Equação mestra a temperatura finita

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DEPARTAMENTO DE F´ISICA

Renan Cunha de Oliveira

EQUAC¸ ˜AO MESTRA A TEMPERATURA FINITA

Florian´opolis 2011

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Disserta¸cão submetida ao Programa de Pós-Gradua¸cão em F´ısica para a obten¸cão do Grau de Mestre em F´ısica. Orientador: Orientador : Prof. Dr. Jeferson de Lima Tomazelli

Florian´opolis 2011

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Catalogação na fonte pela Biblioteca Universitária da

Universidade Federal de Santa Catarina

.

O48e Oliveira, Renan Cunha de

Equação mestra a temperatura finita [dissertação] / Renan Cunha de Oliveira ; orientador, Jeferson de Lima Tomazelli. – Florianópolis, SC, 2011.

87 p.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas. Programa de Pós-Graduação em Física.

Inclui referências

1. Física. 2. Supercondutividade. 3. Equações diferenciais. 4. Osciladores harmônicos. 5. Reservatórios. I. Tomazelli, Jeferson de Lima. II. Universidade Federal de Santa Catarina. Programa de Pós-Graduação em Física. III. Título.

CDU 53

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Esta Disserta¸cão foi julgada aprovada para a obten¸cão do T´ıtulo de “Mestre em F´ısica”, e aprovada em sua forma final pelo Programa de Pós-Gradua¸cão em F´ısica.

Florian´opolis, 05 de agosto 2011.

Luis Guilherme Coordenador Banca Examinadora:

Prof. Dr. Jeferson de Lima Tomazelli Presidente

Orientador : Prof. Dr. Jeferson de Lima Tomazelli Orientador

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Aos meus pais, Célia e Carlos Roberto, e a minha irmã Raquel pelo apoio, compreensão e paciência.

Ao professor Dr. Jeferson de Lima Tomazelli, pela orienta¸c˜ao e discuss˜oes ao longo desse per´ıodo.

Aos professores Dr. Wagner Figueiredo, Dr. Lúcio Campos Costa e Dr. Frederico Firmo De Souza Cruz, membros da Banca do Exame de Qualifica¸cão, pela disponibilidade e pelas sugestões para a melhoria da disserta¸cão.

Aos meus colegas de Mestrado e Doutorado, Graziâni, James, Lucio, Marcelo, Maur´ıcio, Nara e Victor; do Grupo de F´ısica Ma-temática, Diego, Gabriel, Gerson, Leonardo e Paulo; do Grupo de Es-tat´ıstica, David, Diego, Marcelo, Robson e Tharnier; do Laboratório Mössbauer, André, Guilherme, Gustavo, Junior e Milena; do Grupo de Nuclear, Bruno e Luiz; do LabSiN, Luana e Paula.

Aos meus grandes amigos espanh´ois Manu e Cristina, pelas con-versas e incr´ıveis ferias.

Aos amigos dos cursos extracurriculares, em especial a Prof. Ca-rolina, pela paciˆencia.

Ao Antˆonio Machado, pela disponibilidade e esfor¸co, que permi-tiram que a defesa fosse realizada.

`

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ciso us´a-la.

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Nesta disserta¸cão estudamos o comportamento de sistemas quânticos constitu´ıdos por uma cole¸cão de osciladores aos quais podemos asso-ciar um operador densidade separável, permitindo identificarmos dois subsistemas fracamente acoplados. Um deles consiste de um único oscilador, representando um sistema microscópico, enquanto o outro corresponde aos demais osciladores, que desempenham o papel de um reservoir com o qual o primeiro se encontra em equil´ıbrio térmico. Com tal objetivo, constru´ımos a equa¸cão mestra que governa a evolu¸cão do sistema microscópico a partir da equa¸cão de Liouville-Von Neumann para o respectivo operador densidade reduzida, incorporando os efeitos de temperatura via o formalismo da Thermofield Dynamics (TFD) e redefinindo adequadamente o vácuo do sistema macroscópico. Como aplica¸cão, consideramos dois exemplos. O primeiro refere-se a um os-cilador em intera¸cão com um conjunto de osciladores bosônicos a tem-peratura finita, usualmente empregado para se descrever, do ponto de vista da mecânica quântica, uma part´ıcula browniana. No segundo, in-vestigamos o comportamento de um oscilador na presen¸ca de um banho térmico constitu´ıdo por um conjunto de osciladores fermiônicos Palavras-chave: Thermofield Dynamics, transforma¸cões de Bogoliu-bov, equa¸cão mestra, oscilador harmônico, reservatório.

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In this dissertation we study the behavior of two weakly coupled quan-tum systems, described by a separable density operator. One of them is a single oscillator, representing a microscopic system, while the other is a set of oscillators, which perform the role of a reservoir in thermal equilibrium. From the Liouville-Von Neumann equation for the re-duced density operator, we devise the master equation that governs the evolution of the microscopic system, incorporating the effects of temperature via Thermofield Dynamics formalism (TFD) and suitably redefining the vacuum of the macroscopic system. As applications, we consider two examples. First, we study an oscillator interacting with a set of boson oscillators at finite temperature, usually employed in quan-tum mechanics to describe a Brownian particle. Next, we investigate the behavior of an oscillator in the presence of a heat bath consisting of a set of fermion oscillators.

Keywords: Thermofield Dynamics, Bogoliubov transformation, mas-ter equation, harmonic oscillator, reservoir.

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1 INTRODUC¸ ˜AO . . . 15

2 TEORIA DA MEDIDA . . . 17

3 ESTAT´ISTICA QU ˆANTICA . . . 23

3.1 THERMOFIELD DYNAMICS . . . 23

3.1.1 Caso Bosˆonico . . . 27

3.1.2 Caso Fermiˆonico . . . 29

3.2 TRANSFORMAC¸ ˜OES DE BOGOLIUBOV . . . 30

3.2.1 Estados Squeezed . . . 31

3.2.2 Estados Squeezed de Dois Modos . . . 32

3.2.3 Estados Squeezed Fermiˆonicos de Dois Modos . . . 35

3.3 O CAMPO ESCALAR LIVRE . . . 37

4 A EQUAC¸ ˜AO MESTRA . . . 41

4.1 EVOLUÇ ÃO DO SISTEMA A NA REPRESENTAÇ ÃO DE INTERAÇ ÃO . . . 41

4.2 PROJETANDO NA BASE DOS AUTOESTADOS . . . 45

4.3 FUNÇ ÃO DE CORRELAÇ ÃO DE DOIS PONTOS T ÉRMICA 48 4.3.1 A Fun¸cão de Correla¸cão Simétrica . . . 50

4.3.2 A Susceptibilidade Linear . . . 51

5 OSCILADOR HARM ˆONICO . . . 53

5.1 EVOLUÇ ÃO DA POPULAÇ ÃO . . . 56

5.2 OSCILADOR HARM ˆONICO FERMI ˆONICO . . . 59

6 CONSIDERAC¸ ˜OES FINAIS . . . 63

REFER ˆENCIAS . . . 65

AP ÊNDICE A -- Expansão do Vácuo Térmico . . . 69

AP ˆENDICE B -- Ru´ıdo em Estados Puros . . . 75

AP ÊNDICE C -- Condi¸cão de Validade para a Expansão Perturbativa . . . 81

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1 INTRODUC¸ ˜AO

Com o intuito de introduzir temperatura à teoria de campo, Matsubara (MATSUBARA, 1955) apresenta em 1955 o formalismo de tempo imaginário, que possui a grande vantagem de possibilitar a cons-tru¸cão de diagramas de Feynman para amplitudes de transi¸cão na se-rie perturbativa de Dyson. Entretanto, apesar do grande avan¸co al-can¸cado com este formalismo, surgiram algumas dificuldades, especi-almente no tratamento de processos dependentes do tempo e da tem-peratura simultaneamente, tornando-se necessário construir um forma-lismo de tempo real. O primeiro formaforma-lismo de tempo real foi proposto por Schwinger (SCHWINGER, 1961) e Keldysh (KELDYSH, 1964) via métodos funcionais a partir da teoria da medida; mais tarde, Ume-zawa e Takahashi (TAKAHASHI; UMEZAWA, 1975;UMEZAWA, 1995), em 1975, introduzem um novo formalismo de tempo real, a Thermofield Dynamics (TFD), baseada numa constru¸cão via operadores, permi-tindo incorporar temperatura para o tratamento de sistemas quânticos em equil´ıbrio térmico.

A ideia básica por trás da TFD é adicionar temperatura ao sis-tema através de valores esperados em estados dependentes da tempe-ratura; isso envolve, por constru¸cão, a duplica¸cão dos graus de liber-dade do sistema. Contudo, todas as rela¸cões do formalismo a tempe-ratura zero permanecem válidas. Tais estados dependentes da tempe-ratura são constru´ıdos através de uma transforma¸cão de Bogoliubov análoga à transforma¸cão correspondente a estados squeezed de dois modos. Hoje em dia, a TFD é utilizada em diversas áreas da f´ısica tais como da matéria condensada (KHANNA, 2009; UMEZAWA; MAT-SUMOTO; TACHIKI, 1982), f´ısica nuclear, f´ısica de part´ıculas, óptica quântica e cosmologia.

O estudo da dinâmica de um sistema quântico interagindo com um reservoir não é algo novo, mas ainda um problema importante na mecânica quântica. Ao longo do tempo houve várias tentativas de se descrever o comportamento de sistemas microscópicos, uma das mais primordiais e importantes é a equa¸cão de Boltzmann, que visa a fun¸cão de distribui¸cão de uma part´ıcula, assumindo a hipótese do caos molecular; outra tentativa foi a equa¸cão de Langevin, a qual leva em considera¸cão for¸cas aleatórias que atuam sobre o sistema em estudo. Na mesma linha, surge a equa¸cão de Liouville e, por último, utilizando-se o formalismo do operador densidade, pode-se construir a equa¸cão de Fokker-Planck para densidades de probabilidade e a chamada equa¸cão

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mestra, na qual estamos particularmente interessados neste trabalho. Cohen-Tannoudji, Dupont-Roc e Grynberg (COHEN-TANNOUDJI; DUPONT-ROC; GRYNBERG, 1992) derivaram perturbativamente a equa¸cão mestra para um sistema com um espectro denso de energia, estudando o caso de um sistema microscópico na presen¸ca de um banho térmico. Neste processo, surgem naturalmente valores esperados de operadores, tomados sobre estados do banho térmico, os quais são o ponto de par-tida parar construirmos, de primeiros princ´ıpios, uma equa¸cão mestra dependente da temperatura.

