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seção transversal Figure 1: Barra Cilíndrica Maciça 1. seção transversal uniforme (a barra é perfeitamente cilíndrica e maciça);

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(1)

1

Condu¸c˜

ao de Calor

1.1

Introdu¸c˜

ao

Estudaremos agora o problema de condu¸c˜ao de calor unidimensional, onde utilizaremos como modelo uma barra cil´ındrica maci¸ca com uma distribui¸c˜ao inicial de temperatura dada por uma fun¸c˜ao f . Este estudo, iniciado por Fourier, nos leva a uma equa¸c˜ao diferencial parcial, que solucionaremos utilizando S´eries de Fourier.

1.2

Equa¸c˜

ao de Condu¸c˜

ao de Calor

Consideremos uma barra cil´ındrica reta, de comprimento L, com eixo sobre o eixo das abscissas e origem em x = 0 (Figura 1), sob as seguintes condi¸c˜oes:

x = 0 x = L

eixo - x seção transversal

Figure 1: Barra Cil´ındrica Maci¸ca

1. se¸c˜ao transversal uniforme (a barra ´e perfeitamente cil´ındrica e maci¸ca); 2. laterais perfeitamente isoladas (n˜ao existe transferˆencia de calor pelas laterais);

3. material isotr´opico (homogˆeneo: a condutividade t´ermica k, a densidade ρ e o calor espec´ıfico

s s˜ao constantes em toda a barra);

4. a temperatura, denotada por u, ´e constante em qualquer se¸c˜ao transversal da barra, ou seja,

u varia somente com a dire¸c˜ao axial x e com o tempo t e n˜ao varia na dire¸c˜ao radial r. Logo

temos que u = u(x, t).

Sob estas hip´oteses a varia¸c˜ao da temperatura u = u(x, t) da barra ´e governada pela equa¸c˜ao diferencial parcial1:

α2u

xx= ut, 0 < x < L , t > 0, (1)

conhecida como equa¸c˜ao de condu¸c˜ao de calor. Em (1) o parˆametro α2´e chamado difusividade

t´ermica e dado por

α2= k ρs[=]

comprimento2

tempo ,

e como k, ρ e s s˜ao considerados constantes, a difusividade t´ermica tamb´em ´e constante. A difusividade t´ermica ´e uma propriedade do material da barra, associada `a sua maior ou menor capacidade de conduzir calor.

(2)

Observe que (1) ´e uma equa¸c˜ao diferencial parcial, pois a fun¸c˜ao inc´ognita u, que nos d´a a temperatura da barra, ´e fun¸c˜ao do tempo t e da posi¸c˜ao axial x, ou seja, a fun¸c˜ao inc´ognita ´e uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis, uma de tempo e uma de dimens˜ao. Uma vez que a derivada com rela¸c˜ao ao tempo ´e de primeira ordem, necessitamos de uma ´unica condi¸c˜ao inicial (que nos informa a situa¸c˜ao da barra no tempo inicial t = 0). Por outro lado, a derivada com rela¸c˜ao `a dimens˜ao ´e de segunda ordem e desta forma necessitamos de duas condi¸c˜oes de contorno (que nos informa a condi¸c˜ao da barra em seus contornos, ou seja, em suas extremidades x = 0 e x = L).

1.3

Condi¸c˜

ao Inicial

Consideremos que no instante inicial a barra apresenta um perfil de temperaturas dado por f (x). Assim a equa¸c˜ao diferencial (1) possui a seguinte condi¸c˜ao inicial:

u(x, 0) = f (x) , 0 <= x <= L. (2)

1.4

Condi¸c˜

oes de Contorno

Uma vez que calor n˜ao atravessa as extremidade da barra, consideraremos as temperaturas fixas nas extremidades: T1em x = 0 e T2em x = L. Consideraremos estas temperaturas nulas, T1= T 2 = 0

(o caso onde n˜ao s˜ao nulas ser´a visto nos problemas). Assim a equa¸c˜ao diferencial (1) possui as seguintes condi¸c˜oes de contorno:

u(0, t) = 0 , u(L, t) = 0 , t > 0. (3) Ent˜ao, nosso problema ´e encontrar u = u(x, t) que satisfaz a equa¸c˜ao (1), a condi¸c˜ao inicial (2) e as condi¸c˜oes de contorno (3).

1.5

Separa¸c˜

ao de Vari´

aveis

Para solucionar (1) utilizaremos um m´etodo conhecido como m´etodo da separa¸c˜ao de vari´aveis, cuja principal caracter´ıstica ´e a substitui¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial parcial original por um sistema de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias (que podem ser facilmente resolvidas). Especificamente falando, o m´etodo sup˜oe que a solu¸c˜ao procurada ´e dada pelo produto de duas fun¸c˜oes, uma somente da vari´avel x e outra somente da varivel t. Ou seja, supomos uma solu¸c˜ao da forma

u(x, t) = X(x)T (t), (4)

ou simplesmente

u = XT,

onde fica impl´ıcito que u ´e uma fun¸c˜ao de x e t, X ´e fun¸c˜ao somente de x e T ´e fun¸c˜ao somente de t. Derivando (4) e substituindo em (1) obtemos

α2X00T = XT0, (5)

onde as linhas representam derivadas ordin´arias com rela¸c˜ao a x ou t. Reescrevemos (5) como

X00 X = 1 α2 T0 T , (6)

onde as vari´aveis est˜ao separadas, uma vez que o membro esquerdo depende somente de x e o membro direito depende somente de t. Como cada membro de (6) depende de uma ´unica vari´avel, temos que ambos devem ser iguais a uma mesma constante. Para ver isto, considere x constante e

(3)

fa¸ca t variar. O primeiro membro de (6) ser´a constante enquanto o segundo varia, violando assim a igualdade. Chamando esta constante2 de σ obtemos

X00 X = 1 α2 T0 T = σ,

donde obtemos duas equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias, uma para X(x) e outra para T (t)

X00− σX = 0, (7)

T0− α2σT = 0. (8)

Neste ponto fica clara a utiliza¸c˜ao do m´etodo: a equa¸c˜ao diferencial parcial (1) foi sub-stitu´ıda pelas equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias (7) e (8), que podem ser facilmente

resolvi-das para qualquer valor da constante de separa¸c˜ao σ. Assim, por (4) temos que a solu¸c˜ao de (1) ´e simplesmente o produto das solu¸c˜oes de (7) e (8).

