniente do espectro e que fosse o mais idêntico possível à altura de onda significativa ̅̅̅̅̅̅, esta última ⁄

oriunda do registo de ondas. Foi demonstrado que deve ser multiplicado por um factor de

√ de maneira a atingir o valor requerido (Laing et al., 1998). Portanto, a altura de onda pode ser calculada a partir da área, , medida abaixo da curva espectral da seguinte maneira:

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De notar que, por vezes, refere-se a variância total do estado do mar ( ) como a energia total, mas é preciso estar consciente que a energia total é realmente . Na teoria, a correspondência entre e ̅̅̅̅̅̅ é válida apenas num espectro bastante estreito, ⁄

algo que não ocorre com frequentemente na natureza. Contudo, a diferença é relativamente pequena na maioria dos casos, em média =1.05. ̅̅̅̅̅̅ (Laing et al., 1998). A altura de onda ⁄

significativa é frequentemente indicada como , e nesse caso, tem de ser indicado que quantidade está a ser usada, 4.√ ou ̅̅̅̅̅̅. ⁄

A dedução de parâmetros para o período de onda é uma matéria mais complicada, em virtude da grande variedade de formas espectrais, relacionadas com várias combinações de vaga e ondulação. De resto, existe alguma semelhança com o problema da definição dum período de onda a partir da análise estatística (ver Secção 3.2.5). Os parâmetros espectrais empregados, relativos a frequências e períodos, são:

– Frequência de onda correspondente ao pico do espectro; – Período de onda correspondente a , ou seja, =

;

– Período de onda análogo à frequência média do espectro:

(2.19)

– Período de onda teórico equivalente ao período de zeros descendentes médio do ̅ :

√

(2.20)

É preciso ter em atenção que o período de onda é sensível ao corte de frequências

altas, usado nos integrais associados à Equação 2.20 (Laing et al., 1998). Por esse motivo, este corte deve ser explicitado quando se apresenta e, em particular, quando comparamos

conjuntos de dados diferentes. Para dados existentes em bóias, o corte de frequências é frequentemente 0.5 Hz, já que, a maioria das bóias não mede, de forma precisa, o espectro de ondas acima desta frequência.

Foi demonstrado, para vários casos, que o período médio das maiores ondas de um registo, por exemplo, ̅̅̅̅̅ (Secção 3.2.5), mantém-se dentro de uma gama de valores que vai ⁄