No Cap´ıtulo 2, apresentaremos a teoria da medida no qual in-troduzimos uma forma “natural” de abordar sistemas quânticos, apre-senta por Schwinger (SCHWINGER, 1959, 1970), em 1959; a teoria é baseada na ideia de se efetuar medidas seletivas sobre um ensemble de sistemas. Mostraremos a constru¸cão axiomática da teoria e, por fim, construiremos, de maneira heur´ıstica, um estado térmico. No Cap´ıtulo 3, procedemos à constru¸cão dos estados térmicos da TFD na repre-senta¸cão de número, apresentando exemplos simples, indicando, com as generaliza¸cões adequadas, que é poss´ıvel estender nossos resultados a teorias de campo, tratando o exemplo do campo escalar livre.

A seguir, no Cap´ıtulo 4, construiremos a equa¸cão mestra a partir da equa¸cão de Von Neumann na aproxima¸cão coarse-grained e intro-duziremos a fun¸cão de correla¸cão de dois pontos que descreve o com-portamento do reservoir. No Cap´ıtulo 5 aplicaremos a equa¸cão mestra térmica para um oscilador que descreve uma part´ıcula browniana em in-tera¸cão com um conjunto de osciladores e para um oscilador fermiônico na presen¸ca de um banho térmico fermiônico.

No último cap´ıtulo faremos algumas considera¸cões finais, apon-tando para perspectivas de continua¸cão deste trabalho.

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2 TEORIA DA MEDIDA

A teoria da medida clássica está implicitamente baseada na ideia de que a intera¸cão entre o sistema f´ısico e o aparelho de medida possa ser feita arbitrariamente pequena, de tal forma que se possa falar de uma medida idealizada, na qual não se perturbem as propriedades do sistema ou estas possam ser exatamente compensadas. Porém, é uma caracter´ıstica dos sistemas quânticos que a intera¸cão entre sistema e ins-trumento não pode ser ignorada ou compensada, devido ao seu caráter probabil´ıstico. Assim, a medida de uma propriedade pode produzir mudan¸cas incontroláveis nos valores previamente atribu´ıdos às demais propriedades.

Seja um sistema f´ısico ideal, no qual qualquer observ´avel A as-suma somente um n´umero finito de valores distintos, a0, ... , a(n) e M (a0) represente uma medida seletiva, em um ensemble de sistemas similares e independentes, que somente aceite os sistemas que possuam o valor a0 _{e rejeite todos os demais. De acordo com sua defini¸}_c˜_{ao, os}

s´ımbolos de medida possuem as propriedades X a0 M (a0) = 1, (2.1) M (a0)M (a00) = δ (a0, a00) M (a0), (2.2) onde δ (a0, a00) = ( 1, a0 _{= a}00 0, a0 6= a00.

Dois observ´aveis A1 e A2 s˜ao compat´ıveis se a medida de um

não destrói a informa¸cão obtida por uma medida anterior do outro. As medidas M (a0₁) e M (a0₂), efetuadas em qualquer ordem, produzem um ensemble de sistemas para os quais se pode atribuir simultaneamente os valores a0₁ para A1 e a02 para A2,

M (a0₁, a0₂) = M (a0₁)M (a0₂) = M (a0₂)M (a0₁).

Por um conjunto completo de observ´aveis A1, ... , Ak

entende-se que todos os obentende-serváveis são compat´ıveis par a par, e não existe nenhum outro observável compat´ıvel com qualquer um dos observáveis

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do conjunto A. O s´ımbolo de medida M (a0) = k Y i=1 M (a0_i)

descreve então uma medida completa, tal que os sistemas escolhidos possuem valores definidos para o número máximo de atributos. Um tipo de medida mais geral incorpora uma perturba¸cão que produz uma mudan¸ca de estado do sistema sondado. O s´ımbolo M (a0, a00) indica uma medida seletiva na qual somente são aceitos sistemas no estado a00 emergindo no estado a0. A medida M (a0) pode ser vista como um caso especial no qual não ocorrem mudan¸cas,

M (a0, a0) = M (a0).

A multiplica¸c˜ao de s´ımbolos de medida do tipo M (a0, a00) ´e dada por

M (a0, a00)M (a000, aiv) = δ(a00, a000)M (a0, aiv);

nota-se, do ordenamento das medidas, que a multiplica¸cão de s´ımbolos de medida é não comutativa. Além do conjunto A, podemos formar outros conjuntos completos B, C, ... mutuamente incompat´ıveis; para cada escolha de observáveis não interferentes existe um conjunto de me-didas M (b0, b00), M (c0, c00), ... . Assim, a medida mais geral poss´ıvel en-volve dois conjuntos de observáveis incompat´ıveis. O s´ımbolo M (a0, b0) indica uma medida seletiva na qual são rejeitados todos os sistemas ex-ceto aqueles no estado b0 e permitindo apenas aos sistemas nos estado a0 emergir. A lei geral de multiplica¸cão será

M (a0, b0)M (c0, d0) = hb0| c0i M (a0, d0) ,

onde hb0| c0_{i ´}_{e um n´}_{umero caracterizando a rela¸}_c˜_{ao estat´ıstica entre b}0

e c0. Em particular,

ha0| a00i = δ (a0, a00) .

Pode-se escrever com a ajuda da propriedade para soma de s´ımbolos (2.1) M (b0, c0) =X a0 M (a0)M (b0, c0) =X a0 ha0_{| b}0_{i M (a}0_{, c}0₎

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e similarmente

M (a0, b0) =X

c0

hb0| c0i M (a0, c0), (2.3) o que mostra que s´ımbolos de medida de um tipo podem ser expressos como combina¸cão linear de s´ımbolos de medida de outro tipo. A rela¸cão geral é dada por

M (c0, d0) =X

a0_b0

ha0| c0i hd0| b0i M (a0, b0).

O n´umero ha0| b0_{i pode ser visto como uma fun¸c˜}_{ao num´}_erica

li-near do operador M (b0, a0); esta correspondência entre operadores e números será mapeada pelo tra¸co

ha0| b0i = tr [M (b0, a0)] . (2.4) Utilizando a nota¸c˜ao

M (b0, a0) = |b0i ha0_{| ,}

notamos que o tra¸co atua como se efetuasse uma rota¸cão c´ıclica nos estados. Das equa¸cões para soma de s´ımbolos (2.1) e (2.4) pode-se determinar a forma de um operador X na representa¸cão dos s´ımbolos de medida, X =X a0_b0 M (a0) XM (b0) =X a0_b0 ha0|X| b0i M (a0, b0) , (2.5) ha0|X| b0i = T r [XM (b0, a0)] .

Assim, o valor esperado de uma observ´avel A para um sistema na base b0 ´e

hAi_b0 = hb0|A| b0i = T r [AM (b0)] ,

onde |b0i hb0_{| pode ser interpretado como o operador de proje¸c˜}_{ao do}

estado f´ısico do sistema na base de estados |b0_{i. Se ao inv´}_{es de um}

estado puro |b0i, considerarmos um estado composto de uma mistura estat´ıstica dos poss´ıveis estados acess´ıveis de B, que ocorrem com pesos estat´ısticos π (b0), tais que

X

b0

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a m´edia estat´ıstica de A no ensemble ser´a hAi =X b0 π (b0) hAi_b0 = X b0 π (b0) tr [AM (b0)] = T r [ρA] , (2.6)

onde define-se o operador densidade ρ ≡X

b0

π (b0) M (b0) .

Para um estado puro |b00i

π (b0) = δ (b0, b00) , de modo que

ρ =X

b0

δ (b0, b00) M (b0) = M (b00) , de onde segue imediatamente que, para um estado puro,

ρ = ρ2.

No próximo cap´ıtulo será estudado de forma detalhada o for-malismo no qual são introduzidos estados térmicos. Por consistência, mostraremos a seguir que tais estados emergem naturalmente na teoria da medida, se as rela¸cões apropriadas forem introduzidas. Por con-veniência, consideremos a base M (n, m) associada ao operador número N , na qual os elementos de matriz são diagonais; da equa¸cão (2.3), a expressão para ρ torna-se (TOMAZELLI; GOMES, 2009)

ρ =X

n,m

p

π (En) π (Em)δ (n, m) M (n, m) .

Para tratarmos de sistemas em equil´ıbrio térmico, introduzimos um sistema auxiliar, duplicando os graus de liberdade do sistema ori-ginal, através da rela¸cão

δ (n, m) = δ (_en,m) ;_e logo ρ =X n,m p π (En) π (Em)δ (n, m) M (n, m) =X n,m p π (En) π (Em)M (n,en) M (m, m)e

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= " X n p π (En)M (n,_en) # " X m p π (Em)M (m, m)_e # ≡ 0(β) 0(β) , de modo que 0(β) ≡ X n p π (En) |n,ni .e Para um dado observ´avel, temos ent˜ao

0(β)|F | 0(β) = T r (F ρ) = T r F 0(β) 0(β) = T r X n,m p π (En) π (Em) |mi hm| F |ni h_e n|_e ! =X n,m p π (En) π (Em) hn|e mi hm| F |nie =X n π (En) hn| F |ni .

Lembrando que os “estados” |n,ni s˜_e ao, na realidade, projetores na teoria da medida |ni h_en|, a atua¸c˜ao do operador n´umero eN , perten-cente ao espa¸co auxiliar, deve ser entendida como

e N |n,_eni = eN M (n,_en) =hM†(n,_en) eN†i † =hM (n,n) e_e Ni † , onde utilizamos o fato dos s´ımbolos de medida constitu´ırem uma base hermitiana do espa¸co de operadores, isto ´e

M (n,_en) = M†(n,_en) .

Por ´ultimo, se reconhecermos que, para um sistema em equil´ıbrio t´ermico, π (En) = Z−1e−βEn, resulta 0(β) = Z− 1 2X n e−12βEn_|n, e ni . (2.7)

De fato, a expressão anterior corresponde a um estado depen-dente da temperatura. Na linguagem da teoria da medida, o operador densidade que caracteriza um sistema em equil´ıbrio térmico projeta seus estados no vácuo térmico dos operadores associados aos respec-tivos observáveis. Podem-se relacionar os s´ımbolos de medida com os

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operadores da mecânica estat´ıstica, os quais serão amplamente utiliza-dos nos próximos cap´ıtulos. Porém, por conveniência e facilidade de interpreta¸cão, será utilizada a nota¸cão convencional, lembrando sem-pre que se pode retornar aos s´ımbolos de medida através das rela¸cões anteriores.