1.6

Solu¸c˜

ao da equa¸c˜

ao X

00

− σX = 0

A princ´ıpio a constante de separa¸c˜ao σ pode assumir qualquer valor. Mas, uma vez que nossa solu¸c˜ao de (1) deve satisfazer tamb´em as condi¸c˜oes de contorno (3), veremos que os valores poss´ıveis para σ s˜ao restritos. Para ver isto, observemos que pela primeira condi¸c˜ao de contorno em (3), temos

u(0, t) = X(0)T (t) = 0.

Aqui se fizermos T (t) ≡ 0 para todo t, ter´ıamos uma solu¸c˜ao de (1) identicamente nula, u(x, t) ≡ 03.

Logo, temos obrigatoriamente

X(0) = 0. (9)

Pela segunda condi¸c˜ao de contorno em (3), temos

u(L, t) = X(L)T (t) = 0

que nos leva, pelo mesmo racioc´ınio, a

X(L) = 0. (10)

Desta forma, nossa equa¸c˜ao ordin´aria (7) est´a sujeita as condi¸c˜oes de contorno (9) e (10). Para solucionar (7) devemos considerar trˆes casos:

1. Caso σ = 0. A equa¸c˜ao (7) torna-se

X00= 0,

cuja solu¸c˜ao geral ´e imediatamente obtida (basta integrar duas vezes) e dada por

X(x) = c1x + c2.

Utilizando a condi¸c˜ao de contorno (9) temos que

c2= 0.

Em seguida, utilizando a condi¸c˜ao de contorno (10) temos que

c1= 0

2tal constante ´e chamada constante de separa¸ao. O motivo ficar´a claro adiante.

3Observe que a equa¸c˜ao (1) ´e homogˆenea, logo admite a solu¸c˜ao identicamente nula u(x, t) ≡ 0, chamada

solu¸c˜ao trivial. Evidentemente tal solu¸c˜ao trivial n˜ao possui nenhum interesse e estamos exatamente interessados em determinar solu˜o¸es n˜ao-triviais (se existirem).

(4)

(verifique estes c´alculos). Obtemos ent˜ao

X(x) = 0,

o que ´e inaceit´avel, pois desta forma (4) nos levaria a uma solu¸c˜ao identicamente nula u(x, t) ≡ 0 de (1). Logo σ n˜ao pode ser nulo.

2. Caso σ > 0. Neste caso substitu´ımos σ por λ2. A equa¸c˜ao (7) torna-se4

X00− λ2X = 0, (11)

que reconhecemos ser uma equa¸c˜ao ordin´aria linear homogˆenea de segunda ordem com coe-ficientes constantes, cuja equa¸c˜ao caracter´ıstica ´e

r2− λ2= 0,

donde obtemos as ra´ızes

r2= λ2⇒ r = ±λ.

Com estes valores de λ a solu¸c˜ao geral de (11) ´e dada por

X(x) = c1eλx+ c2e−λx, (12)

e aplicando as duas condi¸c˜oes de contorno (9) e (10) obtemos o sistema linear ½

c1+ c2= 0

c1eλL+ c2e−λL= 0 (13)

nas vari´aveis c1e c1. Pela primeira equa¸c˜ao de (13) temos que c2= −c1e a segunda torna-se c1eλx− c1e−λx= c

1(eλx− e−λx) = 0. (14)

Uma vez que λ 6= 0 (hip´otese descartada no caso anterior) e L 6= 0 (comprimento da barra), temos que eλx− e−λx6= 0 e desta forma

c1= 0. Consequentemente

c2= 0 e por (12) obtemos novamente

X(x) = 0,

o que ´e inaceit´avel, pois desta forma (4) nos levaria novamente a uma solu¸c˜ao identicamente nula u(x, t) ≡ 0 de (1). Logo σ tamb´em n˜ao pode ser positivo.

3. Caso σ < 0 . Neste caso substitu´ımos σ por −λ2(aqui o parˆametro λ n˜ao ´e necessariamente

real, ou seja, pode ser complexo). A equa¸c˜ao (7) torna-se

X00+ λ2x = 0, (15)

que tamb´em reconhecemos ser uma equa¸c˜ao ordin´aria linear homogˆenea de segunda ordem com coeficientes constantes, cuja equa¸c˜ao caracter´ıstica ´e

r2+ λ2= 0,

4Esta substitui¸c˜ao ´e feita somente para evitar ra´ızes na resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao caracter´ıstica da equa¸c˜ao

(5)

donde obtemos as ra´ızes

r2= −λ2⇒ r = ±iλ.

Como as ra´ızes da equa¸c˜ao caracter´ıstica s˜ao complexas, temos que a solu¸c˜ao geral de (15) ´e da forma

X(x) = Acos(λx) + Bsen(λx), (16)

onde A, B ∈ R. Utilizando a condi¸c˜ao de contorno (9) obtemos

A = 0.

Em seguida, utilizando a condi¸c˜ao de contorno (10) obtemos

Bsen(λL) = 0

(verifique estes c´alculos). Neste ponto observamos que, se B = 0, obter´ıamos mais uma vez

X(x) = 0, o que seria inaceit´avel, pois desta forma (4) nos levaria uma terceira vez a uma

solu¸c˜ao identicamente nula de (1). Somos ent˜ao for¸cados a fazer sen(λL) = 0.

