INTRODUÇÃO. Um pouco de História...

(1)

INTRODUÇÃO

Um pouco de História...

(2)

Mundo na Antigüidade

Estrelas (6000)

Lua

Marte

Mercúrio

Júpiter

Vênus

Saturno

S l

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Antigamente, antes dos telescópios serem usados nas observações astrônomicas, o homem conhecia pouco sobre o universo. Sabia-se da existência de cerca de 6000 estrelas, da Lua, do Sol, e de alguns planetas: Marte, Mercúrio, Júpiter, Vênus e Saturno, ou seja, apenas os planetas que podiam ser vistos a olho nu. Mesmo assim, muito pouco ou quase nada

Um pouco de história

olho nu. Mesmo assim, muito pouco ou quase nada sabia-se sobre esses planetas, apenas que diferiam das estrelas por se moverem no céu entre elas. A Terra na antiguidade não era contada como planeta. Esse desconhecimento dos astros gerou muita superstição e acabou-se atribuindo uma divindade a cada corpo celeste.

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Períodos

importantes

Os fenômenos envolvendo Sol - Terra - Lua,

bem como os planetas conhecidos na antiguidade,

Mecúrio, Vênus, Marte, Júpiter e Saturno,

• Dia

Período fundamental

• Semana

Origem astrológica

• Mês

Ligado às fases da Lua

• Ano

Ligado às estações do ano

Mecúrio, Vênus, Marte, Júpiter e Saturno,

definem os seguintes períodos importantes:

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Um dia (período claro) e uma noite (período escuro) definem naturalmente um período de tempo fundamental. Em média o Sol demora o que chamamos de 1 dia, 24 horas, para passar consecutivamente pelo mesmo meridiano local. Dividindo esse intervalo em 24 partes iguais temos as horas, e divindo as horas em 60 partes iguais teremos os minutos. Estes por sua vez divididos em 60 partes iguais definem o segundo. Daqui para a frente a divisão é por dez, definindo o décimo, o centésimo, etc, de segundo.

definindo o décimo, o centésimo, etc, de segundo.

Dissemos que em média o Sol demora 24 horas para retornar ao mesmo meridiano, pois, seu movimento não é uniforme. A Terra não revoluciona o Sol com velocidade constante: ela é mais rápida em janeiro, quando está levemente mais perto do Sol e mais lenta em julho, quando está levemente mais longe do Sol.

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Origem da Semana

Dedicado

Dia da

Astro

ao deus

semana

Lua

da Noite

Segunda

Marte

da Guerra

Terça

Mercúrio

do Comércio

Quarta

Júpiter

do Olimpo Quinta

Vênus

da Beleza

Sexta

Saturno

do Tempo

Sábado

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O período conhecido por

semana

ao que

tudo indica não está ligado à astronomia. Os

Judeus, e posteriormente os Romanos, tinham

o costume de se abster por um dia a cada

período

de

sete.

Os

Romanos

acabaram

período

de

sete.

Os

Romanos

acabaram

associando esses

sete dias aos sete deuses

conhecidos

, conforme a tabela no slide.

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TABELA 1 - Nomes dos planetas históricos e dias da semana. Planeta Latim Espanhol Italiano Inglês Português

Sol Solis Domingo _Domenic_a Sunday Domingo Lua Lunae Lunes _Lunedi _Monday

Segunda-feira Marte Martis Martes Materdi Tuesday Terça-feira

8

Marte Martis Martes Materdi Tuesday Terça-feira Mercúri

o

Mercurie Miercoles Mercoledi Wednesda y

Quarta-feira Júpiter _Jovie Jueves Giovedi Thursday Quinta-feira

Vênus Veneris Viernes Vernedi Friday Sexta-feira Saturno Saturni Sabado Sabato Saturday Sábado

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• Em português, não seguiu essa

denominação porque sofreu

influência do cristianismo.

• Páscoa Cristã durava uma semana

de orações. Os dias da Páscoa eram

denominados “FERIAES” (Feriado).

• Domingo– Dia do Senhor

• Sábado – Shabbath – dia do

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Fases da Lua

Nova Quarto Crescente Quarto Minguante Nova Cheia

Nova Crescente Cheia Minguante Crescente Minguante

Lunação ou Mês Sinódico

29,530589 dias ~ 29 d 12 h 44 m 03 s

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O período compreendido entre duas fases consecutivas da Lua é denominado de Lunação, ou Mês Sinódico, e dura aproximadamente 29.530589 dias. Isso permitiu que se agrupasse os dias em blocos de 29 ou 30, com o nome de Mês Lunar.