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3 ESTAT´ISTICA QU ˆANTICA

Neste cap´ıtulo estudaremos o formalismo introduzido por Umezawa e Takahashi (TAKAHASHI; UMEZAWA, 1975) para uma teoria de campo térmica de tempo real; na se¸cão 3.1 desenvolveremos o formalismo via valor esperado no vácuo; na se¸cão 3.2 mostraremos como podemos al-can¸car estados térmicos através de uma transforma¸cão de Bogoliubov; por último, na se¸cão 3.3 implementaremos o formalismo no caso de um campo escalar livre.

3.1 THERMOFIELD DYNAMICS

Para um sistema quântico em equil´ıbrio térmico a temperatura T , no ensemble canônico, a média estat´ıstica de um observável A, é definida como

hAi ≡ Z−1T rAe−βH_, _(3.1.1)

onde

Z = T re−βH_,

β = (kBT )−1,

sendo H o hamiltoniano total do sistema, Z a fun¸cão de parti¸cão e kB a constante de Boltzmann. Busca-se construir uma representa¸cão

na qual os valores esperados em um vácuo térmico coincidam com as médias estat´ısticas no ensemble

0(β)|A| 0(β) = hAi ; (3.1.2)

definida a atua¸c˜ao nos estados ortonormais H |ni = En|ni ,

hm| ni = δmn,

a equa¸c˜ao para as m´edias estat´ısticas (3.1.1), e consequentemente o valor esperado (3.1.2), torna-se

0(β)|A| 0(β) = Z−1

X

n,m

e−βEn_{hm |A| ni δ}

mn. (3.1.3)

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dos autoestados |ni 0(β) = X n fn(β) |ni ; (3.1.4)

substituindo (3.1.4) em (3.1.3) e comparando ambos membros da equa¸c˜ao resultante, devemos ter necessariamente

fm∗ (β) fn(β) = Z−1e−βEnδmn. (3.1.5)

Da equa¸c˜ao anterior conclui-se que, devido ao termo δmn, os

coeficientes fn(β) n˜ao podem ser meramente n´umeros, mas devem ser

estados. Assim, o estado 0(β) est´a no espa¸co gerado pelos estados

|ni e fn(β). Para construir esta representa¸c˜ao ´e conveniente introduzir

um sistema adicional fict´ıcio “idˆentico” ao original, chamado sistema dual, de forma que fn(β) perten¸ca a este novo sistema. Tal sistema ´e

caracterizado pelo hamiltoniano eH, o qual atua nos autoestados |_eni de acordo com

e

H |_eni = En|_eni ,

hm|_e _eni = δmn,

onde os autovalores En s˜ao, por defini¸c˜ao, iguais aos autovalores do

sistema original. Da forma da equa¸c˜ao (3.1.5) conclui-se que fn(β) = Z−

1

2_e−12βEn_|

e ni ; substituindo na express˜ao (3.1.4) para 0(β) resulta

0(β) = Z− 1 2X n e−12βEn_|n, e ni , (3.1.6) onde |n,_eni ≡ |ni ⊗ |_eni .

A expressão acima é equivalente a (2.7) encontrada no cap´ıtulo anterior. Devido à incapacidade do espa¸co de Hilbert original H des-crever corretamente o espa¸co dos estados 0(β), tornou-se necessária

a introdu¸c˜ao do espa¸co dual eH, de modo que o novo espa¸co H ser´a definido como sendo o produto tensorial dos subespa¸cos anteriores, H e eH,

H = H ⊗ eH.

(27)

D e m, m Ae n,en E =Dm_e Ae en E ⊗ hm| ni =Dm_e Ae en E δmn,

o que caracteriza a separabilidade dos dois sistemas. Pode-se, ent˜ao, definir a atua¸c˜ao dos operadores A ∈ H e eA ∈ eHsobre o espa¸co H como

A ≡ A ⊗ I, e

A ≡ I ⊗ eA.

O mapeamento entre os subespa¸cos H e eHé chamado conjuga¸cão dual ou til e define uma série de regras:

g AB = eA eB (3.1.7) ^ (αA + βB) = α∗A + βe ∗B;e α, β ∈ C (3.1.8) f A†₌ e A † (3.1.9) e_e A = σA, (3.1.10) onde σ = 1, p/ b´osons −1, p/ f´ermions .

Destas propriedades pode-se concluir que a correspondência é um a um, o mapeamento é antilinear com respeito ao espa¸co origi-nal e invariante frente a transforma¸cões de Bogoliubov, as quais serão apresentadas posteriormente na se¸cão 3.2. A regra (3.1.7) pode ser aplicada ao produto N M (n,_en) ≡ N |n,_eni, no contexto da teoria da medida, fornecendo

[N M (n,_en)]e= eN fM (n,

e

n) = eN M (n, n) = e_e N |_eni hn| , (3.1.11) desde que fM (n,_en) = M (_en, n). Impusemos que uma medida efetuada sobre o sistema f´ısico no estado |ni faz com que o sistema auxiliar emerja, necessariamente, no estado correspondente ao mesmo autovalor n; do mesmo modo, uma medida efetuada sobre o sistema auxiliar no

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estado |_eni fornece o autovalor n para o sistema f´ısico. Portanto, M (n,n) = M (_e n, n) ._e (3.1.12) Segue ent˜ao das equa¸c˜oes (3.1.11) e (3.1.12) que

[N |n,_eni]e_{= e}_{N |n,}

e

ni = n |n,ni ._e

Esta última igualdade é decorrência da propriedade (3.1.7) es-tendida à teoria da medida, e não uma imposi¸cão adicional, como apre-sentado originalmente (TAKAHASHI; UMEZAWA, 1975). Além destas, da separabilidade dos estados, resulta

h A, eBi ± = h A, eB†i ±= 0,

onde o sinal (−) representa o comutador e (+) o anticomutador, a serem convenientemente utilizados conforme a álgebra tratada seja bosônica ou fermiônica. Agora, será aplicado o formalismo desenvolvido para o caso de osciladores bosônicos e fermiônicos. Apesar da simplicidade dos sistemas, estes serão de utilidade no tratamento de campos a tempera-tura finita e no estudo de intera¸cão com um reservoir térmico. Faz-se um breve resumo da teoria espectral para operadores limitados inferior-mente; definido o operador N e sua atua¸cão no estado ortonormalizado |ni pertencente ao espa¸co H,

N ≡ a†a,

N |ni = n |ni . (3.1.13)

De (3.1.13) resulta que a atua¸c˜ao individual dos operadores a e a†, devidamente normalizada, deve ser

a |ni =√n |n − 1i , a†|ni =√n + 1 |n + 1i .

Sendo a† o adjunto conjugado de a, como n ´e sempre n˜ao nega-tivo devido ao espa¸co de Hilbert ter produto interno positivo definido, este deve possuir um valor m´ınimo, correspondendo ao estado |0i, tal que

a |0i = 0; (3.1.14)

(29)

de a† sobre o estado fundamental, |ni = √1

n! a

†n

|0i . (3.1.15)

3.1.1 Caso Bosˆonico

Um oscilador harmônico de frequência ω é descrito pelo hamil-toniano H = ~ω a†a +1 2 ,

onde a† é o operador de levantamento (ou cria¸cão) e a o operador de abaixamento (ou aniquila¸cão), os quais satisfazem a álgebra

a, a†_{= 1,}

[a, a] =a†_{, a}†_{= 0.}

Da equa¸c˜ao (3.1.13) encontram-se os autovalores de H, H |ni = ~ω n +1 2 |ni .

Uma vez determinados os autovalores de energia, pode-se encon-trar a fun¸cão de parti¸cão e, por conseguinte, o estado0(β). A álgebra

bosônica não impõe nenhum limite superior aos estados acess´ıveis. As-sim, calculando a fun¸cão de parti¸cão, obtém-se

Z = T re−βH = ∞ X n=0 e−β~ω(n+12) = e −1 2β~ω 1 − e−β~ω, (3.1.16)

onde foi utilizada a soma de uma s´erie geom´etrica,

∞

X

n=0

xn = 1

1 − x. (3.1.17)

O mesmo resultado para a fun¸cão de parti¸cão (3.1.16) pode ser encontrado se exigirmos a normaliza¸cão do estado0(β); assim sendo,

(30)

o estado0(β) resulta, neste caso, 0(β) = e− 12β~ω 1−e−β~ω −1 2 ∞ P n=0 e−12β~ω(n+12) |n, e ni = 1 − e−β~ω12 ∞ P n=0 e−12β~ωn|n, e ni .

A equa¸cão (3.1.15) é igualmente válida para os estados |ni do_e espa¸co dual, |_eni =√1 n! ea †n e0 E . Finalmente, o estado 0(β) assume a forma

0(β) = 1 − e−β~ω 1 2 ∞ X n=0 e−12β~ωn a†n e a†n n! 0, e0 E . (3.1.18)

Nota-se que o estado0(β) n˜ao est´a vazio; logo, espera-se que a

média estat´ıstica do operador número N não seja nula. Assim, 0(β)|N | 0(β) = 1 − e−β~ω ∞ X n=0 e−β~ωnhn, n |N | n,_e _eni .

A partir da soma da série geométrica (3.1.17) pode-se obter, por diferencia¸cão, ∞ X n=0 n.xn= x d dx ∞ X n=0 xn= x (1 − x)2 ,

de modo que, o número médio de part´ıculas no estado é a distribui¸cão de Bose-Einstein (BE)

0(β)|N | 0(β) = eβ~ω− 1

−1

. (3.1.19)

Portanto, como esperado, o número médio de part´ıculas no vácuo

(31)

3.1.2 Caso Fermiˆonico

Um oscilador fermiônico de frequência ω é descrito pelo hamil-toniano H = ~ω a†a −1 2 ,

onde os operadores fermiˆonicos devem satisfazer a ´algebra a, a†

+= 1,

[a, a]₊=a†_{, a}†

+= 0,

a qual imp˜oe a condi¸c˜ao a†_{, a}†

+|0i = a †2

|0i = a†|1i = 0.