Da trigonometria sabemos que para que o seno de um ˆangulo seja nulo tal ˆangulo deve ser um m´ultiplo inteiro de π. Logo devemos ter

λL = nπ ⇒ λ =

L ,

onde n ∈ Z∗ (n n˜ao pode ser nulo, pois isto implicaria o caso 1). Para este valor de λ a

solu¸c˜ao (16) fica

X(x) = Bsen(nπx L ).

Como n ´e qualquer valor inteiro, a express˜ao anterior nos fornece infinitas solu¸c˜oes da equa¸c˜ao diferencial (7) (uma para cada valor de n). Obviamente, para cada uma destas infinitas solu¸c˜oes devemos esperar uma constante B diferente. Desta forma reescrevemos a solu¸c˜ao anterior na forma

X(x) = Bnsen(nπx

L ) , b = ±1, ±2, . . . (17)

onde fica expl´ıcito que teremos uma constante distinta para cada valor de n.

Resumindo: at´e este ponto mostramos que para obtermos uma solu¸c˜ao n˜ao-trivial da equa¸c˜ao (7) que satisfa¸ca as condi¸c˜oes de contorno (9) e (10) a constante de separa¸c˜ao σ deve assumir certos valores reais negativos, dados por

σ = −λ2= −n

2π2

L2 , (18)

onde n ´e um inteiro n˜ao nulo5. Al´em disto, mostramos tamb´em que para tais valores de σ a solu¸c˜ao

de (7) ´e dada por

X(x) = Bnsen(nπx

L ) , b = ±1, ±2, . . . ,

conforme encontramos em (17).

5em outras palavras: s´o podemos solucionar a equa¸c˜ao (7) se o valores da constante σ forem dados por (18). Tais

(6)

1.7

Solu¸c˜

ao da equa¸c˜

ao T

0

− α

2

σT = 0

Para solucionar (8) substitu´ımos o valor de σ dado por (18) em (8). Obtemos

T0+α2n2π2

L2 T = 0,

que ´e uma equa¸c˜ao diferencial linear homogˆenea de primeira ordem com coeficientes constantes. Transpondo o segundo termo, obtemos

T0= −α

2n2π2 L2 T.

Uma vez que T0= dT

dt, separamos as vari´aveis para obter

dT T = −

α2n2π2 L2 dt,

e integrando ambos os membros

ln(T ) = −α 2n2π2

L2 t + c.

Tomando a exponencial de ambos os membros, a solu¸c˜ao ´e dada por

T (t) = Ae−α2n2π2tL2 ,

onde A = ec ´e uma constante. Como antes, existem infinitas solu¸c˜oes, uma para cada valor de n.

Reescremos a solu¸c˜ao anterior como

T (t) = Anα

2n2π2t

L2 , (19)

1.8

Solu¸c˜

ao da Equa¸c˜

ao de Condu¸c˜

ao de Calor

De acordo com (4) a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de condu¸c˜ao de calor (1) ´e dada pelo produto de (17) e (19):

un(x, t) = Ane−

α2n2π2t

L2 Bnsen(nπx

L ).

Agrupando as constantes arbitr´arias (AnBn= kn), conclu´ımos que as fun¸c˜oes

un(x, t) = kne−

α2n2π2t

L2 sen(nπx

L ), (20)

s˜ao solu¸c˜oes de (1) que satisfazem as condi¸c˜oes de contorno (3). Tais solu¸c˜oes s˜ao denominadas solu¸c˜oes fundamentais do problema de condu¸c˜ao de calor dado por (1) e (3).

Uma vez que a equa¸c˜ao diferencial parcial (1) e as condi¸c˜oes de contorno (3) s˜ao lineares e homogˆeneas, sabemos do pr´ıncipio da superposi¸c˜ao que a solu¸c˜ao geral de (1) ´e dada pela combina¸c˜ao linear das solu¸c˜oes fundamentais. Como existem infinitas solu¸c˜oes fundamentais (para os infinitos valores de n), a solu¸c˜ao geral ´e dada pela s´erie

u(x, t) = X n∈Z∗ un(x, t) = X n∈Z∗ kne− α2n2π2t L2 sen(nπx L ).

Nesta solu¸c˜ao n deve assumir apenas valores positivos, uma vez que valores negativos nos levaria `as mesmas solu¸c˜oes uma segunda vez: en2t

= e(−n)2t

(7)

pois o seno ´e ´ımpar e simplesmente agrupamos as constantes. Logo reescrevemos a solu¸c˜ao geral como u(x, t) = X n=1 un(x, t) = X n=1 kne− α2n2π2t L2 sen(nπx L ). (21)

onde os coeficientes knainda s˜ao indeterminados. Uma vez que (21) ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial

parcial (1) que satisfaz s condi¸c˜oes de contorno (3), devemos determinar os kn de modo a satisfazer

a condi¸c˜ao inicial (2). A princ´ıpio admitimos uma solu¸c˜ao em s´erie infinita, pois n˜ao sabemos o n´umero de solu¸c˜oes fundamentais que devem ser superpostas para satisfazer a condi¸c˜ao inicial dada em (2). Os exemplos a seguir ilustram algumas situa¸c˜oes.

Exemplo 01: encontre a solu¸c˜ao do problema de condu¸c˜ao de calor (1), (2) e (3), tal que

f (x) = 3sen(4πx L ).