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O Ano

Ano Trópico

Primavera Verão Outono Inverno

365,242199 dias 365 dias

Ano Trópico ou Ano Solar

0,242199 dias 1/4 - 1/100 ~

365.242199 =

365 + 1/4

- 1/100

+ 1/400

- 1/3300

365,25 365,24 365,2425 365,2421970 Juliano Gregoriano

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O período entre duas primaveras, ou qualquer outra estação do ano, se chama ano trópico ou solar e corresponde a aproximadamente 365 dias, mais precisamente 365,242199 dias.

Construir um calendário consiste em agrupar um número inteiro de meses, cada um com um número inteiro de dias, que no final resultem em

Ano Trópico ou Ano Solar

número inteiro de dias, que no final resultem em 365,242199 dias. Isso é possível, na verdade, aproximadamente, sendo necessárias correções de tempos em tempos.

Nosso calendário atual é chamado de Gregoriano, após a reforma feita no calendário Juliano em 1582, ordenada pelo papa Gregorio XIII. Pequenas correções atuais fazem com que o erro desse calendário seja da ordem de um dia a cada 20.000 anos! Nada mal.

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Data da Páscoa

• O dia da Páscoa é o 1º domingo depois da Lua

Cheia (13 dias a Lua nova eclesiástica) que ocorre no dia ou depois do equinócio da Primavera eclesiástica (21 março).

• Entretanto, a data da Lua Cheia não é a real, mas

a definida nas Tabelas Eclesiásticas.

• Caso o dia assim definido esteja além de 25 de

abril, a Páscoa ocorre no domingo anterior.

• Caso a Lua Cheia eclesiástica ocorra no dia 21 de

março e esse dia seja domingo, a Páscoa será no dia 25 de abril.

(15)

Como calcular a data de

acordo com Gauss

• Para calcular a data da Páscoa para

qualquer ano no calendário Gregoriano

(o calendário civil no Brasil), usa-se a

seguinte fórmula:

(16)

a = R(ano/19) b = R(ano/4) c = R(ano/7)

d = R((19a + M)/30) e = R((2b+4c+6d+N)/7)

onde M = 24 e N = 5 para 2000_≤ano_≤2099 Calculemos o valor de P dado por:

(17)

Se P_≤ 31, então a data da Páscoa será no dia P de março.

Caso P > 31, então calculamos P’ = d +e – 9

E a Páscoa será em P’ de abril.

Se, no entanto, P’> 25 então a Páscoa será em P’’ = P’ – 7 de abril.

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Outras festas religiosas

• Domingo de carnaval: P-49

• Terça-feira de carnaval: P-47

• Quarta-feira de Cinzas: P-46

• Domingo de Ramos: P-7

• Sexta-feira da paixão: P-2

• Corpos Christi: P+60

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Sistema Geocêntrico

( Ptolomeu, séc. II )

Esfera das

estrelas fixas

Mer Vên Ter Lua Mer Vên Sol Mar Júp Sat Neste sistema, tudo gira em torno da Terra

(20)

Como os planetas se movem em relação às estrelas eles passaram a ser observados com atenção e suas posições no céu determinadas com muita precisão. Ptolomeu, no século II, desenvolveu o Sistema Geocêntrico, onde os planetas (todos) giravam em torno da Terra, com as estrelas estando fixas em uma esfera, ao fundo, que também girava ao redor da Terra. Nesse sistema, inclusive o Sol girava em torno da Terra. Todos acreditavam que a Terra era o centro do Universo.

Universo.

Esse Sistema Geocêntrico, no entanto, não explicava corretamente os movimentos de todos os planetas, o que foi percebido com observações mais cuidadosas de seus movimentos no céu. Percebeu-se que o planeta Marte, por exemplo, dava estranhas “laçadas” no céu, a medida que ia caminhando. Isso não era explicado pela teoria geocêntrica; alguma coisa estava errada.

(21)

Movimento aparente não

“perfeito”

Leste Oeste

?

“Laçada”

A laçada dos planetas sugeria que eles não giravam

(22)

Sistema de Epiciclos

Planeta E Epiciclo Terra Círculo Deferente

D

Apolônio,

séc. III a .C.