Esta expressão mostra que os únicos estados acess´ıveis são |0i e |1i, o que corresponde ao princ´ıpio de exclusão de Pauli. Calculando a fun¸cão de parti¸cão, temos

Z = 1 X n=0 e−β~ω(n−12) = e12β~ω+ e− 1 2β~ω = 2cosh 1 2β~ω ,

de onde resulta o vácuo térmico 0(β) =2cosh 1₂_β~ω− 1 2 1 P n=0 e−12β~ω(n− 1 2) |n, e ni =2cosh 1 2β~ω −12_e1₄β~ω_{+ e}−1 4β~ωa† e a†|0, 0i . (3.1.20) A média estat´ıstica do operador número N é

0(β)|N | 0(β) =2cosh 1 2β~ω −1 e−12β~ω D e 1, 1 |N | 1, e1E = eβ~ω_{+ 1}−1 .

Como esperado, o número médio de part´ıculas no vácuo0(β),

para o caso fermiônico, está relacionado à temperatura através da dis-tribui¸cão de Fermi-Dirac.

(32)

3.2 TRANSFORMAC¸ ˜OES DE BOGOLIUBOV

Nesta se¸cão mostraremos que o processo de termaliza¸cão pode ser igualmente alcan¸cado através de uma transforma¸cão de Bogoliubov, se as rela¸cões entre estas forem corretamente estabelecidas. Até o mo-mento, a princ´ıpio, o estado0(β) poderia ser qualquer estado, embora

já o tenhamos definido previamente como o vácuo da teoria. Com tal propósito, será postulada a existência de um operador α ∈ Hβ e seu

auto adjunto α†, tal que

α0(β) = 0, (3.2.1)

tornando 0(β) o v´acuo da teoria; os operadores α e α† satisfazem a

´ algebra

α, α†

∓= 1.

A transforma¸c˜ao respons´avel por mapear os espa¸cos Hβ e H |H,

conhecida como transforma¸c˜ao de Bogoliubov, ´e definida como α = U (θ) aU−1(θ) ,

α†= U (θ) a†U−1(θ) ,

(3.2.2)

onde U (θ) ´e o operador unit´ario

U (θ) = eiG(θ),

sendo G (θ) o gerador da transforma¸cão e θ ≡ θ (β) uma fun¸cão da tem-peratura . Utilizando a expressão (3.2.2) pode-se relacionar o estado

0(β) com o estado |0i ≡

0, e0 E , invertendo-a, a = U−1(θ) αU (θ) .

Aqui, por simplicidade, como não fazemos referência a operado-res do sistema auxiliar, denotaremos o estado de vácuo do operador número N = a†a e o vácuo do espa¸co de estados |n,ni pelo mesmo_e s´ımbolo |0i, ao invés da nota¸cão |0ii usualmente empregada. Atuando a expressão acima no estado |0i e comparando com (3.2.1), obtém-se

(33)

tornando clara a rela¸c˜ao entre os estados fundamentais nos dois espa¸cos

0(β) = U (θ) |0i .

3.2.1 Estados Squeezed

Naturalmente, os vácuos variam conforme o sistema em estudo, tendo como caracter´ıstica conter informa¸cão sobre este. Nesta se¸cão impõe-se que o pacote de onda que descreve uma part´ıcula bosônica tenha a propriedade de saturar o princ´ıpio de incerteza

D (∆p)2E≤~ 2 ou D (∆q)2E≤ ~ 2.

O gerador responsável por incorporar tal restri¸cão é o bilinear Gs(θ) = i

θ 2a

2_{− a}†2_,

onde θ ´e positivo definido; substituindo na transforma¸c˜ao (3.2.2) encontra-se α = e−θ2(a 2_−a†2 )aeθ 2(a 2_−a†2 ). (3.2.3)

Utilizando a rela¸c˜ao de Baker-Campbell-Hausdorff eλABe−λA= B + λ [A, B] + 1

2!λ

2_{[A, [A, B]] +} 1

3!λ

3_{[A, [A, [A, B]]] + · · · ,}

(3.2.4) obt´em-se para α em (3.2.3)

α = a+−θ 2 a2− a†2 , a+1 2! −θ 2 2 a2− a†2 , a2_{− a}†2_{, a+· · · ;} calculando os comutadores a2− a†2 , a = − a†2_{, a = 2a}†_, a2− a†2 , a†_{= a}2_{, a}†_{= 2a,}

(34)

encontra-se a forma linear do operador de aniquila¸c˜ao α, dado por α =1 + _2!1 (−θ)2+_4!1 (−θ)4+ · · ·a − θ + _3!1θ3₊ 1

5!θ

5_{+ · · ·}_a†

= cosh (θ) a − sinh (θ) a†_.

Analogamente, encontra-se o de cria¸c˜ao α†,

α = cosh (θ) a − sinh (θ) a†, (3.2.5) α† = cosh (θ) a†− sinh (θ) a. (3.2.6) Tais operadores apresentam uma dependência expl´ıcita em θ, de fundamental importância, pois carregam a informa¸cão referente a temperatura (posteriormente θ será reconhecido como fun¸cão não linear da temperatura). É de interesse encontrar explicitamente a estrutura de 0(β); uma forma de proceder é fatorar a exponencial U (θ) em

produtos de exponenciais, o que não pode ser efetuado de forma trivial devido à não comutatividade dos operadores,

U (θ) = eθ2(a †2_−a2 ) = e1 2tanh(θ)a †2 e14ln[cosh(θ)][a †2_,a2 ]e1 2tanh(θ)a 2 . (3.2.7) A dedu¸cão desta ultima equa¸cão pode ser encontrada no apêndice A. Expandindo o termo à direita em série de potências e atuando em |0i, resulta 0(β) = U (θ) |0i = e 1 2tanh(θ)a †2 e14ln[cosh(θ)][a †2_,a2 ] |0i ; como a†2_{, a}2n |0i = (−2)n|0i , segue que 0(β) = e− 1 2ln[cosh(θ)]_e12tanh(θ)a †2 |0i . (3.2.8) Esta expressão mostra que o vácuo0(β) é constitu´ıdo por uma

superposi¸c˜ao de estados com um n´umero par de part´ıculas “a”.

3.2.2 Estados Squeezed de Dois Modos

Pode-se estender o estudo anterior, introduzindo um segundo conjunto de osciladores pertencentes ao espa¸co eH, para os quais temos

(35)

a transforma¸c˜ao de Bogoliubov e

α = U (θ)_eaU−1(θ) ,

e

α†= U (θ)_ea†U−1(θ) .

Neste caso, o gerador respons´avel por incorporar o espa¸co dual ´

e

Gs(θ) = iθaea −ea

†_a†_.

Procedemos de maneia análoga àquela da se¸cão anterior a fim de obter as equa¸cões (3.2.5) e (3.2.6) para α e α†_{; efetuando a}

trans-forma¸cão acima se obtém para a expansão α = a−θ a_ea −_ea†a† , a+1 2!(−θ) 2 a_ea −_ea†a† , a_ea −_ea†a† , a+· · · . (3.2.9) Substituindo nesta expressão os comutadores

a_ea −_ea†a† , a =_ea† (3.2.10) e a_ea −_ea†a† ,_ea† = a, (3.2.11) resulta α =1 +_2!1 (−θ)2+_4!1 (−θ)4+ · · ·a − θ +_3!1θ3+_5!1θ5+ · · · a† = cosh (θ) a − sinh (θ)_ea†.

Analogamente, obtém-se os demais operadores de cria¸cão e ani-quila¸cão, listados abaixo:

α = cosh (θ) a − sinh (θ)_ea†, (3.2.12) α†= cosh (θ) a†− sinh (θ)_ea, (3.2.13) e α = cosh (θ)_ea − sinh (θ) a†, (3.2.14) e α†= cosh (θ)_ea†− sinh (θ) a. (3.2.15) Da mesma forma, encontra-se o v´acuo para os estados squeezed de dois modos, 0(β) = e−ln[cosh(θ)]etanh(θ)a † ea † 0, e0 E . (3.2.16)

(36)

O vácuo (3.2.16) é um condensado de pares a_ea; devido à sua estrutura, o vácuo é, então, invariante frente a conjuga¸cões til

0(β)

∼

=0(β) ,

o que está de acordo com o discutido na se¸cão 3.1, se considerarmos o vácuo térmico como uma combina¸cão linear de s´ımbolos de medida. Este também apresenta uma estrutura similar ao estado encontrado na se¸cão anterior para o caso do oscilador bosônico (3.1.18). Comparando-os, cosh (θ)−1etanh(θ)a†ea † = 1 − e−β~ω1 2 ∞ X n=0 e−12β~ωn a†n e a†n n! ,

resultam as rela¸c˜oes

tanh (θ) = e−12β~ω,

cosh (θ) = 1 − e−β~ω−12,

sinh (θ) = eβ~ω_{− 1}−1 2,

(3.2.17)

possibilitando o mapeamento entre os dois formalismos. Por ´ultimo, atuando α eα no v´_e acuo0(β), resulta de (3.2.12) e (3.2.14)

a†0(β) = tanh (θ) −1 e a0(β) , e a†0(β) = tanh (θ) −1 a0(β) . (3.2.18)

Substituindo em (3.2.13) e (3.2.15), obt´em-se α†0(β) = sinh (θ) −1 e a0(β) = cosh (θ) −1 a†0(β) , e α†0(β) = sinh (θ) −1 a0(β) = cosh (θ) −1 ea † 0(β) . (3.2.19)

Das rela¸cões (3.2.18) e (3.2.19) conclui-se que as part´ıculas do espa¸co dual podem ser interpretadas como “buracos”; as constantes de normaliza¸cão presentes em (3.2.19) estão relacionadas com o fator de Boltzmann através das rela¸cões (3.2.17), o que é caracter´ıstico de processos quânticos onde se adiciona uma part´ıcula a um sistema que contém part´ıculas em equil´ıbrio térmico.

(37)

operadores lineares, conhecido como II Lema de Schur:

Lema. Seja A um operador linear, definido sobre o espa¸co gerado pelos autoestados do operador n´umero N . Se

[A, a] = 0 =A, a†_,

ent˜ao

A = αI, α ∈ C.