Solu¸c˜ao: conforme dito anteriormente, a solu¸c˜ao (21) ´e solu¸c˜ao de (1) que satisfaz s condi¸c˜oes de contorno (3). Devemos agora obrigar (21) a satisfazer a condi¸c˜ao inicial dada acima. Logo

u(x, 0) = X n=1 kne− α2n2π20 L2 sen(nπx L ) = X n=1 knsen(nπx L ) = 3sen( 4πx L ), (22)

assim, pela ´ultima igualdade em (22) observamos que ´e necess´aria apenas uma ´unica solu¸c˜ao fundamental, aquela onde n = 4. Assim, tem-se que k4= 3 e kn= 0 (para todo n 6= 4), e a solu¸c˜ao

´e

u(x, t) = 3e−16α2π2tL2 sen(4πx

L ).

Exemplo 02: encontre a solu¸c˜ao do problema de condu¸c˜ao de calor (1),(2) e (3), tal que

f (x) = 5sen(πx L) + 7sen( 2πx L ) + 9sen( 3πx L ).

Solu¸c˜ao: obrigando (21) a satisfazer a condi¸c˜ao inicial dada acima, tem-se

u(x, 0) = X n=1 knsen(nπx L ) = 5sen( πx L ) + 7sen( 2πx L ) + 9sen( 3πx L ), (23)

assim, pela ´ultima igualdade em (23) observamos que s˜ao necess´arias 3 solu¸c˜oes fundamentais, aquelas para n = 1, 2, 3. tem-se que k1= 5, k2= 7, k3= 9 e kn= 0 (para todo n > 3), e a solu¸c˜ao

´e u(x, t) = 5e−α2π2tL2 sen(πx L ) + 7e −4α2π2t L2 sen(2πx L ) + 9e −9α2π2t L2 sen(3πx L ).

1.9

Considera¸c˜

oes Finais

Neste ponto fica claro a necessidade de nosso estudo pr´evio sobre s´eries de Fourier. A menos que a fun¸c˜ao f (x) da condi¸c˜ao inicial (2) seja dada por uma combina¸c˜ao linear de senoidais da forma

sen(nπx

L ), como nos exemplos acima, devemos ser capazes de represent´a-la atrav´es de uma s´erie de

senos. Vimos que isto pode ser conseguido para a maioria das fun¸c˜oes peri´odicas, utilizando nosso conhecimento sobre s´eries de Fourier.

Neste sentido, observamos que devemos representar f (x) por uma s´erie de senos no intervalo 0 ≤ x ≤ L, e isto pode ser feito atrav´es de um desenvolvimento ´ımpar em meio per´ıodo de f (x) sobre este intervalo, de modo que para satisfazer a condi¸c˜ao inicial (2), tem-se que

u(x, 0) = X n=1 knsen(nπx L ) = f (x), (24)

(8)

ou seja, os coeficientes kn de nossa solu¸c˜ao s˜ao os pr´oprios coeficientes bn do desenvolvimento

peri´odico ´ımpar de f (x) no intervalo 0 ≤ x ≤ L. Assim a solu¸c˜ao do problema de condu¸c˜ao de calor (1), sujeito condi¸c˜ao inicial (2) e `as condi¸c˜oes de contorno (3) ´e dado por

u(x, t) = X n=1 bne− α2n2π2t L2 sen(nπx L ), (25)

onde os coeficientes bn, com T = 2L, s˜ao dados por

bn= 2 L Z L 0 f (x)sennπx L dx

1.10

Problemas

Para resolver os problemas a seguir utilize os dados da Tabela 01: Material α2(cm2/s)

Ag 1.71

Cu 1.14

Al 0.86

Ferro Fundido 0.12

Table 1: Difusividade T´ermica de Alguns Materiais Usuais [?, P´ag. 421].

1. Estabele¸ca (sem resolver) o problema de valor de contorno que determina a temperatura numa barra de cobre de 1m de comprimento, supondo que toda a barra est´a originalmente a 20oC

e uma das extremidades ´e aquecida subitamente para 60oC e mantida nesta temperatura

enquanto a outra extremidade ´e mantida a 20oC.

2. Estabele¸ca (sem resolver) o problema de valor de contorno que determina a temperatura num bast˜ao de prata de 2m de comprimento se os extremos forem mantidos `as temperaturas de 30oC e 50oC respectivamente. Suponha que a distribui¸c˜ao inicial seja dada por uma fun¸c˜ao

linear da distˆancia ao longo da barra consistente com as condi¸c˜oes de contorno acima. 3. Estabele¸ca (sem resolver) o problema de valor de contorno que determina a temperatura numa

barra de alum´ınio de 4m de comprimento se ambos extremos forem mantidos `a temperatura de 0oC. Suponha que a distribui¸c˜ao inicial seja dada por uma fun¸c˜ao quadr´atica da distˆancia

ao longo da barra consistente com as condi¸c˜oes de contorno acima, e com a condi¸c˜ao que a temperatura no centro do bast˜ao seja de 6oC.

4. Ache a solu¸c˜ao do problema de condu¸c˜ao de calor:

100uxx= ut , 0 < x < 1 , t > 0

u(0, t) = 0 , u(1, t) = 0 , t > 0 u(x, 0) = sen(2πx) − 2sen(5πx) , 0 ≤ x ≤ 1

5. Ache a solu¸c˜ao do problema de condu¸c˜ao de calor:

uxx= 4ut, 0 < x < 2 , t > 0 u(0, t) = 0 , u(2, t) = 0 , t > 0 u(x, 0) = 2sen(πx 2 ) − sen(πx) + 4sen( 3πx 2 ) , 0 ≤ x ≤ 2

(9)

6. Utilize (se poss´ıvel) o m´etodo de separa¸c˜ao de vari´aveis para substituir cada equa¸c˜ao difer-encial parcial a seguir por um par de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias.