(23)

Para solucionar esse problema, o grego Apolônio propôs um sistema de epiciclos, que ainda era baseado no sistema geocêntrico de Ptolomeu. Nesse sistema, cada planeta girava num círculo chamado epiciclo centrado num ponto E, que girava sobre o círculo deferente por sua vez centrado no centro do deferente (ponto D). A Terra situava-se levemente fora do ponto D, mas isso não feria as convicções filosóficas da época, que obrigavam a Terra a ser o centro do universo, pois era considerado apenas um artifíco geométrico para se obter maior concordância com as artifíco geométrico para se obter maior concordância com as observações.

É fácil ver que esse sistema explicava os movimentos de laçada de alguns planetas, pois, visto da Terra, o planeta as vezes está indo numa direção, ora está vindo na direção contrária. Embora sabemos hoje que as órbitas dos planetas são elipses em torno do Sol, o sistema de Apolônio era suficientemente preciso para a época.

(24)

Geocentrismo

com epiciclos

Lua Mer Mar Sat Céu Vên _Júp Ter

(25)

Assim, o sistema com epiciclos passou a ser adotado na determinação da posição do Sol e de todos os cinco planetas conhecidos na época. Era bom para as finalidades, essencialmente astrológicas, religiosas ou para a determinação de inícios das estações do ano.

Observações mais precisas, no entanto, levaram os antigos a notaram uma certa diferença entre a posição prevista pelos epicliclos e a observada.

Para melhorar a precisão na determinação da posição Para melhorar a precisão na determinação da posição dos planetas, os astrônomos começaram a adotar um sistema complexo de epiciclos, ou seja, epiciclos em epiciclos! Os astrônomos simplesmente iam adicionando alguns pontos sobre os quais giravam outros pontos, e outros, até os cálculos de movimento dos planetas baterem com as observações. Um tanto quanto complicado, não é? Mas esse sistema tinha uma precisão surpreendente e foi utilizado por mais de 1400 anos.

(26)

Sistema Complexo de Epiciclos

Planeta

E

Epiciclo

Terra

Deferente

Com epiciclos, o planeta não gira em torno da Terra

(27)

Havia, contudo, um sério problema com o sistema geocêntrico. Se Mercúrio e Vênus girassem em torno da Terra eles poderiam ser vistos em qualquer posição no céu durante a noite, como acontece com os demais planetas. No entanto, simples observação constata que Mercúrio e Vênus não se afastam muito do Sol; são vistos sempre acompanhando o pôr do Sol ou o nascer do Sol. Na verdade, não vemos Mercúrio e Vênus perto do Sol durante o dia devido ao ofuscamento da luz solar. Como então o dia devido ao ofuscamento da luz solar. Como então resolver esse problema?

Para colocar Vênus e Mercúrio girando em torno do Sol, e a Terra continuar no centro, Heráclides inventou o sistema Híbrido, em que o Sol continuava girando em torno da Terra, mas Vênus e Mercúrio giravam em torno do Sol. Desse jeito, tudo continuava girando ao redor da Terra, como convinha à filosofia da época.

(28)

Posição de Mercúrio ou de

Vênus em relação ao Sol

Vênus após o pôr-do-sol

Oeste

Vênus antes do nascer do Sol

(29)

Sistema Híbrido

( Heráclides, séc. IV a .C. )

Esfera das estrelas fixas Mer Ter Lua Vên Mar Júp Sat Neste sistema, Mercúrio e Vênus giram em torno do Sol

e este gira em torno da Terra

(30)

Antes dessa construção de Heráclides, não havia corpos nos centros dos epiciclos. Os planetas giravam nos epiciclos mas em torno de nada, o que para nós hoje é inconcebível já que tudo que gira precisa ser atraído para um centro. Portanto, precisa ter um corpo nesse centro. Veja que no sistema de Heráclides, Mercúrio e Vênus giram em epiciclos, mas no centro há o Sol. Esse parece ter sido o começo de um novo centro há o Sol. Esse parece ter sido o começo de um novo pensamento, embora podemos questionar se os gregos assim pensavam, ou apenas estavam sugerindo uma construção geométrica capaz de fazer predições a respeito da posição dos planetas, sem compromisso com as causas dos movimentos.