De acordo com o II lema de Schur, não existem subespa¸cos de es-tados na representa¸cão de número que sejam invariantes sob a a¸cão dos operadores escada e quaisquer representa¸cões de número, constru´ıdas a partir de um mesmo estado fundamental (ou “vácuo”) através dos ope-radores de levantamento, são equivalentes sob transforma¸cões unitárias. Como o estado fundamental do sistema auxiliar distingue-se do res-pectivo estado associado ao sistema f´ısico, o mesmo pertence a outro espa¸co de estados, constru´ıdos através da atua¸cão de novos operado-res de levantamento, cuja repoperado-resenta¸cão também é irredut´ıvel; assim, a representa¸cão |n,_eni constitui uma representa¸cão redut´ıvel a um dos subespa¸cos gerados por |0i ou

e0 E

.

O gerador da transforma¸cão de Bogoliubov U (θ), é constru´ıdo a partir de operadores que atuam em ambos subespa¸cos, transformando o vácuo

0, e0 E

num estado que caracteriza o vácuo de uma nova re-presenta¸cão irredut´ıvel, inequivalente à representa¸cão à qual pertence o dubleto |n,ni._e

3.2.3 Estados Squeezed Fermiˆonicos de Dois Modos

Repetimos o estudo da se¸cão anterior para o caso fermiônico, respeitando agora a álgebra

a, a† += e a,_ea† += 1, [a,_ea]₊=a,_ea† += 0.

A transforma¸c˜ao de Bogoliubov assume a mesma forma (3.2.9); assim, para encontrar α devemos resolver os comutadores em termos dos anticomutadores, o que pode ser alcan¸cado utilizando a rela¸c˜ao

(38)

As express˜oes para os comutadores (3.2.10) e (3.2.11) tornam-se a_ea −_ea†a† , a = [_ea†, a]+a†−ea †_[a†_{, a]} += −ea †_, a_ea −_ea†a† , −_ea† = [a,_ea†]+ea − a[ea,ea †_] += −a.

Substituindo estes ´ultimos na expans˜ao (3.2.9) encontra-se α e, por conseguinte, os demais operadores

α = cos (θ) a + sin (θ)_ea†, α†= cos (θ) a†+ sin (θ)_ea, e α = cos (θ)_ea − sin (θ) a†, e α†= cos (θ)_ea†− sin (θ) a.

Para calcular 0(β) expande-se a exponencial U (θ) em s´erie de

potˆencias, atuando sobre o estado |0i, 0(β) = e−θ(aea−ea †_a†₎ 0, e0 E = ∞ X n=0 1 n!θ n ea †_a†_{− a} e an 0, e0 E . (3.2.20)

Calculando as primeiras atua¸c˜oes, reconhecemos o padr˜ao

e a†a†− a_ea 0, e0 E = _ea†a† 0, e0 E , e a†a†− a_ea2 0, e0 E = − 0, e0 E , e a†a†− a_ea3 0, e0 E = −_ea†a† 0, e0 E , e a†_a†_{− a} e a4 0, e0 E = 0, e0 E . Substituindo em (3.2.20), obt´em-se

0(β) = cos(θ) + sin(θ)ea †_a† 0, e0 E . (3.2.21)

A expressão para o vácuo (3.2.21) mostra que este é um con-densado fermiônico de pares a_ea; da mesma forma, comparando com o

(39)

estado fermiˆonico (3.1.20), tem-se cos(θ) + sen(θ)_ea†a† = 2cosh 1 2β~ω −12 e14β~ω_{+ e}−14β~ω_a† e a†, resultando nas rela¸c˜oes

cos(θ) = 1 + e−β~ω−12_,

sin(θ) = − 1 + eβ~ω−12_.

Para o sistema fermiônico, a interpreta¸cão das part´ıculas a e_ea é análoga ao caso bosônico. Neste caso, porém, a conexão ocorre, como esperado, através da distribui¸cão de Fermi-Dirac.

3.3 O CAMPO ESCALAR LIVRE

Os campos livres podem ser considerados como infinitos oscila-dores harmônicos, por isso não é de estranhar que o formalismo intro-duzido anteriormente possa ser estendido a campos. Contudo, devem ser introduzidos campos duais aos originais, os quais possibilitarão ter-malizar o novo sistema via transforma¸cões de Bogoliubov. Exempli-ficaremos esta ideia para o campo de Klein-Gordon. A equa¸cão de Klein-Gordon massiva + m2 ψ = 0, onde = _c12 ∂2 ∂t2 − ∇ 2_,

possui como solu¸cão, para um campo real, escrito em termos de opera-dores de cria¸cão e aniquila¸cão

ψ (x) = Z _d3_k (2π)3/2 1 √ 2ωk h ake−ip.x+ a†ke ip.xi_, _(3.3.1)

onde p e x s˜ao quadrivetores do espa¸co de Minkowski, tais que, p.x = −−→k .−→x + k0_x0 _{e ω}

k =

q₋_→

k2_{+ m}2_{. ´}_{E necess´}_{ario dobrar os graus de}

liberdade do sistema; assim, introduz-se o operador de campo dual e

(40)

equa¸c˜ao (3.3.1), e ψ (x) = 1 (2π)3/2 Z _d3_k √ 2ωk h e akeip.x+_ea†_ke−ip.x i .

Consegue-se reescrever o operador de campo na forma de dubleto Ψ (x) ≡ _{ψ (x)} e ψ (x) = 1 (2π)3/2 Z _d3_k √ 2ωk _a k e a†_k e−ip.x+ a†_k e ak eip.x .

Como visto nas seçcões anteriores, os operadores akestão

relacio-nados linearmente com os operadores αk. Tal liga¸c˜ao pode ser expressa

em termo de uma matriz A (θ), tal que _a k e a†_k = Ak(θ) _α k e α†_k ; (3.3.2)

para o caso squeezed bosˆonico essa matriz ´e Ak(θ) =

cosh (θk) sinh (θk)

sinh (θk) cosh (θk)

.

Substituindo ak, dado por (3.3.2), em Ψ (x), obt´em-se os

opera-dores de campo dependente da temperatura Ψ (x, θ) = 1 (2π)3/2 Z _d3_k √ 2ωk Ak(θ) _α k e α†_k e−ip.x+ α†_k e αk eip.x ,

ou, em termo de frequˆencias positivas e negativas, Ψ (x, θ)+≡ 1 (2π)3/2 Z _d3_k √ 2ωk Ak(θ) e−ip.x _α k e α†_k , (3.3.3) Ψ (x, θ)− ≡ 1 (2π)3/2 Z _d3_k √ 2ωk Ak(θ) eip.x α†_k e αk . (3.3.4) Uma vez encontrados os operadores de campo pode-se calcular, por exemplo, a fun¸c˜ao de Green de dois pontos a temperatura finita. Definimos o dubleto conjugado

Ψ (x, θ)T ≡

_{ψ (x)} − eψ (x)

,

(41)

e o comutador em termos das componentes 4µξ xy ≡Ψ (x, θ) , Ψ (y, θ) µξ = 4µξ+_xy + 4µξ−_xy , onde 4µξ+ xy = h Ψ (x, θ)+, Ψ (y, θ)−i µξ , (3.3.5) 4µξ− xy = h Ψ (x, θ)−, Ψ (y, θ)+i µξ . (3.3.6)

As rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao entre os operadores de campo αk, α†k,

e αk eα_e†k s˜ao αk, α†q = αekαe † q = δ 3_{(k − q) .} A partir de 4µξ+

xy e 4µξ−xy , podemos deduzir os propagadores

avan¸cado, retardado e de Feynman, definidos como 4µξ_(adv)xy= −θ (−τ ) 4µξ+ xy − θ (−τ ) 4µξ−xy , 4µξ_(ret)xy= θ (τ ) 4µξ+ xy + θ (τ ) 4µξ−xy , 4µξ_{(F )xy}= θ (τ ) 4µξ+ xy − θ (−τ ) 4µξ−xy , al´em do invariante 4µξ_(1)xy = 4µξ+xy − 4 µξ− xy ,

onde θ (τ ) ´e a “fun¸c˜ao” de Heaviside e τ = x0− y0. Estamos

principal-mente interessados em 4µξ_(1)xy e 4µξ_(ret)xy por estarem relacionados com a correla¸c˜ao sim´etrica e a susceptibilidade (TOMAZELLI; COSTA, 2003).

(42)

(43)

4 A EQUAC¸ ˜AO MESTRA

Neste cap´ıtulo voltaremos nossa aten¸cão ao estudo da evolu¸cão dinâmica de um sistema de part´ıculas; na se¸cão 4.1 derivaremos uma equa¸cão de operadores para descrever esta evolu¸cão; na se¸cão 4.2 pro-jetaremos esta numa base e veremos como as part´ıculas evoluem e, finalmente, na se¸cão 4.3 veremos como um sistema microscópico in-terage com um reservoir contendo um número grande de part´ıculas, possibilitando a incorpora¸cão de temperatura através dos resultados obtidos no cap´ıtulo 3.

Come¸caremos introduzindo nosso sistema e as restri¸cões sobre o mesmo, estudando o caso de um pequeno sistema A em intera¸cão com um sistema R, o qual deve ser muito maior que A, de forma que não ocorram varia¸cões macroscópicas; tais sistemas possuem a carac-ter´ıstica de apresentar duas escalas de tempo muito diferentes: τc, o

tempo médio de uma flutua¸cão em R e TA, o tempo médio de uma

va-ria¸c˜ao do sistema A; exigiremos que o acoplamento seja fraco na escala de τc, condi¸c˜ao normalmente conhecida como motional narrowing.

4.1 EVOLUÇ ÃO DO SISTEMA A NA REPRESENTAÇ ÃO DE INTERAÇ ÃO

O hamiltoniano do sistema A + R na representa¸cão de Schr¨ odin-ger será HS = HAS+ HRS+ VS, (4.1.1) onde HS A é o hamiltoniano do sistema A, H S R o hamiltoniano do

reser-voir e VS _{a intera¸}_c˜_{ao entre estes. A equa¸}_c˜_{ao respons´}_{avel por descrever}

a evolu¸cão de um sistema em termos do operador densidade, na repre-senta¸cão de Schrödinger, é a equa¸cão de Von Neumann

d dtρ

S_{(t) =} 1

i~H

S_{, ρ}S_{(t) .} _(4.1.2)

Porém, é de maior interesse trabalhar na representa¸cão de in-tera¸cão de HA+ HR; nesta, se a intera¸cão for suficientemente pequena,

o operador densidade evoluirá mais lentamente. A representa¸cão de intera¸cão pode ser alcan¸cada através da transforma¸cão unitária

U (t, t0) = e

−i ~

Rt

(44)

Com t0= 0, a equa¸cão de Von Neumann (4.1.2) na representa¸cão de intera¸cão torna-se d dtρ (t) = 1 i~[V (t) , ρ (t)] , (4.1.3) com ρ (t) = U−1(t) ρS(t) U (t) , V (t) = U−1(t) VSU (t) .