(a) xuxx+ ut= 0

(b) uxx+ Uxt+ ut= 0

(c) xuxx+ (x + y)uyy = 0

7. Considere a condu¸c˜ao de calor num bast˜ao de cobre de 100cm de comprimento cujos extremos s˜ao mantidos a 0oC para t > 0. Ache uma express˜ao para a temperatura u(x, t), se a

distribui¸c˜ao inicial de temperatura no bast˜ao ´e dada por: (a) u(x, 0) = ½ x 0 ≤ x < 50 100 − x 50 ≤ x ≤ 100 (b) u(x, 0) =    0 0 ≤ x < 25 50 25 ≤ x < 75 0 75 ≤ x ≤ 100 8. Resolver o problema de valor de contorno modelado no exerc´ıcio 3.

9. Aque¸ca uma barra met´alica de 20cm de comprimento a uma temperatura uniforme de 100oC.

Suponha que em t = 0 os extremos da barra sejam mergulhados num banho de gelo `a 0oC,

mantidos `a esta temperatura, mas que n˜ao se permita que calor escape pelas superf´ıcies lat-erais. Encontre uma express˜ao para a temperatura em qualquer ponto da barra em qualquer tempo posterior. Use 5 termos da expans˜ao em s´erie de Fourier para determinar aproxi-madamente a temperatura no centro da barra no tempo t = 30 segundos, se a barra for feita de:

(a) Prata. (b) Alum´ınio.

(c) Ferro Fundido.

10. Para a situa¸c˜ao do problema anterior, ache o tempo que decorre antes que o centro da barra se resfrie para 20oC, se a barra for feita de:

(a) Prata. (b) Alum´ınio.

(c) Ferro Fundido.

(10)

2

Vibra¸c˜

oes de uma Corda El´

astica

2.1

Introdu¸c˜

ao

Suponha uma corda el´astica de comprimento L firmemente esticada entre dois suportes nivelados horizontalmente, de modo que o eixo − x se situe sobre a corda (Figura 2). Suponha agora que

x = 0 x = L eixo - x

Figure 2: Corda El´astica Firmemente Esticada

a corda se movimente no plano, de modo que o deslocamento vertical no ponto x e no tempo t seja dado pela fun¸c˜ao u(x, t) (Figura 3). Desprezando o efeito de amortecimento causado pela

x = 0 x = L

u(x,t)

u(x,t) u(x,t)

eixo - x

Figure 3: Corda El´astica em Movimento (Vibra¸c˜ao) Vertical

resistˆencia do ar, o deslocamento vertical u(x, t) satisfaz a seguinte equa¸c˜ao diferencial6 , 7 a2u

xx= utt, 0 < x < L , t > 0, (26)

conhecida como Equa¸c˜ao da Onda. O coeficiente a ´e a velocidade de propaga¸c˜ao da onda ao longo da corda e ´e dado por a2 = T

ρ, onde T ´e a tens˜ao aplicada na corda, em Kgsm2; e ρ ´e a

densidade linear da corda, em Kg

m . Assim as dimens˜oes de a s˜ao:

a2[=]Kgm s2 m Kg = m2 s2 ⇒ a[=] m s.

Vemos que as dimens˜oes de a s˜ao realmente de velocidade.

6A dedu¸c˜ao deste modelo matem´atico pode ser encontrada em [?, p´ags. 476-478]. 7Resultado v´alido para pequenas amplitudes de deslocamento vertical.

(11)

2.2

Condi¸c˜

oes de Contorno

Uma vez que a equa¸c˜ao diferencial parcial (26) ´e de segunda ordem com rela¸c˜ao a dimens˜ao x, necessitamos de duas condi¸c˜oes de contorno. Como as extremidades da corda se mantˆem fixas (presas), os deslocamentos verticais em x = 0 e em x = L s˜ao nulos. Assim, as condi¸c˜oes de contorno s˜ao

u(0, t) = 0 e u(0, L) = 0. (27)

2.3

Condi¸c˜

oes Iniciais

Uma vez que a equa¸c˜ao diferencial parcial (26) ´e de segunda ordem com rela¸c˜ao ao tempo t, necessitamos de duas condi¸c˜oes iniciais. A primeira ´e a posi¸c˜ao inicial da corda, dada por uma fun¸c˜ao f (x). Assim

u(x, 0) = f (x) , 0 ≤ x ≤ L.

A segunda ´e um campo de velocidades verticais iniciais, dado por uma fun¸c˜ao g(x). Assim

ut(x, 0) = g(x) , 0 ≤ x ≤ L.

Logo, as duas condi¸c˜oes iniciais s˜ao

u(x, 0) = f (x) e ut(x, 0) = g(x) , 0 ≤ x ≤ L. (28)

Observa¸c˜ao: para que as condi¸c˜oes de contorno (27) e as condi¸c˜oes iniciais (28) sejam consistentes, devemos ter que

f (0) = 0 , f (L) = 0 , g(0) = 0 , g(L) = 0.

2.4

Vibra¸c˜

ao Livre

Trataremos agora do problema da corda el´astica em vibra¸c˜ao livre, ou seja, um deslocamento inicial n˜ao-nulo e velocidade inicial nula. Um caso t´ıpico ´e supor que inicialmente

deslo-quemos a corda de sua posi¸c˜ao de equil´ıbrio e ent˜ao a liberemos com velocidade inicial zero, de modo que ela vibre livremente (como a corda de um instrumento musical). Desta forma, o desloca-mento vertical u(x, t) dever´a satisfazer a equa¸c˜ao (26), as condi¸c˜oes de contorno (27) e as seguintes condi¸c˜oes iniciais

u(x, 0) = f (x) e ut(x, 0) = 0 , 0 ≤ x ≤ L. (29)

onde f (x) ´e uma fun¸c˜ao que descreve a posi¸c˜ao inicial da corda el´astica.