(31)

Filósofos e Astrônomos

Famosos

Ptolomeu Hiparcos Eratóstenes Aristarco Aristóteles Heráclides Pitágoras Ulugh Beg 200 400 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 Newton

Kepler

Galileu Tycho Brahe Copérnico 0 Ptolomeu

(32)

A régua do tempo mostra alguns dos personagens responsáveis pela revolução da astronomia desde os tempos antigos até a idade média. Contrário de astrônomos Egípcios e Babilônios, que tinham a astronomia muito ligada à religião ou à astrologia, os astrônomos Gregos foram mais científicos tentando dar razões para o universo ser como é.

Tales de Miletos (624-547 a.C.)

Era convicto que o universo era racional e o os humanos, portanto, poderiam entendê-lo.

humanos, portanto, poderiam entendê-lo.

Pitágoras (570-500 a.C.)

Tornou essa idéia de Tales concreta ao notar que muitas coisas podiam ser expressas por relações matemáticas (exemplo, o teorema de Pitágoras).

(33)

Aristóteles (384-322 a.C.)

Concluiu que a Terra é redonda baseado na forma da sombra na Lua durante um eclipse lunar.

Propôs a Terra imóvel no centro de um universo em rotação.

Sua reputação como grande filósofo fez suas idéias em Astronomia perdurarem por quase 2000 anos.

anos.

Eratóstenes (200 a.C.)

Trabalhando na biblioteca de Alexandria, fez a primeira medição do raio da Terra.

(34)

Cálculo do raio da Terra

• Eratóstenes era bibliotecário-chefe da famosa Biblioteca de Alexandria, e foi lá que encontrou, num velho papiro, indicações de que ao papiro, indicações de que ao meio-dia de cada 21 de junho na cidade de Siena, 800 km ao sul de Alexandria,

uma vareta fincada

verticalmente no solo não produzia sombra. Isso ocorre porque nesse

momento o Sol está

(35)

•

Como o grande sábio que era, percebeu que o mesmo fenômeno não ocorria no mesmo dia e horário em Alexandria e pensou que se a Terra fosse plana, então as fosse plana, então as sombras das varetas deveriam ser iguais em qualquer lugar, se isso não acontecia é porque a Terra deveria ser

(36)

• E pensou mais, pois quanto maior fosse a

diferença entre o comprimento das sombras, maior seria a curvatura da superfície terrestre. Desse modo o Sol deveria estar tão longe que seus raios de luz chegam à Terra paralelos.

• Seguindo essa observação Eratóstenes pensou que se varetas fossem fincadas verticalmente no que se varetas fossem fincadas verticalmente no chão em lugares diferentes lançariam sombras de comprimentos distintos, então ele decidiu fazer um experimento. Mediu o comprimento da sombra em Alexandria ao meio-dia de 21 de junho, quando a vareta em Siena não produzia sombra.

(37)

• Eratóstenes mediu A ≡≡≡≡

7,2º. Se as varetas estão na vertical, dá para

imaginar que se fossem longas o bastante iriam se encontrar no centro da Terra.

A distância entre Siena e Alexandria, que era conhecida por Eratóstenes, cerca de 800 km.

(38)

Hiparco (200 d.C.)

Um dos maiores astrônomos da antiguidade, descobriu o movimento de precessão do eixo da Terra

Fez o primeiro catálogo estelar.

Para ele, os astros não se moviam em esferas, mas em círculos ao redor da Terra.

Ptolomeu (140 d.C.)

É o grande astrônomo e matemático da antiguidade. Deu fundamento matemático às idéias de Aristóteles. Para ele, os corpos giravam em torno da Terra em movimento circular uniforme, mas com epiciclos, deferentes e equante, para prever mais corretamente a posição dos astros e explicar as laçadas.

(39)

Seu livro, hoje conhecido por Almagesto (do Árabe, Al Magisti, o maior), coloca em base matemática a astronomia antiga.

Por mais de 1000 anos os Árabes estudaram e adotaram esse livro como representante da ciência Astronomia.

(40)

Filósofos e Astrônomos

Famosos

Ptolomeu Hiparcos Eratóstenes Aristarco Aristóteles Heráclides Pitágoras Ulugh Beg 200 400 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 Newton

Kepler

Galileu Tycho Brahe Copérnico 0 Ptolomeu

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Embora o sistema geocêntrico de Ptolomeu, com dezenas de epiciclos, pudesse prever com boa precisão a posição dos astros por digamos um ano, após séculos falhava e eram então necessárias correções. No século XIII um time de astrônomos trabalhando por dez anos construiu a famosa tabela de Alfonsine, a última correção ao sistema Ptolomáico.