Neste ponto, serão introduzidas certas considera¸cões a respeito do sistema, as quais serão de utilidade na resolu¸cão da equa¸cão (4.1.3). Como mencionado, o sistema é composto pelos subsistemas A e R; no entanto, algumas vezes é conveniente observar apenas um dos subsis-temas, permanecendo o outro inalterado. Tal feito pode ser alcan¸cado introduzindo os operadores densidade reduzidos

σA(t) ≡ T rR[ρ (t)] ,

σR(t) ≡ T rA[ρ (t)] ,

onde T rR e T rA representam os tra¸cos parciais com respeito a R e A,

respectivamente. Assim, σAdescreve completamente o subsistema A e

σR o subsistema R. Se os subsistemas estiverem fracamente acoplados,

a perturba¸c˜ao ao longo do tempo que A provoca em R, em primeira ordem, ´e muito pequena e pode ser desconsiderada,

σR(t) w σR(0) ≡ σR. (4.1.4)

A equa¸cão anterior equivale a dizer que o reservoir está num estado estacionário e, portanto,

[HR, σR] = 0.

O potencial de intera¸cão é separável, possuindo na representa¸cão de intera¸cão a forma

V (t) = −R (t) ⊗ A (t) . (4.1.5) O valor médio de RS no subsistema R é, por defini¸cão, nulo

RS_{= T r σ}

(45)

da equa¸c˜ao acima deduz-se, utilizando a propriedade

T rA[A ⊗ B] = BT r [A] , (4.1.7)

que

T rR[σRV (t)] = T rR[σR(−R (t) ⊗ A (t))] = −A (t) T r [σRR (t)] = 0.

(4.1.8) Devido ao sistema ser fracamente acoplado, na aproxima¸cão de coarse-grained (COHEN-TANNOUDJI; DUPONT-ROC; GRYNBERG, 1992), TA ∆t τc, é aceitável assumir que o termo de correla¸cão possa ser

desprezado

ρ (t) = σA(t) ⊗ σR(t) + ρcor(t) ' σA(t) ⊗ σR. (4.1.9)

A ideia por trás desta aproxima¸cão é que a correla¸cão desaparece depois de um tempo da ordem de τc, contribuindo muito fracamente

para evolu¸c˜ao de σAno intervalo [t, t + ∆t]. Dadas estas considera¸c˜oes,

pode-se resolver a equa¸c˜ao diferencial (4.1.3). Integrando entre t e t + ∆t, temos ρ (t + ∆t) − ρ (t) = 1 i~ Z t+∆t t dt0[V (t0) , ρ (t0)] (4.1.10) e, entre t e t0, ρ (t0) − ρ (t) = 1 i~ Z t0 t dt00[V (t00) , ρ (t00)] . (4.1.11) Substituindo (4.1.11) em (4.1.10) resulta ρ (t + ∆t) = ρ (t) +_i~1 Rt+∆t t dt 0h_{V (t}0_{) , ρ (t) +} 1 i~ Rt0 t dt 00_{[V (t}00_{) , ρ (t}00_)]i = ρ (t) +_i~1 Rt+∆t t dt 0_{[V (t}0_{) , ρ (t)]} + _i~12R_tt+∆tdt0Rt 0 t dt 00_{[V (t}0_{) , [V (t}00_{) , ρ (t}00_{)]] .}

Tomando o tra¸co parcial com respeito a R, obt´em-se ∆σA(t) = _i~1 Rt+∆t t dt 0_{T r} R[V (t0) , ρ (t)] + _i~12Rt+∆t t dt 0Rt0 t dt 00_{T r} R[V (t0) , [V (t00) , ρ (t00)]] ,

(46)

onde

∆σA(t) = T rR[ρ (t + ∆t)] − T rR[ρ (t)] ;

substituindo a aproxima¸cão (4.1.9) para ρ (t) na equa¸cão (4.1), podemos então escrever ∆σA(t) ' _i~1 Rt+∆t t dt 0_{T r} R[V (t0) , σA(t) ⊗ σR] + _i~12R_tt+∆tdt0Rt 0 t dt 00_{T r} R[V (t0) , [V (t00) , σA(t00) ⊗ σR]] .

Comparando o primeiro termo à direita na equa¸cão anterior com (4.1.8), nota-se que T rR[V (t0) , σA(t) ⊗ σR] = T rR[V (t0) σR] σA(t)−σA(t) T rR[σRV (t0)] = 0, fornecendo ∆σA(t) ' 1 i~ 2Z t+∆t t dt0 Z t0 t dt00T rR[V (t0) , [V (t00) , σA(t00) ⊗ σR]] ; (4.1.12) substituindo V (t) pela expressão (4.1.5), segue que

∆σA(t) ' _i~1 2Rt+∆t t dt 0Rt0 t dt 00_× T rR[R (t0) ⊗ A (t0) , [R (t00) ⊗ A (t00) , σA(t00) ⊗ σR]] . (4.1.13) Expandindo o comutador acima e definindo a fun¸c˜ao g (τ )

g (τ ) ≡ T r [σRR (t0) R (t00)] , (4.1.14)

a equa¸c˜ao (4.1.13) assume a forma ∆σA(t) ' _i~1 2Rt+∆t t dt 0Rt0 t dt 00_{g (τ ) ×} (A (t0) A (t00) σA(t00) − A (t00) σA(t00) A (t0)) + 1 i~ 2Rt+∆t t dt 0Rt0 t dt 00_{g (−τ ) ×} (σA(t00) A (t00) A (t0) − A (t0) σA(t00) A (t00)) . (4.1.15)

A equa¸cão anterior representa a varia¸cão do subsistema A entre os instantes t e t + ∆t; porém, estamos interessados em sua taxa de

(47)

varia¸c˜ao. Resgatando a aproxima¸c˜ao de coarse-grained, TA ∆t

τc, pode-se considerar a taxa de varia¸c˜ao ∆σ_∆tA(t) como sendo a taxa

instantˆanea dσA(t)

dt , e interpretá-la como a média da taxa instantânea.

De fato ∆σA(t) ∆t = σA(t + ∆t) − σA(t) ∆t = 1 ∆t Z t+∆t t dσA(t0) dt0 dt 0_;

para tempos menores que ∆t, a aproxima¸cão é responsável por suavi-zar as varia¸cões instantâneas. No entanto, caracteriza uma boa apro-xima¸cão para tempos da ordem de TR, de modo que a taxa de varia¸cão

coarse-grained resulta ∆σA(t) ∆t ' 1 ∆t 1 i~ 2Rt+∆t t dt 0Rt0 t dt 00_{g (τ ) ×} (A (t0_{) A (t}00_{) σ} A(t00) − A (t00) σA(t00) A (t0)) +_∆t1 _i~12Rt+∆t t dt 0Rt0 t dt 00_{g (−τ ) ×} (σA(t00) A (t00) A (t0) − A (t0) σA(t00) A (t00)) . (4.1.16)

Para prosseguir e integrar a equa¸cão (4.1.16), é necessário saber a forma de σA(t00). Porém, na aproxima¸cão de coarse-grained,

pode-se substituir σA(t00) por σA(t); a validade de tal aproxima¸c˜ao ser´a

discutida no apêndice C. A seguir, a equa¸cão (4.1.16) será projetada na base de autoestados do sistema A.

4.2 PROJETANDO NA BASE DOS AUTOESTADOS

Tomando o valor esperado da equa¸c˜ao (4.1.16) entre quaisquer dois estados ha| e |bi do sistema A e definida a nota¸c˜ao contra´ıda

∆σAab(t) ≡ ha |∆σA(t)| bi , (4.2.1)

(48)

∆σ_Aab(t) ∆t ' 1 ∆t 1 i~ 2Rt+∆t t dt 0Rt0 t dt 00_× ha |g (τ ) (A (t0_{) A (t}00_{) σ} A(t) − A (t00) σA(t) A (t0))| bi +_∆t1 1 i~ 2Rt+∆t t dt 0Rt0 t dt 00_× ha |g (−τ ) (σA(t) A (t00) A (t0) − A (t0) σA(t) A (t00))| bi . (4.2.2) Os quatro valores esperados presentes na equa¸c˜ao (4.2.2) s˜ao a A (t0) A (t00) σA(t) b = P n,c,d Aan(t0) Anc(t00) σAcd(t) δdb, a A (t00) σA(t) A (t0) b = P c,d Aac(t00) Adb(t0) σAcd(t) , a σA(t) A (t00) A (t0) b = P n,c,d Adn(t00) Anb(t0) σAcd(t) δac, a A (t0) σA(t) A (t00) b = P c,d Aac(t0) Adb(t00) σAcd(t) ,

onde foram introduzidas, convenientemente, bases completas e adotada a nota¸c˜ao contra´ıda. Atuando na base dos autoestados

HA|ni = EA|ni ,

´e poss´ıvel reescrever operador Aab(t) como

Aab(t) = D a e i ~HAtASe −i ~HAt b E = ei(ωa−ωb)ta_AS b = eiωabtAab,

eliminando assim a dependˆencia temporal dos operadores. Os valores esperados tornam-se a A (t0) A (t00) σA(t) b = P n,c,d eiωant0+iωnct00_A anAncσAcd(t) δdb, a A (t00) σA(t) A (t0) b = P c,d eiωdbt0+iωact00_A acAdbσAcd(t) , a σA(t) A (t00) A (t0) b = P n,c,d eiωnbt0+iωdnt00_A dnAnbσAcd(t) δac, a A (t0) σA(t) A (t00) b = P c,d eiωact0+iωdbt00_A acAdbσAcd(t) . (4.2.3)

(49)

Admitiremos que a fun¸c˜ao g (τ ) possa ser escrita como g (τ ) =X

i,j

eiωijτ_K

ij (4.2.4)

e na se¸cão seguinte mostraremos que, de fato, a dependência temporal da fun¸cão g (τ ) é exponencial. Substituindo os valores esperados (4.2.3) e g (τ ), dado por (4.2.4), em (4.2.2) e reorganizando, obtém-se

∆σ_Aab(t) ∆t ' 1 ∆t 1 i~ 2 P i,j,c,d,n Kij Rt+∆t t dt 0Rt0 t dt 00_σ Acd(t) × h ei(ωan+ωij)t0_ei(ωnc−ωij)t00_A anAncδdb− ei(ωdb+ωij)t 0 ei(ωac−ωij)t00_A acAdb + ei(ωnb−ωij)t0_ei(ωdn+ωij)t00_A dnAnbδac− ei(ωac−ωij)t 0_+i(ω db+ωij)t00_A acAdb i . (4.2.5) Por ´ultimo, resolvemos as integrais, as quais podem ser divididas em quatro integrais do tipo

Rt+∆t t dt 0Rt0 t dt 00_ei(ωan+ωij)t0_ei(ωnc−ωij)t00_A anAncδdb= − δdbAanAnc(ωnc− ωij)−1(ωan+ ωnc)−1 ei(ωan+ωnc)(t+∆t)− ei(ωan+ωnc)t + δdbAanAnc(ωnc− ωij) −1 (ωan+ ωij) −1 ei(ωnc−ωij)t_× ei(ωan+ωij)(t+∆t)_{− e}i(ωan+ωij)t .