2.5

Separa¸c˜

ao de Vari´

aveis

Fazendo

u(x, t) = X(x)T (t), (30)

ou simplesmente u = XT , temos que

uxx= X00T (31) e utt= XT00. (32) Substituindo (31) e (32) em (26), obtemos X00T = 1 a2XT 00 ou X00 X = 1 a2 T00 T . (33)

(12)

Igualando (33) a constante de separa¸c˜ao σ, podemos escrever

X00− σX = 0, (34)

T00− a2σT = 0. (35)

Logo, usando o m´etodo de separa¸c˜ao de vari´aveis transformamos a equa¸c˜ao diferencial parcial (26) em duas equa¸c˜oes ordin´arias homogˆeneas lineares de segunda ordem, uma para X(x), equa¸c˜ao (34), e outra para T (t), equa¸c˜ao (35). Exatamente como no caso da condu¸c˜ao de calor, determinaremos os valores poss´ıveis de σ utilizando as condi¸c˜oes de contorno (27).

2.6

Solu¸c˜

ao da Equa¸c˜

ao X

00

− σX = 0

Substituindo as condi¸c˜oes de contorno (27) em (30) , temos que ½

u(0, t) = X(0)T (t) u(L, t) = X(L)T (t)

e uma vez que T (t) n˜ao pode ser identicamente nula, (2.6) se reduz a

X(0) = 0 e X(L) = 0. (36)

Assim, devemos resolver a equa¸c˜ao (34), sujeita as condi¸c˜oes de contorno (36). Este problema ´e o mesmo que tratamos anteriormente na condu¸c˜ao de calor. Utilizando os resultados l´a obtidos, temos que (34) e (36) possuem solu¸c˜oes n˜ao triviais se e somente se

σ = −λ2= −n 2π2 L2 , n = 1, 2, 3, . . . , (37) de modo que X(x) = bnsen( nπx L ) , n = 1, 2, 3, . . . . (38)

2.7

Solu¸c˜

ao da Equa¸c˜

ao T

00

− a

2

σT = 0

Usando os valores de σ dados por (37), a equa¸c˜ao (35) torna-se

T00+a2n2π2

L2 T = 0,

cuja equa¸c˜ao caracter´ıstica ´e

r2+a2n2π2 L2 = 0, e as ra´ızes s˜ao r1= ianπ L e r2= −ianπ L .

Logo, a solu¸c˜ao geral de (35) ´e dada por

T (t) = Ancos(anπt

L ) + Bnsen( anπt

(13)

2.8

Solu¸c˜

ao da Equa¸c˜

ao da Onda

Por (30) observamos que a solu¸c˜ao de (26) ´e dada pelo produto das solu¸c˜oes (38) e (39). Agrupando as constantes adequadamente as solu¸c˜oes fundamentais do problema da corda el´astica s˜ao dadas por un(x, t) = sen(nπx L )[αnsen( nπat L ) + βncos( nπat L )],

onde αn = bnBn e βn= bnAn. Pelo princ´ıpio da superposi¸c˜ao, a solu¸c˜ao geral ´e dada por

u(x, t) = X n=1 un(x, t) = X n=1 sen(nπx L )[αnsen( nπat L ) + βncos( nπat L )]. (40)

Em (40) as constantes αn e βn devem ser escolhidas de modo a satisfazerem as condi¸c˜oes

inici-ais (29). Utilizando a primeira, u(x, 0) = f (x), obtemos

u(x, 0) = X n=1 sen(nπx L )(0 + βn) = X n=1 βnsen(nπx L ) = f (x),

e consequentemente os βndevem ser os coeficientes de uma s´erie de Fourier de senos de f (x), dados

por (T = 2L) bn= 2 L Z L 0 f (x)sennπx L dx.

Para utilizar a segunda, diferenciamos (40) termo a termo8 com rela¸c˜ao a t, obtendo ut(x, t) = X n=1 sen(nπx L )[αn nπa L cos( nπat L ) − βn nπa L sen( nπat L )].

Substituindo a segunda condi¸c˜ao inicial, ut(x, 0) = 0 nesta ´ultima express˜ao obtemos

ut(x, 0) = X n=1 sen(nπx L )[αn nπa L − 0] = X n=1 αn nπa L sen( nπx L ) = 0.

Assim, os termos αnnπaL devem ser os coeficientes da s´erie de senos de Fourier da fun¸c˜ao

identica-mente nula. Logo, como todos os coeficientes desta s´erie devem ser nulos, temos que αn= 0 para

todo n. Assim, a solu¸c˜ao (40) de (26), (27) e (29), torna-se

u(x, t) = X n=1 sen(nπx L )[βncos( nπat L )], onde bn= 2 L Z L 0 f (x)sennπx L dx.

2.9

Problemas

1. Utilizando o resultado do texto, encontre o deslocamento u(x, t) de uma corda el´astica de comprimento L, que ´e fixada em seus extremos e posta em movimento com velocidade inicial nula a partir de uma posi¸c˜ao inicial f (x) dada por: (esboce o gr´afico da posi¸c˜ao inicial)

(a) f (x) = u(x, 0) = ½ x 0 ≤ x ≤L 2 L − x L 2 < x ≤ L

(14)

(b) f (x) = u(x, 0) =    x 0 ≤ x <L 4 L 4 L 4 ≤ x < 3L 4 L − x 3L 4 ≤ x ≤ L

2. Resolva novamente o problema da corda el´astica supondo agora um deslocamento inicial nulo, dado por u(x, 0) = 0 (posi¸c˜ao inicial de equil´ıbrio), e velocidade inicial n˜ao nula, dada por

ut(x, 0) = g(x), onde g ´e uma fun¸c˜ao dada.