Nicolau Copérnico (1473-1543)

Fez uma das maiores revoluções da Astronomia. Fez uma das maiores revoluções da Astronomia. Defendeu a idéia que os planetas, incluindo a Terra, giravam em torno do Sol. Era o nascimento do sistema heliocêntrico.

(42)

As idéias de Aristóteles ainda reinavam e com o apoio da igreja que era bem conservadora. Copérnico foi cuidadoso ao expor suas idéias, senão teria sido vítima da Inquisição.

Seu trabalho, escrito na obra De Revolutionibus

Orbium Coelestium, Sobre a Revolução dos Corpos

Celestes, só foi publicado após sua morte. Por essa Celestes, só foi publicado após sua morte. Por essa época a autoridade da Igreja já era questionada de forma que essas novas idéias tiveram adeptos.

(43)

Sistema Heliocêntrico

Esfera das Vên

Copérnico,

1473- 1543

Copérnico,

1473- 1543

Esfera das

estrelas fixas Ter

Lua Mer Vên Sol Mar Júp Sat Neste sistema, tudo gira em torno

(44)

A teoria de Copérnico, que o Sol está no centro, se mostrou com o tempo correta, mas seu sistema planetário ainda continha epiciclos e deferentes e não fazia previsões melhores que as da tabela de Alfonsine.

Talvez a busca por idéias revolucionárias, ou que Talvez a busca por idéias revolucionárias, ou que simplesmente contrariavam aquelas vigentes na época, fez com que o sistema heliocêntrico ganhasse adeptos.

70 anos após a morte de Copérnico ainda se discutia a validade de suas idéias.

(45)

Um grande defensor do sistema heliocêntrico, e que teve que se explicar perante a Inquisição, foi

Galileu Galilei, 1564-1642.

Em seu livro Sidereus Nuncius, Mensageiro Sideral, de 1610, ele relata suas observações sistemáticas ao telescópio e como elas condizem com o sistema heliocêntrico.

Sua grande obra, no entanto, sai em 1629, Sua grande obra, no entanto, sai em 1629,

Dialogo Dei Due Massimi Sistemi, Diálogo Sobre os dois Principais Sistemas do Mundo. É escrita na forma de uma conversa entre três personagens debatendo sobre os sistemas de Ptolomeu e de Copérnico.

(46)

Explicação das “laçadas”

no sistema heliocêntrico

T3 M3 Esfera das estrelas fixas Sol T2 T1 M1 M2 2 1 T3 T4 M4 3 4

(47)

Talvez um ponto importante a favor do heliocentrismo ,e que deve ter atraído muita atenção pela sua beleza, é que

todos os planetas são tratados de forma semelhante: todos giram em torno de um centro comum, o Sol. A explicação das laçadas também fica muito simples nesse sistema, como ilustra o slide (T refere-se à Terra e M à Marte).

Quantitativamente a favor do modelo de Copérnico foi a discrepância que ele percebeu entre a previsão baseada no sistema geocêntrico e a posição observada de uma conjunção dos cinco planetas, e também da Lua, ocorrida na constelação de Câncer.

Como o modelo heliocêntrico de Copérnico mostrou-se correto com o tempo, acabou sendo aceito, e é utilizado até hoje, apenas com algumas diferenças na forma das órbitas, que hoje sabemos não serem perfeitamente circulares mas sim elípticas. Outros planetas também foram descobertos deste então.

(48)

Sistema Heliocêntrico

Vên Lua Mer Vên Sol Mar Júp Sat Ura Net Plu Ter

(49)

Kepler 1571-1630

as leis cinéticas do movimento dos planetas

Galileu 1564-1642 Galileu 1564-1642

as bases do método científico – telescópio

Newton 1642-1727

(50)

Tycho Brahe (1546-1601)

• Astrônomo Dinamarquês. • Descobriu que tanto as

Tabelas Afonsinas Tabelas Afonsinas quanto as de Ptolomeu estavam erradas na previsão de uma aproximação aparente entre Júpiter e Saturno.

• Tycho decidiu ele mesmo

compilar tabelas mais precisas.

(51)

• Não conseguiu formular um modelo que ajustasse as observações, contendo o movimento dos planetas ao redor do Sol.

• O principal problema era o planeta Marte.

• Órbitas circulares não ajustavam o movimento de • Órbitas circulares não ajustavam o movimento de

Marte (excentricidade 0,1).