Somando e simplificando todas as contribui¸cões, e substituindo na equa¸cão (4.2.5), obtém-se a equa¸cão para a evolu¸cão do sistema A na base dos autoestados na representa¸cão de intera¸cão

(50)

∆σ_Aab(t) ∆t ' 1 ∆t 1 i~ 2 P i,j,c,d,n KijσAcd(t) n AacAdb(ωac− ωij) −1 × ei(ωac+ωdb)t_(ω db+ ωij) −1

ei(ωac+ωdb)∆t_{− e}i(ωdb+ωij)∆t_{− e}i(ωac−ωij)∆t_{+ 1}

−δacAdnAnb(ωdn+ ωij)−1ei(ωnb+ωdn)t(ωnb+ ωdn)−1 ei(ωnb+ωdn)∆t− 1 +δacAdnAnb(ωdn+ ωij)−1ei(ωnb+ωdn)t(ωnb− ωij)−1 ei(ωnb−ωij)∆t− 1 −δdbAanAnc(ωnc− ωij)−1ei(ωnc+ωan)t(ωan+ ωnc)−1 ei(ωan+ωnc)∆t− 1 +δdbAanAnc(ωnc− ωij)−1ei(ωnc+ωan)t(ωan+ ωij)−1 ei(ωan+ωij)∆t− 1 o . (4.2.6) A equa¸cão anterior, apesar de correta é de dif´ıcil interpreta¸cão f´ısica. Para extrair informa¸cões a partir da mesma, será estudado no cap´ıtulo 5 o caso de um oscilador harmônico acoplado a um reservoir. A seguir, exibiremos o comportamento da fun¸cão g (τ )

4.3 FUNÇ ÃO DE CORRELAÇ ÃO DE DOIS PONTOS T ÉRMICA

A fun¸cão g (τ ) dada por (4.1.14) é de máxima importância, pois é responsável por incorporar a informa¸cão a respeito do sistema R e, por conseguinte, da temperatura. Assim, utilizando-se os resultados encontrados na se¸cão 3.1, pode-se construir uma fun¸cão de correla¸cão dependente de temperatura g (τ, β). Reescrevendo g (τ ) como

g (t0, t00) = T r [σRR (t0) R (t00)] = T r h σRe i ~HRτRSe −i ~HRτRS i = T r [σRR (τ ) R] , (4.3.1) onde τ = t0− t00_{, e utilizando o operador densidade t´}_ermico

σR=

0(β) 0(β)

,

obtém-se a fun¸cão de correla¸cão dependente de temperatura g (τ, β) = T r 0(β) 0(β) R (τ ) R = 0(β) R (τ ) R 0(β) . (4.3.2)

(51)

Substituindo o vácuo térmico (3.1.6), obtém-se g (τ, β) = Z_R−1X n0_,n e−12β(En0+En)_h e n0, n0| R (τ ) R |n,ni ,_e (4.3.3)

onde o sub´ındice em ZR indica que a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao refere-se

so-mente ao subsistema R, e n˜ao ao total. Atuando na base dos autoes-tados do sistema R encontra-se

h_en0, n0| R (τ ) R |n,_eni = hn0| R (τ ) R |ni δn0_n

= δn0_n

X

m

hn0_{| R}S_{|mi hm| R}S_{|ni e}i(ω_n0−ωm)τ_,

de modo que a equa¸c˜ao (4.3.3) para g (τ, β) se torna g (τ, β) = Z_R−1X

m,n

e−βEn_{hn| R}S_{|mi hm| R}S_{|ni e}i(ωn−ωm)τ_,

ou, na nota¸c˜ao contra´ıda,

g (τ, β) = Z_R−1X n,m e−βEn_eiωnmτ_RS nm 2 . (4.3.4)

Uma vez determinada a fun¸cão de correla¸cão térmica, pode-se facilmente encontrar a taxa de varia¸cão térmica ∆σA(t,β)

∆t , substituindo g (τ, β) em (4.1.16) ou reconhecendo que Kij = ZR−1e −βEi_RS ij 2 em (4.2.6). A fun¸cão g (τ, β) não é uma fun¸cão real, pois

g∗(τ, β) = g (−τ, β) ;

pode-se, então, dividi-la nas respectivas partes real e imaginária; estas por sua vez, estão relacionadas com fun¸cões estat´ısticas do reservoir, que caracterizam como o sistema A é afetado pelo reservoir. A equa¸cão (4.3.1) pode ser convenientemente reescrita como

g (τ ) = 1

2T rσR[R (τ ) , R]+ + 1

2T r [σR[R (τ ) , R]] , (4.3.5) onde o primeiro termo corresponde à fun¸cão de correla¸cão simétrica e o segundo à susceptibilidade linear do reservoir.

(52)

4.3.1 A Fun¸cão de Correla¸cão Simétrica

Seja CR(τ ) a parte sim´etrica de g (τ ),

CR(τ ) = 1 2T r [σRR (τ ) R + σRRR (τ )] = 1 2(g (τ ) + g ∗_{(τ )) .}

Substituindo a equa¸c˜ao (4.3.4) para g (τ, β), CR(τ, β) = ZR−1 X n,m e−βEn_RS nm 2 cos (ωnmτ ) , (4.3.6)

e efetuando a transforma¸c˜ao de Fourier CR(ω, β) = 1 √ 2π Z dτ CR(τ, β) e−iωτ,

a correla¸c˜ao no espa¸co das frequˆencias torna-se CR(ω, β) = ZR−1 X n,m e−βEn_RS nm 2Z dτe−i(ω−ωnm)τ_{+ e}−i(ω+ωnm)τ_.

Reconhecendo a fun¸c˜ao delta √ 2πδ (ω) = √1 2π Z dτ e−iωτ, segue que CR(ω, β) = ZR−1 r π 2 X n,m e−βEn_RS nm 2 [δ (ω − ωnm) + δ (ω + ωnm)] . (4.3.7) Tanto CR(τ, β) em (4.3.6) quanto sua transformada CR(ω, β)

acima são fun¸cões de autocorrela¸cão, responsáveis por descrever a dinâmica das flutua¸cões do observável R no estado σR. A susceptibilidade

li-near, apresentada a seguir, dita a dinˆamica do reservoir R sob uma perturba¸c˜ao externa.

(53)

4.3.2 A Susceptibilidade Linear

Seja uma perturba¸c˜ao da forma

VS(t) = −λ (t) RS, (4.3.8) onde λ (t) é uma fun¸cão clássica. Substituindo a equa¸cão (4.3.8) para VS_{(t) na equa¸}_c˜_{ao (4.1.3) para a evolu¸}_c˜_{ao dos operadores, temos}

d

dtσR(t) = −λ (t)

i~ [R (t) , σR(t)] .

Note-se que, neste caso, ao tratar somente da evolu¸c˜ao do re-servoir, os operados ρ e σR coincidem. Integrando a equa¸c˜ao

ante-rior no intervalo (−∞, t0], com as condi¸c˜oes de contorno V (t) → 0 e σR(t) = σR para t → −∞, o que equivale a assumir que o sistema

estava inicialmente isolado e em equil´ıbrio, obt´em-se

σR(t0) = σR− 1 i~ t0 Z −∞ dt00λ (t00) [R (t00) , σR(t00)] ;

multiplicando por R (t0) e tomando o tra¸co resulta T r [σR(t0) R (t0)] = T r [σRR (t0)] −1 i~ t0 Z −∞ dt00λ (t00) T r [(R (t00) σR(t00) − σR(t00) R (t00)) R (t0)] . Reconhecendo que T r [σR(t0) R (t0)] = T rσRS(t0) R = hRi

e que o primeiro termo à direita,RS, na equa¸cão anterior é zero, de acordo com (4.1.6), segue que

hRi = i ~ t0 Z −∞ dt00λ (t00) T rσS R(t 00_{) [R (τ ) , R] .}

(54)

Efetuando a substitui¸c˜ao t00= t0− τ , hRi = i ~ ∞ Z 0 dτ λ (t0− τ ) T rσS R(t0− τ ) [R (τ ) , R] ,

e recorrendo `a fun¸c˜ao de Heaviside Θ (τ )

Θ (τ ) = (

0, τ < 0 1, τ ≥ 0, pode-se reescrever hRi como

hRi = ∞ Z −∞ dτ λ (t0− τ ) χR(τ ) , onde χR(τ ) = i ~Θ (τ ) T rσ S R(t0− τ ) [R (τ ) , R] .

Lembrando que a evolu¸cão do operador densidade na representa¸cão de Schrödinger é, neste caso,

σS_R(t0− τ ) = e−i~HR(t 0 −τ_)σS Re i ~HR(t 0 −τ_{) = σ} R,

onde foi utilizado o fato do operador HRcomutar com σR; substituindo

em χR(τ ) encontra-se, como esperado, o segundo termo da equa¸c˜ao

(4.3.5) para g (τ ), T r [σR[R (τ ) , R]] = g (τ )−g∗(τ ) = i2ZR−1 X n,m e−βEn_RS nm 2 sin (ωnmτ ) , resultando χR(τ, β) = − 2 ~ Θ (τ )X n,m e−βEn_RS nm 2 sin (ωnmτ ) e hRi = −2 ~ X n,m e−βEn_RS nm 2 ∞ Z −∞ Θ (τ ) dτ λ (t − τ ) sin (ωnmτ ) .