3. Utilizando o resultado do exerc´ıcio anterior, encontre o deslocamento u(x, t) de uma corda el´astica de comprimento L que ´e fixada em seus extremos e posta em movimento com posi¸c˜ao inicial de equilbrio u(x, 0) = 0 e velocidade inicial dada por: (esboce o gr´afico da velocidade inicial) (a) f (x) = u(x, 0) = ½ x 0 ≤ x ≤L 2 L − x L 2 < x ≤ L (b) f (x) = u(x, 0) =    x 0 ≤ x <L 4 L 4 L4 ≤ x < 3L4 L − x 3L 4 ≤ x ≤ L

4. Mostre que a solu¸c˜ao u(x, t) do problema

a2uxx= utt , 0 < x < L , t > 0,

sujeito s condi¸c˜oes de contorno

u(0, t) = 0 e u(0, L) = 0,

e s condi¸c˜oes iniciais

u(x, 0) = f (x) e ut(x, 0) = g(x) , 0 ≤ x ≤ L.

pode ser escrita na forma

u(x, t) = v(x, t) + w(x, t),

onde v(x, t) ´e a solu¸c˜ao do mesmo problema com g(x) = 0 (conforme o texto) e w(x, t) ´e a solu¸c˜ao do mesmo problema com f (x) = 0 (conforme exerc´ıcio 02). Desta forma temos a seguinte interpreta¸c˜ao:

(i) v(x, t) representa o movimento da corda iniciado a partir do repouso com um deslocamento

inicial f (x),

(ii) w(x, t) representa o movimento da corda posta em movimento a partir do equil´ıbrio com

velocidade inicial g(x),

e a solu¸c˜ao do problema gen´erico pode ser obtida resolvendo-se os dois problemas separada-mente.

(15)

3

Equa¸c˜

ao de Laplace

3.1

Introdu¸c˜

ao

A ”Equa¸c˜ao de Laplace”, em duas dimens˜oes

uxx+ uyy = 0, (41)

ou em trˆes dimens˜oes

uxx+ uyy+ uzz= 0, (42)

´e uma equa¸c˜ao diferencial parcial homogˆenea que ocorre com frequˆencia em problemas tempo-independentes (tamb´em chamados estacion´arios). Por exemplo, o problema de condu¸c˜ao de calor no plano (bidimensional) ´e governado pela equa¸c˜ao

α2(u

xx+ uyy) = ut (43)

onde α ´e a difusidade t´ermica. Mas se por algum motivo a temperatura n˜ao depender do tempo, ou seja u = u(x, y), ent˜ao ut= 0 e (43) ´e exatamente (41).

Por´em esta equa¸c˜ao ocorre tamb´em em outras situa¸c˜oes f´ısicas importantes: campos elet-rost´aticos, energia potencial, hidrost´atica, etc. A Equa¸c˜ao de Laplace tamb´em ´e conhecida como Equa¸c˜ao do Potencial, devido ao aparecimento em situa¸c˜oes que envolvem energia potencial (gravitacional, el´etrica, magn´etica).

Como em (41) n˜ao aparece nenhuma derivada com rela¸c˜ao ao tempo t, ent˜ao n˜ao h´a nenhuma condi¸c˜ao inicial a ser satisfeita. Por´em, como existe uma derivada parcial segunda com rela¸c˜ao a x, (41) deve satisfazer duas condi¸c˜oes de contorno em x. De modo idˆentico, como existe uma derivada parcial segunda com rela¸c˜ao a y, (41) deve satisfazer duas condi¸c˜oes de contorno em y. Obviamente, no caso tridimensional, (42) deve satisfazer a duas condi¸c˜oes de contorno em x, duas em y e duas em z.

3.2

Problema de Dirichlet

O problema de encontrar a solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao de Laplace que emprega como condi¸c˜oes de contorno valores da fun¸c˜ao u(x, y) em cada curva de contorno ´e conhecida como Problema de Dirichlet. Um tipo de problema um pouco diferente, mas de solu¸c˜ao an´aloga, emprega como condi¸c˜oes de contorno valores das derivadas de u(x, y) normais a cada curva de contorno, e ´e chamado Problema de Neumann.

3.3

Problema de Dirichlet para um retˆ

angulo

Consideremos agora o problema de encontrar a solu¸c˜ao u(x, y), com domnio restrito em uma regi˜ao

R = 0 < x < a, 0 < y < b retangular do plano-xy (Figura 4).

Especificamente falando, consideremos a equa¸c˜ao

uxx+ uyy= 0 , 0 < x < a , 0 < y < b (44)

(16)

eixo - y eixo - x x = 0 y = 0 x = a y = b região de solução

Figure 4: Regi˜ao Retangular - Problema de Dirichilet

• em y:

u(x, 0) = 0 ; u(x, b) = 0 ; 0 < x < a (45)

• em x:

u(0, y) = 0 ; u(a, y) = f (y) ; 0 ≤ y ≤ b (46) onde f : [0, b] → R (Figura 5). u(x,b) = 0 u(0,y) = 0 u(x,0) = 0 u(a,y) = f(y) eixo - y eixo - x x = 0 y = 0 x = a y = b região de solução

Figure 5: Condi¸c˜oes de Contorno para o Problema de Dirichilet

Inicialmente construiremos um conjunto fundamental de solu¸c˜oes de (44) que satisfa¸ca as condi¸c˜oes de contorno homogˆeneas (45), com rela¸c˜ao `a varivel y. A seguir superpomos estas solu¸c˜oes fundamentais (princ´ıpio da superposi¸c˜ao: combina¸c˜ao linear das solu¸c˜oes fundamentais) de modo a satisfazer `as demais condi¸c˜oes de contorno em x. Assim, temos

u(x, y) = X(x)Y (y) (47)

ou simplesmente u = XY . Logo ux= X0Y e uxx= X00Y (48) e uy = XY0 e yy= XY00. (49) Substituindo (48) e (49) em (44) obtemos X00Y + XY00= 0, (50) donde X00 X = − Y00 Y = σ, (51)