• Em 1599 mudou-se para Praga, onde foi nomeado Matemático Imperial. Em 1600 contratou o jovem Johannes Kepler para ajudá-lo em suas observações.

(52)

Johannes Kepler

(1571-130)

••

Em

Em 1602

1602 descobriu

descobriu a

a

Lei das

Lei das Áreas

Áreas

((

Segunda

Segunda Lei de

Lei de

((

Segunda

Segunda Lei de

Lei de

Kepler

),

), mas

mas não

não

conseguiu

conseguiu ajustar

ajustar a

a

forma das

(53)

• Analisando arduamente as anotações e

observações de Brahe, Kepler concluiu que os planetas se movem ao redor do Sol em órbitas eclípticas, com o Sol em um dos focos (Primeira Lei de Kepler). Esses resultados foram publicados no Astronomia Nova em 1609.

Em 1619, publicou Harmonices Mundi (Harmonia • Em 1619, publicou Harmonices Mundi (Harmonia do Mundo), introduzindo a Terceira Lei de Kepler, descoberta em 15 de Maio de 1618: o quadrado do período é proporcional ao cubo da distância média do planeta ao Sol.

(54)

Primeira Lei de Kepler

(Lei das órbitas elípticas)

As órbitas dos planetas

são

Um corpo ligado a outro gravitacionalmente

gira em torno dele numa órbita elíptica,

sendo que um deles ocupa o foco da elipse.

são elipses com o Sol como foco.

(55)

Segunda Lei de Kepler

(Lei das áres)

A

∆ ∆ ∆ ∆ t

Um corpo ligado a outro gravitacionalmente

gira em torno dele, com seu raio vetor

varrendo áreas iguais em tempos iguais.

Foco

A

∆ ∆ ∆ ∆ t ∆ ∆ ∆ ∆ t

(56)

A velocidade de translação dos planetas

ao redor do Sol: não é uniforme. Os

planetas andam mais rápido quando

estão mais próximos do Sol e mais

devagar quando estão mais afastados.

(57)

M

m

r

r’

T

( r / r’ )3 _{= (} _T_/ _T’₎2 r3 _{= T}2 _{= constante} O tempo que um planeta leva para completar uma volta em torno do Sol (período orbital) está relacionado com o tamanho de sua

Terceira Lei de Kepler

(Lei harmônica)

T’

m’

r’

T

2 ππππ

r

3

= G (

M

+

m

)

T

2 tamanho de sua órbita segundo a mesma relação para

todos os planetas.

Os quadrados dos períodos orbitais são

proporcionais aos cubos dos semi-eixos

(58)

Inglês, que sessenta anos depois, foi quem deu uma explicação completa ao movimento e à forma como as forças

Issac Newton

(1643-1727)

atuam. A descrição está contida nas suas 3 leis.

Seu trabalho mais importante foi em Mecânica Celeste, que culminou com a Teoria da Gravitação Universal.

Em 1666, deduziu a lei da atração gravitacional

usando a Terceira Lei de Kepler e sua lei para a aceleração centrípeta.

(59)

"Qualquer corpo permanece no estado de repouso ou de movimento retilíneo uniforme se a resultante das forças

que atuam sobre esse corpo for nula".

Primeira Lei de Newton:

(Lei da Inércia)

Quando o cavalo freia subitamente, o cavaleiro é projetado

0 r

r

=

F

(60)

Segunda Lei de Newton:

(Lei da Força)

_F

r

=

_m

_a

r

A aceleração adquirida por um corpo é diretamente proporcional à intensidade da resultante das forças que atuam sobre o corpo,

tem direção e sentido dessa força resultante e é inversamente proporcional à sua massa.

Terceira Lei de Newton:

(Ação e reação)

Quando dois corpos interagem, a força que o corpo 1 exerce sobre o corpo 2 é igual e oposta à força

que o corpo 2 exerce sobre o corpo 1

21 12

-

F

r

=

(61)

A taxa de mudança do momento linear (ou quantidade de movimento) é proporcional à

força e na mesma direção de força.

F

dt

v

m

d

r

=

)

(

F

dt

=

Como m é constante

a

m

F

r

=

dt

v

d

a

r

=

(62)

“Dois corpos atraem um ao outro com forças iguais e opostas. A magnitude desta força é proporcional

ao produto das massas dos corpos e

inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os centros de massa dos dois corpos”