(55)

5 OSCILADOR HARM ˆONICO

Neste cap´ıtulo consideraremos o caso onde o sistema A é um os-cilador harmônico unidimensional de frequência ω0interagindo com um

reservoir R, constitu´ıdo de n osciladores independentes de frequˆencia ωi, em equil´ıbrio t´ermico. Logo, definimos o hamiltoniano deste sistema

como

H = HA+ HR+ V ,

onde o hamiltoniano H pertence ao espa¸co de Hilbert H1+n_{= H ⊗ H}n_,

e HA= ~ω0 bS†bS+1₂ ⊗ I, HR= I ⊗ ~P i ωi aS†_i aS_i +1₂.

Para descrever a intera¸c˜ao com o reservoir, introduz-se o poten-cial de forma V =X i h gi bS+ ηbS† aSi + g ∗ i b S†_{+ ηb}S_aS† i i , (5.1)

onde gié um parâmetro de acoplamento e e η constantes não

negati-vas; a expressão (5.1) é a intera¸cão bilinear mais geral poss´ıvel. Fazendo η = 1 e assumindo a aproxima¸cão de onda girante = 0 obtém-se o potencial V =X i h gibS†⊗ aSi + g∗ib S_{⊗ a}S† i i .

Buscando um potencial com a forma da express˜ao (4.1.5), rees-crevemos o ´ultimo como

V = − bS†⊗ RS_{+ b}S_{⊗ R}S†_, onde RS = − g1aS1 ⊗ I ⊗ I · · · + I ⊗ g2aS2 ⊗ I · · · + · · · = − X i giaSi, RS†= −X i g_i∗aS†_i ,

(56)

ou, na representa¸c˜ao de intera¸c˜ao,

V (t) = − b†(t) ⊗ R (t) + b (t) ⊗ R†(t) .

Recuperando a equa¸c˜ao (4.1.12) para a popula¸c˜ao ∆σA(t) e

ex-pandindo o tra¸co contido nesta, temos

T rR[V (t0) , [V (t00) , σA(t) ⊗ σR]] = b (t0) b†(t00) σA(t00) − b†(t00) σA(t00) b (t0) T r σRR†(t0) R (t00) + σA(t00) b (t00) b†(t0) − b†(t0) σA(t00) b (t00) T r σRR†(t00) R (t0) + b†(t0) b (t00) σA(t00) − b (t00) σA(t00) b†(t0) T r σRR (t0) R†(t00) + σA(t00) b†(t00) b (t0) − b (t0) σA(t00) b†(t00) T r σRR (t00) R†(t0) .

Como visto na se¸cão 4.3 o tra¸co está relacionado com o valor esperado no vácuo térmico; assegurando, que o vácuo do sistema seja separável 0(β) = 0(β) 1⊗ 0(β) 2⊗ · · · ,

segue também a separabilidade da fun¸cão g (τ, β). Das equa¸cões (4.3.1) e (4.3.2) para g (τ ), pode-se então escrever

T r [σRR (t0) R (t00)] =0(β) R (t0) R (t00) 0(β) =0(β) R (t0) R (t00) 0(β) 1⊗0(β) R (t0) R (t00) 0(β) 2⊗ · · · .

Assim, o primeiro tra¸co resulta T rσRR (t0) R†(t00) =0(β) R (t0) R†(t00) 0(β) 1⊗0(β) R (t0) R†(t00) 0(β) 2⊗ · · · =0(β) g1a1(t0) g1∗a † 1(t00) 0(β) 1⊗ I ⊗ · · · +I ⊗0(β) g2a2(t0) g2∗a † 2(t00) 0(β) 2⊗ I ⊗ · · · =P i |gi| 2 e−iωi(t0−t00) 0 (β) aia†i 0(β) i.

Reconhecendo o operador número e substituindo os resultados encontrados na se¸cão 3.1.1 para o número médio de part´ıculas (3.1.19),

(57)

neste caso excita¸c˜oes do estado 0(β), 0(β) a1a†1 0(β) 1= 1 +0(β) a † 1a1 0(β) 1= 1 + e β~ω1_{− 1}−1 , obt´em-se, finalmente, para este e demais tra¸cos

T rσRR†(t0) R (t00) = P i |gi| 2 e−iωi(t00−t0) eβ~ωi_{− 1}−1_, T rσRR†(t00) R (t0) = P i |gi| 2 e−iωi(t0−t00) eβ~ωi_{− 1}−1_, T rσRR (t0) R†(t00) = P i |gi| 2 e−iωi(t0−t00)h_{1 + e}β~ωi_{− 1}−1 i , T rσRR (t00) R†(t0) = P i |gi| 2 e−iωi(t00−t0)h_{1 + e}β~ωi− 1−1 i .

Substituindo em ∆σA(t), segue que

∆σA(t) = 1 i~ 2 X i |gi|2 Z t+∆t t dt0 Z t0 t dt00× h e−iω0(t0−t00)e−iωi(t00−t0) bb†_σ A(t00) − b†σA(t00) b eβ~ωi_{− 1}−1 +e−iω0(t00−t0)e−iωi(t0−t00) σ A(t00) bb†− b†σA(t00) b eβ~ωi_{− 1}−1 +e−iω0(t0−t00)e−iωi(t00−t0) σ A(t00) b†b − bσA(t00) b† h 1 + eβ~ωi_{− 1}−1i +e−iω0(t00−t0)e−iωi(t0−t00) b†_bσ A(t00) − bσA(t00) b† h 1 + eβ~ωi_{− 1}−1ii_.

Da mesma maneira, tomamos σA(t00) = σA(t) para que

possa-mos resolver a equa¸c˜ao anterior, efetuando as integrais Rt+∆t t dt 0Rt0 t dt 00_e−i(ω0−ωi)(t0−t00) = ω−2 0i − iω −1 0i ∆t − ω −2 0i e−iω0i ∆t_, Rt+∆t t dt 0Rt0 t dt 00_e−i(ω0−ωi)(t00−t0) = ω−2 i0 − iω −1 i0 ∆t − ω −2 i0 e−iωi0 ∆t_.

(58)

A equa¸cão para a popula¸cão torna-se então ∆σA(t) = _i~1 2P i |gi| 2 ω−2_0i × h 1 − iω0i∆t − e−iω0i∆t bb†_σ A(t) − b†σA(t) b eβ~ωi_{− 1}−1 + 1 + iω0i∆t − eiω0i∆t σA(t) bb†− b†σA(t) b eβ~ωi− 1 −1 + 1 − iω0i∆t − e−iω0i∆t σA(t) b†b − bσA(t) b† h 1 + eβ~ωi_{− 1}−1 i + 1 + iω0i∆t − eiω0i∆t b†bσA(t) − bσA(t) b† h 1 + eβ~ωi_{− 1}−1 ii , ou ∆σA(t) = 1 i~ 2 X i |gi|2 eβ~ωi− 1 −1 (ω0− ωi)−2 Γ + Γ† , (5.2) onde Γ = 1 − iω0i∆t − e−iω0i∆t bb†σA(t) − b†σA(t) b + σA(t) b†b − bσA(t) b† eβ~ωi . 5.1 EVOLUÇ ÃO DA POPULAÇ ÃO

Tomando o valor esperado da express˜ao (5.2) nos autoestados |ni do sistema A, ∆σAnn(t) = 1 i~ 2 X i |gi| 2 eβ~ωi_{− 1}−1_ω−2 0i Γnn+ Γ†nn , onde Γnn= 1 − iω0i∆t − e−iω0i∆t × n bb†σA(t) − b†σA(t) b n + eβ~ωin σA(t) b†b − bσA(t) b† n . Atuando b e b† nos estados, obt´em-se

Γnn= 1 − iω0i∆t − e−iω0i∆t ×

(n + 1) σAnn(t) − nσAn−1,n−1(t) + e

β~ωi _nσ

(59)

notando quenΓ†n = hn |Γ| ni † e somando Γnn e Γ†nn, Γnn+ Γ†nn= 2 [1 − cos (ω0i∆t)] × (n + 1) σAnn(t) − nσAn−1,n−1(t) + e β~ωi _nσ Ann(t) − (n + 1) σAn+1,n+1(t) ,

de modo que, na aproxima¸cão de coarse-grained, a evolu¸cão da po-pula¸cão do estado |ni é

∆σAnn(t) ∆t = 2 ∆t 1 i~ 2 X i |gi| 2 eβ~ωi_{− 1}−1_ω−2 0i [1 − cos (ω0i∆t)] × (n + 1) σAnn(t) − nσAn−1,n−1(t) + e β~ωi _nσ Ann(t) − (n + 1) σAn+1,n+1(t) ,

a qual pode ser convenientemente reescrita como

∆σ_Ann(t) ∆t = 2 1 ~ 2P i |gi| 2 ω_0i−2h1−cos(ω0i∆t) ∆t i × h −nσAnn(t) + (n + 1) σAn+1,n+1(t) + eβ~ωi− 1 −1 × (n + 1) σAn+1,n+1(t) − σAnn(t) + n σAn−1,n−1(t) − σAnn(t) ; definindo C ≡ 2 1 ~ 2P i |gi| 2 ω_0i−2h1−cos(ω0i∆t) ∆t i , T ≡ 2 1 ~ 2P i |gi| 2 ω_0i−2h1−cos(ω0i∆t) ∆t i eβ~ωi_{− 1}−1_,

a express˜ao para a evolu¸c˜ao torna-se

∆σ_Ann(t)

∆t = −nCσAnn(t) + (n + 1) CσAn+1,n+1(t)

+ (n + 1) T σAn+1,n+1(t) − σAnn(t) + nT σAn−1,n−1(t) − σAnn(t) .

(5.1.1) Pode-se agora interpretar fisicamente os termos da equa¸cão an-terior. Assim, o termo C esta associado ao processo de emissão es-pontânea e T aos processos de absor¸cão e emissão estimulada. Mais precisamente, nC é a taxa de emissão espontânea entre os estados |ni e |n − 1i; assim, o estado |ni decai a uma taxa nC enquanto o estado |n + 1i é populado a uma taxa (n + 1) C. Similarmente, ocorrem os