(17)

onde σ ´e a constante de separa¸c˜ao. Assim podemos escrever

X00− σX = 0, (52)

Y00+ σY = 0. (53)

3.4

Solu¸c˜

ao da equa¸c˜

ao Y

00

+ σY = 0

Aplicando as condi¸c˜oes de contorno (45) em (47), obtemos

u(x, 0) = X(x)Y (0) = 0 e u(x, b) = X(x)Y (b) = 0. (54) Logo, como X(x) n˜ao pode ser identicamente nula, devemos escolher

Y (0) = 0 e Y (b) = 0. (55)

Vamos agora determinar a solu¸c˜ao de (53) sujeita `as condi¸c˜oes de contorno (55). Este problema ´e semelhante `aquele que ocorre no problema de condu¸c˜ao de calor. Pode-se mostrar (exerc´ıcio) que uma solu¸c˜ao n˜ao-trivial existe se e somente se a constante de separa¸c˜ao for

σ = n 2π2 b2 , (56) e a solu¸c˜ao torna-se Yn(y) = Knsen( nπy b ), (57)

onde Kn s˜ao constantes dependentes de n.

3.5

Solu¸c˜

ao da equa¸c˜

ao X

00

− σX = 0

Por (56) a equa¸c˜ao (52) fica

X00−n 2π2

b2 X = 0, (58)

cuja equa¸c˜ao caracterstica ´e

r2n2π2 b2 = 0 e as ra´ızes s˜ao r1= b e r1= − b .

Logo a solu¸c˜ao geral de (52) ´e

Xn(x) = c1ne nπx b + c2 ne− nπx b . (59)

A condi¸c˜ao de contorno homogˆenea u(0, y) = 0 em (46) nos mostra que

u(0, y) = X(0)Y (y) = 0,

donde devemos ter X(0) = 0. Aplicando esta ´ultima na solu¸c˜ao (59) obtemos c1

n = −c2n e

ree-screvemos a solu¸c˜ao (59) como

Xn(x) = c1n(e

nπx

b − e−nπxb ).

Lembrando da defini¸c˜ao de seno hiperb´olico: senh(θ) = 1

2(eθ− e−θ), escrevemos Xn(x) = cnsenh(nπx

b ), (60)

(18)

3.6

Solu¸c˜

ao de u

xx

+ u

yy

= 0

Por (47) temos que a solu¸c˜ao de (44) ´e dada pelo produto de (57) e (60). Agrupando as constantes

Kn e cn, podemos escrever as solu¸c˜oes fundamentais

un(x, y) = Cnsen(nπy

b )senh( nπx

b ),

onde Cn ´e uma constante dependente de n. Pelo Princ´ıpio da Superposi¸c˜ao a solu¸c˜ao geral

de (44) ´e u(x, y) = X n=1 Cnsen( nπy b )senh( nπx b ), (61)

que foi obtida satisfazendo as duas condi¸c˜oes de contorno homogˆeneas em y dadas por (45) e uma condi¸c˜ao de contorno homogˆenea em x dada por (46). Para determinar o valor das constantes

Cn a solu¸c˜ao (61) deve satisfazer agora a condi¸c˜ao de contorno n˜ao homogˆenea em (46), dada por

u(a, y) = f (y). Assim temos u(a, y) = X n=1 Cnsen(nπy b )senh( nπa b ) = f (y),

donde observamos que os coeficientes Cn devem ser os coeficientes da s´erie de senos de Fourier de

perodo T = 2b para f (y), dados por

bn= Cnsenh(nπa b ) = 2 b Z b 0 sen(nπy b )dy, e ent˜ao Cn= 1 senh(nπa b ) 2 b Z b 0 sen(nπy b )dy.

Substituindo os valores de Cn assim encontrados na solu¸c˜ao (61) obtemos a solu¸c˜ao de (45) que

satisfaz todas as condi¸c˜oes de contorno.

3.7

Problemas

1. Determine a solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao de Laplace no retˆangulo que satisfaz tamb´em as seguintes condi¸c˜oes de contorno:

u(0, y) = 0 , u(a, y) = f (y) , 0 ≤ y ≤ b

e u(x, 0) = 0 , u(x, b) = 0 , 0 < x < a, onde f (y) = ½ y 0 ≤ y ≤ b 2 b − y b 2 < y ≤ b

2. Encontre a f´ormula geral da solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao de Laplace no retˆangulo satisfazendo tamb´em as seguintes condi¸c˜oes de contorno:

u(0, y) = 0 , u(a, y) = 0 , 0 < y < b e u(x, 0) = 0 , u(x, b) = g(x) , 0 ≤ x ≤ a. Encontre a solu¸c˜ao se g(x) = ½ x 0 ≤ x ≤ a 2 a − x a 2 < x ≤ a

(19)

3. Encontre a f´ormula geral da solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao de Laplace no retˆangulo satisfazendo tamb´em as seguintes condi¸c˜oes de contorno:

u(0, y) = 0 , u(a, y) = 0 , 0 < y < b

e

u(x, 0) = h(x) , u(x, b) = 0 , 0 ≤ x ≤ a.

4. Encontre a f´ormula geral da solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao de Laplace no retˆangulo satisfazendo tamb´em as seguintes condi¸c˜oes de contorno:

u(0, y) = 0 , u(a, y) = f (y) , 0 < y < b

e

u(x, 0) = h(x) , u(x, b) = 0 , 0 ≤ x ≤ a.

5. Encontre a f´ormula geral da solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao de Laplace no retˆangulo satisfazendo tamb´em as seguintes condi¸c˜oes de contorno:

u(0, y) = e(y) , u(a, y) = f (y) , 0 < y < b

e

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